Millised on määramata integraali põhiomadused. Integraalide lihtsamad omadused

Selles artiklis loetleme kindla integraali peamised omadused. Enamik neist omadustest on tõestatud Riemanni ja Darboux' kindla integraali mõistete põhjal.

Kindla integraali arvutamisel kasutatakse sageli viit esimest omadust, nii et vajadusel viitame neile. Ülejäänud kindla integraali omadusi kasutatakse peamiselt erinevate avaldiste hindamiseks.

Enne edasi liikumist kindla integraali põhiomadused, lepime kokku, et a ei ületa b-d.

Funktsiooni y = f(x) puhul, mis on defineeritud punktis x = a, on võrdus tõene.

See tähendab, et samade integreerimispiiridega kindla integraali väärtus on võrdne nulliga. See omadus tuleneb Riemanni integraali definitsioonist, kuna sel juhul on iga intervalli mis tahes jaotuse ja punktide valiku integraalsumma võrdne nulliga, kuna seetõttu on integraalsummade piirväärtus null.

Intervalliga integreeritava funktsiooni jaoks .

Teisisõnu, kui lõimumise ülemine ja alumine piir vahetavad kohta, muutub kindla integraali väärtus vastupidiseks. See kindla integraali omadus tuleneb ka Riemanni integraali mõistest, ainult lõigu jaotuse nummerdamine peaks algama punktist x = b.

funktsioonide jaoks, mis on integreeritavad intervalliga y = f(x) ja y = g(x) .

Tõestus.

Kirjutame üles funktsiooni integraalsumma segmendi antud partitsiooni ja valitud punktide jaoks:

kus ja on vastavalt lõigu antud partitsiooni funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) integraalsummad.

Lähen piirini kl saame, et Riemanni integraali definitsiooni järgi on see samaväärne tõestatava omaduse väitega.

Konstantteguri saab kindla integraali märgist välja võtta. See tähendab, et funktsiooni y = f(x) puhul, mis on integreeritav intervalliga ja suvalise arvuga k, kehtib järgmine võrdsus: .

Kindla integraali selle omaduse tõestus on absoluutselt sarnane eelmisele:


Olgu funktsioon y = f(x) integreeritav intervalliga X ja ja siis .

See omadus kehtib nii , ja või puhul.

Tõestust saab läbi viia kindla integraali eelnevate omaduste põhjal.

Kui funktsioon on integreeritav intervalliga, siis on see integreeritav mis tahes sisemise intervalliga.

Tõestus põhineb Darboux' summade omadusel: kui lõigu olemasolevale partitsioonile lisada uusi punkte, siis alumine Darboux' summa ei vähene ja ülemine ei suurene.

Kui funktsioon y = f(x) on integreeritav intervalliga ja argumendi mis tahes väärtusega, siis .

Seda omadust tõestab Riemanni integraali definitsioon: mis tahes lõigu jaotuspunktide ja punktide punktide valiku integraalsumma on mittenegatiivne (mitte positiivne).

Tagajärg.

Intervalliga integreeritavate funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) puhul kehtivad järgmised võrratused:


See väide tähendab, et ebavõrdsuse integreerimine on lubatud. Kasutame seda järeldust järgmiste omaduste tõestamiseks.

Olgu funktsioon y = f(x) integreeritav intervalliga , siis kehtib võrratus .

Tõestus.

See on ilmne . Eelmises omaduses saime teada, et ebavõrdsust saab integreerida termini haaval, seega on see tõsi . Selle kahekordse ebavõrdsuse saab kirjutada kui .

Olgu funktsioonid y = f(x) ja y = g(x) integreeritavad intervalliga ja argumendi mis tahes väärtuse korral, siis , Kus Ja .

Tõestus viiakse läbi sarnaselt. Kuna m ja M on funktsiooni y = f(x) väikseimad ja suurimad väärtused lõigul , siis . Topeltvõrratuse korrutamine mittenegatiivse funktsiooniga y = g(x) viib meid järgmise topeltvõrratuseni. Integreerides selle intervalliga , jõuame tõestatava väiteni.

Diferentsiaalarvutuses lahendatakse probleem: selle funktsiooni ƒ(x) all leia selle tuletis(või diferentsiaal). Integraalarvutus lahendab pöördülesande: leidke funktsioon F(x), teades selle tuletist F "(x)=ƒ(x) (või diferentsiaal). Otsitavat funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni ƒ(x) antituletiseks ).

Kutsutakse funktsioon F(x). antiderivaat funktsioon ƒ(x) intervallil (a; b), kui mis tahes x korral є (a; b) võrdus

F "(x)=ƒ(x) (või dF(x)=ƒ(x)dx).

Näiteks, on funktsiooni y = x 2, x є R antituletis funktsioon, kuna

Ilmselgelt on kõik funktsioonid ka antiderivaadid

kus C on konstant, kuna

Teoreem 29. 1. Kui funktsioon F(x) on funktsiooni ƒ(x) antituletis punktis (a;b), siis ƒ(x) kõigi antiderivaatide hulk on antud valemiga F(x)+ C, kus C on konstantne arv.

▲ Funktsioon F(x)+C on ƒ(x) antiderivaat.

Tõepoolest, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Olgu Ф(x) mõni muu, F(x) erinev, funktsiooni ƒ(x) antituletis, st Ф "(x)=ƒ(х). Siis on meil mis tahes x є (а;b) korral

Ja see tähendab (vt Järeldus 25.1), et

kus C on konstantne arv. Seetõttu Ф(x)=F(x)+С.▼

Kutsutakse välja kõigi tuletisvastaste funktsioonide hulk F(x)+С ƒ(x) jaoks funktsiooni ƒ(x) määramatu integraal ja seda tähistatakse sümboliga ∫ ƒ(x) dx.

Seega definitsiooni järgi

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Siin kutsutakse ƒ(x). integrandi funktsioon, ƒ(x)dx — integrandi väljend, X - integratsioonimuutuja, ∫ -määramata integraali märk.

Funktsiooni määramatu integraali leidmise operatsiooni nimetatakse selle funktsiooni integreerimiseks.

Geomeetriliselt on määramatu integraal “paralleelsete” kõverate perekond y=F(x)+C (iga C arvväärtus vastab perekonna konkreetsele kõverale) (vt joonis 166). Iga antiderivaadi (kõvera) graafikut nimetatakse integraalkõver.

Kas igal funktsioonil on määramatu integraal?

On olemas teoreem, mis ütleb, et "igal (a;b) pideval funktsioonil on sellel intervallil antituletis" ja järelikult määramatu integraal.

Märgime ära mitmed määramatu integraali omadused, mis tulenevad selle definitsioonist.

1. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga ja määramata integraali tuletis on võrdne integrandiga:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Tõepoolest, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Tänu sellele omadusele kontrollitakse integreerimise õigsust diferentseerimisega. Näiteks võrdsus

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

tõsi, kuna (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Teatud funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

∫dF(x)= F(x)+C.

Tõesti,

3. Konstantse teguri saab integraalimärgist välja võtta:

α ≠ 0 on konstant.

Tõesti,

(pange C 1 / a = C.)

4. Lõpliku arvu pidevate funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne funktsioonide liitmiste integraalide algebralise summaga:

Olgu F"(x)=ƒ(x) ja G"(x)=g(x). Siis

kus C1 ± C2 =C.

5. (Lõimumisvalemi muutumatus).

Kui , kus u=φ(x) on pideva tuletisega suvaline funktsioon.

▲ Olgu x sõltumatu muutuja, ƒ(x) pidev funktsioon ja F(x) selle antituletis. Siis

Määrame nüüd u=φ(x), kus φ(x) on pidevalt diferentseeruv funktsioon. Vaatleme kompleksfunktsiooni F(u)=F(φ(x)). Funktsiooni esimese diferentsiaali kuju muutumatuse tõttu (vt lk 160) on meil

Siit▼

Seega jääb määramata integraali valem kehtima sõltumata sellest, kas integratsiooni muutuja on sõltumatu muutuja või selle mõni funktsioon, millel on pidev tuletis.

Niisiis, valemist asendades x u-ga (u=φ(x)) saame

Eriti,

Näide 29.1. Leidke integraal

kus C=C1+C2+C3+C4.

Näide 29.2. Leidke terviklik lahendus:

• 29.3. Põhiliste määramata integraalide tabel

Kasutades ära asjaolu, et integreerimine on diferentseerimise pöördtegevus, saab diferentsiaalarvutuse vastavate valemite (diferentsiaalide tabeli) ümberpööramisel ja määramatu integraali omaduste abil saada põhiintegraalide tabeli.

Näiteks, sest

d(sin u)=cos u . du

Tabelis olevate valemite tuletamine esitatakse integreerimise põhimeetodite käsitlemisel.

Allolevas tabelis olevaid integraale nimetatakse tabeliteks. Neid tuleks peast teada. Integraalarvutuses puuduvad lihtsad ja universaalsed reeglid elementaarfunktsioonide antiderivaatide leidmiseks, nagu diferentsiaalarvutuses. Antiderivaatide leidmise (st funktsiooni integreerimise) meetodid on taandatud meetodite näitamiseks, mis toovad antud (otsitud) integraali tabelisse. Seetõttu on vaja tunda tabeliintegraale ja osata neid ära tunda.

Pange tähele, et põhiintegraalide tabelis võib integreerimismuutuja tähistada nii sõltumatut muutujat kui ka sõltumatu muutuja funktsiooni (vastavalt integreerimisvalemi muutumatule omadusele).

Alltoodud valemite kehtivust saab kontrollida, võttes parempoolse diferentsiaali, mis on võrdne valemi vasakpoolses servas oleva integrandiga.

Tõestame näiteks valemi 2 kehtivust. Funktsioon 1/u on defineeritud ja pidev kõikide väärtuste ja muude kui nulli korral.

Kui u > 0, siis ln|u|=lnu, siis Sellepärast

Kui sa<0, то ln|u|=ln(-u). НоTähendab

Niisiis, valem 2 on õige. Samamoodi kontrollime valemit 15:

Peamiste integraalide tabel

Sõbrad! Kutsume teid arutama. Kui teil on oma arvamus, kirjutage meile kommentaarides.

Neid omadusi kasutatakse integraali teisendamiseks, et taandada see üheks elementaarintegraaliks ja arvutada edasi.

1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga:

2. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga:

3. Teatud funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

4. Konstantteguri saab integraalimärgist välja võtta:

Lisaks a ≠ 0

5. Summa (vahe) integraal on võrdne integraalide summaga (vahega):

6. Atribuut on atribuutide 4 ja 5 kombinatsioon:

Veelgi enam, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Määramatu integraali muutumatus:

Kui siis

8. Kinnisvara:

Kui siis

Tegelikult on see omadus muutuja muutmise meetodil integreerimise erijuhtum, millest räägitakse üksikasjalikumalt järgmises jaotises.

Vaatame näidet:

Kõigepealt rakendasime omadust 5, seejärel omadust 4, seejärel kasutasime antiderivatiivide tabelit ja saime tulemuse.

Meie veebipõhise integraalikalkulaatori algoritm toetab kõiki ülaltoodud omadusi ja leiab hõlpsalt teie integraalile üksikasjaliku lahenduse.

Antiderivatiivne ja määramatu integraal.

Funktsiooni f(x) antituletis intervallil (a; b) on funktsioon F(x), nii et võrdsus kehtib antud intervalli mis tahes x jaoks.

Kui võtta arvesse asjaolu, et konstandi C tuletis on võrdne nulliga, siis on võrdsus tõene . Seega on funktsioonil f(x) suvalise konstandi C jaoks antiderivaatide hulk F(x)+C ja need antiderivaadid erinevad üksteisest suvalise konstandi väärtuse võrra.

Funktsiooni f(x) kogu antiderivaatide komplekti nimetatakse selle funktsiooni määramatuks integraaliks ja tähistatakse .

Avaldist nimetatakse integrandiks ja f(x) integrandiks. Integrand esindab funktsiooni f(x) diferentsiaali.

Tundmatu funktsiooni leidmist selle diferentsiaali järgi nimetatakse määramatuks integreerimiseks, sest integreerimise tulemuseks ei ole mitte üks funktsioon F(x), vaid selle antiderivaatide hulk F(x)+C.

Tabeli integraalid

Integraalide lihtsamad omadused

1. Integratsioonitulemuse tuletis on võrdne integrandiga.

2. Funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne funktsiooni enda ja suvalise konstandi summaga.

3. Koefitsiendi saab välja võtta määramata integraali märgist.

4. Funktsioonide summa/erinevuse määramatu integraal on võrdne funktsioonide määramatute integraalide summa/vahega.

Täpsustuseks on antud ebamäärase integraali esimese ja teise omaduse vahevõrdsused.

Kolmanda ja neljanda omaduse tõestamiseks piisab, kui leida võrduste parempoolsete külgede tuletised:

Need tuletised on võrdsed integrandidega, mis on esimese omaduse tõttu tõestuseks. Seda kasutatakse ka viimastes üleminekutes.

Seega on integratsiooniprobleem diferentseerumisprobleemi pöördvõrdeline ja nende probleemide vahel on väga tihe seos:

esimene omadus võimaldab integratsiooni kontrollida. Teostatud integreerimise õigsuse kontrollimiseks piisab saadud tulemuse tuletise arvutamisest. Kui diferentseerimise tulemusena saadud funktsioon osutub võrdseks integrandiga, tähendab see, et integreerimine viidi läbi õigesti;

määramatu integraali teine ​​omadus võimaldab leida selle antituletise funktsiooni teadaolevast diferentsiaalist. Määramatute integraalide otsearvutus põhineb sellel omadusel.

1.4.Lõimumisvormide muutumatus.

Invariantne integratsioon on funktsioonide integreerimise tüüp, mille argumendid on grupi elemendid või homogeense ruumi punktid (mis tahes punkti sellises ruumis saab rühma antud tegevusega üle kanda teisele).

funktsioon f(x) taandub diferentsiaalvormi f.w integraali arvutamiseks, kus

Allpool on toodud r(x) selge valem. Lepingu tingimusel on vorm .

siin Tg tähendab nihkeoperaatorit X-l, kasutades gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Olgu X=G topoloogia, rühm, mis toimib iseendale vasakpoolse nihkega. Mina ja. eksisteerib siis ja ainult siis, kui G on lokaalselt kompaktne (eriti lõpmatumõõtmeliste rühmade puhul I.I ei eksisteeri). I. ja. iseloomulik funktsioon cA (võrdne 1-ga A-l ja 0-ga väljaspool A) määrab vasakpoolse Xaar-mõõdu m(A). Selle mõõte määrav omadus on selle invariantsus vasakpoolsete nihete korral: m(g-1A)=m(A) kõigi gОG puhul. Vasakpoolne Haari mõõt rühmas on üheselt määratletud kuni positiivse skalaartegurini. Kui Haari mõõt m on teada, siis I. ja. funktsioon f on antud valemiga . Õigel Haari mõõdul on sarnased omadused. Rühma G on pidev homomorfism (rühma omadust säilitav kaart) DG rühma (korrutamise suhtes) positsiooni. numbrid mille jaoks

kus dmr ja dmi on parem- ja vasakpoolsed Haari mõõdud. Kutsutakse funktsioon DG(g). grupi G moodul. Kui , siis kutsutakse rühma G. unimodulaarne; sel juhul langevad parem ja vasak Haari mõõt kokku. Kompaktsed, poollihtsad ja nilpotentsed (eriti kommutatiivsed) rühmad on unimodulaarsed. Kui G on n-mõõtmeline Lie rühm ja q1,...,qn on baas vasakpoolsete muutumatute 1-vormide ruumis G-l, siis vasakpoolse Haari mõõt G-l on antud n-vormiga. Arvutamiseks kohalikes koordinaatides

vormid qi, võite kasutada rühma G mis tahes maatriksiteostust: maatriksi 1-vorm g-1dg jäetakse muutumatuks ja selle koefitsient. on vasakpoolsed muutumatud skalaar 1-vormid, millest valitakse vajalik alus. Näiteks täielik maatriksirühm GL(n, R) on unimodulaarne ja sellel olev Haari mõõt on antud vormiga. Lase X=G/H on homogeenne ruum, mille jaoks lokaalselt kompaktne rühm G on teisendusrühm ja suletud alamrühm H on teatud punkti stabilisaator. Selleks, et X-l eksisteeriks i.i, on vajalik ja piisav, et kõigi hОH puhul kehtiks võrdus DG(h)=DH(h). Eelkõige kehtib see juhul, kui H on kompaktne või poollihtne. Täielik teooria I. ja. ei eksisteeri lõpmatumõõtmelistel kollektoritel.

Muutujate asendamine.

Diferentsiaalarvutuse põhiülesanne on tuletise leidmine f'(x) või diferentsiaal df=f'(x)dx funktsioonid f(x). Integraalarvutuses on pöördülesanne lahendatud. Vastavalt antud funktsioonile f(x) peate sellise funktsiooni leidma F(x), Mida F'(x)=f(x) või dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Seega integraalarvutuse põhiülesanne on funktsiooni taastamine F(x) selle funktsiooni teadaoleva tuletise (diferentsiaali) järgi. Integraalarvutusel on palju rakendusi geomeetrias, mehaanikas, füüsikas ja tehnoloogias. See annab üldise meetodi pindalade, mahtude, raskuskeskmete jms leidmiseks.

Definitsioon. FunktsioonF(x), , nimetatakse funktsiooni antiderivaadiksf(x) hulgal X, kui see on diferentseeritav mis tahes ja jaoksF'(x)=f(x) võidF(x)=f(x)dx.

Teoreem. Iga pidev joon intervallil [a;b] funktsioonf(x) sisaldab selles segmendis antiderivaatF(x).

Teoreem. KuiF 1 (x) jaF 2 (x) – kaks erinevat sama funktsiooniga antiderivatiivif(x) hulgal x, siis erinevad nad üksteisest konstantse liikme võrra, s.t.F 2 (x)=F 1x)+C, kus C on konstant.

Määramatu integraal, selle omadused.

Definitsioon. TotaalsusF(x)+Kõigist antiderivatiivsetest funktsioonidestf(x) hulgal X nimetatakse määramatuks integraaliks ja tähistatakse:

- (1)

Valemis (1) f(x)dx helistas integrandi väljend,f(x) – integrandi funktsioon, x – integratsioonimuutuja, A C – integratsioonikonstant.

Vaatleme määramatu integraali omadusi, mis tulenevad selle määratlusest.

1. Määramatu integraali tuletis võrdub integrandiga, määramata integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga:

Ja .

2. Teatud funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

3. Määramatu integraali märgiks võib välja võtta konstantse teguri a (a≠0):

4. Lõpliku arvu funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne nende funktsioonide integraalide algebralise summaga:

5. KuiF(x) – funktsiooni antiderivaatf(x), siis:

6 (integratsioonivalemite muutumatus). Iga integreerimisvalem säilitab oma vormi, kui integreerimismuutuja asendatakse selle muutuja mis tahes diferentseeruva funktsiooniga:

Kusu on diferentseeritav funktsioon.

Määramata integraalide tabel.

Anname funktsioonide integreerimise põhireeglid.

Anname põhiliste määramatute integraalide tabel.(Pange tähele, et siin, nagu diferentsiaalarvutuses, on täht u võib nimetada sõltumatuks muutujaks (u=x), ja sõltumatu muutuja funktsioon (u=u(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Integraalid 1–17 kutsutakse tabelikujuline.

Mõningaid ülaltoodud integraalide tabelis olevaid valemeid, millel ei ole tuletistabelis analoogi, kontrollitakse nende paremate külgede eristamise teel.

Muutuja muutmine ja integreerimine osade kaupa määramatus integraalis.

Integreerimine asendamise teel (muutuv asendamine). Olgu vaja arvutada integraal

, mis ei ole tabel. Asendusmeetodi olemus seisneb selles, et integraalis on muutuja X asendada muutujaga t valemi järgi x=φ(t), kus dx=φ’(t)dt.

Teoreem. Laske funktsioonilx=φ(t) on defineeritud ja diferentseeritav teatud hulgal T ja olgu X selle funktsiooni väärtuste hulk, millel funktsioon on defineeritudf(x). Siis kui komplektis X funktsioonf(