Η έννοια του ελκυστήρα. παράξενοι ελκυστές

Συστημική προσέγγιση στη γεωγραφία: ανάδυση και δομικός ισομορφισμός.

Εμφάνιση (eng. emergence - η εμφάνιση, η εμφάνιση ενός νέου) στη θεωρία συστημάτων - η παρουσία οποιουδήποτε συστήματος ειδικών ιδιοτήτων που δεν είναι εγγενείς στα υποσυστήματα και τα μπλοκ του, καθώς και το άθροισμα των στοιχείων που δεν συνδέονται με ειδικοί σύνδεσμοι σχηματισμού συστήματος. μη αναγωγιμότητα των ιδιοτήτων του συστήματος στο άθροισμα των ιδιοτήτων των συστατικών του. συνώνυμο - "συστημικό αποτέλεσμα".

Στη βιολογία και την οικολογία, η έννοια της ανάδυσης μπορεί να εκφραστεί ως εξής: ένα δέντρο δεν είναι δάσος, μια συσσώρευση μεμονωμένων κυττάρων δεν είναι οργανισμός. Για παράδειγμα, οι ιδιότητες ενός βιολογικού είδους ή βιολογικού πληθυσμού δεν αντιπροσωπεύουν τις ιδιότητες μεμονωμένων ατόμων, οι έννοιες της γονιμότητας, της θνησιμότητας, δεν ισχύουν για ένα άτομο, αλλά ισχύουν για έναν πληθυσμό ή ένα είδος ως σύνολο.

Στον εξελικισμό, εκφράζεται ως η εμφάνιση νέων λειτουργικών μονάδων του συστήματος, οι οποίες δεν περιορίζονται σε απλές μεταθέσεις ήδη υπαρχόντων στοιχείων.

Στην επιστήμη του εδάφους: η αναδυόμενη ιδιότητα του εδάφους είναι η γονιμότητα.

Στην ταξινόμηση των συστημάτων, η ανάδυση μπορεί να είναι η βάση της συστηματικής τους ως κριτήριο χαρακτηριστικό του συστήματος.

οι ιδέες του δομικού ισομορφισμού - η ταυτότητα της δομής χωρίς την ταυτότητα των στοιχείων του περιεχομένου - που έγιναν ευρέως διαδεδομένες στη γεωγραφία στα τέλη της δεκαετίας του '60 - αρχές της δεκαετίας του '70. 20ος αιώνας με φόντο τη νικηφόρα πορεία μιας συστηματικής προσέγγισης. Η δυνατότητα χρήσης της ίδιας εννοιολογικής και μαθηματικής συσκευής, για παράδειγμα, για την περιγραφή του μαιάνδρου ενός ποταμού και μιας αλλαγής στην ευθυγράμμιση ενός ομοσπονδιακού αυτοκινητόδρομου στις Ηνωμένες Πολιτείες (σε τελευταία περίπτωσηΕπίσης, υπάρχει μια σημαντική ανακάλυψη ιδιόμορφων όχθες ποταμών, που προέκυψε λόγω του πολύ υψηλότερου κόστους γης κοντά στον υπάρχοντα αυτοκινητόδρομο - βλέπε το βιβλίο του V. Bunge) είναι πολύ χρήσιμο από πρακτικούς όρους και ελκυστικό από θεωρητική άποψη.

Μία από τις βασικές ιδέες που δημοσιεύθηκε το 1962. Το βιβλίο του W. Bunge "Theoretical Geography" (ρωσική μετάφραση που δημοσιεύθηκε το 1967), ήταν ακριβώς η ιδέα του δομικού ισομορφισμού, που κατανοήθηκε ως η ταυτότητα των τρόπων χωρικής οργάνωσης γεωγραφικά φαινόμενατης πιο ποικιλόμορφης φύσης, μελετημένη τόσο από φυσική γεωγραφία όσο και από κοινωνικοοικονομική. Ο Bunge δανείστηκε με τόλμη ιδέες από τη γεωμορφολογία και τις εφάρμοσε στην περιγραφή των κοινωνικο-γεωγραφικών φαινομένων. Έχει γίνει μια σύγκριση σχολικού βιβλίου του μαιάνδρου του ποταμού και της αλλαγής της διαδρομής του ομοσπονδιακού αυτοκινητόδρομου, που επίσης αναγκάζεται να ξεπεράσει τις «επάλξεις του ποταμού» υψηλές τιμέςστο έδαφος.

Τα πιο κοινά μοντέλα αυτού του τύπου θα πρέπει να θεωρούνται τα μοντέλα βαρύτητας και εντροπίας.Τα μοντέλα που αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο της θεωρίας της διάχυσης των καινοτομιών γειτνιάζουν με την τελευταία. Όλα αυτά τα μοντέλα είναι δανεισμοί από διάφορους κλάδους της φυσικής - είτε πρόκειται για κλασική μηχανική είτε θερμοδυναμική - προκειμένου να χρησιμοποιήσουν τη μαθηματική συσκευή, για παράδειγμα, να μοντελοποιήσουν τις ροές επιβατών μεταξύ των πόλεων ανάλογα με τις δημογραφικές τους μάζες. Είναι σαφές ότι η χρήση τέτοιων μοντέλων απαιτεί τη βαθμονόμησή τους - την επιλογή σταθερών τιμών με βάση το πιο εκτεταμένο εμπειρικό υλικό και η προγνωστική τους αξία λόγω αυτής της περίστασης δεν είναι άνευ όρων.

Η έννοια του ελκυστήρα. παράξενοι ελκυστές.

Ελκυστής (Αγγλικά προσελκύω - προσελκύω, προσελκύω) - ένα σύνολο καταστάσεων (ακριβέστερα - σημεία του χώρου φάσης) ενός δυναμικού συστήματος, στο οποίο τείνει με την πάροδο του χρόνου. Έτσι, οι απλούστερες παραλλαγές του ελκυστήρα είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο (για παράδειγμα, στο πρόβλημα ενός εκκρεμούς με τριβή στον αέρα) και μια περιοδική τροχιά (ένα παράδειγμα είναι αυτοδιεγερμένες ταλαντώσεις σε βρόχο θετικής ανάδρασης), αλλά υπάρχουν επίσης πολύ πιο σύνθετα παραδείγματα.

Υπάρχουν διάφορες επισημοποιήσεις της έννοιας της φιλοδοξίας, η οποία οδηγεί σε διάφορους ορισμούςελκυστής, που ορίζει, αντίστοιχα, δυνητικά διαφορετικά σύνολα (συχνά φωλιασμένα το ένα στο άλλο). Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι ορισμοί είναι ο μέγιστος ελκυστήρας (συχνά στη μικρή του γειτονιά, βλέπε παρακάτω), ο ελκυστής Milnor και το σύνολο μη περιπλανώμενων.

Οι ελκυστήρες ταξινομούνται σύμφωνα με:

Τυποποιήσεις της έννοιας της αναρρόφησης: γίνεται διάκριση μεταξύ του μέγιστου ελκυστήρα, του μη περιπλανώμενου συνόλου, του ελκυστήρα Milnor, του κέντρου Birkhoff, του στατιστικού και του ελάχιστου ελκυστήρα.

Κανονότητες του ίδιου του ελκυστήρα: οι ελκυστήρες χωρίζονται σε κανονικούς (προσέλκυση σταθερού σημείου, έλξη περιοδικής τροχιάς, πολλαπλή) και περίεργους (ακανόνιστους - συχνά φράκταλ και/ή σε κάποιο τμήμα που διατάσσονται ως σύνολο Cantor· η δυναμική τους είναι συνήθως χαοτική).

Τοπικότητα ("ελκυστικό σύνολο") και σφαιρικότητα (εδώ - ο όρος "ελάχιστο" με την έννοια του "αδιαίρετου").

Η συνεργική επανάσταση οδήγησε σε βαθιές αλλαγές στην επιστημονική κοσμοθεωρία, πρώτα απ 'όλα, στη συγκρότηση της τελικής (τελεολογικής) εξήγησης ως ίσης με την αιτιακή (αιτιατική), που υπήρχε μόνο στην επιστήμη πριν από τη δημιουργία της κβαντικής μηχανικής. Ωστόσο, τότε η κατάρρευση της αιτιότητας επηρέασε μόνο τα φαινόμενα του μικρόκοσμου, μια περιοχή απείρως μακριά από τη δική μας. Καθημερινή ζωή. Η συνεργική επανάσταση οδήγησε στην επέκταση της τελικής εξήγησης στη μελέτη ορισμένων φαινομένων του μεσόκοσμου, δηλ. τον κόσμο στον οποίο ζούμε και που είναι προσβάσιμος στην καθημερινή μας εμπειρία. Ταυτόχρονα, είναι πολύ δύσκολο για εμάς να συνηθίσουμε στην ιδέα ότι η πορεία κάποιων διεργασιών δεν καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες, δηλ. αιτία, αλλά την τελική κατάσταση στην οποία επιδιώκουν. Αυτή η τελική κατάσταση ονομάζεται στη συνέργεια ελκυστής - η περιοχή έλξης της διαδικασίας.

Μια ενεργή συζήτηση των ιδεών του φιναλίστ που προήλθαν από τη βιολογία και την κοσμολογία κατέστησε δυνατή την αλλαγή του πνευματικού κλίματος στη γεωγραφία, να κλονίσει την άποψη για την αιτιακή (αιτιατική) εξήγηση ως τη μόνη δυνατή στην επιστήμη γενικά και στη γεωγραφία ειδικότερα. Αυτή η αλλαγή στο πνευματικό κλίμα άνοιξε το δρόμο για τη διείσδυση ιδεών συνεργειών, συμπεριλαμβανομένων των ιδεών για τον ελκυστήρα - την περιοχή έλξης της διαδικασίας. Πίσω στη δεκαετία του '60 του εικοστού αιώνα. Η ιδέα του περιορισμού (ισοτελείας) στην ανάπτυξη γιγάντων πόλεων έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη - αυτές οι πόλεις παρουσιάζουν ασύγκριτα περισσότερες ομοιότητες μεταξύ τους από εκείνες τις μικρές και μεσαίες πόλεις από τις οποίες αναπτύχθηκαν. Μια ανάλυση της ανάπτυξης δικτύων μεταφορών με τη χρήση μεθόδων θεωρίας γραφημάτων ή μια ανάλυση της ανάπτυξης συστημάτων αστικών οικισμών χρησιμοποιώντας τη θεωρία των κεντρικών τόπων είναι επίσης παραδείγματα προβλημάτων αυτής της κατηγορίας όπου οι πιο γόνιμες ιδέες για τον προσδιορισμό της διαδικασίας από τον τελική κατάσταση, και όχι οι αρχικές συνθήκες, σχετικά με την επιθυμία του για έναν ελκυστήρα, που είναι ιδανικό αντικείμενο της επιστημονικής θεωρίας. Και αν ο ελκυστής είναι άφταστος, αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι δεν υπάρχει.

Η σημασία για τη γεωγραφία θεωρητικών κατασκευών όπως μια πιθανή μορφή που καθορίζει την κατεύθυνση ανάπτυξης μεμονωμένων οργανισμών και την εξέλιξη των βιολογικών ειδών ή η τελική συμμετρία είναι πολύ μεγάλη και δεν πέρασε απαρατήρητη. Η αναλογία με τον κατάλογο των μορφών σταθερής εδαφικής οργάνωσης των κρατών, που στην πραγματικότητα αναπτύχθηκε από τον V.P. Semenov-Tyan-Shansky, και νωρίτερα από τη δημοσίευση του διάσημου έργου του L.S. Berg για την νομογένεση, είναι τόσο προφανής που δεν απαιτεί πρόσθετη επιχειρηματολογία. Σταματήστε σε λιγότερο προφανείς ιδέες. Πρώτα απ 'όλα, αυτές είναι οι ιδέες για τον περιορισμό (ισοτελικότητα) στην ανάπτυξη των γιγάντων πόλεων, που διατύπωσε ο P. Hagget στη δεκαετία του '60. Οι πόλεις αυτής της κατηγορίας παρουσιάζουν μια ασύγκριτα μεγαλύτερη ομοιότητα μεταξύ τους από τις μικρές πόλεις από τις οποίες έχουν αναπτυχθεί. Οι ίδιες τάσεις παρατηρούνται και στην ανάπτυξη των συστημάτων πόλεων. Συστήματα κεντρικών τόπων (η πόλη νοείται ως κεντρικός τόπος επειδή εξυπηρετεί όχι μόνο τον πληθυσμό της, αλλά και τον πληθυσμό της ζώνης της, όσο μεγαλύτερο είναι το επίπεδο ιεραρχίας στην οποία ανήκει) επίσης προσπαθούν στην ανάπτυξή τους σε ένα ορισμένο κατάσταση ισορροπίας, το λεγόμενο . ισοστατική ισορροπία, η οποία δρα σε σχέση με αυτά ως ελκυστήρας - η περιοχή έλξης της διαδικασίας

Παράδειγμα εξαιρετικά γόνιμης εφαρμογής τόσο της συσκευής της μη γραμμικής δυναμικής όσο και των ιδεολογικών της αρχών ήταν η ανάπτυξη της φαινομενολογικής θεωρίας της αύξησης του πληθυσμού της Γης από τον S.P. Kapitsa, η οποία επιτρέπει τόσο προοπτικές όσο και αναδρομικές προβλέψεις και συγκρίθηκε επιτυχώς με εμπειρικές πραγματικότητα με τη βοήθεια του τελευταίου. Το πιο σημαντικό συμπέρασμα από άποψη κοσμοθεωρίας είναι ότι η αύξηση του πληθυσμού της Γης δεν ρυθμίστηκε ποτέ από τη δράση εξωτερικοί παράγοντες, αλλά πάντα από άγνωστες εσωτερικές κανονικότητες. Η θέση αυτή επισημοποιήθηκε από τον δημιουργό της θεωρίας ως την αρχή της δημογραφικής επιταγής.

Η θεμελιώδης δυσκολία έγκειται στο γεγονός ότι όλες οι θεωρίες που έχουμε στο οπλοστάσιό μας έχουν αναπτυχθεί για να περιγράψουν διαδικασίες σε μια «οικονομική» κοινωνία, βασισμένη σε μια ακλόνητη πίστη στην οικονομική ισορροπία ως ελκυστήρα όλων των διαδικασιών που συμβαίνουν στην οικονομία, και εμείς τείνουν να θεωρούν τους κοινωνικούς κατακλυσμούς ως εξωτερικές διαταραχές που απομακρύνουν το σύστημα από μια κατάσταση ισορροπίας, στην οποία εξακολουθεί να προσπαθεί να επιστρέψει με την πρώτη ευκαιρία. Εν τω μεταξύ, ακόμη και στα ίδια τα οικονομικά, οι αμφιβολίες για την οικονομική ισορροπία καθώς η «φυσική» ή «κανονική» κατάσταση της οικονομίας εξαπλώνονται όλο και περισσότερο. Εκφράζονται, ειδικότερα, από οικονομολόγος με επιρροήκαι ένας κοινωνιολόγος όπως ο M.Castells. Η διατριβή του είναι ότι στην κοινωνία της πληροφορίας (με άλλα λόγια, στη «μεταοικονομική») κοινωνία, οι οικονομικές διαδικασίες δεν έχουν μόνο διαφορετική φύση, αλλά και διαφορετική κατεύθυνση. Κατά τη γνώμη του η εδαφική οργάνωση κοινωνία της Πληροφορίας, συμπεριλαμβανομένης της οργάνωσης του οικισμού, θα υποστούν τις πιο σημαντικές αλλαγές σε σύγκριση με τη βιομηχανική κοινωνία.

Ως αποτέλεσμα, οι γεωγράφοι θα πρέπει να αντιμετωπίσουν ασύγκριτα πιο σύνθετα προβλήματα από αυτά που είχαν αντιμετωπίσει στο παρελθόν: να αναζητήσουν όχι μόνο ελκυστήρες, δηλ. περιοχές έλξης των υπό μελέτη διαδικασιών, και παράξενοι ελκυστές, που είναι σύνθετες μη περιοδικές λύσεις. Ένα τέτοιο εγχείρημα δύσκολα μπορεί να λυθεί με τις προσπάθειες των ίδιων των γεωγράφων, χωρίς τη συνεργασία με φυσικούς και μαθηματικούς, τουλάχιστον μέχρι να μεγαλώσει μια γενιά γεωγράφων, που από το παγκάκι του μαθητή θα κυριαρχήσει στη μαθηματική συσκευή της συνεργίας. Το καθήκον μας είναι να δημιουργήσουμε εννοιολογικές βάσειςγια μια τέτοια συνεργασία, έχοντας αναπτύξει επιχειρησιακές θεωρίες που καθιστούν δυνατή την εφαρμογή στην ανάπτυξή τους, πρώτα, τον εννοιολογικό και στη συνέχεια τον μαθηματικό μηχανισμό συνεργειών.

Σε δευτ. Η ενότητα 5.1 αυτού του κεφαλαίου θα δείξει ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα διάχυσης οδηγούν φυσικά στην έννοια ενός παράξενου ελκυστήρα. Στη συνέχεια (Ενότητα 5.2) εισάγεται η εντροπία Kolmogorov ως λειτουργικό μέτρο χαοτικής κίνησης, μετά το οποίο (Ενότητα 5.3) εξετάζεται το πρόβλημα της ποσότητας πληροφοριών που μπορεί να ληφθεί από το μετρούμενο τυχαίο σήμα.

Σε δευτ. Το 5.4 συζητά την εμφάνιση ενός παράξενου ελκυστήρα στο μοντέλο Ruelle-Takens-Newhouse περιγράφοντας τη μετάβαση στην αναταραχή (σε χρόνο) και παρέχει κάποια πειραματική επιβεβαίωση αυτού του μοντέλου. Η επόμενη ενότητα περιέχει μια ερμηνεία της ομάδας επανακανονικοποίησης αυτού του μοντέλου μετάβασης στο χάος. Τελειώνει το κεφάλαιο κριτική κριτικήδιάφορα σενάρια μετάβασης και ένα σύνολο σχεδίων περίεργων ελκυστών και των φράκταλ ορίων τους.

5.1. Εισαγωγή και ορισμός περίεργων ελκυστών

Σε αυτή την ενότητα, εξετάζουμε τα συστήματα διάχυσης που περιγράφονται από ροές ή χαρτογραφήσεις. Ας εξετάσουμε πρώτα τις διασκορπιστικές ροές που περιγράφονται από ένα αυτόνομο σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης:

Εδώ ο όρος «διασκορπιστικός» σημαίνει ότι συμπιέζεται ένας στοιχειώδης όγκος V, που επιλέγεται αυθαίρετα στο χώρο φάσης, οριοθετημένος από την επιφάνεια S. Η επιφάνεια S εξελίσσεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε σημείο της να κινείται κατά μήκος της τροχιάς που ορίζεται από το (5.1). Ως εκ τούτου, από το θεώρημα της απόκλισης:

και στη συνέχεια, εξ ορισμού, συστήματα με

Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου ροής είναι το μοντέλο Lorentz:

για ποια από

δηλαδή ο στοιχειώδης όγκος συμπιέζεται εκθετικά στο χρόνο

Αν λάβουμε υπόψη την τροχιά που δημιουργείται από τις εξισώσεις του μοντέλου Lorentz στο (Εικ. 58), αποδεικνύεται ότι α) έλκεται από μια περιορισμένη περιοχή στο χώρο φάσης. β) η κίνησή του είναι περιπλανώμενη, δηλ. η τροχιά κάνει μια στροφή προς τα δεξιά, μετά πολλές στροφές προς τα αριστερά, μετά προς τα δεξιά, η τροχιά είναι πολύ ευαίσθητη σε μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες, δηλ., εάν αντί για συνθήκες ( 0; 0,01; 0) λαμβάνουμε στενές συνθήκες, η νέα λύση σύντομα θα αποκλίνει από την προηγούμενη και ο αριθμός των στροφών θα είναι διαφορετικός. Στο σχ. Το σχήμα 59 δείχνει ένα γράφημα της εξάρτησης του μέγιστου μιας μεταβλητής από. Η εμφάνιση που προκύπτει είναι περίπου τριγωνική, η οποία αντιστοιχεί, σύμφωνα με το Ch. 2, χαοτική ακολουθία

Ρύζι. 58. Υπολογισμένος με υπολογιστή ελκυστή Lorenz (Lanford, 1977).

Ρύζι. 59. Διαδοχικά μέγιστα της μεταβλητής Z του ελκυστήρα Lorenz (Lorenz, 1963).

Συνοψίζοντας: η τροχιά είναι ευαίσθητη στις αλλαγές στις αρχικές συνθήκες. χαώδης; έλκεται από μια περιορισμένη περιοχή στο χώρο φάσης. ο όγκος αυτής της περιοχής (σύμφωνα με το (5.4)) τείνει στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η ροή του τρισδιάστατου συστήματος Lorentz δημιουργεί ένα σύνολο σημείων των οποίων η διάσταση είναι μικρότερη από 3, δηλαδή ο όγκος του στον τρισδιάστατο χώρο είναι 0. Με την πρώτη ματιά, θα μπορούσε κανείς να του αντιστοιχίσει τον επόμενο ακέραιο αλλά μικρότερο διάσταση - 2. Ωστόσο, αυτό έρχεται σε αντίθεση με το θεώρημα Poincaré - Bendixson, ο οποίος δηλώνει ότι μια χαοτική ροή δεν μπορεί να υπάρξει σε μια περιορισμένη περιοχή του δισδιάστατου χώρου. Ας αναφερθούμε, για παράδειγμα, σε μια αυστηρή απόδειξη αυτού του θεωρήματος στη μονογραφία (Hirsch and Smale, 1965). Ρύζι. Το 60 δείχνει ότι η συνέχεια των γραμμών ροής και το γεγονός ότι η γραμμή ροής χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη περιορίζουν την τροχιά τόσο έντονα που οι οριακές κύκλοι και τα σταθερά σημεία είναι οι μόνοι πιθανοί ελκυστήρες στην απαγορευμένη περιοχή. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι το σύνολο των σημείων στα οποία έλκεται η τροχιά στο σύστημα Lorentz (ο λεγόμενος ελκυστής Lorentz) έχει διάσταση Hausdorff όχι ακέραιου αριθμού, αλλά μεταξύ 2 και 3 (η ακριβής τιμή Αυτό οδηγεί φυσικά στην έννοια ενός παράξενου ελκυστήρα, ο οποίος εμφανίζεται σε διάφορα φυσικά μη γραμμικά συστήματα.

παράξενος ελκυστήραςέχει τις ακόλουθες ιδιότητες (ένας επίσημος ορισμός μπορεί να βρεθεί σε άρθρα ανασκόπησης (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

α) είναι ένας ελκυστήρας, δηλ. καταλαμβάνει μια περιορισμένη περιοχή του χώρου φάσης στην οποία, μετά από πολύ

Ρύζι. 60. Αυτοσύλληψη μιας γραμμής εξορθολογισμού σε περιορισμένη περιοχή σε ένα αεροπλάνο. Η εκθετική απόκλιση των τροχιών έρχεται σε αντίθεση με τη συνέχεια (προσέξτε τις αντίθετες κατευθύνσεις των βελών).

Χρονικό διάστημα, έλκονται όλες οι αρκετά κοντινές τροχιές από τη λεγόμενη περιοχή έλξης. Σημειώστε ότι η περιοχή έλξης μπορεί να έχει πολύ περίπλοκη δομή (βλ. Εικ. Ενότητα 5.7). Επιπλέον, ο ίδιος ο ελκυστής αποτελείται, σαν να λέγαμε, από μία τροχιά, δηλαδή, η τροχιά πρέπει να διέρχεται από κάθε σημείο του ελκυστήρα με την πάροδο του χρόνου. Το σύνολο των μεμονωμένων σταθερών σημείων δεν είναι ένας μόνο ελκυστήρας.

β) η ιδιότητα που κάνει τον ελκυστήρα παράξενο είναι η ευαισθησία του στις αρχικές συνθήκες, δηλαδή, παρά τη συμπίεση του όγκου, δεν υπάρχει μείωση του μήκους προς όλες τις κατευθύνσεις και οι αποστάσεις μεταξύ αρχικά αυθαίρετα κοντινών σημείων στον ελκυστήρα γίνονται πεπερασμένες μετά από αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα . Όπως θα φανεί στην επόμενη ενότητα, αυτό οδηγεί σε μια θετική εντροπία Kolmogorov.

γ) για να περιγράψει ένα φυσικό σύστημα, ο ελκυστής πρέπει να είναι δομικά σταθερός και τυπικός. Με άλλα λόγια, μικρές αλλαγές στην παράμετρο στο F (βλ. (5.1)) αλλάζουν τη δομή του ελκυστήρα συνεχώς (παρακάτω θα χαρακτηρίσουμε τη δομή με περισσότερες λεπτομέρειες· τώρα εννοούμε, για παράδειγμα, τη διάσταση Hausdorff του ελκυστήρα) και το σύνολο των παραμέτρων για τις οποίες η (5.1) δημιουργεί παράξενο ελκυστήρα, δεν θα πρέπει να είναι ένα σύνολο μέτρου 0 - διαφορετικά ο ελκυστής δεν είναι τυπικός και φυσικά σημαντικός.

