Σκεφτείτε πρώτα ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα OZ με γωνιακή ταχύτητα ω (εικ.5.6). Ας σπάσουμε το σώμα σε στοιχειώδεις μάζες. Η γραμμική ταχύτητα μιας στοιχειώδους μάζας είναι , πού είναι η απόστασή της από τον άξονα περιστροφής. Κινητική ενέργεια Εγώ-ότι η στοιχειώδης μάζα θα είναι ίση με

.

Επομένως, η κινητική ενέργεια ολόκληρου του σώματος αποτελείται από τις κινητικές ενέργειες των μερών του

.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το άθροισμα στη δεξιά πλευρά αυτής της σχέσης αντιπροσωπεύει τη στιγμή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής, τελικά λαμβάνουμε

. (5.30)

Οι τύποι για την κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος (5.30) είναι παρόμοιοι με τους αντίστοιχους τύπους για την κινητική ενέργεια της μεταφορικής κίνησης ενός σώματος. Λαμβάνονται από το τελευταίο με την επίσημη αντικατάσταση .

Στη γενική περίπτωση, η κίνηση ενός άκαμπτου σώματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άθροισμα κινήσεων - μεταφορική με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του σώματος και περιστροφή με γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον στιγμιαίο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Σε αυτή την περίπτωση, η έκφραση για την κινητική ενέργεια του σώματος παίρνει τη μορφή

.

Ας βρούμε τώρα το έργο που επιτελείται από τη στιγμή των εξωτερικών δυνάμεων κατά την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος. Στοιχειώδες έργο των εξωτερικών δυνάμεων στο χρόνο dtθα είναι ίση με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος

Παίρνοντας τη διαφορά από την κινητική ενέργεια της περιστροφικής κίνησης, βρίσκουμε την αύξησή της

.

Σύμφωνα με τη βασική εξίσωση της δυναμικής για την περιστροφική κίνηση

Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις σχέσεις, ανάγουμε την έκφραση για στοιχειώδη εργασία στη φόρμα

όπου είναι η προβολή της προκύπτουσας ροπής των εξωτερικών δυνάμεων στην κατεύθυνση του άξονα περιστροφής ΟΖ, είναι η γωνία περιστροφής του σώματος για την εξεταζόμενη χρονική περίοδο.

Ολοκληρώνοντας (5.31), λαμβάνουμε έναν τύπο για το έργο των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα περιστρεφόμενο σώμα

Εάν , τότε ο τύπος απλοποιείται

Έτσι, το έργο των εξωτερικών δυνάμεων κατά την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα καθορίζεται από τη δράση της προβολής της ροπής αυτών των δυνάμεων σε έναν δεδομένο άξονα.

Γυροσκόπιο

Το γυροσκόπιο είναι ένα ταχέως περιστρεφόμενο συμμετρικό σώμα, ο άξονας περιστροφής του οποίου μπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση του στο διάστημα. Για να μπορεί ο άξονας του γυροσκόπιου να περιστρέφεται ελεύθερα στο χώρο, το γυροσκόπιο τοποθετείται στη λεγόμενη ανάρτηση του γυροσκόπιου (Εικ. 5.13). Ο σφόνδυλος του γυροσκόπιου περιστρέφεται στον εσωτερικό δακτυλιοειδή κλωβό γύρω από τον άξονα C 1 C 2 που διέρχεται από το κέντρο βάρους του. Ο εσωτερικός κλωβός, με τη σειρά του, μπορεί να περιστρέφεται στον εξωτερικό κλωβό γύρω από τον άξονα B 1 B 2 κάθετο στο C 1 C 2 . Τέλος, η εξωτερική ράγα μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα στα ρουλεμάν αντηρίδας γύρω από τον άξονα A 1 A 2 κάθετα στους άξονες C 1 C 2 και B 1 B 2 . Και οι τρεις άξονες τέμνονται σε κάποιο σταθερό σημείο Ο, που ονομάζεται κέντρο ανάρτησης ή υπομόχλιο του γυροσκόπιου. Το γυροσκόπιο στο gimbal έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας και, επομένως, μπορεί να κάνει οποιαδήποτε περιστροφή γύρω από το κέντρο του gimbal. Εάν το κέντρο ανάρτησης του γυροσκοπίου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του, τότε η προκύπτουσα ροπή βάρους όλων των τμημάτων του γυροσκοπίου σε σχέση με το κέντρο ανάρτησης είναι ίση με μηδέν. Ένα τέτοιο γυροσκόπιο ονομάζεται ισορροπημένο.

Ας εξετάσουμε τώρα τις πιο σημαντικές ιδιότητες του γυροσκόπιου, που έχουν βρει ευρεία εφαρμογή σε διάφορους τομείς.

1) Βιωσιμότητα.

Με οποιαδήποτε περιστροφή της ισορροπημένης σχάρας γυροσκοπίου, ο άξονας περιστροφής της παραμένει η ίδια κατεύθυνση σε σχέση με το εργαστηριακό πλαίσιο αναφοράς. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ροπή όλων των εξωτερικών δυνάμεων, ίση με τη ροπή των δυνάμεων τριβής, είναι πολύ μικρή και πρακτικά δεν προκαλεί αλλαγή στη γωνιακή ορμή του γυροσκόπιου, δηλ.

Δεδομένου ότι η γωνιακή ορμή κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής του γυροσκόπιου, ο προσανατολισμός του πρέπει να παραμείνει αμετάβλητος.

Εάν μια εξωτερική δύναμη ενεργεί για μικρό χρονικό διάστημα, τότε το ολοκλήρωμα που καθορίζει την αύξηση της γωνιακής ορμής θα είναι μικρό

. (5.34)

Αυτό σημαίνει ότι κάτω από βραχυπρόθεσμες επιρροές ακόμη και μεγάλων δυνάμεων, η κίνηση ενός ισορροπημένου γυροσκόπιου αλλάζει ελάχιστα. Το γυροσκόπιο, όπως ήταν, αντιστέκεται σε όλες τις προσπάθειες αλλαγής του μεγέθους και της κατεύθυνσης της γωνιακής του ορμής. Με αυτό συνδέεται η αξιοσημείωτη σταθερότητα που αποκτά η κίνηση ενός γυροσκόπιου αφού το φέρει σε γρήγορη περιστροφή. Αυτή η ιδιότητα του γυροσκόπιου χρησιμοποιείται ευρέως για τον αυτόματο έλεγχο της κίνησης αεροσκαφών, πλοίων, πυραύλων και άλλων οχημάτων.

Εάν, ωστόσο, το γυροσκόπιο ασκείται για μεγάλο χρονικό διάστημα από μια ροπή εξωτερικών δυνάμεων σταθερής κατεύθυνσης, τότε ο άξονας του γυροσκόπιου καθορίζεται, στο τέλος, προς την κατεύθυνση της ροπής των εξωτερικών δυνάμεων. Αυτό το φαινόμενο χρησιμοποιείται στη γυροσκοπική πυξίδα. Αυτή η συσκευή είναι ένα γυροσκόπιο, ο άξονας του οποίου μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα σε οριζόντιο επίπεδο. Λόγω της καθημερινής περιστροφής της Γης και της δράσης της ροπής των φυγόκεντρων δυνάμεων, ο άξονας του γυροσκόπιου περιστρέφεται έτσι ώστε η γωνία μεταξύ και να γίνεται ελάχιστη (Εικ. 5.14). Αυτό αντιστοιχεί στη θέση του άξονα του γυροσκοπίου στο επίπεδο του μεσημβρινού.

