Να βρείτε την προβολή του σημείου στο επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση. Εύρεση συντεταγμένων προβολής σημείου σε επίπεδο, παραδείγματα

Συσκευή προβολής

Η συσκευή προβολής (Εικ. 1) περιλαμβάνει τρία επίπεδα προβολής:

π 1 -οριζόντιο επίπεδο προβολής.

π 2 -μετωπικό επίπεδο προβολής.

π 3– επίπεδο προφίλ προβολών .

Τα επίπεδα προβολής είναι αμοιβαία κάθετα ( π 1^ π 2^ π 3), και οι γραμμές τομής τους σχηματίζουν άξονες:

Επίπεδη διασταύρωση π 1και π 2σχηματίζουν έναν άξονα 0Χ (π 1∩ π 2 = 0Χ);

Επίπεδη διασταύρωση π 1και π 3σχηματίζουν έναν άξονα 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Επίπεδη διασταύρωση π 2και π 3σχηματίζουν έναν άξονα 0Ζ (π 2∩ π 3 = 0Ζ).

Σημείο τομής των αξόνων (ОХ∩OY∩OZ=0) θεωρείται το σημείο αναφοράς (σημείο 0).

Δεδομένου ότι τα επίπεδα και οι άξονες είναι αμοιβαία κάθετα, μια τέτοια συσκευή είναι παρόμοια Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες.

Τα επίπεδα προβολής χωρίζουν ολόκληρο τον χώρο σε οκτώ οκτάντια (στο Σχ. 1 υποδεικνύονται με λατινικούς αριθμούς). Τα επίπεδα προβολής θεωρούνται αδιαφανή και ο θεατής είναι πάντα μέσα Εγώου οκτανίου.

Προβολή ορθογώνια με κέντρα προβολής S1, S2και S3αντίστοιχα για τα οριζόντια, μετωπικά και προφίλ προβολής επίπεδα.

ΑΛΛΑ.

Από κέντρα προβολής S1, S2και S3βγαίνουν προεξέχουσες δοκοί l 1, l 2και l 3 ΑΛΛΑ

- Α'1 ΑΛΛΑ;

- Α2– μετωπική προβολή του σημείου ΑΛΛΑ;

- Α 3– προβολή προφίλ σημείου ΑΛΛΑ.

Ένα σημείο στο χώρο χαρακτηρίζεται από τις συντεταγμένες του ΕΝΑ(x,y,z). σημεία Ένα x, Ένα υκαι Αζαντίστοιχα στους άξονες 0Χ, 0Yκαι 0Ζεμφάνιση συντεταγμένων x, yκαι zσημεία ΑΛΛΑ. Στο σχ. Το 1 δίνει όλους τους απαραίτητους χαρακτηρισμούς και δείχνει τη σχέση μεταξύ του σημείου ΑΛΛΑχώρο, τις προβολές και τις συντεταγμένες του.

διάγραμμα σημείου

Να σχεδιάσετε ένα σημείο ΑΛΛΑ(Εικ. 2), στη συσκευή προβολής (Εικ. 1) το επίπεδο π 1 Α'1 0Χ π 2. Μετά το αεροπλάνο π 3με σημειακή προβολή Α 3, περιστρέψτε αριστερόστροφα γύρω από τον άξονα 0Ζ, μέχρι να συμπέσει με το αεροπλάνο π 2. Διεύθυνση περιστροφής των επιπέδων π 2και π 3φαίνεται στο σχ. 1 βέλη. Ταυτόχρονα, άμεσο A 1 A xκαι A 2 A x 0Χκάθετος Α 1 Α 2, και ευθείες γραμμές A 2 A xκαι A 3 A xθα βρίσκεται από κοινού με τον άξονα 0Ζκάθετος Α 2 Α 3. Αυτές οι γραμμές θα αναφέρονται ως κατακόρυφος και οριζόντιος γραμμές σύνδεσης.

Πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τη μετάβαση από τη συσκευή προβολής στο διάγραμμα, το προβαλλόμενο αντικείμενο εξαφανίζεται, αλλά όλες οι πληροφορίες σχετικά με το σχήμα του, γεωμετρικές διαστάσειςκαι η θέση της θέσης του στο χώρο διατηρούνται.

ΑΛΛΑ(x A , y A , z Ax A, y Aκαι z Αστην ακόλουθη σειρά (Εικ. 2). Αυτή η ακολουθία ονομάζεται τεχνική σημειακής γραφικής παράστασης.

1. Οι άξονες σχεδιάζονται ορθογώνια OX, OYκαι ουγκιά.

2. Στον άξονα ΒΟΔΙ x Ασημεία ΑΛΛΑκαι να πάρει τη θέση του σημείου Ένα x.

3. Μέσα από την τελεία Ένα xκάθετα στον άξονα ΒΟΔΙ

Ένα xπρος την κατεύθυνση του άξονα OYη αριθμητική τιμή της συντεταγμένης αναβάλλεται y Ασημεία ΑΛΛΑ Α'1στο οικόπεδο.

Ένα xπρος την κατεύθυνση του άξονα ουγκιάη αριθμητική τιμή της συντεταγμένης αναβάλλεται z Ασημεία ΑΛΛΑ Α2στο οικόπεδο.

6. Μέσω της τελείας Α2παράλληλη προς τον άξονα ΒΟΔΙχαράσσεται μια οριζόντια γραμμή. Η τομή αυτής της γραμμής και του άξονα ουγκιάθα δώσει τη θέση του σημείου A z.

7. Σε οριζόντια γραμμή από το σημείο A zπρος την κατεύθυνση του άξονα OYη αριθμητική τιμή της συντεταγμένης αναβάλλεται y Ασημεία ΑΛΛΑκαι προσδιορίζεται η θέση της προβολής προφίλ του σημείου Α 3στο οικόπεδο.

Χαρακτηριστικό σημείου

Όλα τα σημεία του χώρου υποδιαιρούνται σε σημεία ιδιωτικών και γενικών θέσεων.

Πόντοι ιδιωτικής θέσης. Τα σημεία που ανήκουν στη συσκευή προβολής ονομάζονται σημεία ιδιαίτερης θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν σημεία που ανήκουν στα επίπεδα προβολής, άξονες, προέλευση και κέντρα προβολής. Τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των σημείων ιδιωτικής θέσης είναι:

Μεταμαθηματικά - μία, δύο ή όλες οι αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων είναι ίσες με μηδέν και (ή) άπειρο.

Στο διάγραμμα - δύο ή όλες οι προβολές ενός σημείου βρίσκονται στους άξονες και (ή) βρίσκονται στο άπειρο.

σημεία γενική θέση. Τα σημεία σε γενική θέση περιλαμβάνουν σημεία που δεν ανήκουν στη συσκευή προβολής. Για παράδειγμα, τελεία ΑΛΛΑστο σχ. 1 και 2.

ΣΤΟ γενική περίπτωσηοι αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων ενός σημείου χαρακτηρίζουν την απόστασή του από το επίπεδο προβολής: η συντεταγμένη Χαπό το αεροπλάνο π 3; συντεταγμένη yαπό το αεροπλάνο π 2; συντεταγμένη zαπό το αεροπλάνο π 1. Πρέπει να σημειωθεί ότι τα σημάδια στις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων υποδεικνύουν την κατεύθυνση αφαίρεσης του σημείου από τα επίπεδα προβολής. Ανάλογα με τον συνδυασμό των σημείων για τις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων του σημείου, εξαρτάται σε ποιο από τα οκτάνια βρίσκεται.

Μέθοδος δύο εικόνων

Στην πράξη, εκτός από τη μέθοδο της πλήρους προβολής, χρησιμοποιείται η μέθοδος των δύο εικόνων. Διαφέρει στο ότι η τρίτη προβολή του αντικειμένου αποκλείεται σε αυτή τη μέθοδο. Για τη λήψη της συσκευής προβολής της μεθόδου δύο εικόνων, το επίπεδο προβολής προφίλ με το κέντρο προβολής του εξαιρείται από την πλήρη συσκευή προβολής (Εικ. 3). Επιπλέον, στον άξονα 0Χεκχωρείται η προέλευση (σημείο 0 ) και από αυτήν κάθετα στον άξονα 0Χσε επίπεδα προβολής π 1και π 2άξονας δαπανών 0Yκαι 0Ζαντίστοιχα.

Σε αυτή τη συσκευή, ολόκληρος ο χώρος χωρίζεται σε τέσσερα τεταρτημόρια. Στο σχ. 3 σημειώνονται με λατινικούς αριθμούς.

Τα επίπεδα προβολής θεωρούνται αδιαφανή και ο θεατής είναι πάντα μέσα Εγώο τεταρτημόριο.

Εξετάστε τη λειτουργία της συσκευής χρησιμοποιώντας το παράδειγμα προβολής ενός σημείου ΑΛΛΑ.

Από κέντρα προβολής S1και S2βγαίνουν προεξέχουσες δοκοί l 1και l 2. Αυτές οι ακτίνες περνούν από το σημείο ΑΛΛΑκαι τέμνοντας με τα επίπεδα προβολής σχηματίζουν τις προβολές του:

- Α'1- οριζόντια προβολή ενός σημείου ΑΛΛΑ;

- Α2– μετωπική προβολή του σημείου ΑΛΛΑ.

Να σχεδιάσετε ένα σημείο ΑΛΛΑ(Εικ. 4), στη συσκευή προβολής (Εικ. 3) το επίπεδο π 1με την προκύπτουσα σημειακή προβολή Α'1περιστροφή δεξιόστροφα γύρω από έναν άξονα 0Χ, μέχρι να συμπέσει με το αεροπλάνο π 2. Κατεύθυνση περιστροφής επιπέδου π 1φαίνεται στο σχ. 3 βέλη. Ταυτόχρονα, μόνο ένα σημείο παραμένει στο διάγραμμα του σημείου που προκύπτει με τη μέθοδο των δύο εικόνων. κατακόρυφοςγραμμή επικοινωνίας Α 1 Α 2.

Στην πράξη, σχεδιάζοντας ένα σημείο ΑΛΛΑ(x A , y A , z A) πραγματοποιείται σύμφωνα με τις αριθμητικές τιμές των συντεταγμένων του x A, y Aκαι z Αστην ακόλουθη σειρά (Εικ. 4).

1. Σχεδιάζεται ένας άξονας ΒΟΔΙκαι εκχωρείται η προέλευση (σημείο 0 ).

2. Στον άξονα ΒΟΔΙη αριθμητική τιμή της συντεταγμένης αναβάλλεται x Ασημεία ΑΛΛΑκαι να πάρει τη θέση του σημείου Ένα x.

3. Μέσα από την τελεία Ένα xκάθετα στον άξονα ΒΟΔΙχαράσσεται μια κάθετη γραμμή.

4. Στην κάθετη γραμμή από το σημείο Ένα xπρος την κατεύθυνση του άξονα OYη αριθμητική τιμή της συντεταγμένης αναβάλλεται y Ασημεία ΑΛΛΑκαι προσδιορίζεται η θέση της οριζόντιας προβολής του σημείου Α'1 OYδεν σχεδιάστηκε, αλλά υποτίθεται ότι είναι θετικές αξίεςπου βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, ενώ οι αρνητικές είναι υψηλότερες.

5. Στην κάθετη γραμμή από το σημείο Ένα xπρος την κατεύθυνση του άξονα ουγκιάη αριθμητική τιμή της συντεταγμένης αναβάλλεται z Ασημεία ΑΛΛΑκαι προσδιορίζεται η θέση της μετωπικής προβολής του σημείου Α2στο οικόπεδο. Πρέπει να σημειωθεί ότι στο διάγραμμα ο άξονας ουγκιάδεν σχεδιάζεται, αλλά θεωρείται ότι οι θετικές τιμές του βρίσκονται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, ενώ οι αρνητικές είναι χαμηλότερες.

Αγωνιστικά σημεία

Τα σημεία στην ίδια προεξέχουσα ακτίνα ονομάζονται ανταγωνιστικά σημεία. Έχουν κοινή προβολή προς την κατεύθυνση της προεξέχουσας δέσμης, δηλ. οι προβολές τους συμπίπτουν πανομοιότυπα. χαρακτηριστικό στοιχείοανταγωνιστικά σημεία στο διάγραμμα είναι η πανομοιότυπη σύμπτωση των προβολών τους με το ίδιο όνομα. Ο ανταγωνισμός έγκειται στην ορατότητα αυτών των προβολών σε σχέση με τον παρατηρητή. Με άλλα λόγια, στο χώρο για τον παρατηρητή, το ένα από τα σημεία είναι ορατό, το άλλο όχι. Και, κατά συνέπεια, στο σχέδιο: μία από τις προβολές των ανταγωνιστικών σημείων είναι ορατή και η προβολή του άλλου σημείου είναι αόρατη.

Σε ένα μοντέλο χωρικής προβολής (Εικ. 5) από δύο ανταγωνιστικά σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟορατή κουκκίδα ΑΛΛΑσε δύο αλληλοσυμπληρωματικούς λόγους. Σύμφωνα με την αλυσίδα S 1 →A→Bτελεία ΑΛΛΑπιο κοντά στον παρατηρητή παρά σε ένα σημείο ΣΤΟ. Και, κατά συνέπεια, πιο μακριά από το επίπεδο προβολής π 1(εκείνοι. z Α > z Α).

Ρύζι. 5 Εικ.6

Αν το ίδιο το σημείο είναι ορατό ΕΝΑ, τότε φαίνεται και η προβολή του Α'1. Σε σχέση με την προβολή που συμπίπτει με αυτήν Β1. Για λόγους σαφήνειας και, εάν είναι απαραίτητο, στο διάγραμμα, οι αόρατες προβολές σημείων συνήθως περικλείονται σε αγκύλες.

Αφαιρέστε σημεία στο μοντέλο ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ. Οι προβολές που συμπίπτουν στο αεροπλάνο θα παραμείνουν π 1και ξεχωριστές προβολές - on π 2. Αφήνουμε υπό όρους την μετωπική προβολή του παρατηρητή (⇩), που βρίσκεται στο κέντρο της προβολής S1. Στη συνέχεια κατά μήκος της αλυσίδας των εικόνων ⇩ → Α2 → Β2θα είναι δυνατό να το κρίνουμε αυτό z Α > zBκαι ότι το ίδιο το σημείο είναι ορατό ΑΛΛΑκαι την προβολή του Α'1.

Ομοίως, εξετάστε τα ανταγωνιστικά σημεία ΑΠΟκαι ρεπροφανώς σε σχέση με το επίπεδο π 2 . Δεδομένου ότι η κοινή προεξέχουσα δέσμη αυτών των σημείων l 2παράλληλη προς τον άξονα 0Y, τότε το σημάδι ορατότητας των ανταγωνιστικών σημείων ΑΠΟκαι ρεκαθορίζεται από την ανισότητα yC > yD. Ως εκ τούτου, το σημείο ρεκλειστό με μια τελεία ΑΠΟκαι κατά συνέπεια η προβολή του σημείου Δ2θα καλύπτονται από την προβολή του σημείου Από 2στην επιφάνεια π 2.

Ας εξετάσουμε πώς προσδιορίζεται η ορατότητα των ανταγωνιστικών σημείων σε ένα σύνθετο σχέδιο (Εικ. 6).

Σύμφωνα με αντίστοιχες προβλέψεις Α'1≡ΣΕ 1τα ίδια τα σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟβρίσκονται στην ίδια προεξέχουσα δοκό παράλληλα προς τον άξονα 0Ζ. Άρα οι συντεταγμένες πρέπει να συγκριθούν z Ακαι zBαυτά τα σημεία. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε το μετωπικό επίπεδο προβολής με ξεχωριστές σημειακές εικόνες. ΣΤΟ αυτή η υπόθεση z Α > zB. Από αυτό προκύπτει ότι η προβολή είναι ορατή Α'1.

σημεία ντοκαι ρεστο σύνθετο σχέδιο που εξετάζουμε (Εικ. 6) βρίσκονται επίσης στην ίδια προεξέχουσα δοκό, αλλά μόνο παράλληλα με τον άξονα 0Y. Επομένως, από μια σύγκριση yC > yDσυμπεραίνουμε ότι η προβολή C 2 είναι ορατή.

Γενικός κανόνας . Η ορατότητα για συμπίπτουσες προβολές ανταγωνιστικών σημείων προσδιορίζεται συγκρίνοντας τις συντεταγμένες αυτών των σημείων προς την κατεύθυνση μιας κοινής προεξέχουσας δέσμης. Ορατή είναι η προβολή του σημείου για το οποίο αυτή η συντεταγμένη είναι μεγαλύτερη. Σε αυτή την περίπτωση, η σύγκριση των συντεταγμένων πραγματοποιείται στο επίπεδο των προβολών με ξεχωριστές εικόνες σημείων.

Η μελέτη των ιδιοτήτων των μορφών στο χώρο και σε ένα επίπεδο είναι αδύνατη χωρίς να γνωρίζουμε τις αποστάσεις μεταξύ ενός σημείου και γεωμετρικών αντικειμένων όπως μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο. Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε πώς να βρείτε αυτές τις αποστάσεις εξετάζοντας την προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο και σε μια ευθεία.

Εξίσωση ευθείας για δισδιάστατους και τρισδιάστατους χώρους

Ο υπολογισμός των αποστάσεων ενός σημείου από μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την προβολή του πάνω σε αυτά τα αντικείμενα. Για να μπορέσει κανείς να βρει αυτές τις προβολές, θα πρέπει να γνωρίζει σε ποια μορφή δίνονται οι εξισώσεις για τις ευθείες και τα επίπεδα. Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο.

Μια ευθεία γραμμή είναι μια συλλογή σημείων, καθένα από τα οποία μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο μεταφέροντας σε διανύσματα παράλληλα μεταξύ τους. Για παράδειγμα, υπάρχει ένα σημείο M και N. Το διάνυσμα MN¯ που τα συνδέει μεταφέρει το M στο N. Υπάρχει επίσης ένα τρίτο σημείο P. Εάν το διάνυσμα MP¯ ή NP¯ είναι παράλληλο στο MN¯, τότε και τα τρία σημεία βρίσκονται στο την ίδια γραμμή και σχηματίστε την.

Ανάλογα με τη διάσταση του χώρου, η εξίσωση που ορίζει την ευθεία μπορεί να αλλάξει τη μορφή της. Ναι, όλοι ξέρουν γραμμική εξάρτησηΟι συντεταγμένες y από το x στο διάστημα περιγράφουν ένα επίπεδο που είναι παράλληλο στον τρίτο άξονα z. Από αυτή την άποψη, σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε μόνο τη διανυσματική εξίσωση για μια ευθεία γραμμή. Εχει το ίδιο βλέμμαγια αεροπλάνο και τρισδιάστατους χώρουςένα.

Στο διάστημα, μπορεί να οριστεί μια ευθεία γραμμή παρακάτω έκφραση:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α*(a; b; c)

Εδώ, οι τιμές των συντεταγμένων με μηδενικούς δείκτες αντιστοιχούν σε κάποιο σημείο που ανήκει στη γραμμή, u¯(a; b; c) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης που βρίσκεται στη δεδομένη γραμμή, το α είναι ένα αυθαίρετο πραγματικός αριθμός, αλλάζοντας το οποίο μπορείτε να πάρετε όλα τα σημεία της γραμμής. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται διάνυσμα.

Συχνά η παραπάνω εξίσωση γράφεται σε διευρυμένη μορφή:

Ομοίως, μπορείτε να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που βρίσκεται σε ένα επίπεδο, δηλαδή σε δισδιάστατο χώρο:

(x; y) = (x0; y 0) + α*(a; b);

Επίπεδη εξίσωση

Για να μπορέσετε να βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε επίπεδα προβολής, πρέπει να γνωρίζετε πώς προσδιορίζεται ένα επίπεδο. Ακριβώς όπως μια ευθεία γραμμή, μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους. Εδώ εξετάζουμε μόνο ένα: τη γενική εξίσωση.

Ας υποθέσουμε ότι το σημείο M(x 0 ; y 0 ; z 0) ανήκει στο επίπεδο και το διάνυσμα n¯(A; B; C) είναι κάθετο σε αυτό, τότε για όλα τα σημεία (x; y; z) του επίπεδο η ισότητα θα ισχύει:

A*x + B*y + C*z + D = 0 όπου D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι σε αυτή τη γενική εξίσωση του επιπέδου, οι συντελεστές A, B και C είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κάθετου στο επίπεδο.

Υπολογισμός αποστάσεων κατά συντεταγμένες

Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση των προβολών στο επίπεδο ενός σημείου και σε μια ευθεία γραμμή, θα πρέπει να θυμηθούμε πώς πρέπει να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ δύο γνωστών σημείων.

Έστω δύο χωρικά σημεία:

A 1 (x 1 , y 1 , z 1) και A 2 (x 2 , y 2 , z 2)

Στη συνέχεια, η απόσταση μεταξύ τους υπολογίζεται από τον τύπο:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)

Χρησιμοποιώντας αυτήν την έκφραση, προσδιορίζεται επίσης το μήκος του διανύσματος A 1 A 2 ¯.

Για την περίπτωση στο επίπεδο, όταν δύο σημεία δίνονται από ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων, μπορούμε να γράψουμε παρόμοια ισότητα χωρίς την παρουσία ενός όρου με z:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Τώρα εξετάζουμε διάφορες περιπτώσεις προβολής σε επίπεδο σημείου σε ευθεία γραμμή και σε επίπεδο στο διάστημα.

Σημείο, γραμμή και απόσταση μεταξύ τους

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο σημείο και μια γραμμή:

Ρ2 (x1, y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Η απόσταση μεταξύ αυτών των γεωμετρικών αντικειμένων θα αντιστοιχεί στο μήκος του διανύσματος, η αρχή του οποίου βρίσκεται στο σημείο P 2 και το άκρο βρίσκεται σε ένα σημείο P της καθορισμένης γραμμής, για το οποίο το διάνυσμα P 2 P ¯ είναι κάθετο σε αυτή τη γραμμή. Το σημείο P ονομάζεται προβολή του σημείου P 2 στην ευθεία που εξετάζουμε.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το σημείο P 2 , την απόστασή του d από την ευθεία γραμμή, καθώς και το διάνυσμα οδηγό v 1 ¯. Επιλέγεται επίσης στη γραμμή αυθαίρετο σημείο P 1 και από αυτό στο P 2 σχεδιάζεται ένα διάνυσμα. Το σημείο P εδώ συμπίπτει με το σημείο όπου η κάθετο τέμνει την ευθεία.

Φαίνεται ότι το πορτοκαλί και το κόκκινο βέλος σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο, οι πλευρές του οποίου είναι τα διανύσματα P 1 P 2 ¯ και v 1 ¯, και το ύψος είναι d. Είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι για να βρεθεί το ύψος ενός παραλληλογράμμου, το εμβαδόν του θα πρέπει να διαιρεθεί με το μήκος της βάσης, πάνω στην οποία χαμηλώνει η κάθετο. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου υπολογίζεται ως το διανυσματικό γινόμενο των πλευρών του, παίρνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του d:

d = ||/|v 1 ¯|

Όλα τα διανύσματα και οι συντεταγμένες σημείων σε αυτήν την έκφραση είναι γνωστά, επομένως μπορείτε να τη χρησιμοποιήσετε χωρίς να εκτελέσετε μετασχηματισμούς.

Αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να είχε λυθεί διαφορετικά. Για αυτό θα πρέπει να γραφτούν δύο εξισώσεις:

• το κλιμακωτό γινόμενο των P 2 P ¯ και v 1 ¯ πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, καθώς αυτά τα διανύσματα είναι αμοιβαία κάθετα.
• οι συντεταγμένες του σημείου P πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση μιας ευθείας.

Αυτές οι εξισώσεις είναι αρκετές για να βρούμε τις συντεταγμένες P και μετά το μήκος d χρησιμοποιώντας τον τύπο που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο.

Εύρεση της απόστασης μεταξύ ευθείας και σημείου

Ας σας δείξουμε πώς να χρησιμοποιείτε τα δεδομένα θεωρητικές πληροφορίεςνα λύσει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι το ακόλουθο σημείο και η ευθεία είναι γνωστά:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Είναι απαραίτητο να βρείτε τα σημεία προβολής στη γραμμή στο επίπεδο, καθώς και την απόσταση από το M έως τη γραμμή.

Δηλώστε την προβολή που θα βρεθεί με το σημείο M 1 (x 1 ; y 1). Επιλύουμε αυτό το πρόβλημα με δύο τρόπους, που περιγράφηκαν στην προηγούμενη παράγραφο.

Μέθοδος 1. Το διάνυσμα κατεύθυνσης v 1 ¯ συντεταγμένες έχει (0; 2). Για να κατασκευάσουμε ένα παραλληλόγραμμο, επιλέγουμε κάποιο σημείο που ανήκει στην ευθεία. Για παράδειγμα, ένα σημείο με συντεταγμένες (3; 1). Τότε το διάνυσμα της δεύτερης πλευράς του παραλληλογράμμου θα έχει συντεταγμένες:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Τώρα πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των διανυσμάτων που ορίζουν τις πλευρές του παραλληλογράμμου:

Αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή στον τύπο, παίρνουμε την απόσταση d από το M στην ευθεία:

Μέθοδος 2. Ας βρούμε τώρα με άλλο τρόπο όχι μόνο την απόσταση, αλλά και τις συντεταγμένες της προβολής του Μ στην ευθεία, όπως απαιτεί η συνθήκη του προβλήματος. Όπως προαναφέρθηκε, για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να συντεθεί ένα σύστημα εξισώσεων. Θα πάρει τη μορφή:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα:

Η προβολή του αρχικού σημείου της συντεταγμένης έχει M 1 (3; -3). Τότε η επιθυμητή απόσταση είναι:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο μέθοδοι επίλυσης έδωσαν το ίδιο αποτέλεσμα, το οποίο υποδηλώνει την ορθότητα των εκτελεσθέντων μαθηματικές πράξεις.

Προβολή σημείου σε επίπεδο

Τώρα εξετάστε ποια είναι η προβολή ενός σημείου που δίνεται στο χώρο σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι και αυτή η προβολή είναι ένα σημείο, το οποίο μαζί με το αρχικό σχηματίζει ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι η προβολή στο επίπεδο του σημείου Μ έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Το ίδιο το επίπεδο περιγράφεται από την εξίσωση:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Με βάση αυτά τα δεδομένα, μπορούμε να διατυπώσουμε την εξίσωση μιας ευθείας που τέμνει το επίπεδο σε ορθή γωνία και διέρχεται από τα M και M 1:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α*(A; B; C)

Εδώ, οι μεταβλητές με μηδενικούς δείκτες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Μ. Η θέση στο επίπεδο του σημείου Μ 1 μπορεί να υπολογιστεί με βάση το γεγονός ότι οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν και τις δύο γραπτές εξισώσεις. Εάν αυτές οι εξισώσεις δεν επαρκούν κατά την επίλυση του προβλήματος, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνθήκη παραλληλισμού του MM 1 ¯ και το διάνυσμα οδήγησης για ένα δεδομένο επίπεδο.

Προφανώς, η προβολή ενός σημείου που ανήκει στο επίπεδο συμπίπτει με τον εαυτό του και η αντίστοιχη απόσταση είναι μηδέν.

Πρόβλημα με σημείο και επίπεδο

Έστω ένα σημείο M(1; -1; 3) και ένα επίπεδο, το οποίο περιγράφεται ως εξής γενική εξίσωση:

Θα πρέπει να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της προβολής στο επίπεδο του σημείου και να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ αυτών των γεωμετρικών αντικειμένων.

Αρχικά, κατασκευάζουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το M και είναι κάθετη στο υποδεικνυόμενο επίπεδο. Μοιάζει:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Ας υποδηλώσουμε το σημείο όπου αυτή η ευθεία τέμνει το επίπεδο, M 1 . Οι ισότητες για ένα επίπεδο και μια ευθεία πρέπει να ικανοποιούνται εάν οι συντεταγμένες M 1 αντικατασταθούν σε αυτές. Γράφοντας ρητά την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, παίρνουμε τις ακόλουθες τέσσερις ισότητες:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 \u003d -1 + 3 * α;

Από την τελευταία ισότητα παίρνουμε την παράμετρο α, μετά την αντικαθιστούμε στην προτελευταία και στη δεύτερη παράσταση, παίρνουμε:

y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \u003d -3 / 2 * z 1 + 3,5;

x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 \u003d 1/2 * z 1 - 1/2

Αντικαθιστούμε την παράσταση για y 1 και x 1 στην εξίσωση για το επίπεδο, έχουμε:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Πού παίρνουμε:

y 1 \u003d -3 / 2 * 15/7 + 3,5 \u003d 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Έχουμε προσδιορίσει ότι η προβολή του σημείου Μ επάνω δεδομένο αεροπλάνοαντιστοιχεί σε συντεταγμένες (4/7; 2/7; 15/7).

Τώρα ας υπολογίσουμε την απόσταση |MM 1 ¯|. Οι συντεταγμένες του αντίστοιχου διανύσματος είναι:

ΜΜ 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Η απαιτούμενη απόσταση είναι:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Τρία σημεία προβολής

Κατά την προετοιμασία των σχεδίων, είναι συχνά απαραίτητο να ληφθούν προβολές τομών σε αμοιβαία κάθετα τρία επίπεδα. Επομένως, είναι χρήσιμο να εξετάσουμε ποιες είναι οι προβολές κάποιου σημείου M με συντεταγμένες (x 0 ; y 0 ; z 0) σε τρία αεροπλάνα συντεταγμένων.

Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι το επίπεδο xy περιγράφεται από την εξίσωση z = 0, το επίπεδο xz αντιστοιχεί στην έκφραση y = 0 και το υπόλοιπο επίπεδο yz συμβολίζεται με x = 0. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι οι προβολές ενός σημείου σε 3 επίπεδα θα είναι ίσο:

για x = 0: (0; y 0; z 0);

για y = 0: (x0; 0; z 0);

για z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Πού είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις προβολές ενός σημείου και τις αποστάσεις του από τα επίπεδα;

Ο προσδιορισμός της θέσης της προβολής σημείων σε ένα δεδομένο επίπεδο είναι σημαντικός όταν βρίσκουμε μεγέθη όπως το εμβαδόν επιφάνειας και ο όγκος για κεκλιμένα πρίσματακαι πυραμίδες. Για παράδειγμα, η απόσταση από την κορυφή της πυραμίδας μέχρι το επίπεδο της βάσης είναι το ύψος. Το τελευταίο περιλαμβάνεται στον τύπο για τον όγκο αυτού του αριθμού.

Οι εξεταζόμενοι τύποι και μέθοδοι για τον προσδιορισμό των προβολών και των αποστάσεων από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο είναι αρκετά απλές. Είναι σημαντικό μόνο να θυμάστε αντίστοιχες φόρμεςεξισώσεις ενός επιπέδου και μιας ευθείας γραμμής, και επίσης έχουν ένα καλό χωρική φαντασίαγια να τα εφαρμόσετε με επιτυχία.

Η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο είναι μια ειδική περίπτωση κοινή εργασίαβρίσκοντας την προβολή ενός σημείου σε μια επιφάνεια. Λόγω της απλότητας του υπολογισμού της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο που εφάπτεται στην επιφάνεια, χρησιμοποιείται ως μηδενική προσέγγιση για την επίλυση του γενικού προβλήματος.

Εξετάστε το πρόβλημα της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο που δίνεται από το διάνυσμα της ακτίνας

Θα υποθέσουμε ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Ας υποθέσουμε ότι στη γενική περίπτωση τα διανύσματα δεν είναι ορθογώνια και δεν έχουν μήκος μονάδας. Το επίπεδο διέρχεται από το σημείο όπου οι παράμετροι είναι ίσες με μηδέν και τα διανύσματα ορίζουν τις παραμετρικές κατευθύνσεις. Το δεδομένο σημείο έχει μια μοναδική προβολή στο επίπεδο (4.6.1). Ας κατασκευάσουμε μια μονάδα κάθετη στο επίπεδο

Ρύζι. 4.6.1. Προβολή σημείου στο επίπεδο s(u, v)

Ας υπολογίσουμε το διάνυσμα ακτίνας της σημειακής προβολής στο επίπεδο ως τη διαφορά μεταξύ του διανύσματος ακτίνας του προβαλλόμενου σημείου και της συνιστώσας του διανύσματος παράλληλου προς το κανονικό στο επίπεδο,

(4.6.4)

Στο σχ. Το 4.6.1 δείχνει τα διανύσματα του επιπέδου, το σημείο εκκίνησης και την προβολή του δεδομένο σημείο.

Οι παράμετροι και τα μήκη των προβολών σχετίζονται με τις εξισώσεις

όπου το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων προσδιορίζεται από τον τύπο (1.7.13).

Από το σύστημα αυτών των εξισώσεων, βρίσκουμε τις παραμέτρους της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο

(4.6.6)

πού είναι οι συντελεστές της πρώτης κύριας τετραγωνική μορφήΤα επίπεδα (1.7.8), τα οποία είναι επίσης συμμεταβλητές συνιστώσες του μετρικού τανυστή επιφάνειας, είναι αντίθετα στοιχεία του μετρικού τανυστή επιφάνειας. Εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια, τότε οι τύποι (4.6.6) και (4.6.7) παίρνουν τη μορφή

Η απόσταση από ένα σημείο έως την προβολή του σε ένα επίπεδο γενικά υπολογίζεται ως το μήκος ενός διανύσματος. Η απόσταση από ένα σημείο έως την προβολή του σε ένα επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς να υπολογιστεί η προβολή του σημείου, αλλά με τον υπολογισμό της προβολής του διανύσματος στο κανονικό προς το επίπεδο

(4.6.8)

Ειδικές περιπτώσεις.

Οι προβολές ενός σημείου σε ορισμένες αναλυτικές επιφάνειες μπορούν να βρεθούν χωρίς εμπλοκή αριθμητικές μέθοδοι. Για παράδειγμα, για να βρείτε την προβολή ενός σημείου στην επιφάνεια ενός κυκλικού κυλίνδρου, κώνου, σφαίρας ή δακτυλίου, πρέπει να μεταφράσετε το προβαλλόμενο σημείο σε τοπικό σύστημασυντεταγμένες επιφάνειας, όπου είναι εύκολο να βρεθούν οι παράμετροι προβολής. Ομοίως, μπορούν να βρεθούν προεξοχές σε επιφάνειες εξώθησης και περιστροφής. Σε ορισμένες συγκεκριμένες περιπτώσεις, οι θέσεις του προβαλλόμενου σημείου προβολής του μπορούν εύκολα να βρεθούν και σε άλλες επιφάνειες.

Γενική περίπτωση.

Εξετάστε το πρόβλημα της προβολής ενός σημείου σε μια επιφάνεια στη γενική περίπτωση. Ας απαιτείται να βρεθούν όλες οι προβολές ενός σημείου σε μια επιφάνεια. Καθε επιθυμητό σημείοεπιφάνεια ικανοποιεί το σύστημα δύο εξισώσεων

Το σύστημα των εξισώσεων (4.6.9) περιέχει δύο άγνωστα μεγέθη - τις παραμέτρους u και v. Αυτό το πρόβλημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το πρόβλημα εύρεσης των προβολών ενός δεδομένου σημείου σε μια καμπύλη.

Στο πρώτο στάδιο, προσδιορίζουμε τις μηδενικές προσεγγίσεις των παραμέτρων της επιφάνειας για τις προβολές ενός σημείου και στο δεύτερο στάδιο, βρίσκουμε τις ακριβείς τιμές των παραμέτρων που καθορίζουν τις προβολές ενός δεδομένου σημείου στην επιφάνεια.

Ας προχωρήσουμε στην επιφάνεια με βήματα που υπολογίζονται από τους τύπους (4.2.4) και (4.2.5), που περιγράφονται παραπάνω με τον τρόπο κίνησης κατά μήκος της παραμετρικής περιοχής. Ας συμβολίσουμε τις παραμέτρους των σημείων από τα οποία θα περάσουμε . Σε κάθε σημείο, θα υπολογίσουμε τα κλιμακωτά γινόμενα των διανυσμάτων

(4.6.10)

Εάν η επιθυμητή λύση βρίσκεται κοντά σε ένα σημείο με παραμέτρους , τότε θα έχουμε διαφορετικά σημάδια, καθώς και και θα έχει διαφορετικά σημάδια. Αλλαγή πινακίδων κλιμακωτά προϊόνταυποδεικνύει ότι η επιθυμητή λύση είναι κοντά. Για τη μηδενική προσέγγιση των παραμέτρων, παίρνουμε τις τιμές Ξεκινώντας από τη μηδενική προσέγγιση των παραμέτρων, μια από τις μεθόδους επίλυσης μη γραμμικές εξισώσειςβρείτε μια λύση στο πρόβλημα με δεδομένη ακρίβεια. Για παράδειγμα, στη μέθοδο του Νεύτωνα, σε επαναλήψεις, οι προσαυξήσεις των παραμέτρων προβολής μπορούν να βρεθούν από το σύστημα γραμμικών εξισώσεων

όπου είναι οι μερικές παράγωγοι του διανύσματος ακτίνας ως προς τις παραμέτρους. επόμενη προσέγγισηοι παράμετροι προβολής σημείου είναι ίσες με . Η διαδικασία τελειοποίησης των παραμέτρων θα ολοκληρωθεί όταν οι ανισότητες εκπληρωθούν στην επόμενη επανάληψη, όπου είναι το καθορισμένο σφάλμα. Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκουμε όλες τις άλλες ρίζες του συστήματος των εξισώσεων (4.6.9).

Εάν χρειάζεται να βρείτε μόνο την πλησιέστερη προβολή ενός δεδομένου σημείου στην επιφάνεια, τότε μπορείτε να περάσετε από τα ίδια σημεία ενός γεωμετρικού αντικειμένου και να επιλέξετε αυτό που βρίσκεται πιο κοντά στο δεδομένο σημείο. Οι παράμετροι του πλησιέστερου σημείου και θα πρέπει να επιλεγούν ως η μηδενική προσέγγιση της λύσης του προβλήματος.

Προβολή ενός σημείου σε μια επιφάνεια σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, προκύπτει το πρόβλημα του προσδιορισμού της προβολής ενός σημείου σε μια επιφάνεια όχι κατά μήκος της κανονικής προς αυτήν, αλλά κατά μήκος μιας δεδομένης κατεύθυνσης. Έστω η φορά προβολής που δίνεται από ένα διάνυσμα μονάδας μήκους q. Ας φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή

(4.6.12)

περνώντας από ένα δεδομένο σημείο και έχοντας κατεύθυνση δεδομένο διάνυσμα. Προβολές ενός σημείου σε μια επιφάνεια μέσα δοθείσα κατεύθυνσηορίζουμε ως τα σημεία τομής της επιφάνειας με την ευθεία (4.6.12) που διέρχεται από το δεδομένο σημείο στη δεδομένη κατεύθυνση.

ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΡΟΒΟΛΗΣ

Ο σχηματισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ 1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως αποτέλεσμα του κινούμενου σημείου Α σε οποιοδήποτε επίπεδο Η (Εικ. 84, α), και ο σχηματισμός ενός επιπέδου μπορεί να αναπαρασταθεί ως μετατόπιση ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ( Εικ. 84, β).

Τελεία - κύρια γεωμετρικό στοιχείογραμμές και επιφάνειες, οπότε η μελέτη της ορθογώνιας προβολής ενός αντικειμένου ξεκινά με την κατασκευή ορθογώνιων προεξοχών ενός σημείου.

Στο διάστημα δίεδρος γωνία, που σχηματίζονται από δύο κάθετα επίπεδα - το μετωπικό (κάθετο) επίπεδο των προβολών V και το οριζόντιο επίπεδο των προβολών Η, τοποθετούμε το σημείο Α (Εικ. 85, α).

Η ευθεία τομής των επιπέδων προβολής είναι μια ευθεία γραμμή, η οποία ονομάζεται άξονας προβολής και συμβολίζεται με το γράμμα x.

Το επίπεδο V εμφανίζεται εδώ ως ορθογώνιο και το επίπεδο H ως παραλληλόγραμμο. Η κεκλιμένη πλευρά αυτού του παραλληλογράμμου συνήθως τραβιέται υπό γωνία 45° ως προς την οριζόντια πλευρά του. Το μήκος της κεκλιμένης πλευράς λαμβάνεται ίσο με το 0,5 του πραγματικού της μήκους.

Από το σημείο Α, οι κάθετοι χαμηλώνονται στα επίπεδα V και H. Τα σημεία a "και a της τομής των καθέτων με τα επίπεδα προβολής V και H είναι ορθογώνιες προεξοχέςσημεία Α. Το σχήμα Aaa x a "στο διάστημα είναι ένα ορθογώνιο. Η πλευρά aa αυτού του ορθογωνίου στην οπτική εικόνα μειώνεται κατά 2 φορές.

Ας ευθυγραμμίσουμε το επίπεδο H με το επίπεδο V περιστρέφοντας το V γύρω από τη γραμμή τομής των επιπέδων x. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο σχέδιο του σημείου Α (Εικ. 85, β)

Για να απλοποιηθεί το μιγαδικό σχέδιο, δεν υποδεικνύονται τα όρια των επιπέδων προβολής V και H (Εικ. 85, γ).

Οι κάθετες που σχεδιάζονται από το σημείο Α προς τα επίπεδα προβολής ονομάζονται προεξέχουσες γραμμές και οι βάσεις αυτών των προεξοχών - τα σημεία α και α "ονομάζονται προβολές του σημείου Α: α" είναι η μετωπική προβολή του σημείου Α, α είναι η οριζόντια προβολή του σημείο Α.

Η γραμμή a "a ονομάζεται κάθετη γραμμή της σύνδεσης προβολής.

Η θέση της προβολής ενός σημείου σε ένα σύνθετο σχέδιο εξαρτάται από τη θέση αυτού του σημείου στο χώρο.

Εάν το σημείο Α βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής H (Εικ. 86, α), τότε η οριζόντια προβολή του α συμπίπτει με το δεδομένο σημείο και η μετωπική προβολή a βρίσκεται στον άξονα. Όταν το σημείο Β βρίσκεται στην μετωπική προβολή επίπεδο V, η μετωπική του προβολή συμπίπτει με αυτό το σημείο και η οριζόντια προβολή βρίσκεται στον άξονα x. μπροστινή προβολήένα δεδομένο σημείο C που βρίσκεται στον άξονα x συμπίπτει με αυτό το σημείο. Ένα σύνθετο σχέδιο των σημείων Α, Β και Γ φαίνεται στο σχήμα. 86β.

ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΤΡΙΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΡΟΒΟΛΗΣ

Σε περιπτώσεις όπου είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς το σχήμα ενός αντικειμένου από δύο προεξοχές, αυτό προβάλλεται σε τρία επίπεδα προβολής. Σε αυτή την περίπτωση, εισάγεται το επίπεδο προφίλ των προβολών W, κάθετα στα επίπεδα V και H. Μια οπτική αναπαράσταση ενός συστήματος τριών επιπέδων προβολής δίνεται στο σχ. 87 α.

Οι ακμές μιας τριεδρικής γωνίας (η τομή των επιπέδων προβολής) ονομάζονται άξονες προβολής και συμβολίζονται με x, y και z. Η τομή των αξόνων προβολής ονομάζεται αρχή των αξόνων προβολής και συμβολίζεται με το γράμμα Ο. Ας ρίξουμε την κάθετο από το σημείο Α στο επίπεδο προβολής W και σημειώνοντας τη βάση της καθέτου με το γράμμα α, παίρνω προβολή προφίλσημεία Α.

Για να ληφθεί ένα σύνθετο σχέδιο, τα σημεία Α των επιπέδων H και W ευθυγραμμίζονται με το επίπεδο V, περιστρέφοντάς τα γύρω από τους άξονες Ox και Oz. Ένα σύνθετο σχέδιο του σημείου Α φαίνεται στο σχ. 87β και γ.

Τα τμήματα των προβαλλόμενων γραμμών από το σημείο Α προς τα επίπεδα προβολής ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου Α και συμβολίζονται: x A, y A και z A.

Για παράδειγμα, η συντεταγμένη z A του σημείου Α, ίση με το τμήμα a "a x (Εικ. 88, α και β), είναι η απόσταση από το σημείο Α στο οριζόντιο επίπεδο προβολής Η. Η συντεταγμένη στο σημείο Α, ίση με το Το τμήμα aa x, είναι η απόσταση από το σημείο Α έως το μετωπικό επίπεδο των προβολών V. Η συντεταγμένη x A ίση με το τμήμα aa y είναι η απόσταση από το σημείο Α έως το επίπεδο προφίλ των προβολών W.

Έτσι, η απόσταση μεταξύ της προβολής ενός σημείου και του άξονα προβολής καθορίζει τις συντεταγμένες του σημείου και είναι το κλειδί για την ανάγνωση του σύνθετου σχεδίου του. Με δύο προβολές ενός σημείου, μπορούν να προσδιοριστούν και οι τρεις συντεταγμένες ενός σημείου.

Εάν δίνονται οι συντεταγμένες του σημείου Α (για παράδειγμα, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm και z A \u003d 25 mm), τότε μπορούν να κατασκευαστούν τρεις προβολές αυτού του σημείου.

Για να γίνει αυτό, από την αρχή των συντεταγμένων O προς την κατεύθυνση του άξονα Oz, τοποθετείται η συντεταγμένη z A και η συντεταγμένη y A. τμήματα ίσα με τη συντεταγμένη x A. Τα σημεία που προκύπτουν a "και a - μετωπική και οριζόντια προβολήσημεία Α.

Σύμφωνα με δύο προβολές a "και ένα σημείο Α, η προβολή προφίλ του μπορεί να κατασκευαστεί με τρεις τρόπους:

1) από την αρχή O, σχεδιάζεται ένα βοηθητικό τόξο με ακτίνα Oa y ίση με τη συντεταγμένη (Εικ. 87, b και c), από το ληφθέν σημείο a y1 σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα Oz και βάλτε ένα τμήμα ίσο με z A;

2) από το σημείο a y, σχεδιάζεται μια βοηθητική ευθεία γραμμή υπό γωνία 45 ° ως προς τον άξονα Oy (Εικ. 88, α), προκύπτει ένα σημείο a y1 κ.λπ.

3) από την αρχή O, σχεδιάστε μια βοηθητική ευθεία γραμμή υπό γωνία 45 ° ως προς τον άξονα Oy (Εικ. 88, β), λάβετε ένα σημείο a y1 κ.λπ.