Όλοι οι περίεργοι ελκυστές που έχουν ανακαλυφθεί μέχρι τώρα έχουν μια κλασματική διάσταση Hausdorff. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει γενικά αποδεκτός επίσημος ορισμός ενός παράξενου ελκυστήρα (Ruelle, 1980· Mandelbrot, 1982), δεν είναι ακόμη σαφές εάν η κλασματικότητα της διάστασης Hausdorff προκύπτει πάντα από τις ιδιότητες "a" - "b" ή είναι επιπλέον απαραίτητη. για έναν παράξενο ελκυστήρα.

Συνήθως, ένας περίεργος ελκυστής προκύπτει όταν μια ροή φάσης συμπιέζει έναν στοιχειώδη όγκο σε ορισμένες κατευθύνσεις και τον τεντώνει σε άλλες. Προκειμένου να παραμείνει εντός της οριοθετημένης περιοχής, ο στοιχειακός όγκος αθροίζεται ταυτόχρονα. Αυτή η διαδικασία τάνυσης και αναδίπλωσης δημιουργεί μια χαοτική κίνηση της τροχιάς στον παράξενο ελκυστήρα, όπως ακριβώς συνέβη στην περίπτωση των τμηματικών γραμμικών χαρτογραφήσεων (Κεφάλαιο 2).

Εφόσον ο παραπάνω ορισμός περιγράφει τις ιδιότητες ενός συνόλου σημείων, η έννοια ενός παράξενου ελκυστήρα δεν περιορίζεται στις ροές: οι διασκορπιστικές χαρτογραφήσεις μπορούν επίσης να δημιουργήσουν περίεργους ελκυστήρες. Απεικόνιση

ονομάζεται διασκορπιστικός εάν οδηγεί σε συστολή όγκου στο χώρο της φάσης, δηλαδή εάν ο συντελεστής του Jacobian J, με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ο στοιχειώδης όγκος μετά την επανάληψη, είναι μικρότερος από 1:

Το θεώρημα Poincare-Bendixson, το οποίο περιορίζει τη διάσταση των παράξενων ελκυστών που δημιουργούνται από ροές σε τιμές μεγαλύτερες από δύο, δεν ισχύει για αντιστοιχίσεις. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αντιστοιχίσεις δημιουργούν διακριτά σημεία και οι περιορισμοί που σχετίζονται με τη συνέχεια αίρονται. Έτσι, οι διασκορπιστικές χαρτογραφήσεις μπορούν να οδηγήσουν σε παράξενους ελκυστές των οποίων η διάσταση είναι μικρότερη από 2.

Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε δύο παραδείγματα, τα οποία, λόγω της χαμηλότερης διάστασής τους, είναι ευκολότερο να απεικονιστούν από τον ελκυστήρα Lorentz.

Μεταμόρφωση Baker. Στο σχ. Το 61 δείχνει έναν συμβατικό μετασχηματισμό αρτοποιού, μια χαρτογράφηση που διατηρεί την περιοχή (που θυμίζει έναν αρτοποιό που απλώνει τη ζύμη) και έναν μετασχηματισμό αρτοποιού που δεν διατηρεί την περιοχή, που διαχέεται. Μαθηματικός

Ρύζι. 61. α - Ο μετασχηματισμός του Baker. β - διαχυτική μεταμόρφωση του αρτοποιού.

έκφραση για το τελευταίο

όπου a είναι ένας μετασχηματισμός που έχει ως αποτέλεσμα μια μετατόπιση Bernoulli. Ο εκθέτης του Lyapunov (σε x) που οδηγεί σε ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. το αντικείμενο που λαμβάνεται με την επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της χαρτογράφησης στο μοναδιαίο τετράγωνο είναι ένας παράξενος ελκυστής. Αυτός ο ελκυστήρας είναι μια άπειρη ακολουθία οριζόντιων γραμμών και η περιοχή έλξης του περιλαμβάνει όλα τα σημεία του τετραγώνου μονάδας. Ο εκθέτης Lyapunov προς την κατεύθυνση και προς αυτή την κατεύθυνση οι κλίμακες μειώνονται με τέτοιο τρόπο ώστε συνολικό αποτέλεσμα(έκταση και συρρίκνωση σε ) είναι η μείωση του όγκου που απαιτείται για μια διασκορπιστική χαρτογράφηση.

Η διάσταση Hausdorff DB ενός παράξενου ελκυστήρα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής. Στην κατεύθυνση, ο ελκυστήρας είναι απλώς μονοδιάστατος (όπως είναι ο χάρτης) στο Κεφ. 2). Η διάσταση Hausdorff στην κατεύθυνση y προκύπτει από τον ορισμό

και από την αυτο-ομοιότητα του ελκυστήρα κατά μήκος της κατακόρυφου (Εικ. 61, β). Αυτό δίνει

Ρύζι. 63. α - Εικόνα του ελκυστήρα Henon, χτισμένη σε 104 σημεία. Αρκετά διαδοχικά σημεία είναι αριθμημένα για να απεικονίσουν την περιπλανώμενη κίνηση στον ελκυστήρα. β, γ - μεγεθυμένες εικόνες τετραγώνων από προηγούμενα σχήματα. r - το ύψος κάθε στήλης - η σχετική πιθανότητα να βρεθεί ένα σημείο σε ένα από τα έξι φύλλα του προηγούμενου σχεδίου (Farmer, 1982a, b).

δομή ελκυστήρα. Διάσταση Hausdorff του ελκυστήρα Henon!) για . Αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει με την υπέρθεση ενός τετράγωνου πλέγματος με ένα κελί στο επίπεδο εμφάνισης και την καταμέτρηση του αριθμού των τετραγώνων που καταλαμβάνονται από σημεία και τον υπολογισμό!) Αν στο σχ. 63, σε ανάλυση που επιτρέπει να φαίνονται έξι "φύλλα", η σχετική πιθανότητα για κάθε φύλλο μπορεί να εκτιμηθεί απλά μετρώντας τον αριθμό των κουκκίδων σε αυτό. Το ύψος κάθε στήλης στο Σχ. 63, r είναι η σχετική πιθανότητα και το πλάτος είναι το πάχος του αντίστοιχου φύλλου.

Διάφορα ύψη στήλης στο σχ. 63d δείχνουν ότι ο ελκυστής Henon δεν είναι ομοιογενής. Αυτή η ανομοιογένεια δεν μπορεί να περιγραφεί από μια μεμονωμένη διάσταση Hausdorff, επομένως σε αυτό που ακολουθεί παρουσιάζουμε άπειρο σύνολοδιαστάσεις που χαρακτηρίζουν τη στατική δομή (δηλαδή την κατανομή των σημείων)

ελκυστής. Ωστόσο, πριν το κάνουμε αυτό, είναι χρήσιμο να συζητήσουμε την εντροπία Κολμογκόροφ, η οποία περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά ενός παράξενου ελκυστήρα.

Στα φυσικά συστήματα, η n-διάσταση μπορεί να είναι, για παράδειγμα, δύο ή τρεις συντεταγμένες, για ένα ή περισσότερα φυσικά αντικείμενα. στα οικονομικά συστήματα μπορεί να είναι ξεχωριστές μεταβλητές όπως το ποσοστό πληθωρισμού και το ποσοστό ανεργίας. Εάν η αναπτυσσόμενη μεταβλητή είναι δισδιάστατη ή τρισδιάστατη, ο ελκυστήρας της δυναμικής διαδικασίας μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά σε δύο ή τρεις διαστάσεις, (όπως, για παράδειγμα, στο σχήμα).

Εάν, κάτω από διαφορετικές αρχικές συνθήκες, όλες οι τροχιές μέσα χώρος φάσηςθα πάει στο άπειρο, αυτό θα δείξει ότι ένα τέτοιο σύστημα δεν έχει σταθερή κατάσταση.

Στην περίπτωση που όλα τελειώνουν σε ένα σημείο, δηλαδή το σύστημα θα έρθει σε μια συγκεκριμένη κατάσταση και δεν θα υπάρξουν άλλες αλλαγές σε αυτό, τότε ένα τέτοιο σημείο θα είναι ένα σημείο σταθερής κατάστασης. Μετά την έξοδο από αυτήν την κατάσταση, υπό τη δράση μιας βραχυπρόθεσμης διαταραχής, το σύστημα θα επιστρέφει πάντα στην ίδια κατάσταση.

Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι τροχιές τελειώνουν σε ένα σημείο, δηλαδή, όπως ήταν, έλκει όλες τις τροχιές φάσης προς τον εαυτό της με την πάροδο του χρόνου. Ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται ελκυστής (Αγγλικά to attract - "attract") του τύπου " σημείο έλξης". Η έννοια του ελκυστήρα είναι μια γενίκευση της έννοιας της ισορροπίας για πολύπλοκα συστήματα.

Ένας ελκυστής μπορεί να είναι ένα σημείο, ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων, μια καμπύλη, μια ετερογένεια ή ακόμα και μια πολύπλοκη δομή φράκταλ γνωστή ως παράξενος ελκυστήρας. Εάν η μεταβλητή είναι βαθμωτή, ο ελκυστής είναι ένα υποσύνολο της πραγματικής αριθμητικής γραμμής. Περιγράφοντας τον ελκυστήρα σε χαοτικά δυναμικά συστήματα, είναι ένα από τα επιτεύγματα της θεωρίας του χάους. Η τροχιά του δυναμικού συστήματος στον ελκυστήρα δεν ικανοποιεί ειδικούς περιορισμούς για τις υπόλοιπες εξαιρέσεις στον ελκυστήρα, προς τα εμπρός και προς τα πίσω στο χρόνο. Η τροχιά μπορεί να είναι περιοδική και χαοτική. Εάν το σύνολο των σημείων είναι περιοδικό ή χαοτικό, αλλά η ροή σε μια κοντινή περιοχή είναι μακριά από το σύνολο, το σύνολο δεν είναι ελκυστής, αλλά ονομάζεται ανακλαστήρας (ή απωθητής).

Έτσι, ο ελκυστήρας είναι συμπαγής υποσύνολο χώρου φάσηςδυναμικό σύστημα, όλες οι τροχιές από κάποια γειτονιά του οποίου τείνουν προς αυτό καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Ένας ελκυστής μπορεί να είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο (μια περιοδική τροχιά (ένα παράδειγμα είναι αυτοδιεγερμένες ταλαντώσεις σε βρόχο θετικής ανάδρασης) ή κάποια περιορισμένη περιοχή με ασταθείς τροχιές μέσα (όπως ένας παράξενος ελκυστής).

δυναμικό σύστημαΤο , κατά κανόνα, περιγράφεται από μία ή περισσότερες διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφοράς. Οι εξισώσεις ενός δεδομένου δυναμικού συστήματος υποδεικνύουν τη συμπεριφορά του σε σχέση με οποιαδήποτε δεδομένη σύντομη χρονική περίοδο. Για να προσδιοριστεί η συμπεριφορά ενός συστήματος για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα, οι εξισώσεις πρέπει να ενσωματωθούν είτε μέσω αναλυτικών μέσων είτε μέσω επανάληψης, συχνά με τη βοήθεια υπολογιστών. Τα δυναμικά συστήματα στον φυσικό κόσμο, κατά κανόνα, προκύπτουν ως αποτέλεσμα συστημάτων διάχυσης: αν δεν υπήρχε κινητήρια δύναμη κατά τη διάρκεια του χρόνου, η κίνηση θα σταματούσε. Η διασπορά μπορεί να προέλθει από εσωτερική τριβή, θερμοδυναμική ή απώλεια υλικού και πολλές άλλες αιτίες.

Οι δυνάμεις που διαχέονται και οι κινητήριες δυνάμεις είναι συνήθως ισορροπημένες, σκοτώνοντας τα αρχικά μεταβατικά και καθιζάνοντας το σύστημα στην τυπική του συμπεριφορά. Το υποσύνολο του χώρου φάσης ενός δυναμικού συστήματος που αντιστοιχεί στην τυπική συμπεριφορά είναι ο ελκυστής, γνωστός και ως ελκτικό τμήμα ή ελκυστής. Τα αναλλοίωτα σύνολα και τα σύνολα ορίων είναι παρόμοια με την έννοια του ελκυστήρα. Ένα αμετάβλητο σύνολο είναι ένα σύνολο που αναπτύσσεται από μόνο του υπό την επίδραση της δυναμικής. Οι ελκυστήρες μπορεί να περιέχουν αμετάβλητα σύνολα. Το οριακό σύνολο είναι το σύνολο των σημείων για τα οποία υπάρχει κάποια αρχική κατάσταση που τελειώνει αυθαίρετα κοντά στο οριακό σύνολο (δηλαδή σε κάθε σημείο του συνόλου) με το χρόνο στο άπειρο. Οι ελκυστές είναι σύνολα ορίων, αλλά δεν είναι όλα τα σύνολα ορίων ελκυστές: εάν είναι δυνατόν πολλά σημεία του συστήματος να συγκλίνουν σε οριακά σύνολα, αλλά διαφορετικά σημεία που διαταράσσονται λίγο από το σύνολο ορίων δεν μπορούν να τα επηρεάσουν. Για παράδειγμα, ένα αποσβεσμένο εκκρεμές έχει δύο αμετάβλητα σημεία: σημείο x0 ελάχιστου ύψους και σημείο x1 μέγιστο ύψος. Το σημείο x0 είναι επίσης ένα οριακό σύνολο, καθώς οι τροχιές συγκλίνουν σε αυτό. το σημείο x1 δεν είναι οριακό σύνολο. Λόγω της σκέδασης, το σημείο x0 είναι επίσης ελκυστικός. Εάν δεν υπάρχει σκέδαση, το x0 δεν θα είναι ελκυστής.

Μαθηματικός ορισμός

Έστω t αντιπροσωπεύει το χρόνο και ας η συνάρτηση f(t, ) καθορίζει τη δυναμική του συστήματος. Δηλαδή, εάν αυτά είναι n-διάστατα σημεία στο χώρο φάσης που αντιπροσωπεύουν την αρχική κατάσταση του συστήματος, τότε f (0, a) = a και, με θετική τιμή t, f (t, a) είναι το αποτέλεσμα του εξέλιξη αυτής της θέσης μετά από t μονάδες χρόνου. Για παράδειγμα, εάν το σύστημα περιγράφει την εξέλιξη ενός ελεύθερου σωματιδίου σε μία διάσταση, τότε ο χώρος φάσης είναι το επίπεδο R2 με συντεταγμένες (x, v), όπου x είναι η θέση του σωματιδίου, v είναι η ταχύτητά του, a = ( x, v) και η εξέλιξη δίνεται από

Ο ελκυστής είναι ένα υποσύνολο του χώρου φάσης και χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:

Ένα προς τα εμπρός είναι αμετάβλητο κάτω από t: εάν υπάρχει ένα στοιχείο A και t (t, a), για όλα τα t > 0 .

Υπάρχει μια γειτονική περιοχή του A, που ονομάζεται περιοχή έλξης για το A και συμβολίζεται με B(A) , η οποία αποτελείται από όλα τα σημεία b έτσι ώστε "να εισαγάγετε το A στο όριο t → ∞ ". Πιο τυπικά, το B(A) είναι το σύνολο όλων των σημείων b στον χώρο φάσης με την ακόλουθη ιδιότητα:

Για οποιοδήποτε ανοιχτό κοντά περιοχέςΝΚαι, υπάρχει μια θετική σταθερά t,

Δεν υπάρχει δικό του υποσύνολο που να έχει τις δύο πρώτες ιδιότητες.

Επειδή η περιοχή έλξηςπεριέχει ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει το Α, κάθε σημείο που είναι αρκετά κοντά στο Α έλκεται από το Α. Ο ορισμός του ελκυστήρα χρησιμοποιεί μια μέτρηση στο χώρο φάσης, αλλά η έννοια που προκύπτει συνήθως εξαρτάται μόνο από την τοπολογία του χώρου φάσης.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι ορισμοί του ελκυστήρα στη βιβλιογραφία. Για παράδειγμα, ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν ότι ο ελκυστής έχει θετικό μέτρο, άλλοι μειώνουν την ισχύ της απαίτησης ότι το Β(Α) είναι μια κοντινή περιοχή.

περιοδική έλξη 3 κύκλων και η περιοχή έλξης της. Τα τρία πιο σκοτεινά σημεία είναι σημεία 3 κύκλων που οδηγούν το ένα στο άλλο στην ακολουθία και η επανάληψη από οποιοδήποτε σημείο στην περιοχή έλξης οδηγεί στη (συνήθως ασυμπτωτική) σύγκλιση αυτής της ακολουθίας σε τρία σημεία.

Τύποι ελκυστών

Οι ελκυστήρες είναι μέρη ή υποσύνολα του χώρου φάσης ενός δυναμικού συστήματος. Μέχρι τη δεκαετία του 1960, οι ελκυστές δεν θεωρούνταν απλά γεωμετρικά υποσύνολα του χώρου φάσης, όπως σημεία, γραμμές, επιφάνειες και όγκοι. Πιο πολύπλοκοι ελκυστές που δεν μπορούν να ταξινομηθούν ως απλά γεωμετρικά υποσύνολα, όπως τοπολογικά σύνολα, ήταν γνωστοί εκείνη την εποχή, αλλά θεωρούνταν εύθραυστες ανωμαλίες. Ο Steven Smale μπόρεσε να δείξει ότι το πέταλο του (το πέταλο του Smale είναι το παράδειγμα του Steve Smale ενός δυναμικού συστήματος που έχει άπειρο αριθμό περιοδικών σημείων (και χαοτική δυναμική) και αυτή η ιδιότητα δεν καταρρέει κάτω από μικρές διαταραχές του συστήματος) ήταν αξιόπιστη και ότι ο ελκυστής του ήταν σαν μια δομή που θέτει ο Κάντορ. Δύο απλοί ελκυστήρες - ένα σταθερό σημείο και ένας οριακός κύκλος. Οι ελκυστήρες μπορούν να λάβουν πολλά άλλα γεωμετρικά σχήματα (υποσύνολα φάσεων). Όταν όμως αυτά τα σύνολα (ή κινήσεις σε αυτά) δεν μπορούν εύκολα να περιγραφούν ως απλοί συνδυασμοί (π.χ. τομή και ένωση) θεμελιωδών γεωμετρικών αντικειμένων (π.χ. γραμμές, επιφάνειες, μπάλες, τοροειδείς, συλλέκτες), τότε ο ελκυστής ονομάζεται παράξενος ελκυστής.

Οι ελκυστήρες ταξινομούνται σύμφωνα με:

1. Τυποποιήσεις της έννοιας της αναρρόφησης: γίνεται διάκριση μεταξύ του μέγιστου ελκυστήρα, του μη περιπλανώμενου συνόλου, του ελκυστήρα Milnor, του κέντρου Birkhoff, του στατιστικού και του ελάχιστου ελκυστήρα.
2. Κανονότητες του ίδιου του ελκυστήρα: οι ελκυστήρες χωρίζονται σε κανονικούς (προσέλκυση σταθερού σημείου, έλξη περιοδικής τροχιάς, πολλαπλή) και περίεργους (ακανόνιστους - συχνά φράκταλ και/ή σε κάποιο τμήμα που διατάσσονται ως σύνολο Cantor· η δυναμική τους είναι συνήθως χαοτική).
3. Τοπικότητα ("ελκυστικό σύνολο") και σφαιρικότητα (εδώ - ο όρος "ελάχιστο" με την έννοια του "αδιαίρετου").

οριακό κύκλοείναι η περιοδική τροχιά του συστήματος, η οποία είναι απομονωμένη. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το εκκρεμές ρολογιού, το κύκλωμα συντονισμού ραδιοφώνου και τον καρδιακό παλμό κατά την ανάπαυση. (Ο οριακός κύκλος ενός ιδανικού εκκρεμούς δεν είναι παράδειγμα ελκυστήρα οριακού κύκλου, επειδή οι τροχιές του δεν είναι απομονωμένες: στο χώρο φάσης ενός ιδανικού εκκρεμούς, όχι μακριά από οποιοδήποτε σημείο της περιοδικής τροχιάς, υπάρχει μια άλλη στιγμή που ανήκει σε άλλη περιοδική τροχιά.

πορτρέτο φάσης του van der Pol: έλξη οριακού κύκλου

όριο τόρου

Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία συχνότητες της περιοδικής τροχιάς του συστήματος μέσω της κατάστασης οριακού κύκλου. Για παράδειγμα, στη φυσική, μια συχνότητα μπορεί να υπαγορεύει την ταχύτητα με την οποία ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι, ενώ μια δεύτερη συχνότητα περιγράφει τη διακύμανση της απόστασης μεταξύ των δύο σωμάτων. Εάν δύο από αυτές τις συχνότητες σχηματίζουν ένα παράλογο κλάσμα (δηλαδή είναι ασύγκριτες), η τροχιά δεν κλείνει πλέον και ο οριακός κύκλος γίνεται οριακός δακτύλιος. Αυτός ο τύπος ελκυστήρα ονομάζεται Nt -torus εάν υπάρχουν Nt - ασύγκριτες συχνότητες. Για παράδειγμα, εδώ είναι ένα 2-torus:

Η χρονική σειρά που αντιστοιχεί σε αυτόν τον ελκυστήρα είναι μια οιονεί περιοδική σειρά: η διακριτικότητα δειγμάτων αθροισμάτων Nt-περιοδικών συναρτήσεων (όχι απαραίτητα ημιτονοειδές κύμα) με ασύγκριτες συχνότητες. Μια τέτοια χρονοσειρά δεν έχει αυστηρή περιοδικότητα, αλλά το φάσμα ισχύος της εξακολουθεί να αποτελείται μόνο από έντονες γραμμές.

παράξενος ελκυστήρας

Ένας ελκυστής λέγεται ότι είναι περίεργος αν έχει δομή φράκταλ. Αυτό συμβαίνει συχνά όταν η δυναμική σε αυτό είναι χαοτική, αλλά υπάρχουν και παράξενοι ελκυστές που δεν είναι χαοτικοί. Ο όρος επινοήθηκε από τους David Ruelle και Floris Takens, οι οποίοι περιέγραψαν έναν ελκυστήρα που προέκυψε από μια σειρά διακλαδώσεων ενός συστήματος που περιγράφει μια ροή ρευστού. Οι παράξενοι ελκυστήρες είναι συχνά διαφοροποιήσιμοι σε πολλές κατευθύνσεις, αλλά μερικοί, όπως η σκόνη του Cantor, δεν είναι διαφοροποιήσιμοι. Παράξενοι ελκυστήρες μπορούν επίσης να βρεθούν παρουσία θορύβου, όπου μπορούν να τοποθετηθούν για να υποστηρίξουν αμετάβλητα τυχαία μέτρα πιθανότητας τύπου Sinai-Ruel-Bowen. Παραδείγματα περίεργων ελκυστών περιλαμβάνουν, Ελκυστήρα Henon, Rössler ελκυστής , και Λόρεντζ ελκυστής.

Ελκυστήρας διπλής έλασης

Λόρεντζ ελκυστής

Μερικές Εξισώσεις

Τα παραβολικά PDE μπορούν να έχουν πεπερασμένες διαστάσεις ελκυστήρες. Το διάχυτο τμήμα της εξίσωσης σβήνει υψηλές συχνότητες, και σε ορισμένες περιπτώσεις οδηγεί σε παγκόσμιο ελκυστήρα. Οι εξισώσεις Ginzburg-Landau, Kuramoto-Sivashinsky και οι δισδιάστατες, εξαναγκασμένες εξισώσεις Navier-Stokes είναι γνωστό ότι οδηγούν σε παγκόσμιους ελκυστές πεπερασμένης διάστασης. Για μια τρισδιάστατη ασυμπίεστη εξίσωση Navier-Stokes με περιοδικές οριακές συνθήκες, εάν έχει έναν παγκόσμιο ελκυστήρα, τότε αυτός ο ελκυστής θα είναι πεπερασμένου μεγέθους.

Από υπολογιστική άποψη, οι ελκυστές μπορούν φυσικά να θεωρηθούν ως αυτοδιεγερμένοι ελκυστές ή κρυφοί ελκυστές. Αυτοδιεγερμένοι ελκυστέςμπορεί να εντοπιστεί αριθμητικά χρησιμοποιώντας τυπικές υπολογιστικές διαδικασίες, στις οποίες, μετά την ακολουθία μετάβασης, η τροχιά ξεκινά από ένα σημείο στην ασταθή πολλαπλότητα στο μικρή έκτασηασταθής ισορροπία που επιτυγχάνεται από έναν ελκυστήρα (όπως οι κλασικοί ελκυστήρες στους Van der Pol, Belousov-Zhabotinsky, Lorentz και πολλά άλλα δυναμικά συστήματα). Αντίθετα, η περιοχή έλξης ενός κρυφού ελκυστήρα δεν περιέχει μια περιοχή ισορροπίας, επομένως ένας κρυφός ελκυστής δεν μπορεί να εντοπιστεί χρησιμοποιώντας τυπικές υπολογιστικές διαδικασίες.

Χαοτικός κρυφός ελκυστής (πράσινος τομέας) στο σύστημα Chua. Τροχιές με αρχικά δεδομένα στη γειτονιά δύο σημείων (μπλε), συνήθως (κόκκινο βέλος) στο άπειρο ή συνήθως (μαύρο βέλος) σε ένα σταθερό σημείο μηδενικής ισορροπίας (πορτοκαλί).

