Γενικός ορισμός παραγώγου. Παράγωγο αθροίσματος και διαφοράς

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα από τα πιο δύσκολα θέματα στο σχολικό πρόγραμμα. Δεν θα απαντήσει κάθε πτυχιούχος στην ερώτηση τι είναι παράγωγο.

Αυτό το άρθρο εξηγεί απλά και ξεκάθαρα τι είναι παράγωγο και γιατί χρειάζεται.. Δεν θα προσπαθήσουμε τώρα για μαθηματική αυστηρότητα παρουσίασης. Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το νόημα.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

Η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει γραφήματα τριών συναρτήσεων. Ποιο πιστεύετε ότι μεγαλώνει πιο γρήγορα;

Η απάντηση είναι προφανής - η τρίτη. Έχει τον υψηλότερο ρυθμό μεταβολής, δηλαδή τη μεγαλύτερη παράγωγο.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Ο Kostya, ο Grisha και ο Matvey έπιασαν δουλειά ταυτόχρονα. Ας δούμε πώς άλλαξαν τα εισοδήματά τους κατά τη διάρκεια του έτους:

Μπορείτε να δείτε τα πάντα στο γράφημα αμέσως, σωστά; Το εισόδημα του Kostya έχει υπερδιπλασιαστεί σε έξι μήνες. Και το εισόδημα του Γκρίσα αυξήθηκε επίσης, αλλά λίγο. Και το εισόδημα του Ματθαίου μειώθηκε στο μηδέν. Οι συνθήκες εκκίνησης είναι ίδιες, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, δηλ. παράγωγο, - διαφορετικό. Όσο για τον Matvey, το παράγωγο του εισοδήματός του είναι γενικά αρνητικό.

Διαισθητικά, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Πώς όμως το κάνουμε;

Αυτό που πραγματικά κοιτάμε είναι πόσο απότομα ανεβαίνει (ή κάτω) το γράφημα της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει το y με το x. Προφανώς, η ίδια συνάρτηση σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετική τιμή της παραγώγου - δηλαδή μπορεί να αλλάζει πιο γρήγορα ή πιο αργά.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται με .

Ας δείξουμε πώς μπορείτε να βρείτε χρησιμοποιώντας το γράφημα.

Σχεδιάζεται ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πάρτε ένα σημείο πάνω του με μια τετμημένη. Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Θέλουμε να αξιολογήσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα της συνάρτησης. Μια εύχρηστη αξία για αυτό είναι εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Παρακαλώ σημειώστε - ως γωνία κλίσης της εφαπτομένης, παίρνουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Μερικές φορές οι μαθητές ρωτούν ποια είναι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που έχει το μόνο κοινό σημείο με το γράφημα αυτής της ενότητας, επιπλέον, όπως φαίνεται στο σχήμα μας. Μοιάζει με εφαπτομένη σε κύκλο.

Ας βρούμε . Θυμόμαστε ότι η εφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Από τρίγωνο:

Βρήκαμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας το γράφημα χωρίς καν να γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης. Τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά στις εξετάσεις στα μαθηματικά κάτω από τον αριθμό.

Υπάρχει μια άλλη σημαντική συσχέτιση. Θυμηθείτε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωση

Η ποσότητα σε αυτή την εξίσωση ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής. Είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.

.

Το καταλαβαίνουμε

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο. Εκφράζει τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Με άλλα λόγια, η παράγωγος είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Έχουμε ήδη πει ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να έχει διαφορετικές παραγώγους σε διαφορετικά σημεία. Ας δούμε πώς σχετίζεται η παράγωγος με τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Αφήστε αυτή τη συνάρτηση να αυξηθεί σε ορισμένες περιοχές και να μειωθεί σε άλλες και με διαφορετικούς ρυθμούς. Και αφήστε αυτή τη συνάρτηση να έχει μέγιστους και ελάχιστους πόντους.

Σε ένα σημείο, η συνάρτηση αυξάνεται. Η εφαπτομένη στο γράφημα, που σχεδιάζεται στο σημείο, σχηματίζει μια οξεία γωνία. με κατεύθυνση θετικού άξονα. Άρα η παράγωγος είναι θετική στο σημείο.

Στο σημείο η λειτουργία μας μειώνεται. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει αμβλεία γωνία. με κατεύθυνση θετικού άξονα. Εφόσον η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η παράγωγος στο σημείο είναι αρνητική.

Να τι συμβαίνει:

Αν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγός της είναι θετική.

Αν μειωθεί, η παράγωγός του είναι αρνητική.

Και τι θα γίνει στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία; Βλέπουμε ότι στο (μέγιστο σημείο) και (ελάχιστο σημείο) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Επομένως, η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν και η παράγωγος είναι επίσης μηδέν.

Το σημείο είναι το μέγιστο σημείο. Σε αυτό το σημείο, η αύξηση της συνάρτησης αντικαθίσταται από μείωση. Κατά συνέπεια, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει στο σημείο από «συν» σε «πλην».

Στο σημείο - το ελάχιστο σημείο - η παράγωγος είναι επίσης ίση με μηδέν, αλλά το πρόσημά της αλλάζει από "μείον" σε "συν".

Συμπέρασμα: με τη βοήθεια της παραγώγου, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν για τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Στο μέγιστο σημείο, η παράγωγος είναι μηδέν και αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον.

Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος είναι επίσης μηδέν και αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν.

Γράφουμε αυτά τα ευρήματα με τη μορφή πίνακα:

	αυξάνει	μέγιστο σημείο	μειώνεται	ελάχιστο σημείο	αυξάνει
+	0	-	0	+

Ας κάνουμε δύο μικρές διευκρινίσεις. Θα χρειαστείτε ένα από αυτά κατά την επίλυση του προβλήματος. Ένα άλλο - τον πρώτο χρόνο, με μια πιο σοβαρή μελέτη συναρτήσεων και παραγώγων.

Μια περίπτωση είναι δυνατή όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο είναι ίση με μηδέν, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό το σημείο. Αυτό το λεγόμενο :

Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση είναι οριζόντια και η παράγωγος είναι μηδέν. Ωστόσο, πριν από το σημείο η συνάρτηση αυξήθηκε - και μετά το σημείο συνεχίζει να αυξάνεται. Το πρόσημο του παραγώγου δεν αλλάζει - έχει παραμείνει θετικό όπως ήταν.

Συμβαίνει επίσης στο σημείο μέγιστου ή ελάχιστου να μην υπάρχει η παράγωγος. Στο γράφημα, αυτό αντιστοιχεί σε μια απότομη διακοπή, όταν είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο.

Αλλά πώς να βρείτε την παράγωγο εάν η συνάρτηση δεν δίνεται από ένα γράφημα, αλλά από έναν τύπο; Σε αυτή την περίπτωση, ισχύει

Η λειτουργία εύρεσης παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων εύρεσης παραγώγων των απλούστερων (και όχι πολύ απλών) συναρτήσεων ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του επιχειρήματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και επακριβώς καθορισμένοι κανόνες διαφοροποίησης . Οι Isaac Newton (1643-1727) και Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ήταν οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων.

Επομένως, στην εποχή μας, για να βρεθεί η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας των παραγώγων και τους κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.

Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το σημάδι εγκεφαλικό επεισόδιο αναλύστε απλές συναρτήσειςκαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Περαιτέρω, βρίσκουμε τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων στον πίνακα των παραγώγων και τους τύπους για τις παραγώγους του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου - στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο πίνακας των παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Απόφαση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.

Από τον πίνακα των παραγώγων, διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του "Χ" ισούται με ένα και η παράγωγος του ημιτόνου είναι συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Απόφαση. Διαφοροποιήστε ως παράγωγο του αθροίσματος, στο οποίο ο δεύτερος όρος με σταθερό παράγοντα, μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Εάν εξακολουθούν να υπάρχουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, αυτές, κατά κανόνα, γίνονται σαφείς μετά την ανάγνωση του πίνακα των παραγώγων και των απλούστερων κανόνων διαφοροποίησης. Θα πάμε σε αυτούς τώρα.

Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων

1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά
2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές «x». Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε
3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε ισχύ.
4. Παράγωγος μεταβλητής δύναμης -1
5. Παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας
6. Ημιτονοειδής παράγωγος
7. Παράγωγο συνημίτονου
8. Εφαπτομένη παράγωγος
9. Παράγωγο συνεφαπτομένης
10. Παράγωγο του τόξου
11. Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
12. Παράγωγος εφαπτομένης τόξου
13. Παράγωγος της αντίστροφης εφαπτομένης
14. Παράγωγος φυσικού λογάριθμου
15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
16. Παράγωγος του εκθέτη
17. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Κανόνες διαφοροποίησης

1. Παράγωγο του αθροίσματος ή της διαφοράς
2. Παράγωγο προϊόντος
2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα
3. Παράγωγος του πηλίκου
4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Κανόνας 1Εάν λειτουργεί

είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο και μετά στο ίδιο σημείο οι συναρτήσεις

και

εκείνοι. η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.

Συνέπεια. Εάν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, τότε οι παράγωγοί τους είναι, δηλ.

Κανόνας 2Εάν λειτουργεί

είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.

Συνέπεια 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Συνέπεια 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου καθενός από τους παράγοντες και όλων των άλλων.

Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:

Κανόνας 3Εάν λειτουργεί

διαφοροποιούνται σε κάποιο σημείο και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμο.u/v και

εκείνοι. η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή .

Πού να κοιτάξετε σε άλλες σελίδες

Όταν βρίσκουμε την παράγωγο του προϊόντος και το πηλίκο σε πραγματικά προβλήματα, είναι πάντα απαραίτητο να εφαρμόζουμε αρκετούς κανόνες διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως περισσότερα παραδείγματα σχετικά με αυτές τις παραγώγους υπάρχουν στο άρθρο."Το παράγωγο ενός προϊόντος και ένα πηλίκο".

Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο στο άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του ισούται με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, αφαιρείται από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό είναι ένα τυπικό λάθος που συμβαίνει στο αρχικό στάδιο της μελέτης των παραγώγων, αλλά καθώς ο μέσος μαθητής λύνει πολλά παραδείγματα ενός ή δύο συστατικών, αυτό το λάθος δεν κάνει πλέον.

Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, όπου u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (μια τέτοια περίπτωση αναλύεται στο παράδειγμα 10) .

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η μηχανική λύση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Έτσι παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερωμένο σε ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παραγώγους απλών συναρτήσεων.

Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μετασχηματισμούς εκφράσεων. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε τα νέα εγχειρίδια των Windows Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςκαι Ενέργειες με κλάσματα .

Εάν αναζητάτε λύσεις σε παραγώγους με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , μετά ακολουθεί το μάθημα « Παράγωγος αθροίσματος κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».

Εάν έχετε μια εργασία όπως , τότε βρίσκεστε στο μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».

Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο

Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Απόφαση. Καθορίζουμε τα μέρη της έκφρασης της συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει το γινόμενο και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης γινομένων: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης:

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα, ο δεύτερος όρος με αρνητικό πρόσημο. Σε κάθε άθροισμα, βλέπουμε και μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "x" μετατρέπεται σε ένα και μείον 5 - σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται με 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". Λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές παραγώγων:

Αντικαθιστούμε τις ευρεθείσες παραγώγους στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Απόφαση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου: η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:

Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο Παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή, λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο στο τρέχον παράδειγμα:

Εάν αναζητάτε λύσεις σε τέτοια προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και μοίρες, όπως, για παράδειγμα, τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Η παράγωγος του αθροίσματος των κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .

Εάν χρειάζεται να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις παραγώγους των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , τότε έχετε ένα μάθημα "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .

Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Απόφαση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, με την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του γινομένου και την τιμή του πίνακα της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Παράδειγμα 6Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Απόφαση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε το πηλίκο, το μέρισμα του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου, τον οποίο επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την τιμή του πίνακα της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Για να απαλλαγείτε από το κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .

Είναι απολύτως αδύνατο να λυθούν φυσικά προβλήματα ή παραδείγματα στα μαθηματικά χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , δίνεται σε κάποιο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή επιχειρημάτων - διαφορά των τιμών του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Η αλλαγή ή η αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Ποιο όμως:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Η φυσική σημασία του παραγώγου: η χρονική παράγωγος της διαδρομής είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια, όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι ένα ιδιωτικό μονοπάτι. x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης κάθε φορά t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: βγάλτε τη σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Επιπλέον, πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, λάβετε κατά κανόνα - αν μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση, φροντίστε να απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Τρίτος κανόνας: η παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Απόφαση:

Εδώ είναι σημαντικό να πούμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα από την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα, συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, εξετάζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας Τέταρτος: Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιαδήποτε ερώτηση σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με τη φοιτητική υπηρεσία. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε τον πιο δύσκολο έλεγχο και να αντιμετωπίσετε εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε ασχοληθεί ποτέ με τον υπολογισμό των παραγώγων στο παρελθόν.

Συνθέστε την αναλογία και υπολογίστε το όριο.

Πού έκανε πίνακας παραγώγων και κανόνων διαφοροποίησης? Χάρη σε ένα μόνο όριο. Φαίνεται σαν μαγικό, αλλά στην πραγματικότητα - δολοπλοκία και όχι απάτη. Στο μάθημα Τι είναι ένα παράγωγο;Άρχισα να εξετάζω συγκεκριμένα παραδείγματα, όπου, χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρήκα τις παραγώγους μιας γραμμικής και τετραγωνικής συνάρτησης. Για το σκοπό της γνωστικής προθέρμανσης, θα συνεχίσουμε να ενοχλούμε πίνακας παραγώγων, ακονίζοντας τον αλγόριθμο και τις τεχνικές λύσεις:

Παράδειγμα 1

Μάλιστα απαιτείται να αποδειχθεί ειδική περίπτωση της παραγώγου συνάρτησης ισχύος, που συνήθως εμφανίζεται στον πίνακα: .

Απόφασητεχνικά επισημοποιημένη με δύο τρόπους. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη, ήδη γνωστή προσέγγιση: η σκάλα ξεκινά με μια σανίδα και η παράγωγη συνάρτηση ξεκινά με μια παράγωγο σε ένα σημείο.

Σκεφτείτε μερικοί(συγκεκριμένο) σημείο που ανήκει σε τομείςμια συνάρτηση που έχει παράγωγο. Ρυθμίστε την αύξηση σε αυτό το σημείο (φυσικά, όχι πιο πέραο/ο -ΕΓΩ)και να συνθέσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:

Ας υπολογίσουμε το όριο:

Η αβεβαιότητα 0:0 εξαλείφεται με μια τυπική τεχνική που θεωρείται ήδη από τον πρώτο αιώνα π.Χ. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παρακείμενη παράσταση :

Η τεχνική για την επίλυση ενός τέτοιου ορίου συζητείται λεπτομερώς στο εισαγωγικό μάθημα. σχετικά με τα όρια των συναρτήσεων.

Εφόσον ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του διαστήματος μπορεί να επιλεγεί ως, τότε, αντικαθιστώντας το , παίρνουμε:

Απάντηση

Για άλλη μια φορά, ας χαρούμε τους λογάριθμους:

Παράδειγμα 2

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου

Απόφαση: ας εξετάσουμε μια διαφορετική προσέγγιση για την προώθηση της ίδιας εργασίας. Είναι ακριβώς το ίδιο, αλλά πιο ορθολογικό σχεδιαστικά. Η ιδέα είναι να απαλλαγείτε από τον δείκτη στην αρχή της λύσης και να χρησιμοποιήσετε το γράμμα αντί για το γράμμα.

Σκεφτείτε αυθαίρετοςσημείο που ανήκει σε τομείςσυνάρτηση (διάστημα) και ορίστε την αύξηση σε αυτό. Και εδώ, παρεμπιπτόντως, όπως στις περισσότερες περιπτώσεις, μπορείτε να το κάνετε χωρίς επιφυλάξεις, αφού η λογαριθμική συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του τομέα ορισμού.

Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:

Ας βρούμε την παράγωγο:

Η ευκολία σχεδιασμού εξισορροπείται από τη σύγχυση που μπορούν να βιώσουν οι αρχάριοι (και όχι μόνο). Εξάλλου, έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι το γράμμα "X" αλλάζει στο όριο! Αλλά εδώ όλα είναι διαφορετικά: - ένα άγαλμα αντίκα και - ένας ζωντανός επισκέπτης, που περπατά χαρούμενα στο διάδρομο του μουσείου. Δηλαδή, το "x" είναι "σαν μια σταθερά".

Θα σχολιάσω την εξάλειψη της αβεβαιότητας βήμα προς βήμα:

(1) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του λογάριθμου .

(2) Σε αγκύλες, διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

(3) Στον παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε τεχνητά και διαιρούμε με το "x" για να εκμεταλλευτούμε υπέροχο όριο , ενώ ως απειροελάχιστοςξεχωρίζει.

Απάντηση: εξ ορισμού παραγώγου:

Ή εν συντομία:

Προτείνω να κατασκευάσουμε ανεξάρτητα δύο ακόμη τύπους πινάκων:

Παράδειγμα 3

Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταγλωττισμένη αύξηση είναι άμεσα βολικό να μειωθεί σε έναν κοινό παρονομαστή. Ένα κατά προσέγγιση δείγμα της εργασίας στο τέλος του μαθήματος (η πρώτη μέθοδος).

Παράδειγμα 3:Απόφαση : σκεφτείτε κάποιο σημείο , που ανήκουν στο πεδίο εφαρμογής της συνάρτησης . Ρυθμίστε την αύξηση σε αυτό το σημείο και να συνθέσετε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:

Ας βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο :

Δεδομένου ότι ως μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο εύρος λειτουργίας , τότε και
Απάντηση : εξ ορισμού του παραγώγου

Παράδειγμα 4

Βρείτε την παράγωγο εξ ορισμού

Και εδώ όλα πρέπει να περιοριστούν σε υπέροχο όριο. Η λύση πλαισιώνεται με τον δεύτερο τρόπο.

Ομοίως, μια σειρά από άλλα παράγωγα πίνακα. Ένας πλήρης κατάλογος μπορεί να βρεθεί σε ένα σχολικό εγχειρίδιο ή, για παράδειγμα, στον 1ο τόμο του Fichtenholtz. Δεν βλέπω πολύ νόημα να ξαναγράφω από βιβλία και αποδείξεις των κανόνων διαφοροποίησης - δημιουργούνται επίσης από τον τύπο.

Παράδειγμα 4:Απόφαση , ιδιοκτησία και ορίστε μια αύξηση σε αυτό

Ας βρούμε την παράγωγο:

Κάνοντας χρήση του υπέροχου ορίου

Απάντηση : α-προϊστάμενος

Παράδειγμα 5

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας παραγώγου

Απόφαση: Χρησιμοποιήστε το πρώτο οπτικό στυλ. Ας εξετάσουμε κάποιο σημείο που ανήκει στο , ας ορίσουμε την αύξηση του ορίσματος σε αυτό. Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:

Ίσως ορισμένοι αναγνώστες να μην έχουν ακόμη κατανοήσει πλήρως την αρχή με την οποία πρέπει να γίνει μια αύξηση. Παίρνουμε ένα σημείο (αριθμό) και βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό: , δηλαδή στη συνάρτηση αντίΤο "x" πρέπει να αντικατασταθεί. Τώρα παίρνουμε επίσης έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό και τον αντικαθιστούμε στη συνάρτηση αντί"Χ": . Καταγράφουμε τη διαφορά, ενώ είναι απαραίτητη παρενθέσεις εντελώς.

Σύνθετη Αύξηση Συνάρτησης είναι ωφέλιμο να απλοποιηθεί αμέσως. Για ποιο λόγο? Διευκολύνετε και συντομεύστε τη λύση του περαιτέρω ορίου.

Χρησιμοποιούμε τύπους, ανοίγουμε αγκύλες και μειώνουμε όλα όσα μπορούν να μειωθούν:

Η γαλοπούλα έχει ξεσπάσει, κανένα πρόβλημα με το ψητό:

Δεδομένου ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να επιλεγεί ως ποιότητα, κάνουμε την αντικατάσταση και παίρνουμε .

Απάντηση: α-προϊστάμενος.

Για λόγους επαλήθευσης, βρίσκουμε το παράγωγο χρησιμοποιώντας κανόνες και πίνακες διαφοροποίησης:

Είναι πάντα χρήσιμο και ευχάριστο να γνωρίζετε εκ των προτέρων τη σωστή απάντηση, επομένως είναι καλύτερο να διαφοροποιήσετε διανοητικά ή σε προσχέδιο την προτεινόμενη συνάρτηση με «γρήγορο» τρόπο στην αρχή της λύσης.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης με τον ορισμό της παραγώγου

Αυτό είναι ένα παράδειγμα do-it-yourself. Το αποτέλεσμα βρίσκεται στην επιφάνεια:

Παράδειγμα 6:Απόφαση : σκεφτείτε κάποιο σημείο , ιδιοκτησία , και ορίστε την αύξηση του ορίσματος σε αυτό . Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:


Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:


Ετσι:
Διότι ως μπορεί να επιλεγεί οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και
Απάντηση : α-προϊστάμενος.

Ας επιστρέψουμε στο στυλ #2:

Παράδειγμα 7

Ας μάθουμε αμέσως τι πρέπει να συμβεί. Με ο κανόνας διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Απόφαση: θεωρήστε ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει στο , ορίστε την αύξηση του ορίσματος σε αυτό και συνθέστε την αύξηση της συνάρτησης:

Ας βρούμε την παράγωγο:


(1) Χρήση τριγωνομετρικός τύπος .

(2) Κάτω από το ημίτονο ανοίγουμε τις αγκύλες, κάτω από το συνημίτονο παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

(3) Κάτω από το ημίτονο μειώνουμε τους όρους, κάτω από το συνημίτονο διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.

(4) Λόγω της παραδοξότητας του ημιτονοειδούς, βγάζουμε το «μείον». Κάτω από το συνημίτονο, δηλώνουμε ότι ο όρος .

(5) Πολλαπλασιάζουμε τεχνητά τον παρονομαστή για χρήση πρώτο υπέροχο όριο. Έτσι, εξαλείφεται η αβεβαιότητα, χτενίζουμε το αποτέλεσμα.

Απάντηση: a-priory

Όπως μπορείτε να δείτε, η κύρια δυσκολία του υπό εξέταση προβλήματος έγκειται στην πολυπλοκότητα του ίδιου του ορίου + μια ελαφρά πρωτοτυπία συσκευασίας. Στην πράξη, συναντώνται και οι δύο μέθοδοι σχεδιασμού, επομένως περιγράφω και τις δύο προσεγγίσεις με όσο το δυνατόν περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι ισοδύναμα, αλλά παρόλα αυτά, κατά την υποκειμενική μου εντύπωση, είναι πιο σκόπιμο για τα ομοιώματα να παραμείνουν στην 1η επιλογή με "Χ μηδέν".

Παράδειγμα 8

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράδειγμα 8:Απόφαση : εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο , ιδιοκτησία , ας ορίσουμε μια αύξηση σε αυτό και κάντε μια αύξηση της συνάρτησης:

Ας βρούμε την παράγωγο:

Χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο και το πρώτο αξιοσημείωτο όριο:


Απάντηση : α-προϊστάμενος

Ας αναλύσουμε μια πιο σπάνια εκδοχή του προβλήματος:

Παράδειγμα 9

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου.

