Iga ruutmaatriksiga on seotud kaks polünoomi: iseloomulik ja minimaalne. Need polünoomid mängivad olulist rolli maatriksiteooria erinevates küsimustes. Näiteks maatriksi funktsiooni mõiste, mida tutvustame järgmises peatükis, põhineb täielikult maatriksi minimaalse polünoomi kontseptsioonil. Selles peatükis käsitletakse karakteristlike ja minimaalsete polünoomide omadusi. Sellele uuringule eelneb põhiteave polünoomide kohta koos maatrikskoefitsientidega ja tehted nendega.

§ 1. Maatrikspolünoomide liitmine ja korrutamine

Vaatleme ruutpolünoomi maatriksit, st ruutmaatriksit, mille elemendid on polünoomid (antud arvuvälja koefitsientidega):

Maatriksit saab esitada polünoomina maatrikskoefitsientidega, mis on paigutatud astmetesse:

. (3)

Arvu nimetatakse polünoomi astmeks, kui . Arvu nimetatakse polünoomi järjekorraks. Me nimetame polünoomi (1) regulaarseks, kui .

Mõnikord nimetame maatrikskoefitsientidega polünoomi maatrikspolünoomiks. Erinevalt maatrikspolünoomist nimetame tavalist skalaarkoefitsientidega polünoomi skalaarpolünoomiks.

Vaatleme maatrikspolünoomide põhitehteid. Olgu kaks maatrikspolünoomi, mis on sama järjekorraga ja antud. Tähistame nende polünoomide suurima astmega. Neid polünoome saab kirjutada kui

st kahe summa (vahe). maatrikspolünoomid samas suurusjärgus võib esitada polünoomina, mille aste ei ületa nende polünoomide suurimat astet.

Olgu antud kaks sama järgu maatrikspolünoomi:

Kui me korrutaks (st muudaks tegurite järjekorda), siis üldiselt saaksime erineva polünoomi.

Maatrikspolünoomide korrutamisel on veel üks spetsiifiline omadus. Erinevalt skalaarpolünoomide korrutisest võib maatrikspolünoomide (4) korrutis olla väiksem kui , st väiksem kui tegurite astmete summa. Tõepoolest, punktis (4) võib maatriksite korrutis olla võrdne nulliga ja . Kui aga vähemalt üks maatriksitest on mitteainsus, siis järeldub: . Seega on kahe maatrikspolünoomi korrutis võrdne polünoomiga, mille aste on väiksem või võrdne tegurite astmete summaga. Kui kahest tegurist vähemalt üks on regulaarne polünoom, siis sel juhul on korrutise aste alati võrdne tegurite astmete summaga.

Järkjärgu maatrikspolünoomi saab kirjutada kahel viisil:

Mõlemad skalaarkirjed annavad sama tulemuse. Kui aga hoopis soovime skalaarargument Kui asendada järgu ruutmaatriks, siis on asenduste tulemused punktides (5) ja (5") üldiselt erinevad, kuna maatriksi astmed ei pruugi olla maatriksi koefitsientidega kommuteeritavad.

ja maatriksi asendamisel kutsume maatriksi asemel polünoomi parem- ja vasakpoolseid väärtusi.

Vaatleme uuesti kahte maatrikspolünoomi

,

ja nende tööd

Identiteedi (7") teisendused jäävad kehtima, kui need asendatakse järgu maatriksiga, kui ainult maatriks kommuteerib kõigi maatriksi koefitsientidega. Samamoodi saate identiteedis (7") asendada skalaari maatriksiga, kui maatriks on pendeldab kõigi koefitsientidega. Esimesel juhul saame: iga järgu maatriks rahuldab alati identiteete

, . (9)

Maatrikspolünoom muutujas on vormi avaldis

F(l) = Ao lm + A1 lm-1 + A2 lm-2 + … + Am, (1)

kus Ao, …, Am - ruutmaatriksid samas järjekorras elementidega põhiväljast K. Arvu m nimetatakse polünoomi astmeks, kui Ao?0. Kaht polünoomi nimetatakse võrdseks, kui nendes polünoomides olevad muutuja l samade astmetega maatriksid on võrdsed. Maatriksi n-polünoomid liidetakse ja korrutatakse tavaliste reeglite järgi. On selge, et iga l-polünoomi saab kirjutada ühe maatriksi kujul, mille elemendid on tavalised polünoomid l-st ja vastupidi. Näiteks,

1 2 + 5 6 l + 1 0 lI = lI + 5 l + 1 6 + 2

0 3 7 -2 0 1 7l lI-2l + 3 .

Seetõttu on maatriksi n-polünoomid ainult n-maatriksite eriline tähistus.

Polünoomi F(n) nimetatakse regulaarseks, kui maatriks Ao on inverteeritav.

Kahe sama järku maatrikspolünoomi summat (vahet) saab esitada polünoomina, mille aste ei ületa nende polünoomide suurimat astet.

Kahe maatrikspolünoomi korrutis on võrdne polünoomiga, mille aste on väiksem või võrdne tegurite astmete summaga. Kui kahest tegurist vähemalt üks on regulaarne polünoom, siis sel juhul on korrutise aste alati võrdne tegurite astmete summaga.

Olgu kaks maatrikspolünoomi A(n) ja B(n) samast järjestusest n antud ning B(n) on tavaline polünoom:

A(l) = Aolm + A1lm-1 + … + Am (Ao?0),

В(л) = Volr + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).

Ütleme, et maatrikspolünoomid Q(l) ja R(l) on A(l) jagamisel B(l) vastavalt õigeks jagatiseks ja jäägiks, kui

A(l) = Q(l)B(l) + R(l)(2)

ja aste R(l) on väiksem kui aste B(l).

Täpselt samamoodi nimetame polünoomid ^Q(l) ja ^R(l) vastavalt vasakpoolseks jagatiseks ja vasakpoolseks jäägiks, kui jagame A(l) B(l), kui

A(l) = B(l) ^Q(l) + ^R(l)(3)

ja aste ^R(l) on väiksem kui aste B(l).

IN üldine juhtum polünoomid Q(l) ja R(l) ei lange kokku ^Q(l) ja ^R(l).

Näitame, et sama järku maatrikspolünoomide nii parem- kui ka vasakpoolne jagamine on alati teostatav ja kordumatu, kui jagajaks on regulaarne polünoom.

Vaatleme A(n) õiget jagamist B(n)-ga. Kui m

A(l)= AoBo -1lm-pB(l) + A(1)(l).(4)

Polünoomi A(1)(l) aste m(1) on väiksem kui m:

A(1)(l) = Ao(1) lm(1) + … (Ao(1)?0, m(1)

Kui m(1)?p, siis seda protsessi korrates saame:

A(1)(l) = Ao(1)Bo -1 lm(1)-p B(l) + A(2)(l), (6)

A(2)(l) = A(2)lm(2) + … (m(2)

Kuna polünoomide A(l), A(1)(l), A(2)(l), ... astmed vähenevad, jõuame mingis etapis jäägini R(l), mille aste on väiksem kui p. Seejärel järgneb punktidest (4), (6):

A(l) = Q(l) B(l) + R(l),

kus Q(l) = АoВо-1 lm-р + Ао(1)Во-1 lm(1)-р + …(7)

Tõestame nüüd õige jaotuse ainulaadsust. Lase samal ajal

A(l) = Q(l) B(l) + R(l)(8)

A(l) = Q*(l) B(l) + R*(l), (9)

kus polünoomide R(l) ja R*(l) astmed on väiksemad kui aste B(l), st. vähem kui p. Lahutades (9)-st termini (8) kaupa, saame:

B(l) = R*(l) - R(l).(10)

Kui Q(l) - Q*(l) ? 0, siis kuna |Во|?0, oleks võrdsuse (10) vasaku poole aste võrdne astmete В(л) ja Q(л) - Q*(л) summaga ja seega oleks? р. See on võimatu, kuna võrdsuse (10) paremal poolel oleva polünoomi aste on väiksem kui p. Seega Q(l) - Q*(l)<0 ja seejärel (10) R*(l) - R(l)<0, s.o.

Q(l) = Q*(l), R(l) = R*(l).

Vasakpoolse jagatise ja vasakjäägi olemasolu ja kordumatus määratakse täpselt samal viisil.

Teoreem 1. (Bezouti üldistatud teoreem). Kui maatrikspolünoom F(n) on jagatud paremale (vasakule) binoomiga lE-A, võrdub jagamise jääk F(A) (vastavalt ^F(A)).

Tõestus. Vaatleme suvalist n-ndat järku maatrikspolünoomi

F(l) = Fо lm + F1 lm-1 + … + Fm (Fо?0) (11)

Selle polünoomi saab kirjutada ka järgmiselt:

F(l) = lm Fo + lm-1 F1 + … + Fm (12)

Mõlemad skalaari l kirjed annavad sama tulemuse. Kui aga skalaarargumendi l asemel asendame n-ndat järku A ruutmaatriksi, on asenduste tulemused punktides (11) ja (12) erinevad, kuna maatriksi A astmed ei pruugi olla asendatavad maatriksi koefitsiendid Fo, F1, ..., Fm.

F(A) = Fo Am+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(A) = Am Fо + Am-1 F1 + … + Fm(14)

ja me nimetame F(A) polünoomi F(l) õigeks väärtuseks ja ^F(A) vasakpoolseks väärtuseks, kui asendame maatriksi A l-ga.

Jagame polünoomi F(l) binoomiga le-A. Sel juhul parem jääk R ja vasak jääk ^R ei sõltu l-st. Õige jäägi määramiseks kaaluge tavalist jagamisskeemi:

F(l) = Fo lm + F1 lm-1 + … + Fm = Fo lm-1 (lE-A) + (Fo A + F1) lm-1 + F2 lm-2 + …=

= (lE-A) + (Fо А2 + F1А1+ F2) lm-2 + F3 lm-3 + … = …

… = (le-A) +

Fо Аm + F1Аm-1 + … + Fm

Leidsime selle

R = Fо Аm+ F1Аm-1 + … + Fm = F(А).(15)

Üsna sarnane

Tõestatud teoreemist järeldub, et polünoom F(n) jagub paremalt (vasakult) ilma jäägita binoomiga lE-A siis ja ainult siis, kui F(A)=0 (vastavalt ^F(A)=0) .

Kontrollige, et A()=Q()B() + R().

А()= - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

В()= -2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2,

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | = 1, B o -1 = 1 2, A 0 B 0 -1 = 2 5, A 0 B 0 -1 B() = - 2 +1 3 2 +12,

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

A (1) ()= -3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 = -2 2 -+1 -11,

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

A (1) ()= -2 0 -1 -11 1 0,

A 0 (1) B 0 -1 () = -2 0 1 2 = -2 -2,

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

A 0 (1) B 0 -1 B()= -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6,

R() = A (1) () - A 0 (1) B 0 -1 B() =

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = A 0 B 0 -1 + A 0 (1) B 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2

Teenuse eesmärk. Maatrikskalkulaator mõeldud maatriksavaldiste lahendamiseks, nagu 3A-CB 2 või A -1 +B T .

Juhised. Veebilahenduse jaoks peate määrama maatriksavaldise. Teises etapis on vaja selgitada maatriksite mõõtmeid.

Toimingud maatriksitel

Kehtivad tehted: korrutamine (*), liitmine (+), lahutamine (-), pöördmaatriks A^(-1), astendamine (A^2, B^3), maatriksi transpositsioon (A^T).

Kehtivad tehted: korrutamine (*), liitmine (+), lahutamine (-), pöördmaatriks A^(-1), astendamine (A^2, B^3), maatriksi transpositsioon (A^T).
Toimingute loendi tegemiseks kasutage semikooloni (;) eraldajat. Näiteks kolme toimingu tegemiseks:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
peate selle kirjutama järgmiselt: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Maatriks on ristkülikukujuline arvutabel, millel on m rida ja n veergu, nii et maatriksit saab skemaatiliselt esitada ristkülikuna.
Nullmaatriks (nullmaatriks) on maatriks, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga ja on tähistatud 0-ga.
Identiteedi maatriks nimetatakse vormi ruutmaatriksiks

Kaks maatriksit A ​​ja B on võrdsed, kui need on ühesuurused ja neile vastavad elemendid on võrdsed.
Singulaarmaatriks on maatriks, mille determinant on võrdne nulliga (Δ = 0).

Defineerime põhitehted maatriksitega.

Maatriksi lisamine

Definitsioon . Kahe ühesuuruse maatriksi summa on samade mõõtmetega maatriks, mille elemendid leitakse valemi järgi . Tähistatakse C = A+B.

Näide 6. .
Maatriksi liitmise operatsioon laieneb suvalise arvu terminite korral. Ilmselgelt A+0=A .
Rõhutame veel kord, et lisada saab ainult ühesuuruseid maatrikseid; Erineva suurusega maatriksite puhul pole liitmistehte määratletud.

Maatriksite lahutamine

Definitsioon . Sama suurusega maatriksite B ja A erinevus B-A on maatriks C, nii et A+ C = B.

Maatrikskorrutis

Definitsioon . Maatriksi korrutis arvuga α on maatriks, mis saadakse A-st, korrutades kõik selle elemendid arvuga α, .
Definitsioon . Olgu antud kaks maatriksit ja , ning A veergude arv on võrdne B ridade arvuga. A korrutis B-ga on maatriks, mille elemendid leitakse valemi järgi .
Tähistatakse C = A·B.
Skemaatiliselt võib maatrikskorrutamise toimimist kujutada järgmiselt:

ja toote elemendi arvutamise reegel:

Rõhutame veel kord, et korrutis A·B on mõttekas siis ja ainult siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga ja korrutis loob maatriksi, mille ridade arv on võrdne esimese teguri ridade arv ja veergude arv on võrdne teise teguri veergude arvuga. Korrutamise tulemust saate kontrollida spetsiaalse veebikalkulaatori abil.

Näide 7. Antud maatriksid Ja . Leidke maatriksid C = A·B ja D = B·A.
Lahendus. Kõigepealt pange tähele, et korrutis A·B on olemas, kuna A veergude arv on võrdne B ridade arvuga.

Pange tähele, et üldjuhul A·B≠B·A, s.o. maatriksite korrutis on antikommutatiivne.
Leiame B·A (korrutamine on võimalik).

Näide 8. Antud maatriks . Leidke 3A 2–2A.
Lahendus.

.
; .
.
Märkigem järgmist huvitavat fakti.
Nagu teate, ei võrdu kahe nullist erineva arvu korrutis nulliga. Maatriksite puhul ei pruugi sarnast asjaolu esineda, see tähendab, et nullist erineva maatriksi korrutis võib osutuda võrdseks nullmaatriksiga.

Polünoomi (polünoomi) maatriksis A nimetatakse. Vormi väärtus: p(A)=a A +a A +…a A²+a A+a A

Olgu polünoom p(X) antud, kui p(A)=0, s.t. p(A) on null, siis nimetatakse M. A. on polünoomi p(X) juur ja polünoom p(X) on maatriksi A annihileeriv polünoom.

Sariuse märkide reegel 3. järgule.

Alaealiseks nimetatakse determinant, mis saadakse selle rea ja veeru läbikriipsutamisel, millel antud element on.

Alg. lisameil Aik kutsutakse alaealine, võetud märgiga Аik=(-1) Mik.

3. järku ∆ laiendamine esimese rea elementide järgi: ∆=a11A11+a12A12+a13A13.

Pöördruutmaatriks maatriksit A ​​nimetatakse ruut maatriks A¯¹ rahuldav. võrdne A A¯¹= A¯¹ A=E.

ruut nimetatakse maatriksiks väljendamata, kui selle det≠0.

Theor. Kõik. väljendamata matr. Ja sellel pole väljendust. tema arr. mat.: А¯¹=A/detA.

Suvaline mitteväljenduslik matr. saab taandada ühikuks (AE) – Jordano meetod.

Proovi leidmine matr. meiliga teisendada Theor. Kui ühikasse n järku maatriks, rakendage samu elemente. teisendada, ainult joonte kohal ja samas järjekorras pom. mis väljendamata ruut matr. A taandatakse üheks, siis on saadud maatriks maatriksi A pöördväärtus. (A|E)(E|A¯¹).

Ax=B yA=B

x=A¯¹B y=BA¯¹

Maatriksi auaste

Matil. m*n vali toode. S-rida, S-veerg. (1≤S≤min(m,n)). Element, seisab ristatud peal vali lehe veerg arr. matr. järjekord S. Selle maatriksi determinandiks nimetatakse. järgu S matr A minorormid.

Seda determinanti nimetatakse teist järku minorormideks. matr. Analoog. saanud teised alaealised teiseks. por., ja ka tert. kurat, ei. neist võiks. = 0.

Auaste matr. helistas max. selle alaealiste tellimustest, ≠0.

Kui kõik alaealised =0, siis auaste =0.

Reastage omadused

1. R transponeerida. matr. = R originaal

2. R M. ei külmunud. Nulljoonte puudumisest või olemasolust selles.

3. Kui el. teisendada R matt. mitte mina. Nende abiga. matr. saab taandada kvaasikolmnurkseks, R mis. = r, sest selle moll ch-ga. diog. võrdne toodetud. ja ≠0 ning kõik kõrgemat järku minoorsed väärtused =0, kuna need sisaldavad null rida.

Lineaarsüsteemi maatrikstähistus

A = (Koof.), X = (teadmata), B = (pühad liikmed), Ấ = (Koof ja pühad liikmed)

Väljendamata süsteem

|a11 a12 .. b1 .. a1m|

∆=|koof.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|

|………………………………..|

| am1 am2 .. bm ..amm|

Crameri teoreem. Väljendamata lin. sõela omab ühikuid lahendus x1=∆1/∆, x2=∆2/∆………

Gauss-Gordanano meetod (ja vastupidi)

Järeldus meilis teisendada. matr.

VEKTOOS

Kollineaarne. vektor. - pikali heitma on || otse või samal sirgel.

Võrdne vektor. - Colleen ja millel on sama. suund ja pikkus.

Vastupidist nimetatakse vektorid ja millel on võrdne pikkus.

St vektorid – mille rakendusi saab suvaliselt valida.

Nn raadiuse vektor vektor t. mille rakendamine on algus. coord., ja lõpp on t-s.

Nimetatakse vektorite suunakoosinused. nende poolt moodustatud nurkade α, β, γ koosinused koos koordinaatidega. teljed.

|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)

Ühikvektor e=(cos,cos,cosγ)

Coord. lin. vektorite kombinatsioonid

on antud n vektorit. Lin. kamm. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…

Segmendi jagamine selles seoses

X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – ℓ suhtes.

Skalaar. vektorite korrutis

ab=|a||b|cos(ab) Sest |b|cos φ=pr a b, |a|cosφ=pr b a, ab=|a|pr a b = |b|pr b a

Omadused: 1.Liikumine (suhtlusvõime) ab=ba

2. Kombinatsioon (assotsiatiivsus) arvude suhtes. mitmuses (αa)b=α(ab)

3. Jaotus (distributiivsus) viitab. vektorite summa a(b+c)=ab+ac

Valitse lõvi. ja õige. kolmik V.

3 ei ole plaanipärane. vektor. a,b,c võetud määratud järjekorras ja rakendatud ühte kutsutud punkti. kolm vektorit abc.

Vaatame otsast c kuni lennukini. pilt. vektor a ja b, kui teeme lühima pöörde punktist a punkti b vastupäeva, siis kutsutakse kolmik. õige...

2 vektori a ja b vektorkorrutist nimetatakse. vektor ja rahulolu rada. tingimus:1)||=|a||b|sinα ;2)┴a ja b;3)kolmik a b on sama orientatsiooniga kui i jk.

Konvendist 1) sellest järeldub, et | | ristkorrutis = paralleelogrammi pindala.

0 < = >plaan. b

Omadused: 1. Mudelusvastane =-

2. Kombinatsioonid skalaaride suhtes. mitmuses [(αa)*b]=α

3. Jaotus (distributiivsus) viitab. vektorite summad [(a+b)c]=+

=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2 z2|

Vektorite segakorrutis

Antud 3 vektor. a,b,c. Korrutame a vektoriaalselt b-ga ja skalaarselt c-ga. Res. saanud helistatud numbrile vektor-skalaarkorrutis või segatud.

V rööptahukas=mix. tootmine vektor. ja "+", kui tr. ABC-l on õigus.

abc=|x2 … …|< = >abc-komplan.

|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |

V 3-kivisüsi Püramiidid=mod|x3-x1 … … |

|x4-x1 … … |

Lineaarne kinni. Vektorid

a1,a2,…an – kutsus lin. kinni vektorid, kui nimisõna. α1,α2 …αn, nii et: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0

Teoreem 1. a1,a2,…,an, n>1 linist sõltuv< = >vähemalt üks neist on lin. kamm. ülejäänud.

Teoreem 2. a ja b lin. kinni< = >Nad on colleen.

Teoreem 3. Kui e1 ja e2 ei ole kolineaarsed vektorid ne. lame, siis mis tahes kolmas vektor a, mis kuulub samasse tasapinnaühikusse. decl. nende järgi a = x * e1 + y * e2.

Teoreem 4. a,b,c – lin. kinni< = >need on kollineaarsed.

Teoreem 5. Kui e1, e2, e3 ei ole plaaniline, siis mis tahes a võib olla ühik. arr. laiendada üle nende a=α1*е1+α2*е2+α3*е3

Teoreem 6. Kõik. 4. vektor lin. kinni

Aluseks on mis tahes järjestatud 3-lineaarsete joonte süsteem. sõltumatu, s.t. mittetasapinnalised vektorid d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) baasis e1e2e3

ANALÜÜTILINE GEOMEETIA…

F(x,y)=0 – rea tase üldkujul

F(ρ,φ)=0 – … tolli polaarkoordinaadid. Kui see võrrand on ρ suhtes lahendatav, siis ρ= ρ(φ).

y= φ (t) / - sirge parameetrilised võrrandid.

Kui antakse. read täpsustatakse võrrandiga ρ= ρ(φ), parameetriliselt kirjutatakse võrrandid x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ

Lihtsustama teise astme ur-e, mis ei sisalda liiget koordinaatide Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 korrutisega (1)

Liigume edasi uute juurde. süsteem koordin. oh paralleelülekandega.

Täiuslike ruutude valimisel võrrand (1) teisendatakse üheks järgmistest kanoonilistest võrranditest:

x²/a²+y²/b²=1 – ellips – geom. tasapinna punktide koht, mille jaoks. kogus dist. kuni kaks etteantud punkti (fookus) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)

Epsitricity el. helistas ξ=√(1-(b/a)²) Suunised el. helistas sirgjooned x=a/ξ ja x=--a/ξ

x²/a²+y²/b²=0 – rahuldav. koordin. ühikut t (0,0)

x²/a²+y²/b²=-1 – mitterahuldav. koordin. mitte ainsatki t.

järgmises A*C>0 elliptilist tüüpi jooned

x²/a² -- y²/b²=1 või --x²/a² + y²/b²=1 – hüperboolid – geom. lennuki koht, mille jaoks | | kauguste erinevus kahe etteantud punktini (fookused) = const \

F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²), ξ=c/a, asümptoodid: y=x*b/a ja y=-- x*b/a, Suunad: x=-a/ξ ja x=a/ξ |

Võrdkülgsed hammasrattad - võrdsete pooltelgedega. /

x²/a² -- y²/b²=0 – lõikuvate sirgjoonte paar / - hüperboolset tüüpi sirged

y²=2px – parabool – geom. nn tasapinna koht fookusest ja suunast võrdsel kaugusel \

Sümmeetria. on seotud oh: y²=2px , suund x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |

oy: x²=2qy , suund y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |

y²=b² – paar || sirged > - parabooltüüpi jooned

y²=0 – paar sobivat rida /

y²=--b² – mitterahuldav koordin. mitte ainsatki t.

Kui C=0, A≠0, siis (1) antud x²=2qy

Otse lennukis. Üldine vorm: x=a või y=b

k=(y2-y1)/(x2-x1) , kus x1,y1,...,... on tasandi mis tahes kahe punkti koordinaadid. | tg(nurk m/y 2. ∩ sirgjooned)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Puutuja võrrand: y-y0=k(x-x0) | Kui read on antud üldvõrranditega (Ax+By+C=0):

Normaalse tase: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(nurk m/y 2. ∩ sirgjooned)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)

Sirge tase (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | ||< = >A1/A2=B1/B2, ┴ A1/B1=--B2/A2

Sirge tase lõikudes x=x1+(x2-x1)*t y=y1=(y2-y1)*t , t € R

Kaugus punktist M0(x0,y0) sirgjooneni Ах+Ву+С=0: d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)

Ringi tase: (x-a)²+(y-b)²=R²

Lihtsustama teise astme üldine tase: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

Kui telgede koordinaate pööratakse α võrra, mille puhul ctg2α=(A-C)/2B

x=x’ cos α –y’ sin α

y=x’ sin α +x’ cos α

Piirang f-ii. Nimetatakse konstanti b. lim y=f(x) x→a puhul, kui mis tahes ξ>0 nimisõna puhul. δ>0, mis on kõigi x-de puhul rahuldav. tavapärane 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ

Ärakiri

1 1. Leidke maatriksi polünoomi väärtus: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 () ) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). Arvutage determinant elementaarteisenduste abil:

2 Saame nullid determinandi esimesse veergu: = = = Laiendame esimeses veerus olevat determinanti: 4 7 = = 1 (1) = Saame nullid kolmandat järku determinandi esimeses veerus: = = Kolmandasse veergu kirjutame determinandi laienduse: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. Võrrandisüsteemi põhimaatriksi jaoks leia pöördmaatriks, kasutades adjointmaatriksit meetod: x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Süsteemi põhimaatriks: 1 4 A = (4) 1 1 Leiame adjointmaatriksi meetodil pöördmaatriksi ja lisame identiteedimaatriks paremale:

3 () ~ tee nullid ühes veerus ~ ~ () ~ jaga rida (15) ~ ~ () ~ tee veerus nullid ~ ~ ~ jaga rida (1) ~ 5 () ~ ~ tee nullid veerg~ ( ) ~ (1) Seejärel: 1 A 1 = 1 (Kontrollige: 1 A 1 A = 1 () (4) =)

4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) = = (0 1 0) 5 1 () 4. Lahenda võrrandisüsteem Crameri reegli abil: Kirjutage Crameri valemid: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Siin: - süsteemi determinant; 1 determinant, mis saadakse süsteemi determinandist, asendades esimese veeru vabade liikmete veeruga; determinant, mis saadakse süsteemi determinandist, asendades teise veeru veeruga vabaterminid; determinant, mis saadakse süsteemi determinandist, asendades kolmanda veeru vabade terminite veeruga. Meie puhul on meil: 1 4 = 4 = = = 9 = =

5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Nüüd leiame tundmatute väärtused: x 1 = 1 = = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Leidke maatriksi auaste alaealiste piiritlemise meetodil. Määrake põhimoll: 1 () 8 Sest maatriks sisaldab nullist erinevaid elemente, siis on maatriksi minimaalne järk 1. võrdne. Sest maatriks koosneb kolmest reast, siis maatriksi maksimaalne auaste Määrake maatriksi auaste alamooride ääristamise meetodil: 1 A = (M 1 =) 8 Leia esimest järku moll: Leia teist järku moll: M = 1 = = Leidke kolmandat järku alaealised:

6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Seega on maatriksi A aste võrdne. Põhimoll: 1 4 M = võrrandid: vorm: 6. Uurige ühilduvust ja leidke süsteemi üldlahendus x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x ( 1 + 5x 4x + 8x 4 11x 5 = x 1 x x 4 + x 5 = x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi ja taandame selle astmeliselt 1 A = (~ (~ (r(a) = r(a) = ) n = ) ~ () ~ ~) (~ ) () süsteem on järjekindel ja sellel on lõpmatu arv lahendusi 0 1) ~

7 ( 1 Põhimoll = Põhitundmatud x 1, x, x. Vabad tundmatud x 4, x 5. Kirjutame lühendatud süsteemi: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Eeldame, et x 4 = C 4, x 5 = C 5. Siis: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = ( x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 ( x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 ( x = C C 5 ( x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Süsteemi üldlahendus:

8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Antud vektorid: Leia: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) a) vektorite a ja b skalaarkorrutis; b) vektorite a ja b vektorkorrutis; c) vektorite a, b ja c segakorrutis. a) vektorite a ja b skalaarkorrutis; Descartes'i koordinaatsüsteemis leitakse vektorite skalaarkorrutis: a = (a x; a y; a z) ja b = (b x; b y; b z) valemiga: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z Meie juhtum: (a, b ) = = = 5 b) vektorite a ja b vektorkorrutis; Descartes'i koordinaatsüsteemis määratakse vektorite: a = (a x; a y; a z) ja b = (b x; b y; b z) vektorkorrutis valemiga: i j k = a x a y a z b x b y b z

9 Meie puhul: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) c) vektorid a, b ja c. Kolme vektori: a = (a x; a y; a z), b = (b x; b y; b z) ja c = (c x; c y; c z) segakorrutis Descartes'i koordinaatsüsteemis leitakse valemiga: a x a y a z (a , b, c) = b x c x b y c y b z c z Meie puhul: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Antud tippudega püramiid: Leia: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A (; ; 1), A 4 (4; ; 5) a) servade pikkus A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; b) servade A 1 A ja A 1 A 4 vahelise nurga koosinus; c) näo pindala A 1 A A; d) püramiidi ruumala; e) vektori A 1 4 projektsioon vektori A suunas. 1 a) servade pikkus A 1 A, A 1 A, A 1 A 4; Servade A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 pikkused on võrdsed vektorite A, 1 A, 1 A moodulitega. 1 4 Vektori a = (a x, a y, a z) moodul on arvutatakse valemiga:

10 a = a x + a y + a z A 1 = (1 ; + 1; 1 ) = ( 1; ; ) A 1 = ( ; + 1; 1 ) = (1; ; 1) A 1 4 = ( 4 ; + 1; 5 ) = ( 6; ; ) Asendades selle valemi algandmed, saame: A 1 = (1) + + () = = 19 (ühikut) A 1 = (1) = = 11 (ühikut) A 1 4 = (6) + + = = 54 (ühikut) b) servade A 1 A ja A 1 A 4 vahelise nurga koosinus; Otsime servade vahelist nurka vektorite skalaarkorrutise valemi abil: cosα = a b a b, a b = a x b x + a y b y + a z b z, a = a x + a y + a z Meie puhul: a = A 1 = ( 1; ; ) b = A 1 4 = ( 6; ; ) cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = c) näo A 1 A A pindala; Näo pindala A 1 A A leiame poolena vektoritele A 1 ja A konstrueeritud rööpküliku pindalast. 1 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1)

11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = (6; 4; 6) S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = 0,69 (ruutühikut) d) püramiidi ruumala; Arvutame püramiidi ruumala A 1 A A A 4, kasutades kolme vektori, millele püramiid on ehitatud, segakorrutist: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1) A 1 4 = ( 6; ; ) 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (kuupühikut) 6 6 d) vektori A projektsioon 1 4 vektori A suunas. 1 pr A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Arvestades kolmnurga tipud:

12 punkt A. Leia: A(;), B(4;), C(; 5) a) mediaani AD ja kõrguse AH vaheline nurk; b) küljega BC paralleelse sirge võrrand, mis läbib a) mediaani AD ja kõrguse AH vahelist nurka; Leiame mediaani AD võrrandi. Mediaani AD võrrandi määramiseks leiame punkti D koordinaadid, mis jagab lõigu BC pooleks: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Siis punkti D koordinaadid on (1; 7). Mediaan AD läbib punkte A(;) ja D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 AD mediaanvõrrandist: 1x 8a + 15 = 0 k AD = 1 8 Leiame kõrguse AH võrrandi. Kõrguse AH võrrandi koostamiseks kasutame sirgete perpendikulaarsuse tingimust: l 1 l k 1 k = 1 Kuna AH BC, siis k AH k BC = 1 k AH = 1 Leiame külje BC võrrandi valemi abil kahte punkti läbiva sirge võrrand: k eKr

13 eKr: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 Külgvõrrandist eKr: x + y 8 = 0 k eKr = 1 Alates k BC = 1, siis k AH = 1 = 1 Punkti M 0 (x 0, y 0) läbiva kaldega k sirge võrrand on kujul: y y 0 = k(x x 0) Siis võrrand kõrgus AH kaldega k AH = läbib punkti A(;), on kujul: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 valem: Kõrgusvõrrandist AH: x y + = 0 k AH = Mediaani AD ja kõrguse AH vahelise nurga arvutamiseks kasutage tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctan(0,088) = = = 4 0,088 b) küljega BC paralleelse sirge võrrandit ja läbides punkti A. Võrrandi loomiseks sirge AN , leiame selle sirge kalde. Alates AN BC on nende sirgete nurkkoefitsiendid üksteisega võrdsed, st. k AN = k eKr. Sirge BC võrrandist: x + y 8 = 0 k BC = 1. Siis k AN = 1. Koostame sirge AN võrrandi, teades kallet k AN = 1 ja

14 punkti A(;) koordinaati: y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0

Näide Arvutage determinant Tüüpiülesannete 5 5 7 lahendus, jagades selle esimese rea 9 9 elemendiks 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Näide Arvutage determinant, taandades selle kolmnurkseks: 5 7 Tähistame

1. Leidke maatriksite korrutis ABC: Standardversiooni lahendus: Kuna maatriksite korrutis ei ole permuteeritav, saab selle korrutise leida kahel viisil: Kindluse huvides kasutame teist

Ülesanded puudutud tundide korvamiseks Sisu Teema: Maatriksid, tegevused nendega. Determinantide arvutamine.... 2 Teema: Pöördmaatriks. Võrrandisüsteemide lahendamine pöördmaatriksi abil. Valemid

Vektorid Arvestades vektorite a b c koordinaadid parempoolses ortonormaalses baasis i j k Näidake, et vektorid a b c moodustavad ka aluse ja leidke vektori koordinaadid baasis a b c) () a () b () c ()) () a (

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Kaasani Riikliku Arhitektuuri- ja Ehitusülikooli Kõrgema matemaatika osakond Vektor- ja lineaaralgebra elemendid. Analüütiline geomeetria.

Vene Föderatsiooni Põllumajandusministeerium

Hindamisvahendite fond eriala üliõpilaste keskastme atesteerimise läbiviimiseks (moodul) Üldinfo 1 Matemaatika, füüsika ja infotehnoloogia osakond 2 Koolituse suund 010302

Näiteid kontrolltööde täitmisest kaugõppes Kontrolltöö 1 (CR-1) Teema 1. Lineaaralgebra Ülesanne 1 On vaja lahendada ülesandes toodud võrrandisüsteem kujul Konstantsed parameetrid

8. Hindamisvahendite fond eriala üliõpilaste keskastme atesteerimise läbiviimiseks (moodul): Üldinfo 1. M ja MME osakond 2. Koolituse suund 01.03.02 (010400.62) Rakendusmatemaatika

Katselahuste näited L.I. Terekhina, I.I. Fix 1 Test 2 Vektoralgebra 1. Antud kolm vektorit a = (0; 1; 3), b = (3; 2; 1), c = (4; 0; 4). Peate leidma: a) vektor d = 2 a b

Peatükk Lineaaralgebra elemendid Maatriksid Definitsioon Maatriks mõõtmetega m n on ristkülikukujuline arvude tabel, mis on paigutatud m rida ja n veergu Maatriksid tähistatakse ladina tähtedega,

Maatriksid 1 Antud maatriksid ja leia: a) A + B; b) 2B; c) In T; d) ABT; e) Lahenduses T A a) Maatriksite summa definitsiooni järgi b) Maatriksi ja arvu korrutise definitsiooni järgi c) Transponeeritud maatriksi definitsiooni järgi

Kontrolltööde juhend Testitöö “Resertifitseerimine” Teema. Analüütilise geomeetria elemendid tasapinnal. Tasapinna sirge Tasapinna kahe punkti M () ja () vaheline kaugus

MAATRIKSITE LINEAARALGEBRA KLASSIFIKATSIOONI ELEMENDID JA NENDEL TEHTAVAD TEHTUD Määratlege maatriks Maatriksite liigitamine suuruse järgi Mis on null- ja identsusmaatriksid? Millistel tingimustel loetakse maatriksid võrdseteks?

Ne LA eksam majandusteaduse bakalaureuseõppes 04-0 õppeaastal, leidke vektor Ne (6 4; 6 8) ja Ne DEMO variant 0 (x; y) (mille jaoks Ne ja x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Pilet. Maatriksid, tegevused neile.. Parabooli võrrand kanoonilises koordinaatsüsteemis. Pilet. Maatrikstehte omadused.Sirge ja tasandi suhteline asukoht. Nurk nende vahel, paralleelsuse tingimused

Eksamitöö 1. 1. Vektorid ruumis. Põhimääratlused ja toimingud vektorite kohta: vektorite summa, vektori ja arvu korrutis. Omadused. Teoreem kollineaarsete vektorite kohta. 2. Kaugus

DETERMINANTID Olgu maatriks antud Arvu nimetatakse antud maatriksile vastavaks teist järku determinandiks ja seda tähistatakse sümboliga = = - Teist järku determinant sisaldab kahte rida ja kahte veergu,

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium TOMSK RIIK JUHTSÜSTEEMIDE JA RADIOELEKTRONIKA ÜLIKOOL (TUSUR) L I Magazinnikov, AL Magazinnikova LINEAARALGEBRA ANALÜÜTILINE

1. Antud maatriksid: Näidislahend 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Leia maatriks ja uuri, kas sellel on pöördmaatriks. Lahendus. Leiame maatriksi Leiame transponeeritud maatriksi Leiame

8 Hindamisvahendite fond üliõpilaste keskastme atesteerimise läbiviimiseks erialal (moodul): Üldteave 1 M ja MME osakond 2 Koolituse suund Äriinformaatika Üldprofiil 3 Distsipliin

5. tund Lineaartehted vektoritega 5.1 Vektorite liitmine. Vektorite korrutamine arvudega Fikseeritud vektor on suunatud segment, mis on määratletud kahe punktiga A ja B. Punkti A nimetatakse

Õppetund 1. Vektoranalüüs. 1.1. Lühike teoreetiline tutvustus. Füüsikalisi suurusi, Z Z (M) K määramiseks piisab ühe arvu Y K määramisest (positiivne või Y negatiivne).

RF Föderaalosariigi PÕLLUMAJANDUSMINISTEERIUM KUBARIIKLIKU KÕRGHARIDUSASUTUS KUBANI RIIGI PÕLLUMAJANDUSÜLIKOOL VM Smolentsev Lineaaralgebra

Näide testülesande variandi lahendamisest: Arvuta determinant Lahendus: selliste ülesannete lahendamisel kasutatakse järgmisi determinandi omadusi:) Kui determinandis on kõik elemendid mõne

Viimane test. Täitmise aeg minutid. Punktide A (;) ja B(;)),),),) vaheline kaugus on võrdne punkte A (;) ja B (;) ühendava lõigu keskpunkti koordinaatidega (;) (;) ;) (;),) (;),) (;) Vastus:)

8 Hindamisvahendite fond üliõpilaste keskastme atesteerimise läbiviimiseks erialal (moodul): Üldinfo 1 Matemaatika osakond ja majanduse matemaatilised meetodid 2 Koolituse suund 380301

Vektoralgebra. Testi ülesanne. Vektori a pikkus on t cm, vektori b pikkus t + cm ja nendevaheline nurk on t + a tb. 6. Leidke vektori pikkus () Lahendus. Tingimuse järgi on vektori a pikkus võrdne

LA Gaussi meetodi põhiülesannete näidised Teatud lineaarvõrrandisüsteemid Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetodil 6

S. A. Logvenkov P. A. Myshkis V. S. Samovol Kõrgema matemaatika ülesannete kogumik Õpik sotsiaal- ja juhtimiserialade üliõpilastele Moskva kirjastus MTsNMO 24 UDC 52 (75.8) BBK 22.43

Hindamisvahendite fond eriala üliõpilaste keskastme atesteerimise läbiviimiseks (moodul) Üldinfo Matemaatika, füüsika ja infotehnoloogia osakond Koolituse suund Pedagoogiline

8. HINDAMISVAHENDITE FOND DISTSIPLIINI ÕPILASTE VAHEKORDSEKS SERTIFITSEERIMISEKS (MOODUL) Üldinfo 1. Informaatika, arvutiteaduse ja infoturbe osakond 2. Suund

Riiklik erialane kõrgharidusasutus "Moskva Lennuinstituut (National Research University)" "Kõrgmatemaatika osakond" LINEAR ALGEBRA

MAATRIKSID, DETERMINANTID, LINEAARVÕRRANDITE SÜSTEEMID Minooride piirnemise meetod maatriksi järgu leidmiseks A = m m m alaealine Maatriksi k järku k alamoor A on selle maatriksi k-nda järgu mis tahes determinant,

Tüüpiülesannete lahendamine jaotisele “Maatriksid” Arvutage maatriksite summa ja Lahendus 8 8 9 + + + + Arvutage maatriksi ja arvu korrutis Lahendus Arvutage maatriksite korrutis ja Lahendus 8 Arvutage

Test. Antud maatriksid A, B ja D. Leidke AB 9D, kui: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Korrutage maatriksid A 3 ja B 3. olema C suurusega 3 3, mis koosneb elementidest

4. Maatriksi auaste. Maatriksis A valime nende ristumiskohas olevate elementide hulgast k rida ja veergu ning koostame determinandi. Me nimetame seda k-nda järgu molliks. Kui k-ndat järku moll on nullist erinev,

Lineaaralgebra. Põhivalemid. Järkjärgu determinant: det A a a a a a a a a. a a a järgu determinant (Sarruse reegel): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Algebraline

3. Maatriksi järgu DEFINITSIOON. Maatriksi minoorset M k nimetatakse selle alusminoorseks, kui see erineb nullist ja kõik kõrgemat järku maatriksi minoorsed k+, k+, t on võrdsed nulliga. MÄÄRATLUS. Maatriksi auastet nimetatakse

Aritmeetiliste vektorite ruum Loengud 2-3 1 Aritmeetiliste vektorite ruum Rn Vaatleme n arvu x (x 1, x 2, x) järjestatud hulkade hulka. Iga sellist hulka x n kutsutakse

Tüüpiülesannete lahendused Ülesanne Tõesta arvujada piiri definitsiooniga, et n li n n Lahendus Definitsiooni järgi on arv arvujada n n n N piir, kui on olemas naturaalarv

Sisu Sisu Sissejuhatus Lineaaralgebra Ülesanded klassitunnis Ülesannete näidislahendused Ülesanded iseseisvaks ettevalmistamiseks Analüütiline geomeetria ja vektoralgebra Ülesanded klassitunnis Näidislahendused

E V Morozova, S V Myagkova MATEMAATIKA TESTIKÜSIMUSTE ALUS I OSA LINEAARALGEBRA JA ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA VENEMAA LIIDRIIGI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM OF RUSIAN FEDDERALIA EEDUCATIONAL INSTITUTION

Lineaaralgebra vastavuskursuse teema MAATRIIKID) Maatriksiteooria põhimõisted Definitsioon Maatriksmõõde on ridadest ja veergudest koosnev ristkülikukujuline arvutabel See tabel on tavaliselt

Kuznetsovi ülesanne Analüütiline geomeetria 1-3 Kirjutage vektori lagunemine vektoriteks: Soovitud vektori lagunemine on kujul: Või süsteemi kujul: Saame: Lisage teisele reale kolmas: Lahutage esimesest

Katselahuste näited L.I. Terekhina, I.I. Fix 1 Test 1 Lineaaralgebra Lahendage maatriksvõrrand ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3) Korrutame maatriksid kõigepealt

Vektoralgebra Analüütiline geomeetria Ištšanov TR h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Ülesanne Kirjutage vektori lagunemine vektoriteks r 8 r Vektorit on vaja esitada kujul r kus arvud Leiame need

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline erialane kõrgharidusasutus "Komsomolsk-Amuuri Riiklik Tehniline

Kontrolltöö erialal Kõrgema matemaatika valik – teema. Analüütilise geomeetria elemendid tasapinnal. Otse lennukis. Kolmnurga ABC tippude koordinaatide põhjal: A(); AT 5); C(--) leia: a)

01 1. Leia võrrandisüsteemi üld- ja põhilahendused: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, valides põhimuutujateks x ja x. Vastus: Kui valime põhimuutujateks

Luua ühilduvus ja lahendada lineaarvõrrandisüsteem 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 a) kasutades Crameri valemeid, b) maatriksmeetodit, c) Gaussi meetodit Ühilduvus Süsteemi ühilduvust saab kindlaks teha: a)

Lineaaralgebra Loeng 5 Lineaarvõrrandisüsteemid Põhimõisted ja definitsioonid Matemaatika on tööriist meid ümbritseva maailma kirjeldamiseks Lineaarvõrrandid pakuvad mõningaid lihtsamaid kirjeldusi

Föderaalne Raudteetranspordi Agentuur Uurali Riiklik Transpordiülikool Kõrgema matemaatika osakond T.A. Volkova ALGEBRA JA ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA TESTIÜLESANDE KOGUM

SYKTYVKA METSAINSTITUUD KÕRGEMA MATEMAATIKA ALGEBRA JA GEOMEETIA OSAKOND ÕPILASTE ISESEISEV TÖÖ Juhend diplomeeritud spetsialistide koolitamiseks suunal 654700 “Teave

NÄIDE 1. Arvutage korrutised AB ja BA (korrutise tähistuses jäetakse mõnikord punkt välja) järgmiste maatriksite jaoks: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 LAHENDUS. Alustame mõõtmete korrutamise reegliga. Sest

RF HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Altai osariigi föderaalse riigieelarvelise kõrgharidusasutuse Biyski Tehnoloogiainstituut (filiaal)

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Näita, et vektor;;) ;;) ; ;) moodustada vektori alus ja kirjutada vektori lineaarne kombinatsioon If;;) nendel vektoritel leida võrrandist X Näita, et vektor;)

Peatükk 8 Sirge võrrand ruumis Nii tasapinnal kui ka ruumis võib iga sirge määratleda punktide kogumina, mille koordinaadid on mõnes ruumis valitud süsteemis

Õppetund 1. Vektoranalüüs. Lühike teoreetiline tutvustus. Füüsikalisi suurusi, mille Z Z ϕ (M) definitsioonist K piisab ühe arvu Y K (positiivne või Y negatiivne) määramiseks, nimetatakse skalaarideks.

TEOORIA KÜSIMUSED I. MAATRIKSID, DETERMINANTID 1) Andke maatriksi definitsioon. Mis on null- ja identiteedimaatriksid? Millistel tingimustel loetakse maatriksid võrdseteks? Kuidas toimub ülevõtmise toiming? Millal

LOENG Pinnad ruumis ja nende võrrandid Pind Pind, mis on määratud mingi võrrandiga antud koordinaatsüsteemis on punktide asukoht, mille koordinaadid vastavad

KONTROLLTÖÖDE AINED DISTSIPLIINI "MATEMAATIKA" suunal "Ökoloogia ja keskkonnajuhtimine" semestril. Laiendage vektor X vektoriteks P, Q, R. Lahendage süsteem) Crameri meetodil,) maatriksmeetodil,

Ülesanded auditoorseks ja iseseisvaks tööks Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil (võimalusel) ja Gaussi meetodil ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Juhtimine

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium M. Lomonosovi nimeline föderaalülikool M. Lomonossovi matemaatika osakond Näidisülesanded 9. rühma IEIT suuna õpilastele matemaatika eksamiks (osa)

Vene Föderatsiooni Põllumajandusministeerium A N Manilov Lineaaralgebra Metoodilised juhised ja kontrolltööd osakoormusega üliõpilastele suunal "Majandus" Peterburi Sissejuhatus Need juhised on mõeldud