Από ένα αυθαίρετο σημείο, σχεδιάστε ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο. Διανύσματα Διανύσματα Ιστορικό υπόβαθρο Έννοια ενός διανύσματος Ισότητα διανυσμάτων Αναβολή ενός διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο Άθροισμα δύο διανυσμάτων Νόμοι της πρόσθεσης Αφαίρεση

Αν = (̅

- βάση

= (1, 2, 3) , τότε υπάρχει ένα σύνολο αριθμών(

...) έτσι ώστε

̅ + + ̅̅, όπου (

...) – συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση.

̅ с̅ = с̅ ̅

= ̅с ̅= − ̅ с̅

= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.

20. Να διατυπώσετε την ιδιότητα της γραμμικότητας ενός μικτού προϊόντος.

Για ένα μικτό προϊόν, η ιδιότητα της συσχέτισης σε σχέση με

πολλαπλασιάζοντας διανύσματα με έναν αριθμό: (λ ̅ )с̅

= λ(̅ с̅ ).

Για ένα μικτό προϊόν, η ιδιότητα διανομής ισχύει: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅

= ̅̅̅

̅с + ̅̅̅

Με.

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

(0 ;0 ;

– ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου 0 L στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων

παραμετρικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.

Η εξίσωση

− 0

− 0

− 0

που ονομάζεται κανονικές εξισώσειςκατευθείαν

χώρος.

27. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία του χώρου.

Εξισώσεις

− 1

− 1

− 1

ονομάζονται οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

παραλληλόγραμμο OA’CB’, επομένως = ′ + ′ . Διανυσματικό' και μη μηδενικό διάνυσμα̅

είναι συγγραμμικές και επομένως το πρώτο από αυτά μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας το δεύτερο επί

πραγματικός αριθμός α: ′ = . Ομοίως′ = , β R. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε, Τι

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= ′ + ′ , δηλ. vector̅ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων και. Σύμφωνα με το θεώρημα

̅ εξαρτώνται γραμμικά.

2.1 (σχετικά με τη γραμμική εξάρτηση των διανυσμάτων), διανύσματα ̅ ,

2. Να αποδείξετε το θεώρημα για την επέκταση ενός διανύσματος ως προς μια βάση.

Θεώρημα για την αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς μια βάση. Αν = (̅

- βάση

= (1, 2, 3), τότε

υπάρχει ένα σύνολο αριθμών (

...) τέτοια ώστε̅= ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅, όπου (

...) – συντεταγμένες

Θεωρήστε δύο διανύσματα ̅

και, που δίνονται από τις συντεταγμένες τους στη σωστή ορθοκανονική βάση

̅ = {

). Τότε γίνονται οι διαστολές αυτών των διανυσμάτων: ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Με βάση αυτά

υποβολές

αλγεβρικός

διανυσματικός πολλαπλασιασμός,

παίρνουμε

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

Έστω τα διανύσματα a, b, c που δίνονται από τις συντεταγμένες τους σε ορθή ορθοκανονική βάση: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). Για να βρείτε το ανάμεικτο προϊόν τους,

Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για να υπολογίσουμε τα βαθμωτά και διανυσματικά γινόμενα:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

Αν δίνεται το επίπεδο π ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες από τη γενική του εξίσωση

Ax + By + Cz + D = 0, τότε το κανονικό του διάνυσμα είναι το διάνυσμα με συντεταγμένες (A; B; C).

Έστω (0 , 0 , 0 ) και (1 , 1 , 1 ) οι συντεταγμένες των σημείων0

και 1. Τότε ισχύει η ισότητα

A 1 +B1 +C1 +D = 0, αφού το σημείο M1 ανήκει στο επίπεδο και οι συντεταγμένες μπορούν να βρεθούν

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

Διάνυσμα 1 0 :

1 0 = (0 − 1; 0 − 1; 0 − 1) . Γράψτε το βαθμωτό γινόμενο ̅ 1 0

μορφή συντεταγμένων και μετασχηματίζοντας (5.8), λαμβάνουμε

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

δουλειά. Αφήστε τις ευθείες γραμμές 1

και 2

κανονικές εξισώσεις. Από τότε που

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1, 2) μεταξύ των γραμμών:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Γνώσεις και δεξιότητες που αποκτήθηκαν στο αυτό το μάθημα, θα είναι χρήσιμο στους μαθητές όχι μόνο στα μαθήματα γεωμετρίας, αλλά και σε τάξεις άλλων επιστημών. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, οι μαθητές θα μάθουν να σχεδιάζουν ένα διάνυσμα από δεδομένο σημείο. Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα κανονικό μάθημα γεωμετρίας ή ένα εξωσχολικό ή δραστηριότητα επιλογήςμαθηματικά. Αυτή η εξέλιξηθα βοηθήσει τον δάσκαλο να εξοικονομήσει χρόνο προετοιμασίας για το μάθημα με θέμα «Καθυστέρηση ενός διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο». Θα είναι αρκετό για αυτόν να παίξει το βίντεο μάθημα στην τάξη και στη συνέχεια να ενισχύσει το υλικό με τη δική του επιλογή ασκήσεων.

Η διάρκεια του μαθήματος είναι μόνο 1:44 λεπτά. Αλλά αυτό αρκεί για να μάθουν οι μαθητές να σχεδιάζουν ένα διάνυσμα από ένα δεδομένο σημείο.

Το μάθημα ξεκινά με μια επίδειξη ενός διανύσματος, η αρχή του οποίου είναι σε ένα ορισμένο σημείο. Λένε ότι το διάνυσμα αναβάλλεται από αυτό. Στη συνέχεια, ο συγγραφέας προτείνει να αποδείξει μαζί του τη δήλωση σύμφωνα με την οποία από οποιοδήποτε σημείο είναι δυνατό να γραφτεί ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο και, επιπλέον, μοναδικό. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, ο συγγραφέας εξετάζει κάθε περίπτωση λεπτομερώς. Πρώτον, παίρνει την κατάσταση όταν το δεδομένο διάνυσμα είναι μηδέν, και δεύτερον, όταν το διάνυσμα είναι μη μηδενικό. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, χρησιμοποιούνται εικονογραφήσεις με τη μορφή σχεδίων και κατασκευών, μαθηματικών σημειώσεων, που σχηματίζουν μαθηματικό γραμματισμό σε μαθητές σχολείου. Ο συγγραφέας μιλάει αργά, επιτρέποντας στους μαθητές να κρατούν σημειώσεις παράλληλα ενώ σχολιάζουν. Η κατασκευή που πραγματοποίησε ο συγγραφέας κατά την απόδειξη της προηγουμένως διατυπωμένης δήλωσης δείχνει πώς από ένα ορισμένο σημείο μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο.

Εάν οι μαθητές παρακολουθήσουν προσεκτικά το μάθημα και κρατήσουν σημειώσεις ταυτόχρονα, θα μάθουν εύκολα την ύλη. Επιπλέον, ο συγγραφέας αφηγείται λεπτομερώς, μετρημένα και πλήρως. Εάν για κάποιο λόγο δεν ακούσατε κάτι, μπορείτε να επιστρέψετε και να παρακολουθήσετε ξανά το μάθημα.

Αφού παρακολουθήσετε το μάθημα βίντεο, συνιστάται να ξεκινήσετε την ενοποίηση του υλικού. Συνιστάται στον δάσκαλο να επιλέξει εργασίες για αυτό το θέμα για να εξασκήσει την ικανότητα να σχεδιάζει ένα διάνυσμα από ένα δεδομένο σημείο.

Αυτό το μάθημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτοδιδασκαλίαςθέματα από μαθητές. Αλλά για να το εμπεδώσετε, πρέπει να επικοινωνήσετε με τον δάσκαλο ώστε να επιλέξει τις κατάλληλες εργασίες. Άλλωστε, χωρίς εμπέδωση της ύλης, είναι δύσκολο να επιτευχθεί θετικό αποτέλεσμα στη μάθηση.

ov, πρώτα πρέπει να κατανοήσετε μια τέτοια έννοια όπως η αναβολή ενός διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο.

Ορισμός 1

Εάν το σημείο $A$ είναι η αρχή οποιουδήποτε διανύσματος $\overrightarrow(a)$, τότε το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ λέγεται ότι καθυστερεί από το σημείο $A$ (Εικ. 1).

Εικόνα 1. $\overrightarrow(a)$ σχεδιάστηκε από το σημείο $A$

Ας εισαγάγουμε το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα 1

Από οποιοδήποτε σημείο $K$ μπορεί κανείς να σχεδιάσει ένα διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ και, επιπλέον, μόνο ένα.

Απόδειξη.