Πρώτον, ποια πρέπει να είναι η ουσία; Αριθμός

Ας υπολογίσουμε την απάντηση με τον τυπικό τρόπο:

Απόφαση: από την άποψη της σαφήνειας, αυτή η εργασία είναι πολύ απλούστερη, αφού ο τύπος λαμβάνει μια συγκεκριμένη τιμή.

Ορίζουμε μια αύξηση στο σημείο και συνθέτουμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:

Υπολογίστε την παράγωγο σε ένα σημείο:

Χρησιμοποιούμε έναν πολύ σπάνιο τύπο για τη διαφορά των εφαπτομένων και για άλλη μια φορά μειώστε τη λύση σε πρώτο υπέροχο όριο:

Απάντηση: εξ ορισμού της παραγώγου σε ένα σημείο.

Το έργο δεν είναι τόσο δύσκολο να λυθεί και "σε γενικούς όρους" - αρκεί να αντικατασταθεί με ή απλά, ανάλογα με τη μέθοδο σχεδιασμού. Σε αυτή την περίπτωση, φυσικά, δεν παίρνετε έναν αριθμό, αλλά μια παράγωγη συνάρτηση.

Παράδειγμα 10

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο (ένα από τα οποία μπορεί να αποδειχθεί άπειρο), για το οποίο έχω ήδη μιλήσει γενικά θεωρητικό μάθημα για την παράγωγο.

Ορισμένες τμηματικά δεδομένες συναρτήσεις είναι επίσης διαφοροποιήσιμες στα σημεία «σύνδεσης» του γραφήματος, για παράδειγμα, η γάτα-σκύλος έχει μια κοινή παράγωγο και μια κοινή εφαπτομένη (άξονας τετμημένης) στο σημείο . Καμπύλη, ναι διαφοροποιήσιμη κατά ! Όσοι επιθυμούν μπορούν να το επιβεβαιώσουν μόνοι τους στο μοντέλο του μόλις λυμένου παραδείγματος.

©2015-2019 ιστότοπος
Όλα τα δικαιώματα ανήκουν στους δημιουργούς τους. Αυτός ο ιστότοπος δεν διεκδικεί την πνευματική ιδιοκτησία, αλλά παρέχει δωρεάν χρήση.
Ημερομηνία δημιουργίας σελίδας: 2017-06-11

Στο πρόβλημα Β9, δίνεται μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ή παραγώγου, από την οποία απαιτείται να προσδιοριστεί ένα από τα ακόλουθα μεγέθη:

1. Η τιμή της παραγώγου σε κάποιο σημείο x 0,
2. Υψηλά ή χαμηλά σημεία (ακραία σημεία),
3. Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης (διαστήματα μονοτονίας).

Οι συναρτήσεις και οι παράγωγοι που παρουσιάζονται σε αυτό το πρόβλημα είναι πάντα συνεχείς, γεγονός που απλοποιεί πολύ τη λύση. Παρά το γεγονός ότι η εργασία ανήκει στο τμήμα της μαθηματικής ανάλυσης, είναι αρκετά στη δύναμη ακόμη και των πιο αδύναμων μαθητών, αφού εδώ δεν απαιτούνται βαθιές θεωρητικές γνώσεις.

Για να βρείτε την τιμή της παραγώγου, των ακραίων σημείων και των διαστημάτων μονοτονίας, υπάρχουν απλοί και καθολικοί αλγόριθμοι - όλοι θα συζητηθούν παρακάτω.

Διαβάστε προσεκτικά την κατάσταση του προβλήματος Β9 για να μην κάνετε ανόητα λάθη: μερικές φορές συναντώνται αρκετά ογκώδη κείμενα, αλλά υπάρχουν λίγες σημαντικές συνθήκες που επηρεάζουν την πορεία της λύσης.

Υπολογισμός της τιμής της παραγώγου. Μέθοδος δύο σημείων

Αν στο πρόβλημα δοθεί μια γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), εφαπτομένη σε αυτό το γράφημα σε κάποιο σημείο x 0 , και απαιτείται να βρεθεί η τιμή της παραγώγου σε αυτό το σημείο, εφαρμόζεται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

1. Βρείτε δύο «επαρκή» σημεία στο γράφημα της εφαπτομένης: οι συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ακέραιες. Ας συμβολίσουμε αυτά τα σημεία ως A (x 1 , y 1) και B (x 2 , y 2). Σημειώστε σωστά τις συντεταγμένες - αυτό είναι το βασικό σημείο της λύσης και οποιοδήποτε λάθος εδώ οδηγεί σε λάθος απάντηση.
2. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την αύξηση του ορίσματος Δx = x 2 − x 1 και την αύξηση της συνάρτησης Δy = y 2 − y 1 .
3. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου D = Δy/Δx. Με άλλα λόγια, πρέπει να διαιρέσετε την αύξηση της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος - και αυτή θα είναι η απάντηση.

Για άλλη μια φορά σημειώνουμε: τα σημεία Α και Β πρέπει να αναζητηθούν ακριβώς στην εφαπτομένη και όχι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), όπως συμβαίνει συχνά. Η εφαπτομένη θα περιέχει αναγκαστικά τουλάχιστον δύο τέτοια σημεία, διαφορετικά το πρόβλημα διατυπώνεται εσφαλμένα.

Θεωρήστε τα σημεία A (−3; 2) και B (−1; 6) και βρείτε τις προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Ας βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Εργο. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Θεωρήστε τα σημεία A (0; 3) και B (3; 0), βρείτε προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Τώρα βρίσκουμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Εργο. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d f (x) και την εφαπτομένη σε αυτήν στο σημείο με την τετμημένη x 0. Να βρείτε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 .

Εξετάστε τα σημεία Α (0; 2) και Β (5; 2) και βρείτε προσαυξήσεις:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Μένει να βρούμε την τιμή της παραγώγου: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Από το τελευταίο παράδειγμα, μπορούμε να διατυπώσουμε τον κανόνα: αν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα OX, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο επαφής είναι ίση με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται καν να υπολογίσετε τίποτα - απλώς κοιτάξτε το γράφημα.

Υπολογισμός υψηλών και χαμηλών πόντων

Μερικές φορές αντί για γράφημα μιας συνάρτησης στο πρόβλημα Β9, δίνεται ένα γράφημα παραγώγου και απαιτείται να βρεθεί το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης. Σε αυτό το σενάριο, η μέθοδος των δύο σημείων είναι άχρηστη, αλλά υπάρχει ένας άλλος, ακόμη πιο απλός αλγόριθμος. Αρχικά, ας ορίσουμε την ορολογία:

1. Το σημείο x 0 ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) εάν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: f(x 0) ≥ f(x).
2. Το σημείο x 0 ονομάζεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) εάν σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου ισχύει η ακόλουθη ανίσωση: f(x 0) ≤ f(x).

Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία στο γράφημα της παραγώγου, αρκεί να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1. Σχεδιάστε ξανά το γράφημα της παραγώγου, αφαιρώντας όλες τις περιττές πληροφορίες. Όπως δείχνει η πρακτική, τα επιπλέον δεδομένα παρεμβαίνουν μόνο στη λύση. Επομένως, σημειώνουμε τα μηδενικά της παραγώγου στον άξονα συντεταγμένων - και αυτό είναι.
2. Βρείτε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ μηδενικών. Αν για κάποιο σημείο x 0 είναι γνωστό ότι f'(x 0) ≠ 0, τότε μόνο δύο επιλογές είναι δυνατές: f'(x 0) ≥ 0 ή f'(x 0) ≤ 0. Το πρόσημο της παραγώγου είναι εύκολο να προσδιοριστεί από το αρχικό σχέδιο: αν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≥ 0. Αντίθετα, εάν το γράφημα της παραγώγου βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX, τότε f'(x) ≤ 0.
3. Ελέγχουμε ξανά τα μηδενικά και τα πρόσημα της παραγώγου. Όπου το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν, υπάρχει ένα ελάχιστο σημείο. Αντίστροφα, εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από συν σε πλην, αυτό είναι το μέγιστο σημείο. Η καταμέτρηση γίνεται πάντα από αριστερά προς τα δεξιά.

Αυτό το σχήμα λειτουργεί μόνο για συνεχείς συναρτήσεις - δεν υπάρχουν άλλες στο πρόβλημα Β9.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−5; 5]. Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες - θα αφήσουμε μόνο τα σύνορα [−5; 5] και τα μηδενικά της παραγώγου x = −3 και x = 2,5. Σημειώστε επίσης τα σημάδια:

Προφανώς, στο σημείο x = −3, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν. Αυτό είναι το ελάχιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−3; 7]. Βρείτε το μέγιστο σημείο της συνάρτησης f(x) σε αυτό το τμήμα.

Ας ξανασχεδιάσουμε το γράφημα, αφήνοντας μόνο τα όρια [−3; 7] και τα μηδενικά της παραγώγου x = −1,7 και x = 5. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στο γράφημα που προκύπτει. Εχουμε:

Προφανώς, στο σημείο x = 5, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην - αυτό είναι το μέγιστο σημείο.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο διάστημα [−6; 4]. Να βρείτε τον αριθμό των μέγιστων σημείων της συνάρτησης f(x) που ανήκουν στο διάστημα [−4; 3].

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι αρκεί να ληφθεί υπόψη μόνο το τμήμα του γραφήματος που οριοθετείται από το τμήμα [−4; 3]. Επομένως, χτίζουμε ένα νέο γράφημα, στο οποίο σημειώνουμε μόνο τα όρια [−4; 3] και τα μηδενικά της παραγώγου μέσα σε αυτό. Δηλαδή, τα σημεία x = −3,5 και x = 2. Παίρνουμε:

Σε αυτό το γράφημα, υπάρχει μόνο ένα μέγιστο σημείο x = 2. Είναι σε αυτό που το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην.

Μια μικρή σημείωση για σημεία με μη ακέραιες συντεταγμένες. Για παράδειγμα, στο τελευταίο πρόβλημα, εξετάστηκε το σημείο x = −3,5, αλλά με την ίδια επιτυχία μπορούμε να πάρουμε x = −3,4. Εάν το πρόβλημα διατυπωθεί σωστά, τέτοιες αλλαγές δεν θα πρέπει να επηρεάζουν την απάντηση, αφού τα σημεία "χωρίς σταθερό τόπο διαμονής" δεν εμπλέκονται άμεσα στην επίλυση του προβλήματος. Φυσικά, με ακέραιους πόντους ένα τέτοιο κόλπο δεν θα λειτουργήσει.

Εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης

Σε ένα τέτοιο πρόβλημα, όπως τα σημεία μέγιστου και ελαχίστου, προτείνεται να βρεθούν περιοχές στις οποίες η ίδια η συνάρτηση αυξάνεται ή μειώνεται από τη γραφική παράσταση της παραγώγου. Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι η αύξουσα και η φθίνουσα:

1. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται αύξουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα η πρόταση είναι αληθής: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Με άλλα λόγια, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ορίσματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης.
2. Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα σε ένα τμήμα εάν για οποιαδήποτε δύο σημεία x 1 και x 2 από αυτό το τμήμα η πρόταση είναι αληθής: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Εκείνοι. μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Διατυπώνουμε επαρκείς προϋποθέσεις για αύξηση και μείωση:

1. Για να αυξηθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι θετική, δηλ. f'(x) ≥ 0.
2. Για να μειωθεί μια συνεχής συνάρτηση f(x) στο τμήμα , αρκεί η παράγωγός της μέσα στο τμήμα να είναι αρνητική, δηλ. f'(x) ≤ 0.

Δεχόμαστε αυτούς τους ισχυρισμούς χωρίς απόδειξη. Έτσι, παίρνουμε ένα σχήμα για την εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης, το οποίο είναι από πολλές απόψεις παρόμοιο με τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό των ακραίων σημείων:

1. Καταργήστε όλες τις περιττές πληροφορίες. Στο αρχικό γράφημα της παραγώγου, μας ενδιαφέρουν πρωτίστως τα μηδενικά της συνάρτησης, οπότε αφήνουμε μόνο αυτά.
2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα μεταξύ μηδενικών. Όπου f'(x) ≥ 0, η συνάρτηση αυξάνεται και όπου f'(x) ≤ 0, μειώνεται. Εάν το πρόβλημα έχει περιορισμούς στη μεταβλητή x, τους επισημαίνουμε επιπλέον στο νέο γράφημα.
3. Τώρα που γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης και τον περιορισμό, μένει να υπολογίσουμε την απαιτούμενη τιμή στο πρόβλημα.

Εργο. Το σχήμα δείχνει ένα γράφημα της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−3; 7.5]. Να βρείτε τα διαστήματα της φθίνουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, γράψτε το άθροισμα των ακεραίων που περιλαμβάνονται σε αυτά τα διαστήματα.

Ως συνήθως, ξανασχεδιάζουμε το γράφημα και σημειώνουμε τα όρια [−3; 7.5], καθώς και τα μηδενικά της παραγώγου x = −1.5 και x = 5.3. Στη συνέχεια σημειώνουμε τα σημάδια της παραγώγου. Εχουμε:

Εφόσον η παράγωγος είναι αρνητική στο διάστημα (− 1,5), αυτό είναι το διάστημα της φθίνουσας συνάρτησης. Απομένει να αθροίσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μέσα σε αυτό το διάστημα:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Εργο. Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση της παραγώγου της συνάρτησης f(x) που ορίζεται στο τμήμα [−10; 4]. Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας συνάρτησης f(x). Στην απάντησή σας, γράψτε το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά.

Ας απαλλαγούμε από περιττές πληροφορίες. Αφήνουμε μόνο τα όρια [−10; 4] και μηδενικά της παραγώγου, που αυτή τη φορά αποδείχθηκαν τέσσερα: x = −8, x = −6, x = −3 και x = 2. Σημειώστε τα πρόσημα της παραγώγου και λάβετε την παρακάτω εικόνα:

Μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα αυξανόμενης συνάρτησης, δηλ. όπου f'(x) ≥ 0. Υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα στη γραφική παράσταση: (−8; −6) και (−3; 2). Ας υπολογίσουμε το μήκος τους:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Δεδομένου ότι απαιτείται να βρεθεί το μήκος του μεγαλύτερου από τα διαστήματα, γράφουμε την τιμή l 2 = 5 ως απάντηση.