Määratlege pall. Kera, pall, segment ja sektor

Pall on keha, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis asuvad antud punktist mitte kaugemal kui antud üks. Seda punkti nimetatakse palli keskpunktiks ja seda kaugust palli raadiuseks. Palli piiri nimetatakse sfääriliseks pinnaks või sfääriks. Kera punktid on kõik palli punktid, mis eemaldatakse tsentrist raadiusega võrdsel kaugusel. Iga lõiku, mis ühendab kuuli keskpunkti sfäärilise pinna punktiga, nimetatakse ka raadiuseks. Segmenti, mis läbib kuuli keskpunkti ja ühendab kahte punkti sfäärilisel pinnal, nimetatakse läbimõõduks. Mis tahes läbimõõduga otsad nimetatakse palli diametraalselt vastassuunalisteks punktideks.

Pall on pöördeline keha, täpselt nagu koonus ja silinder. Pall saadakse poolringi pööramisel ümber selle läbimõõdu kui telje.

Palli pindala saab leida järgmiste valemite abil:

kus r on kuuli raadius, d on kuuli läbimõõt.

Palli maht leitakse järgmise valemi abil:

V = 4/3 πr 3,

kus r on kuuli raadius.

Teoreem. Iga palli lõik tasapinnal on ring. Selle ringi keskpunkt on kuuli keskpunktist lõiketasandile tõmmatud risti alus.

Selle teoreemi alusel, kui kuuli keskpunktiga O ja raadiusega R lõikab tasapind α, siis ristlõike tulemuseks on ring raadiusega r, mille keskpunkt on K. Kuuli läbilõike raadiuse tasapinnaga saab leida valemi järgi

Valemist on selgelt näha, et keskpunktist võrdsel kaugusel asuvad tasapinnad lõikuvad kuuli võrdsetes ringides. Lõigu raadius on seda suurem, mida lähemal on lõiketasand kuuli keskpunktile, ehk seda väiksem on vahemaa OK. Suurima raadiusega on palli keskpunkti läbiva tasapinna osa. Selle ringi raadius on võrdne kuuli raadiusega.

Tasapinda, mis läbib kuuli keskpunkti, nimetatakse kesktasandiks. Kuuli läbilõiget diametraaltasandil nimetatakse suurringiks ja sfääri lõiku suurringiks ja sfääri lõiku suurringiks.

Teoreem. Iga kuuli diametraaltasand on selle sümmeetriatasand. Palli keskpunkt on selle sümmeetriakeskus.

Tasapinda, mis läbib sfäärilise pinna punkti A ja on risti punktile A tõmmatud raadiusega, nimetatakse puutujatasandiks. Punkti A nimetatakse puutujapunktiks.

Teoreem. Puutujatasandil on kuuliga ainult üks ühine punkt – kokkupuutepunkt.

Sirget, mis läbib sellesse punkti tõmmatud raadiusega risti sfäärilise pinna punkti A, nimetatakse puutujaks.

Teoreem. Sfäärilise pinna mis tahes punkti läbib lõpmatu arv puutujaid ja kõik need asuvad kuuli puutujatasandil.

Sfääriline segment on palli osa, mis on sellest tasapinnaga ära lõigatud. Ring ABC on sfäärilise segmendi alus. Ringi ABC keskpunktist N kuni sfäärilise pinna lõikepunktini tõmmatud risti segment MN on sfäärilise segmendi kõrgus. Punkt M on sfäärilise segmendi tipp.

Sfäärilise segmendi pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

Sfäärilise segmendi ruumala saab leida järgmise valemi abil:

V = πh 2 (R – 1/3 h),

kus R on suure ringi raadius, h on sfäärilise segmendi kõrgus.

Sfääriline sektor saadakse sfäärilisest segmendist ja koonusest järgmiselt. Kui sfääriline segment on poolkerast väiksem, siis sfäärilist lõiku täiendab koonus, mille tipp asub kuuli keskel ja alus on segmendi alus. Kui segment on suurem kui poolkera, eemaldatakse sellest määratud koonus.

Sfääriline sektor on kuuli osa, mis on piiratud sfäärilise segmendi (meie joonisel on see AMCB) ja koonilise pinnaga (meie joonisel OABC) kõvera pinnaga, mille alus on sfäärilise segmendi alus. segment (ABC) ja tipp on kuuli O keskpunkt.

Sfäärilise sektori maht leitakse järgmise valemiga:

V = 2/3 πR 2 H.

Sfääriline kiht on kuuli osa, mis on suletud kahe paralleelse tasandi (joonisel tasandid ABC ja DEF) vahele, mis lõikuvad sfäärilise pinnaga. Sfäärilise kihi kõverat pinda nimetatakse sfääriliseks vööks (tsooniks). Ringid ABC ja DEF on sfäärilise vöö alused. Sfäärilise vöö aluste vaheline kaugus NK on selle kõrgus.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

GEOMEETIA

II jaotis. STEREOMETIA

§22. PALL. KERAA.

1. Kuuli ja kera definitsioon. Palli ja kera elemendid.

Kuul on geomeetriline keha, mis moodustub ringi pöörlemisel ümber selle läbimõõtu sisaldava telje (joonis 500).

Pöörleva ringi keskpunkti nimetatakse kuuli keskpunktiks, ringi raadius on kuuli raadius ja ringi läbimõõt on kuuli läbimõõt. Joonisel 500 on punkt O kuuli keskpunkt, OA ja OB on kuuli raadiused ning AB on kuuli läbimõõt.

Palli pinda nimetatakse sfääriks.

Kera kese, raadius ja läbimõõt on ühtlasi ka kera keskpunkt, raadius ja läbimõõt.

Kõik sfääri punktid on kera keskpunktist raadiusega võrdsel kaugusel. Muid palli punkte, mis sfääri ei kuulu, nimetatakse sisepunktideks; sellised punktid asuvad sfääri sees. Palli sisemised punktid asuvad palli keskpunktist kaugusel, mis on väiksem kui raadius.

Nii jõuame sfääri ja palli teise definitsioonini.

Kera on pind, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis asuvad samast punktist võrdsel kaugusel. Seda punkti nimetatakse sfääri keskpunktiks ja kaugus sfääri keskpunktist ükskõik millise punktini on sfääri raadius.

Kuul on geomeetriline keha, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis ei ole antud punktist kaugemal kui antud punkt. Seda punkti nimetatakse palli keskpunktiks ja seda kaugust palli raadiuseks.

Näide. Kera raadius on 3,5 cm. Punkt A asub sfääri sees või väljaspool, kui see on kera keskpunktist kaugel: 1) cm, 2) cm.

Definitsioon.

Kera (palli pind) on kõigi kolmemõõtmelise ruumi punktide kogum, mis on ühest punktist samal kaugusel, nn sfääri keskpunkt(ABOUT).

Sfääri võib kirjeldada kui kolmemõõtmelist kujundit, mis moodustatakse ringi ümber oma läbimõõdu pööramisel 180° või poolringi ümber oma läbimõõdu 360°.

Definitsioon.

Pall on kõigi kolmemõõtmelise ruumi punktide kogum, mille kaugus ei ületa teatud kaugust punktini nn. palli keskpunkt(O) (kolmemõõtmelise ruumi kõigi punktide kogum, mis on piiratud sfääriga).

Palli võib kirjeldada kui kolmemõõtmelist kujundit, mis moodustatakse ringi ümber oma läbimõõdu pööramisel 180° või poolringi ümber selle läbimõõdu 360°.

Definitsioon. Kera (palli) raadius(R) on kaugus kera (palli) keskpunktist O mis tahes punkti sfääril (palli pinnal).

Definitsioon. Kera (palli) läbimõõt(D) on segment, mis ühendab sfääri (palli pinna) kahte punkti ja läbib selle keskpunkti.

Valem. Sfääri maht:

V=	4	π R3 =	1	π D 3
	3		6

Valem. Kera pindala läbi raadiuse või läbimõõdu:

S = 4π R 2 = π D 2

Sfääri võrrand

1. Raadiuse R ja keskpunktiga sfääri võrrand Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunktis:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Raadiuse R ja keskpunktiga sfääri võrrand koordinaatidega (x 0, y 0, z 0) punktis Descartes'i koordinaatsüsteemis:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definitsioon. Diameetriliselt vastandlikud punktid on suvalised kaks punkti palli (sfääri) pinnal, mis on omavahel läbimõõduga ühendatud.

Kera ja palli põhiomadused

1. Kõik sfääri punktid on keskpunktist võrdsel kaugusel.

2. Iga sfääri tasandi lõige on ringjoon.

3. Mis tahes palli lõigus tasapinnal on ring.

4. Sfääril on suurim maht kõigist sama pindalaga ruumikujunditest.

5. Läbi kahe diametraalselt vastandliku punkti saate joonistada palju suuri ringe sfääri jaoks või ringe palli jaoks.

6. Läbi mis tahes kahe punkti, välja arvatud diametraalselt vastandlikud punktid, saate kera jaoks tõmmata ainult ühe suure ringi või palli jaoks suure ringi.

7. Ühe kuuli kaks suurt ringi lõikuvad piki kuuli keskpunkti läbivat sirgjoont ja ringid ristuvad kahes diametraalselt vastassuunas.

8. Kui kahe kuuli keskpunktide vaheline kaugus on väiksem kui nende raadiuste summa ja suurem kui nende raadiuste erinevuse moodul, siis sellised kuulid ristuvad, ja ristumistasandil tekib ring.

Sfääri sekant, kõõl, säärtasand ja nende omadused

Definitsioon. Sfääri sekant on sirgjoon, mis lõikab sfääri kahes punktis. Ristepunkte nimetatakse augustamispunktid pinnad või sisenemis- ja väljumispunktid pinnal.

Definitsioon. Kera (palli) akord- see on sfääri (palli pinnal) kahte punkti ühendav segment.

Definitsioon. Lõiketasand on tasapind, mis lõikub sfääriga.

Definitsioon. Diameetriline tasapind- see on kera või kuuli keskpunkti läbiv lõiketasand, lõik moodustub vastavalt suur ring Ja suur ring. Suurel ringil ja suurringil on keskpunkt, mis langeb kokku kera (palli) keskpunktiga.

Iga sfääri (kuuli) keskpunkti läbiv kõõl on läbimõõt.

Akord on lõikejoone lõik.

Kaugus d kera keskpunktist sekandini on alati väiksem kui kera raadius:

d< R

Lõiketasandi ja kera keskpunkti vaheline kaugus m on alati väiksem kui raadius R:

m< R

Lõiketasandi lõigu asukoht sfääril jääb alati kindlaks väike ring, ja pallil on sektsioon väike ring. Väikesel ringil ja väikesel ringil on oma keskpunktid, mis ei lange kokku sfääri (palli) keskpunktiga. Sellise ringi raadiuse r saab leida järgmise valemi abil:

r = √R 2 - m 2,

Kus R on kera (kuuli) raadius, siis m on kaugus kuuli keskpunktist lõiketasandini.

Definitsioon. Poolkera (poolkera)- see on pool kerast (pallist), mis tekib siis, kui see lõigatakse läbi diametraaltasandi.

Sfääri puutuja, puutuja tasand ja nende omadused

Definitsioon. Sfääri puutuja on sirgjoon, mis puudutab kera ainult ühes punktis.

Definitsioon. Sfääri puutujatasand on tasapind, mis puudutab kera ainult ühes punktis.

Puutejoon (tasapind) on alati risti kokkupuutepunkti tõmmatud sfääri raadiusega

Kaugus kera keskpunktist puutujajooneni (tasapinnani) on võrdne sfääri raadiusega.

Definitsioon. Palli segment- see on palli osa, mis lõigatakse palli küljest ära lõiketasandiga. Segmendi alus nimetatakse ringiks, mis tekkis lõigu kohas. Segmendi kõrgus h on lõigu aluse keskelt lõigu pinnani tõmmatud risti pikkus.

Valem. Sfääri segmendi välispind kõrgusega h läbi sfääri R raadiuse:

S = 2πRh

Pall (kera)

Sfääriline pind. Pall (kera). Palli sektsioonid: ringid.

Archimedese teoreem. Palli osad: sfääriline segment,

sfääriline kiht, sfääriline vöö, sfääriline sektor.

Sfääriline pind - See punktide asukoht(need. paljukõigi punktide arv)ruumis, ühest punktist võrdsel kaugusel O , mida nimetatakse sfäärilise pinna keskpunktiks (Joonis 90). Raadius AOi läbimõõt AB määratakse samamoodi nagu ringis.

Pall (kera) - See kerapinnaga piiratud keha. Saab saada pall poolringi pöörates ( või ring ) läbimõõdu ümber. Kõik palli tasapinnalised lõigud on ringid ( Joonis 90 ). Suurim ring asub sektsioonis, mis läbib kuuli keskpunkti ja seda nimetatakse suur ring. Selle raadius on võrdne kuuli raadiusega. Kaks suurt ringi ristuvad piki palli läbimõõtu ( AB, joonis 91 ).See läbimõõt on ka ristuvate suurte ringide läbimõõt. Läbi kahe sama läbimõõduga otstes paikneva sfäärilise pinna punkti(A ja B, joonis 91 ), saate joonistada lugematul hulgal suuri ringe. Näiteks võib läbi Maa pooluste tõmmata lõpmatu arv meridiaane.

Kera ruumala on poolteist korda väiksem kui selle ümber piiratud silindri maht. (Joonis 92 ), A kuuli pind on poolteist korda väiksem kui sama silindri kogupind ( Archimedese teoreem):

Siin S pall Ja V pall - vastavalt palli pind ja maht;

S tsyl Ja V tsyl - piiritletud silindri kogupind ja maht.

Palli osad. Osa pallist (kera) ), lõigatud sellest mingi tasapinnaga ( ABC, joon. 93), helistas pall(sfääriline ) segment. Ring ABC helistas alus palli segment. Joonelõik MN keskelt tõmmatud risti N ring ABC kuni see lõikub sfäärilise pinnaga, nimetatakse kõrgus palli segment. Punkt M helistas üleval palli segment.

Kahe paralleelse tasandi vahele jääv sfääri osa ABC ja DEF, mis lõikuvad sfäärilise pinnaga (joonis 93), helistas sfääriline kiht; nimetatakse sfäärilise kihi kõverat pinda pallivöö(tsooni). Suhtlusringid ABC ja DEF – põhjustel pallivöö. Kaugus N.K. sfäärilise vöö aluste vahel - selle kõrgus. Kuuli osa, mis on piiratud sfäärilise segmendi kumera pinnaga ( AMCB, Joon.93) ja kooniline pind OABC , mille alus on segmendi ( ABC ) ja tipp on kuuli keskpunkt O , kutsus sfääriline sektor.

Pall ja kera on ennekõike geomeetrilised kujundid ja kui pall on geomeetriline keha, siis kera on kuuli pind. Need arvud pakkusid huvi tuhandeid aastaid tagasi eKr.

Hiljem, kui avastati, et Maa on pall ja taevas on taevasfäär, töötati välja uus põnev geomeetria suund - geomeetria sfääril või sfääriline geomeetria. Selleks, et rääkida palli suurusest ja mahust, tuleb see esmalt määratleda.

Pall

Raadiusega R kuul, mille keskpunkt on geomeetria punktis O, on keha, mille loovad kõik ruumipunktid, millel on ühine omadus. Need punktid asuvad kaugusel, mis ei ületa palli raadiust, see tähendab, et nad täidavad kogu ruumi vähem kui palli raadius kõigis suundades selle keskpunktist. Kui arvestame ainult neid punkte, mis on palli keskpunktist võrdsel kaugusel, võtame arvesse selle pinda või palli kesta.

Kuidas ma palli kätte saan? Võime lõigata paberist ringi ja hakata seda ümber oma diameetri keerama. See tähendab, et ringi läbimõõt on pöörlemistelg. Moodustunud kujundist saab pall. Seetõttu nimetatakse palli ka pöördekehaks. Sest seda saab moodustada tasase kujundi – ringi – pööramisega.

Võtame lennuki ja lõikame sellega oma palli. Nii nagu me lõikasime noaga apelsini. Tükki, mille me palli küljest ära lõikasime, nimetatakse sfääriliseks segmendiks.

Vana-Kreekas teadsid nad, kuidas mitte ainult töötada palli ja sfääriga geomeetriliste kujunditena, näiteks kasutada neid ehituses, vaid ka arvutada palli pindala ja palli mahtu.

Kera on palli pinna teine ​​nimi. Kera ei ole keha – see on pöördekeha pind. Kuna aga nii Maal kui ka paljudel kehadel on sfääriline kuju, näiteks veetilk, on sfääri sees geomeetriliste seoste uurimine muutunud laialt levinud.

Näiteks kui ühendame sfääri kaks punkti üksteisega sirgjoonega, siis nimetatakse seda sirget kõõluks ja kui see kõõl läbib kera keskpunkti, mis langeb kokku kuuli keskpunktiga, siis kõõlut nimetatakse sfääri läbimõõduks.

Kui tõmbame sirge, mis puudutab kera ainult ühes punktis, nimetatakse seda joont puutujaks. Lisaks on see sfääri puutuja selles punktis risti sfääri raadiusega, mis on tõmmatud kokkupuutepunkti.

Kui pikendame akordi sirgjooneni ühes või teises suunas sfäärist, siis nimetatakse seda kõõlut sekantiks. Või võime öelda teisiti – sfääri sekant sisaldab selle akordi.

Palli maht

Palli mahu arvutamise valem on järgmine:

kus R on kuuli raadius.

Kui teil on vaja leida sfäärilise segmendi ruumala, kasutage valemit:

V seg =πh 2 (R-h/3), h on sfäärilise segmendi kõrgus.

Palli või kera pindala

Kera pindala või palli pindala arvutamiseks (need on samad):

kus R on sfääri raadius.

Archimedesele meeldisid väga pall ja kera, ta palus isegi oma hauale jätta joonise, millesse oli silindrisse kirjutatud pall. Archimedes uskus, et kuuli ruumala ja selle pind on võrdne kahe kolmandikuga silindri mahust ja pinnast, millesse pall on kirjutatud.