Υπολογισμός παραδειγμάτων απόλυτων και σχετικών σφαλμάτων. Απόλυτο σφάλμα μέτρησης

X = X μέσος όρος X

Απόλυτος

λάθος

Συγγενής

λάθος

α+ σι

α+ σι

Συχνά στη ζωή έχουμε να αντιμετωπίσουμε διάφορες κατά προσέγγιση ποσότητες. Οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί είναι πάντα υπολογισμοί με κάποιο σφάλμα.

Η έννοια του απόλυτου λάθους

Το απόλυτο σφάλμα μιας κατά προσέγγιση τιμής είναι το μέγεθος της διαφοράς μεταξύ της ακριβούς τιμής και της κατά προσέγγιση τιμής.
Δηλαδή, πρέπει να αφαιρέσετε την κατά προσέγγιση τιμή από την ακριβή τιμή και να πάρετε το συντελεστή αριθμών που προκύπτει. Έτσι, το απόλυτο σφάλμα είναι πάντα θετικό.

Πώς να υπολογίσετε το απόλυτο σφάλμα

Ας δείξουμε πώς μπορεί να μοιάζει αυτό στην πράξη. Για παράδειγμα, έχουμε ένα γράφημα ορισμένης τιμής, έστω παραβολή: y=x^2.

Από το γράφημα μπορούμε να προσδιορίσουμε την κατά προσέγγιση τιμή σε ορισμένα σημεία. Για παράδειγμα, στο x=1,5 η τιμή του y είναι περίπου ίση με 2,2 (y≈2,2).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο y=x^2 μπορούμε να βρούμε την ακριβή τιμή στο σημείο x=1,5 y= 2,25.

Ας υπολογίσουμε τώρα το απόλυτο σφάλμα των μετρήσεών μας. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Το απόλυτο σφάλμα είναι 0,05. Σε τέτοιες περιπτώσεις, λένε επίσης ότι η τιμή υπολογίζεται με ακρίβεια 0,05.

Συχνά συμβαίνει ότι η ακριβής τιμή δεν μπορεί πάντα να βρεθεί και επομένως το απόλυτο σφάλμα δεν μπορεί πάντα να βρεθεί.

Για παράδειγμα, αν υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων χρησιμοποιώντας έναν χάρακα ή την τιμή της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο, τότε θα λάβουμε κατά προσέγγιση τιμές. Αλλά η ακριβής τιμή είναι αδύνατο να υπολογιστεί. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να καθορίσουμε έναν αριθμό έτσι ώστε η απόλυτη τιμή σφάλματος να μην μπορεί να είναι μεγαλύτερη.

Στο παράδειγμα με χάρακα, αυτό θα είναι 0,1 cm, αφού η τιμή διαίρεσης στον χάρακα είναι 1 χιλιοστό. Στο παράδειγμα για το μοιρογνωμόνιο, 1 βαθμός επειδή η κλίμακα του μοιρογνωμόνιου είναι βαθμολογημένη σε κάθε βαθμό. Έτσι, οι απόλυτες τιμές σφάλματος στην πρώτη περίπτωση είναι 0,1 και στη δεύτερη περίπτωση 1.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, όταν συγκρίνουμε την ακρίβεια μιας μέτρησης κάποιας κατά προσέγγιση τιμής, χρησιμοποιούμε απόλυτο σφάλμα.

Η έννοια του απόλυτου λάθους

Το απόλυτο σφάλμα της κατά προσέγγιση τιμής είναι το μέγεθος της διαφοράς μεταξύ της ακριβούς τιμής και της κατά προσέγγιση τιμής.
Το απόλυτο σφάλμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συγκρίνουμε την ακρίβεια των προσεγγίσεων των ίδιων μεγεθών, αλλά αν πρόκειται να συγκρίνουμε την ακρίβεια των προσεγγίσεων διαφορετικών μεγεθών, τότε το απόλυτο σφάλμα από μόνο του δεν αρκεί.

Για παράδειγμα:Το μήκος ενός φύλλου χαρτιού Α4 είναι (29,7 ± 0,1) εκ. Και η απόσταση από την Αγία Πετρούπολη στη Μόσχα είναι (650 ± 1) χλμ. Το απόλυτο σφάλμα στην πρώτη περίπτωση δεν υπερβαίνει το ένα χιλιοστό και στη δεύτερη - ένα χιλιόμετρο. Το ερώτημα είναι να συγκρίνουμε την ακρίβεια αυτών των μετρήσεων.

Αν νομίζετε ότι το μήκος του φύλλου μετριέται με μεγαλύτερη ακρίβεια γιατί το απόλυτο σφάλμα δεν ξεπερνά το 1 mm. Τότε κάνεις λάθος. Αυτές οι τιμές δεν μπορούν να συγκριθούν άμεσα. Ας κάνουμε λίγο συλλογισμό.

Κατά τη μέτρηση του μήκους ενός φύλλου, το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τα 0,1 cm ανά 29,7 cm, δηλαδή σε ποσοστιαίες τιμές είναι 0,1/29,7 * 100% = 0,33% της μετρούμενης τιμής.

Όταν μετράμε την απόσταση από την Αγία Πετρούπολη έως τη Μόσχα, το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει το 1 km ανά 650 km, το οποίο ως ποσοστό είναι 1/650 * 100% = 0,15% της μετρούμενης τιμής. Βλέπουμε ότι η απόσταση μεταξύ των πόλεων μετριέται με μεγαλύτερη ακρίβεια από το μήκος ενός φύλλου Α4.

