Εξίσωση ενός αεροπλάνου. Πώς να γράψετε μια εξίσωση ενός επιπέδου;
Αμοιβαία τακτοποίησηαεροπλάνα. Καθήκοντα

Η χωρική γεωμετρία δεν είναι πολύ πιο περίπλοκη από την «επίπεδη» γεωμετρία και οι πτήσεις μας στο διάστημα ξεκινούν με αυτό το άρθρο. Για να κατακτήσετε το θέμα, πρέπει να έχετε καλή κατανόηση φορείς, επιπλέον, είναι σκόπιμο να εξοικειωθείτε με τη γεωμετρία του αεροπλάνου - θα υπάρχουν πολλές ομοιότητες, πολλές αναλογίες, οπότε οι πληροφορίες θα αφομοιωθούν πολύ καλύτερα. Σε μια σειρά μαθημάτων μου, ο δισδιάστατος κόσμος ανοίγει με ένα άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Τώρα όμως ο Μπάτμαν άφησε την επίπεδη οθόνη της τηλεόρασης και ξεκινά από το κοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ.

Ας ξεκινήσουμε με σχέδια και σύμβολα. Σχηματικά, το επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί με τη μορφή παραλληλογράμμου, το οποίο δημιουργεί την εντύπωση του χώρου:

Το αεροπλάνο είναι άπειρο, αλλά έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα κομμάτι του. Στην πράξη, εκτός από το παραλληλόγραμμο, σχεδιάζεται και ένα οβάλ ή και ένα σύννεφο. Για τεχνικούς λόγους, είναι πιο βολικό για μένα να απεικονίσω το αεροπλάνο ακριβώς με αυτόν τον τρόπο και σε αυτήν ακριβώς τη θέση. Πραγματικά αεροπλάνα στα οποία θα εξετάσουμε πρακτικά παραδείγματα, μπορεί να τοποθετηθεί με οποιονδήποτε τρόπο - πάρτε νοερά το σχέδιο στα χέρια σας και περιστρέψτε το στο κενό, δίνοντας στο αεροπλάνο οποιαδήποτε κλίση, οποιαδήποτε γωνία.

Ονομασίες: τα αεροπλάνα συνήθως σημειώνονται με μικρά ελληνικά γράμματα, προφανώς για να μην τα συγχέουμε με ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδοή με ευθεία γραμμή στο χώρο. Έχω συνηθίσει να χρησιμοποιώ το γράμμα. Στο σχέδιο είναι το γράμμα «σίγμα» και καθόλου τρύπα. Αν και το αεροπλάνο είναι σίγουρα πολύ αστείο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τα ίδια σύμβολα για να ορίσετε επίπεδα. ελληνικά γράμματαμε δείκτες, για παράδειγμα, .

Είναι προφανές ότι το επίπεδο ορίζεται μοναδικά από τρία διαφορετικά σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως, οι ονομασίες των αεροπλάνων με τρία γράμματα είναι αρκετά δημοφιλείς - από τα σημεία που ανήκουν σε αυτά, για παράδειγμα, κ.λπ. Συχνά τα γράμματα περικλείονται σε παρένθεση: , για να μην συγχέουμε το επίπεδο με ένα άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Για έμπειρους αναγνώστες θα δώσω μενού γρήγορης πρόσβασης:

• Πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα σημείο και δύο διανύσματα;
• Πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και δεν θα μαραζώσουμε μεγάλες αναμονές:

Γενική εξίσωση επιπέδου

Η γενική εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή , όπου οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με το μηδέν ταυτόχρονα.

Ένας αριθμός θεωρητικών υπολογισμών και πρακτικών προβλημάτων ισχύουν τόσο για τη συνήθη ορθοκανονική βάση όσο και για συγγενική βάση space (αν το λάδι είναι λάδι, επιστρέψτε στο μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων). Για απλότητα, θα υποθέσουμε ότι όλα τα γεγονότα συμβαίνουν σε μια ορθοκανονική βάση και ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Τώρα ας εξασκηθούμε λίγο χωρική φαντασία. Δεν πειράζει αν το δικό σας είναι κακό, τώρα θα το αναπτύξουμε λίγο. Ακόμα και το να παίζεις με νεύρα θέλει προπόνηση.

Στο πολύ γενική περίπτωση, όταν οι αριθμοί δεν είναι μηδέν, το επίπεδο τέμνει και τους τρεις άξονες συντεταγμένων. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Επαναλαμβάνω για άλλη μια φορά ότι το αεροπλάνο συνεχίζει επ 'αόριστον προς όλες τις κατευθύνσεις, και έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα μέρος του.

Ας εξετάσουμε τις απλούστερες εξισώσεις των επιπέδων:

Πώς να κατανοήσετε αυτή την εξίσωση; Σκεφτείτε το: Το "Z" είναι ΠΑΝΤΑ ίσο με μηδέν, για οποιεσδήποτε τιμές του "X" και "Y". Αυτή η εξίσωση είναι "εγγενής" επίπεδο συντεταγμένων. Πράγματι, τυπικά η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , από όπου μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα ότι δεν μας ενδιαφέρει ποιες τιμές παίρνουν το "x" και το "y", είναι σημαντικό το "z" να είναι ίσο με μηδέν.

