Είναι μια δεδομένη συνάρτηση ασυνεχής; Προσδιορισμός της συνάφειας της εργασίας

Λειτουργίες τμηματικάείναι οι λειτουργίες που καθορίζονται διαφορετικούς τύπουςσε διαφορετικά αριθμητικά διαστήματα. Για παράδειγμα,

Αυτή η σημείωση σημαίνει ότι η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο √x όταν το x είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Όταν το x είναι μικρότερο από μηδέν, η τιμή της συνάρτησης καθορίζεται από τον τύπο –x 2. Για παράδειγμα, αν x = 4, τότε f(x) = 2, επειδή in σε αυτήν την περίπτωσηχρησιμοποιείται ο τύπος εκχύλισης ρίζας. Αν x = –4, τότε f(x) = –16, αφού σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται ο τύπος –x 2 (πρώτα τον τετραγωνίζουμε και μετά λαμβάνουμε υπόψη το μείον).

Για να σχεδιάσετε μια τέτοια τμηματική συνάρτηση, σχεδιάστε πρώτα δύο διαφορετικές λειτουργίεςανεξάρτητα από την τιμή του x (δηλαδή σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή του ορίσματος). Μετά από αυτό, μόνο εκείνα τα μέρη που ανήκουν στις αντίστοιχες περιοχές x λαμβάνονται από τα γραφήματα που προκύπτουν. Αυτά τα μέρη των γραφημάτων συνδυάζονται σε ένα. Είναι σαφές ότι σε απλές περιπτώσειςΜπορείτε να σχεδιάσετε τμήματα των γραφημάτων ταυτόχρονα, παραλείποντας την προκαταρκτική σχεδίαση των «πλήρης» εκδόσεων τους.

Για το παραπάνω παράδειγμα, για τον τύπο y = √x, έχουμε το ακόλουθο γράφημα:

Εδώ το x καταρχήν δεν μπορεί να δεχτεί αρνητικές τιμές(δηλαδή, η ριζική έκφραση σε αυτή την περίπτωση δεν μπορεί να είναι αρνητική). Επομένως, ολόκληρη η γραφική παράσταση της εξίσωσης y = √x θα μπει στη γραφική παράσταση της τμηματικής συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση f(x) = –x 2 . Παίρνουμε μια ανεστραμμένη παραβολή:

Στην περίπτωση αυτή, στη συνάρτηση τμηματικά θα πάρουμε μόνο εκείνο το τμήμα της παραβολής για το οποίο το x ανήκει στο διάστημα (–∞; 0). Το αποτέλεσμα θα είναι ένα γράφημα της τμηματικής συνάρτησης:

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (0,6x – 0,5) 2 – 1,7 θα είναι μια τροποποιημένη παραβολή. Η γραφική παράσταση της f(x) = 0,5x + 1 είναι μια ευθεία γραμμή:

Σε μια τμηματική συνάρτηση, το x μπορεί να λάβει τιμές σε περιορισμένο εύρος: από 1 έως 5 και από –5 έως 0. Το γράφημα του θα αποτελείται από δύο ξεχωριστά μέρη. Παίρνουμε το ένα μέρος στο διάστημα από την παραβολή, το άλλο στο διάστημα [–5; 0] από την ευθεία:

Συνέχεια και γραφική παράσταση τμηματικά καθορισμένων συναρτήσεων – σύνθετο θέμα. Είναι καλύτερα να μάθετε πώς να δημιουργείτε γραφήματα απευθείας σε ένα πρακτικό μάθημα. Αυτή είναι κυρίως μια μελέτη συνέχειας.

Είναι γνωστό ότι στοιχειώδης λειτουργία(βλ. σελ. 16) είναι συνεχής σε όλα τα σημεία στα οποία ορίζεται. Επομένως, η ασυνέχεια σε στοιχειώδεις λειτουργίεςείναι δυνατή μόνο σε δύο τύπους σημείων:

α) σε σημεία όπου η συνάρτηση «επαναπροσδιορίζεται»·

β) σε σημεία όπου η συνάρτηση δεν υπάρχει.

Κατά συνέπεια, μόνο τέτοια σημεία ελέγχονται για συνέχεια κατά τη διάρκεια της μελέτης, όπως φαίνεται στα παραδείγματα.

Για μη στοιχειώδεις συναρτήσεις η μελέτη είναι πιο περίπλοκη. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση (το ακέραιο μέρος ενός αριθμού) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, αλλά υφίσταται ένα διάλειμμα σε κάθε ακέραιο Χ. Τέτοιες ερωτήσεις είναι πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής του εγχειριδίου.

Πριν μελετήσετε την ύλη, θα πρέπει να επαναλάβετε από τη διάλεξη ή το σχολικό βιβλίο ποια (τι είδους) σημεία διακοπής υπάρχουν.

Διερεύνηση τμηματικά καθορισμένων συναρτήσεων για συνέχεια

Σετ λειτουργιών τμηματικά, εάν δίνεται από διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικά μέρη του τομέα ορισμού.

Η κύρια ιδέα κατά την εξέταση τέτοιων συναρτήσεων είναι να ανακαλύψουμε εάν και πώς ορίζεται η συνάρτηση στα σημεία στα οποία επαναπροσδιορίζεται. Στη συνέχεια, ελέγχει εάν οι τιμές συνάρτησης στα αριστερά και δεξιά τέτοιων σημείων είναι ίδιες.

Παράδειγμα 1.Ας δείξουμε ότι η συνάρτηση
συνεχής.

Λειτουργία
είναι στοιχειώδες και επομένως συνεχές στα σημεία στα οποία ορίζεται. Αλλά, προφανώς, ορίζεται σε όλα τα σημεία. Κατά συνέπεια, είναι συνεχής σε όλα τα σημεία, συμπεριλαμβανομένου του
, όπως απαιτείται από την προϋπόθεση.

Το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση
, και στο
είναι συνεχής.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, η συνέχεια μπορεί να διακοπεί μόνο όταν η λειτουργία έχει παρακαμφθεί. Στο παράδειγμά μας αυτό είναι ένα σημείο
. Ας το ελέγξουμε, για το οποίο βρίσκουμε τα όρια αριστερά και δεξιά:

Τα όρια αριστερά και δεξιά είναι τα ίδια. Μένει να δούμε:

α) η συνάρτηση ορίζεται στο ίδιο το σημείο;
;

β) αν ναι, ταιριάζει;
με οριακές τιμές αριστερά και δεξιά.

Κατά όρο, εάν
, Οτι
. Να γιατί
.

Βλέπουμε ότι (όλα είναι ίσα με τον αριθμό 2). Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο
η λειτουργία είναι συνεχής. Άρα, η συνάρτηση είναι συνεχής κατά μήκος ολόκληρου του άξονα, συμπεριλαμβανομένου του σημείου
.

Σχόλια για την απόφαση

α) Δεν έπαιξε ρόλο στους υπολογισμούς, υποκατάστατοέχουμε έναν συγκεκριμένο τύπο αριθμών
ή
. Αυτό είναι συνήθως σημαντικό όταν διαιρείται με ένα απειροελάχιστο γιατί επηρεάζει το ζώδιο του απείρου. Ακριβώς εδώ
Και
ευθύνονται μόνο για επιλογή λειτουργίας?

β) κατά κανόνα σημειώσεις
Και
είναι ίσα, το ίδιο ισχύει και για τους χαρακτηρισμούς
Και
(και ισχύει για οποιοδήποτε σημείο, όχι μόνο για
). Παρακάτω, για συντομία, χρησιμοποιούμε σημειογραφία της φόρμας
;

γ) όταν τα όρια στα αριστερά και στα δεξιά είναι ίσα, για να ελέγξουμε τη συνέχεια μένει να δούμε αν μία από τις ανισότητες θα είναι όχι αυστηρή. Στο παράδειγμα, αυτή αποδείχθηκε ότι ήταν η 2η ανισότητα.

Παράδειγμα 2.Εξετάζουμε τη συνάρτηση για συνέχεια
.

Για τους ίδιους λόγους όπως στο παράδειγμα 1, η συνέχεια μπορεί να διακοπεί μόνο στο σημείο
. Ας ελέγξουμε:

Τα όρια αριστερά και δεξιά είναι ίσα, αλλά στο ίδιο σημείο
η συνάρτηση δεν ορίζεται (οι ανισότητες είναι αυστηρές). Αυτό σημαίνει ότι
- τελεία επισκευάσιμο κενό.