Η έννοια του σχετικού λάθους

Εδώ, για να εκτιμηθεί η ποιότητα της προσέγγισης, εισάγεται μια νέα έννοια, το σχετικό σφάλμα. Σχετικό λάθος- αυτό είναι το πηλίκο διαίρεσης του απόλυτου σφάλματος με τη μονάδα των κατά προσέγγιση τιμών της μετρούμενης τιμής. Συνήθως, το σχετικό σφάλμα εκφράζεται ως ποσοστό. Στο παράδειγμά μας, λάβαμε δύο σχετικά σφάλματα ίσα με 0,33% και 0,15%.

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, η τιμή του σχετικού σφάλματος είναι πάντα θετική. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το απόλυτο σφάλμα είναι πάντα μια θετική τιμή, και το διαιρούμε με την ενότητα, και η ενότητα είναι επίσης πάντα θετική.

Λόγω των εγγενών σφαλμάτων του οργάνου μέτρησης, της επιλεγμένης μεθόδου και διαδικασίας μέτρησης, των διαφορών στις εξωτερικές συνθήκες στις οποίες πραγματοποιείται η μέτρηση από τις καθιερωμένες και άλλων λόγων, το αποτέλεσμα σχεδόν κάθε μέτρησης επιβαρύνεται με σφάλματα. Αυτό το σφάλμα υπολογίζεται ή εκτιμάται και αποδίδεται στο αποτέλεσμα που προκύπτει.

Σφάλμα αποτελέσματος μέτρησης(εν συντομία - σφάλμα μέτρησης) - η απόκλιση του αποτελέσματος της μέτρησης από την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής.

Η πραγματική αξία της ποσότητας παραμένει άγνωστη λόγω της παρουσίας σφαλμάτων. Χρησιμοποιείται για την επίλυση θεωρητικών προβλημάτων μετρολογίας. Στην πράξη, χρησιμοποιείται η πραγματική τιμή της ποσότητας, η οποία αντικαθιστά την πραγματική τιμή.

Το σφάλμα μέτρησης (Δx) βρίσκεται από τον τύπο:

x = x meas. - x ισχύει (1.3)

όπου x σημαίνει. - την τιμή της ποσότητας που λαμβάνεται βάσει μετρήσεων· x ισχύει — την αξία της ποσότητας που λαμβάνεται ως πραγματική.

Για μεμονωμένες μετρήσεις, η πραγματική τιμή συχνά λαμβάνεται ως η τιμή που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας ένα τυπικό όργανο μέτρησης· για πολλαπλές μετρήσεις, ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών των μεμονωμένων μετρήσεων που περιλαμβάνονται σε μια δεδομένη σειρά.

Τα σφάλματα μέτρησης μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:

Από τη φύση των εκδηλώσεων - συστηματικές και τυχαίες.

Σύμφωνα με τη μέθοδο έκφρασης - απόλυτη και σχετική.

Σύμφωνα με τις συνθήκες αλλαγής της μετρούμενης τιμής - στατική και δυναμική.

Σύμφωνα με τη μέθοδο επεξεργασίας ενός αριθμού μετρήσεων - αριθμητικοί μέσοι όροι και ριζικά μέσα τετράγωνα.

Σύμφωνα με την πληρότητα της κάλυψης της εργασίας μέτρησης - μερική και πλήρης.

Σε σχέση με μια μονάδα φυσικής ποσότητας - σφάλματα κατά την αναπαραγωγή της μονάδας, την αποθήκευση της μονάδας και τη μετάδοση του μεγέθους της μονάδας.

Συστηματικό σφάλμα μέτρησης(εν συντομία - συστηματικό σφάλμα) - ένα συστατικό του σφάλματος ενός αποτελέσματος μέτρησης που παραμένει σταθερό για μια δεδομένη σειρά μετρήσεων ή αλλάζει φυσικά με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας φυσικής ποσότητας.

Ανάλογα με τη φύση της εκδήλωσής τους, τα συστηματικά σφάλματα διακρίνονται σε μόνιμα, προοδευτικά και περιοδικά. Συνεχή συστηματικά λάθη(συνοπτικά - σταθερά σφάλματα) - σφάλματα που διατηρούν την αξία τους για μεγάλο χρονικό διάστημα (για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια ολόκληρης της σειράς μετρήσεων). Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος τύπος σφάλματος.

Προοδευτικά συστηματικά σφάλματα(συνοπτικά - προοδευτικά σφάλματα) - σφάλματα συνεχώς αυξανόμενα ή μειούμενα (για παράδειγμα, σφάλματα από τη φθορά των άκρων μέτρησης που έρχονται σε επαφή με το εξάρτημα κατά τη διαδικασία λείανσης κατά την παρακολούθηση του με μια ενεργή συσκευή ελέγχου).

Περιοδικό συστηματικό σφάλμα(συνοπτικά - περιοδικό σφάλμα) - ένα σφάλμα, η τιμή του οποίου είναι συνάρτηση του χρόνου ή συνάρτηση της κίνησης του δείκτη μιας συσκευής μέτρησης (για παράδειγμα, η παρουσία εκκεντρότητας σε συσκευές γωνιομέτρου με κυκλική κλίμακα προκαλεί συστηματική σφάλμα που ποικίλλει σύμφωνα με έναν περιοδικό νόμο).

Με βάση τους λόγους για την εμφάνιση συστηματικών σφαλμάτων, γίνεται διάκριση μεταξύ σφαλμάτων οργάνων, σφαλμάτων μεθόδου, υποκειμενικών σφαλμάτων και σφαλμάτων που οφείλονται σε αποκλίσεις των εξωτερικών συνθηκών μέτρησης από εκείνες που καθορίζονται από τις μεθόδους.