Επίσης:
– εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.
– εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.

Ας περιπλέκουμε λίγο το πρόβλημα, θεωρούμε ένα επίπεδο (εδώ και πιο πέρα ​​στην παράγραφο υποθέτουμε ότι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν). Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή: . Πώς να το καταλάβετε; Το "X" είναι ΠΑΝΤΑ, για οποιεσδήποτε τιμές των "y" και "z", ίσες με έναν ορισμένο αριθμό. Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο είναι παράλληλο σε ένα επίπεδο και διέρχεται από ένα σημείο.

Επίσης:
– εξίσωση ενός επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.
– εξίσωση επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Ας προσθέσουμε μέλη: . Η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , δηλαδή, το "zet" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Τι σημαίνει? Το "X" και το "Y" συνδέονται με τη σχέση, η οποία τραβάει μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή στο επίπεδο (θα μάθετε εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο?). Δεδομένου ότι το "z" μπορεί να είναι οποιοδήποτε, αυτή η ευθεία γραμμή "αντιγράφεται" σε οποιοδήποτε ύψος. Έτσι, η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων

Επίσης:
– εξίσωση επιπέδου που είναι παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων.
– εξίσωση επιπέδου που είναι παράλληλο στον άξονα συντεταγμένων.

Εάν οι ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, τότε τα επίπεδα θα διέρχονται απευθείας από τους αντίστοιχους άξονες. Για παράδειγμα, η κλασική «άμεση αναλογικότητα»: . Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο και πολλαπλασιάστε την νοερά πάνω-κάτω (καθώς το "Z" είναι οποιοδήποτε). Συμπέρασμα: το επίπεδο που ορίζεται από την εξίσωση διέρχεται από τον άξονα συντεταγμένων.

Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση: η εξίσωση του επιπέδου διέρχεται από την καταγωγή. Λοιπόν, εδώ είναι προφανές ότι το σημείο ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση.

Και τέλος, η περίπτωση που φαίνεται στο σχέδιο: - το αεροπλάνο είναι φίλος με όλους άξονες συντεταγμένων, ενώ πάντα «κόβει» το τρίγωνο, το οποίο μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα οκτώ οκτάρια.

Γραμμικές ανισότητες στο χώρο

Για να κατανοήσετε τις πληροφορίες πρέπει να μελετήσετε καλά γραμμικές ανισώσεις στο επίπεδο, γιατί πολλά πράγματα θα είναι παρόμοια. Η παράγραφος θα έχει σύντομη επισκόπηση με αρκετά παραδείγματα, καθώς το υλικό είναι αρκετά σπάνιο στην πράξη.

Αν η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο, τότε οι ανισώσεις
παρακαλώ ημιδιαστήματα. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (οι δύο τελευταίες της λίστας), τότε η λύση της ανισότητας, εκτός από το μισό διάστημα, περιλαμβάνει και το ίδιο το επίπεδο.

Παράδειγμα 5

Εύρεση μονάδας κανονικό διάνυσμαεπίπεδο .

Λύση: Μοναδικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ένα. Ας υποδηλώσουμε δεδομένο διάνυσμαμέσω . Είναι απολύτως σαφές ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά:

Αρχικά, αφαιρούμε το κανονικό διάνυσμα από την εξίσωση του επιπέδου: .

Πως να βρεις μονάδα διάνυσμα? Για να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα, χρειάζεστε κάθεδιαιρέστε τη συντεταγμένη του διανύσματος με το μήκος του διανύσματος.

Ας ξαναγράψουμε το κανονικό διάνυσμα στη φόρμα και ας βρούμε το μήκος του:

Συμφωνα με τα ΠΑΡΑΠΑΝΩ:

Απάντηση:

Επαλήθευση: τι έπρεπε να επαληθευτεί.

Οι αναγνώστες που μελέτησαν προσεκτικά την τελευταία παράγραφο του μαθήματος μάλλον το παρατήρησαν αυτό οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος είναι ακριβώς τα συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος:

Ας κάνουμε ένα διάλειμμα από το πρόβλημα: όταν σας δίνεται ένα αυθαίρετο μη μηδενικό διάνυσμα, και σύμφωνα με την συνθήκη απαιτείται να βρεθούν τα συνημίτονα κατεύθυνσής του (βλ. τα τελευταία προβλήματα του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων), τότε στην πραγματικότητα βρίσκετε ένα μοναδιαίο διάνυσμα συγγραμμικό με αυτό. Στην πραγματικότητα δύο εργασίες σε ένα μπουκάλι.

Η ανάγκη εύρεσης του μοναδιαίου κανονικού διανύσματος προκύπτει σε ορισμένα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης.

Καταλάβαμε πώς να ψαρέψουμε ένα κανονικό διάνυσμα, τώρα ας απαντήσουμε στην αντίθετη ερώτηση:

Πώς να δημιουργήσετε μια εξίσωση ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Αυτή η άκαμπτη κατασκευή ενός κανονικού διανύσματος και ενός σημείου είναι πολύ γνωστή στο βελάκι. Τεντώστε το χέρι σας προς τα εμπρός και επιλέξτε νοερά ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο, για παράδειγμα, μια μικρή γάτα στον μπουφέ. Προφανώς, μέσα από αυτό το σημείο μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο χέρι σας.

Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο διάνυσμα εκφράζεται με τον τύπο:

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Δηλώνοντας τα διανύσματα ακτίνας τους με και το διάνυσμα ακτίνας ρεύματος με , μπορούμε εύκολα να λάβουμε την απαιτούμενη εξίσωση σε διανυσματική μορφή. Στην πραγματικότητα, τα διανύσματα πρέπει να είναι ομοεπίπεδα (βρίσκονται όλα στο επιθυμητό επίπεδο). Επομένως, το διανυσματικό βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων πρέπει να είναι ίσο με μηδέν:

Αυτή είναι η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, σε διανυσματική μορφή.

Προχωρώντας στις συντεταγμένες, παίρνουμε την εξίσωση σε συντεταγμένες:

Εάν τρία δεδομένα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε τα διανύσματα θα ήταν συγγραμμικά. Επομένως, τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο τελευταίων γραμμών της ορίζουσας στην εξίσωση (18) θα ήταν ανάλογα και η ορίζουσα θα ήταν πανομοιότυπα ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, η εξίσωση (18) θα γίνει πανομοιότυπη για οποιεσδήποτε τιμές των x, y και z. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι από κάθε σημείο του χώρου διέρχεται ένα επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα τρία δεδομένα.

Παρατήρηση 1. Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση διανυσμάτων.

Δηλώνοντας τις συντεταγμένες των τριών δεδομένων σημείων, αντίστοιχα, γράφουμε την εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου που διέρχεται από το πρώτο σημείο:

Για να ληφθεί η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου, είναι απαραίτητο να απαιτηθεί ότι η εξίσωση (17) ικανοποιείται από τις συντεταγμένες δύο άλλων σημείων:

Από τις εξισώσεις (19), είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η αναλογία δύο συντελεστών προς τον τρίτο και να εισαγάγετε τις τιμές που βρέθηκαν στην εξίσωση (17).

Παράδειγμα 1. Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία.

Η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το πρώτο από αυτά τα σημεία θα είναι:

Οι συνθήκες για να περάσει το επίπεδο (17) από δύο άλλα σημεία και το πρώτο σημείο είναι:

Προσθέτοντας τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη, βρίσκουμε:

Αντικαθιστώντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (17) αντί των A, B, C, αντίστοιχα, 1, 5, -4 (αριθμοί ανάλογοι με αυτούς), παίρνουμε:

Παράδειγμα 2. Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Η εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου που διέρχεται από το σημείο (0, 0, 0) θα είναι]

Οι συνθήκες για τη διέλευση αυτού του επιπέδου από τα σημεία (1, 1, 1) και (2, 2, 2) είναι:

Μειώνοντας τη δεύτερη εξίσωση κατά 2, βλέπουμε ότι για τον προσδιορισμό δύο αγνώστων, υπάρχει μία εξίσωση με

Από εδώ παίρνουμε . Τώρα αντικαθιστώντας την τιμή του επιπέδου στην εξίσωση, βρίσκουμε:

Αυτή είναι η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου. εξαρτάται από αυθαίρετο

ποσότητες Β, Γ (δηλαδή, από την αναλογία, δηλ. υπάρχει αμέτρητοςεπίπεδα που διέρχονται από τρία δεδομένα σημεία (τρία δεδομένα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία).

Παρατήρηση 2. Το πρόβλημα της σχεδίασης ενός επιπέδου μέσω τριών δεδομένων σημείων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία λύνεται εύκολα σε γενική εικόνα, αν χρησιμοποιήσουμε ορίζουσες. Πράγματι, εφόσον στις εξισώσεις (17) και (19) οι συντελεστές A, B, C δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, τότε, θεωρώντας αυτές τις εξισώσεις ως ομοιογενές σύστημαμε τρία άγνωστα Α, Β, Γ, γράψε τα απαραίτητα και επαρκής κατάστασηύπαρξη μη μηδενικής λύσης σε αυτό το σύστημα (Μέρος 1, Κεφάλαιο VI, § 6):

Έχοντας επεκτείνει αυτήν την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, λαμβάνουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες συντεταγμένες, η οποία θα ικανοποιηθεί, ειδικότερα, από τις συντεταγμένες των τριών δεδομένων σημείων.

Μπορείτε επίσης να επαληθεύσετε αυτό το τελευταίο απευθείας αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες οποιουδήποτε από αυτά τα σημεία αντί για . Στην αριστερή πλευρά παίρνουμε μια ορίζουσα στην οποία είτε τα στοιχεία της πρώτης σειράς είναι μηδενικά είτε υπάρχουν δύο ίδιες σειρές. Έτσι, η εξίσωση που κατασκευάστηκε αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο που διέρχεται από τα τρία δεδομένα σημεία.

Για να τραβηχτεί ένα μόνο επίπεδο μέσα από οποιαδήποτε τρία σημεία του χώρου, είναι απαραίτητο αυτά τα σημεία να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Θεωρήστε τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) γενικά Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες

Ωστε να αυθαίρετο σημείοΤο M(x, y, z) βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τα σημεία M 1, M 2, M 3, είναι απαραίτητο τα διανύσματα να είναι ομοεπίπεδα.

(
) = 0

Ετσι,

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Εξίσωση ενός επιπέδου με δύο σημεία και ένα διάνυσμα συγγραμμικό με το επίπεδο.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) και το διάνυσμα
.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα δεδομένα σημεία M 1 και M 2 και ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y, z) παράλληλο στο διάνυσμα .

Διανύσματα
και διάνυσμα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη, δηλ.

(
) = 0

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί ένα σημείο και δύο διανύσματα,

ευθύγραμμο προς το επίπεδο.

Έστω δύο διανύσματα
Και
, συγγραμμικά επίπεδα. Στη συνέχεια, για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, τα διανύσματα
πρέπει να είναι ομοεπίπεδη.

Επίπεδη εξίσωση:

Εξίσωση επιπέδου προς σημείο και κανονικό διάνυσμα .

Θεώρημα. Αν στο διάστημα δίνεται σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0 ), τότε η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Μ 0 κάθετο στο κανονικό διάνυσμα (ΕΝΑ, σι, ντο) έχει τη μορφή:

ΕΝΑ(Χ – Χ 0 ) + σι(y – y 0 ) + ντο(z – z 0 ) = 0.

Απόδειξη. Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x, y, z) που ανήκει στο επίπεδο, συνθέτουμε ένα διάνυσμα. Επειδή διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα, τότε είναι κάθετο στο επίπεδο και, επομένως, κάθετο στο διάνυσμα
. Στη συνέχεια το βαθμωτό γινόμενο

= 0

Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση Ax + Bi + Cz + D = 0 διαιρούμε και τις δύο πλευρές με (-D)

,

αντικαθιστώντας
, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα:

Οι αριθμοί a, b, c είναι τα σημεία τομής του επιπέδου με τους άξονες x, y, z, αντίστοιχα.

Εξίσωση επιπέδου σε διανυσματική μορφή.

Οπου

- διάνυσμα ακτίνας του τρέχοντος σημείου M(x, y, z),

Ένα μοναδιαίο διάνυσμα που έχει τη διεύθυνση μιας κάθετης πέσει σε ένα επίπεδο από την αρχή.

,  και  είναι οι γωνίες που σχηματίζει αυτό το διάνυσμα με τους άξονες x, y, z.

p είναι το μήκος αυτής της καθέτου.

Σε συντεταγμένες, αυτή η εξίσωση μοιάζει με:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Απόσταση από σημείο σε επίπεδο.

Η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο M 0 (x 0, y 0, z 0) μέχρι το επίπεδο Ax+By+Cz+D=0 είναι:

Παράδειγμα.Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4; -3; 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Άρα Α = 4/13; Β = -3/13; C = 12/13, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από δύο σημεία P(2; 0; -1) και

Q(1; -1; 3) κάθετο στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0.

Κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο 3x + 2y – z + 5 = 0
παράλληλα με το επιθυμητό επίπεδο.

Παίρνουμε:

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία Α(2, -1, 4) και

B(3, 2, -1) κάθετα στο επίπεδο Χ + στο + 2z – 3 = 0.

Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: Α Χ+Β y+C z+ D = 0, κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο (Α, Β, Γ). Διάνυσμα
(1, 3, -5) ανήκει στο επίπεδο. Το επίπεδο που μας δίνεται, κάθετο στο επιθυμητό, ​​έχει κανονικό διάνυσμα (1, 1, 2). Επειδή Τα σημεία Α και Β ανήκουν και στα δύο επίπεδα, και τα επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα, λοιπόν

Άρα το κανονικό διάνυσμα (11, -7, -2). Επειδή Το σημείο Α ανήκει στο επιθυμητό επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση αυτού του επιπέδου, δηλ. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Συνολικά, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου: 11 Χ - 7y – 2z – 21 = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου, γνωρίζοντας ότι το σημείο P(4, -3, 12) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από την αρχή σε αυτό το επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος
= (4, -3, 12). Η απαιτούμενη εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή: 4 Χ – 3y + 12z+ D = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή D, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου P στην εξίσωση:

16 + 9 + 144 + D = 0

Συνολικά, παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση: 4 Χ – 3y + 12z – 169 = 0

Παράδειγμα.Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Βρείτε το μήκος της ακμής A 1 A 2.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ακμών A 1 A 2 και A 1 A 4.

Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ακμής A 1 A 4 και της όψης A 1 A 2 A 3.

Πρώτα βρίσκουμε το κανονικό διάνυσμα στο πρόσωπο A 1 A 2 A 3 ως διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων
Και
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Ας βρούμε τη γωνία μεταξύ του κανονικού και του διανύσματος
.

-4 – 4 = -8.

Η επιθυμητή γωνία  μεταξύ του διανύσματος και του επιπέδου θα είναι ίση με  = 90 0 - .

