Τώρα θα δούμε πιο βαθιά τους νόμους της κινηματικής του Αϊνστάιν. Στην περίπτωση αυτή, θα περιοριστούμε κυρίως στο επίπεδο.Τα συμπεράσματα που προκύπτουν σε αυτήν την περίπτωση δεν είναι καθόλου δύσκολο να γενικευτούν στην περίπτωση τετραδιάστατο χώρο, οπότε θα το αναφέρουμε μόνο καθώς προχωράμε.

Σύκο. 125. Τετραδιάστατα τμήματα. α - χρονική απόσταση που μοιάζει με το χώρο

Γραμμές φωτός που ορίζονται από την εξίσωση Διαιρέστε το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια (Εικ. 116). Προφανώς, διατηρεί το ίδιο πρόσημο σε κάθε τεταρτημόριο, και σε δύο αντίθετα τεταρτημόρια που περιέχουν κλάδους της υπερβολής σε δύο αντίθετα τεταρτημόρια που περιέχουν κλάδους. Μια ευθεία γραμμή του κόσμου που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων Ο μπορεί να ληφθεί ως άξονας ή άξονας, ανάλογα με το αν βρίσκεται σε ένα τεταρτημόριο ή σε ένα τεταρτημόριο. Κατά συνέπεια, υποδιαιρούμε τις γραμμές του κόσμου σε "χωρομορφικές" και "χρονικές" » (Εικ. 125, α).

Σε κάθε αδρανειακό σύστημα, ο άξονας διαχωρίζει τα σημεία του κόσμου του «παρελθόντος» από τα παγκόσμια σημεία του «μέλλοντος». Αλλά αυτή η διαίρεση είναι διαφορετική σε κάθε αδρανειακό σύστημα, αφού με διαφορετική θέση του άξονα, ο κόσμος σημεία που προηγουμένως ξαπλώσει πάνω από αυτό, δηλαδή, στο μέλλον, μπορεί

να είναι κάτω από τον άξονα στο παρελθόν, και το αντίστροφο. Μόνο εκείνα τα γεγονότα που αντιπροσωπεύονται από παγκόσμια σημεία που βρίσκονται σε τεταρτημόρια ανήκουν μοναδικά είτε στο «παρελθόν» ή στο «μέλλον» σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα. Για ένα τέτοιο παγκόσμιο σημείο (Εικ. 125, α) έχουμε σε οποιοδήποτε αποδεκτό πλαίσιο αναφοράς δύο γεγονότα που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα, περισσότερο από αυτόο χρόνος που χρειάζεται το φως για να ταξιδέψει από ένα από αυτά τα σημεία σε ένα άλλο. Κατά συνέπεια, μπορούμε πάντα να επιλέξουμε ένα αδρανειακό σύστημα έτσι ώστε ο άξονάς του να διέρχεται από ένα σημείο, δηλαδή ένα τέτοιο σύστημα στο οποίο αναπαριστά ένα γεγονός που συμβαίνει στη χωρική αρχή. Από την άποψη ενός άλλου αδρανειακού συστήματος, το αδρανειακό μας σύστημα θα κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα με τέτοιο τρόπο ώστε η αρχή του να συμπίπτει ακριβώς με τα γεγονότα. Τότε, προφανώς, πρέπει να βάλουμε ένα γεγονός στο σύστημα

Σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα ο άξονας αντιπροσωπεύει τόποςσημεία του κόσμου που αντιστοιχούν σε γεγονότα που συμβαίνουν στη χωρική αρχή στον άξονα Χ (δηλαδή στο σημείο και χωρίζει (σε ​​ένα δισδιάστατο σχήμα) τα σημεία που βρίσκονται στα αριστερά της αρχής και τα σημεία που βρίσκονται στα δεξιά της. ένα διαφορετικό αδρανειακό σύστημα με διαφορετικό άξονα, αυτή η διάκριση θα είναι διαφορετική. Ορίζεται με μοναδικό τρόπο μόνο για παγκόσμια σημεία που βρίσκονται σε τεταρτημόρια, ανεξάρτητα από το αν βρίσκονται «πριν» ή «μετά» από τη χωρική προέλευση. Για ένα τέτοιο σημείο (Εικ. 125, β), δηλαδή σε οποιοδήποτε αποδεκτό πλαίσιο αναφοράς, το χρονικό διάστημα μεταξύ των γεγονότων λιγότερο από αυτόο χρόνος που χρειάζεται το φως για να διανύσει την απόσταση από το σημείο Ο στο σημείο Έτσι, είναι δυνατόν να εισαχθεί ένα κατάλληλα επιλεγμένο κινούμενο αδρανειακό σύστημα με άξονα που διέρχεται από τον οποίο αποδεικνύεται ότι και τα δύο γεγονότα είναι ταυτόχρονα. Σε αυτό το σύστημα, είναι προφανές για ένα γεγονός, επομένως,

Επομένως, το αμετάβλητο για οποιοδήποτε παγκόσμιο σημείο είναι μια μετρήσιμη ποσότητα που έχει μια εύκολα ερμηνεύσιμη οπτική σημασία. Εισάγοντας ένα κατάλληλο σύστημα αναφοράς, το παγκόσμιο σημείο μπορεί είτε να μεταφραστεί "στο ίδιο μέρος" στο οποίο συνέβη το γεγονός O και στη συνέχεια η χρονική διαφορά μεταξύ γεγονότων που συμβαίνουν στο ίδιο χωρικό σημείο του συστήματος ή μπορεί να μεταφραστεί "στο την ίδια χρονική στιγμή», στο οποίο συνέβη το γεγονός O, και στη συνέχεια η χωρική απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων στο σύστημα

Σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων, οι φωτεινές γραμμές αντιπροσωπεύουν κινήσεις που συμβαίνουν με την ταχύτητα του φωτός. Σύμφωνα με αυτό, κάθε γραμμή του κόσμου που μοιάζει με χρόνο αντιπροσωπεύει κίνηση με ταχύτητα χαμηλότερη ταχύτηταφώτα. Ή, για να προσεγγίσουμε το ερώτημα από την άλλη πλευρά, κάθε κίνηση που συμβαίνει με ταχύτητα μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός μπορεί να «φερθεί σε κατάσταση ηρεμίας», αφού υπάρχει μια παγκόσμια γραμμή που μοιάζει με το χρόνο που αντιστοιχεί σε αυτήν την κίνηση.

Τι γίνεται με κινήσεις που γίνονται πιο γρήγορα από την ταχύτητα του φωτός; Υπό το φως των κρίσεων που εκφράστηκαν παραπάνω, φαίνεται προφανές ότι η θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν θα έπρεπε να κηρύξει αδύνατες τέτοιες κινήσεις. Πράγματι, η νέα κινηματική θα έχανε κάθε νόημα εάν υπήρχαν σήματα που μας επέτρεπαν να ελέγχουμε τον ταυτόχρονο χρόνο των ρολογιών με μέσα που περιλαμβάνουν ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα του φωτός. Προφανώς υπάρχει κάποια δυσκολία εδώ.

Αφήστε το σύστημα να κινηθεί με ταχύτητα σε σχέση με ένα άλλο σύστημα και αφήστε το σώμα Κ να κινηθεί με ταχύτητα u σε σχέση με το σύστημα. Σύμφωνα με τη συνηθισμένη κινηματική, η σχετική ταχύτητα του σώματος Κ στο σύστημα είναι ίση με

Τώρα, αν το καθένα υπερβαίνει τη μισή ταχύτητα του Φωτός, τότε είναι επίσης μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός c, και αυτό θα ήταν αδύνατο, σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας.

Αυτός ο σοφισμός, φυσικά, συνδέεται με το γεγονός ότι οι ταχύτητες στη σχετικιστική κινηματική δεν μπορούν απλά να συνοψιστούν, αφού κάθε σύστημα αναφοράς έχει τις δικές του μονάδες μήκους και χρόνου.

Η ανάγκη να ληφθεί υπόψη αυτή η περίσταση προκύπτει σαφώς από το γεγονός ότι σε οποιαδήποτε δύο συστήματα που κινούνται μεταξύ τους, η ταχύτητα του φωτός θεωρείται πάντα η ίδια - γεγονός που χρησιμοποιήθηκε ήδη νωρίτερα στην παραγωγή του μετασχηματισμού Lorentz (Κεφάλαιο VI, § 2, σ. 230) . Ο αληθινός νόμος της πρόσθεσης ταχυτήτων μπορεί να συναχθεί από αυτόν τον μετασχηματισμό [τύπος (70)]. Ας εξετάσουμε ένα κινούμενο σώμα στο σύστημα: Η κίνησή του μπορεί να συμβεί στο επίπεδο x, y, και έτσι, η ταχύτητά του θα έχει δύο συνιστώσες και η κίνηση μπορεί να ξεκινήσει τη χρονική στιγμή από την αρχή. Η γραμμή του κόσμου του σώματος δίνεται στη συνέχεια από τις εξισώσεις

Μπορεί να προβλεφθεί ότι η κίνηση θα είναι ευθύγραμμη και στο σύστημα η ταχύτητα θα έχει δύο σταθερές συνιστώσες Η παγκόσμια γραμμή ενός κινούμενου σώματος στο σύστημα θα δοθεί από τις εξισώσεις

Για να λάβουμε τη σχέση μεταξύ των ταχυτήτων του σώματος στα συστήματα, εισάγουμε εκφράσεις για στις εξισώσεις και χρησιμοποιώντας τους τύπους μετασχηματισμού Lorentz (70a). Αντί για την πρώτη εξίσωση παίρνουμε

Συγκρίνοντας αυτό το αποτέλεσμα με την εξίσωση παίρνουμε

που εκφράζει το θεώρημα για τη σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός. Επιπλέον, βλέπουμε ότι για κάθε σώμα που κινείται κατά μήκος του χωρικού άξονα, όσο . Στην πραγματικότητα, διαιρώντας τον τύπο (77a) με c, μπορούμε να μετατρέψουμε το αποτέλεσμα στη μορφή

Η δήλωσή μας προκύπτει άμεσα από αυτόν τον τύπο, αφού υπό τις παραπάνω συνθήκες ο δεύτερος όρος στα δεξιά είναι πάντα μικρότερος από 1 (ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος από 1 και κάθε παράγοντας στον αριθμητή είναι μικρότερος από 1). Ένα παρόμοιο συμπέρασμα ισχύει φυσικά για κινήσεις που γίνονται εγκάρσια προς τον άξονα του χώρου και για κινήσεις προς οποιαδήποτε κατεύθυνση.

Άρα, η ταχύτητα του φωτός κινηματικά είναι η οριακή ταχύτητα που δεν μπορεί να ξεπεραστεί. Αυτό το αξίωμα της θεωρίας του Αϊνστάιν συνάντησε πεισματική αντίθεση. Φαινόταν ένας αδικαιολόγητος περιορισμός στα σχέδια των ερευνητών που περίμεναν μελλοντικές ανακαλύψεις ταχυτήτων που υπερβαίνουν την ταχύτητα του φωτός.

Γνωρίζουμε ότι οι ακτίνες ραδιενεργών ουσιώνείναι ηλεκτρόνια που κινούνται με ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Γιατί είναι αδύνατο να τα επιταχύνουμε ώστε να κινούνται με ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα του φωτός;

Η θεωρία του Αϊνστάιν, ωστόσο, δηλώνει ότι αυτό είναι κατ' αρχήν αδύνατο, αφού η αδρανειακή οπισθέλκουσα, ή μάζα ενός σώματος, αυξάνεται καθώς η ταχύτητά του πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Έτσι, φτάνουμε σε νέα δυναμική που βασίζεται στην κινηματική του Αϊνστάιν.

. Σχετικιστική μηχανική

Μάθημα 2/69

Θέμα. Σχετικιστικός νόμος πρόσθεσης ταχυτήτων

Σκοπός του μαθήματος: να εξοικειωθούν οι μαθητές με τον σχετικιστικό νόμο της πρόσθεσης ταχυτήτων

Τύπος μαθήματος: εκμάθηση νέου υλικού

Πλάνο μαθήματος

ΜΑΘΗΣΗ ΝΕΟΥ ΥΛΙΚΟΥ

Ερώτηση για μαθητές κατά την παρουσίαση νέου υλικού

1. Τι καταλαβαίνετε με τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς; Δώσε παραδείγματα.

2. Η αρχή της σχετικότητας της κλασικής φυσικής.

3. Ποιες είναι οι διαφορές στη διατύπωση της αρχής της σχετικότητας του Γαλιλαίου και της αρχής της σχετικότητας του Αϊνστάιν;

4. Συγκρίνετε τις έννοιες του ταυτόχρονου σε κλασική φυσικήκαι στη θεωρία της σχετικότητας.

5. Σε ποια περίπτωση οι έννοιες «νωρίτερα» και «μεταγενέστερα» είναι σχετικές και σε ποια περίπτωση είναι απόλυτες;

6. Δύο συμβάντα σε κάποιο αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς συμβαίνουν στο ίδιο σημείο ταυτόχρονα. Αυτά τα γεγονότα θα είναι ταυτόχρονα σε διαφορετικό αδρανειακό πλαίσιο;

7. Μπορεί να υποστηριχθεί ότι χωρικά διαχωρισμένα γεγονότα, ταυτόχρονα σε ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς, είναι ταυτόχρονα σε όλα τα άλλα αδρανειακά συστήματα αναφοράς;

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΔΕΙΓΜΕΝΟΥ ΥΛΙΚΟΥ

Τι μάθαμε στην τάξη;

Σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ταυτόχρονα αρχικές συνθήκεςΟλα μηχανικά φαινόμεναπροχωρήστε με τον ίδιο τρόπο.

Ο κλασικός νόμος της πρόσθεσης ταχυτήτων:

Σχετικιστικός νόμος της πρόσθεσης ταχύτητας:

Ένα γεγονός είναι ένα απλοποιημένο μοντέλο ενός φαινομένου που δεδομένο σύστημαη καταμέτρηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι αυτό που συμβαίνει συγκεκριμένο σημείοχώρο σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Γεγονότα που είναι ταυτόχρονα σε ένα πλαίσιο αναφοράς αποδεικνύονται μη ταυτόχρονα σε ένα άλλο πλαίσιο αναφοράς, το οποίο κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα σε σχέση με το πρώτο, δηλαδή η ταυτόχρονη έννοια είναι σχετική.

g1) - 22,5; 22.6;

р2) - 22,7; 22.20; 22.21;

ζ3) - 22.33, 22.34; 22.39.

Ο νόμος της πρόσθεσης ταχυτήτων σε σχετικιστική μηχανική

Έστω σε σχέση με το σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ' υλικό σημείοκινείται με ταχύτητα εσύ (Εικ. 2.3.2). Ας βρούμε την ταχύτητα u υλικό σημείο σε σχέση με το σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ. Προβολές ταχύτητας u Και u ′ στον άξονα συντεταγμένων στα συστήματα ΠΡΟΣ ΤΗΝΚαι ΠΡΟΣ ΤΗΝ'αναλόγως μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

, , , , , . (2.3.10)

Σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς Lorentz (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (2.3.11) σε (2.3.10), μετά από μετασχηματισμούς παίρνουμε τον σχετικιστικό νόμο της πρόσθεσης ταχυτήτων:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Αν η ταχύτητα v Και u είναι μικρές σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός, τότε οι εκφράσεις (2.3.12) – (2.3.14) μετατρέπονται στον νόμο της πρόσθεσης ταχυτήτων στην κλασική μηχανική:

, , . (2.3.15)

Αφήστε το υλικό σημείο να κινηθεί παράλληλα προς τον άξονα Χ.

Τότε ο σχετικιστικός νόμος της πρόσθεσης ταχυτήτων (2.3.12) παίρνει τη μορφή:

. (2.3.16)

Αν στο σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ', μετά στο σύστημα ΠΡΟΣ ΤΗΝ ,

εκείνοι. κατά την προσθήκη δύο ταχυτήτων, η ταχύτητα που προέκυψε αποδείχθηκε ότι είναι ίση ταχύτηταφως στο κενό, που επιβεβαιώνει το δεύτερο αξίωμα του Αϊνστάιν.

Διάστημα

Αφήστε το σύστημα αναφοράς ΠΡΟΣ ΤΗΝσυμβαίνουν δύο γεγονότα: το πρώτο - σε ένα σημείο με συντεταγμένες x 1, y 1, z 1σε μια χρονική στιγμή t 1,

το δεύτερο – σε σημείο με συντεταγμένες x 2, y 2, z 2σε μια χρονική στιγμή t 2. Κάθε γεγονός στον τετραδιάστατο χωροχρόνο αντιστοιχεί σε ένα σημείο ( Χ,y,z,t), το οποίο ονομάζεται παγκόσμιο σημείο. Μέγεθος

ονομάζεται το διάστημα μεταξύ αυτών των γεγονότων ή το διάστημα μεταξύ δύο σημείων ( x 1,y 1,z 1,t 1) Και ( x 2,y 2,z 2,t 2) στον τετραδιάστατο χωροχρόνο. Μπορεί να φανεί χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Lorentz ότι αυτή η ποσότητα έχει την ίδια τιμή σε όλα τα συστήματα αναφοράς, δηλ. είναι ένα αμετάβλητο των μετασχηματισμών Lorentz.

Ας υποδηλώσουμε το χρονικό διάστημα μεταξύ των γεγονότων t 2 – t 1= =t 12, και τη χωρική απόσταση μεταξύ των σημείων στα οποία συμβαίνουν τα γεγονότα .

Στη συνέχεια, το διάστημα θα πάρει τη μορφή .

Ας είναι το πρώτο γεγονός αυτό τη στιγμή του χρόνου t 1από το σημείο ( x 1,y 1,z 1) εκπέμπεται ένα φωτεινό σήμα και το δεύτερο είναι ότι τη στιγμή του χρόνου t 2αυτό το σήμα λαμβάνεται στο σημείο ( x 2,y 2,z 2). Το σήμα ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός, άρα l 12= ct 12. Διάστημα για αυτή την περίπτωση s 12= 0. Αυτό το διάστημα ονομάζεται μηδέν. Υπάρχει ένα μηδενικό διάστημα μεταξύ γεγονότων που μπορούν να συνδεθούν με ένα σήμα που ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός. Με ένα μηδενικό διάστημα, τα γεγονότα μπορούν να συσχετιστούν μεταξύ τους με μια σχέση αιτίου-αποτελέσματος σε οποιοδήποτε πλαίσιο αναφοράς.

Αν l 12 > ct 12, τότε τα υπό εξέταση γεγονότα δεν μπορούν να επηρεάσουν το ένα το άλλο, δηλ. Δεν μπορεί να υπάρχει σχέση αιτίου-αποτελέσματος μεταξύ τους, αφού κανένα σήμα, καμία επιρροή δεν μπορεί να διαδοθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός στο κενό. Το διάστημα σε αυτή την περίπτωση θα είναι φανταστικό. Τα φανταστικά διαστήματα ονομάζονται που μοιάζει με το διάστημα. Γεγονότα που χωρίζονται από ένα φανταστικό διάστημα δεν μπορούν να συμβούν σε ένα σημείο σε οποιοδήποτε πλαίσιο αναφοράς, καθώς σε αυτήν την περίπτωση το διάστημα θα γίνει πραγματικό σε αυτό το πλαίσιο αναφοράς ( l 12= 0). Και λόγω αμετάβλητου, το διάστημα σε όλα τα συστήματα αναφοράς πρέπει να παραμένει φανταστικό. Για συμβάντα που χωρίζονται από ένα διάστημα παρόμοιο με το διάστημα, είναι δυνατό να βρεθεί ένα πλαίσιο αναφοράς στο οποίο συμβαίνουν ταυτόχρονα ( t 12=0).

Αν l 12 < ct 12, τότε το διάστημα αποδεικνύεται πραγματικό. Τέτοια διαστήματα ονομάζονται χρονικά. Τα συμβάντα που χωρίζονται από ένα διάστημα παρόμοιο με το χρόνο μπορεί να είναι αιτιολογικά δεμένος φίλοςμε έναν φίλο. Τέτοια συμβάντα δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα σε κανένα πλαίσιο αναφοράς ( t 12= 0), αφού σε αυτή την περίπτωση το διάστημα θα γινόταν φανταστικό. Αλλά για αυτά τα γεγονότα υπάρχει ένα πλαίσιο αναφοράς στο οποίο συμβαίνουν σε ένα σημείο ( l 12 = 0).

Έστω ότι το σώμα στο πλαίσιο αναφοράς K" έχει ταχύτητα v", κατευθυνόμενη κατά μήκος του άξονα x" (και x): . Στο πλαίσιο αναφοράς K, η ταχύτητα αυτού του σώματος θα είναι
. Ας μάθουμε ποια είναι η σχέση μεταξύ των ταχυτήτων v» και v. Θεωρήστε την παράγωγο ως ο λόγος των διαφορών dx και dt, που βρίσκουμε χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Lorentz:

Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της δεξιάς πλευράς με dt" και λάβετε

εκείνοι. Σε αντίθεση με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, η συνολική ταχύτητα δεν είναι ίση με το άθροισμα των ταχυτήτων, αλλά σε
φορές χαμηλότερα. Αφήστε το σώμα να κινείται στον πύραυλο με την ταχύτητα του φωτός v" x = c, και ο πύραυλος κινείται με την ταχύτητα του φωτός σε σχέση με το σταθερό σύστημα συντεταγμένων v 0 = c. Με ποια ταχύτητα v x κινείται το σώμα σε σχέση με το σταθερό σύστημα συντεταγμένων;

Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό Galileo, αυτή η ταχύτητα είναι v = v" x + v 0 = 2c. Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό Lorentz

Η έννοια της σχετικιστικής δυναμικής. Νόμοι της σχέσης μεταξύ μάζας και ενέργειας. Ολική και κινητική ενέργεια. Η σχέση μεταξύ της συνολικής ενέργειας και της ορμής ενός σωματιδίου.

Η κίνηση όχι πολύ μικρών σωμάτων με όχι πολύ υψηλές ταχύτητες υπακούει στους νόμους της κλασικής μηχανικής. ΣΕ τέλη XIXαιώνα, διαπιστώθηκε πειραματικά ότι η μάζα ενός σώματος m δεν είναι σταθερή ποσότητα, αλλά εξαρτάται από την ταχύτητα v της κίνησής του. Αυτή η εξάρτηση έχει τη μορφή

όπου m 0 είναι η μάζα ηρεμίας.

Αν v = 300 km/s, τότε v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 και m > m 0 κατά ποσότητα 5 ∙ 10 -7 m 0 .

Η απόρριψη μιας από τις βασικές διατάξεις (m = const) της κλασικής μηχανικής οδήγησε στην ανάγκη για κριτική ανάλυση ορισμένων άλλων θεμελίων της. Η έκφραση της ορμής στη σχετικιστική δυναμική έχει τη μορφή

Οι νόμοι της μηχανικής διατηρούν τη μορφή τους στη σχετικιστική δυναμική. Μεταβολή ορμής d(mv ) ίση με την ώθηση δύναμης Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Επομένως dp/dt = F- είναι η έκφραση του βασικού νόμου της σχετικιστικής δυναμικής για ένα υλικό σημείο.

Και στις δύο περιπτώσεις, η μάζα που περιλαμβάνεται σε αυτές τις εκφράσεις είναι μια μεταβλητή ποσότητα (m ≠ const) και πρέπει επίσης να διαφοροποιηθεί σε σχέση με το χρόνο.

Ας δημιουργήσουμε τη σύνδεση μεταξύ μάζας και ενέργειας. Η αύξηση της ενέργειας, όπως και στην κλασική μηχανική, προκαλείται από το έργο της δύναμης F. Επομένως, dE = Fds. Διαιρώντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με dt, παίρνουμε

Αντικαταστήστε εδώ

Πολλαπλασιάζοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει με dt, παίρνουμε

Από την έκφραση για μάζα
ας ορίσουμε

.

Ας διαφοροποιήσουμε την έκφραση v 2 .

Ας αντικαταστήσουμε τα v 2 και d(v 2) στην έκφραση για dE

Ενσωματώνοντας αυτήν την έκφραση, παίρνουμε E = mc 2.

Η συνολική ενέργεια του συστήματος Ε είναι ίση με τη μάζα πολλαπλασιαζόμενη με το τετράγωνο της ταχύτητας του φωτός στο κενό. Η σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής για σωματίδια χωρίς μάζα ηρεμίας στη σχετικιστική δυναμική δίνεται από τη σχέση

που είναι εύκολο να ληφθεί μαθηματικά: E=mc 2 ,p=mv . Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο ισότητες και ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές του δεύτερου επί c 2

E 2 = m 2 c 4, p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2.

Αφαιρέστε όρο προς όρο από την πρώτη ισότητα τη δεύτερη

E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
παίρνουμε

Δεδομένου ότι η ηρεμία μάζα m 0 και η ταχύτητα του φωτός c είναι ποσότητες αμετάβλητες στους μετασχηματισμούς Lorentz, η σχέση (E 2 - p 2 c 2) είναι επίσης αμετάβλητη στους μετασχηματισμούς Lorentz. Από αυτή τη σχέση παίρνουμε μια έκφραση για τη συνολική ενέργεια

Έτσι, από αυτή την εξίσωση μπορούμε να συμπεράνουμε:

Τα υλικά σωματίδια που δεν έχουν μάζα ηρεμίας (φωτόνια, νετρίνα) έχουν επίσης ενέργεια. Για αυτά τα σωματίδια, ο τύπος για τη σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής είναι E = pc.

Από τους παραπάνω μετασχηματισμούς πήραμε dE=c 2 dm. Η ενσωμάτωση της αριστερής πλευράς από το E 0 στο E, και της δεξιάς πλευράς από το m 0 στο m, δίνει

E – E 0 = c 2 (m – m 0) = mc 2 – m 0 c 2 ,

όπου E = mc 2 - συνολική ενέργειαυλικό σημείο,

E 0 =m 0 c 2 - ενέργεια ηρεμίας ενός υλικού σημείου.

Η διαφορά Ε – Ε 0 είναι η κινητική ενέργεια Τ του υλικού σημείου.

Σε ταχύτητες v « c , επεκτείνουμε
σε μια ΣΕΙΡΑ:

=
.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το v «c, περιοριζόμαστε στους δύο πρώτους όρους της σειράς.

Επειτα

εκείνοι. σε ταχύτητες v πολύ χαμηλότερες από την ταχύτητα του φωτός στο κενό, ο σχετικιστικός τύπος κινητική ενέργειαγίνεται κλασική φόρμουλαγια κινητική ενέργεια
.