Bernoulli valem kolme kokkusobimatu sündmuse jaoks. Sõltumatud kordustestid ja Bernoulli valem

Korduvate sõltumatute testide määratlus. Bernoulli valemid tõenäosuse ja kõige tõenäolisema arvu arvutamiseks. Bernoulli valemi asümptootilised valemid (lokaalne ja integraal, Laplace'i teoreemid). Integraaliteoreemi kasutamine. Poissoni valem ebatõenäoliste juhuslike sündmuste jaoks.

Korduvad sõltumatud testid

Praktikas tuleb tegeleda selliste ülesannetega, mida saab esitada korduvalt korduvate testidena, millest igaühe tulemusena võib sündmus A ilmneda, aga mitte. Samas ei ole huvipakkuv tulemus mitte iga "individuaalse katse tulemus, vaid sündmuse A esinemiste koguarv teatud arvu katsete tulemusena. Selliste ülesannete puhul peab olema võimalik määrata tõenäosus suvalisest arvust m sündmuse A esinemist n katse tulemusel. Vaatleme juhtumit, kui katsed on sõltumatud ja sündmuse A toimumise tõenäosus igas katses on konstantne.Selliseid katseid nimetatakse nn. korduvad sõltumatud.

Sõltumatu testimise näide oleks ühest mitmest partiist võetud toodete sobivuse testimine. Kui nendel partiidel on ühesugune defektide protsent, siis tõenäosus, et valitud toode on igal juhul defektne, on konstantne arv.

Bernoulli valem

Kasutame mõistet raske sündmus, mis tähendab mitme elementaarse sündmuse kombinatsiooni, mis seisneb sündmuse A ilmumises või mitteilmumises i-ndas testis. Tehakse n sõltumatut katset, milles iga sündmuse puhul A võib esineda tõenäosusega p või mitte esineda tõenäosusega q=1-p . Vaatleme sündmust B_m, mis seisneb selles, et sündmus A toimub nendes n katses täpselt m korda ja seetõttu ei toimu täpselt (n-m) korda. Tähistage A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) sündmuse A esinemine , a \overline(A)_i - sündmuse A mittetoimumine i-ndas katses. Katsetingimuste püsivuse tõttu on meil

Sündmus A võib esineda m korda erinevates järjestustes või kombinatsioonides, vaheldumisi vastupidise sündmusega \overline(A) . Seda tüüpi võimalike kombinatsioonide arv on võrdne n elemendi kombinatsioonide arvuga m võrra, st C_n^m . Seetõttu saab sündmust B_m esitada keerukate sündmuste summana, mis ei ühildu üksteisega ja terminite arv on võrdne C_n^m :

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

kus sündmus A toimub igas tootes m korda ja \overline(A) - (n-m) korda.

Iga valemis (3.1) sisalduva liitsündmuse tõenäosus on sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutusteoreemi kohaselt võrdne p^(m)q^(n-m) . Kuna selliste sündmuste koguarv on võrdne C_n^m , siis, kasutades kokkusobimatute sündmuste tõenäosuse liitmise teoreemi, saame sündmuse B_m tõenäosuse (tähistame seda P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(või)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Valemit (3.2) nimetatakse Bernoulli valem, ja korduvaid katseid, mis vastavad sündmuse A toimumise tõenäosuste sõltumatuse ja püsivuse tingimusele igaühes neist nimetatakse Bernoulli kohtuprotsessid või Bernoulli skeem.

Näide 1. Tõenäosus ületada tolerantsivälja detailide töötlemisel treipingil on 0,07. Määrake tõenäosus, et vahetuse käigus juhuslikult valitud viiest osast ei vasta üks läbimõõdu mõõtmetest määratud tolerantsile.

Lahendus. Probleemi seisund vastab Bernoulli skeemi nõuetele. Seega, eeldades n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, valemiga (3.2) saame

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\umbes0,\!262.

Näide 2. Vaatlused on näidanud, et mõnes piirkonnas on septembris 12 vihmapäeva. Kui suur on tõenäosus, et sel kuul juhuslikult võetud kaheksast päevast on 3 päeva vihmane?

Lahendus.

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Sündmuse kõige tõenäolisem esinemiste arv

Kõige tõenäolisem välimus sündmus A n sõltumatus katses on selline arv m_0, mille korral sellele arvule vastav tõenäosus on suurem või vähemalt mitte väiksem kui sündmuse A kõigi teiste võimalike arvude esinemise tõenäosus. Kõige tõenäolisema arvu määramiseks ei ole vaja arvutada sündmuse võimaliku esinemise arvu tõenäosusi, piisab katsete arvu n ja sündmuse A toimumise tõenäosuse teadmisest eraldi katses. Tähistagu P_(m_0,n) kõige tõenäolisemale arvule m_0 vastavat tõenäosust. Kasutades valemit (3.2), kirjutame

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n){m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Kõige tõenäolisema arvu definitsiooni kohaselt ei tohiks sündmuse A toimumise tõenäosused vastavalt m_0+1 ja m_0-1 korda ületada vähemalt tõenäosust P_(m_0,n) , s.t.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Asendades võrratustega väärtuse P_(m_0,n) ja tõenäosuste P_(m_0+1,n) ja P_(m_0-1,n) avaldised, saame

Lahendades need võrratused m_0 jaoks, saame

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Kombineerides viimased võrratused, saame topeltvõrratuse, mille abil määratakse kõige tõenäolisem arv:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Kuna ebavõrdsusega (3.4) defineeritud intervalli pikkus on võrdne ühega, s.o.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

ja sündmus võib n katses esineda vaid täisarv korda, siis tuleb meeles pidada, et:

1) kui np-q on täisarv, siis on kõige tõenäolisemal arvul kaks väärtust, nimelt: m_0=np-q ja m"_0=np-q+1=np+p ;

2) kui np-q on murdarv, siis on üks kõige tõenäolisem arv, nimelt: ainuke täisarv võrratusest (3.4) saadud murdarvude vahel;

3) kui np on täisarv, siis on üks kõige tõenäolisem arv, nimelt: m_0=np .

Suurte n väärtuste korral on kõige tõenäolisemale arvule vastava tõenäosuse arvutamiseks ebamugav kasutada valemit (3.3). Kui võrduses (3.3) asendame Stirlingi valemi

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

kehtivad piisavalt suure n korral ja võtame kõige tõenäolisema arvu m_0=np , siis saame valemi kõige tõenäolisemale arvule vastava tõenäosuse ligikaudseks arvutamiseks:

P_(m_0,n)\umbes\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Näide 2. On teada, et \frac(1)(15) osad tehase poolt kauplemisbaasi tarnitud tooted ei vasta kõigile standardi nõuetele. Baasi toimetati partii kaupa 250 tk. Leidke kõige tõenäolisem standardi nõuetele vastavate toodete arv ja arvutage välja tõenäosus, et see partii sisaldab kõige tõenäolisemalt tooteid.

Lahendus. Tingimuste järgi n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Ebavõrdsuse (3,4) järgi on meil

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

kus 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Seetõttu on kõige tõenäolisem standardi nõuetele vastavate toodete arv 250 tk. võrdub 234. Asendades andmed valemisse (3.5), arvutame tõenäosuse, et partiis on kõige tõenäolisem üksuste arv:

P_(234,250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Kohalik Laplace'i teoreem

Bernoulli valemi kasutamine suurte n väärtuste jaoks on väga keeruline. Näiteks kui n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, siis tõenäosuse P_(30,50) leidmiseks on vaja arvutada avaldise väärtus

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Loomulikult tekib küsimus: kas intressi tõenäosust on võimalik arvutada ilma Bernoulli valemit kasutamata? Selgub, et saate. Lokaalne Laplace’i teoreem annab asümptootilise valemi, mis võimaldab ligikaudselt leida sündmuste toimumise tõenäosust täpselt m korda n katses, kui katsete arv on piisavalt suur.

Teoreem 3.1. Kui sündmuse A toimumise tõenäosus p igas katses on konstantne ja erineb nullist ja ühest, siis tõenäosus P_(m,n), et sündmus A ilmneb n katses täpselt m korda, on ligikaudu võrdne (mida täpsemalt, suurem n ) funktsiooni väärtusele

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) aadressil .

On tabeleid, mis sisaldavad funktsiooni väärtusi \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), mis vastab argumendi x positiivsetele väärtustele. Negatiivsete argumentide väärtuste puhul kasutatakse samu tabeleid, kuna funktsioon \varphi(x) on paaris, st. \varphi(-x)=\varphi(x).

Seega on ligikaudu tõenäosus, et sündmus A ilmub n katses täpselt m korda,

P_(m,n)\aprox\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Kus x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Näide 3. Leidke tõenäosus, et sündmus A toimub täpselt 80 korda 400 katse jooksul, kui sündmuse A toimumise tõenäosus igas katses on 0,2.

Lahendus. Tingimuste järgi n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Kasutame asümptootilist Laplace'i valemit:

P_(80 400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

Arvutame probleemiandmetega määratud väärtuse x:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Tabeli adj järgi leiame 1 \varphi(0)=0,\!3989. Soovitud tõenäosus

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Bernoulli valem annab ligikaudu sama tulemuse (arvutused jäetakse nende kohmakuse tõttu tegemata):

P_(80 100)=0,\!0498.

Laplace'i integraalteoreem

Oletame, et viiakse läbi n sõltumatut katset, millest igaühes sündmuse A toimumise tõenäosus on konstantne ja võrdne p . On vaja arvutada tõenäosus P_((m_1,m_2),n), et sündmus A ilmub n katses vähemalt m_1 ja maksimaalselt m_2 korda (lühidalt ütleme "alates m_1 kuni m_2 korda"). Seda saab teha Laplace'i integraaliteoreemi abil.

Teoreem 3.2. Kui igas katses sündmuse A toimumise tõenäosus p on konstantne ja erinev nullist ja ühest, siis ligikaudu tõenäosus P_((m_1,m_2),n), et sündmus A ilmub katsetes m_1 kuni m_2 korda,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Kus.

Laplace'i integraali teoreemi rakendamist nõudvate ülesannete lahendamisel kasutatakse spetsiaalseid tabeleid, kuna määramata integraal \int(e^(-x^2/2)\,dx) ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu. Integreeritud laud \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz antud rakenduses. 2, kus funktsiooni \Phi(x) väärtused on antud x positiivsete väärtuste korral x jaoks<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 võib võtta \Phi(x)=0,\!5 .

Seega on ligikaudu tõenäosus, et sündmus A ilmub n sõltumatus katses vahemikus m_1 kuni m_2 korda,

P_((m_1,m_2),n)\umbes\Phi(x"")-\Phi(x"), Kus x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Näide 4. Tõenäosus, et detail on valmistatud rikkudes standardeid, p=0,\!2 . Leidke tõenäosus, et 400 juhuslikult valitud mittestandardse osa hulgas on 70 kuni 100 detaili.

Lahendus. Tingimuste järgi p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Kasutame Laplace'i integraalteoreemi:

P_((70,100),400)\umbes\Phi(x"")-\Phi(x").

Arvutame integreerimise piirid:

madalam

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

ülemine

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Seega

P_((70,100),400)\umbes\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Vastavalt tabelirakendusele. 2 leida

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Soovitud tõenäosus

P_((70 100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Laplace'i integraaliteoreemi rakendamine

Kui arv m (sündmuse A esinemiste arv n sõltumatus katses) muutub m_1-lt m_2-ks, siis murdosa \frac(m-np)(\sqrt(npq)) muutub alates \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" enne \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Seetõttu võib Laplace'i integraalteoreemi kirjutada ka järgmiselt:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Teeme ülesandeks leida tõenäosus, et suhtelise sageduse \frac(m)(n) hälbe absoluutväärtus konstantsest tõenäosusest p ei ületa etteantud arvu \varepsilon>0 . Teisisõnu leiame ebavõrdsuse tõenäosuse \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, mis on sama -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Seda tõenäosust tähistatakse järgmiselt: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Võttes arvesse valemit (3.6), saame selle tõenäosuse jaoks

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\õige).

Näide 5. Tõenäosus, et detail on mittestandardne, p=0,\!1 . Leidke tõenäosus, et juhuslikult valitud 400 detaili hulgas erineb mittestandardsete osade suhteline esinemissagedus absoluutväärtuses tõenäosusest p=0,\!1 mitte rohkem kui 0,03 võrra.

Lahendus. Tingimuste järgi n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Peame leidma tõenäosuse P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Kasutades valemit (3.7) saame

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\aprox2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

Vastavalt tabelirakendusele. 2 leiame \Phi(2)=0,\!4772 , seega 2\Phi(2)=0,\!9544 . Seega on soovitud tõenäosus ligikaudu 0,9544. Saadud tulemuse tähendus on järgmine: kui võtta piisavalt palju proove, igaüks 400 osa, siis ligikaudu 95,44% nendest proovidest on suhtelise sageduse hälve konstantsest tõenäosusest p=0,\!1 absoluutväärtus ei ületa 0,03.

Poissoni valem ebatõenäoliste sündmuste jaoks

Kui sündmuse toimumise tõenäosus p on eraldi katses nullilähedane, siis isegi suure arvu katsete n korral, kuid korrutise np väikese väärtuse korral, on tõenäosused P_(m,n) saadud. Laplace'i valem ei ole piisavalt täpne ja on vaja teist ligikaudset valemit.

Teoreem 3.3. Kui igas katses sündmuse A toimumise tõenäosus p on konstantne, kuid väike, on sõltumatute katsete arv n piisavalt suur, kuid korrutise np=\lambda väärtus jääb väikeseks (mitte rohkem kui kümme), siis on tõenäosus p. et sündmus A toimub nendes katsetes m korda,

P_(m,n)\umbes\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Arvutuste lihtsustamiseks Poissoni valemi abil on koostatud Poissoni funktsiooni väärtuste tabel \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(vt lisa 3).

Näide 6. Olgu mittestandardse detaili valmistamise tõenäosus 0,004. Leidke tõenäosus, et 1000 osa hulgas on 5 mittestandardset.

Lahendus. Siin n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Kõik kolm arvu vastavad teoreemi 3.3 nõuetele, seega kasutame soovitud sündmuse P_(5,1000) tõenäosuse leidmiseks Poissoni valemit. Vastavalt Poissoni funktsiooni väärtuste tabelile (app 3) \lambda=4;m=5 saame P_(51000)\umbes0,\!1563.

Leiame sama sündmuse tõenäosuse Laplace'i valemi abil. Selleks arvutame esmalt x väärtuse, mis vastab m=5 :

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\umbes0 ,\!501.

Seetõttu vastavalt Laplace'i valemile soovitud tõenäosus

P_(5,1000)\aprox\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\aprox\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

ja Bernoulli valemi järgi selle täpne väärtus

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\umbes0,\!1552.

Seega on suhteline viga tõenäosuste P_(5,1000) arvutamisel ligikaudse Laplace'i valemi abil

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\umbes0,\!196 või 13,\!6\%

ja vastavalt Poissoni valemile -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\umbes0,\!007, või 0,\!7\%

See tähendab, et mitu korda vähem.
Liikuge järgmise jaotise juurde
Ühemõõtmelised juhuslikud muutujad Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peavad ActiveX-juhtelemendid olema lubatud!

Tõenäosusteooria praktilisel rakendamisel puututakse sageli kokku probleemidega, mille puhul korratakse sama katset või sarnaseid katseid rohkem kui üks kord. Iga kogemuse tulemusena võib sündmus ilmneda, aga ei pruugi. A, ja meid ei huvita iga üksiku katse tulemus, vaid totaalsed esinemised sündmused A mitmete katsete tulemusena. Näiteks kui lastakse grupp lasku samasse märklauda, ​​ei huvita meid mitte iga lasu tulemus, vaid tabamuste koguarv. Sellised probleemid lahendatakse üsna lihtsalt, kui katsed on sõltumatu.

Definitsioon. Sündmusest A sõltumatud katsed on need, mille puhul sündmuse A tõenäosus igas katses ei sõltu teiste katsete tulemustest.

Näide. Mitmed järjestikused kaardipaki joonistused on iseseisvad katsed eeldusel, et tõmmatud kaart tagastatakse iga kord kaardipakki ja kaardid segatakse; vastasel juhul on need sõltuvad kogemused.

Näide. Mitu lasku on iseseisvad katsed ainult siis, kui sihitakse enne iga lasku uuesti; juhul, kui sihtimine sooritatakse üks kord enne kogu laskmist või sooritatakse pidevalt laskmise käigus (lahinglaskmine, seeriapommitamine), on lasud sõltuvad katsed.

Sõltumatuid katseid võib teha samadel või erinevatel tingimustel. Esimesel juhul sündmuse tõenäosus A kõikides katsetes sama, teisel juhul sündmuse tõenäosus A kogemuste lõikes erinev. Esimene juhtum on seotud paljude usaldusväärsuse teooria, tulistamise teooria probleemidega ja viib nn Bernoulli skeem, mis on järgmine:

1) jada viiakse läbi n sõltumatud katsed, millest igaühel on sündmus A võib ilmuda või mitte;

2) sündmuse toimumise tõenäosus A igas testis on konstantne ja võrdne , samuti selle mitteesinemise tõenäosus .

Bernoulli valem sündmuse toimumise tõenäosuse leidmiseks A kükskord n sõltumatud katsed, millest igaühel on sündmus A ilmub tõenäosusega lk:

. (1)

Märkus 1. Suurenedes n Ja k Bernoulli valemi rakendamine on seotud arvutusraskustega, seega kasutatakse valemit (1) peamiselt siis, kui k ei ületa 5 ja n mitte suurepärane.

Märkus 2. Tulenevalt asjaolust, et vormis olevad tõenäosused on binoomlaienduse liikmed, nimetatakse vormi (1) tõenäosusjaotust nn. binoom levitamine.

Näide. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Leia viie tabamuse tõenäosus kuue lasuga.

Lahendus. Sellest ajast , pealegi ja . Bernoulli valemi abil saame:

Näide. Sama sihtmärgi pihta lastakse erinevalt distantsilt neli sõltumatut lasku. Nende kaadrite tabamuse tõenäosused on vastavalt:

Leidke ühegi, ühe, kahe, kolme ja nelja tabamuse tõenäosus:

Lahendus. Koostame genereerimisfunktsiooni:

Näide. Märklaua pihta tehakse viis sõltumatut lasku tabamuse tõenäosusega 0,2. Sihtmärgi hävitamiseks piisab kolmest tabamusest. Leidke tõenäosus, et sihtmärk hävitatakse.

Lahendus. Sihtmärgi hävitamise tõenäosus arvutatakse järgmise valemi abil:

Näide. Sihtmärki tehakse kümme iseseisvat lasku, ühe lasuga tabamise tõenäosus on 0,1. Sihtmärgi tabamiseks piisab ühest tabamusest. Leidke sihtmärgi tabamise tõenäosus.

Lahendus. Vähemalt ühe tabamuse tõenäosus arvutatakse järgmise valemiga:

3. Kohalik Moivre-Laplace'i teoreem

Rakendustes on sageli vaja arvutada erinevate sündmuste tõenäosused, mis on seotud sündmuse esinemiste arvuga n Bernoulli skeemi testid suurte väärtustega n. Sel juhul on valemiga (1) arvutamine keeruline. Raskused suurenevad, kui tuleb need tõenäosused kokku liita. Arvutamisraskused tekivad ka väikeste väärtuste puhul lk või q.

Laplace sai olulise ligikaudse valemi sündmuse toimumise tõenäosuse kohta A täpselt m korda, kui on piisavalt suur arv, see tähendab, kui .

Kohalik de Moivre-Laplace'i teoreem. Kui sündmuse A toimumise tõenäosus p igas katses on konstantne ja erineb nullist ja ühest, , on väärtus piiratud m ja n-ga ühtlaselt, siis on sündmuse A esinemise tõenäosus täpselt m korda n sõltumatus katses ligikaudu võrdne

Lühike teooria

Tõenäosusteooria käsitleb katseid, mida saab korrata (vähemalt teoreetiliselt) piiramatu arv kordi. Mõnda katset korratakse üks kord ja iga korduse tulemused ei sõltu eelnevate korduste tulemustest. Selliseid korduste seeriaid nimetatakse sõltumatuteks katseteks. Selliste testide erijuhtum on sõltumatud Bernoulli kohtuprotsessid, mida iseloomustavad kaks tingimust:

1) iga testi tulemus on üks kahest võimalikust tulemusest, mida nimetatakse vastavalt "edu" või "ebaõnnestumine".

2) iga järgneva testi "edusaamise" tõenäosus ei sõltu eelnevate testide tulemustest ja jääb konstantseks.

Bernoulli teoreem

Kui tehakse rida sõltumatuid Bernoulli katseid, millest igaühes saavutatakse "edu" tõenäosusega , siis tõenäosus, et "edu" toimub katsetes täpselt üks kord, väljendatakse valemiga:

kus on ebaõnnestumise tõenäosus.

- elementide kombinatsioonide arv (vt kombinatoorika põhivalemeid)

Seda valemit nimetatakse Bernoulli valem.

Bernoulli valem võimaldab vabaneda suurest arvust arvutustest – tõenäosuste liitmisest ja korrutamisest – piisavalt suure hulga testidega.

Bernoulli testi skeemi nimetatakse ka binoomskeemiks ja vastavaid tõenäosusi binoomseks, mida seostatakse binoomkoefitsientide kasutamisega.

Bernoulli skeemi kohane jaotus võimaldab eelkõige leida sündmuse kõige tõenäolisema esinemise arvu.

Kui katsete arv n suurepärane, siis naudi:

Probleemilahenduse näide

Ülesanne

Teatud taime seemnete idanevus on 70%. Kui suur on tõenäosus, et 10 külvatud seemnest: 8, vähemalt 8; vähemalt 8?

Probleemi lahendus

Kasutame Bernoulli valemit:

Meie puhul

Laske sündmusel - 10 seemnest tärkab 8:

Laske sündmusel tõusta vähemalt 8 (see tähendab 8, 9 või 10)

Laske sündmusel tõusta vähemalt 8 (see tähendab 8,9 või 10)

Vastus

Keskmine kontrolltööde lahendamise maksumus on 700 - 1200 rubla (kuid mitte vähem kui 300 rubla kogu tellimuse kohta). Hinda mõjutab tugevalt otsuse kiireloomulisus (päevadest mitme tunnini). Eksami / testi veebiabi maksumus - alates 1000 rubla. piletilahenduse eest.

Rakenduse saab jätta otse vestlusse, olles eelnevalt ülesannete seisukorrast välja visanud ja teavitades selle lahendamise tähtaegadest. Reaktsiooniaeg on mitu minutit.

Olgu sündmuse A suhtes läbi viidud n katset. Tutvustame järgmisi sündmusi: Аk -- sündmus А realiseerus k-nda testi käigus, $ k=1,2,\dots , n$. Siis $\bar(A)_(k) $ on vastupidine sündmus (sündmus A ei toimunud k-nda katse ajal, $k=1,2,\dots , n$).

Mis on vastastikused ja sõltumatud katsed

Definitsioon

Teste kutsutakse sündmuse A suhtes sama tüüpi, kui sündmuste $A1, A2, \dots , An$ tõenäosused on samad: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (st sündmuse A esinemise tõenäosus ühes katses on kõigis katsetes konstantne).

Ilmselgelt langevad sel juhul kokku ka vastupidiste sündmuste tõenäosused: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definitsioon

Katseid nimetatakse sündmuse A suhtes sõltumatuteks, kui sündmused $A1, A2, \dots , An$ on sõltumatud.

Sel juhul

Sel juhul säilib võrdsus, kui mis tahes sündmus Ak asendatakse $\bar(A)_(k) $-ga.

Olgu sündmuse A suhtes läbi viidud rida n sarnast sõltumatut katset. Kanname tähistust: p - sündmuse A tõenäosus ühes testis; q on vastupidise sündmuse tõenäosus. Seega P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ mis tahes k korral ja p+q=1.

Tõenäosus, et n-st katsest koosnevas reas toimub sündmus A täpselt k korda (0 ≤ k ≤ n), arvutatakse järgmise valemiga:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Võrdsust (1) nimetatakse Bernoulli valemiks.

Tõenäosus, et n sama tüüpi sõltumatu katse seerias toimub sündmus A vähemalt k1 korda ja kõige rohkem k2 korda, arvutatakse järgmise valemiga:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Bernoulli valemi kasutamine suurte n väärtuste jaoks põhjustab tülikaid arvutusi, seega on nendel juhtudel parem kasutada muid valemeid - asümptootilisi.

Bernoulli skeemi üldistus

Mõelge Bernoulli skeemi üldistusele. Kui reas n sõltumatut katset, millest igaühel on m paarikaupa kokkusobimatu ja võimalikud tulemused Ak vastavate tõenäosustega Рk= рk(Аk). Siis kehtib polünoomjaotuse valem:

Näide 1

Epideemia ajal grippi haigestumise tõenäosus on 0,4. Leia tõenäosus, et ettevõtte 6 töötajast haigestub

1. täpselt 4 töötajat;
2. mitte rohkem kui 4 töötajat.

Lahendus. 1) Ilmselt on selle ülesande lahendamiseks rakendatav Bernoulli valem, kus n=6; k = 4; p = 0,4; q = 1-p = 0,6. Rakendades valemit (1), saame: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ca 0.138$.

Selle ülesande lahendamiseks kasutatakse valemit (2), kus k1=0 ja k2=4. Meil on:

\[\begin(massiiv)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cpunkt 0,4^(0) \cpunkt 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cpunkt 0,4 ^(1) \cpunkt 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cpunkt 0,4^(2) \cpunkt 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cpunkt 0,4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ ligikaudu 0.959.) \end(massiivi)\]

Tuleb märkida, et seda ülesannet on lihtsam lahendada vastupidise sündmuse abil - haigestus üle 4 töötaja. Seejärel, võttes arvesse valemit (7) vastupidiste sündmuste tõenäosuste kohta, saame:

Vastus: $ \ $ 0,959.

Näide 2

Urnis on 20 valget ja 10 musta palli. Võetakse välja 4 palli ja iga väljavõetud pall viiakse urni tagasi enne järgmise loosimist ja urnis olevate pallide segamist. Leia tõenäosus, et joonisel 1 on neljast tõmmatud kuulist 2 valget palli.

Pilt 1.

Lahendus. Olgu sündmus A see, et loositakse valge pall. Siis tõenäosused $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Bernoulli valemi järgi on nõutav tõenäosus $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \parem)^(2) =\frac(8)(27) $.

Vastus: $\frac(8)(27) $.

Näide 3

Määrake tõenäosus, et 5 lapsega peres sünnib kuni 3 tüdrukut. Eeldatakse, et poisi ja tüdruku sünni tõenäosus on sama.

Lahendus. Tüdruku saamise tõenäosus $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-poissi saamise tõenäosus. Tüdrukuid ei ole peres rohkem kui kolm, mis tähendab, et perre sündis kas üks, kaks või kolm tüdrukut või kõik poisid.

Leidke tõenäosus, et peres ei ole tüdrukuid, sündis üks, kaks või kolm tüdrukut: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Seetõttu on nõutav tõenäosus $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Vastus: $\frac(13)(16)$.

Näide 4

Esimene laskur ühe lasuga saab esikümnesse tabada tõenäosusega 0,6, üheksa tõenäosusega 0,3 ja kaheksasse tõenäosusega 0,1. Kui suur on tõenäosus, et ta tabab kümne viskega kümme kuus, üheksa kolm ja kaheksa kaheksa korda?

Bernoulli testi skeem. Bernoulli valem

Teeme paar testi. Pealegi ei sõltu sündmuse $A$ esinemise tõenäosus igas katses teiste katsete tulemustest. Selliseid katseid nimetatakse sündmuse A suhtes sõltumatuteks. Erinevates sõltumatutes katsetes võib sündmusel A olla erinev tõenäosus või üks ja sama. Vaatleme ainult neid sõltumatuid katseid, kus sündmusel $A$ on sama tõenäosus.

Keerulise sündmuse all peame silmas lihtsate sündmuste kombinatsiooni. Tehke n katset. Igas katses võib sündmus $A$ toimuda või mitte. Eeldame, et igas katses on sündmuse $A$ esinemise tõenäosus sama ja võrdub $p$. Siis on tõenäosus $\overline A $ (või A mitteesinemine) võrdne $P(( \overline A ))=q=1-p$.

Olgu vajalik arvutada tõenäosus, et in n-toimub testsündmus $A$ k- korda ja $n-k$ korda - ei tule. Seda tõenäosust tähistatakse $P_n (k)$. Pealegi pole sündmuse $A$ toimumise järjekord oluline. Näiteks: $(( AAA\ülejoon A , AA\ülejoon A A, A\ülejoon A AA, \ülejoon A AAA ))$

$P_5 (3)-$ viies katses sündmus $A$ ilmus 3 korda ja 2 ei ilmunud. Selle tõenäosuse saab leida Bernoulli valemi abil.

Bernoulli valemi tuletamine

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi järgi on tõenäosus, et sündmus $A$ toimub $k$ korda ja $n-k$ korda ei toimu, on võrdne $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. Ja selliseid keerulisi sündmusi võib olla nii palju kui $C_n^k $ saab olla. Kuna keerulised sündmused on kokkusobimatud, siis vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste summa teoreemile tuleb liita kõigi keeruliste sündmuste tõenäosused ja neid on täpselt $C_n^k $. Siis on sündmuse $A$ toimumise tõenäosus täpselt kükskord n testides on $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Bernoulli valem.

Näide. Täringut visatakse 4 korda. Leidke tõenäosus, et üks ilmub poolel korral.

Lahendus. $A=$ (ühe välimus)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 dollarit

Seda on suurte väärtuste puhul lihtne näha n tõenäosust on tohutute arvude tõttu üsna raske arvutada. Selgub, et seda tõenäosust saab arvutada mitte ainult Bernoulli valemi abil.