Σφάλμα μέτρησης οργάνου(εν συντομία - σφάλμα οργάνου) είναι συνέπεια πολλών λόγων: φθορά των εξαρτημάτων της συσκευής, υπερβολική τριβή στον μηχανισμό της συσκευής, ανακριβής σήμανση κτυπημάτων στην κλίμακα, απόκλιση μεταξύ των πραγματικών και ονομαστικών τιμών του μέτρου κ.λπ. .

Σφάλμα μεθόδου μέτρησης(εν συντομία - σφάλμα μεθόδου) μπορεί να προκύψει λόγω της ατέλειας της μεθόδου μέτρησης ή των απλουστεύσεών της που καθορίζονται από τη μεθοδολογία μέτρησης. Για παράδειγμα, ένα τέτοιο σφάλμα μπορεί να οφείλεται σε ανεπαρκή απόδοση των οργάνων μέτρησης που χρησιμοποιούνται κατά τη μέτρηση των παραμέτρων γρήγορων διεργασιών ή σε μη καταλογισμένες ακαθαρσίες κατά τον προσδιορισμό της πυκνότητας μιας ουσίας με βάση τα αποτελέσματα της μέτρησης της μάζας και του όγκου της.

Υποκειμενικό σφάλμα μέτρησης(εν συντομία - υποκειμενικό σφάλμα) οφείλεται στα μεμονωμένα λάθη του χειριστή. Αυτό το σφάλμα μερικές φορές ονομάζεται προσωπική διαφορά. Προκαλείται, για παράδειγμα, από καθυστέρηση ή πρόοδο στην αποδοχή ενός σήματος από τον χειριστή.

Σφάλμα λόγω απόκλισης(προς μία κατεύθυνση) οι εξωτερικές συνθήκες μέτρησης από αυτές που καθορίζονται από την τεχνική μέτρησης οδηγεί στην εμφάνιση μιας συστηματικής συνιστώσας του σφάλματος μέτρησης.

Τα συστηματικά σφάλματα παραμορφώνουν το αποτέλεσμα της μέτρησης, επομένως πρέπει να εξαλειφθούν όσο το δυνατόν περισσότερο με την εισαγωγή διορθώσεων ή την προσαρμογή της συσκευής ώστε τα συστηματικά σφάλματα να περιορίζονται στο αποδεκτό ελάχιστο.

Μη εξαιρούμενο συστηματικό σφάλμα(εν συντομία - μη εξαιρούμενο σφάλμα) είναι το σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης, λόγω του σφάλματος στον υπολογισμό και την εισαγωγή διόρθωσης για την ενέργεια ενός συστηματικού σφάλματος, ή ενός μικρού συστηματικού σφάλματος, για το οποίο η διόρθωση δεν εισάγεται λόγω στη μικρότητα του.

Μερικές φορές αυτό το είδος σφάλματος ονομάζεται μη εξαιρούμενα υπολείμματα συστηματικού σφάλματος(εν ολίγοις - μη εξαιρούμενα υπόλοιπα). Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση του μήκους ενός μετρητή γραμμής σε μήκη κύματος ακτινοβολίας αναφοράς, εντοπίστηκαν αρκετά μη εξαιρούμενα συστηματικά σφάλματα (i): λόγω ανακριβούς μέτρησης θερμοκρασίας - 1; λόγω ανακριβούς προσδιορισμού του δείκτη διάθλασης του αέρα - 2, λόγω ανακριβούς μήκους κύματος - 3.

Συνήθως λαμβάνεται υπόψη το άθροισμα των μη εξαιρούμενων συστηματικών σφαλμάτων (ορίζονται τα όριά τους). Όταν ο αριθμός των όρων είναι N ≤ 3, τα όρια των μη εξαιρούμενων συστηματικών σφαλμάτων υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Όταν ο αριθμός των όρων είναι N ≥ 4, ο τύπος χρησιμοποιείται για υπολογισμούς

(1.5)

όπου k είναι ο συντελεστής εξάρτησης των μη εξαιρούμενων συστηματικών σφαλμάτων από την επιλεγμένη πιθανότητα εμπιστοσύνης P όταν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα. Στο P = 0,99, k = 1,4, στο P = 0,95, k = 1,1.

Τυχαίο σφάλμα μέτρησης(εν συντομία - τυχαίο σφάλμα) - μια συνιστώσα του σφάλματος ενός αποτελέσματος μέτρησης που αλλάζει τυχαία (σε πρόσημο και τιμή) σε μια σειρά μετρήσεων του ίδιου μεγέθους μιας φυσικής ποσότητας. Λόγοι για τυχαία σφάλματα: σφάλματα στρογγυλοποίησης κατά τη λήψη μετρήσεων, διακύμανση στις μετρήσεις, αλλαγές στις τυχαίες συνθήκες μέτρησης κ.λπ.

Τα τυχαία σφάλματα προκαλούν διασπορά των αποτελεσμάτων μέτρησης σε μια σειρά.

Η θεωρία των σφαλμάτων βασίζεται σε δύο αρχές, που επιβεβαιώνονται από την πράξη:

1. Με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, τυχαία σφάλματα της ίδιας αριθμητικής τιμής, αλλά διαφορετικών προσώπων, συμβαίνουν εξίσου συχνά.

2. Τα μεγάλα (σε απόλυτη τιμή) σφάλματα είναι λιγότερο συχνά από τα μικρά.