2). Γυροσκοπικό αποτέλεσμα.

Εάν ένα ζεύγος δυνάμεων και εφαρμόζεται σε ένα περιστρεφόμενο γυροσκόπιο, τείνει να το περιστρέφει γύρω από έναν άξονα κάθετο στον άξονα περιστροφής, τότε θα περιστρέφεται γύρω από τον τρίτο άξονα, κάθετα στους δύο πρώτους (Εικ. 5.15). Αυτή η ασυνήθιστη συμπεριφορά του γυροσκοπίου ονομάζεται γυροσκοπικό φαινόμενο. Εξηγείται από το γεγονός ότι η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα O 1 O 1 και μια αλλαγή στο διάνυσμα κατά μια τιμή με την πάροδο του χρόνου θα έχει την ίδια κατεύθυνση. Ως αποτέλεσμα, το νέο διάνυσμα θα περιστραφεί γύρω από τον άξονα O 2 O 2. Έτσι, η φαινομενικά αφύσικη συμπεριφορά του γυροσκόπιου αντιστοιχεί πλήρως στους νόμους της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης

3). Γυροσκοπική μετάπτωση.

Η μετάπτωση ενός γυροσκόπιου είναι η κωνική κίνηση του άξονά του. Συμβαίνει όταν η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων, παραμένοντας σταθερή σε μέγεθος, περιστρέφεται ταυτόχρονα με τον άξονα του γυροσκόπιου, σχηματίζοντας μια ορθή γωνία μαζί του όλη την ώρα. Για την επίδειξη της μετάπτωσης, μπορεί να χρησιμεύσει ένας τροχός ποδηλάτου με εκτεταμένο άξονα, που τίθεται σε γρήγορη περιστροφή (Εικ. 5.16).

Εάν ο τροχός αναρτηθεί από το εκτεταμένο άκρο του άξονα, τότε ο άξονάς του θα αρχίσει να προχωρά γύρω από τον κατακόρυφο άξονα υπό την επίδραση του ίδιου του βάρους. Μια ταχέως περιστρεφόμενη κορυφή μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως επίδειξη μετάπτωσης.

Μάθετε τους λόγους της μετάπτωσης του γυροσκοπίου. Θεωρήστε ένα μη ισορροπημένο γυροσκόπιο του οποίου ο άξονας μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από ένα ορισμένο σημείο O (Εικ. 5.16). Η ροπή βαρύτητας που εφαρμόζεται στο γυροσκόπιο είναι ίση σε μέγεθος

όπου είναι η μάζα του γυροσκοπίου, είναι η απόσταση από το σημείο Ο έως το κέντρο μάζας του γυροσκοπίου, είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας του γυροσκοπίου με την κατακόρυφο. Το διάνυσμα κατευθύνεται κάθετα στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του γυροσκόπιου.

Κάτω από τη δράση αυτής της στιγμής, η γωνιακή ορμή του γυροσκόπιου (η αρχή του τοποθετείται στο σημείο Ο) θα λάβει μια αύξηση στο χρόνο και το κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του γυροσκόπιου θα περιστρέφεται κατά γωνία. Το διάνυσμα είναι πάντα κάθετο στο , επομένως, χωρίς να αλλάζει σε μέγεθος, το διάνυσμα αλλάζει μόνο κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση, μετά από λίγο, η σχετική θέση των διανυσμάτων και θα είναι ίδια με την αρχική στιγμή. Ως αποτέλεσμα, ο άξονας του γυροσκόπιου θα περιστρέφεται συνεχώς γύρω από την κατακόρυφο, περιγράφοντας έναν κώνο. Αυτή η κίνηση ονομάζεται μετάπτωση.

Ας προσδιορίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης. Σύμφωνα με το Σχ.5.16, η γωνία περιστροφής του επιπέδου που διέρχεται από τον άξονα του κώνου και τον άξονα του γυροσκόπιου είναι ίση με

όπου είναι η γωνιακή ορμή του γυροσκόπιου και είναι η αύξησή της με την πάροδο του χρόνου.

Διαιρώντας με , λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις και μετασχηματισμούς, προκύπτει η γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης

. (5.35)

Για τα γυροσκόπια που χρησιμοποιούνται στην τεχνολογία, η γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης είναι εκατομμύρια φορές μικρότερη από την ταχύτητα περιστροφής του γυροσκοπίου.

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι το φαινόμενο της μετάπτωσης παρατηρείται και στα άτομα λόγω της τροχιακής κίνησης των ηλεκτρονίων.

Παραδείγματα εφαρμογής των νόμων της δυναμικής

Κατά την περιστροφή

1. Εξετάστε μερικά παραδείγματα του νόμου της διατήρησης της γωνιακής ορμής, που μπορεί να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας τον πάγκο Zhukovsky. Στην απλούστερη περίπτωση, ο πάγκος Zhukovsky είναι μια πλατφόρμα (καρέκλα) σε σχήμα δίσκου που μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από έναν κάθετο άξονα σε ρουλεμάν (Εικ. 5.17). Ο διαδηλωτής κάθεται ή στέκεται στον πάγκο, μετά τον οποίο φέρεται σε περιστροφική κίνηση. Λόγω του γεγονότος ότι οι δυνάμεις τριβής λόγω της χρήσης ρουλεμάν είναι πολύ μικρές, η γωνιακή ορμή του συστήματος που αποτελείται από τον πάγκο και τον δείκτη, σε σχέση με τον άξονα περιστροφής, δεν μπορεί να αλλάξει στο χρόνο εάν το σύστημα αφεθεί μόνο του . Εάν ο επίδειξης κρατά βαρείς αλτήρες στα χέρια του και απλώνει τα χέρια του στα πλάγια, τότε θα αυξήσει τη ροπή αδράνειας του συστήματος και επομένως η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής πρέπει να μειωθεί έτσι ώστε η γωνιακή ορμή να παραμείνει αμετάβλητη.

Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής, συνθέτουμε μια εξίσωση για αυτή την περίπτωση

όπου είναι η ροπή αδράνειας του ατόμου και του πάγκου, και είναι η ροπή αδράνειας των αλτήρων στην πρώτη και δεύτερη θέση, και είναι οι γωνιακές ταχύτητες του συστήματος.

Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος κατά την αναπαραγωγή αλτήρων στο πλάι θα είναι ίση με

.

Η εργασία που κάνει ένα άτομο όταν μετακινεί αλτήρες μπορεί να προσδιοριστεί μέσω μιας αλλαγής στην κινητική ενέργεια του συστήματος

2. Ας δώσουμε ένα ακόμα πείραμα με τον πάγκο του Ζουκόφσκι. Ο επίδειξης κάθεται ή στέκεται σε έναν πάγκο και του δίνεται ένας ταχέως περιστρεφόμενος τροχός με κατακόρυφα κατευθυνόμενο άξονα (Εικ. 5.18). Στη συνέχεια, ο επίδειξης γυρίζει τον τροχό 180 0 . Σε αυτή την περίπτωση, η αλλαγή της γωνιακής ορμής του τροχού μεταφέρεται εξ ολοκλήρου στον πάγκο και τον επίδειξης. Ως αποτέλεσμα, ο πάγκος, μαζί με τον επίδειξης, περιστρέφεται με μια γωνιακή ταχύτητα που καθορίζεται με βάση το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Η γωνιακή ορμή του συστήματος στην αρχική κατάσταση καθορίζεται μόνο από τη γωνιακή ορμή του τροχού και είναι ίση με

όπου είναι η ροπή αδράνειας του τροχού, είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.

Μετά την περιστροφή του τροχού υπό γωνία 180 0, η ροπή ορμής του συστήματος θα καθοριστεί ήδη από το άθροισμα της ροπής ορμής του πάγκου με το άτομο και τη στιγμή της ορμής του τροχού. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το διάνυσμα ορμής του τροχού έχει αλλάξει την κατεύθυνση του προς το αντίθετο και η προβολή του στον κατακόρυφο άξονα έχει γίνει αρνητική, παίρνουμε

,

όπου είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος «άνθρωπος-πλατφόρμα», είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πάγκου με το άτομο.

Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής

και .

Ως αποτέλεσμα, βρίσκουμε την ταχύτητα περιστροφής του πάγκου

3. Λεπτή μάζα ράβδου Μκαι μήκος μεγάλοπεριστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=10 s -1 σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο της ράβδου. Συνεχίζοντας να περιστρέφεται στο ίδιο επίπεδο, η ράβδος κινείται έτσι ώστε ο άξονας περιστροφής να περνά τώρα από το άκρο της ράβδου. Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα στη δεύτερη περίπτωση.

Σε αυτό το πρόβλημα, λόγω του γεγονότος ότι η κατανομή της μάζας της ράβδου σε σχέση με τον άξονα περιστροφής αλλάζει, αλλάζει και η ροπή αδράνειας της ράβδου. Σύμφωνα με το νόμο διατήρησης της γωνιακής ορμής ενός απομονωμένου συστήματος, έχουμε

Εδώ - η στιγμή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από τη μέση της ράβδου. - τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το άκρο της και βρέθηκε από το θεώρημα του Steiner.

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής, λαμβάνουμε

,

.

4. Μήκος ράβδου μεγάλο=1,5 m και βάρος m 1=10 kg αρθρώνεται στο πάνω άκρο. Μια σφαίρα χτυπά το κέντρο της ράβδου με μια μάζα m2=10 g, πετάει οριζόντια με ταχύτητα =500 m/s, και κολλάει στη ράβδο. Από ποια γωνία θα αποκλίνει η ράβδος μετά την κρούση;

Ας φανταστούμε στο Σχ. 5.19. σύστημα αλληλεπιδρώντων σωμάτων «ράβδος-σφαίρα». Οι ροπές των εξωτερικών δυνάμεων (βαρύτητα, αντίδραση άξονα) τη στιγμή της κρούσης είναι ίσες με μηδέν, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο διατήρησης της γωνιακής ορμής

Η γωνιακή ορμή του συστήματος πριν από την κρούση είναι ίση με τη γωνιακή ορμή της σφαίρας σε σχέση με το σημείο ανάρτησης

Η γωνιακή ορμή του συστήματος μετά από μια ανελαστική κρούση καθορίζεται από τον τύπο

,

όπου είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου σε σχέση με το σημείο ανάρτησης, είναι η ροπή αδράνειας της σφαίρας, είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου με τη σφαίρα αμέσως μετά την κρούση.

Λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει μετά την αντικατάσταση, βρίσκουμε

.

Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα το νόμο της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Ας εξισώσουμε την κινητική ενέργεια της ράβδου αφού τη χτυπήσει η σφαίρα με τη δυναμική της ενέργεια στο υψηλότερο σημείο της ανάβασης:

,

όπου είναι το ύψος του κέντρου μάζας του δεδομένου συστήματος.

Έχοντας πραγματοποιήσει τις απαραίτητες μετατροπές, παίρνουμε

Η γωνία εκτροπής της ράβδου σχετίζεται με την τιμή με βάση την αναλογία

.

Έχοντας πραγματοποιήσει τους υπολογισμούς, λαμβάνουμε =0,1p=18 0 .

5. Προσδιορίστε την επιτάχυνση των σωμάτων και την τάση του νήματος στη μηχανή Atwood, υποθέτοντας ότι (Εικ. 5.20). Η ροπή αδράνειας του μπλοκ ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Εγώ, ακτίνα μπλοκ r. Αγνοήστε τη μάζα του νήματος.

Ας τακτοποιήσουμε όλες τις δυνάμεις που δρουν στα φορτία και το μπλοκ και ας συνθέσουμε τις δυναμικές εξισώσεις για αυτές

Εάν δεν υπάρχει ολίσθηση του νήματος κατά μήκος του μπλοκ, τότε η γραμμική και η γωνιακή επιτάχυνση σχετίζονται με τη σχέση

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις, παίρνουμε

Στη συνέχεια βρίσκουμε Τ 1 και Τ 2 .

6. Στην τροχαλία του σταυρού Oberbeck (Εικ. 5.21) προσαρμόζεται ένα νήμα, στο οποίο ένα φορτίο μάζας Μ= 0,5 κιλά. Προσδιορίστε πόσο χρόνο χρειάζεται για να πέσει ένα φορτίο από ύψος η=1 m στην κάτω θέση. Ακτίνα τροχαλίας r\u003d 3 εκ. Τέσσερα βάρη μάζας Μ=250g το καθένα σε απόσταση R= 30 cm από τον άξονά του. Παραμελήστε τη ροπή αδράνειας του ίδιου του σταυρού και της τροχαλίας σε σύγκριση με τη ροπή αδράνειας των βαρών.

Κινητική ενέργεια περιστροφής

Διάλεξη 3. Δυναμική ενός άκαμπτου σώματος

Σχέδιο διάλεξης

3.1. Στιγμή δύναμης.

3.2. Βασικές εξισώσεις περιστροφικής κίνησης. Ροπή αδράνειας.

3.3. Κινητική ενέργεια περιστροφής.

3.4. στιγμή της παρόρμησης. Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής.

3.5. Αναλογία μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης.

Στιγμή δύναμης

Εξετάστε την κίνηση ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα. Αφήστε ένα άκαμπτο σώμα να έχει σταθερό άξονα περιστροφής ΟΟ ( εικ.3.1) και εφαρμόζεται σε αυτό αυθαίρετη δύναμη.

Ρύζι. 3.1

Αποσυνθέτουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες της δύναμης, η δύναμη βρίσκεται στο επίπεδο περιστροφής και η δύναμη είναι παράλληλη με τον άξονα περιστροφής. Στη συνέχεια αποσυνθέτουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες: – ενεργώντας κατά μήκος του διανύσματος ακτίνας και – κάθετα σε αυτό.

Καμία δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν θα το περιστρέψει. Δυναμώνει και δημιουργεί πίεση στα ρουλεμάν, αλλά μην τα περιστρέφετε.

Η δύναμη μπορεί να φέρει ή όχι το σώμα εκτός ισορροπίας, ανάλογα με το πού στο διάνυσμα της ακτίνας εφαρμόζεται. Επομένως, εισάγεται η έννοια της ροπής δύναμης γύρω από τον άξονα. Στιγμή δύναμηςσε σχέση με τον άξονα περιστροφής ονομάζεται διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας και της δύναμης.

Το διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής και καθορίζεται από τον κανόνα διασταυρούμενου προϊόντος ή τον κανόνα της δεξιάς βίδας ή τον κανόνα του τεμαχίου.

Μέτρο ροπής δύναμης

όπου α είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Από το Σχ.3.1. είναι ξεκάθαρο ότι .

r0- η μικρότερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής μέχρι τη γραμμή δράσης της δύναμης και ονομάζεται ώμος της δύναμης. Τότε μπορεί να γραφτεί η στιγμή της δύναμης

M = F r 0 . (3.3)

Από το σχ. 3.1.

όπου φάείναι η προβολή του διανύσματος στην κατεύθυνση κάθετη στο διάνυσμα της ακτίνας του διανύσματος . Σε αυτή την περίπτωση, η στιγμή της δύναμης είναι

. (3.4)

Εάν στο σώμα δρουν πολλές δυνάμεις, τότε η ροπή δύναμης που προκύπτει είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των ροπών των μεμονωμένων δυνάμεων, αλλά επειδή όλες οι ροπές κατευθύνονται κατά μήκος του άξονα, μπορούν να αντικατασταθούν από ένα αλγεβρικό άθροισμα. Η στιγμή θα θεωρείται θετική αν περιστρέφει το σώμα δεξιόστροφα και αρνητική εάν αριστερόστροφα. Αν όλες οι ροπές δυνάμεων είναι ίσες με μηδέν (), το σώμα θα βρίσκεται σε ισορροπία.

Η έννοια της ροπής δύναμης μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας ένα "ιδιότροπο πηνίο". Το καρούλι του νήματος τραβιέται από το ελεύθερο άκρο του νήματος ( ρύζι. 3.2).

Ρύζι. 3.2

Ανάλογα με την κατεύθυνση της τάσης του νήματος, το πηνίο κυλά προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Αν τραβάς υπό γωνία α , τότε η στιγμή της δύναμης γύρω από τον άξονα Ο(κάθετα στο σχήμα) περιστρέφει το πηνίο αριστερόστροφα και κυλά προς τα πίσω. Σε περίπτωση τάσης υπό γωνία β η ροπή είναι αριστερόστροφα και το πηνίο κυλά προς τα εμπρός.

Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη ισορροπίας (), μπορείτε να σχεδιάσετε απλούς μηχανισμούς που είναι «μετατροπείς» δύναμης, π.χ. Εφαρμόζοντας λιγότερη δύναμη, μπορείτε να σηκώσετε και να μετακινήσετε φορτία διαφορετικών βαρών. Σε αυτήν την αρχή βασίζονται μοχλοί, καρότσια, μπλοκ διαφόρων ειδών, που χρησιμοποιούνται ευρέως στην κατασκευή. Για τη συμμόρφωση με τη συνθήκη ισορροπίας στους γερανούς κατασκευής για την αντιστάθμιση της ροπής δύναμης που προκαλείται από το βάρος του φορτίου, υπάρχει πάντα ένα σύστημα αντίβαρων που δημιουργεί μια ροπή δύναμης του αντίθετου πρόσημου.

3.2. Βασική περιστροφική εξίσωση
κίνηση. Ροπή αδράνειας

Σκεφτείτε ένα απολύτως άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα OO(εικ.3.3). Ας χωρίσουμε νοερά αυτό το σώμα σε στοιχεία με μάζες Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Κατά την περιστροφή, αυτά τα στοιχεία θα περιγράφουν κύκλους με ακτίνες r1,r2 , …,rn. Οι δυνάμεις δρουν σε κάθε στοιχείο F1,F2 , …,F n. Περιστροφή σώματος γύρω από άξονα OOσυμβαίνει υπό την επίδραση της συνολικής ροπής των δυνάμεων Μ.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

όπου M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, κάθε δύναμη φά, ενεργώντας σε ένα στοιχείο μάζας D Μ, προκαλεί επιτάχυνση του δεδομένου στοιχείου ένα, δηλ.

F i =ρε m i a i (3.5)

Αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές σε (3.4), παίρνουμε

Ρύζι. 3.3

Γνωρίζοντας τη σχέση μεταξύ γραμμικής γωνιακής επιτάχυνσης ε () και ότι η γωνιακή επιτάχυνση είναι ίδια για όλα τα στοιχεία, ο τύπος (3.6) θα μοιάζει με

Μ = (3.7)

=Εγώ (3.8)

Εγώείναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον σταθερό άξονα.

Τότε θα πάρουμε

M = I ε (3.9)

Ή σε διανυσματική μορφή

(3.10)

Αυτή η εξίσωση είναι η βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης. Είναι παρόμοια σε μορφή με την Εξίσωση II του νόμου του Νεύτωνα. Από (3.10) η ροπή αδράνειας είναι

Έτσι, η ροπή αδράνειας ενός δεδομένου σώματος είναι ο λόγος της ροπής της δύναμης προς τη γωνιακή επιτάχυνση που προκαλείται από αυτό. Από το (3.11) φαίνεται ότι η ροπή αδράνειας είναι ένα μέτρο της αδράνειας του σώματος ως προς την περιστροφική κίνηση. Η ροπή αδράνειας παίζει τον ίδιο ρόλο με τη μάζα στη μεταφορική κίνηση. μονάδα SI [ Εγώ] = kg m 2. Από τον τύπο (3.7) προκύπτει ότι η ροπή αδράνειας χαρακτηρίζει την κατανομή των μαζών των σωματιδίων του σώματος σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.

Άρα, η ροπή αδράνειας ενός στοιχείου μάζας Δm που κινείται κατά μήκος ενός κύκλου ακτίνας r είναι ίση με

I = r2ρε Μ (3.12)

I= (3.13)

Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής μάζας, το άθροισμα μπορεί να αντικατασταθεί από το ολοκλήρωμα

I= ∫ r 2 dm (3.14)

όπου η ενσωμάτωση πραγματοποιείται σε ολόκληρη τη μάζα του σώματος.

Αυτό δείχνει ότι η ροπή αδράνειας του σώματος εξαρτάται από τη μάζα και την κατανομή της σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί πειραματικά εικ.3.4).

Ρύζι. 3.4

Δύο στρογγυλοί κύλινδροι, ο ένας κοίλος (για παράδειγμα, μεταλλικός), ο άλλος συμπαγής (ξύλο) με τα ίδια μήκη, ακτίνες και μάζες, αρχίζουν να κυλούν ταυτόχρονα. Ένας κοίλος κύλινδρος με μεγάλη ροπή αδράνειας θα υστερεί σε σχέση με έναν συμπαγή.

Μπορείτε να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας εάν γνωρίζετε τη μάζα Μκαι η κατανομή του σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Η απλούστερη περίπτωση είναι ένας δακτύλιος, όταν όλα τα στοιχεία της μάζας βρίσκονται εξίσου από τον άξονα περιστροφής ( ρύζι. 3.5):

I= (3.15)

Ρύζι. 3.5

Ας δώσουμε εκφράσεις για τις ροπές αδράνειας διαφορετικών συμμετρικών σωμάτων με μάζα Μ.

1. Ροπή αδράνειας δαχτυλίδια, κοίλος κύλινδρος με λεπτό τοίχωμαγύρω από τον άξονα περιστροφής που συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας.

, (3.16)

rείναι η ακτίνα του δακτυλίου ή του κυλίνδρου

2. Για συμπαγή κύλινδρο και δίσκο, η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα συμμετρίας

(3.17)

3. Η στιγμή αδράνειας της μπάλας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο

(3.18)

r- ακτίνα μπάλας

4. Η ροπή αδράνειας μιας λεπτής ράβδου μήκους μεγάλοσε σχέση με άξονα κάθετο στη ράβδο και που διέρχεται από τη μέση της

(3.19)

μεγάλο- το μήκος της ράβδου.

Εάν ο άξονας περιστροφής δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας, τότε η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς αυτόν τον άξονα προσδιορίζεται από το θεώρημα του Steiner.

(3.20)

Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, η ροπή αδράνειας ως προς έναν αυθαίρετο άξονα Ο'O' ( ) ισούται με τη ροπή αδράνειας ως προς έναν παράλληλο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος ( ) συν το γινόμενο της μάζας σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης έναμεταξύ αξόνων ( ρύζι. 3.6).

Ρύζι. 3.6

Κινητική ενέργεια περιστροφής

Εξετάστε την περιστροφή ενός απολύτως άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα OO με γωνιακή ταχύτητα ω (ρύζι. 3.7). Ας χωρίσουμε το άκαμπτο σώμα σε nστοιχειώδεις μάζες Δ m i. Κάθε στοιχείο της μάζας περιστρέφεται σε κύκλο ακτίνας r iμε γραμμική ταχύτητα (). Η κινητική ενέργεια είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών μεμονωμένων στοιχείων.

(3.21)

Ρύζι. 3.7

Θυμηθείτε από το (3.13) ότι είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα OO.

Έτσι, η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος

E k \u003d (3.22)

Έχουμε εξετάσει την κινητική ενέργεια της περιστροφής γύρω από έναν σταθερό άξονα. Εάν το σώμα εμπλέκεται σε δύο κινήσεις: στη μεταφορική και περιστροφική κίνηση, τότε η κινητική ενέργεια του σώματος είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας της μεταφορικής κίνησης και της κινητικής ενέργειας της περιστροφής.

Για παράδειγμα, μια μπάλα μάζας Μκυλιομένος; το κέντρο μάζας της μπάλας κινείται προς τα εμπρός με ταχύτητα u (ρύζι. 3.8).

Ρύζι. 3.8

Η συνολική κινητική ενέργεια της μπάλας θα είναι ίση με

(3.23)

3.4. στιγμή της παρόρμησης. νόμος διατήρησης
στροφορμή

Φυσικό μέγεθος ίσο με το γινόμενο της ροπής αδράνειας Εγώσε γωνιακή ταχύτητα ω , ονομάζεται γωνιακή ορμή (στιγμή ορμής) μεγάλογύρω από τον άξονα περιστροφής.

– η γωνιακή ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος και συμπίπτει ως προς την κατεύθυνση με την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας .

Διαφοροποιώντας την εξίσωση (3.24) ως προς το χρόνο, λαμβάνουμε

όπου, Μείναι η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων. Σε ένα απομονωμένο σύστημα, δεν υπάρχει ροπή εξωτερικών δυνάμεων ( Μ=0) και

« Φυσική - 10η τάξη "

Γιατί ο σκέιτερ τεντώνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής για να αυξήσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.
Πρέπει ένα ελικόπτερο να περιστρέφεται όταν περιστρέφεται η προπέλα του;

Οι ερωτήσεις που τέθηκαν υποδηλώνουν ότι εάν οι εξωτερικές δυνάμεις δεν δρουν στο σώμα ή η δράση τους αντισταθμίζεται και ένα μέρος του σώματος αρχίζει να περιστρέφεται προς τη μία κατεύθυνση, τότε το άλλο μέρος πρέπει να περιστρέφεται προς την άλλη κατεύθυνση, όπως ακριβώς όταν εκτοξεύεται καύσιμο από ένας πύραυλος, ο ίδιος ο πύραυλος κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση.

στιγμή της παρόρμησης.

Αν λάβουμε υπόψη έναν περιστρεφόμενο δίσκο, γίνεται φανερό ότι η συνολική ορμή του δίσκου είναι μηδέν, αφού οποιοδήποτε σωματίδιο του σώματος αντιστοιχεί σε ένα σωματίδιο που κινείται με ίση ταχύτητα σε απόλυτη τιμή, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση (Εικ. 6.9).

Αλλά ο δίσκος κινείται, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής όλων των σωματιδίων είναι η ίδια. Ωστόσο, είναι σαφές ότι όσο πιο μακριά βρίσκεται το σωματίδιο από τον άξονα περιστροφής, τόσο μεγαλύτερη είναι η ορμή του. Επομένως, για την περιστροφική κίνηση είναι απαραίτητο να εισαχθεί ένα ακόμη χαρακτηριστικό, παρόμοιο με μια ώθηση, - τη γωνιακή ορμή.

Η γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου που κινείται σε κύκλο είναι το γινόμενο της ορμής του σωματιδίου και της απόστασης από αυτό έως τον άξονα περιστροφής (Εικ. 6.10):

Οι γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες σχετίζονται με v = ωr, τότε

Όλα τα σημεία μιας άκαμπτης ύλης κινούνται σε σχέση με έναν σταθερό άξονα περιστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Ένα άκαμπτο σώμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συλλογή υλικών σημείων.

Η γωνιακή ορμή ενός άκαμπτου σώματος είναι ίση με το γινόμενο της ροπής αδράνειας και της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής:

Η γωνιακή ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, σύμφωνα με τον τύπο (6.3), η γωνιακή ορμή κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η γωνιακή ταχύτητα.

Η βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης σε παρορμητική μορφή.

Η γωνιακή επιτάχυνση ενός σώματος είναι ίση με τη μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας διαιρούμενη με το χρονικό διάστημα κατά το οποίο συνέβη αυτή η αλλαγή: Αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στη βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης επομένως I(ω 2 - ω 1) = MΔt, ή IΔω = MΔt.

Με αυτόν τον τρόπο,

∆L = M∆t. (6.4)

Η μεταβολή της γωνιακής ορμής είναι ίση με το γινόμενο της συνολικής ροπής των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα ή το σύστημα και το χρόνο δράσης αυτών των δυνάμεων.

Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής:

Εάν η συνολική ροπή των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ή ένα σύστημα σωμάτων με σταθερό άξονα περιστροφής είναι ίση με μηδέν, τότε η μεταβολή της γωνιακής ορμής είναι επίσης ίση με μηδέν, δηλαδή η γωνιακή ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

∆L=0, L=στ.

Η μεταβολή της ορμής του συστήματος είναι ίση με τη συνολική ορμή των δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα.

Ο περιστρεφόμενος σκέιτερ απλώνει τα χέρια του στα πλάγια, αυξάνοντας έτσι τη ροπή αδράνειας για να μειώσει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

Ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το ακόλουθο πείραμα, που ονομάζεται "πείραμα με τον πάγκο Zhukovsky". Ένα άτομο στέκεται σε έναν πάγκο με έναν κατακόρυφο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο του. Ο άνδρας κρατά αλτήρες στα χέρια του. Εάν ο πάγκος είναι φτιαγμένος να περιστρέφεται, τότε ένα άτομο μπορεί να αλλάξει την ταχύτητα περιστροφής πιέζοντας τους αλτήρες στο στήθος του ή χαμηλώνοντας τα χέρια του και στη συνέχεια απλώνοντάς τους μακριά. Απλώνοντας τα χέρια του, αυξάνει τη ροπή αδράνειας και μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής (Εικ. 6.11, α), χαμηλώνοντας τα χέρια του, μειώνει τη ροπή αδράνειας και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πάγκου αυξάνεται (Εικ. 6.11, β).

Ένα άτομο μπορεί επίσης να κάνει έναν πάγκο να περιστρέφεται περπατώντας κατά μήκος της άκρης του. Σε αυτή την περίπτωση, ο πάγκος θα περιστραφεί προς την αντίθετη κατεύθυνση, αφού η συνολική γωνιακή ορμή πρέπει να παραμείνει ίση με το μηδέν.

Η αρχή λειτουργίας των συσκευών που ονομάζονται γυροσκόπια βασίζεται στο νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής. Η κύρια ιδιότητα ενός γυροσκόπιου είναι η διατήρηση της κατεύθυνσης του άξονα περιστροφής, εάν δεν ασκούν εξωτερικές δυνάμεις σε αυτόν τον άξονα. Τον 19ο αιώνα γυροσκόπια χρησιμοποιήθηκαν από τους θαλασσοπόρους για την πλοήγηση στη θάλασσα.

Κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος.

Η κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου στερεού σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μεμονωμένων σωματιδίων του. Ας χωρίσουμε το σώμα σε μικρά στοιχεία, καθένα από τα οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Τότε η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των υλικών σημείων από τα οποία αποτελείται:

Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής όλων των σημείων του σώματος είναι η ίδια, επομένως,

Η τιμή σε αγκύλες, όπως ήδη γνωρίζουμε, είναι η ροπή αδράνειας του άκαμπτου σώματος. Τέλος, ο τύπος για την κινητική ενέργεια ενός άκαμπτου σώματος με σταθερό άξονα περιστροφής έχει τη μορφή

Στη γενική περίπτωση κίνησης ενός άκαμπτου σώματος, όταν ο άξονας περιστροφής είναι ελεύθερος, η κινητική του ενέργεια ισούται με το άθροισμα των ενεργειών των μεταφορικών και περιστροφικών κινήσεων. Έτσι, η κινητική ενέργεια ενός τροχού, η μάζα του οποίου συγκεντρώνεται στο χείλος, κυλιόμενος κατά μήκος του δρόμου με σταθερή ταχύτητα, είναι ίση με

Ο πίνακας συγκρίνει τους τύπους της μηχανικής της μεταφορικής κίνησης ενός υλικού σημείου με παρόμοιους τύπους για την περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος.

Καθήκοντα

1. Προσδιορίστε πόσες φορές η ενεργός μάζα είναι μεγαλύτερη από τη βαρυτική μάζα ενός τρένου με μάζα 4000 τόνων, αν η μάζα των τροχών είναι 15% της μάζας του τρένου. Θεωρήστε τους τροχούς ως δίσκους με διάμετρο 1,02 μ. Πώς θα αλλάξει η απάντηση αν η διάμετρος των τροχών είναι η μισή;

2. Προσδιορίστε την επιτάχυνση με την οποία κυλάει ένα ζεύγος τροχών μάζας 1200 kg σε λόφο με κλίση 0,08. Θεωρήστε τους τροχούς ως δίσκους. Συντελεστής αντίστασης κύλισης 0,004. Προσδιορίστε τη δύναμη πρόσφυσης των τροχών στις ράγες.

3. Προσδιορίστε την επιτάχυνση με την οποία ένα ζεύγος τροχών με μάζα 1400 kg κυλίεται σε λόφο με κλίση 0,05. Συντελεστής έλξης 0,002. Ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής πρόσφυσης για να μην γλιστρούν οι τροχοί. Θεωρήστε τους τροχούς ως δίσκους.

4. Προσδιορίστε την επιτάχυνση με την οποία κυλάει ένα βαγόνι βάρους 40 τόνων σε λόφο με κλίση 0,020 εάν έχει οκτώ τροχούς βάρους 1200 κιλών και διαμέτρου 1,02 μ. Προσδιορίστε τη δύναμη πρόσφυσης των τροχών στις ράγες. Συντελεστής έλξης 0,003.

5. Προσδιορίστε τη δύναμη πίεσης των παπουτσιών φρένων στα ελαστικά, εάν ένα τρένο βάρους 4000 τόνων επιβραδύνει με επιτάχυνση 0,3 m/s 2 . Η ροπή αδράνειας ενός τροχού είναι 600 kg m 2, ο αριθμός των αξόνων είναι 400, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του μπλοκ είναι 0,18, ο συντελεστής αντίστασης κύλισης είναι 0,004.

6. Προσδιορίστε τη δύναμη πέδησης που ενεργεί σε ένα βαγόνι τεσσάρων αξόνων με μάζα 60 τόνων στο τακάκι πέδησης μιας αυλής marshalling εάν η ταχύτητα σε τροχιά 30 m μειώθηκε από 2 m/s σε 1,5 m/s. Η ροπή αδράνειας ενός τροχού είναι 500 kg m 2 .

7. Το ταχύμετρο της ατμομηχανής έδειξε αύξηση της ταχύτητας του τρένου μέσα σε ένα λεπτό από 10 m/s σε 60 m/s. Πιθανότατα, υπήρξε ολίσθηση του μπροστινού τροχού. Προσδιορίστε τη ροπή των δυνάμεων που ασκούνται στον οπλισμό του ηλεκτροκινητήρα. Ροπή αδράνειας τροχοφόρου τροχού 600 kg m 2 , άγκυρες 120 kg m 2 . γρανάζι σχέσης μετάδοσης 4.2. Η δύναμη πίεσης στις ράγες είναι 200 ​​kN, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των τροχών κατά μήκος της σιδηροτροχιάς είναι 0,10.

11. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΣΤΡΟΦΕΡΑ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Εξάγουμε τον τύπο για την κινητική ενέργεια της περιστροφικής κίνησης. Αφήστε το σώμα να περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον σταθερό άξονα. Οποιοδήποτε μικρό σωματίδιο του σώματος εκτελεί μεταφορική κίνηση σε κύκλο με ταχύτητα , όπου r εγώ -απόσταση από τον άξονα περιστροφής, ακτίνα της τροχιάς. Κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου μάζες m iείναι ίσο με . Η συνολική κινητική ενέργεια ενός συστήματος σωματιδίων είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών τους ενεργειών. Ας συνοψίσουμε τους τύπους για την κινητική ενέργεια των σωματιδίων του σώματος και ας βγάλουμε το πρόσημο του αθροίσματος του μισού του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας, που είναι το ίδιο για όλα τα σωματίδια, . Το άθροισμα των γινομένων των μαζών των σωματιδίων και των τετραγώνων των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής . Ετσι, η κινητική ενέργεια ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα είναι ίση με το μισό γινόμενο της ροπής αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα και το τετράγωνο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής:

Τα περιστρεφόμενα σώματα μπορούν να αποθηκεύσουν μηχανική ενέργεια. Τέτοια σώματα ονομάζονται σφόνδυλοι. Συνήθως πρόκειται για φορείς επανάστασης. Η χρήση βολάν στον τροχό του αγγειοπλάστη ήταν γνωστή από την αρχαιότητα. Σε κινητήρες εσωτερικής καύσης, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, το έμβολο μεταδίδει μηχανική ενέργεια στον σφόνδυλο, ο οποίος στη συνέχεια εκτελεί εργασίες στην περιστροφή του άξονα του κινητήρα για τους επόμενους τρεις κύκλους. Σε στάμπες και πρέσες, ο σφόνδυλος κινείται από έναν ηλεκτροκινητήρα σχετικά χαμηλής ισχύος, συσσωρεύει μηχανική ενέργεια για σχεδόν μια πλήρη στροφή και σε μια σύντομη στιγμή κρούσης τον δίνει στο έργο της σφράγισης.

Υπάρχουν πολυάριθμες προσπάθειες χρήσης περιστρεφόμενων βολάν για την οδήγηση οχημάτων: αυτοκίνητα, λεωφορεία. Λέγονται ταχυδρομικά, γυροσκόπια. Δημιουργήθηκαν πολλές τέτοιες πειραματικές μηχανές. Θα ήταν πολλά υποσχόμενη η χρήση σφονδύλων για αποθήκευση ενέργειας κατά την πέδηση των ηλεκτρικών τρένων, προκειμένου να χρησιμοποιηθεί η συσσωρευμένη ενέργεια κατά τη διάρκεια της επόμενης επιτάχυνσης. Η αποθήκευση ενέργειας του σφονδύλου είναι γνωστό ότι χρησιμοποιείται σε τρένα του μετρό της Νέας Υόρκης.

Ας προσδιορίσουμε την κινητική ενέργεια ενός άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Ας χωρίσουμε αυτό το σώμα σε n υλικά σημεία. Κάθε σημείο κινείται με γραμμική ταχύτητα υ i =ωr i , τότε η κινητική ενέργεια του σημείου

ή

Η συνολική κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των υλικών σημείων του:

(3.22)

(J - ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής)

Εάν οι τροχιές όλων των σημείων βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα (όπως ένας κύλινδρος που κυλάει κάτω από ένα κεκλιμένο επίπεδο, κάθε σημείο κινείται στο δικό του επίπεδο σύκο), αυτό είναι επίπεδη κίνηση. Σύμφωνα με την αρχή του Euler, η επίπεδη κίνηση μπορεί πάντα να αποσυντεθεί με άπειρους τρόπους σε μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Εάν η μπάλα πέσει ή γλιστρήσει κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, κινείται μόνο προς τα εμπρός. όταν η μπάλα κυλά, περιστρέφεται επίσης.

Εάν ένα σώμα εκτελεί μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις ταυτόχρονα, τότε η συνολική κινητική του ενέργεια ισούται με

(3.23)

Από μια σύγκριση των τύπων για την κινητική ενέργεια για μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις, μπορεί να φανεί ότι το μέτρο της αδράνειας κατά την περιστροφική κίνηση είναι η ροπή αδράνειας του σώματος.

§ 3.6 Το έργο των εξωτερικών δυνάμεων κατά την περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος

Όταν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται, η δυναμική του ενέργεια δεν αλλάζει, επομένως, το στοιχειώδες έργο των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίσο με την αύξηση της κινητικής ενέργειας του σώματος:

dA = dE ή

Θεωρώντας ότι Jβ = M, ωdr = dφ, έχουμε α του σώματος σε πεπερασμένη γωνία φ ίσο

(3.25)

Όταν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, το έργο των εξωτερικών δυνάμεων καθορίζεται από τη δράση της ροπής αυτών των δυνάμεων γύρω από έναν δεδομένο άξονα. Αν η ροπή των δυνάμεων γύρω από τον άξονα είναι ίση με μηδέν, τότε αυτές οι δυνάμεις δεν παράγουν έργο.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παράδειγμα 2.1. μάζα σφονδύλουΜ=5 κιλά και ακτίναr= 0,2 m περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα με συχνότηταν 0 =720 λεπτά -1 και σταματά κατά το φρενάρισμαt=20 δευτ. Βρείτε τη ροπή πέδησης και τον αριθμό των στροφών πριν σταματήσετε.

Για να προσδιορίσουμε τη ροπή πέδησης, εφαρμόζουμε τη βασική εξίσωση για τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης

όπου I=mr 2 είναι η ροπή αδράνειας του δίσκου. Δω \u003d ω - ω 0, και ω \u003d 0 είναι η τελική γωνιακή ταχύτητα, ω 0 \u003d 2πν 0 είναι η αρχική. M είναι η ροπή πέδησης των δυνάμεων που ασκούνται στο δίσκο.

Γνωρίζοντας όλες τις ποσότητες, είναι δυνατός ο προσδιορισμός της ροπής πέδησης

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Από την κινηματική της περιστροφικής κίνησης, η γωνία περιστροφής κατά την περιστροφή του δίσκου σε μια στάση μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο

(3)

όπου β είναι η γωνιακή επιτάχυνση.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος: ω = ω 0 - βΔt, αφού ω=0, ω 0 = βΔt

Τότε η έκφραση (2) μπορεί να γραφτεί ως:

Παράδειγμα 2.2. Δύο σφόνδυλοι με τη μορφή δίσκων με τις ίδιες ακτίνες και μάζες περιστράφηκαν μέχρι την ταχύτητα περιστροφήςn= 480 rpm και αφήνονται μόνοι τους. Κάτω από τη δράση των δυνάμεων τριβής των αξόνων στα ρουλεμάν, το πρώτο σταμάτησε μετάt\u003d 80 s, και το δεύτερο έγινεΝ= 240 στροφές για διακοπή. Σε ποιο σφόνδυλο η ροπή των δυνάμεων τριβής των αξόνων στα ρουλεμάν ήταν μεγαλύτερη και πόσες φορές.

Θα βρούμε τη ροπή των δυνάμεων των αγκαθιών M 1 του πρώτου σφονδύλου χρησιμοποιώντας τη βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

όπου Δt είναι ο χρόνος δράσης της ροπής των δυνάμεων τριβής, I \u003d mr 2 - η στιγμή αδράνειας του σφονδύλου, ω 1 \u003d 2πν και ω 2 \u003d 0 είναι οι αρχικές και τελικές γωνιακές ταχύτητες των σφονδύλων

Επειτα

Η ροπή των δυνάμεων τριβής M 2 του δεύτερου σφονδύλου εκφράζεται μέσω της σχέσης μεταξύ του έργου Α των δυνάμεων τριβής και της μεταβολής της κινητικής του ενέργειας ΔE k:

όπου Δφ = 2πN είναι η γωνία περιστροφής, N είναι ο αριθμός των στροφών του σφονδύλου.

Τότε πού

Ο αναλογία θα είναι

Η ροπή τριβής του δεύτερου σφονδύλου είναι 1,33 φορές μεγαλύτερη.

Παράδειγμα 2.3. Μάζα ομοιογενούς στερεού δίσκου m, μάζες φορτίων m 1 και μ 2 (εικ.15). Δεν υπάρχει ολίσθηση και τριβή του νήματος στον άξονα του κυλίνδρου. Να βρείτε την επιτάχυνση των μαζών και τον λόγο των τάσεων του νήματοςστη διαδικασία της κίνησης.

Δεν υπάρχει ολίσθηση του νήματος, επομένως, όταν τα m 1 και m 2 κάνουν μεταφορική κίνηση, ο κύλινδρος θα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο. Ας υποθέσουμε για βεβαιότητα ότι m 2 > m 1.

Στη συνέχεια, το φορτίο m 2 χαμηλώνεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται δεξιόστροφα. Ας γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης των σωμάτων που περιλαμβάνονται στο σύστημα

Οι δύο πρώτες εξισώσεις γράφονται για σώματα με μάζες m 1 και m 2 που εκτελούν μεταφορική κίνηση και η τρίτη εξίσωση είναι για έναν περιστρεφόμενο κύλινδρο. Στην τρίτη εξίσωση, στα αριστερά είναι η συνολική ροπή των δυνάμεων που ασκούνται στον κύλινδρο (η ροπή της δύναμης T 1 λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, αφού η δύναμη T 1 τείνει να περιστρέφει τον κύλινδρο αριστερόστροφα). Στα δεξιά, I είναι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα Ο, η οποία είναι ίση με

όπου R είναι η ακτίνα του κυλίνδρου. β είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου.

Επειδή δεν υπάρχει ολίσθηση νήματος,
. Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις των I και β, παίρνουμε:

Προσθέτοντας τις εξισώσεις του συστήματος, καταλήγουμε στην εξίσωση

Από εδώ βρίσκουμε την επιτάχυνση έναφορτίο

Μπορεί να φανεί από την εξίσωση που προκύπτει ότι οι τάσεις του νήματος θα είναι οι ίδιες, δηλ. =1 αν η μάζα του κυλίνδρου είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα των βαρών.

Παράδειγμα 2.4. Μια κούφια μπάλα με μάζα m = 0,5 kg έχει εξωτερική ακτίνα R = 0,08m και εσωτερική ακτίνα r = 0,06m. Η μπάλα περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Σε μια συγκεκριμένη στιγμή, μια δύναμη αρχίζει να ενεργεί στην μπάλα, με αποτέλεσμα η γωνία περιστροφής της μπάλας να αλλάζει σύμφωνα με το νόμο
. Προσδιορίστε τη ροπή της ασκούμενης δύναμης.

Λύνουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης
. Η κύρια δυσκολία είναι να προσδιοριστεί η ροπή αδράνειας της κοίλης σφαίρας και η γωνιακή επιτάχυνση β βρίσκεται ως
. Η ροπή αδράνειας I μιας κοίλης σφαίρας είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των ροπών αδράνειας μιας μπάλας ακτίνας R και μιας σφαίρας ακτίνας r:

όπου ρ είναι η πυκνότητα του υλικού της μπάλας. Βρίσκουμε την πυκνότητα, γνωρίζοντας τη μάζα μιας κούφιας μπάλας

Από εδώ προσδιορίζουμε την πυκνότητα του υλικού της μπάλας

Για τη στιγμή της δύναμης M λαμβάνουμε την ακόλουθη έκφραση:

Παράδειγμα 2.5. Μια λεπτή ράβδος με μάζα 300 g και μήκος 50 cm περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 10 s -1 σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο της ράβδου. Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα εάν, κατά την περιστροφή στο ίδιο επίπεδο, η ράβδος κινείται έτσι ώστε ο άξονας περιστροφής να διέρχεται από το άκρο της ράβδου.

Χρησιμοποιούμε το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμής

(1)

(J i - ροπή αδράνειας της ράβδου σε σχέση με τον άξονα περιστροφής).

Για ένα απομονωμένο σύστημα σωμάτων, το διανυσματικό άθροισμα της γωνιακής ορμής παραμένει σταθερό. Λόγω του γεγονότος ότι η κατανομή της μάζας της ράβδου σε σχέση με τον άξονα περιστροφής αλλάζει, η ροπή αδράνειας της ράβδου αλλάζει επίσης σύμφωνα με το (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Είναι γνωστό ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος στη ράβδο είναι ίση με

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Σύμφωνα με το θεώρημα Steiner

J = J 0 +m ένα 2

(J είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς έναν αυθαίρετο άξονα περιστροφής· J 0 είναι η ροπή αδράνειας ως προς έναν παράλληλο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας. ένα- απόσταση από το κέντρο μάζας στον επιλεγμένο άξονα περιστροφής).

Ας βρούμε τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το άκρο του και είναι κάθετος στη ράβδο:

J 2 \u003d J 0 +m ένα 2, J2 = m1 2/12 +m(1/2) 2 = m1 2/3. (τέσσερα)

Ας αντικαταστήσουμε τους τύπους (3) και (4) σε (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5s -1

Παράδειγμα 2.6 . μαζικός άνθρωποςΜ= 60 kg, στέκεται στην άκρη της πλατφόρμας με μάζα M = 120 kg, περιστρέφεται με αδράνεια γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα με συχνότητα ν 1 =12 λεπτά -1 , πηγαίνει στο κέντρο του. Θεωρώντας την πλατφόρμα ως στρογγυλό ομοιογενή δίσκο και το άτομο ως σημειακή μάζα, προσδιορίστε με ποια συχνότητα ν 2 τότε η πλατφόρμα θα περιστραφεί.

Δεδομένος: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0,2s -1 .

Εύρημα: v 1

Λύση:Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, η πλατφόρμα με το άτομο περιστρέφεται με αδράνεια, δηλ. η προκύπτουσα ροπή όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο περιστρεφόμενο σύστημα είναι μηδέν. Επομένως, για το σύστημα «πλατφόρμα-άνθρωπος» πληρούται ο νόμος της διατήρησης της ορμής

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

όπου
- τη στιγμή αδράνειας του συστήματος όταν ένα άτομο στέκεται στην άκρη της πλατφόρμας (λάβαμε υπόψη ότι η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας είναι ίση με (R είναι η ακτίνα p
πλατφόρμα), η ροπή αδράνειας ενός ατόμου στην άκρη της πλατφόρμας είναι mR 2).

- τη στιγμή αδράνειας του συστήματος όταν ένα άτομο στέκεται στο κέντρο της πλατφόρμας (λάβαμε υπόψη ότι η ροπή ενός ατόμου που στέκεται στο κέντρο της πλατφόρμας είναι ίση με μηδέν). Γωνιακή ταχύτητα ω 1 = 2π ν 1 και ω 1 = 2π ν 2 .

Αντικαθιστώντας τις γραπτές εκφράσεις στον τύπο (1), παίρνουμε

εξ ου και η επιθυμητή ταχύτητα περιστροφής

Απάντηση: v 2 =24 min -1 .