Υπαρξη:Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που πρέπει να εξεταστούν εδώ:

Το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ είναι μηδέν.

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι προφανές ότι το επιθυμητό διάνυσμα είναι το διάνυσμα $\overrightarrow(KK)$.

Το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ δεν είναι μηδενικό.

Ας συμβολίσουμε με το σημείο $A$ την αρχή του διανύσματος $\overrightarrow(a)$ και με το σημείο $B$ το τέλος του διανύσματος $\overrightarrow(a)$. Ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή $b$ μέσω του σημείου $K$ παράλληλη με το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$. Ας σχεδιάσουμε τα τμήματα $\left|KL\right|=|AB|$ και $\left|KM\right|=|AB|$ σε αυτή τη γραμμή. Εξετάστε τα διανύσματα $\overrightarrow(KL)$ και $\overrightarrow(KM)$. Από αυτά τα δύο διανύσματα, το επιθυμητό θα είναι αυτό που θα συν-κατευθυνθεί με το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ (Εικ. 2)

Εικόνα 2. Απεικόνιση του Θεωρήματος 1

Μοναδικότητα:Η μοναδικότητα προκύπτει αμέσως από την κατασκευή που πραγματοποιήθηκε στο σημείο «ύπαρξης».

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Αφαίρεση διανυσμάτων. Κανόνας πρώτος

Ας μας δοθούν τα διανύσματα $\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(b)$.

Ορισμός 2

Η διαφορά δύο διανυσμάτων $\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(b)$ είναι ένα διάνυσμα $\overrightarrow(c)$ το οποίο, όταν προστεθεί στο διάνυσμα $\overrightarrow(b)$, δίνει το διάνυσμα $\ overrightarrow(a)$ , δηλαδή

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Ονομασία:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Ας εξετάσουμε την κατασκευή της διαφοράς μεταξύ δύο διανυσμάτων χρησιμοποιώντας το πρόβλημα.

Παράδειγμα 1

Έστω τα διανύσματα $\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(b)$. Κατασκευάστε το διάνυσμα $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Λύση.

Ας κατασκευάσουμε ένα αυθαίρετο σημείο $O$ και σχεδιάζουμε τα διανύσματα $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ από αυτό. Συνδέοντας το σημείο $B$ με το σημείο $A$, λαμβάνουμε το διάνυσμα $\overrightarrow(BA)$ (Εικ. 3).

Εικόνα 3. Διαφορά δύο διανυσμάτων

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου για την κατασκευή του αθροίσματος δύο διανυσμάτων, βλέπουμε ότι

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Από τον ορισμό 2, το καταλαβαίνουμε

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Απάντηση:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Από αυτό το πρόβλημα προκύπτει ο ακόλουθος κανόνας για την εύρεση της διαφοράς δύο διανυσμάτων. Για να βρείτε τη διαφορά $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, πρέπει να σχεδιάσετε τα διανύσματα $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) από ένα αυθαίρετο σημείο $O$ )$ και συνδέστε το τέλος του δεύτερου διανύσματος με το τέλος του πρώτου διανύσματος.

Αφαίρεση διανυσμάτων. Κανόνας δεύτερος

Ας θυμηθούμε την ακόλουθη έννοια που χρειαζόμαστε.

Ορισμός 3

Το διάνυσμα $\overrightarrow(a_1)$ ονομάζεται αυθαίρετο για το διάνυσμα $\overrightarrow(a)$ εάν αυτά τα διανύσματα είναι αντίθετα στην κατεύθυνση και έχουν ίσο μήκος.

Ονομασία:Το διάνυσμα $(-\overrightarrow(a))$ είναι το αντίθετο του διανύσματος $\overrightarrow(a)$.

Για να εισαγάγουμε τον δεύτερο κανόνα για τη διαφορά δύο διανυσμάτων, πρέπει πρώτα να εισαγάγουμε και να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 2

Για οποιαδήποτε δύο διανύσματα $\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(b)$ ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Απόδειξη.

Εξ ορισμού 2, έχουμε

Προσθέτουμε το διάνυσμα $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ και στα δύο μέρη, παίρνουμε

Εφόσον τα διανύσματα $\overrightarrow(b)$ και $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ είναι αντίθετα, τότε $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ overrightarrow (0)$. Εχουμε

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Από αυτό το θεώρημα λαμβάνουμε τον ακόλουθο κανόνα για τη διαφορά μεταξύ δύο διανυσμάτων: Για να βρούμε τη διαφορά $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, πρέπει να σχεδιάσουμε το διάνυσμα $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ από ένα αυθαίρετο σημείο $O$, στη συνέχεια, από το σημείο που προκύπτει $A$, σχεδιάστε το διάνυσμα $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ και συνδέστε την αρχή του πρώτου διανύσματος με το τέλος του δεύτερο διάνυσμα.

