Središte piramide nalazi se na raskrižju. Formule i svojstva pravilne trokutaste piramide

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u sudskom postupku, i/ili na temelju javnih upita ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Ovaj video vodič pomoći će korisnicima da steknu ideju o temi piramide. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati s pojmom piramide i dati joj definiciju. Razmotrimo što je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teorem o bočnoj površini pravilna piramida.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s pojmom piramide i dati joj definiciju.

Razmotrimo poligon A 1 A 2...A n, koji leži u α ravnini, i točka P, koja ne leži u α ravnini (slika 1). Spojimo točke P s vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Dobivamo n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tako dalje.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ...A n, sastavljen od n-kvadrat A 1 A 2...A n I n trokuta RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se zove n-piramida ugljena. