Antiik

Iidsel perioodil ilmusid mõned ideed, mis viisid hiljem integraalarvutuseni, kuid tol ajastul ei arendatud neid ideid rangelt ja süstemaatiliselt. Mahtude ja pindalade arvutusi, mis on integraalarvutuse üks eesmärke, võib leida Moskva matemaatilisest papüürusest Egiptusest (umbes 1820 eKr), kuid valemid on pigem juhised, ilma meetodi viiteta ja mõned on lihtsalt ekslik. Kreeka matemaatika ajastul kasutas Eudoxus (u 408-355 eKr) pindalade ja mahtude arvutamiseks ammendumismeetodit, mis näeb ette piiri mõistet ja hiljem arendas seda ideed edasi Archimedes (umbes 287-212 eKr). , leiutades integraalarvutuse meetodeid meenutava heuristika. Kurnatusmeetodi leiutas hiljem Hiinas 3. sajandil pKr Liu Hui, mida ta kasutas ringi pindala arvutamiseks. 5. pKr töötas Zu Chongzhi välja sfääri ruumala arvutamise meetodi, mida hiljem hakati nimetama Cavalieri põhimõtteks.

keskaeg

14. sajandil võtsid India matemaatik Madhava Sangamagrama ja Kerala astronoomia ja matemaatika kool kasutusele arvutuse paljud komponendid, nagu Taylori jada, lõpmatute jadate lähendamine, integraalne lähenemise test, diferentseerimise varajased vormid, terminite kaupa integreerimine, iteratiivsed meetodid mittelineaarsete võrrandite lahendamiseks ja selle määramiseks, milline kõveraalune pindala on selle integraal. Mõned peavad Yuktibhāṣāt esimeseks matemaatilise analüüsi teoseks.

Moodne ajastu

Euroopas oli põhitööks Bonaventura Cavalieri traktaat, milles ta väitis, et mahtusid ja pindalasid saab arvutada lõpmata õhukese lõigu mahtude ja pindalade summana. Ideed olid sarnased sellele, mida Archimedes oma meetodis visandas, kuid see Archimedese traktaat läks kaduma kuni 20. sajandi esimese pooleni. Cavalieri tööd ei tunnustatud, sest tema meetodid võisid viia ekslike tulemusteni ning ta andis lõpmatutele väikestele kahtlase maine.

Euroopas toimus sel ajal ametlik uurimine lõpmatu väikese arvutuse kohta, mille Cavalieri kombineeris lõplike erinevuste arvutusega. Pierre Fermat, väites, et ta laenas selle Diophantuselt, võttis kasutusele mõiste "kvaasivõrdsus" (inglise keeles adequality), mis oli võrdsus kuni lõpmatu väikese veani. Suure panuse andsid ka John Wallis, Isaac Barrow ja James Gregory. Kaks viimast, umbes 1675. aastal, tõestasid arvutuse teist põhiteoreemi.

Põhjused

Matemaatikas viitavad alused aine rangele määratlusele, alustades täpsetest aksioomidest ja definitsioonidest. Arvutuse arendamise algstaadiumis peeti lõpmata väikeste suuruste kasutamist leebeks ja seda kritiseerisid rängalt mitmed autorid, eelkõige Michel Rolle ja piiskop Berkeley. Berkeley kirjeldas 1734. aastal oma raamatus The Analyst suurepäraselt lõpmatuid väikesi kui "surnud koguste kummitusi". Arvutuse range aluse väljatöötamine hõivas matemaatikuid enam kui sajandi jooksul pärast Newtonit ja Leibnizi ning on tänapäevalgi teatud määral aktiivne uurimisvaldkond.

Mitmed matemaatikud, sealhulgas Maclaurin, püüdsid tõestada infinitesimaalide kasutamise paikapidavust, kuid seda tehti alles 150 aastat hiljem Cauchy ja Weierstrassi töödega, kes lõpuks leidsid viisi, kuidas infinitesimaalide lihtsatest "pisiasjadest" kõrvale hiilida. alguses tehti diferentsiaal- ja integraalarvutus. Cauchy kirjutistest leiame universaalse hulga fundamentaalseid käsitlusi, sealhulgas järjepidevuse definitsiooni lõpmatuseni ja (mõnevõrra ebatäpse) piirimääratluse (ε, δ) prototüübi diferentseerumise definitsioonis. Weierstrass vormistab oma töös piiri mõiste ja välistab lõpmata väikesed suurused. Pärast seda Weierstrassi tööd said arvutuse üldiseks aluseks piirid, mitte lõpmata väikesed kogused. Bernhard Riemann kasutas neid ideid integraali täpse määratluse andmiseks. Lisaks sellele üldistati sel perioodil arvutuse ideid Eukleidilise ruumi ja komplekstasandi jaoks.