Παράδειγμα προβλήματος σχετικά με την έννοια της διανυσματικής διαφοράς

Παράδειγμα 2

Έστω ένα παραλληλόγραμμο $ADCD$ του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Εικ. 4). Εκφράστε τα ακόλουθα διανύσματα μέσω των διανυσμάτων $\overrightarrow(a)$ και $\overrightarrow(b)$:

α) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

β) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Εικόνα 4. Παραλληλόγραμμο

Λύση.

α) Εκτελούμε την πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, παίρνουμε

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Από τον πρώτο κανόνα για τη διαφορά δύο διανυσμάτων, παίρνουμε

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

β) Εφόσον $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, παίρνουμε

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Με το Θεώρημα 2, έχουμε

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου, τελικά έχουμε

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής στον Ευκλείδειο χώρο, το ένα άκρο του οποίου (σημείο Α) ονομάζεται αρχή του διανύσματος και το άλλο άκρο (σημείο Β) τέλος του διανύσματος (Εικ. 1). Οι φορείς ορίζονται:

Εάν η αρχή και το τέλος του διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμακαι ορίζεται 0 .

Παράδειγμα. Ας έχει συντεταγμένες η αρχή του διανύσματος στον δισδιάστατο χώρο ΕΝΑ(12.6) , και το τέλος του διανύσματος είναι οι συντεταγμένες σι(12.6). Τότε το διάνυσμα είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Μήκος τμήματος ΑΒπου ονομάζεται μονάδα μέτρησης (μήκος, ο κανόνας) διάνυσμα και συμβολίζεται με | ένα|. Διάνυσμα μήκους, ίσο με ένα, που ονομάζεται μονάδα διάνυσμα . Εκτός από τη μονάδα, το διάνυσμα χαρακτηρίζεται από κατεύθυνση: το διάνυσμα έχει κατεύθυνση από ΕΝΑΠρος την σι. Ένα διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα, απεναντι αποδιάνυσμα.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Στην εικόνα Εικ. Τα 3 κόκκινα διανύσματα είναι συγγραμμικά, γιατί βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τα μπλε διανύσματα είναι συγγραμμικά, γιατί βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες. Δύο συγγραμμικό διάνυσμαλέγονται εξίσου σκηνοθετημένο, αν τα άκρα τους βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας που συνδέει τις αρχές τους. Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα αντίθετα κατευθυνόμενη, αν τα άκρα τους είναι κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό την ευθεία που συνδέει την προέλευσή τους. Εάν δύο συγγραμμικά διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή, τότε ονομάζονται πανομοιότυπα κατευθυνόμενα εάν μία από τις ακτίνες που σχηματίζονται από το ένα διάνυσμα περιέχει πλήρως την ακτίνα που σχηματίζεται από το άλλο διάνυσμα. Διαφορετικά, τα διανύσματα λέγεται ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Στο Σχήμα 3, τα μπλε διανύσματα είναι εξίσου κατευθυνόμενα και τα κόκκινα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςεάν έχουν ίσες ενότητες και τις ίδιες κατευθύνσεις. Στο σχήμα 2, τα διανύσματα είναι ίσα επειδή Οι ενότητες τους είναι ίσες και έχουν την ίδια κατεύθυνση.

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδη, εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα.

ΣΕ nΣε ένα διανυσματικό χώρο, θεωρήστε το σύνολο όλων των διανυσμάτων των οποίων το σημείο εκκίνησης συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων. Τότε το διάνυσμα μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Οπου x 1 , x 2 , ..., x nδιανυσματικές συντεταγμένες τελικού σημείου Χ.

Ένα διάνυσμα γραμμένο με τη μορφή (1) ονομάζεται διάνυσμα σειράς, και το διάνυσμα γραμμένο με τη μορφή

που ονομάζεται διάνυσμα στήλης.

