Μία από τις μεθόδους επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι η εφαρμογή Φόρμουλες VIETA, που πήρε το όνομά του από τον FRANCOIS VIETE.

Ήταν διάσημος δικηγόρος και υπηρέτησε τον 16ο αιώνα με τον Γάλλο βασιλιά. Στον ελεύθερο χρόνο του σπούδασε αστρονομία και μαθηματικά. Καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Πλεονεκτήματα του τύπου:

1 . Εφαρμόζοντας τον τύπο, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τη λύση. Επειδή δεν χρειάζεται να εισαγάγετε τον δεύτερο συντελεστή στο τετράγωνο, στη συνέχεια να αφαιρέσετε 4ac από αυτόν, να βρείτε το διαχωριστικό, να αντικαταστήσετε την τιμή του στον τύπο για την εύρεση των ριζών.

2 . Χωρίς λύση, μπορείτε να προσδιορίσετε τα σημάδια των ριζών, να σηκώσετε τις τιμές των ριζών.

3 . Έχοντας λύσει το σύστημα των δύο εγγραφών, δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις ίδιες τις ρίζες. Στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με την τιμή του δεύτερου συντελεστή με πρόσημο μείον. Το γινόμενο των ριζών στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση ισούται με την τιμή του τρίτου συντελεστή.

4 . Σύμφωνα με τις ρίζες που δίνονται, να γράψετε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας, δηλαδή να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα. Για παράδειγμα, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρητική μηχανική.

5 . Είναι βολικό να εφαρμόζεται ο τύπος όταν ο κύριος συντελεστής είναι ίσος με ένα.

Ελαττώματα:

1 . Η φόρμουλα δεν είναι καθολική.

Θεώρημα Vieta Βαθμός 8

Τύπος
Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 + px + q \u003d 0, τότε:

Παραδείγματα
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - οι ρίζες της εξίσωσης x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Αντίστροφο θεώρημα

Τύπος
Αν οι αριθμοί x 1 , x 2 , p, q συνδέονται με τις συνθήκες:

Τότε τα x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2 + px + q = 0.

Παράδειγμα
Ας φτιάξουμε μια τετραγωνική εξίσωση από τις ρίζες της:

X 1 \u003d 2 -? 3 και x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Η επιθυμητή εξίσωση έχει τη μορφή: x 2 - 4x + 1 = 0.

Αρχικά, ας διατυπώσουμε το ίδιο το θεώρημα: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση της μορφής x^2+b*x + c = 0. Ας υποθέσουμε ότι αυτή η εξίσωση περιέχει ρίζες x1 και x2. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα, οι ακόλουθες προτάσεις είναι παραδεκτές:

1) Το άθροισμα των ριζών x1 και x2 θα είναι ίσο με την αρνητική τιμή του συντελεστή b.

2) Το γινόμενο αυτών των ριζών θα μας δώσει τον συντελεστή c.

Ποια είναι όμως η παραπάνω εξίσωση;

Μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση είναι μια τετραγωνική εξίσωση, ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού, ο οποίος είναι ίσος με ένα, δηλ. αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής x^2 + b*x + c = 0. (και η εξίσωση a*x^2 + b*x + c = 0 δεν ανάγεται). Με άλλα λόγια, για να μειώσουμε την εξίσωση στη μειωμένη μορφή, πρέπει να διαιρέσουμε αυτήν την εξίσωση με τον συντελεστή στον υψηλότερο βαθμό (α). Ο στόχος είναι να φέρουμε αυτήν την εξίσωση στη μειωμένη μορφή:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Διαιρούμε κάθε εξίσωση με τον συντελεστή του υψηλότερου βαθμού, παίρνουμε:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα, ακόμη και οι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα μπορούν να αναχθούν στη μειωμένη μορφή.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

παίρνουμε τις ρίζες: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τις ρίζες: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

παίρνουμε τις ρίζες: x1 = −1; x2 = −4.

Σημασία του θεωρήματος του Vieta

Το θεώρημα του Vieta μας επιτρέπει να λύσουμε οποιαδήποτε δεδομένη τετραγωνική εξίσωση σε σχεδόν δευτερόλεπτα. Με την πρώτη ματιά, αυτό φαίνεται σαν ένα αρκετά δύσκολο έργο, αλλά μετά από 5 10 εξισώσεις, μπορείτε να μάθετε να βλέπετε τις ρίζες αμέσως.

Από τα παραπάνω παραδείγματα, και χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορείτε να δείτε πώς μπορείτε να απλοποιήσετε σημαντικά τη λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων, επειδή χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, μπορείτε να λύσετε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με λίγους ή καθόλου περίπλοκους υπολογισμούς και τον υπολογισμό της διάκρισης, και όπως γνωρίζετε , όσο λιγότεροι υπολογισμοί, τόσο πιο δύσκολο είναι να κάνεις λάθος, κάτι που είναι σημαντικό.

Σε όλα τα παραδείγματα, χρησιμοποιήσαμε αυτόν τον κανόνα με βάση δύο σημαντικές υποθέσεις:

Η παραπάνω εξίσωση, δηλ. ο συντελεστής στον υψηλότερο βαθμό είναι ίσος με ένα (αυτή η συνθήκη είναι εύκολο να αποφευχθεί. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μη αναγωγική μορφή της εξίσωσης, τότε οι ακόλουθες προτάσεις x1+x2=-b/a· x1*x2=c/a θα είναι ισχύει, αλλά συνήθως είναι πιο δύσκολο να λυθεί :))

Όταν η εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Υποθέτουμε ότι η ανισότητα είναι αληθής και η διάκριση είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν.

Επομένως, μπορούμε να συνθέσουμε έναν γενικό αλγόριθμο λύσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αλγόριθμος γενικής λύσης με το θεώρημα του Vieta

Φέρνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση στη μειωμένη μορφή αν η εξίσωση μας δοθεί σε μη αναγωγική μορφή. Όταν οι συντελεστές στην τετραγωνική εξίσωση, που προηγουμένως παρουσιάσαμε ως μειωμένοι, αποδείχθηκαν κλασματικοί (όχι δεκαδικοί), τότε σε αυτή την περίπτωση η εξίσωσή μας θα πρέπει να λυθεί μέσω του διαχωριστή.

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις που η επιστροφή στην αρχική εξίσωση μας επιτρέπει να δουλέψουμε με «βολικούς» αριθμούς.

Πρώτο επίπεδο

Τετραγωνικές εξισώσεις. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση» η λέξη κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο X) στο τετράγωνο, και ταυτόχρονα δεν πρέπει να υπάρχουν Xs στον τρίτο (ή μεγαλύτερο) βαθμό.

Η λύση πολλών εξισώσεων ανάγεται στη λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, και όχι κάποια άλλη.

Παράδειγμα 1

Απαλλαγείτε από τον παρονομαστή και πολλαπλασιάστε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και ας τακτοποιήσουμε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x

Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετράγωνο!

Παράδειγμα 3

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός? Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα ... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4

Φαίνεται να είναι, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει συρρικνωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν υπό όρους όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχουν δεδομένοςείναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένος!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί λείπει κάποιο στοιχείο από αυτά. Αλλά η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο !!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια τετραγωνική, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Μια τέτοια διαίρεση οφείλεται στις μεθόδους λύσης. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι των τύπων:

1. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει πάντα να γνωρίζετε και να θυμάστε ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την Εξίσωση

Τώρα μένει να εξαγάγετε τη ρίζα από το αριστερό και το δεξί μέρος. Τελικά, θυμάστε πώς να εξαγάγετε τις ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την Εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την Εξίσωση

Ωχ! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις στις οποίες δεν υπάρχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την Εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Με αυτόν τον τρόπο,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Εδώ θα κάνουμε χωρίς παραδείγματα.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι η πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρους τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο περίπλοκη (λίγο λίγο) από αυτές που δίνονται.

Θυμάμαι, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κυριαρχήστε τη λύση χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στο βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο μια ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την Εξίσωση

Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2

Εύρεση του διαχωριστικού:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση του θεωρήματος Vieta.

