Εξισώσεις υψηλότερης τάξης που επιτρέπουν μείωση της σειράς. Μέθοδοι για τη μείωση της τάξης μιας εξίσωσης

Επομένως προκύπτει φυσική επιθυμίανα μειώσει μια εξίσωση τάξης υψηλότερη από την πρώτη σε μια εξίσωση χαμηλότερης τάξης. Σε ορισμένες περιπτώσεις αυτό μπορεί να γίνει. Ας τους δούμε.

1. Οι εξισώσεις της μορφής y (n) =f(x) λύνονται με διαδοχική ολοκλήρωση n φορές
, ,… .
Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση xy""=1. Μπορούμε, επομένως, να γράψουμε y"=ln|x| + C 1 και, ενσωματώνοντας ξανά, τελικά παίρνουμε y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. Σε εξισώσεις της μορφής F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (δηλαδή δεν περιέχουν ρητά μια άγνωστη συνάρτηση και μερικές από τις παραγώγους της), η σειρά μειώνεται χρησιμοποιώντας την αλλαγή της μεταβλητής y (k) = z(x). Τότε y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) και παίρνουμε την εξίσωση F(x,z,z",..,z (n - k)) τάξη ν-κ. Η λύση της είναι η συνάρτηση z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) ή, θυμόμαστε τι είναι z, παίρνουμε την εξίσωση y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) που λαμβάνεται υπόψη στην περίπτωση του τύπου 1.
Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση x 2 y"" = (y") 2. Κάντε την αντικατάσταση y"=z(x) . Τότε y""=z"(x). Αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση, παίρνουμε x 2 z"=z 2. Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές, παίρνουμε . Ενσωμάτωση, έχουμε , ή, που είναι το ίδιο, . Η τελευταία σχέση γράφεται με τη μορφή , από όπου . Ενσωματώνοντας, επιτέλους καταφέρνουμε
Παράδειγμα 2. Λύστε την εξίσωση x 3 y"" +x 2 y"=1. Κάνουμε αλλαγή μεταβλητών: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Κάνουμε αλλαγή μεταβλητών: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 ή u"x 2 -xu+xu=1 ή u"x^2=1. Από: u"=1/x 2 ή du/ dx=1/x 2 ή u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Αφού z=u/x, τότε z = -1/x 2 +c 1 /x. Αφού y"=z, τότε dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Απάντηση: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Η επόμενη εξίσωση που μπορεί να αναχθεί κατά σειρά είναι μια εξίσωση της μορφής F(y,y",y"",…,y (n))=0, η οποία δεν περιέχει ρητά μια ανεξάρτητη μεταβλητή. η εξίσωση μειώνεται αντικαθιστώντας τη μεταβλητή y" =p(y) , όπου p είναι η νέα επιθυμητή συνάρτηση ανάλογα με το y. Επειτα
= και ούτω καθεξής. Με επαγωγή έχουμε y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)) Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, μειώνουμε τη σειρά της κατά ένα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση (y") 2 +2yy""=0. Κάνουμε την τυπική αντικατάσταση y"=p(y), μετά y″=p′·p. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση, παίρνουμε Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές, για p≠0, έχουμε ή, που είναι το ίδιο πράγμα, . Τότε ή. Ενσωματώνοντας την τελευταία ισότητα, τελικά αποκτάμε Όταν διαχωρίζουμε μεταβλητές, θα μπορούσαμε να χάσουμε τη λύση y=C, η οποία προκύπτει για p=0, ή, το ίδιο, για y"=0, αλλά περιέχεται σε αυτή που λήφθηκε παραπάνω.

4. Μερικές φορές είναι δυνατό να παρατηρήσετε ένα χαρακτηριστικό που σας επιτρέπει να μειώσετε τη σειρά της εξίσωσης με τρόπους διαφορετικούς από αυτούς που συζητήθηκαν παραπάνω. Ας το δείξουμε αυτό με παραδείγματα.

Παραδείγματα.
1. Εάν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης yy"""=y′y″ διαιρούνται με yy″, προκύπτει μια εξίσωση που μπορεί να ξαναγραφτεί ως (lny″)′=(lny)′. Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι lny″=lny +lnC, ή, τι είναι το ίδιο, y″=Cy... Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση κατά τάξη μεγέθους μικρότερη και του τύπου που συζητήθηκε προηγουμένως.
2. Ομοίως, για την εξίσωση yy″=y′(y′+1) έχουμε, ή (ln(y"+1))" = (lny)". Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, ή y"=C 1 y-1. Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές και ολοκληρώνοντας, παίρνουμε ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Αποφασίζω εξισώσεις που μπορούν να μειωθούν κατά σειράείναι δυνατό με χρήση ειδικής υπηρεσίας

Μία από τις μεθόδους για την ενσωμάτωση DE υψηλότερης τάξης είναι η μέθοδος μείωσης παραγγελιών. Η ουσία της μεθόδου είναι ότι, με την αντικατάσταση μιας μεταβλητής (υποκατάσταση), αυτή η ΔΕ ανάγεται σε μια εξίσωση χαμηλότερης τάξης.