Αριθμός nπου ονομάζεται διάσταση (για να) διάνυσμα. Αν τότε καλείται το διάνυσμα μηδενικό διάνυσμα(από το σημείο εκκίνησης του διανύσματος ). Δύο φορείς ΧΚαι yείναι ίσα αν και μόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.

Το διάνυσμα είναι μια από τις βασικές γεωμετρικές έννοιες. Ένα διάνυσμα χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό (μήκος) και μια κατεύθυνση. Μπορεί να φανταστεί οπτικά ως ένα κατευθυνόμενο τμήμα, αν και όταν μιλάμε για ένα διάνυσμα, είναι πιο σωστό να εννοούμε μια ολόκληρη κατηγορία κατευθυνόμενων τμημάτων, τα οποία είναι όλα παράλληλα μεταξύ τους, έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση (Εικ. 1 ). Παραδείγματα φυσικών μεγεθών που είναι διανυσματικής φύσης είναι η ταχύτητα (ενός μεταφορικά κινούμενου σώματος), η επιτάχυνση, η δύναμη κ.λπ.

Η έννοια του διανύσματος εμφανίστηκε στα έργα του Γερμανού μαθηματικού του 19ου αιώνα. Ο G. Grassmann και ο Ιρλανδός μαθηματικός W. Hamilton. τότε έγινε εύκολα αποδεκτή από πολλούς μαθηματικούς και φυσικούς. Στα σύγχρονα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους αυτή η έννοια παίζει ζωτικός ρόλος. Τα διανύσματα χρησιμοποιούνται στην κλασική μηχανική του Galileo-Newton (στην σύγχρονη παρουσίαση), στη θεωρία της σχετικότητας, κβαντική φυσική, σε μαθηματικά οικονομικάκαι πολλά άλλα τμήματα της φυσικής επιστήμης, για να μην αναφέρουμε τη χρήση διανυσμάτων σε διάφορους τομείς των μαθηματικών.

Κάθε ένα από τα κατευθυνόμενα τμήματα που αποτελούν το διάνυσμα (Εικ. 1) μπορεί να ονομαστεί αντιπροσωπευτικό αυτού του διανύσματος. Ένα διάνυσμα του οποίου ο αντιπρόσωπος είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που πηγαίνει από σημείο σε σημείο συμβολίζεται με . Στο Σχ. 1 έχουμε, δηλ. και είναι το ίδιο διάνυσμα (του οποίου οι εκπρόσωποι είναι και τα δύο κατευθυνόμενα τμήματα που επισημαίνονται στο Σχ. 1). Μερικές φορές ένα διάνυσμα συμβολίζεται με ένα μικρό γράμμα με ένα βέλος: , .

Ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύεται από ένα κατευθυνόμενο «τμήμα» του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν ονομάζεται μηδέν. συμβολίζεται με , δηλ. . Δύο παράλληλα διανύσματα, που έχουν τα ίδια μήκη αλλά αντίθετες κατευθύνσεις ονομάζονται αντίθετα. Αν ένα διάνυσμα συμβολίζεται με , τότε το αντίθετό του διάνυσμα συμβολίζεται με .

Ας ονομάσουμε τις βασικές πράξεις που σχετίζονται με διανύσματα.

I. Καθυστέρηση ενός διανύσματος από ένα σημείο. Έστω κάποιο διάνυσμα και ένα σημείο. Μεταξύ των κατευθυνόμενων τμημάτων που είναι εκπρόσωποι του διανύσματος, υπάρχει ένα κατευθυνόμενο τμήμα που ξεκινά από το σημείο. Το άκρο αυτού του κατευθυνόμενου τμήματος ονομάζεται σημείο, που προκύπτει από τη γραφική παράσταση του διανύσματος από το σημείο (Εικ. 2). Αυτή η λειτουργία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ι1. Για οποιοδήποτε σημείο και κάθε διάνυσμα υπάρχει, και μόνο ένα, ένα σημείο για το οποίο .

Διάνυσμα προσθήκη. Έστω και είναι δύο διανύσματα. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο και ας σχεδιάσουμε το διάνυσμα από το σημείο, δηλ. ας βρούμε ένα σημείο τέτοιο που (Εικ. 3). Στη συνέχεια σχεδιάζουμε το διάνυσμα από το σημείο, δηλ. βρίσκουμε ένα σημείο τέτοιο ώστε . Ένα διάνυσμα ονομάζεται άθροισμα διανυσμάτων και συμβολίζεται με . Μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου, δηλ. αν αντικαταστήσετε με ένα άλλο σημείο, θα έχετε ένα διάνυσμα ίσο με (Εικ. 3). Από τον ορισμό του αθροίσματος των διανυσμάτων προκύπτει ότι για οποιαδήποτε τρία σημεία η ισότητα

I2:

(«κανόνας τριών σημείων»). Εάν τα μη μηδενικά διανύσματα δεν είναι παράλληλα, τότε είναι βολικό να βρείτε το άθροισμά τους χρησιμοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου (Εικ. 4).