Το λογισμικό που δημιουργεί παράξενους ελκυστές μπορεί δικαίως να θεωρηθεί Chaoscope, το οποίο είναι ένας τρισδιάστατος οπτικοποιητής παράξενων ελκυστών. Είναι δωρεάν, τρέχει στην πλατφόρμα Windows.

Ηλεκτρονική γεννήτρια περίεργων ελκυστών: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net

Σε μεγάλους κύκλους - μικρούς,

γεννώντας την ταχύτητα,

Και σε μικρά - όλο και μικρότερα,

Γεννώντας το ιξώδες.

(Λούις Φ. Ρίτσαρντσον)

Το πρόβλημα των αναταράξεων έχει πλούσια ιστορία. Όλοι οι μεγάλοι φυσικοί μπερδεύτηκαν με αυτό. Μια ομαλή ροή χωρίζεται σε μπούκλες και δινορεύματα. Οι τυχαίες κάμψεις καταστρέφουν τα όρια μεταξύ υγρής και στερεάς επιφάνειας. ενέργεια από μεγάλης κλίμακας κίνηση ρέει γρήγορα σε μικρούς στροβίλους. Γιατί; Ίσως το πιο πολύ έξυπνες ιδέεςπροτάθηκε από μαθηματικούς, ενώ οι περισσότεροι φυσικοί απλώς φοβούνταν να μελετήσουν τις αναταράξεις, κάτι που φαινόταν σχεδόν ακατανόητο. Απόδειξη αυτού είναι η ιστορία του Werner Heisenberg, ενός διάσημου επιστήμονα που σπούδασε κβαντική φυσική. Ο τελευταίος παραδέχτηκε στο νεκροκρέβατό του ότι θα ήθελε να κάνει στον Κύριο Θεό δύο ερωτήσεις - για τα θεμέλια της σχετικότητας και για την αιτία των αναταράξεων. «Νομίζω ότι ο Κύριος θα μου απαντήσει το πρώτο από αυτά», παρατήρησε ο Χάιζενμπεργκ.

Η θεωρητική φυσική και το φαινόμενο των αναταράξεων τελείωσαν το παιχνίδι ισόπαλο - η επιστήμη φαινόταν να σκόνταψε σε μια μαγεμένη γραμμή και να πάγωσε κοντά της. Κοντά στα μαγικά σύνορα, όπου η ύλη είναι ακόμα σταθερή, υπάρχει δουλειά που πρέπει να γίνει. Ευτυχώς, ένα υγρό που ρέει ομαλά δεν συμπεριφέρεται καθόλου σαν καθένα από τα αμέτρητα μόρια να κινείται ανεξάρτητα: σταγονίδια μιας υγρής ουσίας που βρίσκονταν κοντά στο σημείο εκκίνησης συνήθως παραμένουν κοντά το ένα στο άλλο, σαν άλογα σε λουρί. Οι υδραυλικοί μηχανικοί έχουν αρκετά αξιόπιστες εξισώσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά μιας τέτοιας στρωτής ροής: χρησιμοποιούν τη γνώση που συσσωρεύτηκε τον 19ο αιώνα, όταν η κίνηση υγρών και αερίων ήταν ένα από τα κύρια προβλήματα της φυσικής επιστήμης.

Μέχρι την εποχή μας, αυτό το πρόβλημα έχει ήδη περάσει στη σκιά, και ακόμη και τα πιο βαθιά μυαλά πίστευαν ότι δεν είχαν απομείνει μυστικά στη δυναμική των υγρών, εκτός από ένα άγνωστο ακόμη και στον ουρανό. Από την πρακτική πλευρά, όλα φαίνονταν τόσο ξεκάθαρα που με ανάλαφρη καρδιά μπορούσε να αφεθεί στο έλεος των ειδικών τεχνικών. Σύμφωνα με τους φυσικούς, η δυναμική των ρευστών έχει εξελιχθεί από επιστημονικό πρόβλημα σε μηχανικό. Οι νέοι διαφωτιστές των φυσικών βρήκαν ήδη κάτι να κάνουν και οι ερευνητές της δυναμικής των ρευστών συναντήθηκαν μόνο στις τεχνικές σχολές των πανεπιστημίων. Ωστόσο, μεταξύ των ασκούμενων, το ενδιαφέρον για τις αναταράξεις ήταν κάπως μονόπλευρο και συνοψίστηκε στον τρόπο εξάλειψης αυτού του φαινομένου. Μερικές φορές οι αναταράξεις είναι ακόμη επιθυμητές (όπως, για παράδειγμα, σε έναν κινητήρα τζετ, όπου η αποτελεσματική καύση εξαρτάται από τον γρήγορο σχηματισμό μείγματος), αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις ισοδυναμεί με καταστροφή. Ταραχώδης ροή αέρα, ενεργώντας στο φτερό του αεροσκάφους, δυσκολεύει την απογείωση. Η τυρβώδης ροή μέσα στον αγωγό πετρελαίου καθυστερεί την κίνηση του ρευστού. Οι κυβερνήσεις και οι εταιρείες επενδύουν πολλά σε αεροσκάφη, κινητήρες στροβίλου, έλικες, υποβρύχια και άλλες παρόμοιες συσκευές που κινούνται μέσω υγρών ή αέριων μέσων. Οι ερευνητές ενδιαφέρονται για τη ροή του αίματος στα αγγεία και τις καρδιακές βαλβίδες, ανησυχούν για τα δινορεύματα και τις δίνες, τις φλόγες και τα ωστικά κύματα από εκρήξεις. διάφοροι τύποι. Πιστεύεται ότι πυρηνικοί φυσικοί συμμετείχαν στο έργο της ατομικής βόμβας κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου, αλλά στην πραγματικότητα, όλα τα ζητήματα που σχετίζονται με την πυρηνική φυσική επιλύθηκαν πριν ξεκινήσουν οι εργασίες και οι πτυχές του αερίου και της υδροδυναμικής αντιμετωπίστηκαν στο Los Alamos.

Τι είναι αναταράξεις; Πλήρης αταξία σε όλες τις κλίμακες, μικροσκοπικοί ανεμοστρόβιλοι μέσα σε τεράστιες δίνες. Οι αναταράξεις είναι ασταθείς και τον υψηλότερο βαθμόδιαχυτικό, δηλαδή έχει την ικανότητα να επιβραδύνει την κίνηση, εξαντλώντας την ενέργεια. Είναι η ουσία της άτακτης κίνησης. Αλλά ακόμα πωςΑλλάζει η ροή του υγρού από ομαλή σε τυρβώδη; Φανταστείτε έναν άψογα λείο κοίλο σωλήνα, μια εξαιρετικά σταθερή πηγή παροχής νερού και ολόκληρη η δομή είναι καλά προστατευμένη από τους κραδασμούς. Τώρα αναρωτηθείτε: πώς μπορεί να εμφανιστεί κάτι άτακτο στο ρεύμα που ρέει μέσα στον σωλήνα;

Όλοι οι κανόνες φαίνεται να αποτυγχάνουν εδώ. Όταν η ροή είναι ομαλή, ή στρωτή, μικρές διαταραχές εξαφανίζονται, αλλά αμέσως μετά την εμφάνιση αναταράξεων, ο αριθμός τους αυξάνεται απότομα, δίνοντας στην επιστήμη ένα νέο αίνιγμα. Η κοίτη του ρέματος στους πρόποδες του γκρεμού μετατρέπεται σε μια δίνη που μεγαλώνει, διασπάται και στροβιλίζεται καθώς το νερό κινείται προς τα κάτω, και μια στρώση καπνού τσιγάρου που κουλουριάζεται ήσυχα στον αέρα, υψώνεται πάνω από το τασάκι, ξαφνικά επιταχύνεται και, έχοντας έφτασε σε κρίσιμη ταχύτητα, σπάει σε θυελλώδεις ανεμοστρόβιλους. Το κατώφλι αναταράξεων μπορεί να παρατηρηθεί και να μετρηθεί κατά τη διάρκεια εργαστηριακά πειράματα; δοκιμάζεται για κάθε πτέρυγα ή έλικα αεροσκάφους σε δοκιμή αεροδυναμικής σήραγγας. Ωστόσο, είναι δύσκολο να αποτυπωθεί η φύση του. Κατά κανόνα, τα ληφθέντα δεδομένα στερούνται καθολικότητας - η μελέτη με δοκιμή και σφάλμα της πτέρυγας Boeing 707 δεν δίνει τίποτα για το σχεδιασμό της πτέρυγας του μαχητικού F-16. Ακόμη και οι υπερυπολογιστές είναι σχεδόν αβοήθητοι μπροστά στη χαοτική κίνηση της ύλης.

Ας φανταστούμε ότι κάτι τινάζει το υγρό, προκαλώντας κύματα μέσα του. Το υγρό έχει ιξώδες, και για το λόγο αυτό, η ενέργεια που του μεταδίδεται όταν ανακινείται έξω από αυτό. Εάν σταματήσετε να ανακινείτε το υγρό, θα ξεκουραστεί. Τι συμβαίνει όταν ανακινείτε το υγρό; Ως αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας, η ενέργεια χαμηλής συχνότητας μεταδίδεται στο υγρό, οι χαμηλές συχνότητες μετατρέπονται σε υψηλότερες, δημιουργώντας όλο και πιο γρήγορα δινορεύματα. Αυτή η διαδικασία, η οποία οδηγεί στη διάχυση της ενέργειας του υγρού, εξετάστηκε από τον A. N. Kolmogorov στη δεκαετία του 1930. Ανέπτυξε μια μαθηματική περιγραφή της δυναμικής των στροβιλισμών, εξετάζοντάς τες σε όλο και μικρότερη κλίμακα - μέχρι που έφτασε στο όριο στο οποίο οι δίνες έγιναν τόσο μικροσκοπικές που το ιξώδες της ουσίας δεν τις επηρέαζε πλέον.

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, ο Kolmogorov φαντάστηκε ότι ολόκληρο το ρευστό αποτελείται από μικρές ροές δίνης και, επομένως, είναι το ίδιο παντού. Μια τέτοια υπόθεση ομοιογένειας είναι εσφαλμένη, όπως μάντεψε ο Πουανκαρέ πριν από σαράντα χρόνια, όταν παρατήρησε στροβιλιζόμενο νερό σε ένα ταραγμένο ποτάμι, διάσπαρτο με τμήματα μιας ήρεμης ροής. Έτσι, η αστάθεια της ροής είναι τοπική και η ενέργεια στην πραγματικότητα διαχέεται μόνο σε ένα μέρος του χώρου. Εάν εξετάσετε προσεκτικά την τυρβώδη ροή σε οποιαδήποτε κλίμακα, θα παρατηρήσετε ότι εντοπίζονται όλο και περισσότερες νέες περιοχές ήρεμης ροής. Έτσι, η υπόθεση της ομοιογένειας δίνει τη θέση της στην υπόθεση της ασυνέχειας. Αυτή η κάπως εξιδανικευμένη περιγραφή εμφανίζεται εξαιρετικά φράκταλ, με εναλλασσόμενες τυρβώδεις και ομαλές ζώνες που είναι αισθητές σε οποιαδήποτε κλίμακα, από μεγάλη έως μικρή. Αλλά αυτή η εικόνα, ως ένα βαθμό, δεν είναι μια πλήρης αντανάκλαση της πραγματικότητας.

Πολύ κοντά σε αυτό που διατυπώθηκε παραπάνω, αλλά ταυτόχρονα ανεξάρτητο είναι το ερώτημα του τι συμβαίνει με την έναρξη των αναταράξεων. Πώς η ροή του ρευστού διασχίζει το όριο μεταξύ ομαλής και τυρβώδους; Ποια ενδιάμεσα στάδια θα περάσει η αναταραχή προτού γίνει πλήρως αισθητή; Αυτά τα ερωτήματα απαντήθηκαν από μια θεωρία που φαινόταν αρκετά λογική. Αυτό το γενικά αποδεκτό παράδειγμα οφείλει την εμφάνισή του στον Lev Davidovich Landau, τον σπουδαίο Ρώσο επιστήμονα, του οποίου οι εξελίξεις στον τομέα της υδροδυναμικής θεωρούνται ακόμη μια από τις κορυφές της φυσικής επιστήμης. Το μοντέλο του Landau είναι ένας σωρός από ανταγωνιστικές δίνες. Πρότεινε ότι όταν μπαίνει περισσότερη ενέργεια στο σύστημα, κάθε στιγμή εμφανίζεται μια νέα συχνότητα που δεν είναι συμβατή με την προηγούμενη, σαν μια χορδή βιολιού να ανταποκρίνεται σε μια αύξηση της κίνησης του τόξου εκπέμποντας έναν δεύτερο παράφωνο τόνο. και μετά ένα τρίτο, τέταρτο κ.λπ., μέχρι να ενωθούν οι ήχοι σε μια ακατανόητη κακοφωνία.

Οποιοδήποτε υγρό ή αέρια ουσίαείναι μια συλλογή μεμονωμένων σωματιδίων-μορίων, ο αριθμός των οποίων είναι τόσο μεγάλος που μπορεί να φαίνεται άπειρος. Εάν κάθε σωματίδιο επρόκειτο να κινηθεί μόνο του, θα υπήρχαν άπειρες παραλλαγές ρευστής κίνησης (επιστημονικά μιλώντας, άπειροι "βαθμοί ελευθερίας") και οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση θα περιλάμβαναν άπειρο αριθμό μεταβλητών. Ωστόσο, τίποτα τέτοιο δεν συμβαίνει: η κίνηση κάθε μορίου εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την κίνηση των γειτόνων του και μπορεί να υπάρχουν μόνο λίγοι βαθμοί ελευθερίας (τουλάχιστον σε μια ήρεμη ροή). Οι δυνητικά πολύπλοκες κινήσεις παραμένουν συζευγμένες, τα κοντινά σωματίδια δεν αποκλίνουν καθόλου ή αποκλίνουν ομαλά και γραμμικά, σχηματίζοντας τακτοποιημένες γραμμές στις φωτογραφίες της αεροσήραγγας. Τα σωματίδια στο μαλλί του καπνού του τσιγάρου ανεβαίνουν επίσης ως σύνολο για λίγο.

Έπειτα υπάρχει αγανάκτηση, μια ποικιλία από μυστηριώδεις ταραχώδεις παρορμήσεις. Μερικές φορές τέτοιες κινήσεις έλαβαν ακόμη και ονόματα: "ταλαντωτής", "διασταυρούμενος κύλινδρος", "κόμπος", "ζιγκ-ζαγκ", "διογκωμένες φλέβες" (που συμβαίνουν με κιρσούς). Σύμφωνα με τον Landau, οι αναδυόμενες ασταθείς κινήσεις απλώς συσσωρεύτηκαν, επικαλύπτοντας η μία την άλλη και δημιουργώντας έτσι πηνία με εν μέρει συμπίπτουσες ταχύτητες και μεγέθη. Θεωρητικά, ένα τέτοιο συμβατικό μοντέλο αναταράξεων φαινόταν να ταιριάζει πραγματικά γεγονότα, και η αχρηστία του από τη σκοπιά των μαθηματικών φάνηκε μέσα από τα δάχτυλα. Έτσι, ο Λαντάου, έχοντας κατασκευάσει ένα άλυτο με μαθηματικό σημείοάποψη του μοντέλου, διατήρησε την αξιοπρέπειά του ως επιστήμονα, αλλά κατά την άποψη της πρακτικής ήταν μια πλήρης χρεοκοπία.

Ας φανταστούμε ότι το νερό με ένα ελαφρύ σφύριγμα ρέει αργά μέσα από ένα σωλήνα ή ρέει μέσα σε έναν κύλινδρο. Αυξήστε διανοητικά την πίεση, προκαλώντας έτσι την εμφάνιση ρυθμικών ταλαντώσεων μπρος-πίσω. Το υγρό χτυπά αργά στα τοιχώματα του σωλήνα. Πατήστε ξανά το κουμπί της φανταστικής συσκευής, αυξάνοντας την πίεση. Δεν είναι γνωστό πού θα εμφανιστεί η δεύτερη συχνότητα, η οποία δεν συνάδει με την πρώτη. Δυσαρμονικοί ρυθμοί, σαν να ανταγωνίζονται, επικαλύπτονται μεταξύ τους και τώρα έχει ήδη εμφανιστεί μια αρκετά περίπλοκη κίνηση: τα κύματα χτυπούν τα τοιχώματα του σωλήνα, ανακατεύοντας το ένα με το άλλο έτσι ώστε να είναι αδύνατο να πιάσουμε τον ρυθμό τους. Καθώς η πίεση αυξάνεται, εμφανίζεται μια τρίτη, μετά μια τέταρτη, μια πέμπτη, μια έκτη συχνότητα και δεν αντιστοιχούν όλες μεταξύ τους, με αποτέλεσμα η ροή να γίνεται εξαιρετικά περίπλοκη. Ίσως αυτό είναι αναταράξεις. Οι φυσικοί αποδέχθηκαν αυτή την εξήγηση, αλλά κανένας από αυτούς δεν μπορούσε να προβλέψει πότε ακριβώς η αύξηση της ενέργειας θα οδηγούσε στην εμφάνιση μιας νέας συχνότητας ή ποια θα ήταν αυτή. Κανείς δεν κατάλαβε αυτές τις μυστηριωδώς εμφανιζόμενες συχνότητες κατά τη διάρκεια του πειράματος, επειδή η θεωρία του Landau για το κατώφλι αναταράξεων δεν έχει ακόμη δοκιμαστεί στην πραγματικότητα.

Ο θεωρητικός εκτελεί πειράματα διανοητικά και ο πειραματιστής πρέπει επίσης να ενεργήσει με τα χέρια του. Ο θεωρητικός είναι στοχαστής, ο πειραματιστής είναι τεχνίτης. ο πρώτος δεν χρειάζεται βοηθό, ο δεύτερος αναγκάζεται να «στρατολογήσει» μεταπτυχιακούς φοιτητές, να πείσει μηχανικούς, δικαστικούς βοηθούς εργαστηρίου. Ο τακτοποιημένος θεωρητικός εργάζεται όπου δεν υπάρχει θόρυβος και βρωμιά. ο πειραματιστής, από την άλλη, συνδέεται με το αντικείμενο της εμπειρίας τόσο στενά όσο ο γλύπτης στο εργαστήριο, ο οποίος είναι αλυσοδεμένος για ώρες σε άμορφο πηλό και προσπαθεί, με απαλή και μετά με μια απότομη κίνηση, να του δώσει το επιθυμητό σχήμα. . Ο θεωρητικός μπορεί να φανταστεί νοερά τους συναδέλφους του σαν αφελής Ρωμαίος που ονειρεύεται την όμορφη Ιουλιέτα και τους συνεργάτες του πειραματιστή να κάθονται για ώρες στο εργαστήριο, να παραπονιούνται, να καπνίζουν, να πίνουν καφέ, να ιδρώνουν.

Αυτά τα δύο χρειάζονται ο ένας τον άλλον, αλλά ένα μερίδιο ανισότητας σέρνεται στη σχέση τους από εκείνους τους αρχαίους χρόνους, όταν κάθε επιστήμονας σκεφτόταν και πειραματιζόταν ταυτόχρονα. Αν και σε μερικούς από τους καλύτερους πειραματιστές έχει μείνει κάτι από τον θεωρητικό, η συζήτηση των ειδικών σαφώς δεν πάει καλά. Τελικά, το κύρος των θεωρητικών είναι υψηλότερο. Αυτό είναι ιδιαίτερα εμφανές στη φυσική υψηλής ενέργειας: οι θεωρητικοί λούζονται κυριολεκτικά στις ακτίνες της δόξας, ενώ οι πειραματιστές γίνονται τεχνικοί υψηλής ειδίκευσης που ασχολούνται με ακριβό και πολύπλοκο εξοπλισμό. Στις μεταπολεμικές δεκαετίες, όταν η λαμπρότητα της φυσικής καθοριζόταν από τη μελέτη των στοιχειωδών σωματιδίων, τα καλύτερα πειράματα ήταν αυτά που πραγματοποιήθηκαν σε επιταχυντές σωματιδίων. Μάζα, φορτίο, περιστροφή, συμμετρία - αυτές οι αφαιρέσεις γοήτευσαν όσους δεν ανήκαν στο ακαδημαϊκό περιβάλλον, αλλά προσπάθησαν να συμβαδίσουν με την εποχή, αλλά μόνο για κάποιους επιστήμονες που μελετούντα ατομικά σωματίδια ήταν πραγματικά φυσική. Πηγαίνοντας να μελετήσω όλο και περισσότερο μικρά σωματίδιαστα συντομότερα χρονικά διαστήματα, απαιτούσε όλο και μεγαλύτερη ενέργεια, πράγμα που σημαίνει αναβαθμίσεις εξοπλισμού. Ο πειραματικός κλάδος της φυσικής των στοιχειωδών σωματιδίων έχει προχωρήσει με τα χρόνια, πολλοί επιστήμονες έχουν εργαστεί σε αυτόν και ολόκληρες ομάδες έχουν εργαστεί για τη δημιουργία μεγάλων πειραμάτων. Τα άρθρα για τη φυσική των σωματιδίων στο περιοδικό "Physical Review" διακρίνονταν πάντα από το γεγονός ότι η λίστα των συγγραφέων καταλάμβανε σχεδόν το ένα τέταρτο της δημοσίευσης.

Ορισμένοι πειραματιστές, ωστόσο, προτίμησαν να εργαστούν μόνοι τους, στη χειρότερη από κοινού. Στα πειράματά τους, χρησιμοποίησαν εκείνες τις ουσίες που ήταν διαθέσιμες. Ενώ ορισμένοι κλάδοι της φυσικής επιστήμης, όπως η υδροδυναμική, έχασαν τη σημασία τους, η φυσική στερεάς κατάστασης, αντίθετα, ήρθε στο προσκήνιο. Η σφαίρα της έρευνας που υπάγεται σε αυτήν έχει επεκταθεί τόσο πολύ που το όνομα του κλάδου θα έπρεπε να είχε αλλάξει σε πιο ακριβές - "φυσική της συμπυκνωμένης ύλης", δηλαδή φυσική των υλικών. Σε αυτόν τον τομέα, πρέπει να ειπωθεί, ο εξοπλισμός ήταν πολύ πιο απλός και η σύνδεση μεταξύ θεωρητικών και πειραματιστών ήταν πολύ ισχυρότερη. Οι πρώτοι δεν έδειξαν υπερβολικό σνομπισμό και οι δεύτεροι δεν προσπάθησαν να αμυνθούν εναντίον τους.

Για όλα αυτά, έβλεπαν πολλά πράγματα διαφορετικά. Συγκεκριμένα, ο θεωρητικός θα μπορούσε εύκολα, διακόπτοντας την αναφορά του πειραματιστή, να ρωτήσει: «Είναι δυνατόν να γίνουν τα δεδομένα σας πιο πειστικά; Δεν νομίζετε ότι αυτό το γράφημα είναι λίγο ασαφές; Δεν πρέπει να μετριέται; δεδομένη αξίαευρύτερα για να λάβετε περισσότερες πληροφορίες;»

Σε απάντηση, ο Χάρι Σουίννεϊ, όρθιος σε όλο του το ύψος (περίπου πεντέμισι πόδια), θα μπορούσε να πει με τη φυσική γοητεία ενός ντόπιου της Λουιζιάνα, στην οποία, ωστόσο, αισθανόταν μια νευρικότητα από τη Νέα Υόρκη: «Τα γεγονότα αντιστοιχούν η αλήθεια. Ναι, αυτό ισχύει, με την προϋπόθεση ότι έχουμε άπειρα «καθαρά» πειραματικά δεδομένα. - Και, γυρίζοντας απότομα στον μαυροπίνακα, προσθέστε: - Στην πραγματικότητα, έχουμε μόνο περιορισμένο αριθμό πληροφοριών στη διάθεσή μας και μάλιστα με λάθη.

Ο Sweeney πειραματίστηκε με ουσίες. Ενώ ήταν ακόμη φοιτητής στο Πανεπιστήμιο Johns Hopkins, ένιωσε τη μεθυστική γοητεία της σωματιδιακής φυσικής και αυτό έγινε σημείο καμπής στο πεπρωμένο του. Ο Sweeney είχε μια συζήτηση με έναν ενθουσιώδη Murray Gell-Man, αλλά καθώς παρακολουθούσε τους προπτυχιακούς στη δουλειά, ανακάλυψε ότι όλοι έγραφαν προγράμματα υπολογιστή ή συγκολλούσαν θαλάμους με σπινθήρες. Τότε ήταν που ο Swinney γνώρισε έναν έμπειρο φυσικό που άρχισε να μελετά τις μεταβάσεις φάσης από ένα στερεό σε ένα υγρό, από μια μη μαγνητική ουσία σε έναν μαγνήτη, από έναν αγωγό σε έναν υπεραγωγό. Για αρκετή ώρα ο Σουίνι στριμώχνονταν σε ένα μικρό δωμάτιο. είχε το μέγεθος μιας ντουλάπας, αλλά ο αρχάριος επιστήμονας ζούσε εκεί μόνος. Άρχισε να παραγγέλνει όργανα από έναν κατάλογο και σύντομα ένα εργαστηριακό τραπέζι, ένα λέιζερ, ανιχνευτές και κάποιο είδος ψυκτικού εξοπλισμού εμφανίστηκαν στη λιτή κατοικία του. Ο Sweeney σχεδίασε μια συσκευή για τη μέτρηση της θερμικής αγωγιμότητας διοξείδιο του άνθρακακοντά στο κρίσιμο σημείο της συμπύκνωσης. Πολλοί φυσικοί πίστευαν ότι οι αλλαγές στη θερμική αγωγιμότητα ήταν ασήμαντες, ωστόσο, όπως ανακάλυψε ο Swinney, αυτό ήταν μια αυταπάτη: η θερμική αγωγιμότητα άλλαξε πολύ σημαντικά. Όλο αυτό ήταν ανησυχητικό. Μόνος, σε ένα μικροσκοπικό δωμάτιο, έκανε μια ανακάλυψη όταν είδε την απόκοσμη λάμψη των ατμών της ύλης, οποιασδήποτε ουσίας, κοντά στο κρίσιμο σημείο - μια λάμψη που ονομάζεται "οπάλ" λόγω του λευκού οπάλιου χρώματος των διάσπαρτων ακτίνων.