Από την πρώτη θέση ακολουθεί ένα σημαντικό συμπέρασμα για εξάσκηση: όσο αυξάνεται ο αριθμός των μετρήσεων, το τυχαίο σφάλμα του αποτελέσματος που προκύπτει από μια σειρά μετρήσεων μειώνεται, αφού το άθροισμα των σφαλμάτων των μεμονωμένων μετρήσεων μιας δεδομένης σειράς τείνει στο μηδέν, δηλ.

(1.6)

Για παράδειγμα, ως αποτέλεσμα μετρήσεων, λήφθηκαν ορισμένες τιμές ηλεκτρικής αντίστασης (διορθώθηκαν για τις επιπτώσεις συστηματικών σφαλμάτων): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15, 6 ohms και R 5 = 15,4 ohms. Ως εκ τούτου R = 15,5 Ohm. Οι αποκλίσεις από το R (R 1 = 0,0, R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm και R 5 = -0,1 Ohm) είναι τυχαία σφάλματα μεμονωμένων μετρήσεων αυτής της σειράς. Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το άθροισμα R i = 0,0. Αυτό δείχνει ότι τα σφάλματα σε μεμονωμένες μετρήσεις αυτής της σειράς υπολογίστηκαν σωστά.

Παρά το γεγονός ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των μετρήσεων, το άθροισμα των τυχαίων σφαλμάτων τείνει στο μηδέν (σε αυτό το παράδειγμα αποδείχθηκε κατά λάθος μηδέν), το τυχαίο σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης πρέπει να αξιολογηθεί. Στη θεωρία των τυχαίων μεταβλητών, η διασπορά o2 χρησιμεύει ως χαρακτηριστικό της διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής. "|/o2 = a ονομάζεται η μέση τετραγωνική απόκλιση του πληθυσμού ή τυπική απόκλιση.

Είναι πιο βολικό από τη διασπορά, καθώς η διάστασή του συμπίπτει με τη διάσταση της μετρούμενης ποσότητας (για παράδειγμα, η τιμή της ποσότητας λαμβάνεται σε βολτ, η τυπική απόκλιση θα είναι επίσης σε βολτ). Εφόσον στην πρακτική των μετρήσεων έχουμε να κάνουμε με τον όρο «σφάλμα», ο παράγωγος όρος «μέσο τετραγωνικό σφάλμα» θα πρέπει να χρησιμοποιείται για να χαρακτηρίσει έναν αριθμό μετρήσεων. Χαρακτηριστικό μιας σειράς μετρήσεων μπορεί να είναι το αριθμητικό μέσο σφάλμα ή το εύρος των αποτελεσμάτων των μετρήσεων.

Το εύρος των αποτελεσμάτων μέτρησης (περιθώριο για συντομία) είναι η αλγεβρική διαφορά μεταξύ των μεγαλύτερων και των μικρότερων αποτελεσμάτων μεμονωμένων μετρήσεων, σχηματίζοντας μια σειρά (ή δείγμα) από n μετρήσεις:

R n = X max - X min (1,7)

όπου R n είναι η περιοχή. Τα X max και X min είναι οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας ποσότητας σε μια δεδομένη σειρά μετρήσεων.

Για παράδειγμα, από πέντε μετρήσεις της διαμέτρου της οπής d, οι τιμές R 5 = 25,56 mm και R 1 = 25,51 mm αποδείχθηκαν οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές της. Σε αυτή την περίπτωση, Rn = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Αυτό σημαίνει ότι τα υπόλοιπα σφάλματα σε αυτή τη σειρά είναι λιγότερα από 0,05 mm.

Αριθμητικός μέσος όρος σφάλματος μιας μεμονωμένης μέτρησης σε μια σειρά(συνοπτικά - αριθμητικό μέσο σφάλμα) - ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό της διασποράς (λόγω τυχαίων λόγων) μεμονωμένων αποτελεσμάτων μετρήσεων (της ίδιας ποσότητας) που περιλαμβάνονται σε μια σειρά n ανεξάρτητων μετρήσεων ίσης ακρίβειας, που υπολογίζονται με τον τύπο

(1.8)

όπου X i είναι το αποτέλεσμα της i-ης μέτρησης που περιλαμβάνεται στη σειρά. x είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των n τιμών: |Х і - X| — απόλυτη τιμή του σφάλματος της i-ης μέτρησης. r είναι το αριθμητικό μέσο σφάλμα.

Η πραγματική τιμή του μέσου αριθμητικού σφάλματος p προσδιορίζεται από τη σχέση

p = λιμ r, (1,9)

Με τον αριθμό των μετρήσεων n > 30 μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου (r) και του μέσου τετραγώνου της ρίζας (μικρό)υπάρχουν συσχετισμοί μεταξύ λαθών

s = 1,25 r; r και= 0,80 s. (1.10)

Το πλεονέκτημα του αριθμητικού μέσου σφάλματος είναι η απλότητα του υπολογισμού του. Ωστόσο, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσδιορίζεται συχνότερα.

Μέσο τετράγωνο σφάλμαμεμονωμένη μέτρηση σε μια σειρά (εν συντομία - μέσο τετραγωνικό σφάλμα) - ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό της διασποράς (λόγω τυχαίων λόγων) των μεμονωμένων αποτελεσμάτων μετρήσεων (της ίδιας τιμής) που περιλαμβάνονται σε μια σειρά Πίσης ακρίβειας ανεξάρτητες μετρήσεις, που υπολογίζονται με τον τύπο

(1.11)

Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα για το γενικό δείγμα o, το οποίο είναι το στατιστικό όριο S, μπορεί να υπολογιστεί στο /i-mx > χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Σ = lim S (1.12)

Στην πραγματικότητα, ο αριθμός των μετρήσεων είναι πάντα περιορισμένος, άρα δεν είναι σ , και την κατά προσέγγιση τιμή (ή εκτίμηση), που είναι s. Περισσότερο Π,όσο πιο κοντά είναι το s στο όριό του σ .

Με έναν κανονικό νόμο κατανομής, η πιθανότητα το σφάλμα μιας μεμονωμένης μέτρησης σε μια σειρά να μην υπερβαίνει το υπολογισμένο μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι μικρή: 0,68. Επομένως, σε 32 περιπτώσεις από τις 100 ή 3 από τις 10, το πραγματικό σφάλμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το υπολογιζόμενο.

Σχήμα 1.2 Μείωση της τιμής του τυχαίου σφάλματος του αποτελέσματος πολλαπλών μετρήσεων με αύξηση του αριθμού των μετρήσεων σε μια σειρά

Σε μια σειρά μετρήσεων, υπάρχει μια σχέση μεταξύ του ριζικού μέσου τετραγώνου σφάλματος μιας μεμονωμένης μέτρησης s και του ριζικού μέσου τετραγώνου σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου S x:

που συχνά αποκαλείται «κανόνας U n». Από αυτόν τον κανόνα προκύπτει ότι το σφάλμα μέτρησης λόγω τυχαίων αιτιών μπορεί να μειωθεί κατά n φορές εάν πραγματοποιηθούν n μετρήσεις του ίδιου μεγέθους οποιασδήποτε ποσότητας και ως τελικό αποτέλεσμα ληφθεί ο αριθμητικός μέσος όρος (Εικ. 1.2).

Η εκτέλεση τουλάχιστον 5 μετρήσεων σε μια σειρά καθιστά δυνατή τη μείωση της επίδρασης των τυχαίων σφαλμάτων κατά περισσότερες από 2 φορές. Με 10 μετρήσεις, η επίδραση του τυχαίου σφάλματος μειώνεται κατά 3 φορές. Μια περαιτέρω αύξηση του αριθμού των μετρήσεων δεν είναι πάντα οικονομικά εφικτή και, κατά κανόνα, πραγματοποιείται μόνο για κρίσιμες μετρήσεις που απαιτούν υψηλή ακρίβεια.

Το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μεμονωμένης μέτρησης από έναν αριθμό ομοιογενών διπλών μετρήσεων S α υπολογίζεται από τον τύπο

(1.14)

όπου x" i και x"" i είναι το i-ο αποτέλεσμα μετρήσεων της ίδιας ποσότητας μεγέθους προς την εμπρός και την αντίστροφη κατεύθυνση με ένα όργανο μέτρησης.

Σε περίπτωση άνισων μετρήσεων, το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου στη σειρά καθορίζεται από τον τύπο

(1.15)

όπου p i είναι το βάρος της i-ης μέτρησης σε μια σειρά άνισων μετρήσεων.

Το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα του αποτελέσματος έμμεσων μετρήσεων της τιμής Y, το οποίο είναι συνάρτηση του Y = F (X 1, X 2, X n), υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

(1.16)

όπου S 1, S 2, S n είναι τα ριζικά μέσα τετραγωνικά σφάλματα των αποτελεσμάτων μέτρησης των μεγεθών X 1, X 2, X n.

Εάν, για μεγαλύτερη αξιοπιστία για τη λήψη ενός ικανοποιητικού αποτελέσματος, πραγματοποιηθούν πολλές σειρές μετρήσεων, το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μεμονωμένης μέτρησης από τη σειρά m (S m) βρίσκεται από τον τύπο

(1.17)

Όπου n είναι ο αριθμός των μετρήσεων στη σειρά. N είναι ο συνολικός αριθμός μετρήσεων σε όλες τις σειρές. m είναι ο αριθμός των σειρών.

Με περιορισμένο αριθμό μετρήσεων, είναι συχνά απαραίτητο να γνωρίζουμε το ριζικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Για να προσδιορίσετε το σφάλμα S, που υπολογίζεται με τον τύπο (2.7) και το σφάλμα S m, που υπολογίζεται με τον τύπο (2.12), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες εκφράσεις

(1.18)

(1.19)

όπου S και S m είναι τα μέσα τετραγωνικά σφάλματα των S και S m, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων ενός αριθμού μετρήσεων μήκους x, λάβαμε

= 86 mm 2 σε n = 10,

= 3,1 χλστ

= 0,7 mm ή S = ±0,7 mm

Η τιμή S = ±0,7 mm σημαίνει ότι λόγω του σφάλματος υπολογισμού, το s βρίσκεται στην περιοχή από 2,4 έως 3,8 mm, επομένως τα δέκατα του χιλιοστού είναι αναξιόπιστα εδώ. Στην εξεταζόμενη περίπτωση, πρέπει να γράψουμε: S = ±3 mm.

Για να έχετε μεγαλύτερη εμπιστοσύνη στην αξιολόγηση του σφάλματος ενός αποτελέσματος μέτρησης, υπολογίστε το σφάλμα εμπιστοσύνης ή τα όρια εμπιστοσύνης του σφάλματος. Σύμφωνα με τον νόμο της κανονικής κατανομής, τα όρια εμπιστοσύνης του σφάλματος υπολογίζονται ως ±t-s ή ±t-s x, όπου s και s x είναι τα μέσα τετραγωνικά σφάλματα, αντίστοιχα, μιας μεμονωμένης μέτρησης στη σειρά και ο αριθμητικός μέσος όρος. Το t είναι ένας αριθμός που εξαρτάται από την πιθανότητα εμπιστοσύνης P και τον αριθμό των μετρήσεων n.

Μια σημαντική έννοια είναι η αξιοπιστία του αποτελέσματος της μέτρησης (α), δηλ. την πιθανότητα η επιθυμητή τιμή της μετρούμενης ποσότητας να εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα εμπιστοσύνης.

Για παράδειγμα, κατά την επεξεργασία εξαρτημάτων σε εργαλειομηχανές σε σταθερό τεχνολογικό τρόπο, η κατανομή των σφαλμάτων υπακούει στον κανονικό νόμο. Ας υποθέσουμε ότι η ανοχή μήκους τμήματος έχει οριστεί σε 2a. Σε αυτή την περίπτωση, το διάστημα εμπιστοσύνης στο οποίο βρίσκεται η επιθυμητή τιμή του μήκους του τμήματος a θα είναι (a - a, a + a).

Εάν 2a = ±3s, τότε η αξιοπιστία του αποτελέσματος είναι a = 0,68, δηλαδή σε 32 περιπτώσεις από τις 100 θα πρέπει να περιμένει κανείς ότι το μέγεθος του εξαρτήματος θα υπερβαίνει την ανοχή 2a. Κατά την αξιολόγηση της ποιότητας ενός εξαρτήματος σύμφωνα με μια ανοχή 2a = ±3s, η αξιοπιστία του αποτελέσματος θα είναι 0,997. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να περιμένουμε μόνο τρία μέρη από τα 1000 να υπερβαίνουν την καθορισμένη ανοχή. Ωστόσο, η αύξηση της αξιοπιστίας είναι δυνατή μόνο με τη μείωση του σφάλματος στο μήκος του εξαρτήματος. Έτσι, για να αυξηθεί η αξιοπιστία από a = 0,68 σε a = 0,997, το σφάλμα στο μήκος του εξαρτήματος πρέπει να μειωθεί κατά τρεις φορές.

Πρόσφατα, ο όρος «αξιοπιστία μετρήσεων» έχει γίνει ευρέως διαδεδομένος. Σε ορισμένες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται αδικαιολόγητα αντί του όρου "ακρίβεια μέτρησης". Για παράδειγμα, σε ορισμένες πηγές μπορείτε να βρείτε την έκφραση «καθιέρωση της ενότητας και της αξιοπιστίας των μετρήσεων στη χώρα». Ενώ θα ήταν πιο σωστό να πούμε «καθιερώνοντας την ενότητα και την απαιτούμενη ακρίβεια των μετρήσεων». Θεωρούμε την αξιοπιστία ως ένα ποιοτικό χαρακτηριστικό που αντανακλά την εγγύτητα στο μηδέν των τυχαίων σφαλμάτων. Μπορεί να προσδιοριστεί ποσοτικά μέσω της αναξιοπιστίας των μετρήσεων.

Αναξιοπιστία των μετρήσεων(εν συντομία - αναξιοπιστία) - αξιολόγηση της απόκλισης μεταξύ των αποτελεσμάτων σε μια σειρά μετρήσεων λόγω της επίδρασης της συνολικής επιρροής τυχαίων σφαλμάτων (που καθορίζονται από στατιστικές και μη στατιστικές μεθόδους), που χαρακτηρίζεται από το εύρος τιμών στην οποία βρίσκεται η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής.

Σύμφωνα με τις συστάσεις του International Bureau of Weights and Measures, η αναξιοπιστία εκφράζεται με τη μορφή ενός συνολικού μέσου τετραγώνου σφάλματος μέτρησης - Su, συμπεριλαμβανομένου του μέσου τετραγώνου σφάλματος S (που καθορίζεται με στατιστικές μεθόδους) και του μέσου τετραγώνου σφάλματος u (καθορισμένο με μη στατιστικές μεθόδους), δηλ.

(1.20)

Μέγιστο σφάλμα μέτρησης(συνοπτικά - μέγιστο σφάλμα) - το μέγιστο σφάλμα μέτρησης (συν, μείον), η πιθανότητα του οποίου δεν υπερβαίνει την τιμή P, ενώ η διαφορά 1 - P είναι ασήμαντη.

Για παράδειγμα, με έναν νόμο κανονικής κατανομής, η πιθανότητα ενός τυχαίου σφάλματος ίσου με ±3s είναι 0,997 και η διαφορά 1-P = 0,003 είναι ασήμαντη. Επομένως, σε πολλές περιπτώσεις, το σφάλμα εμπιστοσύνης των ±3 λαμβάνεται ως μέγιστο, δηλ. pr = ±3s. Εάν είναι απαραίτητο, το pr μπορεί να έχει άλλες σχέσεις με το s σε αρκετά μεγάλο P (2s, 2,5s, 4s, κ.λπ.).

Λόγω του γεγονότος ότι στα πρότυπα GSI, αντί του όρου «μέσο τετραγωνικό σφάλμα», χρησιμοποιείται ο όρος «μέση τετραγωνική απόκλιση», σε περαιτέρω συζητήσεις θα εμμείνουμε σε αυτόν ακριβώς τον όρο.

Απόλυτο σφάλμα μέτρησης(εν συντομία - απόλυτο σφάλμα) - σφάλμα μέτρησης εκφρασμένο σε μονάδες της μετρούμενης τιμής. Έτσι, το σφάλμα Χ στη μέτρηση του μήκους ενός τμήματος Χ, εκφρασμένο σε μικρόμετρα, αντιπροσωπεύει απόλυτο σφάλμα.

Οι όροι «απόλυτο σφάλμα» και «απόλυτη τιμή σφάλματος» δεν πρέπει να συγχέονται, κάτι που νοείται ως η τιμή του σφάλματος χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο. Έτσι, εάν το απόλυτο σφάλμα μέτρησης είναι ±2 μV, τότε η απόλυτη τιμή του σφάλματος θα είναι 0,2 μV.

Σχετικό σφάλμα μέτρησης(συνοπτικά - σχετικό σφάλμα) - σφάλμα μέτρησης, εκφρασμένο σε κλάσματα της τιμής της μετρούμενης τιμής ή ως ποσοστό. Το σχετικό σφάλμα δ βρίσκεται από τις σχέσεις:

(1.21)

Για παράδειγμα, υπάρχει μια πραγματική τιμή του μήκους του εξαρτήματος x = 10,00 mm και μια απόλυτη τιμή του σφάλματος x = 0,01 mm. Το σχετικό σφάλμα θα είναι

Στατικό σφάλμα— σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης λόγω των συνθηκών στατικής μέτρησης.

Δυναμικό σφάλμα— σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης λόγω των συνθηκών δυναμικής μέτρησης.

Σφάλμα αναπαραγωγής μονάδας— σφάλμα στο αποτέλεσμα των μετρήσεων που πραγματοποιήθηκαν κατά την αναπαραγωγή μιας μονάδας φυσικής ποσότητας. Έτσι, το σφάλμα κατά την αναπαραγωγή μιας μονάδας χρησιμοποιώντας ένα πρότυπο κατάστασης υποδεικνύεται με τη μορφή των συνιστωσών του: το μη εξαιρούμενο συστηματικό σφάλμα, που χαρακτηρίζεται από το όριό του. τυχαίο σφάλμα που χαρακτηρίζεται από τυπική απόκλιση s και αστάθεια κατά τη διάρκεια του έτους ν.

Σφάλμα μετάδοσης μεγέθους μονάδας— σφάλμα στο αποτέλεσμα των μετρήσεων που πραγματοποιήθηκαν κατά τη μετάδοση του μεγέθους μιας μονάδας. Το σφάλμα στη μετάδοση του μεγέθους της μονάδας περιλαμβάνει μη εξαιρούμενα συστηματικά σφάλματα και τυχαία σφάλματα της μεθόδου και των μέσων μετάδοσης του μεγέθους μονάδας (για παράδειγμα, συγκριτή).

Στην πράξη, συνήθως οι αριθμοί στους οποίους εκτελούνται οι υπολογισμοί είναι κατά προσέγγιση τιμές ορισμένων ποσοτήτων. Για συντομία, η κατά προσέγγιση τιμή μιας ποσότητας ονομάζεται κατά προσέγγιση αριθμός. Η πραγματική τιμή μιας ποσότητας ονομάζεται ακριβής αριθμός. Ένας κατά προσέγγιση αριθμός έχει πρακτική αξία μόνο όταν μπορούμε να προσδιορίσουμε με ποιο βαθμό ακρίβειας δίνεται, δηλ. εκτιμήσει το σφάλμα του. Ας θυμηθούμε τις βασικές έννοιες από το μάθημα των γενικών μαθηματικών.

Ας υποδηλώσουμε: Χ- ακριβής αριθμός (πραγματική τιμή της ποσότητας), ΕΝΑ- κατά προσέγγιση αριθμός (κατά προσέγγιση τιμή μιας ποσότητας).

Ορισμός 1. Το σφάλμα (ή αληθινό σφάλμα) ενός κατά προσέγγιση αριθμού είναι η διαφορά μεταξύ του αριθμού Χκαι την κατά προσέγγιση τιμή του ΕΝΑ. Σφάλμα κατά προσέγγιση αριθμού ΕΝΑθα υποδηλώσουμε . Ετσι,

Ακριβής αριθμός Χτις περισσότερες φορές είναι άγνωστο, επομένως δεν είναι δυνατό να βρεθεί το αληθινό και απόλυτο σφάλμα. Από την άλλη πλευρά, μπορεί να είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί το απόλυτο σφάλμα, δηλ. υποδεικνύουν τον αριθμό που δεν μπορεί να υπερβεί το απόλυτο σφάλμα. Για παράδειγμα, όταν μετράμε το μήκος ενός αντικειμένου με αυτό το εργαλείο, πρέπει να είμαστε σίγουροι ότι το σφάλμα στην αριθμητική τιμή που προκύπτει δεν θα υπερβαίνει έναν ορισμένο αριθμό, για παράδειγμα 0,1 mm. Με άλλα λόγια, πρέπει να γνωρίζουμε το απόλυτο όριο σφάλματος. Αυτό το όριο θα το ονομάσουμε μέγιστο απόλυτο σφάλμα.

Ορισμός 3. Μέγιστο απόλυτο σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού ΕΝΑείναι ένας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε , δηλ.

Που σημαίνει, Χαπό έλλειψη, από υπερβολή. Χρησιμοποιείται επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:

Είναι σαφές ότι το μέγιστο απόλυτο σφάλμα προσδιορίζεται διφορούμενα: εάν ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι το μέγιστο απόλυτο σφάλμα, τότε οποιοσδήποτε μεγαλύτερος αριθμός είναι επίσης το μέγιστο απόλυτο σφάλμα. Στην πράξη προσπαθούν να επιλέξουν γραπτώς τον μικρότερο και απλούστερο αριθμό (με 1-2 σημαντικά ψηφία) που να ικανοποιεί την ανισότητα (2,3).

Παράδειγμα.Προσδιορίστε το αληθές, το απόλυτο και το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του αριθμού a = 0,17, που λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού.

Αληθινό λάθος:

Απόλυτο λάθος:

Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα μπορεί να ληφθεί ως αριθμός και οποιοσδήποτε μεγαλύτερος αριθμός. Σε δεκαδικό συμβολισμό θα έχουμε: Αντικαθιστώντας αυτόν τον αριθμό με έναν μεγαλύτερο και πιθανώς απλούστερο συμβολισμό, δεχόμαστε:

Σχόλιο. Αν ΕΝΑείναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού Χ, και το μέγιστο απόλυτο σφάλμα ισούται με η, μετά το λένε αυτό ΕΝΑείναι μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού Χμέχρι και η.

Η γνώση του απόλυτου σφάλματος δεν αρκεί για να χαρακτηρίσει την ποιότητα μιας μέτρησης ή ενός υπολογισμού. Ας ληφθούν, για παράδειγμα, τέτοια αποτελέσματα κατά τη μέτρηση του μήκους. Απόσταση μεταξύ δύο πόλεων S 1=500 1 km και η απόσταση μεταξύ δύο κτιρίων στην πόλη S 2=10 1 χλμ. Αν και τα απόλυτα σφάλματα και των δύο αποτελεσμάτων είναι τα ίδια, αυτό που είναι σημαντικό είναι ότι στην πρώτη περίπτωση ένα απόλυτο σφάλμα 1 km πέφτει σε 500 km, στη δεύτερη - σε 10 km. Η ποιότητα μέτρησης στην πρώτη περίπτωση είναι καλύτερη από τη δεύτερη. Η ποιότητα ενός αποτελέσματος μέτρησης ή υπολογισμού χαρακτηρίζεται από σχετικό σφάλμα.

Ορισμός 4.Σχετικό σφάλμα της κατά προσέγγιση τιμής ΕΝΑαριθμοί Χονομάζεται λόγος του απόλυτου σφάλματος ενός αριθμού ΕΝΑστην απόλυτη τιμή ενός αριθμού Χ:

Ορισμός 5.Μέγιστο σχετικό σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού ΕΝΑονομάζεται θετικός αριθμός έτσι ώστε .

Δεδομένου ότι , προκύπτει από τον τύπο (2.7) ότι μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Για λόγους συντομίας, σε περιπτώσεις που αυτό δεν προκαλεί παρεξηγήσεις, αντί για «μέγιστο σχετικό σφάλμα» λέμε απλώς «σχετικό σφάλμα».

Το μέγιστο σχετικό σφάλμα εκφράζεται συχνά ως ποσοστό.

Παράδειγμα 1. . Υποθέτοντας , μπορούμε να δεχτούμε = . Με διαίρεση και στρογγυλοποίηση (αναγκαστικά προς τα πάνω), παίρνουμε =0,0008=0,08%.

Παράδειγμα 2.Κατά τη ζύγιση του σώματος προέκυψε το αποτέλεσμα: p = 23,4 0,2 g Έχουμε = 0,2. . Με διαίρεση και στρογγυλοποίηση παίρνουμε =0,9%.

Ο τύπος (2.8) καθορίζει τη σχέση μεταξύ απόλυτων και σχετικών σφαλμάτων. Από τον τύπο (2.8) προκύπτει:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους (2.8) και (2.9), μπορούμε, αν ο αριθμός είναι γνωστός ΕΝΑ, χρησιμοποιώντας ένα δεδομένο απόλυτο σφάλμα, βρείτε το σχετικό σφάλμα και το αντίστροφο.

Σημειώστε ότι οι τύποι (2.8) και (2.9) πρέπει συχνά να εφαρμόζονται ακόμη και όταν δεν γνωρίζουμε ακόμη τον κατά προσέγγιση αριθμό ΕΝΑμε την απαιτούμενη ακρίβεια, αλλά γνωρίζουμε μια κατά προσέγγιση τιμή ΕΝΑ. Για παράδειγμα, πρέπει να μετρήσετε το μήκος ενός αντικειμένου με σχετικό σφάλμα όχι μεγαλύτερο από 0,1%. Το ερώτημα είναι: είναι δυνατόν να μετρήσετε το μήκος με την απαιτούμενη ακρίβεια χρησιμοποιώντας ένα παχύμετρο, το οποίο σας επιτρέπει να μετρήσετε το μήκος με απόλυτο σφάλμα έως και 0,1 mm; Μπορεί να μην έχουμε μετρήσει ακόμη ένα αντικείμενο με ένα ακριβές όργανο, αλλά γνωρίζουμε ότι μια κατά προσέγγιση μήκους είναι περίπου 12 εκ.Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.9) βρίσκουμε το απόλυτο σφάλμα:

Αυτό δείχνει ότι χρησιμοποιώντας ένα παχύμετρο είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν μετρήσεις με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Κατά τη διαδικασία της υπολογιστικής εργασίας, είναι συχνά απαραίτητο να μεταβείτε από το απόλυτο στο σχετικό σφάλμα και αντίστροφα, κάτι που γίνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους (1.8) και (1.9).

Δεν βρήκατε απάντηση στην ερώτησή σας; Κοιτάξτε εδώ

Διαφορικές εξισώσεις για ανδρείκελα

Τα καλύτερα λόγια του Ρωμαίου φιλοσόφου Κικέρωνα Δηλώσεις για την πολιτική

Βύρωνα που σε αγάπησε