II. Οι κύριες ιδιότητες του αθροίσματος των διανυσμάτων εκφράζονται με τις ακόλουθες 4 ισότητες (ισχύουν για οποιαδήποτε διανύσματα , , ):

II2. .

Σημειώστε επίσης ότι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων βρίσκεται βρίσκοντας διαδοχικά το άθροισμα δύο από αυτά. Για παράδειγμα: .

Ταυτόχρονα, ανεξάρτητα από τη σειρά που προσθέτουμε δεδομένων διανυσμάτων, το αποτέλεσμα (όπως προκύπτει από τις ιδιότητες που αναφέρονται στις παραγράφους II1 και II2) θα είναι πάντα το ίδιο. Για παράδειγμα:

Επιπλέον, γεωμετρικά, το άθροισμα πολλών διανυσμάτων μπορεί να ληφθεί ως εξής: είναι απαραίτητο να τοποθετηθούν κατευθυνόμενα τμήματα που είναι αντιπροσωπευτικά αυτών των διανυσμάτων το ένα μετά το άλλο (δηλαδή, έτσι ώστε η αρχή του δεύτερου κατευθυνόμενου τμήματος να συμπίπτει με το τέλος του πρώτου , η αρχή του τρίτου με το τέλος του δεύτερου, κ.λπ.) τότε διάνυσμα θα έχει ως αντιπρόσωπό του ένα «κλείσιμο» κατευθυνόμενο τμήμα που εκτείνεται από την αρχή του πρώτου έως το τέλος του τελευταίου (Εικ. 5). (Σημειώστε ότι εάν μια τέτοια διαδοχική εναπόθεση έχει ως αποτέλεσμα μια "κλειστή διανυσματική διακεκομμένη γραμμή", τότε .)

III. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό. Έστω μη μηδενικό διάνυσμα και μη μηδενικός αριθμός. Through υποδηλώνει ένα διάνυσμα που ορίζεται από τις ακόλουθες δύο συνθήκες: α) το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με ; β) το διάνυσμα είναι παράλληλο με το διάνυσμα και η διεύθυνση του συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος στο και αντίθετο από αυτό στο (Εικ. 6). Εάν τουλάχιστον μία από τις ισότητες είναι αληθής, τότε το γινόμενο θεωρείται ίσο με . Έτσι, το γινόμενο ορίζεται για οποιοδήποτε διάνυσμα και οποιονδήποτε αριθμό.

Οι ακόλουθες 4 ισότητες (ισχύουν για οποιαδήποτε διανύσματα και οποιουσδήποτε αριθμούς) εκφράζουν τις βασικές ιδιότητες της πράξης του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό:

III2. .

III3. .

Από αυτές τις ιδιότητες προκύπτει ένας αριθμός περαιτέρω γεγονόταπου σχετίζονται με τις εξεταζόμενες πράξεις σε διανύσματα. Ας σημειώσουμε μερικά από αυτά που χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων.

α) Αν είναι ένα σημείο στο τμήμα τέτοιο ώστε , τότε για οποιοδήποτε σημείο η ισότητα , συγκεκριμένα, εάν είναι το μέσο του τμήματος , τότε .

β) Αν είναι το σημείο τομής των διάμεσων του τριγώνου, τότε ; Επιπλέον, για οποιοδήποτε σημείο η ισότητα είναι αληθής (ισχύουν και τα αντίστροφα θεωρήματα).

γ) Έστω ένα σημείο σε μια ευθεία και έστω μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο σε αυτήν την ευθεία. Ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία αν και μόνο αν (όπου είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός).

δ) Έστω ένα σημείο στο επίπεδο και , είναι μη μηδενικά και μη παράλληλα διανύσματα παράλληλα σε αυτό το επίπεδο. Ένα σημείο ανήκει στο επίπεδο εάν και μόνο αν το διάνυσμα εκφράζεται με όρους και, δηλ. .