Όπως πολλά φαινόμενα χαοτικής φύσης, οι μεταβάσεις φάσης χαρακτηρίζονται από έναν ειδικό τύπο μακροσκοπικής συμπεριφοράς, ο οποίος είναι πολύ δύσκολο να προβλεφθεί κοιτάζοντας τα μικρότερα θραύσματα. Όταν ένα στερεό σώμα θερμαίνεται, τα μόριά του αρχίζουν να δονούνται υπό την επίδραση της εισερχόμενης ενέργειας, ορμούν στην επιφάνεια, εξουδετερώνοντας τις δυνάμεις που τα δεσμεύουν και έτσι προκαλούν διαστολή του όγκου της ουσίας. Όσο ισχυρότερη είναι η θερμότητα, τόσο περισσότερο διαστέλλεται η ουσία και καθώς ένα σχοινί σπάει μετά από μεγάλο τέντωμα, έτσι οι αλλαγές γίνονται απρόβλεπτες και διακοπτόμενες κάτω από ορισμένες πιέσεις και θερμοκρασίες. Η κρυσταλλική δομή εξαφανίζεται σταδιακά και τα μόρια απομακρύνονται το ένα από το άλλο, υπακούοντας στους νόμους που έχουν θεσπιστεί για ένα υγρό, οι οποίοι δεν μπορούν να συναχθούν από τους νόμους που ορίζονται για ένα στερεό σώμα. Μέση ενέργειατο άτομο έχει αλλάξει ελάχιστα, αλλά η ουσία είναι τώρα ήδη ένα υγρό, ένας μαγνήτης ή ένας υπεραγωγός, δηλαδή, έχει αποκτήσει μια νέα ποιότητα.

Ο Günther Ahlers στο AT&T Bell Laboratories στο Νιου Τζέρσεϊ έχει ερευνήσει τη λεγόμενη υπερρευστή μετάβαση σε υγρό ήλιο, στην οποία, καθώς πέφτει η θερμοκρασία, ένα στερεό μετατρέπεται σε ένα μαγικό υγρό χωρίς εμφανές ιξώδες ή τριβή. Άλλοι ασχολούνταν με την υπεραγωγιμότητα. Ο Sweeney ερεύνησε το σημείο μετάβασης φάσης μεταξύ υγρού και ατμού. Τόσο αυτός όσο και ο Ahlers, ο Pierre Berg, ο Jerry Gollab, ο Marzio Giglio και άλλοι πειραματιστές στις ΗΠΑ, τη Γαλλία και την Ιταλία - μια νέα γενιά φυσικών που συμμετέχουν σε μεταβάσεις φάσης - αναζητούσαν νέα αντικείμενα για έρευνα στα μέσα της δεκαετίας του '70. Όπως ο ταχυδρόμος γνωρίζει με λεπτομέρεια όλα τα σοκάκια και τα σπίτια του χώρου του, έτσι ήξεραν από έξω όλα τα ιδιαίτερα σημάδια μιας ουσίας που αλλάζει την κατάστασή της. Μελέτησαν το όριο της κατάστασης ισορροπίας της ύλης.

Όλοι οι ερευνητές των μεταβάσεων φάσης, έχοντας νιώσει κάτω από τον εαυτό τους ένα ύπουλο τέλμα αμφιβολιών, πάτησαν σε σωτήρια πέτρες αναλογίας. Η μετάβαση φάσης από τη μη μαγνητική κατάσταση στη μαγνητική αποδείχθηκε ότι ήταν παρόμοιοςμετάβαση "υγρό - ατμός". Αποδείχθηκε η μετάβαση από υγρό σε υπερρευστό ομοιότηταμετάβαση από αγωγό σε υπεραγωγό. Οι μαθηματικοί υπολογισμοί που περιγράφουν μια εμπειρία εφαρμόστηκαν σε πολλές άλλες, και κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του '70 το πρόβλημα είχε σχεδόν λυθεί. Το μόνο ερώτημα ήταν πόσο θα μπορούσε να επεκταθεί η νεοδημιουργηθείσα θεωρία. Ποιες άλλες αλλαγές στον κόσμο γύρω μας, μετά από πιο προσεκτική εξέταση, θα αποδειχθούν μεταβάσεις φάσης;

Η χρήση τεχνικών που χρησιμοποιούνται στη μελέτη των μεταπτώσεων φάσης για τη μελέτη των ροών ρευστών δεν είναι ούτε μια σούπερ πρωτότυπη ιδέα ούτε μια αυτονόητη προσέγγιση.

Δεν μπορούσε να ισχυριστεί ιδιαίτερη πρωτοτυπία, γιατί ήδη από τις αρχές του 20ου αιώνα, οι μεγαλύτεροι επιστήμονες - οι πρωτοπόροι της υδροδυναμικής Reynolds, Rayleigh και οι ακόλουθοί τους - παρατήρησαν ότι κατά τη διάρκεια ενός προσεκτικά ελεγχόμενου πειράματος με ένα υγρό, η κίνησή του αλλάζει ποιοτικά, παρουσιάζεται διακλάδωση ή διχασμός. Για παράδειγμα, όταν ένα δοχείο με ένα υγρό θερμαίνεται από κάτω, αρχίζει να κινείται από την κατάσταση ηρεμίας. Ο πειρασμός ήταν πολύ μεγάλος και, υποκύπτοντας σε αυτόν, οι ειδικοί το πρότειναν φυσική φύσηοι διακλαδώσεις απλώς μοιάζουν με αυτό που συμβαίνει στην ύλη κατά τη διάρκεια των μεταβάσεων φάσης.

Η χρήση τέτοιων μεθόδων δεν μπορεί να ονομαστεί προφανής προσέγγιση, λόγω του γεγονότος ότι οι διακλαδώσεις στο υγρό που περιγράφηκαν παραπάνω δεν προκάλεσαν, όπως οι μεταβάσεις φάσης, αλλαγές στην ίδια την ουσία, αλλά αντίθετα πρόσθεσαν ένα νέο στοιχείο - κίνηση. Το υγρό από την κατάσταση ηρεμίας περνά στην κίνηση. Και για ποιο λόγο πρέπει η μαθηματική περιγραφή τέτοιων αλλαγών να αντιστοιχεί στις εξισώσεις συμπύκνωσης ατμού;

Το 1973, ο Swinney δίδασκε στο City College της Νέας Υόρκης και ο Jerry Gollub, ένας σοβαρός αλλά μερικές φορές παιδικός απόφοιτος του Χάρβαρντ, εργαζόταν στο Haverford, στη νοτιοανατολική Πενσυλβάνια. Το ίδρυμα εκεί, ένα βουκολικό αγροτικό κολέγιο φιλελεύθερων τεχνών κοντά στη Φιλαδέλφεια, ήταν το καταλληλότερο μέρος για να σταματήσετε μια καριέρα ως φυσικός. Δεν υπήρχε κανείς να αναθέσει την εργασία στο εργαστήριο ή άλλες λειτουργίες που εμπιστεύονταν ο μέντορας στον προστατευόμενό του - απλώς δεν υπήρχαν αρκετοί απόφοιτοι. Ωστόσο, ο Gollub απολάμβανε να διδάσκει φυσική σε προπτυχιακούς φοιτητές και άρχισε να μετατρέπει το τμήμα φυσικής σε ένα κέντρο ευρέως γνωστό για την υψηλή ποιότητα των πειραμάτων του. Στη συνέχεια, παίρνοντας άδεια εξαμήνου μετ' αποδοχών, πήγε στη Νέα Υόρκη για να δουλέψει με τον Χάρι Σουίνι.

Έχοντας κατά νου την αναλογία των μεταπτώσεων φάσης και της αστάθειας που παρατηρείται σε ένα υγρό, οι συνάδελφοι αποφάσισαν να μελετήσουν το κλασικό σύστημα - ένα υγρό που περιορίζεται από το διάστημα μεταξύ δύο κατακόρυφων κυλίνδρων. Το ένα από αυτά περιστρεφόταν μέσα στο άλλο, αναγκάζοντας το υγρό να κινηθεί ανάμεσα στις δύο επιφάνειες. Έτσι, περιορίστηκε η πιθανή κίνηση της ύλης στο διάστημα, σε αντίθεση με τους πίδακες που παραμένουν μετά την κίνηση του πλοίου στη θάλασσα. Οι περιστρεφόμενοι κύλινδροι αναπαρήγαγαν τη λεγόμενη ροή Couete-Taylor. Κατά κανόνα, για λόγους ευκολίας, ο εσωτερικός κύλινδρος περιστρέφεται μέσα στο σταθερό πλαίσιο. Καθώς αρχίζει η περιστροφή, αυξάνοντας την ταχύτητα, εμφανίζονται τα πρώτα σημάδια αστάθειας: το υγρό σχηματίζει ένα χαριτωμένο σχέδιο που μοιάζει με δέσμες σωλήνων και στη συνέχεια εμφανίζονται θολές ζώνες σαν κορδέλα γύρω από τον κύλινδρο, η μία πάνω από την άλλη. Τα υγρά σωματίδια κινούνται όχι μόνο προς την κατεύθυνση περιστροφής του κυλίνδρου, αλλά και κινούνται πάνω-κάτω, περιστρέφοντας γύρω από τις παραπάνω ζώνες. Η παρόμοια συμπεριφορά τους έχει ήδη εξεταστεί από τον J. I. Taylor, ο οποίος είδε και μέτρησε ποσοτικά χαρακτηριστικάαυτό το γεγονός το 1923.

Για να μελετήσουν τη ροή Couete, οι επιστήμονες σχεδίασαν μια συσκευή που τοποθετήθηκε σε ένα γραφείο και αποτελούνταν από δύο κυλίνδρους. Ο εξωτερικός γυάλινος κύλινδρος ήταν σαν ένα στενό τενεκεδάκι για μπάλα του τένις ένα πόδι ύψος και δύο ίντσες σε διάμετρο. Ένας δεύτερος ατσάλινος κύλινδρος τοποθετήθηκε τακτοποιημένα μέσα του, αφήνοντας ένα χώρο περίπου ένα όγδοο της ίντσας για το νερό. «Ήταν μια πολύ συγκινητική ιστορία», θυμάται ο Freeman Dyson, ένας από τους αθέλητους αυτόπτες μάρτυρες των γεγονότων των επόμενων μηνών. «Αυτοί οι δύο κύριοι, σε ένα στενό δωμάτιο εξοπλισμένο ως εργαστήριο, χωρίς σχεδόν καθόλου χρήματα, κάνουν ένα υπέροχο πείραμα που σηματοδότησε την αρχή μιας ολοκληρωμένης έρευνας για το φαινόμενο των αναταράξεων».

Και οι δύο ερευνητές είχαν επίγνωση του επιστημονικού τους προβλήματος, η λύση του οποίου σύντομα θα ανταμείβονταν με το παραδοσιακό χειροκρότημα και θα παραδοθεί γρήγορα στη λήθη. Ο Sweeney και ο Gollub σκόπευαν να επιβεβαιώσουν την ιδέα του Landau για ένα κατώφλι αναταράξεων και τα πειράματα δεν έδωσαν τον παραμικρό λόγο να αμφισβητηθεί. Επιπλέον, ήταν γνωστό ότι οι φυσικοί που ασχολούνταν με την υδροδυναμική είχαν εμπιστοσύνη στις σκέψεις του Landau. Οι ίδιοι οι φυσικοί, ο Sweeney και ο Gollub, συμπαθούσαν επίσης αυτή τη θεωρία, επειδή αντιστοιχούσε στη γενική εικόνα των μεταβάσεων φάσης. Ο Landau ανέπτυξε ένα αρκετά αποτελεσματικό σχέδιο για τη μελέτη τους, με βάση την πεποίθηση ότι τέτοια φαινόμενα πρέπει να υπακούουν σε παγκόσμιους νόμους και ότι δεν σχετίζονται με τις ιδιαιτερότητες συγκεκριμένων ουσιών. Όταν ο Harry Swinney μελέτησε το σημείο δρόσου του διοξειδίου του άνθρακα, όπως και ο Landau, ήταν πεπεισμένος ότι τα ευρήματά του θα μπορούσαν να εφαρμοστούν στο σημείο δρόσου του ξένου και είχε δίκιο. Πράγματι, γιατί οι αναταράξεις να μην είναι ένα σταθερό σύνολο συγκρουόμενων κυμάτων σε ένα κινούμενο ρευστό;

Για να αντιμετωπίσουν τη βίαιη κίνηση των υγρών, ο Sweeney και ο Gollub έχουν επινοήσει ένα οπλοστάσιο έξυπνων τεχνικών, που έχουν τελειοποιηθεί με χρόνια μελέτης των μεταπτώσεων φάσης κάτω από πολύ δύσκολες συνθήκες. Είχαν τέτοια μεθοδολογία έρευνας και τέτοια όργανα μέτρησης που ένας απλός φυσικός δεν μπορούσε καν να ονειρευτεί. Χρησιμοποίησαν λέιζερ για να μελετήσουν τα στροβιλιζόμενα ρεύματα. Η ακτίνα που λάμπει μέσα από το νερό διαθλάστηκε ή διασκορπίστηκε, κάτι που ήταν μετρήσιμο με συμβολομετρία λέιζερ Doppler. Οι πληροφορίες που ελήφθησαν αποθηκεύτηκαν και υποβλήθηκαν σε επεξεργασία χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή, ο οποίος τότε, το 1975, ήταν κάτι σπάνιο στους πίνακες των πειραματιστών.

Ο Landau σημείωσε ότι καθώς η ροή αυξάνεται, εμφανίζονται νέες συχνότητες, η καθεμία σε ξεχωριστή χρονική περίοδο. «Ξέραμε για αυτό», θυμάται αργότερα ο Sweeney, «και αποφασίσαμε ότι θα παρακολουθούσαμε τις μεταβάσεις για να δούμε πού ακριβώς θα εμφανίζονταν τέτοιες συχνότητες. Και παρακολουθήσαμε -με πλήρη εμπιστοσύνη ότι η μετάβαση είναι σαφώς καθορισμένη. Ξεκινήσαμε μια μετάβαση φάσης και προς τις δύο κατευθύνσεις, είτε αυξάνοντας είτε μειώνοντας την ταχύτητα περιστροφής των κυλίνδρων, και όλα έγιναν έτσι.

Αναφέροντας τα αποτελέσματα της δουλειάς που έγινε, ο Sweeney και ο Gollub αντιμετώπισαν το γεγονός ότι μεταξύ του πεδίου της καθαρής φυσικής και του τομέα της υδροδυναμικής υπήρχε ένα συγκεκριμένο, πολύ ζωντανό και κινητό, όριο. Αυτή, συγκεκριμένα, καθόρισε ποια από τα πολλά τμήματα του Εθνικού Ιδρύματος Επιστημών θα έπρεπε να χρηματοδοτήσει την έρευνα. Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, το πείραμα Cuete-Taylor εισήλθε ξανά στο πεδίο της φυσικής, αλλά το 1973 θεωρήθηκε καθαρή υδροδυναμική και τα πρώτα αποτελέσματα που ελήφθησαν από δύο φυσικούς σε ένα μικρό εργαστήριο φάνηκαν ύποπτα ξεκάθαρα στους ειδικούς σε αυτόν τον τομέα. Απλώς δεν το πίστευαν. Εξάλλου, όσοι αφιέρωσαν όλη τους τη ζωή στην υδροδυναμική δεν ήταν καθόλου συνηθισμένοι σε πειράματα που επαναλάμβαναν μελέτες στη φυσική των μεταπτώσεων φάσης. Επιπλέον, ήταν πολύ δύσκολο να κατανοήσουμε το θεωρητικό υπόβαθρο των πειραμάτων από την σκοπιά της υδροδυναμικής. Κάνοντας εκ νέου προσφυγή στο Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών για χρηματοδότηση, οι Sweeney και Gollub απορρίφθηκαν. Μερικοί από τους ειδικούς απλώς δεν δέχτηκαν τα αποτελέσματά τους, ενώ άλλοι θεώρησαν ότι τα αποτελέσματα δεν είχαν καμία καινοτομία.

Όμως το έργο δεν σταμάτησε ποτέ. «Υπήρξε μια ποιοτικά σαφής μετάβαση», είπε ο Sweeney, «και το θεωρήσαμε εξαιρετική επιτυχία. Και μετά προχωρήσαμε ξανά μπροστά, αναζητώντας το επόμενο.

Και ξαφνικά η σεκάνς για την οποία έγραψε ο Λαντάου κατέρρευσε. Το πείραμα δεν επιβεβαίωσε τη θεωρία. Στην επόμενη μετάβαση, η ροή "πήδηξε" σε κατάσταση αταξίας, χωρίς να βρει αξιοσημείωτους κύκλους: όχι νέες συχνότητες, όχι σταδιακή αύξησητυχαία θραύσματα. Τίποτα. «Το μόνο που βρήκαμε είναι ότι ξαφνικά έγινε χαοτικό». Λίγους μήνες αργότερα, ένας αδύνατος, γοητευτικός Ευρωπαίος εμφανίστηκε στο κατώφλι του εργαστηρίου.

Ο David Ruelle ήθελε να λέει ότι υπήρχαν δύο τύποι φυσικών: ο πρώτος τύπος μεγάλωσε χωρίζοντας ραδιόφωνα (πριν από τη φυσική στερεάς κατάστασης, μπορούσες να φανταστείς ρεύματα ηλεκτρονίων κοιτάζοντας τα καλώδια και τους σωλήνες κενού που λάμπουν με ζεστό φως) και εκείνοι που ανήκε στη δεύτερη κατηγορία, αγαπούσε να ασχολείται με τα χημικά αντιδραστήρια. Ο ίδιος ο Ruelle, γεννημένος και μεγαλωμένος στο βόρειο Βέλγιο, ανήκε στον δεύτερο τύπο και προτιμούσε τα κιτ χημικών από όλα τα παιχνίδια - ούτε κιτ με τη σημερινή έννοια της λέξης, αλλά απλώς χημικά, είτε εκρηκτικά είτε δηλητηριώδη, με τα οποία ήταν που παρέχεται γενναιόδωρα από έναν τοπικό φαρμακοποιό. Ο νεαρός Ντέιβιντ ανακάτευε, ανακάτευε, ζέστανε, κρυστάλλωσε και μερικές φορές ακόμη και εξερράγη όλο αυτόν τον πλούτο. Γεννήθηκε στη Γάνδη το 1935. Η μητέρα του ήταν προπονήτρια γυμναστικής και ο πατέρας του καθηγητής γλωσσολογίας στο πανεπιστήμιο. Και παρόλο που ο νεαρός έκανε καριέρα στον κόσμο της επιστήμης, πολύ μακριά από τα συνηθισμένα, πάντα τον έλκυε η μυστικιστική πλευρά της φύσης, η οποία έκρυβε τα μυστήριά της στα σπόρια των σπογγωδών μυκήτων, του άλατος, του πρασινοκίτρινου θείου και του κάρβουνου .

Μαθηματική φυσικήέγινε η περιοχή όπου ο Ρουέλ συνέβαλε σημαντικά στην ανακάλυψη του χάους. Στις αρχές της δεκαετίας του 1970, εργαζόταν στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών, ένα εκπαιδευτικό ίδρυμα στα προάστια του Παρισιού, με πρότυπο το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Πρίνστον. Είχε ήδη αναπτύξει μια συνήθεια που κράτησε μια ζωή: από καιρό σε καιρό άφηνε την οικογένειά του και τη δουλειά για να περιπλανηθεί με ένα σακίδιο στην πλάτη του στην έρημο της Ισλανδίας ή αγροτικές περιοχέςΜεξικό. Μερικές φορές συναντούσε ανθρώπους που του έδωσαν την εγκαρδιότητα και τη φιλοξενία τους. Μοιράζοντας μαζί τους ένα μικρό γεύμα με τορτίγιες, κρέας και λαχανικά, ο επιστήμονας σκέφτηκε ότι έβλεπε τον κόσμο όπως ήταν πριν από δύο χιλιετίες. Επιστρέφοντας στο ινστιτούτο, βυθίστηκε και πάλι στην έρευνα. Οι συνάδελφοι παρατήρησαν πόσο λεπτό ήταν το πρόσωπό του, πόσο έντονα προεξείχε η γραμμή των φρυδιών, πόσο μυτερό ήταν το πηγούνι του. Ο Ruelle άκουσε διαλέξεις του Steve Smale για το «πέταλο» και τις χαοτικές δυνατότητες των δυναμικών συστημάτων. Σκέφτηκε τις αναταράξεις στα υγρά και το κλασικό σχήμα του Λαντάου, υποπτευόμενος ότι όλα κατά κάποιο τρόπο συσχετίζονται, αλλά ταυτόχρονα έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους.

Ο επιστήμονας δεν είχε εργαστεί ποτέ με ροές υγρών στο παρελθόν, αλλά αυτό δεν αποθάρρυνε καθόλου την έρευνα, όπως δεν πτόησε και τους λιγότερο τυχερούς προκατόχους του. «Νέα πράγματα ανακαλύπτονται, κατά κανόνα, από μη επαγγελματίες», είπε. - Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει περίπλοκη και βαθιά θεωρία αναταράξεων. Όλα όσα μπορούμε να μάθουμε για αυτό είναι πιο γενικής φύσεως και επομένως είναι προσβάσιμα σε άτομα που δεν έχουν ασχοληθεί προηγουμένως μαζί του. Δεν ήταν δύσκολο να καταλάβουμε γιατί οι αναταράξεις δεν ήταν επιδεκτικές ανάλυσης - η συμπεριφορά των ροών ρευστών περιγράφηκε με μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ως επί το πλείστον άλυτες. Ωστόσο, ο Ruelle ανέπτυξε μια εξαιρετικά αφηρημένη εναλλακτική στο σχέδιο του Landau, που εκφράζεται στη γλώσσα του Smale, όπου ο χώρος χρησιμοποιήθηκε ως εύπλαστο υλικό που μπορούσε να συμπιεστεί, να τεντωθεί και να λυγίσει σε σχήματα που μοιάζουν με πέταλο. Η εργασία γράφτηκε στο Ινστιτούτο Ανώτερης Επιστημονικής Έρευνας, με ένα διάλειμμα για επισκέψεις στον Ολλανδό μαθηματικό Floris Takens, και δημοσιεύτηκε από κοινού το 1971. Το ύφος της εργασίας δεν θα μπορούσε να γίνει λάθος. Ήταν καθαρά μαθηματικά (να θυμάστε, ένα στυλό φυσικής!) και περιείχε ορισμοί, θεωρήματαΚαι απόδειξηακολουθείται αναπόφευκτα από: Ας...Εδώ είναι ένα παράδειγμα: " Απόδειξη (5.2.).Ας υποθέσουμε ότι Χ? είναι μια οικογένεια μιας παραμέτρου ντο κδιανυσματικά πεδία στο χώρο Hilbert H, έτσι ώστε…”

Κι όμως, στον τίτλο της δημοσίευσης, που ονομαζόταν «Σχετικά με τη φύση των αναταράξεων», υπήρχε μια σύνδεση με ο αληθινός κόσμοςκαι υπήρχε μια σκόπιμη συμφωνία με τον τίτλο του διάσημου έργου του Λαντάου «On the Problem of Turbulence». Οι Ruelle και Takens ήθελαν σαφώς να προχωρήσουν πολύ περισσότερο από τα μαθηματικά, προσπαθώντας να προσφέρουν μια εναλλακτική στις παραδοσιακές απόψεις στο κατώφλι της αναταραχής. Πρότειναν ότι η πηγή όλης της πολυπλοκότητας στις αναταράξεις δεν είναι η υπέρθεση των συχνοτήτων, που οδηγεί στην εμφάνιση ενός άπειρου αριθμού ανεξάρτητων και επικαλυπτόμενων κινήσεων ρευστού, αλλά μόνο τρεις ξεχωριστές κινήσεις. Κάτι στη λογική τους φαινόταν πολύ ασαφές, δανεικό και απλά λάθος, ή το ένα, το άλλο και το τρίτο αμέσως - δεκαπέντε χρόνια αργότερα, οι απόψεις για αυτό το θέμα εξακολουθούσαν να διίστανται.