Βρείτε την περιοχή του προσώπου A 1 A 2 A 3.

Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας.

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου A 1 A 2 A 3.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Όταν χρησιμοποιείτε την έκδοση υπολογιστή " Ανώτερο μάθημα μαθηματικών” μπορείτε να εκτελέσετε ένα πρόγραμμα που θα λύσει το παραπάνω παράδειγμα για τυχόν συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας.

Για να ξεκινήσετε το πρόγραμμα, κάντε διπλό κλικ στο εικονίδιο:

Στο παράθυρο του προγράμματος που ανοίγει, πληκτρολογήστε τις συντεταγμένες των κορυφών της πυραμίδας και πατήστε Enter. Με αυτόν τον τρόπο, όλα τα σημεία απόφασης μπορούν να ληφθούν ένα προς ένα.

Σημείωση: Για να εκτελέσετε το πρόγραμμα, το πρόγραμμα Maple ( Waterloo Maple Inc.) οποιασδήποτε έκδοσης, ξεκινώντας από το MapleV Release 4, πρέπει να είναι εγκατεστημένο στον υπολογιστή σας.

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε πώς να χρησιμοποιήσουμε την ορίζουσα για τη δημιουργία εξίσωση επιπέδου. Εάν δεν ξέρετε τι είναι ο προσδιοριστής, μεταβείτε στο πρώτο μέρος του μαθήματος - "Πίνακες και ορίζοντες". Διαφορετικά, κινδυνεύετε να μην καταλάβετε τίποτα στο σημερινό υλικό.

Εξίσωση επιπέδου που χρησιμοποιεί τρία σημεία

Γιατί χρειαζόμαστε μια εξίσωση επιπέδου; Είναι απλό: γνωρίζοντας το, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε γωνίες, αποστάσεις και άλλα χάλια στο πρόβλημα C2. Γενικά, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αυτήν την εξίσωση. Επομένως, διατυπώνουμε το πρόβλημα:

Εργο. Δίνονται τρία σημεία στο χώρο που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι συντεταγμένες τους:

Μ = (x1, y 1, z 1);
Ν = (x2, y2, z2);
Κ = (x 3, y 3, z 3);

Πρέπει να δημιουργήσετε μια εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από αυτά τα τρία σημεία. Επιπλέον, η εξίσωση θα πρέπει να μοιάζει με:

Ax + By + Cz + D = 0

όπου οι αριθμοί A, B, C και D είναι οι συντελεστές που, στην πραγματικότητα, πρέπει να βρεθούν.

Λοιπόν, πώς να πάρετε την εξίσωση ενός επιπέδου εάν είναι γνωστές μόνο οι συντεταγμένες των σημείων; Ο ευκολότερος τρόπος είναι να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες στην εξίσωση Ax + By + Cz + D = 0. Παίρνετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων που μπορούν εύκολα να λυθούν.

Πολλοί μαθητές βρίσκουν αυτή τη λύση εξαιρετικά κουραστική και αναξιόπιστη. Η περσινή Εξέταση του Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά έδειξε ότι η πιθανότητα να γίνει υπολογιστικό λάθος είναι πραγματικά υψηλή.

Ως εκ τούτου, οι πιο προχωρημένοι δάσκαλοι άρχισαν να αναζητούν απλούστερες και πιο κομψές λύσεις. Και το βρήκαν! Είναι αλήθεια ότι η ληφθείσα υποδοχή μάλλον αναφέρεται ανώτερα μαθηματικά. Προσωπικά, έπρεπε να ψάξω σε ολόκληρη την Ομοσπονδιακή Λίστα σχολικών βιβλίων για να βεβαιωθώ ότι έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την τεχνική χωρίς καμία αιτιολόγηση ή απόδειξη.

Εξίσωση επιπέδου μέσω ορίζουσας

Αρκετά με τους στίχους, ας ασχοληθούμε. Αρχικά, ένα θεώρημα για το πώς σχετίζονται η ορίζουσα ενός πίνακα και η εξίσωση του επιπέδου.

Θεώρημα. Έστω οι συντεταγμένες τριών σημείων μέσω των οποίων πρέπει να συρθεί το επίπεδο: M = (x 1, y 1, z 1); Ν = (x2, y2, z2); K = (x 3, y 3, z 3). Τότε η εξίσωση αυτού του επιπέδου μπορεί να γραφτεί μέσω της ορίζουσας:

Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε ένα ζεύγος επιπέδων που παρουσιάζονται στην πραγματικότητα στα προβλήματα C2. Δείτε πόσο γρήγορα υπολογίζονται όλα:

Α 1 = (0, 0, 1);
Β = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Συνθέτουμε μια ορίζουσα και την εξισώνουμε με το μηδέν:

Επεκτείνουμε την ορίζουσα:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τον υπολογισμό του αριθμού d, «χτένισα» λίγο την εξίσωση έτσι ώστε οι μεταβλητές x, y και z να μπουν σωστή σειρά. Αυτό είναι όλο! Η εξίσωση του αεροπλάνου είναι έτοιμη!

Εργο. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία:

Α = (0, 0, 0);
Β1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Αντικαθιστούμε αμέσως τις συντεταγμένες των σημείων στην ορίζουσα:

Επεκτείνουμε ξανά την ορίζουσα:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Άρα, προκύπτει πάλι η εξίσωση του αεροπλάνου! Και πάλι, στο τελευταίο βήμα έπρεπε να αλλάξουμε τα σημάδια σε αυτό για να έχουμε μια πιο «όμορφη» φόρμουλα. Δεν είναι καθόλου απαραίτητο να το κάνετε αυτό σε αυτήν τη λύση, αλλά εξακολουθεί να συνιστάται - να απλοποιηθεί η περαιτέρω λύση του προβλήματος.

Όπως μπορείτε να δείτε, η σύνθεση της εξίσωσης ενός επιπέδου είναι πλέον πολύ πιο εύκολη. Αντικαθιστούμε τα σημεία στον πίνακα, υπολογίζουμε την ορίζουσα - και αυτό είναι, η εξίσωση είναι έτοιμη.

Αυτό θα μπορούσε να τελειώσει το μάθημα. Ωστόσο, πολλοί μαθητές ξεχνούν συνεχώς τι υπάρχει μέσα στην ορίζουσα. Για παράδειγμα, ποια γραμμή περιέχει x 2 ή x 3 και ποια γραμμή περιέχει μόνο x. Για να το ξεπεράσουμε αυτό, ας δούμε από πού προέρχεται κάθε αριθμός.

Από πού προέρχεται ο τύπος με την ορίζουσα;

Λοιπόν, ας καταλάβουμε από πού προέρχεται μια τόσο σκληρή εξίσωση με μια ορίζουσα. Αυτό θα σας βοηθήσει να το θυμάστε και να το εφαρμόσετε με επιτυχία.

Όλα τα επίπεδα που εμφανίζονται στο πρόβλημα Γ2 ορίζονται από τρία σημεία. Αυτά τα σημεία σημειώνονται πάντα στο σχέδιο ή υποδεικνύονται απευθείας στο κείμενο του προβλήματος. Σε κάθε περίπτωση, για να δημιουργήσουμε μια εξίσωση θα χρειαστεί να γράψουμε τις συντεταγμένες τους:

Μ = (x1, y 1, z 1);
Ν = (x2, y2, z2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Ας εξετάσουμε ένα άλλο σημείο στο αεροπλάνο μας με αυθαίρετες συντεταγμένες:

T = (x, y, z)

Πάρτε οποιοδήποτε σημείο από τα τρία πρώτα (για παράδειγμα, σημείο Μ) και σχεδιάστε διανύσματα από αυτό σε καθένα από τα τρία υπόλοιπα σημεία. Παίρνουμε τρία διανύσματα:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Τώρα ας συνθέσουμε από αυτά τα διανύσματα τετραγωνική μήτρακαι εξισώνουμε την ορίζουσα του με μηδέν. Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων θα γίνουν σειρές του πίνακα - και θα πάρουμε την ίδια την ορίζουσα που υποδεικνύεται στο θεώρημα:

Αυτός ο τύπος σημαίνει ότι ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται στα διανύσματα MN, MK και MT είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, και τα τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Συγκεκριμένα, ένα αυθαίρετο σημείο T = (x, y, z) είναι ακριβώς αυτό που ψάχναμε.

Αντικατάσταση σημείων και ευθειών μιας ορίζουσας

Οι ορίζοντες έχουν πολλές εξαιρετικές ιδιότητες που το κάνουν ακόμα πιο εύκολο λύση στο πρόβλημα Γ2. Για παράδειγμα, δεν μας ενδιαφέρει από ποιο σημείο αντλούμε τα διανύσματα. Επομένως, οι ακόλουθοι ορίζοντες δίνουν την ίδια εξίσωση επιπέδου με την παραπάνω:

Μπορείτε επίσης να αλλάξετε τις γραμμές της ορίζουσας. Η εξίσωση θα παραμείνει αμετάβλητη. Για παράδειγμα, σε πολλούς ανθρώπους αρέσει να γράφουν μια γραμμή με τις συντεταγμένες του σημείου T = (x; y; z) στην κορυφή. Παρακαλώ, εάν σας βολεύει:

Μερικοί άνθρωποι μπερδεύονται από το γεγονός ότι μία από τις γραμμές περιέχει μεταβλητές x, y και z, οι οποίες δεν εξαφανίζονται όταν αντικαθιστούν σημεία. Αλλά δεν πρέπει να εξαφανιστούν! Αντικαθιστώντας τους αριθμούς στην ορίζουσα, θα πρέπει να πάρετε αυτήν την κατασκευή:

Στη συνέχεια, η ορίζουσα επεκτείνεται σύμφωνα με το διάγραμμα που δίνεται στην αρχή του μαθήματος και προκύπτει η τυπική εξίσωση του επιπέδου:

Ax + By + Cz + D = 0

Ρίξτε μια ματιά σε ένα παράδειγμα. Είναι το τελευταίο στο σημερινό μάθημα. Θα ανταλλάξω σκόπιμα τις γραμμές για να βεβαιωθώ ότι η απάντηση θα δώσει την ίδια εξίσωση του αεροπλάνου.

Εργο. Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία:

Β1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Λοιπόν, εξετάζουμε 4 σημεία:

Β1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Αρχικά, ας δημιουργήσουμε μια τυπική ορίζουσα και ας την εξισώσουμε με το μηδέν:

Επεκτείνουμε την ορίζουσα:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Αυτό ήταν, πήραμε την απάντηση: x + y + z − 2 = 0.

Τώρα ας αναδιατάξουμε μερικές γραμμές στην ορίζουσα και ας δούμε τι συμβαίνει. Για παράδειγμα, ας γράψουμε μια γραμμή με τις μεταβλητές x, y, z όχι στο κάτω μέρος, αλλά στην κορυφή:

Επεκτείνουμε ξανά την προκύπτουσα ορίζουσα:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Πήραμε ακριβώς την ίδια εξίσωση επιπέδου: x + y + z − 2 = 0. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικά δεν εξαρτάται από τη σειρά των σειρών. Το μόνο που μένει είναι να γράψουμε την απάντηση.

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι η εξίσωση του επιπέδου δεν εξαρτάται από την ακολουθία των γραμμών. Μπορούμε να κάνουμε παρόμοιους υπολογισμούς και να αποδείξουμε ότι η εξίσωση του επιπέδου δεν εξαρτάται από το σημείο του οποίου τις συντεταγμένες αφαιρούμε από άλλα σημεία.

Στο πρόβλημα που εξετάστηκε παραπάνω, χρησιμοποιήσαμε το σημείο B 1 = (1, 0, 1), αλλά ήταν πολύ πιθανό να πάρουμε C = (1, 1, 0) ή D 1 = (0, 1, 1). Σε γενικές γραμμές, οποιοδήποτε σημείο από γνωστές συντεταγμένες, ξαπλωμένος στο επιθυμητό επίπεδο.

Σε αυτό το υλικό, θα δούμε πώς να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου εάν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες τριών διαφορετικών σημείων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Για να γίνει αυτό πρέπει να θυμόμαστε τι ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες σε τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, θα εισαγάγουμε τη βασική αρχή δεδομένη εξίσωσηκαι να σας δείξει πώς ακριβώς να το χρησιμοποιήσετε για να λύσετε συγκεκριμένα προβλήματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αρχικά, πρέπει να θυμηθούμε ένα αξίωμα, το οποίο ακούγεται ως εξής:

Ορισμός 1

Εάν τρία σημεία δεν συμπίπτουν μεταξύ τους και δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε στον τρισδιάστατο χώρο διέρχεται μόνο ένα επίπεδο από αυτά.

Με άλλα λόγια, αν έχουμε τρεις διαφορετικά σημεία, του οποίου οι συντεταγμένες δεν συμπίπτουν και οι οποίες δεν μπορούν να συνδεθούν με ευθεία γραμμή, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το επίπεδο που διέρχεται από αυτήν.

Ας πούμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Ας το συμβολίσουμε O x y z. Περιέχει τρία σημεία M με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), τα οποία δεν μπορούν να συνδεθούν ευθεία. Με βάση αυτές τις συνθήκες, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που χρειαζόμαστε. Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

1. Η πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιεί γενική εξίσωσηεπίπεδο. Σε μορφή γράμματος, γράφεται ως A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να ορίσετε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ένα συγκεκριμένο επίπεδο άλφα που διέρχεται από το πρώτο δεδομένο σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1). Αποδεικνύεται ότι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου α θα έχει συντεταγμένες A, B, C.

Ορισμός του Ν

Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος και τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται το επίπεδο, μπορούμε να γράψουμε τη γενική εξίσωση αυτού του επιπέδου.

Από αυτό θα προχωρήσουμε στο μέλλον.

Έτσι, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, έχουμε συντεταγμένες το επιθυμητό σημείο(έστω και τρία) από τα οποία διέρχεται το αεροπλάνο. Για να βρείτε την εξίσωση, πρέπει να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματός της. Ας το συμβολίσουμε n → .

Ας θυμηθούμε τον κανόνα: οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα ενός δεδομένου επιπέδου είναι κάθετο στο κανονικό διάνυσμα του ίδιου επιπέδου. Τότε έχουμε ότι το n → θα είναι κάθετο στα διανύσματα που αποτελούνται από τα αρχικά σημεία M 1 M 2 → και M 1 M 3 → . Τότε μπορούμε να συμβολίσουμε το n → ως διανυσματικό γινόμενο της μορφής M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Αφού M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) και M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (οι αποδείξεις αυτών των ισοτήτων δίνονται στο άρθρο που είναι αφιερωμένο στον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες των σημείων), τότε αποδεικνύεται ότι:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Αν υπολογίσουμε την ορίζουσα, θα λάβουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος n → που χρειαζόμαστε. Τώρα μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση που χρειαζόμαστε για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία δίνονται πόντους.

2. Η δεύτερη προσέγγιση για την εύρεση της εξίσωσης που διέρχεται από M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), βασίζεται σε μια έννοια όπως η συνεπίπεδη διανυσμάτων.