Τέλος, ας σημειώσουμε και την ιδιότητα της διάστασης, η οποία εκφράζει το γεγονός ότι ο χώρος είναι τρισδιάστατος.

IV. Στον χώρο υπάρχουν τρία διανύσματα , , , έτσι ώστε κανένα από αυτά δεν μπορεί να εκφραστεί ως προς τα άλλα δύο. οποιοδήποτε τέταρτο διάνυσμα εκφράζεται με βάση αυτά τα τρία διανύσματα: . ορίζεται από την ισότητα: υποδεικνύεται το βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος (και τότε η γωνία μεταξύ τους δεν καθορίζεται).

Οι ιδιότητες των διανυσματικών πράξεων που αναφέρονται παραπάνω είναι από πολλές απόψεις παρόμοιες με τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των αριθμών. Ταυτόχρονα, ένα διάνυσμα είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο και τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται για τον ορισμό διανυσματικών πράξεων: γεωμετρικές έννοιες, όπως το μήκος και η γωνία. Αυτό εξηγεί τη χρησιμότητα των διανυσμάτων για τη γεωμετρία (και τις εφαρμογές τους στη φυσική και σε άλλα γνωστικά πεδία). Ωστόσο, για να λυθεί γεωμετρικά προβλήματαΜε τη βοήθεια διανυσμάτων, πρέπει πρώτα απ 'όλα να μάθετε να "μεταφράζετε" την συνθήκη ενός γεωμετρικού προβλήματος σε μια διανυσματική "γλώσσα". Μετά από μια τέτοια "μετάφραση", πραγματοποιούνται αλγεβρικοί υπολογισμοί με διανύσματα και, στη συνέχεια, η προκύπτουσα διανυσματική λύση "μεταφράζεται" ξανά σε μια γεωμετρική "γλώσσα". Αυτή είναι η διανυσματική λύση σε γεωμετρικά προβλήματα.

Κατά την παρουσίαση ενός μαθήματος γεωμετρίας στο σχολείο, δίνεται ένα διάνυσμα ως προσδιορίσιμη έννοια (βλ. Ορισμός) και ως εκ τούτου η αξιωματική που υιοθετείται στο σχολικό εγχειρίδιο (βλ. Αξιωματική και αξιωματική μέθοδος) της γεωμετρίας δεν λέει τίποτα για τις ιδιότητες των διανυσμάτων, π.χ. όλες αυτές οι ιδιότητες πρέπει να αποδειχθούν ως θεωρήματα.

Υπάρχει, ωστόσο, ένας άλλος τρόπος παρουσίασης της γεωμετρίας, στον οποίο οι αρχικές (ακαθόριστες) έννοιες θεωρούνται διάνυσμα και σημείο και σημειώνονται οι ιδιότητες I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 παραπάνω λαμβάνονται ως αξιώματα. Αυτός ο τρόπος κατασκευής της γεωμετρίας προτάθηκε το 1917 από τον Γερμανό μαθηματικό G. Weyl. Εδώ οι ευθείες γραμμές και τα επίπεδα είναι οι καθορισμένες έννοιες. Το πλεονέκτημα αυτής της κατασκευής είναι η συντομία της και οργανική σύνδεσημε σύγχρονη αντίληψη της γεωμετρίας τόσο στα ίδια τα μαθηματικά όσο και σε άλλους γνωστικούς τομείς. Συγκεκριμένα, τα αξιώματα ΙΙ1-ΙΙ4, ΙΙΙ1-ΙΙΙ4 εισάγουν τον λεγόμενο διανυσματικό χώρο που χρησιμοποιείται στα σύγχρονα μαθηματικά, τη φυσική, τα μαθηματικά οικονομικά κ.λπ.

Δεν βρήκατε απάντηση στην ερώτησή σας; Κοιτάξτε εδώ

Makhorkin I.F. Ανακάλυψη και εξερεύνηση της Καμτσάτκα. Πότε και ποιος ανακάλυψε την Καμτσάτκα Ανακάλυψη της Καμτσάτκα

Ένα διαστημόπλοιο Star Wars και μια παλιά στολή Superman πουλήθηκαν σε δημοπρασία στις Ηνωμένες Πολιτείες

Zhdanov, Andrey Alexandrovich - σύντομη βιογραφία Συζητήσαμε με τον Zhdanov για την αιτία του θανάτου της συζύγου του