Αν θυμάστε, τότε υπάρχει ένας τέτοιος τύπος εξισώσεων που ονομάζονται μειωμένες (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Το άθροισμα των ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την Εξίσωση

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν είναι:

Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την Εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την Εξίσωση

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, επιπλέον.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ένα - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Διότι αν, η εξίσωση θα γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την εξίσωση κοπράνων ονομάζεται ημιτελής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, θα αναλύσουμε τις μεθόδους επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:

I. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα εξετάστε τη λύση καθενός από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας αριθμός στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να γράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το κενό εικονίδιο συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρίσκουμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Προσέξατε τη ρίζα του διακριτικού στον τύπο ρίζας; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα:
• Αν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η οποία είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα x (άξονα). Η παραβολή μπορεί να μην διασχίζει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή σε δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, και αν - τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Η χρήση του θεωρήματος Vieta είναι πολύ εύκολη: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν είναι:

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο, και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το άθροισμα είναι?
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Λύση:

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και μετά ελέγχουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνω συνολικά.

και: δίνω συνολικά. Για να το αποκτήσετε, απλά πρέπει να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το προϊόν.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών - αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Άρα το άθροισμα των ριζών είναι διαφορές των ενοτήτων τους.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι - δεν είναι κατάλληλη.

και: - ακατάλληλο.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, τότε η ρίζα, που είναι μικρότερη σε απόλυτη τιμή, πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, καθορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο ρίζες και είναι κατάλληλα για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες είναι μείον.

Επιλέγουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό - να εφεύρουμε ρίζες από το στόμα, αντί να μετράμε αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να είναι επικερδής η χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, λύστε άλλα πέντε παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις για εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το προϊόν:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το γινόμενο είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν έπρεπε, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι;

Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Ναι, σταματήστε! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να φέρεις την εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να το αναφέρετε, αφήστε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να φέρετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή προπορευόμενου ίσο με:

Εξοχος. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο.

Είναι πιο εύκολο να το μαζέψεις εδώ: τελικά - έναν πρώτο αριθμό (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός. Τι το ιδιαίτερο έχει; Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών ζωδίων. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά μεταξύ των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το γινόμενο.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με ένα μείον. Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με ένα μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Εάν η εξίσωση δεν δίνεται ή δεν βρέθηκε κατάλληλο ζεύγος παραγόντων του ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ακέραιες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διαχωριστή).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται ως όροι από τους τύπους του συντετμημένου πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αλλαγή των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ημιτελής τετραγωνική εξίσωση του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Είναι η διάκριση! Ακριβώς έτσι προέκυψε ο τύπος διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν είναι ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση έχει τη μορφή: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Εκφράστε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση της διάκρισης

1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: ,

2) Υπολογίστε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης (εξίσωση της μορφής, όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ένα.

2.3. Πλήρες τετράγωνο λύση

Οποιαδήποτε πλήρης τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0μπορεί να έλθει στο μυαλό x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, αν πρώτα διαιρέσουμε κάθε όρο με τον συντελεστή a πριν x2. Και αν εισάγουμε νέα σημειογραφία (β/α) = σελκαι (γ/α) = q, τότε θα έχουμε την εξίσωση x 2 + px + q = 0, που στα μαθηματικά ονομάζεται μειωμένη τετραγωνική εξίσωση.

Οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης και οι συντελεστές Πκαι qδιασυνδεδεμένες. Είναι επιβεβαιωμένο Το θεώρημα του Βιέτα, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα, ο οποίος έζησε στα τέλη του 16ου αιώνα.

Θεώρημα. Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 + px + q = 0ίσο με τον δεύτερο συντελεστή Π, που λαμβάνονται με το αντίθετο πρόσημο, και το προϊόν των ριζών - στον ελεύθερο όρο q.

Γράφουμε αυτούς τους λόγους με την ακόλουθη μορφή:

Αφήνω x 1και x2διάφορες ρίζες της ανηγμένης εξίσωσης x 2 + px + q = 0. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta x1 + x2 = -pκαι x 1 x 2 = q.

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας αντικαταστήσουμε καθεμία από τις ρίζες x 1 και x 2 στην εξίσωση. Παίρνουμε δύο αληθινές ισότητες:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη ισότητα. Παίρνουμε:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Επεκτείνουμε τους δύο πρώτους όρους σύμφωνα με τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Κατά συνθήκη, οι ρίζες x 1 και x 2 είναι διαφορετικές. Επομένως, μπορούμε να μειώσουμε την ισότητα κατά (x 1 - x 2) ≠ 0 και να εκφράσουμε p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Η πρώτη ισότητα αποδεικνύεται.

Για να αποδείξουμε τη δεύτερη ισότητα, αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 αντί του συντελεστή p, ο ίσος αριθμός του είναι (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Μετασχηματίζοντας την αριστερή πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, που έπρεπε να αποδειχτεί.

Το θεώρημα του Vieta είναι καλό γιατί, Ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα και το γινόμενο τους .

Το θεώρημα του Vieta βοηθά στον προσδιορισμό των ακέραιων ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης. Αλλά για πολλούς μαθητές, αυτό προκαλεί δυσκολίες λόγω του γεγονότος ότι δεν γνωρίζουν έναν σαφή αλγόριθμο δράσης, ειδικά αν οι ρίζες της εξίσωσης έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Έτσι, η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 + px + q \u003d 0, όπου x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της. Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta x 1 + x 2 = -p και x 1 x 2 = q.

Μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα.

Αν στην εξίσωση του τελευταίου όρου προηγείται το αρνητικό πρόσημο, τότε οι ρίζες x 1 και x 2 έχουν διαφορετικά πρόσημα. Επιπλέον, το πρόσημο της μικρότερης ρίζας είναι το ίδιο με το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή στην εξίσωση.

Με βάση το γεγονός ότι κατά την πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα, οι ενότητες τους αφαιρούνται και το πρόσημο του μεγαλύτερου αριθμού τοποθετείται μπροστά από το αποτέλεσμα, θα πρέπει να προχωρήσετε ως εξής:

1. Να προσδιορίσετε τέτοιους παράγοντες του αριθμού q έτσι ώστε η διαφορά τους να είναι ίση με τον αριθμό p.
2. βάλτε το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή της εξίσωσης μπροστά από τον μικρότερο από τους ληφθέντες αριθμούς. η δεύτερη ρίζα θα έχει το αντίθετο πρόσημο.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση x 2 - 2x - 15 = 0.

Λύση.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους κανόνες που προτείνονται παραπάνω. Τότε μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι αυτή η εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές ρίζες, γιατί D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Τώρα, από όλους τους συντελεστές του αριθμού 15 (1 και 15, 3 και 5), επιλέγουμε αυτούς που η διαφορά τους είναι ίση με 2. Αυτοί θα είναι οι αριθμοί 3 και 5. Βάζουμε πρόσημο μείον μπροστά από τον μικρότερο αριθμό , δηλ. το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή της εξίσωσης. Έτσι, παίρνουμε τις ρίζες της εξίσωσης x 1 \u003d -3 και x 2 \u003d 5.

Απάντηση. x 1 = -3 και x 2 = 5.

Παράδειγμα 2.

Λύστε την εξίσωση x 2 + 5x - 6 = 0.

Λύση.

Ας ελέγξουμε αν αυτή η εξίσωση έχει ρίζες. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τη διάκριση:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες.

Οι πιθανοί συντελεστές του αριθμού 6 είναι 2 και 3, 6 και 1. Η διαφορά είναι 5 για ένα ζευγάρι των 6 και 1. Σε αυτό το παράδειγμα, ο συντελεστής του δεύτερου όρου έχει πρόσημο συν, οπότε ο μικρότερος αριθμός θα έχει το ίδιο σημάδι. Αλλά πριν από τον δεύτερο αριθμό θα υπάρχει ένα σύμβολο μείον.

Απάντηση: x 1 = -6 και x 2 = 1.

Το θεώρημα του Vieta μπορεί επίσης να γραφτεί για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Αν λοιπόν η τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0έχει ρίζες x 1 και x 2 , τότε ικανοποιούν τις ισότητες

x 1 + x 2 = -(b/a)και x 1 x 2 = (c/a). Ωστόσο, η εφαρμογή αυτού του θεωρήματος στην πλήρη τετραγωνική εξίσωση είναι μάλλον προβληματική, αφού αν υπάρχουν ρίζες, τουλάχιστον μία από αυτές είναι κλασματικός αριθμός. Και η εργασία με την επιλογή των κλασμάτων είναι αρκετά δύσκολη. Αλλά και πάλι υπάρχει διέξοδος.

Θεωρήστε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της με τον συντελεστή a. Η εξίσωση θα πάρει τη μορφή (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Τώρα ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή, για παράδειγμα t = ax.

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση που προκύπτει μετατρέπεται σε μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση της μορφής t 2 + bt + ac = 0, οι ρίζες της οποίας t 1 και t 2 (αν υπάρχουν) μπορούν να προσδιοριστούν από το θεώρημα Vieta.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης θα είναι

x 1 = (t 1 / a) και x 2 = (t 2 / a).

Παράδειγμα 3.

Λύστε την εξίσωση 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Λύση.

Κάνουμε μια βοηθητική εξίσωση. Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης επί 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Κάνουμε την αλλαγή t = 15x. Εχουμε:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, οι ρίζες αυτής της εξίσωσης θα είναι t 1 = 5 και t 2 = 6.

Επιστρέφουμε στην αντικατάσταση t = 15x:

5 = 15x ή 6 = 15x. Έτσι x 1 = 5/15 και x 2 = 6/15. Μειώνουμε και παίρνουμε την τελική απάντηση: x 1 = 1/3 και x 2 = 2/5.

Απάντηση. x 1 = 1/3 και x 2 = 2/5.

Για να κατακτήσουν τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, οι μαθητές πρέπει να εξασκηθούν όσο το δυνατόν περισσότερο. Αυτό ακριβώς είναι το μυστικό της επιτυχίας.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Πριν προχωρήσουμε στο θεώρημα του Vieta, εισάγουμε έναν ορισμό. Τετραγωνική εξίσωση της μορφής Χ² + px + qΤο = 0 λέγεται μειωμένο. Σε αυτή την εξίσωση, ο κύριος συντελεστής είναι ίσος με ένα. Για παράδειγμα, η εξίσωση Χ² - 3 Χ- 4 = 0 μειώνεται. Οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση της μορφής τσεκούρι² + β Χ + ντοΤο = 0 μπορεί να γίνει μειωμένο, για αυτό διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με ένα≠ 0. Για παράδειγμα, η εξίσωση 4 Χ² + 4 Χ- 3 \u003d 0 διαιρούμενο με 4 μειώνεται στη μορφή: Χ² + Χ- 3/4 = 0. Εξάγουμε τον τύπο για τις ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης, για αυτό χρησιμοποιούμε τον τύπο για τις ρίζες μιας γενικής τετραγωνικής εξίσωσης: τσεκούρι² + bx + ντο = 0

Μειωμένη εξίσωση Χ² + px + q= 0 συμπίπτει με μια γενική εξίσωση στην οποία ένα = 1, σι = Π, ντο = q.Επομένως, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, ο τύπος παίρνει τη μορφή:

η τελευταία έκφραση ονομάζεται τύπος των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης, είναι ιδιαίτερα βολικό να χρησιμοποιηθεί αυτός ο τύπος όταν R- Ζυγός αριθμός. Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση Χ² - 14 Χ — 15 = 0

Σε απάντηση, γράφουμε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Για ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση με θετική, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.

Το θεώρημα του Βιέτα

Αν ένα Χ 1 και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης Χ² + px + q= 0, τότε οι τύποι είναι έγκυροι:

Χ 1 + Χ 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q,δηλαδή το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Με βάση τον τύπο των ριζών της παραπάνω τετραγωνικής εξίσωσης, έχουμε:

Προσθέτοντας αυτές τις ισότητες, παίρνουμε: Χ 1 + Χ 2 = —R.

Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις ισότητες, χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων, παίρνουμε:

Σημειώστε ότι το θεώρημα Vieta ισχύει επίσης όταν η διάκριση είναι μηδέν, αν υποθέσουμε ότι στην περίπτωση αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ίδιες ρίζες: Χ 1 = Χ 2 = — R/2.