"Αφαιρούμενο κενό" σημαίνει ότι αρκεί είτε να καταστήσουμε οποιαδήποτε από τις ανισότητες μη αυστηρές, είτε να εφεύρουμε μία για ένα ξεχωριστό σημείο
μια συνάρτηση της οποίας η τιμή στο
ισούται με –5 ή απλώς υποδεικνύεται ότι
έτσι ώστε ολόκληρη η λειτουργία
έγινε συνεχής.

Απάντηση:τελεία
– αφαιρούμενο σημείο θραύσης.

Σημείωση 1.Στη βιβλιογραφία, ένα αφαιρούμενο κενό θεωρείται συνήθως μια ειδική περίπτωση ενός κενού τύπου 1, αλλά πιο συχνά γίνεται κατανοητό από τους μαθητές ως χωριστού τύπουρήξη. Προκειμένου να αποφευχθούν αποκλίσεις, θα τηρήσουμε την 1η άποψη και θα ορίσουμε ειδικά το «μη αφαιρέσιμο» κενό του 1ου είδους.

Παράδειγμα 3.Ας ελέγξουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής

Στο σημείο

Τα όρια αριστερά και δεξιά είναι διαφορετικά:
. Ανεξάρτητα από το αν η συνάρτηση ορίζεται στο
(ναι) και αν ναι, τι ισούται με (ίσο με 2), σημείο
–σημείο αμετάκλητης ασυνέχειας 1ου είδους.

Στο σημείο
συμβαίνει τελικό άλμα(από 1 έως 2).

Απάντηση:τελεία

Σημείωση 2.Αντί
Και
συνήθως γράφουν
Και
αντίστοιχα.

Διαθέσιμος ερώτηση:πώς διαφέρουν οι λειτουργίες

Και
,

και επίσης τα γραφήματα τους; Σωστός απάντηση:

α) Η 2η συνάρτηση δεν ορίζεται στο σημείο
;

β) στη γραφική παράσταση του 1ου σημείου συνάρτησης
«σκιασμένο», στο 2ο γράφημα – όχι («διάτρητο σημείο»).

Τελεία
, όπου διακόπτεται το γράφημα
, δεν είναι σκιασμένο και στα δύο γραφήματα.

Είναι πιο δύσκολο να εξεταστούν συναρτήσεις που ορίζονται διαφορετικά τρίαπεριοχές.

Παράδειγμα 4.Είναι η συνάρτηση συνεχής;
?

Όπως ακριβώς στα παραδείγματα 1 – 3, καθεμία από τις συναρτήσεις
,
Και είναι συνεχής κατά μήκος ολόκληρου του αριθμητικού άξονα, συμπεριλαμβανομένης της περιοχής στην οποία καθορίζεται. Το σπάσιμο είναι δυνατό μόνο στο σημείο
και/ή στο σημείο
, όπου η συνάρτηση παρακάμπτεται.

Η εργασία χωρίζεται σε 2 δευτερεύουσες εργασίες: εξετάστε τη συνέχεια της συνάρτησης

Και
,

και περίοδος
δεν ενδιαφέρει τη λειτουργία
, και σημείο
– για λειτουργία
.

1ο βήμα.Έλεγχος του σημείου
και λειτουργία
(δεν γράφουμε το ευρετήριο):

Τα όρια είναι τα ίδια. Κατά συνθήκη,
(αν τα όρια αριστερά και δεξιά είναι ίσα, τότε στην πραγματικότητα η συνάρτηση είναι συνεχής όταν μια από τις ανισότητες δεν είναι αυστηρή). Στο σημείο λοιπόν
η λειτουργία είναι συνεχής.

2ο βήμα.Έλεγχος του σημείου
και λειτουργία
:

Επειδή η
, τελεία
– σημείο ασυνέχειας 1ου είδους, και η τιμή
(και αν υπάρχει καθόλου) δεν παίζει πλέον ρόλο.

Απάντηση:η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλα τα σημεία εκτός από το σημείο
, όπου υπάρχει μια αμετάκλητη ασυνέχεια του 1ου είδους — ένα άλμα από το 6 στο 4.

Παράδειγμα 5.Βρείτε σημεία διακοπής συναρτήσεων
.

Προχωράμε σύμφωνα με το ίδιο σχήμα όπως στο παράδειγμα 4.

1ο βήμα.Έλεγχος του σημείου
:

ΕΝΑ)
, αφού στα αριστερά του
η συνάρτηση είναι σταθερή και ίση με 0.

β) (
– άρτια λειτουργία).

Τα όρια είναι τα ίδια, αλλά πότε
η συνάρτηση δεν ορίζεται από συνθήκη και αποδεικνύεται ότι
– αφαιρούμενο σημείο θραύσης.

2ο βήμα.Έλεγχος του σημείου
:

ΕΝΑ)
;

σι)
– η τιμή της συνάρτησης δεν εξαρτάται από τη μεταβλητή.

Τα όρια ποικίλλουν: , τελεία
– σημείο αμετάκλητης ασυνέχειας 1ου είδους.

Απάντηση:
– αφαιρούμενο σημείο θραύσης,
είναι σημείο αμετάκλητης ασυνέχειας 1ου είδους σε άλλα σημεία η συνάρτηση είναι συνεχής.

Παράδειγμα 6.Είναι η συνάρτηση συνεχής;
?

Λειτουργία
καθορίζεται σε
, άρα η συνθήκη
μετατρέπεται σε κατάσταση
.

Από την άλλη, η συνάρτηση
καθορίζεται σε
, δηλ. στο
. Ο όρος λοιπόν
μετατρέπεται σε κατάσταση
.

Αποδεικνύεται ότι η προϋπόθεση πρέπει να πληρούται
, και το πεδίο ορισμού ολόκληρης της συνάρτησης είναι ένα τμήμα
.

Οι ίδιες οι λειτουργίες
Και
είναι στοιχειώδεις και ως εκ τούτου συνεχείς σε όλα τα σημεία στα οποία ορίζονται - ιδίως, και σε
.

Μένει να ελέγξουμε τι συμβαίνει στο σημείο
:

ΕΝΑ)
;

Επειδή η
, δείτε αν η συνάρτηση ορίζεται στο σημείο
. Ναι, η 1η ανισότητα είναι σχετικά αδύναμη
, και αυτό είναι αρκετό.

Απάντηση:η συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα
και είναι συνεχής σε αυτό.

Πιο περίπλοκες περιπτώσεις, όταν μία από τις συναρτήσεις του στοιχείου είναι μη στοιχειώδης ή δεν ορίζεται σε κανένα σημείο του τμήματός της, ξεφεύγουν από το πεδίο εφαρμογής του εγχειριδίου.

NF1.Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων. Σημειώστε εάν η συνάρτηση ορίζεται στο σημείο στο οποίο επαναπροσδιορίζεται, και εάν ναι, ποια είναι η τιμή της συνάρτησης (η λέξη " ΑνΤο " παραλείπεται από τον ορισμό της συνάρτησης για συντομία):

1) α)
σι)
V)
ΣΟΛ)

2) α)
σι)
V)
ΣΟΛ)

3) α)
σι)
V)
ΣΟΛ)

4) α)
σι)
V)
ΣΟΛ)

Παράδειγμα 7.Αφήνω
. Στη συνέχεια στο χώρο
χτίστε μια οριζόντια γραμμή
, και στον ιστότοπο
χτίστε μια οριζόντια γραμμή
. Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο με συντεταγμένες
«τρυπημένο» και τελεία
«ζωγραφισμένο». Στο σημείο
προκύπτει ασυνέχεια του 1ου είδους («άλμα») και
.

NF2.Εξετάστε τη συνέχεια των συναρτήσεων που ορίζονται διαφορετικά σε 3 διαστήματα. Δημιουργία γραφημάτων:

1) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

2) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

3) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

Παράδειγμα 8.Αφήνω
. Τοποθεσία ενεργοποιημένη
χτίστε μια ευθεία γραμμή
, γιατί βρίσκουμε
Και
. Συνδέοντας τις τελείες
Και
τμήμα. Δεν συμπεριλαμβάνουμε τους ίδιους τους βαθμούς, γιατί πότε
Και
η συνάρτηση δεν ορίζεται από συνθήκη.

Τοποθεσία ενεργοποιημένη
Και
κυκλώστε τον άξονα OX (πάνω του
), ωστόσο τα σημεία
Και
«Έβγαλε». Στο σημείο
παίρνουμε ένα αφαιρούμενο κενό, και στο σημείο
– ασυνέχεια 1ου είδους («άλμα»).