Ωστόσο, η βαθιά διορατικότητα, τα σχόλια, οι περιθωριακές σημειώσεις και τα συμπεράσματα από τη φυσική έκαναν το έργο αντικείμενο προσοχής για πολλά χρόνια. Η πιο σαγηνευτική φαινόταν η εικόνα που βάφτισαν οι συγγραφείς παράξενος ελκυστήρας. Αυτό το όνομα ήταν υπαινικτικό, όπως λένε οι ψυχαναλυτές, δηλαδή από τον ίδιο τον ήχο του έδωσε αφορμή για υποσυνείδητους συσχετισμούς, τους οποίους ο Ruelle ένιωσε αργότερα. Ο όρος «παράξενος ελκυστήρας» έγινε τόσο δημοφιλής μεταξύ των ερευνητών του χάους που ο Takens και ο Ruelle αμφισβήτησαν αργότερα ο ένας την συγγραφική ιδιότητα του άλλου. Κανείς δεν μπορούσε να θυμηθεί καθαρά ποιος χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τον όρο. Η λήψη - ένας ψηλός, κατακόκκινος και βίαιος Νορμανδός - κατά καιρούς έπεφτε: "Έχετε ρωτήσει ποτέ τον Κύριο πώς δημιούργησε αυτό το καταραμένο Σύμπαν; .. Δεν θυμάμαι τίποτα... Δημιουργώ χωρίς να θυμάμαι τις λεπτομέρειες αυτής της διαδικασίας." Στο οποίο ο Ruell, ο κύριος συν-συγγραφέας, παρατήρησε απαλά: Διαφορετικοί άνθρωποικαι δουλεύουν διαφορετικά. Μερικοί άνθρωποι θα πρέπει να γράφουν άρθρα μόνοι τους και μετά να καρπωθούν μόνοι τους τις δάφνες.

Ένας παράξενος ελκυστής ζει στο διάστημα φάσης - μια από τις πιο εκπληκτικές εφευρέσεις σύγχρονη επιστήμη. Ο χώρος φάσης καθιστά δυνατή τη μετατροπή αριθμών σε εικόνες, εξάγοντας ζυγούς λίγοαπαραίτητες πληροφορίες από κινούμενα συστήματα, μηχανικά ή υγρά, και με σαφή επίδειξη όλων των δυνατοτήτων τους. Οι φυσικοί έχουν ήδη ασχοληθεί με δύο λίγο πολύ απλούς τύπους ελκυστών - σταθερά σημεία και κλειστές καμπύλες, περιγράφοντας τη συμπεριφορά τέτοιων συστημάτων που έχουν φτάσει σε σταθερή κατάσταση ή επαναλαμβάνονται συνεχώς.

Στο χώρο φάσης, όλα τα γνωστά δεδομένα για ένα δυναμικό σύστημα σε κάθε χρονική στιγμή συγκεντρώνονται σε ένα σημείο, το οποίο είναι το δεδομένο σύστημα στο συντομότερο χρονικό διάστημα. Την επόμενη στιγμή, το σύστημα θα υποστεί ήδη αλλαγές, ακόμη και αν αυτές είναι αρκετά ασήμαντες, και το σημείο θα αλλάξει τη θέση του. Όλη η διάρκεια της ύπαρξης του συστήματος μπορεί να απεικονιστεί σε ένα γράφημα ακολουθώντας τις κινήσεις ενός σημείου στο χρόνο και παρατηρώντας την τροχιά του στο χώρο φάσης.

Πώς όμως μπορούν να παρουσιαστούν όλα τα δεδομένα για το πιο περίπλοκο σύστημα σε ένα μόνο σημείο; Εάν το σύστημα χαρακτηρίζεται από δύο μεταβλητές, δεν είναι δύσκολο να βρεθεί η απάντηση, προκύπτει απευθείας από την Ευκλείδεια γεωμετρία που διδάσκεται στο γυμνάσιο: μία από τις μεταβλητές βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα Χ, και το άλλο στον κατακόρυφο άξονα y. Εάν το σύστημα είναι ένα αιωρούμενο εκκρεμές απαλλαγμένο από τριβές, τότε μία από τις μεταβλητές είναι η θέση του στο χώρο και η άλλη είναι η ταχύτητά του. Αλλάζουν συνεχώς, σχηματίζοντας μια γραμμή κουκκίδων που καμπυλώνεται σε έναν βρόχο που επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά. Το ίδιο σύστημα, αλλά με υψηλότερη ενέργεια, ταλαντευόμενο πιο γρήγορα και μακρύτερα, σχηματίζει ένα βρόχο στο χώρο φάσης, παρόμοιο με το πρώτο, αλλά μεγαλύτερο σε μέγεθος.

Ωστόσο, αντιμέτωπο με μια από τις εκδηλώσεις της πραγματικότητας - την τριβή, το σύστημα αρχίζει να υφίσταται αλλαγές. Για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά ενός εκκρεμούς που υποβάλλεται σε τριβή, δεν χρειάζονται οι εξισώσεις κίνησης: κάθε ταλάντωσή του στην πραγματικότητα τελειώνει στο ίδιο σημείο, στο κέντρο από όπου ξεκίνησε η κίνηση και η ταχύτητά του σε αυτές τις στιγμές είναι μηδέν. Αυτή η κεντρική σταθερή ζώνη, σαν να λέγαμε, «προσελκύει» κραδασμούς. Αντί να σχεδιάζονται για πάντα βρόχοι στο γράφημα, η τροχιά του εκκρεμούς στρέφεται προς τα μέσα. Η τριβή διαχέει την ενέργεια του συστήματος, η οποία στο χώρο φάσης μοιάζει με ώθηση προς το κέντρο. Υπάρχει μια κίνηση από τις εξωτερικές ζώνες με υψηλή ενέργεια σε εσωτερικές ζώνες με χαμηλή ενέργεια. Ο ελκυστής - ο απλούστερος δυνατός - είναι σαν μαγνήτης στο μέγεθος μιας κεφαλής καρφίτσας ενσωματωμένος σε ένα φύλλο καουτσούκ.

Ένα από τα πλεονεκτήματα της προβολής των καταστάσεων ενός συστήματος ως συλλογής σημείων στο χώρο είναι ότι είναι ευκολότερο να παρατηρηθούν οι αλλαγές που συμβαίνουν. Ένα σύστημα στο οποίο οι μεταβλητές αυξάνονται και μειώνονται συνεχώς γίνεται ένα κινούμενο σημείο, όπως μια μύγα που πετά γύρω από ένα δωμάτιο. Εάν ορισμένοι συνδυασμοί μεταβλητών δεν προκύψουν ποτέ, ο επιστήμονας μπορεί απλά να υποθέσει ότι το δωμάτιο είναι περιορισμένο και ότι το έντομο δεν θα εισέλθει ποτέ. Με την περιοδική συμπεριφορά του υπό μελέτη συστήματος, όταν επιστρέφει στην ίδια κατάσταση ξανά και ξανά, η διαδρομή πτήσης της μύγας σχηματίζει έναν βρόχο και το έντομο περνάει πολλές φορές από το ίδιο σημείο στο διάστημα. Τα περίεργα πορτρέτα φυσικών συστημάτων στον χώρο φάσης έδειχναν μοτίβα κίνησης που κατά τα άλλα ήταν απρόσιτα για παρατήρηση. Μια φωτογραφία ενός φυσικού τοπίου λοιπόν υπέρυθρες ακτίνεςαποκαλύπτει εκείνα τα μικρά πράγματα και τις λεπτομέρειες που υπάρχουν πέρα ​​από τα όρια της αντίληψής μας. Ο επιστήμονας, κοιτάζοντας την εικόνα φάσης, θα μπορούσε, καλώντας τη φαντασία να βοηθήσει, να κατανοήσει την ουσία του ίδιου του συστήματος: ένας βρόχος εδώ αντιστοιχεί στην περιοδικότητα εκεί, μια συγκεκριμένη κάμψη ενσωματώνει μια συγκεκριμένη αλλαγή και το κενό μιλά για φυσική απιθανότητα.

Ακόμη και με την παρουσία δύο μεταβλητών, οι εικόνες στο χώρο φάσης θα μπορούσαν να μας εκπλήξουν με πολλούς τρόπους. Ακόμη και σε επιτραπέζιες οθόνες, θα μπορούσατε να δημιουργήσετε μερικές από αυτές, μετατρέποντας τις εξισώσεις σε πολύχρωμες τροχιές. Μερικοί φυσικοί έχουν αρχίσει να δημιουργούν σειρές κινούμενων εικόνων και να φτιάχνουν βιντεοκασέτες για να τις δείξουν στους συναδέλφους τους. Μαθηματικοί από την Καλιφόρνια εξέδωσαν βιβλία εικονογραφημένα με πολλά κόκκινα-μπλε-πράσινα σχέδια σε στυλ κινουμένων σχεδίων - "κόμικς χάους", όπως τα αποκαλούσαν οι συνάδελφοί τους, όχι χωρίς δηλητήριο. Αλλά μερικές μετρήσεις δεν κάλυψαν ολόκληρο τον πλούτο των συστημάτων που ήθελαν να μελετήσουν οι φυσικοί και οι επιστήμονες προσπάθησαν να εισαγάγουν περισσότερες από δύο μεταβλητές, οι οποίες φυσικά απαιτούσαν αύξηση του αριθμού των μετρήσεων. Κάθε θραύσμα ενός δυναμικού συστήματος ικανού για ανεξάρτητη κίνηση είναι ήδη μια νέα μεταβλητή, που ενσωματώνει έναν διαφορετικό «βαθμό ελευθερίας» και για κάθε τέτοιο βαθμό απαιτείται μια νέα διάσταση στο χώρο των φάσεων. Διαφορετικά, δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι ένα μόνο σημείο περιέχει αρκετές πληροφορίες για να περιγράψει την κατάσταση του συστήματος σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή. Οι απλές εξισώσεις που μελέτησε ο Robert May ήταν μονοδιάστατες. Κατέστησαν δυνατό να τα βγάλετε πέρα ​​με έναν αριθμό - την τιμή της θερμοκρασίας ή το μέγεθος του πληθυσμού, που καθόριζε τη θέση ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή που βρίσκεται σε μια διάσταση. Το εκτεταμένο σύστημα του Lorentz, το οποίο περιέγραφε τη μεταφορά σε υγρά, είχε τρεις διαστάσεις, όχι επειδή το υγρό κινούνταν σε τρεις χωρικές διαστάσεις, αλλά επειδή απαιτούνταν τρεις καλά καθορισμένοι αριθμοί για να περιγράψουν την κατάσταση του υγρού σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή.

Ακόμη και ένας τοπολόγος από τα πολύ ανέπτυξε τη φαντασίαΔεν είναι εύκολο να φανταστεί κανείς χώρους με τέσσερις, πέντε ή περισσότερες διαστάσεις. Ωστόσο, τα πολύπλοκα συστήματα έχουν πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, έτσι οι μαθηματικοί έπρεπε να συμβιβαστούν με το γεγονός ότι πολλοί βαθμοί ελευθερίας απαιτούν ένα χώρο φάσης με άπειρες διαστάσεις. Έτσι η απεριόριστη φύση γίνεται αισθητή στους ταραχώδεις πίδακες ενός καταρράκτη ή στο απρόβλεπτο του ανθρώπινου εγκεφάλου. Ποιος όμως θα μπορέσει να αντιμετωπίσει το βίαιο, ακαταμάχητο τέρας των αναταράξεων, που χαρακτηρίζεται από ποικίλες μορφές, απροσδιόριστο αριθμό «βαθμών ελευθερίας», άπειρο αριθμό διαστάσεων;

Οι φυσικοί είχαν αρκετά καλός λόγοςνα αντιπαθείς ένα μοντέλο του οποίου η συμπεριφορά είναι τόσο σκοτεινή. Χρησιμοποιώντας μη γραμμικές εξισώσεις, περιγράφοντας την κίνηση ενός ρευστού, οι πιο ισχυροί υπερυπολογιστές στον κόσμο δεν μπορούσαν να εντοπίσουν με ακρίβεια την ταραχώδη ροή ούτε ενός κυβικό εκατοστόυγρό μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Φυσικά, η φύση φταίει περισσότερο για αυτό από το Landau, ωστόσο, το σχέδιο που πρότεινε ο Σοβιετικός επιστήμονας παρήγαγε το αποτέλεσμα του "χαϊδεύματος στο μαλλί". Ακόμη και χωρίς καμία ισχυρή γνώση, ο φυσικός θα μπορούσε κάλλιστα να υποψιαστεί ότι το φαινόμενο δεν είναι ερμηνεύσιμο. Ένα παρόμοιο συναίσθημα εκφράστηκε στα λόγια του μεγάλου θεωρητικού της κβαντικής φυσικής Richard Phillips Feynman: λογικές πράξειςγια να μάθουμε τι συμβαίνει στο χώρο και στο χρόνο, όσο μικρός και αν είναι αυτός ο χώρος. Πώς μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο σε έναν τόσο μικρό χώρο; Γιατί χρειάζεται τόση προσπάθεια για να ανακαλύψουμε τελικά ποια είναι η περαιτέρω μοίρα ενός τμήματος του χρόνου ή μιας σταγόνας χώρου;

Ρύζι. 5.1. Ένας νέος τρόπος μελέτης του εκκρεμούς.

Ένα σημείο στο χώρο φάσης (στα δεξιά)μεταδίδει όλες τις πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση του δυναμικού συστήματος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (αριστερά). Για ένα απλό εκκρεμές, δύο αριθμοί αρκούν για να αντιπροσωπεύσουν την ταχύτητα και τη θέση του.

Τα σημεία σχηματίζουν μια τροχιά που σας επιτρέπει να απεικονίσετε τη συνεχή συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος για μεγάλο χρονικό διάστημα. Ένας επαναλαμβανόμενος "βρόχος" αντιπροσωπεύει ένα σύστημα που αναπαράγει πάντα την ίδια κατάσταση του εαυτού του. Εάν η επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά είναι σταθερή, όπως ένα ρολόι με εκκρεμές, το σύστημα, με μικρή παρεμβολή, επιστρέφει στην προηγούμενη τροχιά κίνησης. Στον χώρο των φάσεων, οι τροχιές κοντά στην τροχιά εμπλέκονται, όπως λέμε, σε αυτόν, και η ίδια η τροχιά είναι ένας ελκυστής.

Ρύζι. 5.2. Ένας ελκυστήρας μπορεί να είναι ένα μόνο σημείο. Στην περίπτωση ενός εκκρεμούς που χάνει συνεχώς ενέργεια λόγω τριβής, όλες οι τροχιές έχουν τη μορφή σπείρας, που στρίβει προς τα μέσα προς το σημείο στο οποίο το σύστημα είναι σταθερό, οπότε δεν υπάρχει καθόλου κίνηση.

Όπως πολλοί από εκείνους που αντιμετώπισαν το χάος, ο David Ruelle υποψιαζόταν ότι τα αντικείμενα που φαίνονται σε μια ταραχώδη ροή - μπλεγμένοι πίδακες, σπειροειδείς δίνες, μαγικές μπούκλες που εμφανίζονται και εξαφανίζονται ξανά - πρέπει να αντικατοπτρίζουν αυτό που εξηγείται από τους νόμους της φυσικής, αλλά ανήκαν ακόμα στους σφαίρα μυστηριώδης και ανεξερεύνητη. Κατά την κατανόησή του, η διασπορά της ενέργειας σε μια τυρβώδη ροή θα έπρεπε να έχει οδηγήσει σε ένα είδος συστολής του χώρου φάσης, έλξη προς τον ελκυστήρα. Αναμφίβολα, το τελευταίο δεν παρέμεινε σταθερό σημείο, αφού η ροή δεν ήρθε ποτέ σε κατάσταση ηρεμίας - η ενέργεια εισήλθε στο σύστημα και έφυγε από αυτό. Τι άλλο θα μπορούσε να είναι ελκυστικός; Εκτός από τα περιγραφόμενα, σύμφωνα με το δόγμα, υπήρχε μόνο ένας πιθανός τύπος - ένας περιοδικός ελκυστής ή μια κλειστή καμπύλη, μια τροχιά που προσελκύει όλες τις κοντινές τροχιές. Εάν το εκκρεμές λαμβάνει ενέργεια από την ανάρτηση και τη χάσει λόγω τριβής, τότε μια σταθερή τροχιά μπορεί να είναι ένας κλειστός βρόχος στο χώρο φάσης, αντανακλώντας, για παράδειγμα, τις κανονικές ταλαντωτικές κινήσεις του εκκρεμούς του παππού ρολογιού. Ανεξάρτητα από το πού ακριβώς αρχίζει να κινείται το εκκρεμές, τελικά θα έρθει στη συγκεκριμένη τροχιά. Θα έρθει όμως; Λόγω κάποιων αρχικών συνθηκών (και χαρακτηρίζονται από ελάχιστη ενέργεια), το εκκρεμές θα σταματήσει. Έτσι, αποδεικνύεται ότι το σύστημα έχει στην πραγματικότητα δύο ελκυστήρες, ο ένας από τους οποίους είναι ένας κλειστός βρόχος και ο άλλος είναι ένα σταθερό σημείο. Κάθε ένας από τους ελκυστήρες έχει τη δική του «κόγχη» στο χώρο της φάσης. Γενικά, μοιάζει με δύο κοιλάδες ποταμών που οριοθετούνται από λεκάνη απορροής.

Σε σύντομο χρονικό διάστημα, κάθε σημείο του χώρου φάσης μπορεί να σημαίνει την πιθανή συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος. Κατά τη μελέτη της μακροπρόθεσμης προοπτικής, οι ίδιοι οι ελκυστές γίνονται τα μόνα μοντέλα συμπεριφοράς. Όλοι οι άλλοι τύποι κίνησης είναι παροδικοί. Εξ ορισμού, οι ελκυστήρες έχουν την πιο σημαντική ποιότητα - τη σταθερότητα. Σε ένα πραγματικό σύστημα όπου τα κινούμενα στοιχεία συγκρούονται και ταλαντεύονται λόγω του περιβαλλοντικού θορύβου, η κίνηση συνήθως επιστρέφει στον ελκυστήρα. Η ώθηση μπορεί να παραμορφώσει την τροχιά για μικρό χρονικό διάστημα, αλλά οι τυχαίες κινήσεις που συμβαίνουν εξαφανίζονται γρήγορα - ακόμα κι αν η γάτα αγγίξει ξαφνικά το ρολόι του εκκρεμούς, το λεπτό δεν θα αυξηθεί στα εξήντα δύο δευτερόλεπτα. Ωστόσο, οι αναταράξεις στα υγρά είναι ένα φαινόμενο διαφορετικής τάξης, που δεν παράγει ποτέ ούτε έναν ρυθμό. Μια πολύ γνωστή ιδιότητα ενός τέτοιου φαινομένου είναι ότι σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, παρατηρείται ολόκληρο το φάσμα των πιθανών ταλαντώσεων. Ο στροβιλισμός μπορεί να συγκριθεί με «λευκό θόρυβο» ή με στατικό. Θα μπορούσε ένα απλό ντετερμινιστικό σύστημα εξισώσεων να περιγράψει ένα τέτοιο φαινόμενο;

Οι Ruelle και Takens αναρωτήθηκαν αν οποιοσδήποτε άλλος τύπος ελκυστήρα έχει ένα κατάλληλο σύνολο χαρακτηριστικών: σταθερότητα, μικρός αριθμός διαστάσεων, μη περιοδικότητα. Η βιωσιμότητα σήμαινε την επίτευξη της τελικής κατάστασης του συστήματος ενάντια σε όλες τις πιθανότητες σε έναν θορυβώδη κόσμο. Ο μικρός αριθμός μετρήσεων υποδηλώνει ότι η τροχιά στο χώρο φάσης πρέπει να είναι ένα ορθογώνιο ή ένα σχήμα κουτιού με λίγους μόνο βαθμούς ελευθερίας. Το μη περιοδικό σήμαινε καμία επανάληψη, τίποτα σαν το μονότονο τικ των παλιών ρολογιών. Από γεωμετρικής άποψης, η ερώτηση έμοιαζε με καθαρό παζλ. Τι μορφή πρέπει να έχει μια τροχιά, σχεδιασμένη σε περιορισμένο χώρο, ώστε να μην επαναλαμβάνεται ποτέ και να μην τέμνεται; Άλλωστε, ένα σύστημα που έχει επιστρέψει στην προηγούμενη κατάστασή του, σύμφωνα με το αποδεκτό μοντέλο, θα πρέπει να ακολουθήσει τη συνήθη πορεία του. Να παίξουμε κάθερυθμό, η τροχιά πρέπει να είναι μια απείρως μεγάλη γραμμή σε μια περιορισμένη περιοχή. Πρέπει δηλαδή να γίνει φράκταλ.

Με βάση μαθηματικούς λόγους, οι Ruelle και Takens διακήρυξαν ότι το περιγραφόμενο φαινόμενο πρέπει να υπάρχει. Αν και δεν τον είδαν ούτε τον απεικόνισαν ποτέ, μια δήλωση ήταν αρκετή. Στη συνέχεια, μιλώντας σε μια συνάντηση ολομέλειας του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών στη Βαρσοβία, ο Ruell είπε: «Η επιστημονική κοινότητα αντέδρασε πολύ ψύχραιμα στην πρότασή μας. Η αναφορά ότι ένα συνεχές φάσμα θα συνδεόταν με έναν μικρό αριθμό «βαθμών ελευθερίας» θεωρήθηκε από πολλούς φυσικούς ως απλώς αίρεση. Αλλά υπήρχαν και άλλοι - μια χούφτα, όχι περισσότερο. Νιώθοντας την πλήρη σημασία του έργου που δημοσιεύτηκε το 1971, άρχισαν να περιγράφουν τι υπονοείται σε αυτό.

Στην πραγματικότητα, μέχρι το 1971, υπήρχε ήδη ένα μικρό σκίτσο στην επιστημονική βιβλιογραφία του αφάνταστου τέρατος που ο Ruelle και ο Taken προσπαθούσαν να αναβιώσουν.

Ρύζι. 5.3. Ο πρώτος παράξενος ελκυστήρας. Το 1963, ο Edward Lorenz ήταν σε θέση να υπολογίσει μόνο τα πρώτα λίγα στοιχεία του ελκυστήρα για το απλό σύστημα εξισώσεων του. Ωστόσο, συνειδητοποίησε ότι το «στρώμα» δύο μορφών που μοιάζουν με φτερά πρέπει να έχει μια ασυνήθιστη δομή, δυσδιάκριτη σε μικρή κλίμακα.

Ο Edward Lorenz το έκανε παράρτημα στην εργασία του για το ντετερμινιστικό χάος, που δημοσιεύτηκε το 1963. Αυτή η εικόνα ήταν μια σύνθετη κατασκευή δύο καμπυλών, η μία μέσα στην άλλη, στα δεξιά και πέντε καμπύλες στα αριστερά. Μόνο για μια σχηματική αναπαράσταση αυτών των επτά «βρόχων» χρειάστηκαν πεντακόσια μαθηματικές πράξειςεκτελέστηκε με επιτυχία από υπολογιστή. Το σημείο, που κινείται κατά μήκος της καθορισμένης τροχιάς στο χώρο φάσης, έδειξε μια αργή χαοτική περιστροφή των ροών ρευστού, η οποία περιγράφηκε από τρεις εξισώσεις Lorentz για το φαινόμενο της μεταφοράς. Δεδομένου ότι το σύστημα χαρακτηριζόταν από τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές, αυτός ο ελκυστήρας βρισκόταν σε έναν τρισδιάστατο χώρο φάσης. Και παρόλο που απεικονίστηκε μόνο ένα κομμάτι του, ο Λόρεντζ μπόρεσε να δει πολύ περισσότερα: κάτι σαν διπλή έλικα, φτερά πεταλούδας υφασμένα με εκπληκτική δεξιοτεχνία. Όταν μια αύξηση της ποσότητας θερμότητας στο σύστημα Lorentz έκανε το ρευστό να κινηθεί προς μία κατεύθυνση, το σημείο βρισκόταν στο δεξί «φτερό», όταν η ροή σταμάτησε και γύριζε, το σημείο μετακινήθηκε προς την άλλη πλευρά.

Ο ελκυστήρας ήταν σταθερός, μη περιοδικός, είχε μικρό αριθμό διαστάσεων και δεν διέσχιζε ποτέ τον εαυτό του. Εάν συνέβαινε αυτό και επέστρεφε στο σημείο που είχε ήδη περάσει, η κίνηση θα επαναλαμβανόταν στο μέλλον, σχηματίζοντας έναν περιοδικό βρόχο, αλλά αυτό δεν συνέβη. Αυτή ήταν η παράξενη γοητεία του ελκυστήρα: οι θηλιές και οι σπείρες που εμφανίζονταν στο βλέμμα φαίνονταν απείρως βαθιές, ποτέ τελείως συνδεδεμένες ή διασταυρούμενες. Παρόλα αυτά παρέμειναν εντός του χώρου, ο οποίος είχε το δικό του όριο και περιοριζόταν από το πλαίσιο του κουτιού. Γιατί αυτό έγινε δυνατό; Πώς μπορεί ένας άπειρος αριθμός τροχιών να βρίσκεται σε έναν περιορισμένο χώρο;

Πριν πλημμυρίσουν κυριολεκτικά οι εικόνες των φράκταλ Mandelbrot επιστημονικό κόσμο, φαινόταν πολύ δύσκολο να φανταστεί κανείς τα χαρακτηριστικά της κατασκευής τέτοιων μορφών. Ο ίδιος ο Λόρεντς παραδέχτηκε ότι υπήρχε μια «φανερή αντίφαση» στη δική του πειραματική περιγραφή. «Είναι πολύ δύσκολο να συγχωνευθούν δύο επιφάνειες εάν η καθεμία περιέχει μια σπείρα και οι τροχιές δεν ενώνονται», παραπονέθηκε ο επιστήμονας. Ωστόσο, στη μάζα των υπολογισμών του υπολογιστή, διέκρινε ακόμα μια αμυδρά ορατή λύση. Ο Λόρεντς συνειδητοποίησε ότι όταν οι σπείρες ξεκάθαρα άρχισαν να συνδέονται, οι επιφάνειες πρέπει να χωριστούν, σχηματίζοντας ξεχωριστά στρώματα, σαν σε μια στοίβα χαρτιού γραφής. «Βλέπουμε ότι κάθε επιφάνεια αποτελείται στην πραγματικότητα από δύο επιφάνειες, έτσι ώστε όταν συγκλίνουν, υπάρχουν ήδη τέσσερις. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, σημειώνουμε ότι υπάρχουν οκτώ επιφάνειες κ.ο.κ.. Ως αποτέλεσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός επιφανειών, καθεμία από τις οποίες είναι εξαιρετικά κοντά σε μία από τις δύο συνδετικές επιφάνειες. Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το 1963 οι μετεωρολόγοι αγνόησαν τέτοιες σκέψεις. Μια δεκαετία αργότερα, ο Ruelle, μαθαίνοντας για το έργο του Lorenz, έμεινε κυριολεκτικά έκπληκτος. Στη συνέχεια, επισκέφτηκε τον Lorenz, αλλά απομακρύνθηκε από αυτή τη συνάντηση ελαφριά αίσθησηαπογοήτευση. Οι ερευνητές δεν συζήτησαν κοινά επιστημονικά ενδιαφέροντα για πολύ καιρό. με τη χαρακτηριστική δειλία του, ο Lorenz απέφυγε τις διαμάχες και προσπάθησε να δώσει στην επίσκεψη έναν κοσμικό χαρακτήρα: επιστήμονες και οι γυναίκες τους επισκέφτηκαν ένα μουσείο τέχνης.

Προσπαθώντας να βρουν στοιχεία για να λύσουν τον γρίφο, ο Ρουέλ και ο Τέικενς έκαναν δύο τρόπους. Συγκεκριμένα, προσπάθησαν να δώσουν μια θεωρητική αιτιολόγηση για περίεργους ελκυστήρες. Ήταν τυπικός ο ελκυστής Lorenz; Υπάρχουν άλλες μορφές δυνατές; Ο δεύτερος δρόμος στον οποίο ακολούθησαν οι επιστήμονες ήταν η πειραματική δραστηριότητα. Επιδίωξε τον στόχο να επιβεβαιώσει ή να αντικρούσει την πεποίθηση, η οποία απέχει πολύ από τα μαθηματικά, ότι οι παράξενοι ελκυστές μπορούν να εφαρμοστούν στο χάος στη φύση.

Στην Ιαπωνία, η έρευνα σε ηλεκτρονικά κυκλώματα που προσομοίωσαν τη δόνηση των μηχανικών χορδών, αλλά με επιταχυνόμενο ρυθμό, οδήγησε τον Yoshisuke Ueda να ανακαλύψει μια σειρά απίστευτα όμορφων παράξενων ελκυστών. Στη Γερμανία, ο Otto Rössler, ένας μη ασκούμενος M.D. που ήρθε για να εξερευνήσει το χάος μέσω της χημείας και της θεωρητικής βιολογίας, προσπάθησε να δει τους περίεργους ελκυστήρες μέσα από έναν φιλοσοφικό φακό, αφήνοντας τα μαθηματικά στο παρασκήνιο. Το όνομά του συνδέθηκε με έναν από τους πιο απλούς ελκυστήρες - μια στενή διπλωμένη κορδέλα, η οποία μελετήθηκε αρκετά εκτενώς λόγω της ευκολίας κατασκευής της. Ωστόσο, ο επιστήμονας έβαλε σε ορατή μορφή και ελκυστήρες με μεγάλο αριθμό διαστάσεων. «Φανταστείτε ένα λουκάνικο, μέσα του οποίου είναι κλειστό, το ένα μέσα στο άλλο, περισσότερα λουκάνικα», είπε. «Βγάλτε το, τυλίξτε το, στύψτε το και βάλτε το πίσω». Πράγματι, η κάμψη και η συστολή του χώρου αποδείχτηκε ότι ήταν το κλειδί για την κατασκευή περίεργων ελκυστών και, ίσως, ακόμη και για τη δυναμική που τους δημιούργησε. πραγματικά συστήματα. Ο Rössler θεώρησε ότι αυτές οι μορφές προσωποποιούσαν την αρχή της αυτοοργάνωσης του περιβάλλοντος κόσμου. Κάτι σαν ανεμοκάλτσα σε αεροδρόμιο τράβηξε τη φαντασία του. «Ένα μανίκι κλειστό στο ένα άκρο με μια τρύπα στο άλλο άκρο, όπου ο άνεμος ορμάει», εξήγησε ο ερευνητής. - Ξαφνικά ο άνεμος παγιδεύτηκε. Η ενέργειά του κάνει κάτι παραγωγικό, όπως ο διάβολος στη μεσαιωνική ιστορία. Η αρχή είναι ότι η φύση κάνει κάτι παρά τη θέλησή της και, μπλεγμένη μέσα της, γεννά την ομορφιά.

Η δημιουργία εικόνων περίεργων ελκυστών δύσκολα μπορεί να χαρακτηριστεί συνηθισμένη. Τα περίπλοκα μονοπάτια των τροχιών τυλίγονται σε τρεις ή περισσότερες διαστάσεις, σχηματίζοντας ένα σκοτεινό κουβάρι στο χώρο που μοιάζει με παιδικές μουντζούρες και είναι προικισμένο με μια εσωτερική δομή αόρατη από έξω. Για να αναπαραστήσουν έναν τέτοιο τρισδιάστατο «ιστό» με τη μορφή επίπεδων εικόνων, οι επιστήμονες εφάρμοσαν αρχικά την τεχνική της προβολής. Το σχέδιο ήταν μια σκιά που έριξε ο ελκυστήρας στην επιφάνεια. Ωστόσο, αν οι περίεργοι ελκυστήρες είναι αρκετά περίπλοκοι, η προβολή θολώνει όλες τις λεπτομέρειες και το μάτι παρουσιάζεται με μια σύγχυση που είναι σχεδόν αδύνατο να αποκρυπτογραφηθεί. Μια πιο αποτελεσματική τεχνική είναι η κατασκευή του λεγόμενου αντίστροφο κύκλωμα,ή διαγράμματα (τμήματα) του Πουανκαρέ. Η ουσία του συνοψίζεται στον διαχωρισμό μιας «φέτας» του μπερδεμένου πυρήνα του ελκυστήρα και στη μεταφορά του σε δισδιάστατο χώρο, όπως ένας παθολόγος τοποθετεί ένα τμήμα ιστού σε μια πλάκα μικροσκοπίου.

Το σχήμα του Poincare στερεί από τον ελκυστήρα μια διάσταση και μετατρέπει μια συνεχή γραμμή σε μια συλλογή σημείων. Μεταμορφώνοντας τον ελκυστήρα στο σχήμα Poincare, ο επιστήμονας δεν αμφιβάλλει ούτε για ένα λεπτό ότι θα διατηρήσει την ίδια την ουσία της κίνησης. Μπορεί να φανταστεί, για παράδειγμα, ότι ένας παράξενος ελκυστής αιωρείται σαν μέλισσα μπροστά στα μάτια του και οι τροχιές του ελκυστήρα κινούνται πάνω-κάτω, αριστερά και δεξιά, μπρος-πίσω στην οθόνη του υπολογιστή και κάθε φορά που ο ελκυστής περιστρέφεται διασχίζει το επίπεδο της οθόνης, αφήνει μια λαμπερή κουκκίδα στη διασταύρωση. Τέτοιες κουκκίδες είτε σχηματίζουν ένα σημείο αυθαίρετου σχήματος παρόμοιο με μια κηλίδα, είτε αρχίζουν να σχεδιάζουν ένα συγκεκριμένο περίγραμμα στην οθόνη.

Η διαδικασία που περιγράφεται παραπάνω αντιστοιχεί στη δειγματοληψία της κατάστασης του συστήματος, η οποία δεν πραγματοποιείται συνεχώς, αλλά μόνο από καιρό σε καιρό. Το πότε θα ληφθεί ένα δείγμα, δηλαδή, από ποια περιοχή του παράξενου ελκυστήρα θα κόψει μια φέτα, εξαρτάται από τον ερευνητή. Το χρονικό διάστημα που περιέχει ο μεγαλύτερος αριθμόςπληροφορίες πρέπει να αντιστοιχούν σε ορισμένες φυσική ιδιοκτησίαδυναμικό σύστημα. Για παράδειγμα, στο σχήμα του Πουανκαρέ, μπορεί κανείς να αντικατοπτρίζει την ταχύτητα του εκκρεμούς κάθε φορά που περνάει από τα περισσότερα χαμηλό σημείο. Ή ο πειραματιστής είναι ελεύθερος να επιλέξει ένα ορισμένο κανονικό χρονικό διάστημα, «παγώνοντας» διαδοχικές καταστάσεις σε λάμψεις φανταστικού φωτός που εκπέμπεται από μια στροβοσκοπική πηγή. Σε κάθε περίπτωση, οι εικόνες που θα προκύψουν θα δείξουν τελικά την κομψή δομή φράκταλ για την οποία μάντεψε ο Έντουαρντ Λόρεντς.

Ρύζι. 5.4. Δομή ελκυστήρα. Ο παράξενος ελκυστής, όπως φαίνεται στις κορυφαίες φωτογραφίες, έχει πρώτα μια τροχιά, μετά δέκα και μετά εκατό. Περιγράφει τη χαοτική συμπεριφορά ενός ρότορα εκκρεμούς, που ταλαντώνεται γύρω από τον κύκλο και τίθεται σε τακτική κίνηση από μια εισροή ενέργειας. Μετά από λίγο, όταν χίλιες τροχιές εμφανίζονται στο σχήμα (παρακάτω), ο ελκυστήρας θα μετατραπεί σε μια μπλεγμένη μπάλα. Για να μπορέσω να το εξερευνήσω εσωτερική δομή, ο υπολογιστής κάνει μια διατομή του ελκυστήρα - το λεγόμενο τμήμα Poincare (εικόνα σε κορνίζα). Αυτή η τεχνική μειώνει τον αριθμό των μετρήσεων από τρεις σε δύο. Κάθε φορά που η τροχιά διασχίζει το αεροπλάνο, αφήνει ένα σημείο πάνω του. Σταδιακά, προκύπτει μια εξαιρετικά λεπτομερής εικόνα. Το δείγμα που εμφανίζεται εδώ αποτελείται από περισσότερα από οκτώ χιλιάδες σημεία, καθένα από τα οποία βρίσκεται σε μια τροχιά που περιβάλλει τον ελκυστήρα. Στην πραγματικότητα, το σύστημα μετράται σε τακτά χρονικά διαστήματα. Κάποια δεδομένα χάνονται, άλλα όμως αποκαλύπτονται με όλη τους την ποικιλομορφία.

Ο πιο κατανοητός και πιο απλός παράξενος ελκυστήρας κατασκευάστηκε από έναν άνθρωπο που απέχει πολύ από τα μυστήρια των αναταράξεων και της υδροδυναμικής - ο αστρονόμος Michel Henon από το Αστεροσκοπείο της Νίκαιας στη νότια ακτή της Γαλλίας. Αναμφίβολα, από ορισμένες απόψεις, η αστρονομία έδωσε ώθηση στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων. Πλανήτες που κινούνταν με την ακρίβεια ενός ρολόι εξασφάλισαν τον θρίαμβο του Νεύτωνα και ενέπνευσαν τον Λαπλάς. Ωστόσο, η ουράνια μηχανική διέφερε σημαντικά από την επίγεια: τα επίγεια συστήματα που χάνουν ενέργεια λόγω της τριβής είναι διασκορπιστικά, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για αστρονομικά συστήματα που θεωρούνται συντηρητικά ή χαμιλτονικά. Μάλιστα, σε μια κλίμακα κοντά στην απειροελάχιστη, ακόμα και σε αστρονομικά συστήματα, παρατηρείται κάτι σαν φρενάρισμα. Συμβαίνει όταν τα αστέρια ακτινοβολούν ενέργεια και η παλιρροιακή τριβή εξαντλεί την κινητική ενέργεια των ουράνιων σωμάτων που βρίσκονται σε τροχιά. Ωστόσο, για πρακτική ευκολία, οι αστρονόμοι παραμελούν τη σκέδαση στους υπολογισμούς τους και χωρίς αυτήν, ο χώρος φάσης δεν θα διπλωθεί και θα συρρικνωθεί έτσι ώστε να σχηματιστεί ένας άπειρος αριθμός φράκταλ στρωμάτων. Ένας περίεργος ελκυστής δεν μπορεί να προκύψει. Τι γίνεται με το χάος;

Περισσότεροι από ένας αστρονόμοι έχουν κάνει καριέρα παρακάμπτοντας τα δυναμικά συστήματα, αλλά ο Oenon δεν ήταν έτσι. Γεννήθηκε στο Παρίσι το 1931, λίγα μόνο χρόνια αργότερα από τον Λόρεντς. Ο Oenon, επίσης, ήταν ο τύπος του επιστήμονα που έλκονταν απαρέγκλιτα από τα μαθηματικά. Του άρεσε να λύνει μικρά συγκεκριμένα ζητήματα που θα μπορούσαν να συνδεθούν με ορισμένα σωματικά προβλήματα, - με τα δικά του λόγια, «όχι αυτό που κάνουν οι σύγχρονοι μαθηματικοί». Όταν οι υπολογιστές έγιναν διαθέσιμοι ακόμα και σε ερασιτέχνες, η Oenon είχε επίσης αυτοκίνητο. Έχοντας το συλλέξει με το δικό του χέρι, ο επιστήμονας απόλαυσε τη διασκέδαση στον υπολογιστή. Παρεμπιπτόντως, πολύ πριν από τα περιγραφόμενα γεγονότα, μελέτησε ένα ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα από τον τομέα της υδροδυναμικής. Αφορούσε σφαιρικά σμήνη - σφαιρικά σμήνη αστέρων, στα οποία ο αριθμός των φωτιστικών έφτανε το ένα εκατομμύριο. Αυτά είναι τα παλαιότερα και πιο ενδιαφέροντα αντικείμενα στον νυχτερινό ουρανό. Η πυκνότητά τους είναι εκπληκτική. Πώς ένας τέτοιος τεράστιος αριθμός άστρων συνυπάρχουν σε περιορισμένο χώρο και εξελίσσονται με την πάροδο του χρόνου, οι αστρονόμοι προσπαθούσαν να καταλάβουν κατά τη διάρκεια του 20ου αιώνα.

Από την άποψη της δυναμικής, ένα σφαιρικό σύμπλεγμα, το οποίο περιλαμβάνει πολλά σώματα, είναι ένα αρκετά σημαντικό αντικείμενο μελέτης. Οταν μιλαμεσχετικά με ένα ζευγάρι αντικειμένων, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες - ο Νεύτωνας έλυσε πλήρως αυτό το πρόβλημα: καθένα από ένα ζευγάρι σωμάτων, για παράδειγμα, η Γη και η Σελήνη, περιγράφει μια ιδανική έλλειψη γύρω από το κοινό κέντρο βάρους του συστήματος. Αλλά προσθέστε τουλάχιστον ένα ακόμη βαρυτικό αντικείμενο και όλα αλλάζουν. Το πρόβλημα, στο οποίο εμφανίζονται τρία σώματα, είναι ήδη κάτι παραπάνω από δύσκολο. Όπως έδειξε ο Πουανκαρέ, στις περισσότερες περιπτώσεις δεν μπορεί να αποφασιστεί. Είναι δυνατός ο υπολογισμός των τροχιών για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα και με τη βοήθεια ισχυρών υπολογιστών είναι δυνατός ο εντοπισμός τους για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα έως ότου συμβεί παρεμβολή, αλλά οι εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν αναλυτικά, δηλαδή μια μακροπρόθεσμη πρόβλεψη η συμπεριφορά ενός συστήματος τριών σωμάτων δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Είναι σταθερό το ηλιακό σύστημα; Φυσικά, μια τέτοια ιδιότητα είναι εγγενής σε αυτό, αλλά ακόμη και σήμερα κανείς δεν είναι σίγουρος ότι οι τροχιές ορισμένων πλανητών δεν θα αλλάξουν πέρα ​​από την αναγνώριση, αναγκάζοντας τα ουράνια σώματα να εγκαταλείψουν τον Ήλιο για πάντα.

Ένα σύστημα όπως το σφαιρικό σύμπλεγμα είναι πολύ περίπλοκο για να το προσεγγίσουμε τόσο ξεκάθαρα όσο το ζήτημα των τριών σωμάτων. Ωστόσο, η δυναμική του συμπλέγματος μπορεί να μελετηθεί με κάποια κόλπα. Είναι αρκετά αποδεκτό, ειδικότερα, να εξετάσουμε τα μεμονωμένα αστέρια που ταξιδεύουν στο διάστημα σε κάποιο μέσο βαρυτικό πεδίο με ένα ορισμένο κέντρο βάρους. Από καιρό σε καιρό δύο αστέρια πλησιάζουν αρκετά το ένα στο άλλο, και σε αυτή την περίπτωση κάθε ένα από τα αλληλεπιδρώντα σώματα θα πρέπει να εξετάζεται χωριστά. Οι αστρονόμοι συνειδητοποίησαν ότι τα σφαιρικά σμήνη δεν πρέπει να είναι καθόλου σταθερά: μέσα σε αυτά σχηματίζονται συνήθως τα λεγόμενα δυαδικά συστήματα αστεριών, στα οποία τα αστέρια κινούνται σε ζεύγη σε μικρές συμπαγείς τροχιές. Όταν ένα τρίτο αστέρι συγκρούεται με ένα τέτοιο σύστημα, ένα από τα τρία θα δεχτεί συνήθως ένα απότομο τράνταγμα. Με την πάροδο του χρόνου, η ενέργεια που αποκτά μέσω αυτής της αλληλεπίδρασης θα φτάσει σε ένα επίπεδο ικανό ώστε το αστέρι να πάρει ταχύτητα, επιτρέποντάς του να ξεφύγει από το σμήνος. Έτσι, ένα από τα σώματα φεύγει από το σύστημα και ο χώρος του συμπλέγματος μετά από αυτό συμπιέζεται ελαφρά. Όταν ο Ενόν επέλεξε το σμήνος ως αντικείμενο της διδακτορικής του διατριβής, υπέθεσε αυθαίρετα ότι ένα σφαιρικό αστρικό σμήνος, αφού άλλαζε την κλίμακα του, θα παρέμενε εσωτερικά παρόμοιο. Έχοντας κάνει τους υπολογισμούς, ο επιστήμονας έλαβε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα: ο πυρήνας του συμπλέγματος θα «ισιώσει», αποκτώντας κινητική ενέργεια και τείνει σε μια απείρως πυκνή κατάσταση. Ήταν δύσκολο να φανταστεί κανείς κάτι τέτοιο. Επιπλέον, τα δεδομένα της έρευνας συστάδων που ελήφθησαν μέχρι εκείνη τη στιγμή δεν επιβεβαίωσαν αυτό το συμπέρασμα. Ωστόσο, η θεωρία του Oenon, που αργότερα ονομάστηκε βαρυτική-θερμική κατάρρευση, κατέλαβε σταδιακά το μυαλό των επιστημόνων.

Ενθαρρυμένος από το αποτέλεσμα και έτοιμος για τις εκπλήξεις που είναι πολύ πιθανές στην επιστημονική εργασία, ο αστρονόμος στράφηκε στα ευκολότερα ερωτήματα της αστρικής δυναμικής. Προσπάθησε να κάνει αίτηση μαθηματική προσέγγισησε γνωστά προβλήματα. Επισκεπτόμενος το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον το 1962, ο Ένον απέκτησε για πρώτη φορά πρόσβαση σε έναν υπολογιστή και, όπως ο Λόρεντς στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης, άρχισε να μοντελοποιεί τις τροχιές των αστεριών γύρω από τα κέντρα βάρους τους. Μέσα σε μια λογική απλούστευση, οι γαλαξιακές τροχιές μπορούν να θεωρηθούν ως τροχιές πλανητών, αλλά με μια εξαίρεση: το κέντρο βάρους εδώ δεν είναι ένα σημείο, αλλά ένας τρισδιάστατος δίσκος.

Ο Ενόν συμβιβάστηκε. «Για μεγαλύτερη ελευθερία έρευνας», είπε, «ας ξεχάσουμε για λίγο ότι το πρόβλημα είναι παρμένο από την αστρονομία. Αν και ο επιστήμονας δεν το ανέφερε, η «ελευθερία της έρευνας» σήμαινε εν μέρει τη δυνατότητα χρήσης υπολογιστή. Η χωρητικότητα μνήμης του υπολογιστή του, που ήταν πολύ αργόστροφος, ήταν χίλιες φορές μικρότερη από αυτή των προσωπικών υπολογιστών που εμφανίστηκαν είκοσι πέντε χρόνια αργότερα. Όμως, όπως και άλλοι ειδικοί που αργότερα εργάστηκαν για τα προβλήματα του χάους, ο Enon πίστευε ότι μια απλοποιημένη προσέγγιση θα δικαιολογούσε πλήρως τον εαυτό της. Εστιάζοντας μόνο στην ίδια την ουσία του συστήματός του, έκανε ανακαλύψεις που θα μπορούσαν να εφαρμοστούν σε άλλα, πιο πολύπλοκα συστήματα. Λίγα χρόνια αργότερα, ο υπολογισμός των γαλαξιακών τροχιών εξακολουθούσε να θεωρείται «διασκέδαση των θεωρητικών», ωστόσο, η δυναμική των αστρικών συστημάτων μετατράπηκε σε αντικείμενο αυστηρής και δαπανηρής έρευνας. Απευθυνόταν κυρίως από όσους ενδιαφέρθηκαν για τροχιές σωματιδίων σε επιταχυντές και σταθεροποίηση πλάσματος σε μαγνητικό πεδίο.

Σε μια περίοδο περίπου 200 εκατομμυρίων ετών, οι αστρικές τροχιές στους γαλαξίες αποκτούν τρεις διαστάσεις, χωρίς πλέον να σχηματίζουν τέλειες ελλείψεις. Οι τρισδιάστατες τροχιές της πραγματικής ζωής είναι εξίσου δύσκολο να απεικονιστούν με τις φανταστικές κατασκευές σε χώρο φάσης. Αυτό ώθησε τον Henon να καταφύγει σε μια τεχνική συγκρίσιμη με τη σύνταξη των διαγραμμάτων του Poincaré: ο επιστήμονας φαντάστηκε ότι στο ένα άκρο του γαλαξία ένα επίπεδο φύλλο ήταν τοποθετημένο κάθετα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε τροχιά, όπως ένα άλογο που περνά τη γραμμή τερματισμού στους αγώνες, πέρασε από αυτό. Το Oenon σημάδεψε το σημείο στο οποίο η τροχιά τέμνει το επίπεδο και εντόπισε την κίνηση του σημείου από τη μια τροχιά στην άλλη.

Ο Oenon σημάδεψε τις κουκκίδες με το χέρι, αλλά πολλοί άνθρωποι που χρησιμοποιούσαν αυτήν την τεχνική εργάζονταν ήδη με υπολογιστές, βλέποντας τις κουκκίδες να αναβοσβήνουν στην οθόνη σαν φανάρια αναμμένα το ένα μετά το άλλο το σούρουπο. Μια τυπική τροχιά θα ξεκινούσε από μια κουκκίδα στην κάτω αριστερή γωνία της εικόνας, στη συνέχεια στην επόμενη περιστροφή, η κουκκίδα θα μετακινηθεί μερικές ίντσες προς τα δεξιά, η νέα περιστροφή θα την έγερνε ελαφρά προς τα δεξιά και προς τα πάνω, κ.λπ. Αναγνώριση οποιοδήποτε σχήμα σε αυτό το πλαστήρι ήταν δύσκολο στην αρχή, ωστόσο όταν ο αριθμός των σημείων ξεπέρασε τα 10–12, άρχισε να εμφανίζεται μια καμπύλη, που έμοιαζε με το περίγραμμα ενός αυγού με τα περιγράμματα του. Διαδοχικά εμφανιζόμενα σημεία στην πραγματικότητα σχημάτισαν έναν κύκλο γύρω από την καμπύλη, αλλά επειδή δεν εμφανίζονταν στην ίδια θέση, με την πάροδο του χρόνου, όταν ο αριθμός τους αυξήθηκε σε εκατό ή χίλια, η καμπύλη σκιαγραφήθηκε ξεκάθαρα.