Μη επίλυση εξισώσεων Χ² - 13 Χ+ 30 = 0 βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του Χ 1 και Χ 2. αυτή η εξίσωση ρε\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, ώστε να μπορείτε να εφαρμόσετε το θεώρημα Vieta: Χ 1 + Χ 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Εξετάστε μερικά ακόμη παραδείγματα. Μία από τις ρίζες της εξίσωσης Χ² — px- 12 = 0 είναι Χ 1 = 4. Βρείτε συντελεστή Rκαι δεύτερη ρίζα Χ 2 αυτής της εξίσωσης. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta x 1 * x 2 =— 12, Χ 1 + Χ 2 = — R.Επειδή Χ 1 = 4 και μετά 4 Χ 2 = - 12, εξ ου και Χ 2 = — 3, R = — (Χ 1 + Χ 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Σε απάντηση, γράφουμε τη δεύτερη ρίζα Χ 2 = - 3, συντελεστής p = - 1.

Μη επίλυση εξισώσεων Χ² + 2 Χ- 4 = 0 βρείτε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών του. Αφήνω Χ 1 και Χ 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta Χ 1 + Χ 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Επειδή Χ 1²+ Χ 2² = ( Χ 1 + Χ 2)² - 2 Χ 1 Χ 2, λοιπόν Χ 1²+ Χ 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 3 Χ² + 4 Χ- 5 \u003d 0. Αυτή η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες, από τη διάκριση ρε= 16 + 4*3*5 > 0. Για να λύσουμε την εξίσωση, χρησιμοποιούμε το θεώρημα Vieta. Αυτό το θεώρημα έχει αποδειχθεί για την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση. Ας διαιρέσουμε λοιπόν αυτή την εξίσωση με το 3.

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι -4/3 και το γινόμενο τους είναι -5/3.

Γενικά οι ρίζες της εξίσωσης τσεκούρι² + β Χ + ντο= 0 σχετίζονται με τις ακόλουθες ισότητες: Χ 1 + Χ 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Για να λάβουμε αυτούς τους τύπους, αρκεί να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης με ένα ≠ 0 και εφαρμόστε το θεώρημα του Vieta στην ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει. Εξετάστε ένα παράδειγμα, πρέπει να συνθέσετε μια δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, οι ρίζες της οποίας Χ 1 = 3, Χ 2 = 4. Επειδή Χ 1 = 3, Χ 2 = 4 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ² + px + q= 0, τότε από το θεώρημα Vieta R = — (Χ 1 + Χ 2) = — 7, q = Χ 1 Χ 2 = 12. Σε απάντηση, γράφουμε Χ² - 7 Χ+ 12 = 0. Το παρακάτω θεώρημα χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.

Αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα του Βιέτα

Αν αριθμοί R, q, Χ 1 , Χ 2 είναι τέτοια που Χ 1 + Χ 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, έπειτα x 1και x2είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ² + px + q= 0. Αντικατάσταση στην αριστερή πλευρά Χ² + px + qαντί Rέκφραση - ( Χ 1 + Χ 2), αλλά αντίθετα q- δουλειά x 1 * x 2 .Παίρνουμε: Χ² + px + q = Χ² — ( Χ 1 + Χ 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2).Έτσι, αν οι αριθμοί R, q, Χ 1 και Χ 2 σχετίζονται με αυτές τις σχέσεις, τότε για όλους Χισότητα Χ² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),από το οποίο προκύπτει ότι Χ 1 και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης Χ² + px + q= 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αντίστροφα προς το θεώρημα του Vieta, μερικές φορές είναι δυνατό να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με επιλογή. Εξετάστε ένα παράδειγμα, Χ² - 5 Χ+ 6 = 0. Εδώ R = — 5, q= 6. Επιλέξτε δύο αριθμούς Χ 1 και Χ 2 έτσι ώστε Χ 1 + Χ 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Σημειώνοντας ότι 6 = 2 * 3, και 2 + 3 = 5, από το θεώρημα που αντιστρέφεται με το θεώρημα του Vieta, προκύπτει ότι Χ 1 = 2, Χ 2 = 3 - ρίζες της εξίσωσης Χ² - 5 Χ + 6 = 0.