Kaasaegses matemaatikas sisalduvad arvutamise alused reaalanalüüsi harus, mis sisaldab arvutuse teoreemide terviklikke definitsioone ja tõestusi. Arvutuste uurimistöö ulatus on muutunud palju laiemaks. Henri Lebesgue töötas välja hulgamõõtude teooria ja kasutas seda kõigi, välja arvatud kõige eksootilisemate funktsioonide integraalide määramiseks. Laurent Schwartz tutvustas üldistatud funktsioone, mille abil saab üldiselt arvutada mis tahes funktsiooni tuletisi.

Piirmäärade kehtestamine ei määranud ainsat ranget lähenemist arvutuslikule alusele. Alternatiiviks oleks näiteks Abraham Robinsoni ebastandardne analüüs. 1960. aastatel välja töötatud Robinsoni lähenemine kasutab matemaatilisest loogikast pärit tehnilisi vahendeid, et laiendada reaalarvude süsteemi lõpmata väikestele ja lõpmata suurtele arvudele, nagu algses Newton-Leibnizi kontseptsioonis. Neid numbreid, mida nimetatakse hüperreaalideks, saab kasutada tavalistes arvutusreeglites, täpselt nagu Leibniz.

Tähtsus

Kuigi mõned arvutuse ideed olid varem välja töötatud Egiptuses, Kreekas, Hiinas, Indias, Iraagis, Pärsias ja Jaapanis, sai arvutuse kaasaegne kasutamine Euroopas alguse 17. sajandil, kui Isaac Newton ja Gottfried Wilhelm Leibniz rajasid varasemad matemaatikud selle aluspõhimõtetele tuginema. Arvutuse arendamine põhines varasematel hetkelise liikumise ja kõveraaluse pindala kontseptsioonidel.

Diferentsiaalarvutust kasutatakse kiiruse ja kiirenduse, kõvera kalde ja optimeerimisega seotud arvutustes. Integraalarvutuse rakendused hõlmavad arvutusi, mis hõlmavad pindalasid, ruumalasid, kaare pikkusi, massikeskmeid, tööd ja rõhku. Keerulisemate rakenduste hulka kuuluvad võimsusridade ja Fourier' seeriate arvutused.

arvutus [ ] kasutatakse ka ruumi, aja ja liikumise olemuse täpsemaks mõistmiseks. Matemaatikud ja filosoofid on sajandeid maadelnud paradoksidega, mis on seotud nulliga jagamisega või lõpmatu arvude jada summa leidmisega. Need küsimused tekivad liikumist uurides ja pindalade arvutamisel. Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast tõi selliste paradokside kohta mitu kuulsat näidet. Calculus pakub tööriistu nende paradokside, eelkõige piiride ja lõpmatute jadate lahendamiseks.

Piirid ja lõpmata väiksed väärtused

Märkmed

1. Morris Kline, Matemaatiline mõtlemine iidsetest aegadest tänapäevani, Vol. I
2. Archimedes, meetod, sisse Archimedese teosed ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Fänn, Dainian; Cohen, poeg Robertne. Archimdese ja Liu Hui ringkondade uuringute võrdlus (inglise keeles): ajakiri. - Springer, 1966. - Kd. 130. - lk 279. - ISBN 0-792-33463-9., Peatükk, lk. 279
4. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Arvestus: Varased transtsendentaalid (määratlemata). - 3. - Jonesi ja Bartletti õppimine (Inglise)vene keel, 2009. - P. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3.,Väljavõte lk 27
5. India matemaatika
6. von Neumann, J., "The Mathematician", väljaandes Heywood, R. B., toim. Meele teod, University of Chicago Press, 1947, lk. 180-196. Kordustrükk: Bródy, F., Vámos, T., toim. Neumanni komöödia, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, lk. 618-626.
7. André Weil: Arvuteooria. Lähenemine läbi ajaloo. Hammurapist Legendreni. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, lk. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. Leibnizi varajased matemaatilised käsikirjad. Cosimo, Inc., 2008. Lk 228. Koopia
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (määratlemata) . Agnes Scotti kolledž (aprill 1995). Arhiveeritud originaalist 5. septembril 2012.

Lingid

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9. väljaanne, Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Matemaatilised meetodid teadlastele ja inseneridele, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Arvestus: Varased transtsendentaalid, 6. väljaanne, Brooks Cole Cengage Learning.

Sissejuhatus

L. Euler on ajaloo kõige produktiivsem matemaatik, rohkem kui 800 matemaatilise analüüsi, diferentsiaalgeomeetria, arvuteooria, ligikaudsete arvutuste, taevamehaanika, matemaatilise füüsika, optika, ballistika, laevaehituse, muusikateooria jne töö autor. Paljud tema töödel oli suur mõju teaduse arengule.

Euler veetis peaaegu poole oma elust Venemaal, kus ta aitas energiliselt luua Venemaa teadust. 1726. aastal kutsuti ta tööle Peterburi. Aastatel 1731-1741 ja aastast 1766 oli ta Peterburi Teaduste Akadeemia akadeemik (1741-1766 töötas Berliinis, jäädes Peterburi Akadeemia auliikmeks). Ta oskas hästi vene keelt ja avaldas osa oma teoseid (eriti õpikuid) vene keeles. Esimesed vene akadeemikud matemaatikas (S.K. Kotelnikov) ja astronoomias (S.Ya. Rumovsky) olid Euleri õpilased. Mõned tema järeltulijad elavad siiani Venemaal.

L. Euler andis väga suure panuse matemaatilise analüüsi arengusse.

Essee eesmärk on uurida matemaatilise analüüsi arengulugu 18. sajandil.

Matemaatilise analüüsi mõiste. Ajalooline sketš

Matemaatiline analüüs on matemaatika harude kogum, mis on pühendatud funktsioonide ja nende üldistuste uurimisele diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetoditega. Sellise üldise tõlgenduse korral peaks analüüs hõlmama ka funktsionaalset analüüsi koos Lebesgue'i integraali teooriaga, kompleksanalüüs (TFCA), mis uurib komplekstasandil defineeritud funktsioone, mittestandardne analüüs, mis uurib lõpmata väikseid ja lõpmata suuri arve, nagu samuti variatsioonide arvutus.

Haridusprotsessis hõlmab analüüs

· diferentsiaal- ja integraalarvutus

· jadateooria (funktsionaalne, võimsus ja Fourier) ja mitmemõõtmeliste integraalide teooria

· vektoranalüüs.

Samas on valikuliselt antud funktsionaalanalüüsi elemente ja Lebesgue’i integraali teooriat ning eraldi kursustena õpetatakse TFKP-d, variatsioonide arvutamist ja diferentsiaalvõrrandite teooriat. Esitluse rangus järgib 19. sajandi lõpu mustreid ja kasutab eelkõige naiivset hulgateooriat.

Matemaatilise analüüsi eelkäijad olid iidne ammendumise meetod ja jagamatute meetod. Kõiki kolme suunda, sealhulgas analüüsi, seob ühine algidee: lagunemine lõpmatuteks elementideks, mille olemus oli aga idee autorite jaoks üsna ebamäärane. Algebraline lähenemine (lõpmatu väikearvutus) hakkab ilmnema Wallise, James Gregory ja Barrow'ga. Uue arvutuse kui süsteemi lõi täies mahus Newton, kes aga oma avastusi pikka aega ei avaldanud. Newton I. Matemaatilised tööd. M, 1937.

Diferentsiaalarvutuse ametlikuks sünniajaks võib pidada maid 1684, mil Leibniz avaldas esimese artikli “Uus meetod maksimumide ja miinimumide...” Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., V kd, lk. 220--226. Rus. Tõlk.: Uspekhi Mat. Teadused, 3. kd, v. 1 (23), lk. 166--173.. See artikkel esitab kokkuvõtlikul ja ligipääsmatul kujul uue meetodi, mida nimetatakse diferentsiaalarvutuseks, põhimõtted.

17. sajandi lõpus tekkis Leibnizi ümber ring, mille silmapaistvamad esindajad olid vennad Bernoullid Jacob ja Johann ning L'Hopital. 1696. aastal kirjutas L'Hopital I. Bernoulli loenguid kasutades esimese L'Hopitali õpiku. Infinitesimaalide analüüs. M.-L.: GTTI, 1935., mis tõi välja uue meetodi, mida rakendatakse tasapinnakõverate teoorias. Ta nimetas seda "lõpmatu väikeseks analüüsiks", andes sellega ühe nime uuele matemaatika harule. Esitlus põhineb muutuvate suuruste kontseptsioonil, mille vahel on mingi seos, mille tõttu ühe muutus toob kaasa teise muutumise. L'Hôpitalis on see seos antud tasapinnakõverate abil: kui M on tasapinna kõvera liikuv punkt, siis selle Descartes'i koordinaadid x ja y, mida nimetatakse kõvera läbimõõduks ja ordinaadiks, on muutujad ning x-i muutus toob kaasa. y muutus. Funktsiooni mõiste puudub: soovides öelda, et muutujate sõltuvus on antud, ütleb L'Hopital, et "kõvera olemus on teada". Diferentsiaali mõiste tutvustatakse järgmiselt:

“Lõpmatut väikest osa, mille võrra muutuv suurus pidevalt suureneb või kahaneb, nimetatakse selle diferentsiaaliks... Muutuva suuruse diferentsiaali tähistamiseks, mida väljendatakse ühe tähega, kasutame märki või sümbolit d. Just seal. 1. peatüki definitsioon 2 http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8 %D1 %87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - tsiteeri_märkus -4 #cite_note-4 ... Lõpmatult väikest osa, mille võrra muutuja väärtuse diferentsiaal pidevalt suureneb või väheneb, nimetatakse ... teiseks diferentsiaaliks. Just seal. 4. peatüki määratlus 1.

Neid määratlusi selgitatakse geomeetriliselt, kusjuures lõpmata väikesed sammud on joonisel kujutatud lõplikena. Kaalutlus põhineb kahel nõudel (aksioomil). Esiteks:

Nõutakse, et kaks suurust, mis erinevad üksteisest vaid lõpmata väikese koguse võrra, võib võtta ükskõikselt teise asemel. L'Hopital. Infinitesimaalide analüüs. M.-L.: GTTI, 1935. 1. peatükk, nõue 1.

dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

ja nii edasi. diferentseerimisreeglid. Teine nõue ütleb:

Nõutakse, et kõverat joont saab käsitleda lõpmatu arvu lõpmatute väikeste sirgjoonte kogumina.

Iga sellise sirge jätku nimetatakse kõvera puutujaks. Just seal. 2. peatükk. def. Punkti M = (x,y) läbiva puutuja uurimisel omistab L'Hopital suurusele suurt tähtsust

kõvera pöördepunktides äärmuslike väärtusteni jõudmine, kuid dy ja dx suhtele ei omistata erilist tähtsust.

Tähelepanuväärne on äärmuslike punktide leidmine. Kui läbimõõdu x pideva suurenemise korral ordinaat y esmalt suureneb ja seejärel väheneb, on diferentsiaal dy esmalt positiivne võrreldes dx-ga ja seejärel negatiivne.

Kuid ükski pidevalt kasvav või kahanev väärtus ei saa muutuda positiivsest negatiivseks, läbimata lõpmatust või nulli... Sellest järeldub, et suurima ja väikseima väärtuse erinevus peab olema võrdne nulli või lõpmatusega.

See sõnastus pole ilmselt veatu, kui meenutame esimest nõuet: olgu näiteks y = x2, siis esimese nõude alusel

2xdx + dx2 = 2xdx;

nulli juures on parem pool null ja vasak mitte. Ilmselt oleks tulnud öelda, et dy saab esimese nõude kohaselt teisendada nii, et maksimumpunktis dy = 0. Näidetes on kõik iseenesestmõistetav ja ainult käändepunktide teoorias kirjutab L'Hopital, et dy on maksimumpunktis võrdne nulliga, jagatuna dx L'Hopitaliga. Infinitesimaalide analüüs. M.-L.: GTTI, 1935 § 46.

Edasi, ainuüksi diferentsiaalide abil formuleeritakse äärmuslikud tingimused ja vaadeldakse suurt hulka keerulisi probleeme, mis on seotud peamiselt diferentsiaalgeomeetriaga tasapinnal. Raamatu lõpus ptk. 10, kirjeldab seda, mida praegu nimetatakse L'Hopitali reegliks, kuigi ebatavalisel kujul. Väljendagu kõvera ordinaat y murruna, mille lugeja ja nimetaja kaovad x = a. Siis on kõvera punktil x = a ordinaat y, mis võrdub lugeja diferentsiaali ja nimetaja diferentsiaali suhtega x = a.

L'Hopitali plaani kohaselt moodustas tema kirjutatu "Analüüsi" esimese osa, teine ​​aga pidi sisaldama integraalarvutust, st meetodit muutujatevahelise seose leidmiseks nende diferentsiaalide teadaoleva seose põhjal. Selle esimese ettekande pidas Johann Bernoulli raamatus "Matemaatika loengud integraalimeetodist" Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Siin on toodud meetod enamiku elementaarintegraalide võtmiseks ja meetodid paljude esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks.

Matemaatilise analüüsi ajalugu

18. sajandit nimetatakse sageli teadusrevolutsiooni sajandiks, mis määras ühiskonna arengu kuni tänapäevani. See revolutsioon põhines märkimisväärsetel matemaatilistel avastustel, mis tehti 17. sajandil ja millele tugineti järgmisel sajandil. „Materiaalses maailmas pole ainsatki objekti ega ühtki mõtet vaimuvallas, mida 18. sajandi teadusrevolutsiooni mõju ei mõjutaks. Mitte ükski kaasaegse tsivilisatsiooni element ei saaks eksisteerida ilma mehaanika põhimõteteta, ilma analüütilise geomeetria ja diferentsiaalarvutuseta. Pole ühtegi inimtegevuse haru, mida poleks tugevalt mõjutanud Galileo, Descartes’i, Newtoni ja Leibnizi geenius. Need prantsuse matemaatiku E. Boreli (1871 - 1956) sõnad, mille ta ütles 1914. aastal, on meie ajal aktuaalsed. Matemaatilise analüüsi arendamisse aitasid kaasa paljud suured teadlased: I. Kepler (1571 -1630), R. Descartes (1596 -1650), P. Fermat (1601 -1665), B. Pascal (1623 -1662), H. Huygens (1629 -1695), I. Barrow (1630 -1677), vennad J. Bernoulli (1654 -1705) ja I. Bernoulli (1667 -1748) jt.

Nende kuulsuste uuendused meid ümbritseva maailma mõistmisel ja kirjeldamisel:

liikumine, muutumine ja muutlikkus (elu on sisenenud oma dünaamika ja arenguga);

statistilised võtted ja ühekordsed fotod tema seisunditest.

17. ja 17. sajandi matemaatiliste avastuste määratlemisel kasutati selliseid mõisteid nagu muutuja ja funktsioon, koordinaadid, graafik, vektor, tuletis, integraal, jada ja diferentsiaalvõrrand.

Pascal, Descartes ja Leibniz polnud niivõrd matemaatikud, kuivõrd filosoofid. Nende matemaatiliste avastuste universaalne inimlik ja filosoofiline tähendus on praegu põhiväärtus ja üldkultuuri vajalik element.

Nii tõsist filosoofiat kui ka tõsist matemaatikat ei saa aru ilma vastavat keelt valdamata. Newton esitab kirjas Leibnizile diferentsiaalvõrrandite lahendamise kohta oma meetodi järgmiselt: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu.

Kaasaegse teaduse rajajad – Kopernik, Kepler, Galileo ja Newton – lähenesid looduse uurimisele kui matemaatikale. Liikumist uurides arendasid matemaatikud välja sellise põhimõiste nagu funktsioon või muutujate vaheline seos, näiteks d = kt 2 kus d on vabalt langeva keha läbitud vahemaa ja t- sekundite arv, mille jooksul keha on vabalanguses. Funktsiooni mõiste sai kohe keskseks antud ajahetkel kiiruse ja liikuva keha kiirenduse määramisel. Selle ülesande matemaatiline raskus seisnes selles, et keha läbib igal hetkel nulli ajaga nulli. Seega, määrates kiiruse väärtuse ajahetkel, jagades tee ajaga, jõuame matemaatiliselt mõttetu avaldiseni 0/0.

Erinevate suuruste hetkemuutuste määramise ja arvutamise probleem äratas peaaegu kõigi 17. sajandi matemaatikute tähelepanu, sealhulgas Barrow, Fermat, Descartes ja Wallis. Nende pakutud erinevad ideed ja meetodid ühendasid diferentsiaalarvutuse loojad Newton ja G. Leibniz (1646-1716) süstemaatiliseks, universaalselt rakendatavaks formaalseks meetodiks. Nende vahel tekkisid tulised vaidlused selle arvutuse väljatöötamise prioriteetsuse üle, kusjuures Newton süüdistas Leibnizi plagiaadis. Kuid nagu teadusajaloolaste uuringud on näidanud, lõi Leibniz matemaatilise analüüsi Newtonist sõltumatult. Konflikti tagajärjel katkes Mandri-Euroopa ja Inglismaa matemaatikute mõttevahetus paljudeks aastateks Inglise poole kahjuks. Inglise matemaatikud jätkasid analüüsiideede arendamist geomeetrilises suunas, samas kui Mandri-Euroopa matemaatikud, sealhulgas I. Bernoulli (1667-1748), Euler ja Lagrange saavutasid võrreldamatult suurema edu algebralise ehk analüütilise lähenemise järgi.

Kogu matemaatilise analüüsi aluseks on piiri mõiste. Kiirus hetkel on defineeritud kui piir, milleni keskmine kiirus kipub d/t kui väärtus t nullile lähemale jõudmas. Diferentsiaalarvutus pakub arvutuslikult mugavat üldmeetodit funktsiooni muutumiskiiruse leidmiseks f (x) mis tahes väärtuse jaoks X. Seda kiirust nimetatakse tuletiseks. Plaadi üldistusest f (x) on selge, et tuletise mõiste on rakendatav mitte ainult probleemides, mis on seotud kiiruse või kiirenduse leidmise vajadusega, vaid ka seoses mistahes funktsionaalse sõltuvusega, näiteks mõne majandusteooria seosega. Diferentsiaalarvutuse üks peamisi rakendusi on nn. maksimaalsed ja minimaalsed ülesanded; Teine oluline probleemide valdkond on antud kõvera puutuja leidmine.

Selgus, et spetsiaalselt liikumisprobleemidega töötamiseks leiutatud tuletise abil on võimalik leida ka vastavalt kõverate ja pindadega piiratud alasid ja mahtusid. Eukleidilise geomeetria meetodid ei omanud vajalikku üldistust ega võimaldanud saada vajalikke kvantitatiivseid tulemusi. Läbi 17. sajandi matemaatikute pingutuste. Loodi arvukalt privaatseid meetodeid, mis võimaldasid leida üht või teist tüüpi kõveratega piiratud kujundite pindalasid ning mõnel juhul täheldati nende probleemide seost funktsioonide muutumise kiiruse leidmise probleemidega. Kuid nagu diferentsiaalarvutuse puhul, mõistsid Newton ja Leibniz meetodi üldistust ja lõid sellega integraalarvutuse aluse.

Newtoni-Leibnizi meetod algab määratavat ala piirava kõvera asendamisega seda ligikaudsete katkendjoonte jadaga, sarnaselt kreeklaste leiutatud ammendumismeetodiga. Täpne pindala on võrdne pindalade summa piiriga n ristkülikud millal n pöördub lõpmatusse. Newton näitas, et selle piiri saab leida, pöörates funktsiooni muutuse kiiruse leidmise protsessi ümber. Diferentseerimise pöördoperatsiooni nimetatakse integreerimiseks. Väidet, et liitmist saab saavutada diferentseerimise ümberpööramisega, nimetatakse arvutuse põhiteoreemiks. Nii nagu diferentseerimine on rakendatav palju laiemale probleemide klassile kui kiiruste ja kiirenduste leidmine, on integreerimine rakendatav iga probleemi puhul, mis hõlmab liitmist, näiteks füüsikaprobleemide puhul, mis hõlmavad jõudude liitmist.

19. sajand on uue, neljanda perioodi algus matemaatika ajaloos – moodsa matemaatika periood.

Teame juba, et neljanda perioodi matemaatika arengu üks peamisi suundi on tõestuse ranguse tugevdamine kogu matemaatikas, eriti matemaatilise analüüsi ümberstruktureerimine loogilisel alusel. 18. sajandi teisel poolel. matemaatilise analüüsi ümberehitamiseks tehti mitmeid katseid: piiri määratluse kasutuselevõtt (D'Alembert jt), tuletise määratlus suhte piirina (Euler jt), Lagrange'i ja Carnot' tulemused. jne, kuid neil töödel puudus süsteem ja mõnikord need ebaõnnestusid. Küll aga valmistasid nad ette pinnase, millel perestroika 19. sajandil. saaks ellu viia. 19. sajandil See matemaatilise analüüsi arengusuund sai juhtivaks. Selle võtsid kasutusele O. Cauchy, B. Bolzano, K. Weierstrass jt.

1. Augustin Louis Cauchy (1789−1857) on lõpetanud Pariisis Ecole Polytechnique'i ja Kommunikatsiooniinstituudi. Alates 1816. aastast Pariisi Akadeemia liige ja Ecole Polytechnique'i professor. Aastatel 1830−1838 Vabariigi aastatel oli ta oma monarhistlike tõekspidamiste tõttu paguluses. Alates 1848. aastast sai Cauchyst Pariisi Sorbonne'i ülikooli professor. Ta avaldas rohkem kui 800 artiklit matemaatilise analüüsi, diferentsiaalvõrrandite, kompleksmuutujate funktsioonide teooria, algebra, arvuteooria, geomeetria, mehaanika, optika jne kohta. Tema teaduslike huvide peamised valdkonnad olid matemaatiline analüüs ja funktsioonide teooria. kompleksne muutuja.

Cauchy avaldas oma Ecole Polytechnique'is peetud analüüsiloengud kolmes teoses: “Analüüsikursus” (1821), “Lõpmatu väikese arvutuse loengute kokkuvõte” (1823), “Loeng analüüsirakendustest geomeetriale”, 2 köidet. (1826, 1828). Nendes raamatutes on matemaatiline analüüs esmakordselt üles ehitatud piiride teooriale. need tähistasid matemaatilise analüüsi radikaalse ümberstruktureerimise algust.

Cauchy annab muutuja piirile järgmise definitsiooni: "Kui samale muutujale järjestikku omistatud väärtused lähenevad fikseeritud väärtusele lõputult, nii et lõpuks erinevad nad sellest võimalikult vähe, siis nimetatakse viimast kõigi teiste piir." Asja olemus on siin hästi väljendatud, aga sõnad “nii vähe kui soovitakse” ise vajavad definitsiooni ning lisaks on siin sõnastatud muutuja piiri, mitte funktsiooni piiri definitsioon. Järgmisena tõestab autor piiride erinevaid omadusi.

Seejärel annab Cauchy funktsiooni pidevuse kohta järgmise definitsiooni: funktsiooni nimetatakse pidevaks (punktis), kui argumendi lõpmata väike juurdekasv genereerib funktsioonis lõpmata väikese juurdekasvu, st tänapäeva keeles.

Siis on tal pidevate funktsioonide erinevad omadused.

Esimeses raamatus vaadeldakse ka jadateooriat: antakse arvurea summa definitsioon selle osasumma piiriks, tutvustatakse mitmeid piisavaid kriteeriume arvuridade, aga ka astmeridade ja piirkonna konvergentsi jaoks. nende lähenemisest – seda kõike nii reaalses kui ka kompleksvaldkonnas.

Ta tutvustab diferentsiaal- ja integraalarvutust oma teises raamatus.

Cauchy defineerib funktsiooni tuletise funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piirina, kui argumendi juurdekasv kaldub nulli, ja diferentsiaali kui suhte piiri. Sellest järeldub, et. Järgmisena käsitletakse tavalisi tuletisvalemeid; sel juhul kasutab autor sageli Lagrange'i keskmise väärtuse teoreemi.

Integraaliarvutuses esitab Cauchy põhimõistena esmalt kindla integraali. Ta tutvustab seda esimest korda ka kui integraalsummade piirmäära. Siin tõestame olulist teoreemi pideva funktsiooni integreeritavuse kohta. Tema määramatu integraal on defineeritud funktsioonina argumendist, et Lisaks käsitletakse siin Taylori ja Maclaurini seeriate funktsioonide laiendusi.

19. sajandi teisel poolel. hulk teadlasi: B. Riemann, G. Darboux jt leidsid funktsiooni integreeritavuse jaoks uued tingimused ja muutsid isegi kindla integraali definitsiooni, et seda saaks rakendada mõne katkendliku funktsiooni integreerimisel.

Diferentsiaalvõrranditeoorias tegeles Cauchy peamiselt põhimõtteliselt oluliste eksistentsi teoreemide tõestustega: tavalise diferentsiaalvõrrandi lahenduse olemasoluga, esmalt esimest ja seejärel kolmandat järku; osadiferentsiaalvõrrandi lineaarse süsteemi lahenduse olemasolu.

Keerulise muutuja funktsioonide teoorias on Cauchy asutaja; Paljud tema artiklid on sellele pühendatud. 18. sajandil Euler ja d'Alembert panid selle teooria alles alguse. Ülikooli kompleksmuutuja funktsioonide teooria kursusel puutume pidevalt kokku Cauchy nimega: Cauchy - Riemann tingimused tuletise olemasoluks, Cauchy integraal, Cauchy integraali valem jne; paljud funktsiooni jääkide teoreemid on samuti tingitud Cauchyst. Väga olulisi tulemusi saavutasid sellel alal ka B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent jt.

Tuleme tagasi matemaatilise analüüsi põhimõistete juurde. Sajandi teisel poolel selgus, et Tšehhi teadlane Bernard Bolzano (1781 - 1848) oli enne Cauchyt ja Weierschtrassi analüüsi alal palju ära teinud. Enne Cauchyt andis ta definitsioonid piiri, funktsiooni pidevuse ja arvuridade lähenemise kohta, tõestas arvujada konvergentsi kriteeriumi ning ka ammu enne selle ilmumist Weierstrassis teoreemi: kui arvuhulk on ülalt (alt) piiratud, siis on sellel täpne ülemine (täpne alumine serv. Ta kaalus mitmeid pidevate funktsioonide omadusi; Meenutagem, et ülikooli matemaatilise analüüsi kursuses on Bolzano–Cauchy ja Bolzano–Weierstrassi teoreemid intervallil pidevate funktsioonide kohta. Bolzano uuris ka mõningaid matemaatilise analüüsi küsimusi, näiteks konstrueeris ta esimese näite funktsioonist, mis on segmendil pidev, kuid millel ei ole üheski segmendi punktis tuletist. Oma eluajal suutis Bolzano avaldada vaid viis väikest teost, mistõttu tema tulemused said teatavaks liiga hilja.

2. Matemaatilises analüüsis oli üha selgemalt tunda funktsiooni selge definitsiooni puudumine. Olulise panuse vaidluse lahendamisesse selle üle, mida funktsiooni all mõeldakse, andis prantsuse teadlane Jean Fourier. Ta õppis tahkete ainete soojusjuhtivuse matemaatilist teooriat ja kasutas sellega seoses trigonomeetrilisi jadasid (Fourier' jada)

hiljem hakati neid seeriaid laialdaselt kasutama matemaatilises füüsikas – teaduses, mis tegeleb füüsikas esinevate osadiferentsiaalvõrrandite uurimise matemaatikameetoditega. Fourier tõestas, et iga pidevat kõverat, olenemata sellest, millistest erinevatest osadest see koosneb, saab defineerida ühe analüütilise avaldise – trigonomeetrilise jadaga – ja et seda saab teha ka mõne katkestustega kõvera puhul. Fourier’ uurimus sellistest ridadest tõstatas taas küsimuse, mida funktsiooni all mõeldakse. Kas sellist kõverat saab pidada funktsiooni defineerimiseks? (See on vana 18. sajandi debati uuendamine funktsiooni ja valemi vahelise seose üle uuel tasemel.)

1837. aastal andis saksa matemaatik P. Direchle esimest korda funktsiooni kaasaegse definitsiooni: „on muutuja funktsioon (intervallil, kui iga väärtus (sellel intervallil) vastab täiesti konkreetsele väärtusele, ja pole vahet, kuidas see vastavus tuvastatakse – analüütilise valemi, graafiku, tabeli või isegi lihtsalt sõnadega." Märkimisväärne on täiendus: "pole oluline, kuidas see vastavus luuakse." Direchle'i definitsioon sai üsna kiiresti üldise tunnustuse. Siiski nüüd on tavaks nimetada kirjavahetust ennast funktsiooniks.

3. Kaasaegne ranguse standard matemaatilises analüüsis ilmnes esmakordselt Weierstrassi (1815−1897) töödes, ta töötas pikka aega gümnaasiumide matemaatikaõpetajana ja sai 1856. aastal Berliini ülikooli professoriks. Tema loengute kuulajad avaldasid need järk-järgult eraldi raamatutena, tänu millele sai Weierstrassi loengute sisu Euroopas tuntuks. Just Weierstrass hakkas süstemaatiliselt kasutama keelt matemaatilises analüüsis, ta andis definitsiooni jada piirile, defineeris keele funktsiooni piiri (mida sageli nimetatakse valesti Cauchy definitsiooniks), tõestas rangelt teoreeme piiride kohta. ja nn Weierstrassi teoreem monotoonse jada piiri kohta: kasvaval (kahaneval) jadal, mis on ülevalt (altpoolt) piiratud, on lõplik piir. Ta hakkas kasutama arvulise hulga täpse ülemise ja täpse alumise piiri mõisteid, hulga piirpunkti mõistet, tõestas teoreemi (millel on teine ​​autor - Bolzano): piiratud arvulisel hulgal on piirpunkt, ja uuris mõningaid pidevate funktsioonide omadusi. Weierstrass pühendas palju töid keeruka muutuja funktsioonide teooriale, põhjendades seda astmeridade abil. Samuti õppis ta variatsioonide arvutamist, diferentsiaalgeomeetriat ja lineaaralgebrat.

4. Peatume lõpmatute hulkade teoorial. Selle loojaks oli saksa matemaatik Cantor. Georg Kantor (1845-1918) töötas aastaid professorina Halle ülikoolis. Alates 1870. aastast avaldas ta teoseid hulgateooria kohta. Ta tõestas reaalarvude hulga loendamatust, tuvastades nii mitteekvivalentsete lõpmatute hulkade olemasolu, tutvustas hulga astme üldkontseptsiooni ja selgitas astmete võrdlemise põhimõtteid. Cantor koostas piiriüleste, “ebaõigete” arvude teooria, omistades madalaima, väikseima piiriülese arvu loendatava hulga (eriti naturaalarvude hulga) astmele, reaalarvude hulga astmele - kõrgemale, suurem transfiniitarv jne; see andis talle võimaluse konstrueerida piiriüleste arvude aritmeetika, mis on sarnane naturaalarvude tavalisele aritmeetikale. Cantor rakendas süstemaatiliselt tegelikku lõpmatust, näiteks võimalust naturaalarvude jada täielikult “kurnata”, samas kui enne teda 19. sajandi matemaatikas. kasutati ainult potentsiaalset lõpmatust.

Cantori hulgateooria tekitas ilmudes paljudes matemaatikutes vastuväiteid, kuid äratundmine tuli järk-järgult, kui sai selgeks selle tohutu tähtsus topoloogia ja reaalse muutuja funktsioonide teooria põhjendamisel. Kuid teoorias endas jäid loogilised lüngad, eelkõige avastati hulgateooria paradokse. Siin on üks kuulsamaid paradokse. Tähistagem hulgaga kõik sellised hulgad, mis ei ole iseenda elemendid. Kas kaasamine kehtib ka ega ole element, kuna tingimuse järgi kaasatakse elementidena ainult sellised hulgad, mis ei ole iseenda elemendid; kui tingimus kehtib, on kaasamine mõlemal juhul vastuolu.

Neid paradokse seostati mõne komplekti sisemise ebakõlaga. Sai selgeks, et matemaatikas ei saa kasutada suvalisi hulki. Paradokside olemasolust sai looming ületatud juba 20. sajandi alguses. aksiomaatiline hulgateooria (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann jt), mis vastas eelkõige küsimusele: milliseid hulki saab matemaatikas kasutada? Selgub, et saab kasutada tühja hulka, antud hulkade ühendust, antud hulga kõigi alamhulkade hulka jne.