Ας εξετάσουμε τρεις τύπους εξισώσεων που επιτρέπουν μια μείωση κατά σειρά.

I. Ας δοθεί η εξίσωση

Η παραγγελία μπορεί να μειωθεί με είσοδο νέο χαρακτηριστικό p(x), βάζοντας y " =p(x). Στη συνέχεια y """ =p " (x) και παίρνουμε την πρώτη σειρά DE: p " =ƒ(x). Λύνοντάς την, δηλ. βρίσκοντας τη συνάρτηση p= p (x), λύστε την εξίσωση y " =р(x). Παίρνουμε κοινή απόφαση δεδομένη εξίσωση (3.6).

Στην πράξη, ενεργούν διαφορετικά: η σειρά μειώνεται άμεσα με τη διαδοχική ολοκλήρωση της εξίσωσης.

Επειδή Η εξίσωση (3.6) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή dy " =ƒ(x) dx. Στη συνέχεια, ενσωματώνοντας την εξίσωση y "" =ƒ(x), παίρνουμε: y " = ή y " =j1 (x) + с 1 Περαιτέρω, ενσωματώνοντας την εξίσωση που προκύπτει στο x, βρίσκουμε: - τη γενική λύση αυτής της εξίσωσης.Αν δοθεί η εξίσωση τότε, αφού το ενσωματώσουμε διαδοχικά n φορές, βρίσκουμε τη γενική λύση της εξίσωσης:

Παράδειγμα 3.1. Λύστε την εξίσωση

Λύση: Διαδοχική ενσωμάτωση τέσσερις φορές δεδομένη εξίσωση, παίρνουμε

Ας δοθεί η εξίσωση

Ας συμβολίσουμε y " =р, όπου р=р(х) είναι μια νέα άγνωστη συνάρτηση. Τότε y "" =p " και η εξίσωση (3.7) παίρνει τη μορφή p " =ƒ(х;р). Έστω р=j (х;с 1) είναι η γενική λύση της προκύπτουσας πρώτης τάξης ΔΕ. Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση p με y ", προκύπτει η ΔΕ: y " = j(x;c 1). Έχει τη μορφή (3.6). Για να βρείτε το y, αρκεί να ενσωματώσετε την τελευταία εξίσωση Η γενική λύση της εξίσωσης ( 3.7) θα έχει τη μορφή

Μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης (3.7) είναι η εξίσωση

που επίσης δεν περιέχει ρητά την επιθυμητή συνάρτηση, τότε η σειρά της μπορεί να μειωθεί κατά k μονάδες ορίζοντας y (k) = p (x). Τότε y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) και η εξίσωση (3.9) παίρνει τη μορφή F(x;p;p ";... ;p (n-κ ) )=0. Μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης (3.9) είναι η εξίσωση

Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση y (n-1) =p(x), y (n) =p " αυτή η εξίσωση ανάγεται σε μια πρώτης τάξης DE.

Παράδειγμα 3.2. Λύστε την εξίσωση

Λύση: Υποθέτουμε y"=p, όπου Επειτα Αυτή είναι μια χωριστή εξίσωση: Ενσωματώνοντας, παίρνουμε Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή, παίρνουμε y"=c 1 x,

- γενική λύση της εξίσωσης.

III. Θεωρήστε την εξίσωση

που δεν περιέχει ρητά την ανεξάρτητη μεταβλητή x.

Για να μειώσουμε τη σειρά της εξίσωσης, εισάγουμε μια νέα συνάρτηση p=p(y), ανάλογα με τη μεταβλητή y, θέτοντας y"=p. Διαφοροποιούμε αυτή την ισότητα ως προς το x, λαμβάνοντας υπόψη ότι p =p(y (Χ)):

δηλ. Τώρα η εξίσωση (3.10) θα γραφτεί στη μορφή

Έστω p=j(y;c 1) η γενική λύση αυτής της πρώτης τάξης DE. Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση p(y) με y», λαμβάνουμε το y"=j(y;c 1) - DE με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Ενσωματώνοντάς το, βρίσκουμε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (3.10):

Μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης (3.10) είναι η διαφορική εξίσωση

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μια παρόμοια αντικατάσταση: y " =p(y),

Κάνουμε το ίδιο όταν λύνουμε την εξίσωση F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Η σειρά της μπορεί να μειωθεί κατά ένα ορίζοντας y"=p, όπου p=p(y ). Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργίαβρίσκουμε Μετά βρίσκουμε

p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, ή p=c 1 ey+y. Αντικαθιστώντας το p με y ", παίρνουμε: y"=c 1 -e y +y. Αντικαθιστώντας τα y"=2 και y=2 σε αυτήν την ισότητα, βρίσκουμε με 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

Έχουμε y"=y. Άρα y=c 2 e x. Βρίσκουμε c 2 από τις αρχικές συνθήκες: 2=c 2 e°, c 2 =2. Άρα, y=2e x είναι μια συγκεκριμένη λύση αυτού

Η διαφορική εξίσωση 2ης τάξης έχει τη μορφή:

Η γενική λύση της εξίσωσης είναι μια οικογένεια συναρτήσεων που εξαρτώνται από δύο αυθαίρετες σταθερές και: (ή - το γενικό ολοκλήρωμα διαφορική εξίσωση 2η τάξη). Το πρόβλημα Cauchy για τη διαφορική εξίσωση 2ης τάξης (1.1) συνίσταται στην εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης στην εξίσωση που ικανοποιεί αρχικές συνθήκες: σε: , . Πρέπει να σημειωθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των λύσεων μιας εξίσωσης 2ης τάξης μπορούν να τέμνονται, σε αντίθεση με τις γραφικές παραστάσεις των λύσεων μιας εξίσωσης 1ης τάξης. Ωστόσο, η λύση στο πρόβλημα Cauchy για εξισώσεις δεύτερης τάξης (1.1) κάτω από αρκετά ευρείες παραδοχές για τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση είναι μοναδική, δηλ. οποιεσδήποτε δύο λύσεις με κοινή αρχική συνθήκη συμπίπτουν στη διασταύρωση των διαστημάτων ορισμού.

Δεν είναι πάντα δυνατό να ληφθεί μια γενική λύση ή να λυθεί το πρόβλημα Cauchy για μια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης αναλυτικά. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατό να μειωθεί η σειρά της εξίσωσης εισάγοντας διάφορες αντικαταστάσεις. Ας δούμε αυτές τις περιπτώσεις.

1. Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά ανεξάρτητη μεταβλητή.

Έστω η διαφορική εξίσωση 2ης τάξης να έχει τη μορφή: , δηλ. δεν υπάρχει σαφώς καμία ανεξάρτητη μεταβλητή στην εξίσωση (1.1). Αυτό μας επιτρέπει να το πάρουμε ως νέο όρισμα και να πάρουμε την παράγωγο 1ης τάξης ως νέα συνάρτηση. Επειτα.

Έτσι, μια εξίσωση 2ης τάξης για μια συνάρτηση που δεν περιέχεται ρητά έχει αναχθεί σε μια εξίσωση 1ης τάξης για μια συνάρτηση. Ολοκληρώνοντας αυτήν την εξίσωση, λαμβάνουμε το γενικό ολοκλήρωμα ή, και αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης για τη συνάρτηση. Λύνοντάς το, παίρνουμε το γενικό ολοκλήρωμα της αρχικής διαφορικής εξίσωσης, ανάλογα με δύο αυθαίρετες σταθερές: .

Παράδειγμα 1. Λύστε μια διαφορική εξίσωση για δεδομένες αρχικές συνθήκες: , .

Εφόσον δεν υπάρχει ρητό όρισμα στην αρχική εξίσωση, θα πάρουμε το a ως νέα ανεξάρτητη μεταβλητή και - ως. Τότε γίνεται η εξίσωση επόμενη προβολήγια λειτουργία: .

Αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές: . Πού ακολουθεί, δηλ. .

Αφού για και, αντικαθιστώντας στη συνέχεια τις αρχικές συνθήκες στην τελευταία ισότητα, λαμβάνουμε αυτό το και, που είναι ισοδύναμο. Ως αποτέλεσμα, για τη συνάρτηση έχουμε μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές, λύνοντας τις οποίες λαμβάνουμε. Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, το παίρνουμε. Ως εκ τούτου, μερικό ολοκλήρωμαη εξίσωση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες έχει τη μορφή: .

2. Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά την επιθυμητή συνάρτηση.

Έστω η διαφορική εξίσωση 2ης τάξης να έχει τη μορφή: , δηλ. η εξίσωση σαφώς δεν περιλαμβάνει την επιθυμητή συνάρτηση. Σε αυτή την περίπτωση, εισάγεται μια δήλωση. Τότε η εξίσωση 2ης τάξης για τη συνάρτηση μετατρέπεται σε εξίσωση 1ης τάξης για τη συνάρτηση. Έχοντας την ενσωματώσει, προκύπτει μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης για τη συνάρτηση: . Λύνοντας την τελευταία εξίσωση, παίρνουμε το γενικό ολοκλήρωμα της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης, ανάλογα με δύο αυθαίρετες σταθερές: .