Προσδιορισμός της απόστασης από ένα σημείο σε μια γενική ευθεία. Προσδιορισμός της απόστασης από ένα σημείο σε μια ευθεία

Αυτές οι εργασίες περιλαμβάνουν: εργασίες για τον προσδιορισμό των αποστάσεων από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή, σε ένα επίπεδο, σε μια επιφάνεια. μεταξύ παράλληλων και γραμμών διέλευσης. μεταξύ παράλληλων επιπέδων κ.λπ.

Όλα αυτά τα καθήκοντα ενώνονται από τρεις συνθήκες:

Πρώτα, επειδή η η μικρότερη απόστασημεταξύ τέτοιων σχημάτων υπάρχει μια κάθετη, τότε όλα καταλήγουν στην κατασκευή αμοιβαία κάθετων ευθειών και επιπέδων.

κατα δευτερον, σε καθένα από αυτά τα προβλήματα είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το φυσικό μήκος του τμήματος, δηλαδή να λυθεί το δεύτερο κύριο μετρικό πρόβλημα.

Τρίτον, πρόκειται για σύνθετες εργασίες, λύνονται σε διάφορα στάδια και σε κάθε στάδιο λύνεται ένα ξεχωριστό, μικρό, συγκεκριμένο πρόβλημα.

Ας εξετάσουμε την επίλυση ενός από αυτά τα προβλήματα.

Εργο:Προσδιορίστε την απόσταση από ένα σημείο Μσε ευθεία γραμμή γενική θέση ΕΝΑ(Εικόνα 4-26).

Αλγόριθμος:

Στάδιο 1: Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι κάθετη. Από ευθεία ΕΝΑ- γενική θέση, τότε για να κατασκευάσετε μια κάθετη σε αυτήν είναι απαραίτητο να λύσετε ένα πρόβλημα παρόμοιο με αυτό που δίνεται στη σελίδα M4-4 αυτής της ενότητας, δηλαδή πρώτα μέσω του σημείου Μσχεδιάστε ένα αεροπλάνο μικρό, κάθετος ΕΝΑ. Ορίζουμε αυτό το επίπεδο ως συνήθως, ηÇ φά, όπου η 1^ Α'1,ένα στ 2^ Α2

Στάδιο 2: Για να κατασκευάσετε μια κάθετη, πρέπει να βρείτε ένα δεύτερο σημείο για αυτήν. Αυτό θα είναι το ζητούμενο ΠΡΟΣ ΤΗΝ, που ανήκει στη γραμμή ΕΝΑ. Για να το βρείτε, πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα θέσης, δηλαδή να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας ΕΝΑμε αεροπλάνο μικρό. Επιλύουμε 1GPZ χρησιμοποιώντας τον τρίτο αλγόριθμο (Εικ. 4-28):

Εισάγουμε ένα αεροπλάνο - έναν ενδιάμεσο σολ, σολ^^ Π 1, ΓÉ αÞ Г 1 = а 1;

- σολÇ S = b, G^^ Π 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , βÌ μικρόÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S 2.

- β 2Ç a 2 = K 2Þ K 1.

Στάδιο 3: Εύρεση του πραγματικού μεγέθους MKμέθοδος ορθογώνιο τρίγωνο

Η πλήρης λύση του προβλήματος φαίνεται στο Σχ. 4-30.

Αλγοριθμική καταγραφή της λύσης:

1. μικρό^α,S = hÇ f = M, h 1^a 1, f 2^α 2.

2. Εισάγουμε ένα αεροπλάνο - έναν ενδιάμεσο σολ,

- σολ^^ Π 1, ΓÉ αÞ Г 1 = а 1 ;

- σολÇ S = b, G^^ Π 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1 , βÌ μικρόÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- β 2Ç a 2 = K 2Þ K 1 .

3. Εύρεση του πραγματικού μεγέθους MK.

Συμπεράσματα:

1. Η λύση όλων των μετρικών προβλημάτων καταλήγει στην επίλυση του πρώτου κύριου μετρικού προβλήματος - της αμοιβαίας καθετότητας μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου.

2. Κατά τον καθορισμό των αποστάσεων μεταξύ γεωμετρικά σχήματαΧρησιμοποιείται πάντα η δεύτερη κύρια μετρική εργασία - για τον προσδιορισμό του φυσικού μεγέθους ενός τμήματος.

3. Ένα επίπεδο που εφάπτεται σε μια επιφάνεια σε ένα σημείο μπορεί να οριστεί από δύο τεμνόμενες ευθείες, καθεμία από τις οποίες εφάπτεται σε μια δεδομένη επιφάνεια.

Ερωτήσεις ελέγχου

1. Ποια προβλήματα ονομάζονται μετρικά;

2. Ποια δύο κύρια μετρικά προβλήματα γνωρίζετε;

3. Γιατί είναι πιο πλεονεκτικό να ορίσουμε ένα επίπεδο κάθετο σε μια γενική ευθεία;

4. Πώς λέγεται το επίπεδο που είναι κάθετο σε μία από τις ευθείες στάθμης;

5. Πώς λέγεται το επίπεδο που είναι κάθετο σε μία από τις προεξέχουσες ευθείες;

6. Τι ονομάζεται επίπεδο που εφάπτεται σε μια επιφάνεια;

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος της κάθετου που σύρεται από το σημείο προς την ευθεία. ΣΕ περιγραφική γεωμετρίακαθορίζεται γραφικάσύμφωνα με τον παρακάτω αλγόριθμο.

Αλγόριθμος

Η ευθεία γραμμή μετακινείται σε μια θέση στην οποία θα είναι παράλληλη σε οποιοδήποτε επίπεδο προβολής. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται μέθοδοι μετασχηματισμού ορθογώνιων προβολών.
Από ένα σημείο μια κάθετη σύρεται σε μια ευθεία. Στον πυρήνα αυτής της κατασκευήςβρίσκεται το θεώρημα της προβολής ορθή γωνία.
Το μήκος μιας καθέτου προσδιορίζεται μετασχηματίζοντας τις προεξοχές της ή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ορθογωνίου τριγώνου.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα σύνθετο σχέδιο του σημείου M και της ευθείας b, που ορίζονται από το τμήμα CD. Πρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμό μας, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να μετακινήσουμε τη γραμμή σε θέση παράλληλη προς το επίπεδο προβολής. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι μετά την πραγματοποίηση των μετασχηματισμών, η πραγματική απόσταση μεταξύ του σημείου και της γραμμής δεν πρέπει να αλλάξει. Γι' αυτό είναι βολικό εδώ να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης επιπέδου, η οποία δεν περιλαμβάνει κινούμενες φιγούρες στο χώρο.

Τα αποτελέσματα του πρώτου σταδίου κατασκευής φαίνονται παρακάτω. Το σχήμα δείχνει πώς ένα πρόσθετο μετωπικό επίπεδο P 4 εισάγεται παράλληλα στο b. ΣΕ νέο σύστημα(P 1, P 4) τα σημεία C"" 1, D"" 1, M"" 1 βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον άξονα Χ 1 με τα C"", D"", M"" από τον άξονα Χ.

Εκτελώντας το δεύτερο μέρος του αλγορίθμου, από το M"" 1 κατεβάζουμε την κάθετη M"" 1 N"" 1 στην ευθεία b"" 1, αφού η ορθή γωνία MND μεταξύ b και MN προβάλλεται στο επίπεδο P. 4 σε πλήρες μέγεθος. Χρησιμοποιώντας τη γραμμή επικοινωνίας, προσδιορίζουμε τη θέση του σημείου Ν" και πραγματοποιούμε την προβολή Μ"Ν" του τμήματος ΜΝ.

Επί τελικό στάδιοπρέπει να προσδιορίσετε το μέγεθος του τμήματος MN από τις προβολές του M"N" και M"" 1 N"" 1. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο M"" 1 N"" 1 N 0, του οποίου το σκέλος N"" 1 N 0 ισούται με τη διαφορά (Y M 1 – Y N 1) της απόστασης των σημείων M" και N" από τον άξονα Χ 1. Το μήκος της υποτείνουσας M"" 1 N 0 του τριγώνου M"" 1 N"" 1 N 0 αντιστοιχεί στην επιθυμητή απόσταση από το M στο b.

Δεύτερη λύση

Παράλληλα με το CD, εισάγουμε ένα νέο μετωπικό επίπεδο P 4. Τέμνει το P 1 κατά μήκος του άξονα X 1 και το X 1 ∥C"D". Σύμφωνα με τη μέθοδο αντικατάστασης των επιπέδων, προσδιορίζουμε τις προβολές των σημείων C"" 1, D"" 1 και M"" 1, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Κάθετα στο C"" 1 D"" 1 χτίζουμε ένα πρόσθετο οριζόντιο επίπεδο P 5, πάνω στο οποίο η ευθεία γραμμή b προβάλλεται στο σημείο C" 2 = b" 2.
Η απόσταση μεταξύ του σημείου M και της γραμμής b καθορίζεται από το μήκος του τμήματος M" 2 C" 2, που υποδεικνύεται με κόκκινο χρώμα.

Παρόμοιες εργασίες:

Πρέπει να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή. Συνολικό σχέδιοΛύση στο πρόβλημα:

- μέσα από ένα δεδομένο σημείο σχεδιάζουμε ένα επίπεδο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

- βρείτε το σημείο συνάντησης της γραμμής

με αεροπλάνο?

- προσδιορίστε τη φυσική τιμή της απόστασης.

Μέσα από ένα δεδομένο σημείο σχεδιάζουμε ένα επίπεδο κάθετο στην ευθεία ΑΒ. Ως επίπεδο ορίζουμε τις τεμνόμενες οριζόντιες και μετωπικές γραμμές, οι προβολές των οποίων είναι κατασκευασμένες σύμφωνα με τον αλγόριθμο της καθετότητας (αντίστροφο πρόβλημα).

Βρείτε το σημείο όπου η ευθεία ΑΒ συναντά το επίπεδο. Αυτό τυπική εργασίασχετικά με την τομή μιας ευθείας με ένα επίπεδο (βλ. ενότητα «Τομή ευθείας με επίπεδο»).

Καθετότητα επιπέδων

Τα επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα αν ένα από αυτά περιέχει μια ευθεία κάθετη στο άλλο επίπεδο. Επομένως, για να σχεδιάσετε ένα επίπεδο κάθετο σε ένα άλλο επίπεδο, πρέπει πρώτα να σχεδιάσετε μια κάθετη στο επίπεδο και στη συνέχεια να σχεδιάσετε το επιθυμητό επίπεδο μέσα από αυτό. Στο διάγραμμα, το επίπεδο ορίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες, η μία από τις οποίες είναι κάθετη στο επίπεδο ABC.

Εάν τα επίπεδα ορίζονται με ίχνη, τότε είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

- αν δύο κάθετα επίπεδαπροβάλλουν, τότε τα συλλογικά τους ίχνη είναι αμοιβαία κάθετα.

- το γενικό επίπεδο και το προεξέχον επίπεδο είναι κάθετα, εάν το συλλογικό ίχνος του προεξέχοντος επιπέδου είναι κάθετο στο ίδιο ίχνος του γενικού επιπέδου·

- αν τα ίχνη με το ίδιο όνομα δύο επιπέδων σε γενική θέση είναι κάθετα, τότε τα επίπεδα δεν είναι κάθετα μεταξύ τους.

Μέθοδος αντικατάστασης επιπέδου προβολής

	αντικατάσταση επιπέδων προβολής
είναι ότι τα αεροπλάνα είναι
τα τμήματα αντικαθίστανται από άλλα επίπεδα
	έτσι ώστε	γεωμετρικός
αντικείμενο σε ένα νέο σύστημα επιπέδου
οι προβολές άρχισαν να καταλαμβάνουν το πηλίκο - κατά
κατάσταση, η οποία καθιστά δυνατή την απλοποίηση της
λύνοντας προβλήματα. Σε χωρική κλίμακα
Το kete δείχνει την αντικατάσταση του επιπέδου V με
νέο V 1. Επίσης φαίνεται το προβαλλόμενο
μεταφορά του σημείου Α στα αρχικά επίπεδα
προβολές και ένα νέο επίπεδο προβολής
V 1. Κατά την αντικατάσταση των επιπέδων προβολής
διατηρείται η ορθογωνία του συστήματος.

Μεταμορφώνουμε τη χωρική διάταξη σε επίπεδη περιστρέφοντας τα επίπεδα κατά μήκος των βελών. Παίρνουμε τρία επίπεδα προβολής συνδυασμένα σε ένα επίπεδο.

Στη συνέχεια αφαιρούμε τα επίπεδα προβολής και
		προβολές
Από το διάγραμμα ενός σημείου ακολουθεί ο κανόνας: όταν
αντικαθιστώντας το V με το V 1 για να
		μετωπικός
του σημείου που απαιτείται από τον νέο άξονα
αφήστε κατά μέρος το σημείο εφαρμογής που λαμβάνεται από
προηγούμενο σύστημα αεροπλάνων
δράσεις. Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει
	η αντικατάσταση του Η με το Η 1 είναι απαραίτητη
παραμερίστε τη τεταγμένη του σημείου.

Το πρώτο τυπικό πρόβλημα της μεθόδου αντικατάστασης επιπέδου προβολής

Η πρώτη τυπική εργασία της μεθόδου αντικατάστασης του επιπέδου προβολής είναι να μετατρέψει μια γενική ευθεία πρώτα σε επίπεδη γραμμή και στη συνέχεια σε ευθεία προβολής. Αυτό το πρόβλημα είναι ένα από τα κύρια, καθώς χρησιμοποιείται για την επίλυση άλλων προβλημάτων, για παράδειγμα, κατά τον προσδιορισμό της απόστασης μεταξύ παράλληλων και διασταυρούμενων γραμμών, κατά τον προσδιορισμό δίεδρος γωνίακαι τα λοιπά.

Κάνουμε την αντικατάσταση V → V 1.
σχεδιάστε τον άξονα παράλληλο προς τον οριζόντιο
	προβολές.
μετωπική προβολή ευθεία, για
		αναβάλλω
κουκκίδες. Νέο μετωπικό
η προβολή της ευθείας είναι η ευθεία ΗΒ.
Η ίδια η ευθεία γίνεται η μετωπική γραμμή.
Καθορίζεται η γωνία α°.

Κάνουμε την αντικατάσταση H → H 1. Σχεδιάζουμε τον νέο άξονα κάθετα μετωπική προβολήευθεία. Χτίζουμε ένα νέο οριζόντια προβολήευθεία, για την οποία παραμερίζουμε τις τεταγμένες της ευθείας από τον νέο άξονα, που λαμβάνονται από το προηγούμενο σύστημα επιπέδων προβολής. Η ευθεία γίνεται μια οριζόντια προεξέχουσα ευθεία και «εκφυλίζεται» σε ένα σημείο.

Προσδιορισμός αποστάσεων

Αποστάσεις από σημείο σε σημείο και από σημείο σε γραμμή

Απόσταση από σημείο σε σημείοκαθορίζεται από το μήκος της ευθείας που συνδέει αυτά τα σημεία. Όπως φαίνεται παραπάνω, αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί είτε με τη μέθοδο του ορθογωνίου τριγώνου είτε με την αντικατάσταση των επιπέδων προβολής, μετακινώντας το τμήμα στη θέση της γραμμής στάθμης.

Απόσταση από σημείο σε γραμμήμετριέται από ένα κάθετο τμήμα που τραβιέται από ένα σημείο σε μια ευθεία. Ένα τμήμα αυτής της καθέτου απεικονίζεται σε πλήρες μέγεθος στο επίπεδο προβολής εάν τραβηχτεί στην προεξέχουσα ευθεία. Έτσι, πρώτα η ευθεία πρέπει να μεταφερθεί στη θέση προβολής και μετά από δεδομένο σημείοχαμηλώστε μια κάθετη πάνω του. Στο Σχ. 1 δείχνει τη λύση σε αυτό το πρόβλημα. Για να μεταφερθεί η γραμμή γενικής θέσης AB στη θέση γραμμής στάθμης, πραγματοποιείται x14 IIA1 B1. Στη συνέχεια, το AB μεταφέρεται στη θέση προβολής εισάγοντας ένα πρόσθετο επίπεδο προβολής P5, για το οποίο σχεδιάζεται ένας νέος άξονας προβολής x45\A4 B4.

Εικόνα 1

Παρόμοια με τα σημεία Α και Β, το σημείο Μ προβάλλεται στο επίπεδο προβολής P5.

Η προβολή Κ5 της βάσης Κ της καθέτου χαμηλωμένη από το σημείο Μ στην ευθεία ΑΒ στο επίπεδο προβολής Ρ5 θα συμπίπτει με τις αντίστοιχες προεξοχές των σημείων

Α και Β. Προβολή Μ5 Κ5 της κάθετης ΜΚ είναι η φυσική τιμή της απόστασης από το σημείο Μ έως την ευθεία ΑΒ.

Στο σύστημα των επιπέδων προβολής P4/P5, η κάθετη στη MK θα είναι μια επίπεδη γραμμή, αφού βρίσκεται σε ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο προβολής P5. Επομένως, η προβολή του M4 K4 στο επίπεδο P4 είναι παράλληλη προς το x45, δηλ. κάθετη στην προβολή Α4 Β4. Αυτές οι συνθήκες καθορίζουν τη θέση της προβολής Κ4 της βάσης της κάθετης Κ, η οποία βρίσκεται με τη χάραξη ευθείας γραμμής από Μ4 παράλληλη προς x45 μέχρι να τέμνεται με την προβολή Α4 Β4. Οι υπόλοιπες προβολές της καθέτου βρίσκονται προβάλλοντας το σημείο Κ στα επίπεδα προβολής P1 και P2.

Απόσταση από σημείο σε αεροπλάνο

Η λύση σε αυτό το πρόβλημα φαίνεται στο Σχ. 2. Η απόσταση από το σημείο Μ στο επίπεδο (ABC) μετριέται με ένα κάθετο τμήμα που πέφτει από το σημείο στο επίπεδο.

Σχήμα 2

Δεδομένου ότι η κάθετη στο προεξέχον επίπεδο είναι μια επίπεδη γραμμή, κινούμαστε σε αυτή τη θέση δεδομένο αεροπλάνο, με αποτέλεσμα στο νέο εισαγόμενο επίπεδο προβολής P4 να λάβουμε μια εκφυλισμένη προβολή C4 B4 του επιπέδου ABC. Στη συνέχεια, προβάλλουμε το σημείο Μ στο P4. Η φυσική τιμή της απόστασης από το σημείο Μ στο επίπεδο καθορίζεται από το κάθετο τμήμα

[MK]=[M4 K4]. Οι υπόλοιπες προβολές της καθέτου κατασκευάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο πρόβλημα, δηλ. λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το τμήμα MK στο σύστημα των επιπέδων προβολής P1 / P4 είναι μια επίπεδη γραμμή και η προβολή του M1 K1 είναι παράλληλη προς τον άξονα

x14.

Απόσταση μεταξύ δύο γραμμών

Η μικρότερη απόσταση μεταξύ τεμνόμενων ευθειών μετράται από το μέγεθος του τμήματος της κοινής κάθετης σε αυτές που αποκόπτεται από αυτές τις ευθείες γραμμές. Το πρόβλημα λύνεται επιλέγοντας (ως αποτέλεσμα δύο διαδοχικών αντικαταστάσεων) ένα επίπεδο προβολής κάθετο σε μία από τις τεμνόμενες ευθείες. Σε αυτήν την περίπτωση, το απαιτούμενο κάθετο τμήμα θα είναι παράλληλο στο επιλεγμένο επίπεδο προβολής και θα απεικονίζεται σε αυτό χωρίς παραμόρφωση. Στο Σχ. Το σχήμα 3 δείχνει δύο τεμνόμενες γραμμές που ορίζονται από τα τμήματα AB και CD.

Εικόνα 3

Οι γραμμές προβάλλονται αρχικά στο επίπεδο προβολής P4, παράλληλες σε μία (οποιαδήποτε) από αυτές, για παράδειγμα ΑΒ, και κάθετες στο P1.

Στο επίπεδο προβολής P4, το τμήμα AB θα απεικονίζεται χωρίς παραμόρφωση. Στη συνέχεια τα τμήματα προβάλλονται σε ένα νέο επίπεδο P5 κάθετο στην ίδια ευθεία AB και επίπεδο P4. Στο επίπεδο προβολής P5, η προβολή του τμήματος ΑΒ κάθετα σε αυτό εκφυλίζεται στο σημείο A5 = B5 και η επιθυμητή τιμή N5 M5 του τμήματος NM είναι κάθετη στο C5 D5 και απεικονίζεται σε πλήρες μέγεθος. Χρησιμοποιώντας κατάλληλες γραμμές επικοινωνίας, οι προβολές του τμήματος MN κατασκευάζονται στο πρωτότυπο

σχέδιο. Όπως δείχθηκε προηγουμένως, η προβολή N4 M4 του επιθυμητού τμήματος στο επίπεδο P4 είναι παράλληλη με τον άξονα προβολής x45, καθώς είναι μια επίπεδη γραμμή στο σύστημα των επιπέδων προβολής P4 / P5.

Το έργο του προσδιορισμού της απόστασης D μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών AB έως CD - ειδική περίπτωσητο προηγούμενο (Εικ. 4).

Εικόνα 4

Με διπλή αντικατάσταση των επιπέδων προβολής, οι παράλληλες ευθείες μεταφέρονται στη θέση προβολής, με αποτέλεσμα στο επίπεδο προβολής P5 να έχουμε δύο εκφυλισμένες προεξοχές A5 = B5 και C5 = D5 των ευθειών AB και CD. Η απόσταση μεταξύ τους D θα είναι ίση με τη φυσική του τιμή.

Η απόσταση από μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο παράλληλο με αυτήν μετράται από ένα κάθετο τμήμα που τραβιέται από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας στο επίπεδο. Επομένως, αρκεί να μετατρέψουμε το επίπεδο γενικής θέσης στη θέση του προεξέχοντος επιπέδου, να πάρουμε ένα άμεσο σημείο και η λύση του προβλήματος θα περιοριστεί στον προσδιορισμό της απόστασης από το σημείο στο επίπεδο.

Για να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων, είναι απαραίτητο να τα μεταφέρετε στη θέση προβολής και να κατασκευάσετε μια κάθετη στις εκφυλισμένες προεξοχές των επιπέδων, το τμήμα της οποίας μεταξύ τους θα είναι η επιθυμητή τιμή απόστασης.

155*. Προσδιορίστε το φυσικό μέγεθος ενός τμήματος ΑΒ μιας ευθείας σε γενική θέση (Εικ. 153, α).

Λύση. Όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός ευθύγραμμου τμήματος σε οποιοδήποτε επίπεδο είναι ίση με το ίδιο το τμήμα (λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου), εάν είναι παράλληλο με αυτό το επίπεδο

(Εικ. 153, β). Από αυτό προκύπτει ότι με τη μετατροπή του σχεδίου είναι απαραίτητο να επιτευχθεί παραλληλισμός αυτού του τετραγώνου τμήματος. V ή τετράγωνο H ή συμπληρώστε το σύστημα V, H με άλλο επίπεδο κάθετο στο τετράγωνο. V ή να πληθ. H και ταυτόχρονα παράλληλα με αυτό το τμήμα.

Στο Σχ. 153, c δείχνει την εισαγωγή ενός πρόσθετου επιπέδου S, κάθετου στο τετράγωνο. Η και παράλληλη δεδομένο τμήμαΑΒ.

Η προβολή a s b s είναι ίση με τη φυσική τιμή του τμήματος ΑΒ.

Στο Σχ. 153, το d δείχνει μια άλλη τεχνική: το τμήμα ΑΒ περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β και είναι κάθετο στο τετράγωνο. H, σε θέση παράλληλη

pl. V. Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο Β παραμένει στη θέση του και το σημείο Α παίρνει μια νέα θέση Α 1. Ο ορίζοντας βρίσκεται σε νέα θέση. προβολή α 1 β || άξονας x Η προβολή a" 1 b" είναι ίση με το φυσικό μέγεθος του τμήματος ΑΒ.

156. Δεδομένης της πυραμίδας SABCD (Εικ. 154). Προσδιορίστε το πραγματικό μέγεθος των άκρων της πυραμίδας AS και CS, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αλλαγής των επιπέδων προβολής, και των άκρων BS και DS, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο περιστροφής, και πάρτε τον άξονα περιστροφής κάθετο στο τετράγωνο. H.

157*. Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Α έως την ευθεία BC (Εικ. 155, α).

Λύση. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία μετριέται από ένα κάθετο τμήμα που σχεδιάζεται από το σημείο προς τη γραμμή.

Εάν η ευθεία είναι κάθετη σε οποιοδήποτε επίπεδο (Εικ. 155.6), τότε η απόσταση από το σημείο στην ευθεία μετριέται με την απόσταση μεταξύ της προβολής του σημείου και της ευθείας γραμμής. σημείο προβολήςευθεία γραμμή σε αυτό το επίπεδο. Εάν μια ευθεία γραμμή καταλαμβάνει μια γενική θέση στο σύστημα V, H, τότε για να προσδιοριστεί η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία με αλλαγή των επιπέδων προβολής, είναι απαραίτητο να εισαχθούν δύο επιπλέον επίπεδα στο σύστημα V, H.

Πρώτα (Εικ. 155, γ) μπαίνουμε σε τετράγωνο. ΜΙΚΡΟ, παράλληλα με το τμήμα BC (ο νέος άξονας S/H είναι παράλληλος με την προβολή bс), και κατασκευάζουμε τις προβολές b s c s και a s. Στη συνέχεια (Εικ. 155, δ) εισάγουμε ένα άλλο τετράγωνο. T, κάθετη στην ευθεία BC (ο νέος άξονας T/S είναι κάθετος στο b s με s). Κατασκευάζουμε προβολές ευθείας και σημείου - με t (b t) και a t. Η απόσταση μεταξύ των σημείων a t και c t (b t) είναι ίση με την απόσταση l από το σημείο A έως την ευθεία BC.

Στο Σχ. 155, δ, η ίδια εργασία επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο περιστροφής στη μορφή της, η οποία ονομάζεται μέθοδος παράλληλης κίνησης. Πρώτον, η ευθεία BC και το σημείο Α, διατηρώντας τη σχετική τους θέση αμετάβλητη, περιστρέφονται γύρω από κάποια (δεν φαίνεται στο σχέδιο) ευθεία κάθετη στο τετράγωνο. H, ώστε η ευθεία BC να είναι παράλληλη προς το τετράγωνο. V. Αυτό ισοδυναμεί με την κίνηση των σημείων A, B, C σε επίπεδα παράλληλα προς το τετράγωνο. Η. Ταυτόχρονα ο ορίζοντας. προβολή δεδομένο σύστημα(BC + A) δεν αλλάζει ούτε σε μέγεθος ούτε σε διαμόρφωση, αλλάζει μόνο η θέση του σε σχέση με τον άξονα x. Τοποθετούμε τον ορίζοντα. προβολή της ευθείας γραμμής BC παράλληλη στον άξονα x (θέση b 1 c 1) και προσδιορίστε την προβολή a 1, παραμερίζοντας c 1 1 1 = c-1 και a 1 1 1 = a-1, και a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Σχεδιάζοντας ευθείες γραμμές b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 παράλληλες στον άξονα x, βρίσκουμε την πρόσοψη πάνω τους. προβολές b" 1, a" 1, c" 1. Στη συνέχεια, μετακινούμε τα σημεία B 1, C 1 και A 1 σε επίπεδα παράλληλα στην περιοχή V (επίσης χωρίς να αλλάξουμε τις σχετικές θέσεις τους), έτσι ώστε να λάβουμε B 2 C 2 ⊥ περιοχή Η. Στην περίπτωση αυτή, η μπροστινή προβολή της ευθείας θα είναι κάθετη προς x,b άξονες 2 c" 2 = b" 1 c" 1, και για να κατασκευάσετε την προβολή a" 2 πρέπει να πάρετε το b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, να σχεδιάσετε 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 και αφήστε στην άκρη a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Τώρα, έχοντας περάσει με 1 με 2 και ένα 1 ένα 2 || x 1 λαμβάνουμε τις προεξοχές b 2 c 2 και a 2 και την επιθυμητή απόσταση l από το σημείο Α έως την ευθεία BC. Η απόσταση από το Α στο BC μπορεί να προσδιοριστεί περιστρέφοντας το επίπεδο που ορίζεται από το σημείο Α και την ευθεία BC γύρω από την οριζόντια του επιπέδου αυτού στη θέση Τ || pl. H (Εικ. 155, στ).

Στο επίπεδο που ορίζεται από το σημείο A και την ευθεία BC, σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή A-1 (Εικ. 155, g) και περιστρέψτε το σημείο B γύρω από αυτό. Το σημείο B μετακινείται στο τετράγωνο. R (καθορίζεται στο σχέδιο δίπλα στο R h), κάθετο στο A-1. στο σημείο Ο υπάρχει το κέντρο περιστροφής του σημείου Β. Τώρα προσδιορίζουμε τη φυσική τιμή της ακτίνας περιστροφής VO (Εικ. 155, γ). Στην απαιτούμενη θέση, δηλ. όταν πλ. Το T, που καθορίζεται από το σημείο Α και την ευθεία BC, θα γίνει || pl. H, το σημείο B θα βρίσκεται στο R h σε απόσταση Ob 1 από το σημείο O (μπορεί να υπάρχει άλλη θέση στο ίδιο ίχνος R h, αλλά στην άλλη πλευρά του O). Το σημείο β 1 είναι ο ορίζοντας. προβολή του σημείου Β αφού το μετακινήσετε στη θέση Β 1 στο διάστημα, όταν το επίπεδο που ορίζεται από το σημείο Α και την ευθεία BC έχει πάρει τη θέση Τ.

Σχεδιάζοντας (Εικ. 155, i) την ευθεία b 1 1, παίρνουμε τον ορίζοντα. προβολή της ευθείας π.Χ., που βρίσκεται ήδη || pl. Το H βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το A. Σε αυτή τη θέση, η απόσταση από το a έως το b 1 1 είναι ίση με την επιθυμητή απόσταση l. Το επίπεδο P, στο οποίο βρίσκονται τα δεδομένα στοιχεία, μπορεί να συνδυαστεί με το τετράγωνο. H (Εικ. 155, j), στροφή τετράγωνο. R γύρω της είναι ο ορίζοντας. ίχνος. Προχωρώντας από τον καθορισμό του επιπέδου με το σημείο A και την ευθεία BC στον καθορισμό των ευθειών BC και A-1 (Εικ. 155, l), βρίσκουμε ίχνη αυτών των ευθειών και σχεδιάζουμε ίχνη P ϑ και P h μέσα από αυτές. Χτίζουμε (Εικ. 155, m) σε συνδυασμό με την πλατεία. Η θέση μπροστά. ίχνος - P ϑ0 .

Μέσα από το σημείο α σχεδιάζουμε τον ορίζοντα. μετωπική προβολή? το συνδυασμένο μετωπικό διέρχεται από το σημείο 2 στο ίχνος P h παράλληλο στο P ϑ0. Σημείο Α 0 - σε συνδυασμό με τετράγωνο. H είναι η θέση του σημείου A. Ομοίως, βρίσκουμε το σημείο B 0. Απευθείας ήλιος σε συνδυασμό με τετράγωνο. Η θέση H διέρχεται από το σημείο B 0 και το σημείο m (οριζόντιο ίχνος της ευθείας).

Η απόσταση από το σημείο A 0 έως την ευθεία B 0 C 0 είναι ίση με την απαιτούμενη απόσταση l.

Μπορείτε να εκτελέσετε την υποδεικνυόμενη κατασκευή βρίσκοντας μόνο ένα ίχνος P h (Εικ. 155, n και o). Η όλη κατασκευή είναι παρόμοια με μια περιστροφή γύρω από μια οριζόντια (βλ. Εικ. 155, g, c, i): το ίχνος P h είναι μία από τις οριζόντιες pl. R.

Από τις μεθόδους που δίνονται για την επίλυση αυτού του προβλήματος, η προτιμώμενη μέθοδος μετασχηματισμού ενός σχεδίου είναι η μέθοδος περιστροφής γύρω από την οριζόντια ή μετωπική.

158. Δίνεται η πυραμίδα SABC (Εικ. 156). Προσδιορίστε τις αποστάσεις:

α) από την κορυφή Β της βάσης στην πλευρά της AC με τη μέθοδο της παράλληλης κίνησης.

β) από την κορυφή S της πυραμίδας προς τις πλευρές BC και AB της βάσης με περιστροφή γύρω από την οριζόντια.

γ) από την κορυφή S προς την πλευρά AC της βάσης αλλάζοντας τα επίπεδα προβολής.

159. Δίνεται πρίσμα (Εικ. 157). Προσδιορίστε τις αποστάσεις:

α) μεταξύ των νευρώσεων AD και CF με αλλαγή των επιπέδων προβολής.

β) μεταξύ των πλευρών BE και CF με περιστροφή γύρω από το μετωπιαίο.

γ) μεταξύ των ακμών AD και BE με παράλληλη κίνηση.

160. Προσδιορίστε το πραγματικό μέγεθος του τετράπλευρου ABCD (Εικ. 158) ευθυγραμμίζοντάς το με το τετράγωνο. N. Χρησιμοποιήστε μόνο το οριζόντιο ίχνος του επιπέδου.

161*. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ των διασταυρούμενων ευθειών AB και CD (Εικ. 159, α) και κατασκευάστε προβολές μιας κοινής κάθετης σε αυτές.

Λύση. Η απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης μετράται από ένα τμήμα (MN) κάθετο και στις δύο γραμμές (Εικ. 159, β). Προφανώς, αν μια από τις ευθείες τοποθετηθεί κάθετα σε οποιοδήποτε τετράγωνο. Τ, λοιπόν

το τμήμα ΜΝ που είναι κάθετο και στις δύο ευθείες θα είναι παράλληλο στο τετράγωνο. Η προβολή του σε αυτό το επίπεδο θα εμφανίσει την απαιτούμενη απόσταση. Προβολή της ορθής γωνίας της μενάδας MN n AB στο τετράγωνο. Το T αποδεικνύεται επίσης ότι είναι μια ορθή γωνία μεταξύ m t n t και a t b t , αφού μία από τις πλευρές της ορθής γωνίας είναι AMN, δηλαδή MN. παράλληλα με την πλατεία Τ.

Στο Σχ. 159, c και d, η απαιτούμενη απόσταση l προσδιορίζεται με τη μέθοδο αλλαγής των επιπέδων προβολής. Πρώτα εισάγουμε ένα επιπλέον τετράγωνο. προβολές S, κάθετες στο τετράγωνο. H και παράλληλη σε ευθεία γραμμή CD (Εικ. 159, γ). Στη συνέχεια εισάγουμε ένα άλλο πρόσθετο τετράγωνο. Τ, κάθετο στο τετράγωνο. S και κάθετα στην ίδια ευθεία CD (Εικ. 159, d). Τώρα μπορείτε να κατασκευάσετε μια προβολή της γενικής κάθετου σχεδιάζοντας m t n t από το σημείο c t (d t) κάθετο στην προβολή a t b t. Τα σημεία m t και n t είναι προβολές των σημείων τομής αυτής της καθέτου με ευθείες ΑΒ και ΓΔ. Χρησιμοποιώντας το σημείο m t (Εικ. 159, e) βρίσκουμε m s σε a s b s: η προβολή του m s n s πρέπει να είναι παράλληλη προς τον άξονα T/S. Στη συνέχεια, από τα m s και n s βρίσκουμε τα m και n στα ab και cd, και από αυτά m" και n" στα a"b" και c"d".

Στο Σχ. 159, c δείχνει τη λύση σε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παράλληλων κινήσεων. Αρχικά τοποθετούμε την ευθεία CD παράλληλα στο τετράγωνο. V: προβολή c 1 d 1 || Χ. Στη συνέχεια, μετακινούμε ευθείες γραμμές CD και AB από τις θέσεις C 1 D 1 και A 1 B 1 στις θέσεις C 2 B 2 και A 2 B 2 έτσι ώστε το C 2 D 2 να είναι κάθετο στο H: προβολή c" 2 d" 2 ⊥ Χ. Το τμήμα της ζητούμενης καθέτου βρίσκεται || pl. Το H, και επομένως το m 2 n 2 εκφράζει την επιθυμητή απόσταση l μεταξύ AB και CD. Βρίσκουμε τη θέση των προβολών m" 2, και n" 2 σε a" 2 b" 2 και c" 2 d" 2, μετά τις προβολές m 1 και m" 1, n 1 και n" 1, τέλος, οι προβολές m" και n ", m και n.

162. Δίνεται η πυραμίδα SABC (Εικ. 160). Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ της ακμής SB και της πλευράς AC της βάσης της πυραμίδας και κατασκευάστε προβολές μιας κοινής κάθετης σε SB και AC, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αλλαγής των επιπέδων προβολής.

163. Δίνεται η πυραμίδα SABC (Εικ. 161). Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ της ακμής SH και της πλευράς BC της βάσης της πυραμίδας και κατασκευάστε προβολές της κοινής καθέτου σε SX και BC χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παράλληλης μετατόπισης.

164*. Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Α στο επίπεδο σε περιπτώσεις όπου το επίπεδο καθορίζεται από: α) τρίγωνο BCD (Εικ. 162, α). β) ίχνη (Εικ. 162, β).

Λύση. Όπως γνωρίζετε, η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο μετριέται με την τιμή της κάθετου που σύρεται από το σημείο στο επίπεδο. Αυτή η απόσταση προβάλλεται σε οποιαδήποτε περιοχή. προβολές σε πλήρες μέγεθος, αν αυτό το επίπεδο είναι κάθετο στο τετράγωνο. προβολές (Εικ. 162, γ). Αυτή η κατάσταση μπορεί να επιτευχθεί μεταμορφώνοντας το σχέδιο, για παράδειγμα, αλλάζοντας την περιοχή. προβολές. Ας εισαγάγουμε πλ. S (Εικ. 16γ, δ), κάθετο στο τετράγωνο. τρίγωνο BCD. Για να το κάνουμε αυτό, ξοδεύουμε στην πλατεία. τρίγωνο οριζόντιο Β-1 και τοποθετήστε τον άξονα προβολής S κάθετα στην προβολή β-1 οριζόντια. Κατασκευάζουμε προβολές ενός σημείου και ενός επιπέδου - ένα s και ένα τμήμα c s d s. Η απόσταση από το a s έως το c s d s είναι ίση με την επιθυμητή απόσταση l του σημείου στο επίπεδο.

Στο Ρίο. 162, δ χρησιμοποιείται η μέθοδος της παράλληλης κίνησης. Μετακινούμε ολόκληρο το σύστημα μέχρι το οριζόντιο επίπεδο Β-1 να γίνει κάθετο στο επίπεδο V: η προβολή b 1 1 1 πρέπει να είναι κάθετη στον άξονα x. Σε αυτή τη θέση, το επίπεδο του τριγώνου θα γίνει μετωπικά προεξέχον και η απόσταση l από το σημείο Α σε αυτό θα είναι pl. V χωρίς παραμόρφωση.

Στο Σχ. 162, b το επίπεδο ορίζεται από ίχνη. Εισάγουμε (Εικ. 162, ε) ένα επιπλέον τετράγωνο. S, κάθετο στο τετράγωνο. P: Ο άξονας S/H είναι κάθετος στο P h. Τα υπόλοιπα είναι ξεκάθαρα από το σχέδιο. Στο Σχ. 162, g το πρόβλημα λύθηκε χρησιμοποιώντας μία κίνηση: pl. Το P μπαίνει στη θέση P 1, δηλαδή γίνεται μπροστινή προβολή. Πίστα. Το P 1h είναι κάθετο στον άξονα x. Κατασκευάζουμε το μπροστινό μέρος σε αυτή τη θέση του αεροπλάνου. το οριζόντιο ίχνος είναι το σημείο n" 1,n 1. Το ίχνος P 1ϑ θα περάσει από τα P 1x και n 1. Η απόσταση από το a" 1 έως το P 1ϑ είναι ίση με την απαιτούμενη απόσταση l.

165. Δίνεται η πυραμίδα SABC (βλ. Εικ. 160). Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Α έως την άκρη της πυραμίδας SBC χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παράλληλης κίνησης.

166. Δίνεται η πυραμίδα SABC (βλ. Εικ. 161). Προσδιορίστε το ύψος της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παράλληλης μετατόπισης.

167*. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης AB και CD (βλ. Εικ. 159,a) ως την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων που χαράσσονται μέσω αυτών των γραμμών.

Λύση. Στο Σχ. 163, και τα επίπεδα P και Q είναι παράλληλα μεταξύ τους, εκ των οποίων pl. Το Q τραβιέται μέσω CD παράλληλα με το AB, και το pl. P - μέσω ΑΒ παράλληλα προς το τετράγωνο. Ερ. Η απόσταση μεταξύ τέτοιων επιπέδων θεωρείται ότι είναι η απόσταση μεταξύ των ευθειών γραμμών AB και CD. Ωστόσο, μπορείτε να περιοριστείτε στην κατασκευή μόνο ενός επιπέδου, για παράδειγμα Q, παράλληλο στο AB, και στη συνέχεια να προσδιορίσετε την απόσταση τουλάχιστον από το σημείο Α σε αυτό το επίπεδο.

Στο Σχ. 163, c δείχνει το επίπεδο Q που σύρεται μέσα από το CD παράλληλο στο AB. σε προβολές που πραγματοποιούνται με «ε» || α"β" και ce || αβ. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αλλαγής πλ. προβολές (Εικ. 163, γ), εισάγουμε ένα επιπλέον τετράγωνο. S, κάθετο στο τετράγωνο. V και ταυτόχρονα

κάθετα στο τετράγωνο Ε. Για να σχεδιάσετε τον άξονα S/V, πάρτε το μετωπικό D-1 σε αυτό το επίπεδο. Τώρα σχεδιάζουμε S/V κάθετα στο d"1" (Εικ. 163, c). Πλ. Το Q θα απεικονίζεται στο τετράγωνο. S ως ευθεία με s d s. Τα υπόλοιπα είναι ξεκάθαρα από το σχέδιο.

168. Δίνεται η πυραμίδα SABC (βλ. Εικ. 160). Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ των πλευρών SC και AB Εφαρμόστε: 1) μέθοδο αλλαγής της περιοχής. προβολές, 2) μέθοδος παράλληλης κίνησης.

169*. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων, το ένα από τα οποία ορίζεται από ευθείες γραμμές AB και AC και το άλλο από ευθείες γραμμές DE και DF (Εικ. 164, α). Εκτελέστε επίσης κατασκευή για την περίπτωση που τα επίπεδα καθορίζονται με ίχνη (Εικ. 164, β).

Λύση. Η απόσταση (Εικ. 164, γ) μεταξύ των παράλληλων επιπέδων μπορεί να προσδιοριστεί σχεδιάζοντας μια κάθετο από οποιοδήποτε σημείο ενός επιπέδου σε ένα άλλο επίπεδο. Στο Σχ. 164, g εισήχθη ένα επιπλέον τετράγωνο. S κάθετο στο τετράγωνο. H και στα δύο δεδομένα επίπεδα. Ο άξονας S.H είναι κάθετος στην οριζόντια. οριζόντια προβολή σχεδιασμένη σε ένα από τα επίπεδα. Κατασκευάζουμε μια προβολή αυτού του επιπέδου και ένα σημείο σε άλλο επίπεδο στο τετράγωνο. 5. Η απόσταση του σημείου d s από την ευθεία l s a s είναι ίση με την απαιτούμενη απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων.

Στο Σχ. 164, δ δίνεται άλλη κατασκευή (σύμφωνα με τη μέθοδο της παράλληλης κίνησης). Προκειμένου το επίπεδο που εκφράζεται από τις τεμνόμενες ευθείες ΑΒ και AC να είναι κάθετο στο τετράγωνο. V, ορίζοντας. Θέτουμε την οριζόντια προβολή αυτού του επιπέδου κάθετα στον άξονα x: 1 1 2 1 ⊥ x. Απόσταση μεταξύ εμπρός προβολή d" 1 του σημείου D και ευθεία γραμμή a" 1 2" 1 (μπροστινή προβολή του επιπέδου) ισούται με την απαιτούμενη απόσταση μεταξύ των επιπέδων.

Στο Σχ. 164, το e δείχνει την εισαγωγή ενός επιπλέον τετραγώνου. S, κάθετο στο εμβαδόν H και στα δεδομένα επίπεδα P και Q (ο άξονας S/H είναι κάθετος στα ίχνη P h και Q h). Κατασκευάζουμε ίχνη P s και Q s. Η απόσταση μεταξύ τους (βλ. Εικ. 164, γ) είναι ίση με την επιθυμητή απόσταση l μεταξύ των επιπέδων P και Q.

Στο Σχ. 164, g δείχνει την κίνηση των επιπέδων P 1 n Q 1, στη θέση P 1 και Q 1, όταν ο ορίζοντας. τα ίχνη αποδεικνύονται κάθετα στον άξονα x. Απόσταση μεταξύ νέων μετώπων. τα ίχνη P 1ϑ και Q 1ϑ είναι ίσα με την απαιτούμενη απόσταση l.

170. Δίνεται το παραλληλεπίπεδο ABCDEFGH (Εικ. 165). Προσδιορίστε τις αποστάσεις: α) μεταξύ των βάσεων του παραλληλεπιπέδου - l 1; β) μεταξύ των όψεων ABFE και DCGH - l 2. γ) μεταξύ των όψεων του ADHE και του BCGF-l 3.