Αν έχουμε ένα σύνολο σημείων M (x, y, z), τότε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ορίζουν ένα επίπεδο για δεδομένα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) μόνο στην περίπτωση που τα διανύσματα M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) και M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) θα είναι ομοεπίπεδα .

Στο διάγραμμα θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό θα σημαίνει ότι το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → θα είναι ίσο με μηδέν: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , αφού αυτή είναι η κύρια συνθήκη της ομοεπίπεδης: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) και M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Ας γράψουμε την εξίσωση που προκύπτει σε μορφή συντεταγμένων:

Αφού υπολογίσουμε την ορίζουσα, μπορούμε να λάβουμε την εξίσωση επιπέδου που χρειαζόμαστε για τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Από την εξίσωση που προκύπτει μπορεί κανείς να πάει στην εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα ή σε κανονική εξίσωσηαεροπλάνο, εάν οι συνθήκες του προβλήματος το απαιτούν.

Στην επόμενη παράγραφο θα δώσουμε παραδείγματα για το πώς εφαρμόζονται στην πράξη οι προσεγγίσεις που υποδείξαμε.

Παραδείγματα προβλημάτων για τη σύνθεση εξίσωσης επιπέδου που διέρχεται από 3 σημεία

Προηγουμένως, εντοπίσαμε δύο προσεγγίσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε την επιθυμητή εξίσωση. Ας δούμε πώς χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων και πότε πρέπει να επιλέξετε το καθένα.

Παράδειγμα 1

Υπάρχουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, με συντεταγμένες M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Να γράψετε μια εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από αυτά.

Λύση

Χρησιμοποιούμε και τις δύο μεθόδους εναλλάξ.

1. Βρείτε τις συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων που χρειαζόμαστε M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Τώρα ας υπολογίσουμε το διανυσματικό γινόμενο τους. Δεν θα περιγράψουμε τους υπολογισμούς της ορίζουσας:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Έχουμε ένα κανονικό διάνυσμα του επιπέδου που διέρχεται από τα τρία απαιτούμενα σημεία: n → = (- 5, 30, 2) . Στη συνέχεια, πρέπει να πάρουμε ένα από τα σημεία, για παράδειγμα, M 1 (- 3, 2, - 1) και να γράψουμε την εξίσωση για το επίπεδο με διάνυσμα n → = (- 5, 30, 2). Παίρνουμε ότι: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Αυτή είναι η εξίσωση που χρειαζόμαστε για ένα επίπεδο που διέρχεται από τρία σημεία.

2. Ας ακολουθήσουμε μια διαφορετική προσέγγιση. Ας γράψουμε την εξίσωση για ένα επίπεδο με τρία σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) σε την παρακάτω φόρμα:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Εδώ μπορείτε να αντικαταστήσετε δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος. Αφού x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, στο τέλος παίρνουμε:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Πήραμε την εξίσωση που χρειαζόμασταν.

Απάντηση:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Τι γίνεται όμως αν τα δεδομένα σημεία εξακολουθούν να βρίσκονται στην ίδια ευθεία και πρέπει να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για αυτά; Εδώ πρέπει να πούμε αμέσως ότι αυτή η συνθήκη δεν θα είναι απολύτως σωστή. Ένας άπειρος αριθμός επιπέδων μπορεί να περάσει από τέτοια σημεία, επομένως είναι αδύνατο να υπολογιστεί μια μόνο απάντηση. Ας εξετάσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα για να αποδείξουμε την ανακρίβεια μιας τέτοιας διατύπωσης της ερώτησης.

Παράδειγμα 2

Έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε τρισδιάστατο χώρο, στο οποίο τοποθετούνται τρία σημεία με συντεταγμένες M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Είναι απαραίτητο να γράψουμε μια εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από αυτό.

Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο και ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων M 1 M 2 → και M 1 M 3 →. Ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες τους: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Το διασταυρούμενο γινόμενο θα είναι ίσο με:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Εφόσον M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, τότε τα διανύσματά μας θα είναι συγγραμμικά (διαβάστε ξανά το άρθρο σχετικά με αυτά εάν ξεχάσατε τον ορισμό αυτής της έννοιας). Έτσι, τα αρχικά σημεία M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το πρόβλημά μας έχει άπειρα πολλά επιλογές απάντηση.

Αν χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη μέθοδο, θα λάβουμε:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Από την προκύπτουσα ισότητα προκύπτει επίσης ότι τα δεδομένα σημεία M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εάν θέλετε να βρείτε τουλάχιστον μία απάντηση σε αυτό το πρόβλημα από άπειρος αριθμόςτις επιλογές του, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1. Γράψτε την εξίσωση της γραμμής M 1 M 2, M 1 M 3 ή M 2 M 3 (αν χρειάζεται, δείτε το υλικό για αυτήν την ενέργεια).

2. Πάρτε ένα σημείο M 4 (x 4, y 4, z 4), το οποίο δεν βρίσκεται στην ευθεία M 1 M 2.

3. Να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τρία διάφορα σημείαΜ 1, Μ 2 και Μ 4, που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter