Επίλυση ανισώσεων ημιτονοειδούς συνημιτόνου. Ένας αλγόριθμος για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων και την αναγνώριση τρόπων επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων

Οι περισσότεροι μαθητές τριγωνομετρικές ανισότητεςαντιπάθεια. Αλλά μάταια. Όπως έλεγε ένας χαρακτήρας,

“Απλά δεν ξέρεις πώς να τα μαγειρέψεις”

Λοιπόν, πώς να "μαγειρέψετε" και με τι να υποβάλετε μια ανισότητα με ένα ημίτονο, θα το καταλάβουμε σε αυτό το άρθρο. Θα αποφασίσουμε με απλό τρόπο- με τη χρήση κύκλος μονάδας.

Έτσι, πρώτα πρώτα, χρειαζόμαστε τον ακόλουθο αλγόριθμο.

Αλγόριθμος επίλυσης ανισώσεων με ημίτονο:

Βάλτε τον αριθμό $a$ στον άξονα ημιτόνου και σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα συνημιτόνου μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο.
Τα σημεία τομής αυτής της ευθείας με τον κύκλο θα συμπληρωθούν εάν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή και δεν θα συμπληρωθούν εάν η ανισότητα είναι αυστηρή.
η περιοχή λύσης της ανισότητας θα είναι πάνω από τη γραμμή και μέχρι τον κύκλο, εάν η ανισότητα περιέχει το σύμβολο "$>$", και κάτω από τη γραμμή και μέχρι τον κύκλο εάν η ανισότητα περιέχει το σύμβολο "$<$”;
για να βρούμε τα σημεία τομής, λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση $\sin(x)=a$, παίρνουμε $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
θέτοντας $n=0$, βρίσκουμε το πρώτο σημείο τομής (βρίσκεται είτε στο πρώτο είτε στο τέταρτο τεταρτημόριο).
για να βρούμε το δεύτερο σημείο, κοιτάμε προς ποια κατεύθυνση διασχίζουμε την περιοχή στο δεύτερο σημείο τομής: αν είναι σε θετική κατεύθυνση, τότε θα πρέπει να ληφθεί το $n=1$ και αν είναι σε αρνητική κατεύθυνση, τότε το $n=- 1$;
Σε απόκριση, το διάστημα από το μικρότερο σημείο τομής $+ 2\pi n$ έως το μεγαλύτερο $+ 2\pi n$ διαγράφεται.

Περιορισμός αλγορίθμου

Σημαντικό: δαυτόν τον αλγόριθμο δεν δουλεύειγια ανισώσεις της μορφής $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Ειδικές περιπτώσεις κατά την επίλυση μιας ανισότητας με ένα ημίτονο

Είναι επίσης σημαντικό να σημειωθεί επόμενες περιπτώσεις, που είναι πολύ πιο βολικό να λυθούν λογικά χωρίς τη χρήση του παραπάνω αλγόριθμου.

ειδική περίπτωση 1. Λύστε την ανισότητα:

$\sin(x) \leq 1.$

Λόγω του ότι η γκάμα τριγωνομετρική συνάρτησηΤο $y=\sin(x)$ είναι το πολύ modulo $1$ και μετά η αριστερή πλευρά της ανισότητας για κάθε$x$ από τον τομέα (και ο τομέας του sine είναι όλος πραγματικούς αριθμούς) το πολύ $1$. Και, επομένως, ως απάντηση γράφουμε: $x \σε R$.

Συνέπεια:

$\sin(x) \geq -1.$

Ειδική περίπτωση 2.Λύστε την ανισότητα:

$\sin(x)< 1.$

Εφαρμόζοντας ορίσματα παρόμοια με την ειδική περίπτωση 1, παίρνουμε ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μικρότερη από $1$ για όλα τα $x \in R$, εκτός από τα σημεία που είναι η λύση της εξίσωσης $\sin(x) = 1$. Λύνοντας αυτή την εξίσωση θα έχουμε:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Και, επομένως, ως απάντηση γράφουμε: $x \in R \backslash \left$(-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right$$.

Συνέπεια:η ανισότητα λύνεται ομοίως

$\sin(x) > -1.$

Παραδείγματα επίλυσης ανισώσεων με χρήση αλγορίθμου.

Παράδειγμα 1:Λύστε την ανισότητα:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

Σημειώστε τη συντεταγμένη $\frac(1)(2)$ στον ημιτονοειδή άξονα.
Σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα του συνημιτόνου και που διέρχεται από αυτό το σημείο.
Σημειώστε τα σημεία τομής. Θα σκιαστούν γιατί η ανισότητα δεν είναι αυστηρή.
Το πρόσημο της ανισότητας είναι $\geq$, που σημαίνει ότι ζωγραφίζουμε την περιοχή πάνω από τη γραμμή, δηλ. μικρότερο ημικύκλιο.
Βρείτε το πρώτο σημείο τομής. Για να το κάνετε αυτό, μετατρέψτε την ανισότητα σε ισότητα και λύστε την: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ορίζουμε περαιτέρω $n=0$ και βρίσκουμε το πρώτο σημείο τομής: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
Βρίσκουμε το δεύτερο σημείο. Η περιοχή μας πηγαίνει προς τη θετική κατεύθυνση από το πρώτο σημείο, οπότε ορίσαμε $n$ ίσο με $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Έτσι, η λύση θα έχει τη μορφή:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \σε Z.$

Παράδειγμα 2:Λύστε την ανισότητα:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Σημειώνουμε τη συντεταγμένη $- \frac(1)(2)$ στον ημιτονοειδή άξονα και σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα συνημιτόνου και που διέρχεται από αυτό το σημείο. Σημειώστε τα σημεία τομής. Δεν θα σκιαστούν, αφού η ανισότητα είναι αυστηρή. Σήμα ανισότητας $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Ρυθμίζοντας περαιτέρω $n=0$, βρίσκουμε το πρώτο σημείο τομής: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Η περιοχή μας πηγαίνει προς την αρνητική κατεύθυνση από το πρώτο σημείο, οπότε ορίσαμε $n$ ίσο με $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Άρα, η λύση σε αυτήν την ανισότητα θα είναι το διάστημα:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \σε Z.$

Παράδειγμα 3:Λύστε την ανισότητα:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Αυτό το παράδειγμα δεν μπορεί να λυθεί αμέσως χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Πρώτα πρέπει να το μετατρέψετε. Κάνουμε ακριβώς όπως θα κάναμε με την εξίσωση, αλλά μην ξεχνάτε το πρόσημο. Η διαίρεση ή ο πολλαπλασιασμός με έναν αρνητικό αριθμό τον αντιστρέφει!

Ας μετακινήσουμε, λοιπόν, όλα όσα δεν περιέχουν τριγωνομετρική συνάρτηση στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

$ - 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Διαχωρίστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με $-2$ (μην ξεχνάτε το σημάδι!). Θα έχω:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Και πάλι, έχουμε μια ανισότητα που δεν μπορούμε να λύσουμε χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο. Αλλά εδώ αρκεί να κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητής:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Παίρνουμε μια τριγωνομετρική ανισότητα, η οποία μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Αυτή η ανισότητα λύθηκε στο παράδειγμα 1, οπότε θα δανειστούμε την απάντηση από εκεί:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Ωστόσο, η απόφαση δεν έχει τελειώσει ακόμη. Πρέπει να επιστρέψουμε στην αρχική μεταβλητή.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Ας αναπαραστήσουμε το κενό ως σύστημα:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(πίνακας) \δεξιά.$

Στην αριστερή πλευρά του συστήματος υπάρχει μια έκφραση ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), η οποία ανήκει στο διάστημα. Το αριστερό όριο του διαστήματος είναι υπεύθυνο για την πρώτη ανισότητα και το δεξί όριο είναι υπεύθυνο για τη δεύτερη. Επιπλέον, οι αγκύλες διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο: εάν η αγκύλη είναι τετράγωνη, τότε η ανισότητα θα είναι μη αυστηρή και εάν είναι στρογγυλή, τότε αυστηρή. Το καθήκον μας είναι να πάρουμε $x$ στα αριστερά και στις δύο ανισότητες.

Ας μετακινήσουμε το $\frac(\pi)(6)$ από την αριστερή πλευρά στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Απλοποιώντας, θα έχουμε:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(πίνακας) \right.$

Πολλαπλασιάζοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με $4$, παίρνουμε:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Συναρμολογώντας το σύστημα σε ένα διάστημα, παίρνουμε την απάντηση:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \σε Z.$

Οι ανισώσεις που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όταν λυθούν, ανάγονται στις απλούστερες ανισώσεις της μορφής cos(t)>a, sint(t)=a και τα παρόμοια. Και ήδη οι πιο απλές ανισότητες έχουν λυθεί. Σκεφτείτε το διάφορα παραδείγματατρόποι επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Παράδειγμα 1. Λύστε την ανίσωση sin(t) > = -1/2.

Σχεδιάστε έναν μόνο κύκλο. Δεδομένου ότι το sin (t) εξ ορισμού είναι η συντεταγμένη y, σημειώνουμε το σημείο y \u003d -1/2 στον άξονα Oy. Τραβάμε μια ευθεία γραμμή μέσω αυτής παράλληλη προς τον άξονα x. Σημειώστε τα σημεία Pt1 και Pt2 στις τομές της ευθείας με το μοναδιαίο γράφημα του κύκλου. Συνδέουμε την αρχή των συντεταγμένων με τα σημεία Pt1 και Pt2 με δύο τμήματα.

Η λύση σε αυτήν την ανισότητα θα είναι όλα τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου που βρίσκονται πάνω από αυτά τα σημεία. Με άλλα λόγια, η λύση θα είναι το τόξο l.. Τώρα είναι απαραίτητο να υποδείξουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες αυθαίρετο σημείοθα ανήκει στο τόξο λ.

Το Pt1 βρίσκεται στο δεξιό ημικύκλιο, η τεταγμένη του είναι -1/2, τότε t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Ο ακόλουθος τύπος μπορεί να γραφτεί για να περιγράψει το σημείο Pt1:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε την ακόλουθη ανισότητα για t:

Διατηρούμε τα σημάδια της ανισότητας. Και δεδομένου ότι η συνάρτηση ημιτόνου είναι μια περιοδική συνάρτηση, τότε οι λύσεις θα επαναλαμβάνονται κάθε 2 * pi. Προσθέτουμε αυτή τη συνθήκη στην προκύπτουσα ανισότητα για το t και γράφουμε την απάντηση.

Απάντηση: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Παράδειγμα 2Επίλυση της ανισότητας cos(t)<1/2.

Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο μονάδας. Εφόσον, σύμφωνα με τον ορισμό του cos(t), αυτή είναι η συντεταγμένη x, σημειώνουμε το σημείο x = 1/2 στη γραφική παράσταση στον άξονα x.
Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό το σημείο παράλληλη προς τον άξονα y. Σημειώστε τα σημεία Pt1 και Pt2 στις τομές της ευθείας με το μοναδιαίο γράφημα του κύκλου. Συνδέουμε την αρχή των συντεταγμένων με τα σημεία Pt1 και Pt2 με δύο τμήματα.

Οι λύσεις είναι όλα τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου που ανήκουν στο τόξο l. Ας βρούμε τα σημεία t1 και t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Πήραμε την ανισότητα για t: pi/3

Δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση, οι λύσεις θα επαναλαμβάνονται κάθε 2 * pi. Προσθέτουμε αυτή τη συνθήκη στην προκύπτουσα ανισότητα για το t και γράφουμε την απάντηση.

Απάντηση: pi/3+2*pi*n

Παράδειγμα 3Λύστε την ανίσωση tg(t)< = 1.

Η περίοδος της εφαπτομένης είναι π. Ας βρούμε λύσεις που ανήκουν στο διάστημα (-pi/2;pi/2) στο δεξιό ημικύκλιο. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την περιοδικότητα της εφαπτομένης, γράφουμε όλες τις λύσεις αυτής της ανισότητας. Ας σχεδιάσουμε έναν μοναδιαίο κύκλο και ας σημειώσουμε πάνω του τη γραμμή των εφαπτομένων.

Εάν το t είναι λύση στην ανίσωση, τότε η τεταγμένη του σημείου T = tg(t) πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση με 1. Το σύνολο τέτοιων σημείων θα αποτελέσει την ακτίνα ΑΤ. Το σύνολο των σημείων Pt που θα αντιστοιχεί στα σημεία αυτής της ακτίνας είναι το τόξο l. Επιπλέον, το σημείο P(-pi/2) δεν ανήκει σε αυτό το τόξο.

Στο πρακτικό μάθημα, θα επαναλάβουμε τους κύριους τύπους εργασιών από το θέμα "Τριγωνομετρία", θα αναλύσουμε επιπλέον προβλήματα αυξημένης πολυπλοκότητας και θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης διαφόρων τριγωνομετρικών ανισοτήτων και των συστημάτων τους.

Αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για έναν από τους τύπους εργασιών B5, B7, C1 και C3.

Ας ξεκινήσουμε επαναλαμβάνοντας τους κύριους τύπους εργασιών που εξετάσαμε στο θέμα Τριγωνομετρία και λύνουμε αρκετές μη τυπικές εργασίες.

Εργασία #1. Μετατρέψτε τις γωνίες σε ακτίνια και μοίρες: α) ; β) .

α) Χρησιμοποιήστε τον τύπο για τη μετατροπή των μοιρών σε ακτίνια

Αντικαταστήστε τη δεδομένη τιμή σε αυτό.

β) Εφαρμόστε τον τύπο για τη μετατροπή των ακτίνων σε μοίρες

Ας κάνουμε την αντικατάσταση .

Απάντηση. ένα) ; β) .

Εργασία #2. Υπολογίστε: α) ; β) .

α) Επειδή η γωνία είναι πολύ πέρα από τον πίνακα, τη μειώνουμε αφαιρώντας την περίοδο του ημιτονοειδούς. Επειδή η γωνία δίνεται σε ακτίνια, τότε η περίοδος θα θεωρηθεί ως .

β) Στην περίπτωση αυτή η κατάσταση είναι παρόμοια. Εφόσον η γωνία καθορίζεται σε μοίρες, τότε θα θεωρήσουμε την περίοδο της εφαπτομένης ως .

Η γωνία που προκύπτει, αν και μικρότερη από την περίοδο, είναι μεγαλύτερη, πράγμα που σημαίνει ότι δεν αναφέρεται πλέον στο κύριο, αλλά στο εκτεταμένο τμήμα του πίνακα. Για να μην εκπαιδεύσουμε ξανά τη μνήμη μας απομνημονεύοντας έναν εκτεταμένο πίνακα τιμών τριγώνων συναρτήσεων, αφαιρούμε ξανά την εφαπτομένη περίοδο:

Εκμεταλλευτήκαμε την παραδοξότητα της εφαπτομένης συνάρτησης.

Απάντηση. Α'1; β) .

Εργασία #3. Υπολογίζω , αν .

Φέρνουμε ολόκληρη την έκφραση στις εφαπτομένες διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με . Ταυτόχρονα, δεν μπορούμε να το φοβόμαστε αυτό, γιατί Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της εφαπτομένης δεν θα υπήρχε.

Εργασία #4. Απλοποιήστε την έκφραση.

Οι καθορισμένες εκφράσεις μετατρέπονται χρησιμοποιώντας τύπους cast. Απλώς είναι ασυνήθιστα γραμμένα χρησιμοποιώντας βαθμούς. Η πρώτη έκφραση είναι γενικά ένας αριθμός. Απλοποιήστε όλες τις τριγωνικές συναρτήσεις με τη σειρά:

Επειδή , τότε η συνάρτηση αλλάζει σε συνάρτηση, π.χ. στην συνεφαπτομένη, και η γωνία πέφτει στο δεύτερο τέταρτο, στο οποίο το πρόσημο της αρχικής εφαπτομένης είναι αρνητικό.

Για τους ίδιους λόγους όπως και στην προηγούμενη έκφραση, η συνάρτηση αλλάζει σε συνάρτηση, π.χ. στην συνεφαπτομένη, και η γωνία πέφτει στο πρώτο τέταρτο, στο οποίο η αρχική εφαπτομένη έχει θετικό πρόσημο.

Αντικαθιστώντας τα πάντα σε μια απλοποιημένη έκφραση:

Εργασία #5. Απλοποιήστε την έκφραση.

Ας γράψουμε την εφαπτομένη της διπλής γωνίας σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο και ας απλοποιήσουμε την έκφραση:

Η τελευταία ταυτότητα είναι μία από τις καθολικές φόρμουλες αντικατάστασης του συνημιτόνου.

Εργασία #6. Υπολογίστε.

Το κύριο πράγμα είναι να μην κάνετε ένα τυπικό σφάλμα και να μην δώσετε μια απάντηση που η έκφραση είναι ίση με . Είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί η κύρια ιδιότητα της εφαπτομένης του τόξου ενώ υπάρχει ένας παράγοντας με τη μορφή δύο κοντά της. Για να απαλλαγούμε από αυτήν, γράφουμε την έκφραση σύμφωνα με τον τύπο για την εφαπτομένη διπλής γωνίας, ενώ την αντιμετωπίζουμε ως ένα συνηθισμένο όρισμα.

Τώρα είναι ήδη δυνατή η εφαρμογή της κύριας ιδιότητας της εφαπτομένης τόξου, θυμηθείτε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στο αριθμητικό της αποτέλεσμα.

Εργασία #7. Λύστε την εξίσωση.

Όταν λύνουμε μια κλασματική εξίσωση που ισούται με μηδέν, υποδεικνύεται πάντα ότι ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής όχι, επειδή δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Η πρώτη εξίσωση είναι μια ειδική περίπτωση της απλούστερης εξίσωσης, η οποία λύνεται χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Σκεφτείτε μόνοι σας αυτή τη λύση. Η δεύτερη ανισότητα λύνεται ως η απλούστερη εξίσωση χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο για τις ρίζες της εφαπτομένης, αλλά μόνο με το πρόσημο όχι ίσο.

Όπως μπορούμε να δούμε, μια οικογένεια ριζών αποκλείει μια άλλη ακριβώς την ίδια οικογένεια ριζών που δεν ικανοποιούν την εξίσωση. Εκείνοι. δεν υπάρχουν ρίζες.

Απάντηση. Δεν υπάρχουν ρίζες.

Εργασία #8. Λύστε την εξίσωση.

Σημειώστε αμέσως ότι μπορείτε να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα και να το κάνετε:

Η εξίσωση έχει αναχθεί σε μία από τις τυπικές μορφές, όταν το γινόμενο πολλών παραγόντων είναι ίσο με μηδέν. Γνωρίζουμε ήδη ότι σε αυτή την περίπτωση είτε το ένα από αυτά ισούται με μηδέν, είτε το άλλο, είτε το τρίτο. Το γράφουμε ως σύνολο εξισώσεων:

Οι δύο πρώτες εξισώσεις είναι ειδικές περιπτώσεις από τις πιο απλές, έχουμε ήδη συναντήσει πολλές φορές παρόμοιες εξισώσεις, οπότε θα υποδείξουμε αμέσως τις λύσεις τους. Μειώνουμε την τρίτη εξίσωση σε μία συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον τύπο ημιτόνου διπλής γωνίας.

Ας λύσουμε την τελευταία εξίσωση χωριστά:

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, γιατί η αξία του ημιτονοειδούς δεν μπορεί να υπερβεί .

Έτσι, μόνο οι δύο πρώτες οικογένειες ριζών είναι η λύση, μπορούν να συνδυαστούν σε μία, η οποία είναι εύκολο να φανεί σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο:

Αυτή είναι μια οικογένεια όλων των μισών, δηλ.

Ας προχωρήσουμε στην επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων. Αρχικά, ας αναλύσουμε την προσέγγιση για την επίλυση ενός παραδείγματος χωρίς τη χρήση γενικών τύπων λύσης, αλλά με τη βοήθεια ενός τριγωνομετρικού κύκλου.

Εργασία #9. Λύστε την ανισότητα.

Σχεδιάστε μια βοηθητική γραμμή στον τριγωνομετρικό κύκλο που αντιστοιχεί στην τιμή του ημιτόνου ίση με , και δείξτε το διάστημα των γωνιών που ικανοποιούν την ανίσωση.

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ακριβώς πώς να καθορίσετε το προκύπτον διάστημα γωνίας, δηλ. ποια είναι η αρχή και ποιο το τέλος της. Η αρχή του διακένου θα είναι η γωνία που αντιστοιχεί στο σημείο που θα εισέλθουμε στην αρχή του κενού αν κινηθούμε αριστερόστροφα. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι το σημείο που βρίσκεται στα αριστερά, γιατί κινούμενοι αριστερόστροφα και περνώντας το σωστό σημείο, αντίθετα, βγαίνουμε από το απαιτούμενο διάστημα γωνίας. Το σωστό σημείο θα αντιστοιχεί επομένως στο τέλος του κενού.

Τώρα πρέπει να κατανοήσουμε τις τιμές των γωνιών αρχής και τέλους του χάσματος των λύσεών μας στην ανισότητα. Ένα τυπικό λάθος είναι να υποδείξετε αμέσως ότι το σωστό σημείο αντιστοιχεί στη γωνία , το αριστερό και να δώσετε την απάντηση. Αυτό δεν είναι αληθινό! Λάβετε υπόψη ότι μόλις υποδείξαμε το διάστημα που αντιστοιχεί στο πάνω μέρος του κύκλου, αν και μας ενδιαφέρει το κάτω, με άλλα λόγια, έχουμε μπερδέψει την αρχή και το τέλος του διαστήματος των λύσεων που χρειαζόμαστε.

Προκειμένου το διάστημα να ξεκινά από τη γωνία του δεξιού σημείου και να τελειώνει στη γωνία του αριστερού σημείου, η πρώτη καθορισμένη γωνία πρέπει να είναι μικρότερη από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να μετρήσουμε τη γωνία του σωστού σημείου στην αρνητική κατεύθυνση αναφοράς, δηλ. δεξιόστροφα και θα είναι ίσο με . Στη συνέχεια, ξεκινώντας από αυτό με θετική φορά δεξιόστροφα, θα φτάσουμε στο δεξί σημείο μετά το αριστερό σημείο και θα πάρουμε την τιμή της γωνίας για αυτό. Τώρα η αρχή του διαστήματος των γωνιών είναι μικρότερη από το τέλος του , και μπορούμε να γράψουμε το διάστημα των λύσεων χωρίς να λάβουμε υπόψη την περίοδο:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τέτοια διαστήματα θα επαναληφθούν άπειρες φορές μετά από οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό περιστροφών, παίρνουμε τη γενική λύση, λαμβάνοντας υπόψη την ημιτονοειδή περίοδο:

Βάζουμε στρογγυλές αγκύλες γιατί η ανισότητα είναι αυστηρή και τρυπάμε τα σημεία του κύκλου που αντιστοιχούν στα άκρα του διαστήματος.

Συγκρίνετε την απάντησή σας με τον τύπο για τη γενική λύση που δώσαμε στη διάλεξη.

Απάντηση. .

Αυτή η μέθοδος είναι καλή για να κατανοήσουμε από πού προέρχονται οι τύποι για τις γενικές λύσεις των απλούστερων τριγωνικών ανισώσεων. Επιπλέον, είναι χρήσιμο για όσους είναι πολύ τεμπέληδες να μάθουν όλες αυτές τις δυσκίνητες φόρμουλες. Ωστόσο, η ίδια η μέθοδος δεν είναι επίσης εύκολη, επιλέξτε ποια προσέγγιση στη λύση είναι πιο βολική για εσάς.

Για να λύσετε τριγωνομετρικές ανισότητες, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα γραφήματα συναρτήσεων στα οποία είναι χτισμένη η βοηθητική γραμμή, παρόμοια με τη μέθοδο που εμφανίζεται χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας. Εάν ενδιαφέρεστε, προσπαθήστε να κατανοήσετε μόνοι σας αυτήν την προσέγγιση στη λύση. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε γενικούς τύπους για να λύσουμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές ανισώσεις.

Εργασία #10. Λύστε την ανισότητα.

Χρησιμοποιούμε τον γενικό τύπο λύσης, λαμβάνοντας υπόψη ότι η ανισότητα δεν είναι αυστηρή:

Παίρνουμε στην περίπτωσή μας:

Απάντηση.

Εργασία #11. Λύστε την ανισότητα.

Χρησιμοποιούμε τον γενικό τύπο λύσης για την αντίστοιχη αυστηρή ανισότητα:

Απάντηση. .

Εργασία #12. Λύστε ανισώσεις: α) ; β) .

Σε αυτές τις ανισότητες, δεν πρέπει να βιαστεί κανείς να χρησιμοποιήσει τύπους για γενικές λύσεις ή έναν τριγωνομετρικό κύκλο, αρκεί απλώς να θυμηθεί το εύρος των τιμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

α) Επειδή , τότε η ανισότητα δεν έχει νόημα. Επομένως, δεν υπάρχουν λύσεις.

β) Επειδή Ομοίως, το ημίτονο οποιουδήποτε επιχειρήματος ικανοποιεί πάντα την ανισότητα που καθορίζεται στη συνθήκη. Επομένως, η ανισότητα ικανοποιείται από όλες τις πραγματικές τιμές του επιχειρήματος.

Απάντηση. α) δεν υπάρχουν λύσεις. β) .

Εργασία 13. Λύστε την ανισότητα .

Ένας αλγόριθμος για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων και την αναγνώριση τρόπων επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Δάσκαλοι της υψηλότερης κατηγορίας προσόντων:

Shirko F.M. Χωριό προόδου, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, PEI Secondary School "New Way"

Δεν υπάρχουν καθολικές μέθοδοι διδασκαλίας φυσικών-μαθηματικών κλάδων. Κάθε δάσκαλος βρίσκει τους δικούς του τρόπους διδασκαλίας αποδεκτούς μόνο από αυτόν.

Η πολυετής διδακτική μας εμπειρία δείχνει ότι οι μαθητές μαθαίνουν πιο εύκολα υλικό που απαιτεί συγκέντρωση προσοχής και αποθήκευση μεγάλου όγκου πληροφοριών στη μνήμη, εάν διδαχθούν να χρησιμοποιούν αλγόριθμους στις δραστηριότητές τους στο αρχικό στάδιο της εκμάθησης ενός πολύπλοκου θέματος. Ένα τέτοιο θέμα, κατά τη γνώμη μας, είναι το θέμα της επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Έτσι, πριν ξεκινήσουμε με τους μαθητές να προσδιορίζουμε τεχνικές και μεθόδους για την επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων, επεξεργαζόμαστε και διορθώνουμε τον αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων.

Αλγόριθμος για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισώσεων

Σημειώνουμε σημεία στον αντίστοιχο άξονα ( Για αμαρτία Χ- άξονας y, γιαcos Χ- Άξονας OX)

Επαναφέρουμε την κάθετο στον άξονα, που θα τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

Πρώτα στον κύκλο υπογράφουμε το σημείο που ανήκει εξ ορισμού στο διάστημα του εύρους τιμών της συνάρτησης τόξου.

Ξεκινώντας από το σημασμένο σημείο, σκιάζουμε το τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί στο σκιασμένο τμήμα του άξονα.

Δίνουμε ιδιαίτερη προσοχή στην κατεύθυνση της παράκαμψης. Εάν η διέλευση είναι δεξιόστροφη (δηλαδή υπάρχει μετάβαση στο 0), τότε το δεύτερο σημείο του κύκλου θα είναι αρνητικό, εάν αριστερόστροφα - θετικό.

Γράφουμε την απάντηση ως διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Ας εξετάσουμε τη λειτουργία του αλγορίθμου με παραδείγματα.

1) αμαρτία ≥ 1/2;

Λύση:

Σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας.

Σημειώνουμε ένα σημείο ½ στον άξονα y.

Επαναφέρετε την κάθετο στον άξονα,

που τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

Με τον ορισμό του τόξου, σημειώνουμε πρώτα

σημείο π/6.

Σκιάζουμε το τμήμα του άξονα που αντιστοιχεί

δεδομένης ανισότητας, πάνω από το σημείο ½.

Σκιάζουμε το τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί στο σκιασμένο τμήμα του άξονα.

Η παράκαμψη γίνεται αριστερόστροφα, πήραμε το σημείο 5π/6.

Γράφουμε την απάντηση ως ένα διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Απάντηση:Χ;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], nΖ.

Η απλούστερη ανισότητα επιλύεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο εάν δεν υπάρχει πίνακας τιμής στην εγγραφή απαντήσεων.

Οι μαθητές, στα πρώτα μαθήματα, λύνοντας ανισότητες στον πίνακα, προφέρουν κάθε βήμα του αλγορίθμου δυνατά.

2) 5 cos Χ – 1 ≥ 0;

R Λύση:στο

5 cos Χ – 1 ≥ 0;

cos Χ ≥ 1/5;

Σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας.

Σημειώνουμε στον άξονα ΟΧ ένα σημείο με τη συντεταγμένη 1/5.

Επαναφέρουμε την κάθετη στον άξονα, η οποία

τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία.

Πρώτα στον κύκλο υπογράφουμε το σημείο που ανήκει στο διάστημα του εύρους τιμών της αρκοσίνης εξ ορισμού (0; π).

Σκιάζουμε το τμήμα του άξονα που αντιστοιχεί σε αυτή την ανισότητα.

Ξεκινώντας από υπογεγραμμένο σημείο τόξα 1/5, σκιάστε το τόξο ενός κύκλου που αντιστοιχεί στο σκιασμένο τμήμα του άξονα.

Η παράκαμψη γίνεται δεξιόστροφα (δηλαδή υπάρχει μετάβαση στο 0), πράγμα που σημαίνει ότι το δεύτερο σημείο στον κύκλο θα είναι αρνητικό - τόξα 1/5.

Γράφουμε την απάντηση ως ένα διάστημα, λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης, από μια μικρότερη τιμή σε μια μεγαλύτερη.

Απάντηση: Χ  [-τόξα 1/5 + 2π n, τόξα 1/5 + 2π n], nΖ.

Η βελτίωση της ικανότητας επίλυσης τριγωνομετρικών ανισώσεων διευκολύνεται από τις ερωτήσεις: "Πώς θα λύσουμε μια ομάδα ανισώσεων;"; «Πώς διαφέρει μια ανισότητα από την άλλη;» "Πώς είναι μια ανισότητα παρόμοια με μια άλλη;"; Πώς θα άλλαζε η απάντηση αν δινόταν μια αυστηρή ανισότητα; Πώς θα άλλαζε η απάντηση αν υπήρχε ένα σημάδι αντί για το σύμβολο ""

Το έργο της ανάλυσης της λίστας των ανισοτήτων από τη σκοπιά των τρόπων επίλυσής τους σάς επιτρέπει να επεξεργαστείτε την αναγνώρισή τους.

Δίνονται στους μαθητές ανισότητες για να λύσουν στην τάξη.

Ερώτηση:Να επισημάνετε τις ανισώσεις που απαιτούν τη χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών κατά την αναγωγή της τριγωνομετρικής ανισότητας στην απλούστερη;

Απάντηση 1, 3, 5.

Ερώτηση:Ποιες είναι οι ανισότητες στις οποίες απαιτείται να θεωρηθεί ένα σύνθετο όρισμα ως απλό;

Απάντηση: 1, 2, 3, 5, 6.

Ερώτηση:Ποιες είναι οι ανισότητες στις οποίες μπορούν να εφαρμοστούν τριγωνομετρικοί τύποι;

Απάντηση: 2, 3, 6.

Ερώτηση:Ποιες είναι οι ανισότητες στις οποίες μπορείτε να εφαρμόσετε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής;

Απάντηση: 6.

Το έργο της ανάλυσης της λίστας των ανισοτήτων από τη σκοπιά των τρόπων επίλυσής τους σάς επιτρέπει να επεξεργαστείτε την αναγνώρισή τους. Κατά την ανάπτυξη δεξιοτήτων, είναι σημαντικό να ξεχωρίσετε τα στάδια της εφαρμογής του και να τα διατυπώσετε σε μια γενική μορφή, η οποία παρουσιάζεται στον αλγόριθμο για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών ανισοτήτων.

Οι ανισότητες είναι σχέσεις της μορφής a › b, όπου a και b είναι εκφράσεις που περιέχουν τουλάχιστον μία μεταβλητή. Οι ανισότητες μπορεί να είναι αυστηρές - ‹, › και μη αυστηρές - ≥, ≤.

Οι τριγωνομετρικές ανισότητες είναι εκφράσεις της μορφής: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, στις οποίες η F(x) αντιπροσωπεύεται από μία ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις .

Ένα παράδειγμα της απλούστερης τριγωνομετρικής ανισότητας είναι: sin x ‹ 1/2. Είναι σύνηθες να επιλύονται τέτοια προβλήματα γραφικά· δύο μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για αυτό.

Μέθοδος 1 - Επίλυση ανισώσεων σχεδιάζοντας μια συνάρτηση

Για να βρείτε ένα διάστημα που να ικανοποιεί τις συνθήκες της ανισότητας sin x ‹ 1/2, πρέπει να κάνετε τα εξής:

Στον άξονα των συντεταγμένων κατασκευάστε ένα ημιτονοειδές y = sin x.
Στον ίδιο άξονα, σχεδιάστε μια γραφική παράσταση του αριθμητικού ορίσματος της ανίσωσης, δηλαδή μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο ½ της τεταγμένης OY.
Σημειώστε τα σημεία τομής των δύο γραφημάτων.
Σκιάστε το τμήμα που είναι η λύση του παραδείγματος.

Όταν υπάρχουν ισχυρά σημάδια σε μια έκφραση, τα σημεία τομής δεν είναι λύσεις. Εφόσον η μικρότερη θετική περίοδος του ημιτονοειδούς είναι 2π, γράφουμε την απάντηση ως εξής:

Εάν τα σημάδια της έκφρασης δεν είναι αυστηρά, τότε το διάστημα επίλυσης πρέπει να περικλείεται σε αγκύλες - . Η απάντηση στο πρόβλημα μπορεί επίσης να γραφτεί ως μια άλλη ανισότητα:

Μέθοδος 2 - Επίλυση τριγωνομετρικών ανισώσεων χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο

Παρόμοια προβλήματα λύνονται εύκολα με τη βοήθεια ενός τριγωνομετρικού κύκλου. Ο αλγόριθμος αναζήτησης είναι πολύ απλός:

Αρχικά, σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας.
Στη συνέχεια, πρέπει να σημειώσετε την τιμή της συνάρτησης τόξου του ορίσματος της δεξιάς πλευράς της ανισότητας στο τόξο του κύκλου.
Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την τιμή της συνάρτησης τόξου παράλληλη προς τον άξονα x (OX).
Μετά από αυτό, μένει μόνο να επιλέξετε το τόξο ενός κύκλου, το οποίο είναι το σύνολο των λύσεων στην τριγωνομετρική ανισότητα.
Γράψτε την απάντηση στην απαιτούμενη φόρμα.

Ας αναλύσουμε τα βήματα λύσης χρησιμοποιώντας την ανισότητα sin x › 1/2 ως παράδειγμα. Τα σημεία α και β σημειώνονται στον κύκλο – οι τιμές

Τα σημεία του τόξου που βρίσκονται πάνω από το α και το β είναι το διάστημα για την επίλυση της δεδομένης ανισότητας.

Εάν πρέπει να λύσετε ένα παράδειγμα για το cos, τότε το τόξο των απαντήσεων θα βρίσκεται συμμετρικά προς τον άξονα OX και όχι OY. Μπορείτε να εξετάσετε τη διαφορά μεταξύ των διαστημάτων λύσης για το sin και το cos στα παρακάτω διαγράμματα του κειμένου.

Οι γραφικές λύσεις για τις εφαπτομενικές και συνεφαπτομενικές ανισότητες θα διαφέρουν τόσο από ημιτονοειδές όσο και από συνημίτονο. Αυτό οφείλεται στις ιδιότητες των συναρτήσεων.

Το τόξο και η τοξοεφαπτομένη είναι εφαπτομένες στον τριγωνομετρικό κύκλο και η ελάχιστη θετική περίοδος και για τις δύο συναρτήσεις είναι π. Για να χρησιμοποιήσετε γρήγορα και σωστά τη δεύτερη μέθοδο, πρέπει να θυμάστε σε ποιον άξονα απεικονίζονται οι τιμές των sin, cos, tg και ctg.

Η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τον άξονα OY. Αν σχεδιάσουμε την τιμή του arctg a στον μοναδιαίο κύκλο, τότε το δεύτερο απαιτούμενο σημείο θα βρίσκεται στο διαγώνιο τέταρτο. γωνίες

Είναι σημεία διακοπής για τη συνάρτηση, καθώς το γράφημα τείνει προς αυτά αλλά δεν τα φτάνει ποτέ.

Στην περίπτωση της συνεφαπτομένης, η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ και η συνάρτηση διακόπτεται στα σημεία π και 2π.

Μιγαδικές τριγωνομετρικές ανισώσεις

Εάν το όρισμα της συνάρτησης ανισότητας αντιπροσωπεύεται όχι μόνο από μια μεταβλητή, αλλά από μια ολόκληρη έκφραση που περιέχει έναν άγνωστο, τότε μιλάμε για μια σύνθετη ανισότητα. Η πορεία και η σειρά της επίλυσής του είναι κάπως διαφορετική από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια λύση στην ακόλουθη ανισότητα:

Η γραφική λύση προβλέπει την κατασκευή ενός συνηθισμένου ημιτονοειδούς y = sin x για αυθαίρετα επιλεγμένες τιμές του x. Ας υπολογίσουμε έναν πίνακα με συντεταγμένες για τα σημεία αναφοράς του γραφήματος:

Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μια ωραία καμπύλη.

Για ευκολία εύρεσης λύσης, αντικαθιστούμε το όρισμα σύνθετης συνάρτησης