Το σύνθημα του μαθήματός μας θα είναι τα λόγια του Ρώσου μαθηματικού V.P. Ermakova: "Στα μαθηματικά, δεν πρέπει να θυμόμαστε τύπους, αλλά διαδικασίες σκέψης."

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Διατύπωση του προβλήματος

Στον πίνακα είναι ένα πορτρέτο του Gauss. Ένας δάσκαλος ή ένας μαθητής που είχε την αποστολή να προετοιμάσει ένα μήνυμα εκ των προτέρων λέει ότι όταν ο Gauss ήταν στο σχολείο, ο δάσκαλος ζήτησε από τους μαθητές να προσθέσουν όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 100. Ο μικρός Gauss έλυσε αυτό το πρόβλημα σε ένα λεπτό.

Ερώτηση . Πώς πήρε την απάντηση ο Γκάους;

Εύρεση λύσεων

Οι μαθητές εκφράζουν τις υποθέσεις τους και στη συνέχεια συνοψίζουν: συνειδητοποιώντας ότι τα αθροίσματα είναι 1 + 100, 2 + 99 κ.λπ. είναι ίσα, ο Gauss πολλαπλασίασε το 101 επί 50, δηλαδή με τον αριθμό τέτοιων ποσών. Με άλλα λόγια, παρατήρησε ένα μοτίβο που είναι εγγενές στην αριθμητική πρόοδο.

Παραγωγή του τύπου αθροίσματος nπρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου

Γράψτε το θέμα του μαθήματος στον πίνακα και στα τετράδιά σας. Οι μαθητές μαζί με τον δάσκαλο καταγράφουν το συμπέρασμα του τύπου:

Αφήνω ένα 1 ; ένα 2 ; ένα 3 ; ένα 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- αριθμητική πρόοδος.

Πρωτογενής ενοποίηση

1. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), λύνουμε το πρόβλημα Gauss:

2. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), λύστε προβλήματα προφορικά (οι όροι τους αναγράφονται στον πίνακα ή ο θετικός κωδικός), ( a n) - αριθμητική πρόοδος:

ΕΝΑ) ένα 1 = 2, ένα 10 = 20. μικρό 10 - ?

σι) ένα 1 = –5, ένα 7 = 1. μικρό 7 - ? [–14]

V) ένα 1 = –2, ένα 6 = –17. μικρό 6 - ? [–57]

ΣΟΛ) ένα 1 = –5, ένα 11 = 5. μικρό 11 - ?

3. Ολοκληρώστε την εργασία.

Δίνεται: ( a n) - αριθμητική πρόοδος.

ένα 1 = 3, ένα 60 = 57.

Εύρημα: μικρό 60 .

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του αθροίσματος nπρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου

Απάντηση: 1800.

Συμπληρωματική ερώτηση.Πόσοι τύποι διαφορετικών προβλημάτων μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο;

Απάντηση. Τέσσερις τύποι εργασιών:

Βρείτε το ποσό S n;

Βρείτε τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου ένα 1 ;

Εύρημα nο όρος μιας αριθμητικής προόδου a n;

Να βρείτε τον αριθμό των όρων μιας αριθμητικής προόδου.

4. Ολοκληρώστε την εργασία: Αρ. 369(β).

Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εξήντα όρων της αριθμητικής προόδου ( a n), Αν ένα 1 = –10,5, ένα 60 = 51,5.

Λύση.

Απάντηση: 1230.

Συμπληρωματική ερώτηση. Καταγράψτε τον τύπο nο όρος μιας αριθμητικής προόδου.

Απάντηση: a n = ένα 1 + ρε(n – 1).

5. Υπολογίστε τον τύπο για τους πρώτους εννέα όρους της αριθμητικής προόδου ( b n),
Αν σι 1 = –17, ρε = 6.

Είναι δυνατόν να υπολογιστεί άμεσα χρησιμοποιώντας έναν τύπο;

Όχι, γιατί ο ένατος όρος είναι άγνωστος.

Πώς να το βρείτε;

Σύμφωνα με τον τύπο nο όρος μιας αριθμητικής προόδου.

Λύση. σι 9 = σι 1 + 8ρε = –17 + 8∙6 = 31;

Απάντηση: 63.

Ερώτηση. Είναι δυνατόν να βρεθεί το άθροισμα χωρίς να υπολογιστεί ο ένατος όρος της προόδου;

Διατύπωση του προβλήματος

Πρόβλημα: λήψη του τύπου αθροίσματος nπρώτους όρους μιας αριθμητικής προόδου, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά της ρε.

(Εξαγωγή τύπου στον πίνακα από έναν μαθητή.)

Ας λύσουμε το Νο. 371(α) χρησιμοποιώντας τον νέο τύπο (2):

Ας καθορίσουμε προφορικά τους τύπους (2) ( οι συνθήκες των εργασιών αναγράφονται στον πίνακα).

(a n

1. ένα 1 = 3, ρε = 4. μικρό 4 - ?

2. ένα 1 = 2, ρε = –5. μικρό 3 - ? [–9]

Μάθετε από τους μαθητές ποιες ερωτήσεις είναι ασαφείς.

Ανεξάρτητη εργασία

Επιλογή 1

Δεδομένος: (a n) - αριθμητική πρόοδος.

1. ένα 1 = –3, ένα 6 = 21. μικρό 6 - ?

2. ένα 1 = 6, ρε = –3. μικρό 4 - ?

Επιλογή 2

Δεδομένος: (a n) - αριθμητική πρόοδος.

1.ένα 1 = 2, ένα 8 = –23. μικρό 8 - ? [–84]

2.ένα 1 = –7, ρε = 4. μικρό 5 - ?

Οι μαθητές ανταλλάσσουν σημειωματάρια και ελέγχουν ο ένας τις λύσεις του άλλου.

Συνοψίστε τη μάθηση του υλικού με βάση τα αποτελέσματα ανεξάρτητης εργασίας.

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτήν την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Αριθμητική πρόοδοςδίνεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου.
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το γείτονά του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Δίνεται αριθμητική πρόοδος τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Αλλά δεν ξέρουμε τη σημασία τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της προόδου.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν πρέπει να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Χρειάζεται να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα «κατά μέτωπο», αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των \(n\) πρώτων στοιχείων.
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων συνολικά.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχεις τα πάντα απαραίτητες πληροφορίεςγια την επίλυση σχεδόν κάθε προβλήματος αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως; Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Χρειαζόμαστε \(a_n\) για να γίνουμε Πάνω απο το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ας υπολογίσουμε...
\(n>65.333…\)		...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το ελέγξουμε αυτό.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε; Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Πρώτο επίπεδο

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρίαμε παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με αριθμό ονομάζεται ο όρος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε σειρά αριθμών, στο οποίο η διαφορά μεταξύ διπλανών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός σε περισσότερα με μια ευρεία έννοια, σαν μια άπειρη ακολουθία αριθμών. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και ορίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στο δεδομένης εξέλιξης() και προσπαθήστε να βρείτε την τιμή του ου μέλους του. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμό προόδου στην προηγούμενη τιμή μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στη σχεδιασμένη εικόνα... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να «αποπροσωποποιήσουμε» αυτή τη φόρμουλα- ας την φέρουμε γενική μορφήκαι παίρνουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους παρακάτω αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο σε φθίνουσα όσο και σε αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τους ου και τους όρους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε το πρόβλημα - θα αντλήσουμε την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η εξής συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Εύκολο, λες και αρχίζεις να μετράς σύμφωνα με τον τύπο που ήδη ξέρεις:

Ας, α, τότε:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε εάν είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά ναι, και αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον απαιτούμενο όρο της αριθμητικής προόδου καθώς, ο τύπος για την εύρεση της είναι γνωστός σε εμάς - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, Επειτα:

• ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι η διπλή τιμή του όρου προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, να βρούμε την τιμή του όρου προόδου δεδομένου του γνωστού προηγούμενου και διαδοχικές αξίες, πρέπει να τα προσθέσετε και να τα διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας εξασφαλίσουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Μένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, συνήγαγε εύκολα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο «βασιλιάς των μαθηματικών» - ο Καρλ Γκάους...

Όταν ο Καρλ Γκάους ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών σε άλλες τάξεις, ρώτησε το εξής πρόβλημα στην τάξη: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων φυσικούς αριθμούςαπό έως (σύμφωνα με άλλες πηγές έως) συμπεριλαμβανομένων." Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα συγκεκριμένο μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε και εσείς.
Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από -ους όρους: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα αυτών των όρων της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε με μη αυτόματο τρόπο όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν η εργασία απαιτεί την εύρεση του αθροίσματος των όρων της, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Το έχεις δοκιμάσει; Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι συνολικό ποσόείναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα δεν γνωρίζουμε τον όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τον τύπο του ου όρου με τον τύπο του αθροίσματος.
Τι πήρες;

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα που τέθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το ου και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το th.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλη αυτή την περίοδο. πνευματώδεις άνθρωποιέκανε πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε Αρχαία Αίγυπτοςκαι το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - η κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ, λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Υπολογίστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος, αν τοποθετηθούν τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε ενώ μετακινείτε το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΗ εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Το έπιασα; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των ντων όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες;
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές θα κάνει η Μάσα squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Κατά την αποθήκευση αρχείων καταγραφής, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.

3. Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ας το συνοψίσουμε

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
4. Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε. Μπορούμε όμως πάντα να πούμε ποιο είναι πρώτο, ποιο δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και έναν μοναδικό. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται το οοστό μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά είναι). Ή (, διαφορά).

τύπος nου όρου

Ονομάζουμε έναν τύπο επαναλαμβανόμενο στον οποίο, για να μάθετε τον όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον όρο της προόδου χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, αφήστε το. Επειτα:

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή που προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο αριθμό. Ποιό απ'όλα; Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με τον μύθο, μεγάλος μαθηματικόςΟ Καρλ Γκάους, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων διψήφιους αριθμούς, πολλαπλάσια.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενο λαμβάνεται με προσθήκη σε προηγούμενη ημερομηνία. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα αν έτρεξε km m την πρώτη μέρα;
2. Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
3. Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
   Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Εύρημα: .
   Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος για την εύρεση του ν ου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Σας επιτρέπει να βρείτε εύκολα έναν όρο μιας προόδου εάν είναι γνωστοί οι γειτονικοί όροι της - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.