Οι περιγραφόμενες τροχιές δεν μπορούν να ονομαστούν εντελώς κανονικές, αφού δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με ακρίβεια. Ωστόσο, δεν θα είναι λάθος να τα θεωρήσουμε προβλέψιμα και μακριά από χαοτικά, γιατί τα σημεία δεν εμφανίζονται ποτέ μέσα στην καμπύλη ή έξω από αυτήν. Επιστρέφοντας στη διευρυμένη τρισδιάστατη εικόνα, μπορεί να σημειωθεί ότι οι καμπύλες σχεδιάζουν το περίγραμμα ενός toroid ή ντόνατ και το διάγραμμα του Henon είναι δικό του διατομή. Προς το παρόν, ο επιστήμονας απεικόνισε μόνο οπτικά αυτό που οι προκάτοχοί του θεωρούσαν ήδη αποδεδειγμένο - την περιοδικότητα των τροχιών. Στο Αστεροσκοπείο της Κοπεγχάγης για σχεδόν είκοσι χρόνια, από το 1910 έως το 1930, οι αστρονόμοι παρατήρησαν και υπολόγισαν προσεκτικά εκατοντάδες τροχιές, αλλά τους ενδιέφεραν μόνο οι περιοδικές. «Εγώ, όπως και άλλοι εκείνη την εποχή, ήμουν πεπεισμένος ότι όλες οι τροχιές πρέπει να χαρακτηρίζονται από κανονικότητα», θυμάται ο Henon. Ωστόσο, μαζί με τον μεταπτυχιακό του φοιτητή Karl Hejls, συνέχισε να υπολογίζει πολλές τροχιές, αυξάνοντας σταθερά το ενεργειακό επίπεδο του αφηρημένου του συστήματος. Και σύντομα κάτι εντελώς νέο άνοιξε μπροστά του.

Στην αρχή, η καμπύλη σε σχήμα αυγού άρχισε να λυγίζει, παίρνοντας πιο περίπλοκα σχήματα και σχηματίζοντας ένα σχήμα οκτώ. Στη συνέχεια έσπασε σε διάφορες ξεχωριστές μορφές, που έμοιαζαν με βρόχο (κάθε τροχιά κάμπτονταν από έναν βρόχο). Στη συνέχεια, σε υψηλότερα επίπεδα ενέργειας, έγινε μια άλλη ξαφνική μεταμόρφωση. «Ήρθε η ώρα να εκπλαγείτε», έγραψαν οι ερευνητές. Μερικές από τις τροχιές έδειξαν τέτοια αστάθεια που οι κουκκίδες «αναπήδησαν» τυχαία σε όλο το φύλλο χαρτιού. Σε ορισμένα σημεία, οι καμπύλες ήταν ακόμα ορατές και σε ορισμένα σημεία τα σημεία δεν σχηματίζονταν πλέον σε γραμμές. Η εικόνα ήταν εντυπωσιακή: ένα προφανές τελειωμένο χάος, στο οποίο φαινόταν καθαρά τα υπολείμματα σταθερότητας. Όλα μαζί σχεδίασαν περιγράμματα που οδήγησαν τους αστρονόμους να σκεφτούν κάποιο είδος «νησιών» ή «σειράς νησιών». Προσπάθησαν να δουλέψουν σε δύο διαφορετικούς υπολογιστές, δοκίμασαν άλλες μεθόδους ολοκλήρωσης, αλλά τα αποτελέσματα δεν άλλαξαν πεισματικά και οι επιστήμονες μπορούσαν μόνο να μελετήσουν και να σκεφτούν.

Ρύζι. 5.5. Περιφέρεται γύρω από το κέντρο του γαλαξία. Προσπαθώντας να κατανοήσει τις τροχιές που περιγράφουν τα αστέρια στο χώρο του γαλαξία, ο M. Enon εξέτασε την τομή των τροχιών με ένα επίπεδο. Οι εικόνες που προέκυψαν εξαρτήθηκαν από τη συνολική ποσότητα ενέργειας στο σύστημα. Τα σημεία μιας σταθερής τροχιάς σχημάτισαν σταδιακά μια συνεχή καμπύλη και σε άλλα ενεργειακά επίπεδα αποκαλύφθηκε μια πολύπλοκη δομή - ένα μείγμα χάους και τάξης, που αντιπροσωπεύεται από ζώνες διασποράς σημείων.

Με βάση τα δικά τους αριθμητικά δεδομένα, οι Enon και Heils πρότειναν την παρουσία μιας βαθιάς δομής στις προκύπτουσες εικόνες. Υπέθεσαν ότι με μια ισχυρή αύξηση θα εμφανιστούν όλο και περισσότερα μικρά νησιά και, ίσως, αυτό να συνεχιστεί επ' αόριστον. Υπήρχε επιτακτική ανάγκη για μια μαθηματική απόδειξη. «Ωστόσο, η εξέταση του θέματος από τη σκοπιά των μαθηματικών δεν φαινόταν τόσο εύκολη».

Ο Oenon στράφηκε σε άλλα ερωτήματα, αλλά δεκατέσσερα χρόνια αργότερα, αφού έμαθε για τους παράξενους ελκυστές του David Ruelle και του Edward Lorentz, ο αστρονόμος άρχισε να ενδιαφέρεται γι' αυτούς. Το 1976 εργαζόταν ήδη στο Αστεροσκοπείο της Νίκαιας, που βρίσκεται ψηλά πάνω από το επίπεδο Μεσόγειος θάλασσα, στο Big Cornice, και εκεί άκουσα την ιστορία ενός επισκέπτη φυσικού για τον ελκυστήρα Lorentz. Ο καλεσμένος, σύμφωνα με τον ίδιο, προσπάθησε με τη βοήθεια διαφόρων τεχνασμάτων να ξεκαθαρίσει την κομψή «μικροδομή» του ελκυστήρα, χωρίς ωστόσο να πετύχει απτή επιτυχία. Ο Oenon αποφάσισε ότι θα το έκανε αυτό, αν και τα συστήματα διάχυσης δεν ήταν στη σφαίρα των συμφερόντων του («μερικές φορές οι αστρονόμοι είναι επιφυλακτικοί μαζί τους - είναι πολύ ακατάστατα»).

Του φαινόταν λογικό να επικεντρωθεί μόνο στη γεωμετρική ουσία του αντικειμένου μελέτης, αφαιρώντας από τη φυσική του προέλευση. Όπου ο Lorentz και άλλοι χρησιμοποίησαν διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν συνεχείς αλλαγές στο χώρο και το χρόνο, ο Henon χρησιμοποίησε εξισώσεις διαφοράς που θα μπορούσαν να εξεταστούν χωριστά στο χρόνο. Σύμφωνα με τη βαθιά του πεποίθηση, το κλειδί για το ξετύλιγμα ήταν οι επαναλαμβανόμενες λειτουργίες τεντώματος και διπλώματος του χώρου φάσης - αυτές ακριβώς που μιμούνται τις ενέργειες ενός ζαχαροπλάστη που απλώνει τη ζύμη για κέικ, τη διπλώνει, μετά την ξανατυλίγει, τη διπλώνει. και πάλι, σχηματίζοντας έτσι μια εύθραυστη πολυστρωματική δομή. Ο Enon, έχοντας σχεδιάσει ένα οβάλ σε ένα φύλλο χαρτιού και αποφάσισε να το τεντώσει, επέλεξε έναν αλγόριθμο για αυτή τη λειτουργία, σύμφωνα με τον οποίο κάθε σημείο του οβάλ μετατοπίστηκε σε μια νέα θέση στη φιγούρα, η οποία υψωνόταν πάνω από το κέντρο σαν αψίδα. . Η διαδικασία που έγινε ήταν παρόμοια με την κατασκευή ενός χάρτη - σημείο προς σημείο, το οβάλ μετατράπηκε σε «καμάρα». Στη συνέχεια, ο Oenon ξεκίνησε μια δεύτερη επέμβαση - αυτή τη φορά μια συστολή που έσπρωχνε προς τα μέσα στις πλευρές του τόξου, καθιστώντας το πιο στενό. Και ο τρίτος μετασχηματισμός επέστρεψε τη στενή φιγούρα στις προηγούμενες διαστάσεις του και συνέπεσε ακριβώς με το αρχικό οβάλ. Για λόγους υπολογισμού, και οι τρεις κατασκευές θα μπορούσαν να συνδυαστούν σε μια ενιαία συνάρτηση.

Στο πνεύμα της μεταμόρφωσης του Oenon, επανέλαβαν την ιδέα του «πέταλου» του Smale. Οι υπολογισμοί που απαιτούσε η όλη διαδικασία ήταν τόσο εύκολοι που μπορούσαν να γίνουν χωρίς δυσκολία σε μια υπολογιστική μηχανή. Κάθε σημείο έχει δύο συντεταγμένες: Χπου δηλώνει τη θέση του στον οριζόντιο άξονα, και y, το οποίο καθορίζει τη θέση στον κατακόρυφο άξονα. Για να υπολογίσετε μια νέα τιμή για μια μεταβλητή Χ, πρέπει να πάρετε την προηγούμενη τιμή y, προσθέστε 1 σε αυτό και αφαιρέστε την προηγούμενη τιμή Χτετράγωνο, πολλαπλασιαζόμενο επί 1,4. Για να υπολογίσετε την τιμή yπολλαπλασιάστε την προηγούμενη τιμή Χκατά 0,3. Έτσι, παίρνουμε: Χνέος = y + 1–1,4Χ?; yνέο = 0,3 Χ. Η Oenon διάλεξε μια αρχική θέση σχεδόν τυχαία και, παίρνοντας μια αριθμομηχανή, άρχισε να παραμερίζει πόντους, έναν προς έναν, μέχρι που ο αριθμός τους έφτασε τις πολλές χιλιάδες. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον υπολογιστή IBM-7040, υπολόγισε γρήγορα τις συντεταγμένες των πέντε εκατομμυρίων σημείων. Μια τέτοια λειτουργία είναι διαθέσιμη σε οποιονδήποτε, καθώς απαιτεί μόνο έναν προσωπικό υπολογιστή με γραφική οθόνη.

Αρχικά, οι κουκκίδες φαινόταν να «πηδούν» τυχαία γύρω από την οθόνη, παράγοντας το ίδιο αποτέλεσμα με το τμήμα Poincare, το οποίο απεικονίζει έναν τρισδιάστατο ελκυστήρα να «περιπλανάται» μπρος-πίσω στην επιφάνεια της οθόνης, αλλά αρκετά γρήγορα για να δείξει ευδιάκριτο περίγραμμα, κυρτό σαν φρούτο μπανάνας. Όσο περισσότερο εκτελείται το πρόγραμμα, τόσο περισσότερες λεπτομέρειες εμφανίζονται. Φαίνεται ότι μέρη του σχεδίου έχουν ακόμη και πάχος. Ωστόσο, στο μέλλον, το τελευταίο χωρίζεται σε δύο ευδιάκριτες γραμμές, οι οποίες, με τη σειρά τους, αποκλίνουν σε τέσσερις: δύο πηγαίνουν δίπλα-δίπλα και οι άλλες δύο απομακρύνονται η μία από την άλλη. Μεγεθύνοντας την εικόνα, σημειώνουμε ότι κάθε μία από τις τέσσερις αναφερόμενες γραμμές περιλαμβάνει δύο, και ούτω καθεξής, επί άπειρον. Όπως ο ελκυστής Lorentz, ο ελκυστής Oenon παρουσιάζει μια ατελείωτη κίνηση προς την αντίθετη κατεύθυνση, σαν μια ατελείωτη σειρά από κούκλες matryoshka φωλιασμένες η μία μέσα στην άλλη.

Ρύζι. 5.6. Oenon ελκυστήρα. Ένας απλός συνδυασμός αναδίπλωσης και τεντώματος οδήγησε στη δημιουργία ενός ελκυστήρα που είναι εύκολο να υπολογιστεί, αλλά παρόλα αυτά ελάχιστα κατανοητός από τους μαθηματικούς. Με την εμφάνιση χιλιάδων και εκατομμυρίων κουκκίδων, όλο και περισσότερες λεπτομέρειες αναδύονται. Αυτό που φαίνεται να είναι μία γραμμή αποδεικνύεται ότι είναι ένα ζεύγος όταν μεγεθύνεται. Τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχουν ήδη τέσσερις γραμμές. Και όμως είναι αδύνατο να προβλεφθεί εάν δύο διαδοχικά εμφανιζόμενα σημεία θα παραμείνουν το ένα δίπλα στο άλλο ή θα βρίσκονται μακριά το ένα από το άλλο.

Η κρυμμένη λεπτομέρεια - κάποιες γραμμές μέσα σε άλλες - στην τελική της μορφή μπορεί να βρεθεί σε μια σειρά εικόνων που λαμβάνονται σε όλο και μεγαλύτερες μεγεθύνσεις. Ωστόσο, η υπερφυσική επιρροή ενός παράξενου ελκυστήρα μπορεί να βιωθεί με άλλο τρόπο, παρατηρώντας τη γέννηση μιας διακεκομμένης μορφής, που αναδύεται σαν φάντασμα από την ομίχλη. Οι κουκκίδες που εμφανίζονται τόσο τυχαία «διασκορπίζονται» στην επιφάνεια της οθόνης που η παρουσία οποιασδήποτε δομής στο σετ τους, για να μην αναφέρουμε τόσο μπερδεμένη και εύθραυστη, φαίνεται απίστευτη. Οποιαδήποτε διαδοχικά ανιχνευμένα σημεία απέχουν αυθαίρετα μεταξύ τους, όπως ακριβώς δύο σημεία στην αρχή μιας τυρβώδους ροής είναι γειτονικά. Έχοντας ορίσει οποιοδήποτε αριθμό πόντων, είναι αδύνατο να προβλέψουμε πού θα εμφανιστεί ο επόμενος. Μπορεί κανείς μόνο να υποθέσει ότι θα είναι κάπου μέσα στον ελκυστήρα.

Σημεία με τέτοιο βαθμό τυχαίας «διασκορπίζονται» μπροστά στα μάτια σας και το μοτίβο φαίνεται τόσο εφήμερο που άθελά σας ξεχνάτε ότι το παρατηρούμενο σχήμα ανήκει στους ελκυστές. Αυτά τα περιγράμματα δεν είναι σε καμία περίπτωση καμία τροχιά που περιγράφεται από ένα δυναμικό σύστημα. σε σχέση με αυτή την τροχιά, όλες οι άλλες συγκλίνουν σε ένα σημείο. Γι' αυτό η επιλογή των αρχικών συνθηκών δεν έχει καθόλου σημασία. Εφόσον το σημείο εκκίνησης βρίσκεται κοντά στον ελκυστήρα, τα επόμενα λίγα σημεία θα συγκλίνουν στον ελκυστήρα με ασυνήθιστη ταχύτητα.

Όταν, το 1974, ο David Ruelle επισκέφτηκε τον Gollab και τον Sweeney στο λιτό εργαστήριό τους, αποδείχθηκε ότι η θεωρία και το πείραμά της ήταν πολύ χαλαρά συνδεδεμένα. Το πλεονέκτημα ήταν αυτό: μερικά μαθηματικά, αρκετά τολμηρά αλλά τεχνικά αμφίβολα. ένας κύλινδρος με ένα τυρβώδες ρευστό του οποίου η συμπεριφορά δεν είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτη, αλλά σαφώς έρχεται σε αντίθεση με τη γενικά αποδεκτή θεωρία. Οι επιστήμονες πέρασαν ολόκληρο το πρώτο μισό της ημέρας συζητώντας την έρευνα και στη συνέχεια ο Sweeney και ο Gollub, μαζί με τις συζύγους τους, πήγαν διακοπές στα Adirondacks, όπου οι Gollubs είχαν μια καμπίνα. Δεν είδαν τον παράξενο ελκυστήρα με τα μάτια τους και δεν κατάλαβαν πολλά από αυτά που συμβαίνουν στο κατώφλι της αναταραχής, αλλά ήταν πεπεισμένοι ότι ο Landau έκανε λάθος και ο Ruelle έφτασε πολύ πιο κοντά στην αλήθεια.

Ένας παράξενος ελκυστής, αυτό το κομμάτι του σύμπαντος, που έγινε ορατό χάρη σε έναν υπολογιστή, ξεκίνησε ως μια απλή πιθανότητα. Σημάδεψε μόνο την περιοχή όπου δεν κατάφερε να διεισδύσει η πλούσια φαντασία πολλών επιστημόνων του 20ού αιώνα. Όταν οι υπολογιστές έκαναν τη δουλειά τους, οι ειδικοί συνειδητοποίησαν ότι η εικόνα που προέκυψε, όπως το πρόσωπο ενός γνωστού από καιρό, τρεμοπαίζει παντού: στη μελωδία τυρβώδεις ροές, πίσω από το πέπλο των σύννεφων που σκέπαζαν τον ουρανό. Η φύση έχει εξημερωθεί. Φαινόταν ότι η διαταραχή εισήχθη στο κυρίαρχο ρεύμα, αποσυντέθηκε σε μοτίβα στα οποία ένα κοινό μοτίβο μαντεύτηκε σιωπηρά.

Τα χρόνια πέρασαν και η αναγνώριση του φαινομένου των παράξενων ελκυστών άνοιξε τον δρόμο για μια επανάσταση στη μελέτη του χάους, δίνοντας σε όσους εμπλέκονται στους υπολογισμούς μια σαφή ερευνητική ατζέντα. Οι περίεργοι ελκυστήρες άρχισαν να αναζητούνται οπουδήποτε ήταν αισθητή η αταξία στα φυσικά φαινόμενα. Πολλοί έχουν υποστηρίξει ότι η βάση του καιρού στον πλανήτη Γη δεν είναι παρά ένας παράξενος ελκυστής. Άλλοι, έχοντας συγκεντρώσει εκατομμύρια στοιχεία από τις εκθέσεις των χρηματιστηρίων και τα επεξεργάστηκαν σε υπολογιστές, κοίταξαν τα αποτελέσματα με την ελπίδα να βρουν έναν ελκυστήρα και εκεί.

Στα μέσα της δεκαετίας του 1970, τέτοιες ανακαλύψεις ανήκαν ακόμα στο μέλλον. Τότε κανείς δεν είδε τον ελκυστήρα στα αποτελέσματα του πειράματος και τα μονοπάτια που οδηγούσαν σε αυτόν καλύφθηκαν με ομίχλη. Ο παράξενος ελκυστής γεμάτος με μαθηματικό περιεχόμενο άγνωστα μέχρι τώρα βασικά χαρακτηριστικά του χάους, ειδικότερα, «ισχυρή εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες». Το "Mixture" ήταν μια άλλη ιδιότητα που έκανε νόημα, ας πούμε, σε έναν σχεδιαστή κινητήρων αεριωθούμενων που ενδιαφέρεται για τον βέλτιστο συνδυασμό καυσίμου και οξυγόνου, αλλά κανείς δεν ήξερε πώς να μετρήσει τέτοια χαρακτηριστικά με την ανάθεση αριθμών σε αυτά. Οι παράξενοι ελκυστήρες έμοιαζαν να είναι φράκταλ, δηλαδή η πραγματική τους διάσταση ήταν κλασματική. Κανείς δεν ήξερε πώς να το μετρήσει ή πώς να χρησιμοποιήσει τα αποτελέσματα τέτοιων μετρήσεων για να λύσει πραγματικά προβλήματα μηχανικής.

Το πιο σημαντικό, κανείς δεν μπορούσε να πει αν οι περίεργοι ελκυστές θα άρουν το πέπλο της μυστικότητας πάνω από τα μη γραμμικά συστήματα. Φαινόταν ακόμα ότι, σε αντίθεση με τα γραμμικά συστήματα, που επιλύονται και ταξινομούνται εύκολα, τα μη γραμμικά συστήματα δεν μπορούσαν να ταξινομηθούν - όχι για να βρεθούν δύο παρόμοια. Οι επιστήμονες έχουν ήδη υποψιαστεί ότι κοινές ιδιότητες, αλλά όταν επρόκειτο για μετρήσεις και υπολογισμούς, κάθε μη γραμμικό σύστημα αποδείχθηκε ότι ήταν ένα πράγμα από μόνο του. Η κατανόηση του ενός δεν έδωσε απολύτως τίποτα για διείσδυση στο άλλο. Ο ελκυστής Lorenz αποκάλυψε τη σταθερότητα και την κρυφή δομή ενός συστήματος που, κατά τα άλλα, φαινόταν εντελώς αδόμητο. Πώς θα μπορούσε όμως αυτή η διπλή έλικα να βοηθήσει τους ειδικούς να μελετήσουν αντικείμενα που δεν έχουν καμία σχέση με αυτήν; Κανείς δεν ήξερε.

Ωστόσο, οι επιστήμονες χάρηκαν. Οι ανακαλύψεις νέων μορφών έβαλαν σε κίνδυνο την αυστηρότητα του επιστημονικού στυλ. Ο Ruelle έγραψε: «Δεν έχω αναφέρει την αισθητική επίδραση των παράξενων ελκυστών. Αυτά τα κουβάρια από καμπύλες και σμήνη από κουκκίδες μερικές φορές δημιουργούν υπέροχα πυροτεχνήματα ή μυστηριώδεις γαλαξίες, μερικές φορές μοιάζουν με μια παράξενη ταραχή φυτών. Μπροστά μας είναι ένα απέραντο βασίλειο ανεξερεύνητων μορφών και άγνωστης τελειότητας.

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΕΛΚΥΣΤΗΣ

Το ελκτικό σύνολο ασταθών τροχιών στο χώρο φάσης ενός διασκορπιστικού δυναμικό σύστημα.Μια S.A., σε αντίθεση με έναν ελκυστήρα, δεν είναι πολλαπλότητα (δηλαδή, δεν είναι καμπύλη ή επιφάνεια). το γεωμή του. η συσκευή είναι πολύ περίπλοκη και η δομή της είναι φράκταλ (βλ. φράκταλ).Ως εκ τούτου, έλαβε το όνομα. «παράξενος» [Δ. Ruelle (D. Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Το γεγονός ότι όλες οι τροχιές που βρίσκονται κοντά σε ένα S. a. έλκονται σε αυτό στο , σχετίζεται θεμελιωδώς με τη φύση των αστάθειας των τροχιών που το απαρτίζουν (διακλάδωση, οριακός κύκλος). Τροχιές Σ. ΕΝΑ. περιγράφουν σταθερή στοχαστική. αυτοταλαντώσεις,διατηρούνται σε σύστημα διάχυσης λόγω της ενέργειας του εξωτερικού. πηγή. ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ. τυπικό μόνο για αυτοταλαντώσεις. συστήματα των οποίων η διάσταση του χώρου φάσης είναι μεγαλύτερη από δύο (Εικ. 1). Το πρώτο σύστημα που μελετήθηκε με τον S. and. - Σύστημα Lorenz-τρισδιάστατη.

Ρύζι. 1. Παράξενος ελκυστήρας σε ένα σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις του τύπου (1).

Συστήματα με περιοδική αυτοταλαντώσεις, μαθηματικά. η εικόνα του οποίου είναι ο οριακός κύκλος, είναι δυνατό να διερευνηθεί αρκετά πλήρως χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της ποιοτικής θεωρίας της θεωρίας των διαφορών. ur-tion. Η κατασκευή της θεωρίας στοχαστικές διακυμάνσεις,που συνίσταται, ιδίως, στον ορισμό (πρόβλεψη) των χαρακτηριστικών των ιδιοτήτων του Σ. α. σύμφωνα με τις δεδομένες παραμέτρους του συστήματος, είναι εξαιρετικά δύσκολο ακόμη και για τρισδιάστατα συστήματα. Μια τέτοια κατασκευή μπορεί να πραγματοποιηθεί, ωστόσο, Παράδειγμα. Ακριβώς όπως η γεννήτρια Van der Pol είναι η απλούστερη κανονική. ένα παράδειγμα συστήματος που δείχνει περιοδική. οι αυτοταλαντώσεις, το σχήμα 2α και ο ορισμός μιας κάπως περίπλοκης γεννήτριας Van der Pol, μπορούν να χρησιμεύσουν ως ένα από τα απλούστερα παραδείγματα στοχαστικών γεννητριών. σι. Όσο το ρεύμα Εγώστο κύκλωμα και την τάση στο δίκτυο . είναι μικρά, η δίοδος της σήραγγας δεν αποδίδει πλάσματα. επιρροή στις ταλαντώσεις στο κύκλωμα, και αυτές, όπως σε μια συμβατική γεννήτρια σωλήνων, αυξάνονται. Σε αυτή την περίπτωση, το ρεύμα ρέει μέσω της διόδου της σήραγγας Εγώ, και η τάση σε αυτό καθορίζεται από τον χαρακτηριστικό κλάδο Ι(V).Πότε είναι το ρεύμα Εγώφτάνει την τιμή Εγώ δεν,υπάρχει σχεδόν στιγμιαία εναλλαγή της διόδου της σήραγγας (η ταχύτητα μεταγωγής συνδέεται με μια μικρή χωρητικότητα Γ 1) -η τάση ρυθμίζεται απότομα V m .Στη συνέχεια, το ρεύμα μέσω της διόδου της σήραγγας μειώνεται και επιστρέφει από το τμήμα στο . Ως αποτέλεσμα δύο μεταγωγών, η δίοδος της σήραγγας απορροφά σχεδόν πλήρως την ενέργεια που εισέρχεται στο κύκλωμα και οι ταλαντώσεις αρχίζουν να μεγαλώνουν ξανά. (Όταν εξετάζουμε τη λειτουργία του κυκλώματος, το χαρακτηριστικό του λαμπτήρα μπορεί να θεωρηθεί γραμμικό· αυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι στον τρόπο λειτουργίας που μας ενδιαφέρει, οι ταλαντώσεις περιορίζονται στο μη γραμμικό χαρακτηριστικό της διόδου της σήραγγας.) Έτσι, το παραγόμενο σήμα U(t) είναι μια ακολουθία αμαξοστοιχιών αυξανόμενων ταλαντώσεων· το άκρο κάθε αμαξοστοιχίας χαρακτηρίζεται από ένα άλμα τάσης V(t).

Ρύζι. Σχ. 2. Σχηματικό διάγραμμα (α) μιας απλής γεννήτριας θορύβου Van der Pol με μια δίοδο σήραγγας που προστίθεται στο κύκλωμά της. Χαρακτηριστικό βολτ-αμπέρ (β) ενός μη γραμμικού στοιχείου - μιας δίοδος σήραγγας.

Για ποσοτική περιγραφή της λειτουργίας του κυκλώματος, οι αρχικές εξισώσεις

μετατρέπεται σε αδιάστατη μορφή:

Οπου x = I/I m, z=V/Vm,

- κανονικοποιημένο χαρακτηριστικό της διόδου. Εδώ, είναι μια μικρή παράμετρος. Επομένως, όλες οι κινήσεις στο χώρο φάσης (Εικ. 3)

Ρύζι. 3. Συμπεριφορά τροχιών στο χώρο φάσης του συστήματος (1) για

μπορεί να αναλυθεί σε δίοδοι ταχείας μεταγωγής (απευθείας x = const, y= const) και αργή, στην οποία η τάση στη δίοδο "ακολουθεί" τη ροή. οι αντίστοιχες τροχιές βρίσκονται στις επιφάνειες ΕΝΑΚαι B[x = f(z), f"(z) >0], που αντιστοιχεί στα τμήματα και τα χαρακτηριστικά της διόδου.

Το σύστημα έχει μια ασταθή κατάσταση ισορροπίας [στο ] x = y = z= 0 τύπος σέλας. Τροχιές που βρίσκονται στην επιφάνεια ΕΝΑ,περιστρέφονται γύρω από μια ασταθή εστία και τελικά φτάνουν στην άκρη της επιφάνειας ΕΝΑ.Εδώ εμφανίζεται ένα σημείο διακοπής, το οποίο αντανακλά την κατάσταση του συστήματος (τα λεγόμενα σημεία αντιπροσώπευσης) στην τροχιά φάσης κατά μήκος της γραμμής των ταχέων κινήσεων προς την επιφάνεια ΣΕ.Διέρχεται ΣΕ,που αντιπροσωπεύει το σημείο σπάσιμο πίσω στην επιφάνεια ΕΝΑκαι πέφτει στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας - ξεκινά ένα νέο τρένο αυξανόμενων ταλαντώσεων. Ο χάρτης Poincaré που αντιστοιχεί στις εξισώσεις (1) μπορεί να περιγραφεί τμηματικά από μια συνεχή συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο Σχ.5. Γραμμική τομή Ι με συντελεστή. γωνία κλίσης, μεγαλύτερη από μία, περιγράφει την αποσυστροφή της τροχιάς στην επιφάνεια αργών κινήσεων ΕΝΑ,που αντιστοιχεί στην αύξηση των ταλαντώσεων στο κύκλωμα. Το τμήμα II περιγράφει το στάδιο των τροχιών επιστροφής, Α στην επιφάνεια ΣΕ,πίσω στο ΕΝΑ(Βλέπε Εικ. 3). Όλες οι τροχιές που βρίσκονται έξω από τη βάση του τετραγώνου που υποδεικνύεται από τη διακεκομμένη γραμμή εισέρχονται σε αυτό σε ασυμπτωτικά μεγάλες τιμές χρόνου, δηλ. την περιοχή ρε- απορροφητικό και περιέχει ελκυστήρα. Όλες οι τροχιές μέσα σε αυτήν την περιοχή είναι ασταθείς, δηλαδή, ο ελκυστήρας είναι περίεργος. διατηρούνται οι ιδιότητες της στοχαστικότητας των κινήσεων (όπως φαίνεται από αριθμητικές μελέτες).

Ρύζι. 4. Φάσμα ισχύος του σήματος που παράγεται από το κύκλωμα που φαίνεται στην εικ. 2α και το παλμογράφο αυτού του σήματος.

Ρύζι. 5. Γράφημα της συνάρτησης f(x), που περιγράφει τη δυναμική του κυκλώματος στο Σχ. 2 στο .

Φράκταλ διάσταση. Όλη η ποικιλία των στατιστικών. ιδιότητες ενός τυχαίου σήματος που παράγεται δυναμικά. ένα σύστημα με S. a., μπορεί να περιγραφεί εάν είναι γνωστή η κατανομή πιθανοτήτων των καταστάσεων του συστήματος. Ωστόσο, είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποκτηθεί (και να χρησιμοποιηθεί) αυτή η κατανομή για συγκεκριμένα συστήματα με S.A. (ακόμη και μόνο επειδή η πυκνότητα κατανομής ενός αμετάβλητου μέτρου πιθανότητας είναι πάντα μοναδική). Είναι ένας από τους λόγους, σε μια περικοπή για την περιγραφή του S. και.

όπου , κάποια σταθερή παράμετρος, είναι ο αριθμός n-διαστατικές μπάλες διαμέτρου που καλύπτουν S. α. δυναμικός συστήματα με n-διαστατικός χώρος φάσης.

Η διάσταση που ορίζεται σύμφωνα με την εξίσωση (2) Μεδεν μπορεί προφανώς να είναι n, αλλά θα μπορούσε να είναι μικρότερο Π(n-οι μπάλες διαστάσεων μπορεί να είναι σχεδόν κενές). Για "συνηθισμένα" σύνολα, η εξίσωση (2) δίνει προφανή αποτελέσματα. Έτσι, για ένα σύνολο κσημεία ,; για ένα τμήμα μήκους μεγάλοίσιο κρίνο, για ένα τετράγωνο μικρόδισδιάστατη επιφάνεια κλπ. Η ανισότητα της διάστασης σε έναν ακέραιο αντιστοιχεί σε ένα σύνθετο γεωμ. 2.6).

Με φυσική άποψη, esp. «αξιοπρέπεια» της φράκταλ διάστασης του Σ. α. και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ra έχει τη μορφή:

Διακλαδώσεις παράξενοι ελκυστές.Τρόποι γέννησης στοχαστικών. Σενάριο - αλυσίδα Feigenbaum διακλαδώσειςδιπλασιάζοντας την περίοδο ενός σταθερού οριακού κύκλου. Εάν, κατά την αλλαγή της παραμέτρου ελέγχου, η περιοδική Σε έναν n-διάστατο χώρο φάσης, η συμπεριφορά των τροχιών του χάρτη Πουανκαρέ κοντά στην περίοδο οριακού κύκλου που υφίσταται μια διακλάδωση του διπλασιασμού καθορίζεται από τη συνάρτηση, για παράδειγμα, f(x),το γράφημα μοιάζει με παραβολή. Αυτή η συνάρτηση περιγράφει τη σύνδεση μεταξύ των συντεταγμένων προς την κατεύθυνση της ιδιότητας. υποχώροι του τελεστή γραμμικοποίησης του χάρτη Poincaré που αντιστοιχούν στον πολλαπλασιαστή (-1) ( j+ 1)-goi της j-ης τομής της τροχιάς του συστήματος τομής Poincaré: xj+1= f(xj).Ο αναδυόμενος σταθερός οριακός κύκλος μιας διπλής περιόδου αντιστοιχεί σε έναν κύκλο δύο περιόδων. διαδρομή εμφάνισης φά.Με μια περαιτέρω αλλαγή στην παράμετρο διακλάδωσης, οι διπλασιασμοί περιόδου επαναλαμβάνονται άπειρα και οι διακλαδώσεις. οι τιμές, για παράδειγμα, συσσωρεύονται σε κρίσιμες σημείο που αντιστοιχεί στην εμφάνιση του Σ. α. Σύμφωνα με το σενάριο Feigenbaum, υπάρχει μια καθολική (ανεξάρτητη από συγκεκριμένο σύστημα) νόμος

όπου \u003d 4,6692 ... είναι η καθολική σταθερά Feigenbaum (βλ. καθολικότητα Feigenbaum).

Γεννημένος S. a. σε σταθερές απαντήσεις αρκετές. διαστήματα στον άξονα Χ;τα τμήματα μεταξύ αυτών των διαστημάτων περιέχουν τροχιές που έλκονται από τον ελκυστήρα και επίσης 2 μ-περιοδική (σε σχέση με την οθόνη φά), ασταθείς οριακούς κύκλους, ξεκινώντας από ορισμένους m0και λιγότερα. Με αύξηση της παραμέτρου, η ταχύτητα των τροχιών στο S. a. αυξάνεται και «φουσκώνει», απορροφώντας διαδοχικά ασταθείς οριακούς κύκλους περιόδων 2 t+1 ,2 t, ... Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των τμημάτων που αντιστοιχούν στον ελκυστήρα,

Ρύζι. 6. «Αντίστροφες διακλαδώσεις» διπλασιασμού περιόδου, που απεικονίζουν τη διόγκωση του ελκυστήρα που προέκυψε σύμφωνα με το σενάριο Feigenbaum.

Διαλείπουσα. Σε ΠΟΛΛΟΥΣ συστήματα κατά τη διέλευση της παραμέτρου ελέγχου (ας πούμε) μέσω μιας διακλάδωσης. μετάβαση αξίας σε στοχαστική. αυτοταλαντώσεις προς τα έξω πραγματοποιούνται ως σπάνια παραβίαση τακτικών ταλαντώσεων «στοχαστικές. πιτσιλιές». Σε αυτή την περίπτωση, η διάρκεια της στρωτής (κανονικής) φάσης είναι όσο μεγαλύτερη, τόσο μικρότερη είναι η υπερκρίσιμοτητα.Όσο αυξάνεται η υπερκρίσιμη, η διάρκεια της κανονικής φάσης μειώνεται. Αυτή η εικόνα ερμηνεύεται από την ακόλουθη εξέλιξη του κύριου. αντικείμενα στο χώρο φάσης, «παρατηρούν» ότι ο παλιός ελκυστήρας έχει εξαφανιστεί και, παραμένοντας κοντά στο separatrix (επίσης εξαφανίστηκε) του οριακού κύκλου της σέλας, πηγαίνουν σε άλλο μέρος του χώρου φάσης. Αν σε υποκριτικό Εάν το σύστημα ήταν σφαιρικά σταθερό (δηλαδή, υπήρχε μόνο ένα αντικείμενο έλξης), τότε αυτές οι τροχιές μετά από κάποιο χρονικό διάστημα πέφτουν πάλι κοντά στον εξαφανισμένο οριακό κύκλο. Αν ταυτόχρονα σε υποκριτικό. το εύρος τιμών των παραμέτρων του separatrix του κύκλου της σέλας ενσωματώθηκε στο χώρο φάσης από ένα μάλλον πολύπλοκο geom. τρόπο (σχημάτισε άπειρο αριθμό πτυχών - "κυματοειδές", περιείχε ετεροκλινικές τροχιές άλλων κύκλων σέλας, κ.λπ.), δηλαδή, η παροδική διαδικασία έδειξε ακανόνιστη συμπεριφορά, τότε ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει στην περιοχή του εξαφανισμένου κύκλου θα είναι ήδη μια τυχαία μεταβλητή. Περαιτέρω επαναλαμβάνεται η στρωτή φάση Εκτός από αυτούς τους κύριους τρόπους εμφάνισης του S., α. Αρκετά συχνά υπάρχουν επίσης μεταβάσεις στο χαοτικό. αυτοταλαντώσεις μέσω της καταστροφής οιονεί περιοδικών (στο χώρο φάσης, όταν αλλάζουν οι παράμετροι ελέγχου, χάνει την ομαλότητα και καταστρέφεται ο ελκυστικός δισδιάστατος τόρος) και συνδυασμένων σεναρίων.

Πολυδιάστατο παράξενοι ελκυστέςσυναντάται συχνά σε συστήματα με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Μεταξύ των πιθανών μηχανισμών, το Turbulence).

Λιτ.: 1) Rabinovich M. I., Trubetskov D. I., Εισαγωγή στη θεωρία των ταλαντώσεων και των κυμάτων, M., 1984; 2) A. Lichtenberg, M. Lieberman, Κανονική στοχαστική δυναμική, μτφρ. from English, Μ., 1984; 3) Afraimovich V. S., Reiman A. Μ., Διάσταση και εντροπία σε πολυδιάστατα συστήματα, στο βιβλίο: Μη γραμμικά κύματα. Dynamics and Evolution, εκδ. A. V. Gaponov-Grekhov, M. I. Rabinovich, V. S. Afraimovich, M.

• περιπλανώμαι, βρίσκομαι σε ξένη χώρα...

  Σύντομο Εκκλησιαστικό Σλαβικό Λεξικό

• - βλέπε Synergetics...

  Μεγάλο ψυχολογική εγκυκλοπαίδεια

• - περίεργη ανώτερη δόξα. περίεργος ξένος. Από προηγούμενα...

  Ετυμολογικό λεξικό του Vasmer

• - Δανεισμός από την παλαιά σλαβική, όπου σχηματίζεται από τη χώρα, η οποία στην παλιά ρωσική γλώσσα είχε τη σημασία "ξένη χώρα, ξένος λαός" ...

  Ετυμολογικό Λεξικό της Ρωσικής Γλώσσας του Κρίλοφ

• - A/C pr βλέπε _Παράρτημα II παράξενο παράξενο παράξενο παράξενο πιο παράξενο 259 βλέπε _Παράρτημα II - Γιατί μιλάς τόσο δυσμενώς γι' αυτόν; Για το γεγονός ότι είμαστε ανήσυχα, κρίνουμε τα πάντα ... & GT ...

  Λεξικό ρωσικών προφορών

• - kr.f. χώρα / nen, παράξενο /, χώρα / nno, χώρα / nn ...

  Ορθογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας

• - STRANGE, ου, ου; -anen, -anna, -anno. Ασυνήθιστο, ακατανόητο, αινιγματικό. Γ. χαρακτήρας. Γ. θέα. Μου φαίνεται περίεργη η συμπεριφορά του. Μου κάνει εντύπωση που δεν τηλεφωνεί...

  Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov

• - ΠΑΡΑΞΕΝΟ, παράξενο, παράξενο. παράξενο, παράξενο, παράξενο. 1. Ασυνήθιστο, δύσκολο να εξηγηθεί, αινιγματικός. Περίεργος τρόπος ομιλίας. Παράξενα βλέμματα. «Οι σιωπηλές συναντήσεις ήταν περίεργες...

  Επεξηγηματικό Λεξικό Ushakov

• Επεξηγηματικό Λεξικό Efremova

• - περίεργος προσθ. Ασυνήθιστο, αινιγματικό. II επίθ. απαρχαιωμένος Στο δρόμο; περιπλανώμενος, παράξενος...

  Επεξηγηματικό Λεξικό Efremova

• - περίεργος επίθ., χρήση. πολύ συχνά Μορφολογία: περίεργο, παράξενο, παράξενο, παράξενο. ξένος; ναρ. περίεργο 1...

  Λεξικό του Ντμίτριεφ

• - str "δεδομένα; ​​σύντομη μορφή -" anen, -ann "a, -" ...

  Ρωσικό ορθογραφικό λεξικό

• - Δάνεια. από στ.-σλ. lang. Σουφ. προέρχεται από τη χώρα με την έννοια του "ξένη χώρα, άνθρωποι", στα άλλα ρωσικά. lang. αυτή η τιμή είναι ακόμα γνωστή. Αρχικά - "ξένο", "εξωγήινο", στη συνέχεια - "ασυνήθιστο, ακατανόητο", ...

  Ετυμολογικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας

• - @font-face (font-family: "ChurchArial"; src: url;) span (μέγεθος γραμματοσειράς: 17px; font-weight: normal !important; font-family: "ChurchArial",Arial,Serif;)   προσθ. - περιπλανώμενος, περιπλανώμενος ξένος, ξένος? φοβερο...

  Εκκλησιαστικό Σλαβικό Λεξικό

• - ...

  Μορφές λέξεων

• - τελεία...

  Συνώνυμο λεξικό

«ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΕΛΚΥΣΤΗΣ» σε βιβλία

περίεργη γεύση

συγγραφέας

περίεργη γεύση

Από το βιβλίο Little Mountain Workers [Μυρμήγκια] συγγραφέας Μαρικόφσκι Πάβελ Ιουστίνοβιτς

Παράξενη γεύση, αλλά πρέπει να προσπαθήσετε να κρατήσετε μια κίτρινη φωλιά Lasius σε αιχμαλωσία; Στα τέλη του φθινοπώρου, κρεμάω κομμάτια από βαμβάκι κοντά σε πολλές φωλιές στους θάμνους. Και όταν έρθει ο χειμώνας, πάμε για σκι για τους κατοίκους των υπόγειων κατοικιών. Φτυαρίζουμε γρήγορα το χιόνι στην άκρη, σκάβουμε

Παράξενη ρεζέρβα

Από το βιβλίο Τα ταξίδια μου. τα επόμενα 10 χρόνια συγγραφέας Konyukhov Fedor Filippovich

Strange Reserve 24 Απριλίου 2002. Atsan-Khuduk (Kalmykia, περιοχή Yashkul) - Tee (Kalmykia, Yashkul περιοχή) - 31 km Caravan στην επικράτεια του αποθεματικού Black Lands. Καλύπτει τρεις περιοχές της Ρωσίας - τη Δημοκρατία της Καλμυκίας, την περιοχή του Αστραχάν και τη Δημοκρατία

ΠΑΡΑΞΕΝΟ ΣΠΙΤΙ

Από το βιβλίο Red Devil συγγραφέας Demin Mikhail

ΠΑΡΑΞΕΝΟ ΣΠΙΤΙ Έμεινε μόνος, άπλωσα τα χαρτιά στο τραπέζι. Κάθισε, κάπνισε. Και σκέφτηκα.Πήγαινα στη μνήμη μου τα γεγονότα της ημέρας, προσπαθώντας να τα καταλάβω. Και ξαφνικά, δεν είναι ξεκάθαρο γιατί, εμφανίστηκε μπροστά μου ένα όραμα παιδικής ηλικίας. Αυτή τη μνήμη δεν την έλεγα, ήρθε από μόνη της... Η μνήμη μας είναι σαν

Ένα παράξενο όνειρο

Από το βιβλίο Στρατηγός Δήμα. Καριέρα. Φυλακή. Αγάπη συγγραφέας Yakubovskaya Irina Pavlovna

Ένα παράξενο όνειρο ... δεν θα ξεχάσω ποτέ αυτό το όνειρο. Τον ονειρεύτηκα στις 13 Μαρτίου, από Πέμπτη έως Παρασκευή. Σαν να ήταν ο Ντίμα στη χώρα, κι εγώ ήμουν μόνος στο σπίτι. Ξαφνικά ήθελα να του κάνω έκπληξη - να τον ευχαριστήσω με την απροσδόκητη άφιξή μου. Πλησιάζοντας στη ντάκα, είδα έντονα φωτισμένο

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΚΟΣΜΟΣ

Από το βιβλίο Τέτοια είναι η ηλικία μου συγγραφέας Shakhovskaya Zinaida Alekseevna

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΚΟΣΜΟΣ Κύριοι, η παράσταση τελείωσε. Η αρετή, με συγχωρείτε, η κακία τιμωρείται, αλλά η αρετή... Μα πού

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΩΣ ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΕΛΚΥΣΤΗΣ

Από το βιβλίο Διαφάνεια του Κακού συγγραφέας Baudrillard Jean

ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΩΣ ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΕΛΚΥΣΤΗΣ Τελικά, οι εικόνες ό,τι είναι ξένο σε εμάς ενσωματώνονται σε μια ενιαία εικόνα - στην εικόνα του Αντικειμένου. Η αμετάκλητη και αλυτρωτισμός του αντικειμένου είναι το μόνο που μένει.Ακόμα και στον ορίζοντα της επιστήμης, το Αντικείμενο εμφανίζεται ως όλο και πιο άπιαστο,

Τι είναι ο «Μεγάλος Ελκυστήρας»;

Από το βιβλίο 100 μεγάλα μυστήρια της αστρονομίας συγγραφέας Volkov Alexander Viktorovich

Τι είναι ο «Μεγάλος Ελκυστήρας»; Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα, ο Γαλαξίας μας θεωρούνταν μοναδικό αντικείμενο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ίσως τουλάχιστον 125 δισεκατομμύρια γαλαξίες στο τμήμα του σύμπαντος που είναι προσβάσιμο στην παρατήρησή μας. Κάθε ένα περιέχει δισεκατομμύρια ή τρισεκατομμύρια.

Μεγάλος ελκυστήρας ή σούπερ έλξη

Από το βιβλίο 100 μεγάλα μυστικά του σύμπαντος συγγραφέας Μπερνάτσκι Ανατόλι

Μεγάλος ελκυστήρας, ή σούπερ-έλξη Στην αρχή τελευταία δεκαετίαΤον περασμένο αιώνα, οι αστρονόμοι έχουν διαπιστώσει ότι οι γαλαξίες διαχωρίζονται στο διάστημα όχι ένας προς έναν, αλλά σε τεράστια σμήνη, όπως τα σμήνη πουλιών κατά τη διάρκεια των πτήσεων. Έτσι, ο Γαλαξίας μαζί με

«Παράξενο» Δώρο

Από το βιβλίο Αθώα Ανάγνωση συγγραφέας Kostyrko Sergey Pavlovich

«Παράξενο» δώρο Σεργκέι Ντοβλάτοφ. «Λόγος Χωρίς Αιτία ... ή Στήλη Συντάκτη». M.: Makhaon, 2006. Με όλα τα στοιχεία λογοτεχνικό δώροΤο δώρο του Σεργκέι Ντοβλάτοφ είναι περίεργο. Ο κριτικός Eliseev, για να αναλύσει μια από τις ιστορίες του, αναγκάστηκε να αντλήσει από το πλαίσιο, τίποτα περισσότερο, τίποτα λιγότερο.

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΣΚΥΛΟΣ

Από το βιβλίο Ανήσυχος Νοσίρ συγγραφέας Ortykov Bolt

ΠΑΡΑΞΕΝΟΣ ΣΚΥΛΟΣ Το χωριό μας Χηνόρ βρίσκεται στους πρόποδες ψηλών βουνών. Το "Chinor" στα Τατζίκικα σημαίνει "πλατάνι". Το χωριό ονομάστηκε έτσι, μάλλον γιατί στο κέντρο του, δίπλα στο σανίδι του συλλογικού αγροκτήματος, φυτρώνει ένας ψηλός πυκνός πλάτανος. Φαίνεται πολύ μακριά! Στη σκιά ενός πλάτανου - τεϊοποτείου και

ελκυστής hangover

Από το βιβλίο Κριτική του ακάθαρτου λόγου συγγραφέας Σιλάεφ Αλεξάντερ Γιούριεβιτς

Ο ελκυστής του hangover Η διαδικασία της επιστροφής στον εαυτό του από το hangover είναι ενδιαφέρουσα: η λειτουργία της σκέψης-λήψης αποφάσεων αποκαθίσταται πρώτα, μετά το γράψιμο και μόνο μετά η ανάγνωση (το γράψιμο είναι ήδη φυσιολογικό, αλλά η ανάγνωση είναι απόκομμα). Αλλά αυτό είναι για μένα προσωπικά. Σημαίνει κάτι αυτό ή μήπως;Και μπανάλ: αν

1. Παράξενος κόσμος

Από το βιβλίο Faulkner - Essay on Creativity συγγραφέας Αναστάσιεφ Νικολάι Αρκαντίεβιτς

1. Παράξενος κόσμοςΑνοίγοντας σχεδόν οποιοδήποτε από τα μυθιστορήματα του Faulkner, αισθάνεσαι αμέσως ότι βρίσκεσαι σε μια τεράστια, σημαντική, πλούσια χώρα, σε μια χώρα που ζει μια εξαιρετικά έντονη ζωή, μια χώρα της οποίας τα προβλήματα είναι εξαιρετικής σημασίας. Αλλά για να αποκρυπτογραφήσουμε τους νόμους

«Είμαι περίεργος, περίεργος»

Από το βιβλίο Ζωντανή Παράδοση του ΧΧ αιώνα. Περί αγίων και ασκητών της εποχής μας συγγραφέας Νικιφόροβα Αλεξάνδρα Γιούριεβνα

«Παράξενο, παράξενο» Ζουράμπ Βαράζι: Λίγες μέρες πριν τον θάνατο του πατέρα Γαβριήλ, αποφάσισα να πάρω το αίμα του για ανάλυση. Όταν τον ρώτησα σχετικά, ο ιερέας απάντησε: «Γιατί χρειάζεσαι αίμα;» Εξήγησα ότι ήταν απαραίτητος ο έλεγχος της αιμοσφαιρίνης, της ηπατικής λειτουργίας κ.λπ.

Παράξενος

Από το βιβλίο Η κόρη του στρατηγού συγγραφέας Πετρόφ Αλεξάντερ Πέτροβιτς

Η παράξενη γριά Χαρίνα συνέλαβε τη Νατάσα. Έτσι ανακοίνωσε η ίδια. Η Νατάσα βοήθησε τη νταντά με τις δουλειές του σπιτιού και άκουσε τη γριά, η οποία δεν μπορούσε να πει αρκετά "επιτέλους". Ο Σεργκέι κάρφωσε κάτι κάπου, το ίσιωσε και κατευθύνθηκε προς τον κρόταφο.Απλά έκλεισε την πύλη πίσω του,