NF3.Γράψτε τις συναρτήσεις και βεβαιωθείτε ότι είναι συνεχείς:

1) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

2) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

NF4.Βεβαιωθείτε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς και σχηματίστε γραφικά:

1) α)
σι)
V)

2 α)
σι)
V)

3) α)
σι)
V)

NF5.Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων. Σημειώστε τη συνέχεια:

1) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

2) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

3) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

4) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

5) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

NF6.Κατασκευάστε γραφήματα ασυνεχών συναρτήσεων. Σημειώστε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο όπου η συνάρτηση αντικαθίσταται (και εάν υπάρχει):

1) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

2) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

3) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

4) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

5) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

NF7.Η ίδια εργασία όπως στο NF6:

1) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

2) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

3) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

4) α)
σι)
V)

ΣΟΛ)
ρε)
μι)

Οι πραγματικές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας συναρτήσεις. Έτσι, μπορούμε να διακρίνουμε δύο κύριους τύπους διεργασιών που είναι αντίθετοι μεταξύ τους - αυτοί είναι βαθμιαίοςή συνεχήςΚαι σπασμωδικός(ένα παράδειγμα θα ήταν μια μπάλα που πέφτει και αναπηδά). Αλλά αν υπάρχουν ασυνεχείς διαδικασίες, τότε υπάρχουν ειδικά μέσα για την περιγραφή τους. Για το σκοπό αυτό εισάγονται συναρτήσεις που έχουν ασυνέχειες και άλματα, δηλαδή, σε διαφορετικά σημεία της αριθμητικής γραμμής, η συνάρτηση συμπεριφέρεται σύμφωνα με διαφορετικούς νόμους και, κατά συνέπεια, καθορίζεται από διαφορετικούς τύπους. Εισάγονται οι έννοιες των σημείων ασυνέχειας και της αφαιρούμενης ασυνέχειας.

Σίγουρα έχετε ήδη συναντήσει συναρτήσεις που ορίζονται από διάφορους τύπους, ανάλογα με τις τιμές του ορίσματος, για παράδειγμα:

y = (x – 3, για x > -3;
(-(x – 3), στο x< -3.

Τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται τμηματικάή καθορίζεται τμηματικά. Ας καλέσουμε τμήματα της αριθμητικής γραμμής με διαφορετικούς τύπους για καθορισμό συστατικάτομέα. Η ένωση όλων των συστατικών είναι το πεδίο ορισμού της τμηματικής συνάρτησης. Τα σημεία εκείνα που διαιρούν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης σε συστατικά ονομάζονται οριακά σημεία. Οι τύποι που ορίζουν μια τμηματική συνάρτηση σε κάθε στοιχείο του τομέα ορισμού καλούνται εισερχόμενες λειτουργίες. Διαγράμματα τμηματικά καθορισμένες συναρτήσειςλαμβάνονται ως αποτέλεσμα του συνδυασμού τμημάτων γραφημάτων που κατασκευάζονται σε καθένα από τα διαστήματα διαμερισμάτων.

Γυμνάσια.

Κατασκευάστε γραφήματα τμηματικών συναρτήσεων:

1) (-3, με -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, για x = 0,
(1, στο 0< x ≤ 5.

Η γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο y = -3. Ξεκινά από ένα σημείο με συντεταγμένες (-4; -3), τρέχει παράλληλα με τον άξονα x σε ένα σημείο με συντεταγμένες (0; -3). Η γραφική παράσταση της δεύτερης συνάρτησης είναι ένα σημείο με συντεταγμένες (0; 0). Το τρίτο γράφημα είναι παρόμοιο με το πρώτο - είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο y = 1, αλλά ήδη βρίσκεται στην περιοχή από το 0 έως το 5 κατά μήκος του άξονα Ox.

Απάντηση: Εικόνα 1.

2) (3 αν x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, αν -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 αν x > 4.

Ας εξετάσουμε κάθε συνάρτηση ξεχωριστά και ας φτιάξουμε το γράφημά της.

Άρα, η f(x) = 3 είναι μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ox, αλλά χρειάζεται να απεικονιστεί μόνο στην περιοχή όπου x ≤ -4.

Γράφημα της συνάρτησης f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| μπορεί να ληφθεί από την παραβολή y = x 2 – 4x + 3. Μετά την κατασκευή της γραφικής παράστασης, το τμήμα του σχήματος που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ox πρέπει να μείνει αμετάβλητο και το τμήμα που βρίσκεται κάτω από τον άξονα της τετμημένης πρέπει να εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση προς τον άξονα Ox. Στη συνέχεια εμφανίστε συμμετρικά το τμήμα του γραφήματος όπου
x ≥ 0 σε σχέση με τον άξονα Oy για αρνητικό x. Αφήνουμε το γράφημα που προκύπτει ως αποτέλεσμα όλων των μετασχηματισμών μόνο στην περιοχή από -4 έως 4 κατά μήκος του άξονα της τετμημένης.

Η γραφική παράσταση της τρίτης συνάρτησης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα κάτω και η κορυφή βρίσκεται στο σημείο με τις συντεταγμένες (4; 3). Απεικονίζουμε το σχέδιο μόνο στην περιοχή όπου x > 4.

Απάντηση: Εικόνα 2.

3) (8 – (x + 6) 2, αν x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, εάν -6 ≤ x< 5,
(3 εάν x ≥ 5.

Η κατασκευή της προτεινόμενης τμηματικά δεδομένης συνάρτησης είναι παρόμοια με την προηγούμενη παράγραφο. Εδώ οι γραφικές παραστάσεις των δύο πρώτων συναρτήσεων λαμβάνονται από τους μετασχηματισμούς της παραβολής και η γραφική παράσταση της τρίτης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς το Ox.

Απάντηση: Εικόνα 3.

4) Γράφημα τη συνάρτηση y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Λύση.Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το μηδέν. Ας επεκτείνουμε την ενότητα. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε δύο περιπτώσεις:

1) Για x > 0 παίρνουμε y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.

2) Στο x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Έτσι, έχουμε μπροστά μας ένα αποσπασματικό δεδομένη λειτουργία:

y = ((x – 2) 2, για x > 0;
( x 2 + 2x, στο x< 0.

Οι γραφικές παραστάσεις και των δύο συναρτήσεων είναι παραβολές, οι κλάδοι των οποίων κατευθύνονται προς τα πάνω.

Απάντηση: Εικόνα 4.

5) Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x + |x|/x – 1) 2.

Λύση.

Είναι εύκολο να δούμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το μηδέν. Μετά την επέκταση της ενότητας, λαμβάνουμε μια τμηματικά δεδομένη συνάρτηση:

1) Για x > 0 παίρνουμε y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) Στο x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Ας το ξαναγράψουμε.

y = (x 2, για x > 0;
((x – 2) 2 , στο x< 0.

Οι γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων είναι παραβολές.

Απάντηση: Εικόνα 5.

6) Υπάρχει συνάρτηση της οποίας το γράφημα είναι επίπεδο συντεταγμένωνΕχει κοινό σημέιοαπό οποιαδήποτε ευθεία;

Λύση.

Ναι, υπάρχει.

Ένα παράδειγμα θα ήταν η συνάρτηση f(x) = x 3 . Πράγματι, η γραφική παράσταση μιας κυβικής παραβολής τέμνεται με την κατακόρυφη ευθεία x = a στο σημείο (a; a 3). Έστω τώρα η ευθεία που δίνεται από την εξίσωση y = kx + b. Μετά η εξίσωση
x 3 – kx – b = 0 έχει πραγματική ρίζα x 0 (καθώς ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει πάντα τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα). Κατά συνέπεια, η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνεται με την ευθεία y = kx + b, για παράδειγμα, στο σημείο (x 0; x 0 3).

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.

Διαγράμματα τμηματικά δοθεί λειτουργίες

Murzalieva T.A. καθηγήτρια μαθηματικών ΜΠΟΥ «Βορ Δευτεροβάθμιας ολοκληρωμένο σχολείο» Περιοχή Boksitogorsky Περιφέρεια Λένινγκραντ

Στόχος:

• κατακτήστε τη μέθοδο γραμμικής spline για την κατασκευή γραφημάτων που περιέχουν μια ενότητα.
• μάθετε να το εφαρμόζετε σε απλές καταστάσεις.

Κάτω από spline(από το αγγλικό spline - plank, rack) συνήθως κατανοείται ως μια τμηματικά δεδομένη συνάρτηση.

Τέτοιες συναρτήσεις ήταν γνωστές στους μαθηματικούς εδώ και πολύ καιρό, ξεκινώντας από τον Euler (1707-1783, Ελβετοί, Γερμανοί και Ρώσος μαθηματικός), αλλά η εντατική μελέτη τους ξεκίνησε, στην πραγματικότητα, μόλις στα μέσα του 20ού αιώνα.

Το 1946, ο Isaac Schoenberg (1903-1990, Ρουμάνος και Αμερικανός μαθηματικός)πρώτη φορά που χρησιμοποιεί αυτόν τον όρο. Από το 1960, με την ανάπτυξη της τεχνολογίας των υπολογιστών, άρχισε η χρήση των splines στα γραφικά υπολογιστών και τη μοντελοποίηση.

1 . Εισαγωγή

2. Ορισμός γραμμικού spline

3. Ορισμός ενότητας

4. Γραφική παράσταση

5. Πρακτική δουλειά

Ένας από τους κύριους σκοπούς των συναρτήσεων είναι να περιγράψουν πραγματικές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση.

Αλλά για πολύ καιρό, οι επιστήμονες - φιλόσοφοι και φυσικοί επιστήμονες - έχουν εντοπίσει δύο τύπους διαδικασιών: βαθμιαίος ( συνεχής ) Και σπασμωδικός.

Όταν ένα σώμα πέφτει στο έδαφος, εμφανίζεται πρώτα συνεχής αύξηση ταχύτητα οδήγησης , και τη στιγμή της σύγκρουσης με την επιφάνεια της γης η ταχύτητα αλλάζει απότομα , γίνεται ίσο με μηδέν ή αλλαγή κατεύθυνσης (σημάδι) όταν το σώμα «αναπηδά» από το έδαφος (για παράδειγμα, εάν το σώμα είναι μπάλα).

Επειδή όμως υπάρχουν ασυνεχείς διαδικασίες, τότε χρειάζονται μέσα περιγραφής τους. Για το σκοπό αυτό εισάγονται λειτουργίες που έχουν ρήξεις .

a - με τον τύπο y = h(x), και θα υποθέσουμε ότι καθεμία από τις συναρτήσεις g(x) και h(x) ορίζεται για όλες τις τιμές του x και δεν έχει ασυνέχειες. Τότε, αν g(a) = h(a), τότε η συνάρτηση f(x) έχει άλμα στο x=a. αν g(a) = h(a) = f(a), τότε η «συνδυασμένη» συνάρτηση f δεν έχει ασυνέχειες. Αν και οι δύο συναρτήσεις g και h είναι στοιχειώδεις, τότε η f ονομάζεται τμηματικά στοιχειώδης. "width="640"

• Ένας τρόπος εισαγωγής τέτοιων ασυνέχειων είναι Επόμενο:

Αφήνω λειτουργία y = f(x)

στο Χ ορίζεται από τον τύπο y = g(x),

και πότε xa - φόρμουλα y = h(x), και θα εξετάσουμε ότι καθεμία από τις συναρτήσεις g(x) Και h(x) ορίζεται για όλες τις τιμές του x και δεν έχει ασυνέχειες.

Επειτα , Αν g(a) = h(a), τότε η συνάρτηση f(x) έχει στο x=a άλμα;

αν g(a) = h(a) = φά), τότε η «συνδυασμένη» συνάρτηση φά δεν έχει διαλείμματα. Αν και οι δύο λειτουργίες σολ Και η στοιχειώδης, Οτι f λέγεται αποσπασματικά στοιχειώδες.

Διαγράμματα συνεχείς λειτουργίες

Γράφημα τη συνάρτηση:

Υ = |X-1| + 1

X=1 – σημείο αλλαγής τύπου

Λέξη "μονάδα μέτρησης"προήλθε από Λατινική λέξη"modulus", που σημαίνει "μέτρο".

Συντελεστής αριθμών ΕΝΑ που ονομάζεται απόσταση (σε μεμονωμένα τμήματα) από την αρχή στο σημείο Α ( ΕΝΑ) .

Αυτός ο ορισμός αποκαλύπτει γεωμετρική σημασίαμονάδα μέτρησης.

Μονάδα μέτρησης (απόλυτη τιμή ) πραγματικός αριθμός ΕΝΑλέγεται ο ίδιος αριθμός ΕΝΑ≥ 0, και αντίθετος αριθμός -ΕΝΑ, αν ένα

0 ή x=0 y = -3x -2 στο x "width="640"

Γράφημα τη συνάρτηση y = 3|x|-2.

Εξ ορισμού του συντελεστή, έχουμε: 3x – 2 στο x0 ή x=0

-3x -2 στο x

x n) "width="640"

. Έστω x δίνεται 1 Χ 2 Χ n – σημεία μεταβολής τύπων σε τμηματικές στοιχειώδεις συναρτήσεις.

Μια συνάρτηση f που ορίζεται για όλα τα x ονομάζεται τμηματικά γραμμική εάν είναι γραμμική σε κάθε διάστημα

και επιπλέον πληρούνται οι προϋποθέσεις συντονισμού, δηλαδή στα σημεία αλλαγής τύπων η συνάρτηση δεν παθαίνει διάλειμμα.

Συνεχής τμηματικά γραμμική συνάρτηση που ονομάζεται γραμμική σφήνα . Αυτήν πρόγραμμα Υπάρχει πολυγραμμή με δύο άπειρους ακραίους συνδέσμους – αριστερά (αντιστοιχούν στις τιμές x n ) και σωστά ( αντίστοιχες τιμές x x n )

Μια αποσπασματική στοιχειώδης συνάρτηση μπορεί να οριστεί με περισσότερους από δύο τύπους

Πρόγραμμα - σπασμένη γραμμή με δύο άπειρους ακραίους συνδέσμους - αριστερά (x1).

Y=|x| - |x – 1|

Σημεία αλλαγής τύπου: x=0 και x=1.

Υ(0)=-1, y(1)=1.

Είναι βολικό να σχεδιάσετε το γράφημα μιας τμηματικής γραμμικής συνάρτησης, στίξη στο επίπεδο συντεταγμένων κορυφές της διακεκομμένης γραμμής.

Εκτός από την οικοδόμηση n κορυφές θα πρέπει χτίζω Επίσης δύο σημεία : ένα στα αριστερά της κορυφής ΕΝΑ 1 ( Χ 1; y ( Χ 1)), το άλλο - στα δεξιά της κορυφής Ενα ( xn ; y ( xn )).

Σημειώστε ότι μια ασυνεχής τμηματικά γραμμική συνάρτηση δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των συντελεστών των διωνύμων .

Γράφημα τη συνάρτηση y = x+ |x -2| - |Χ|.

Μια συνεχής τμηματικά γραμμική συνάρτηση λέγεται γραμμική spline

1.Βαθμοί για την αλλαγή τύπων: X-2=0, X=2 ; X=0

2. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα:

U( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

στο (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = |x+1| +|x| – |x -2|.

1 .Σημεία για την αλλαγή τύπων:

x+1=0, x=-1 ;

x=0 ; x-2=0, x=2.

2 . Ας κάνουμε έναν πίνακα:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

|x – 1| = |x + 3|

Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Θεωρήστε τη συνάρτηση y = |x -1| - |x +3|

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης /χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραμμικού spline/

• Σημεία αλλαγής φόρμουλας:

x -1 = 0, x = 1; x + 3 =0, x = - 3.

2. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Απάντηση: -1.

1. Κατασκευάστε γραφήματα τμηματικών γραμμικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραμμικού spline:

y = |x – 3| + |x|;

1). Σημεία αλλαγής φόρμουλας:

2). Ας κάνουμε έναν πίνακα:

2. Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων χρησιμοποιώντας το εκπαιδευτικό βοήθημα «Ζωντανά Μαθηματικά» »

ΕΝΑ) y = |2x – 4| + |x +1|

1) Σημεία αλλαγής τύπου:

2) y() =

ΣΙ) Δημιουργήστε γραφήματα συναρτήσεων, δημιουργήστε ένα μοτίβο :

α) y = |x – 4| β) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Χρησιμοποιήστε τα εργαλεία Σημείο, Γραμμή και Βέλος στη γραμμή εργαλείων.

1. Μενού "Διαγράμματα".

2. Καρτέλα «Δημιουργία γραφήματος».

.3. Στο παράθυρο "Αριθμομηχανή", εισαγάγετε τον τύπο.

Γράφημα τη συνάρτηση:

1) Υ = 2x + 4

1. Κόζινα Μ.Ε. Μαθηματικά. Βαθμοί 8-9: συλλογή μαθημάτων επιλογής. – Βόλγκογκραντ: Δάσκαλος, 2006.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Άλγεβρα: σχολικό βιβλίο. Για την 7η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / επιμ. S. A. Telyakovsky. – 17η έκδ. – Μ.: Εκπαίδευση, 2011

3. Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Άλγεβρα: σχολικό βιβλίο. Για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / επιμ. S. A. Telyakovsky. – 17η έκδ. – Μ.: Εκπαίδευση, 2011

4. Wikipedia, η ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline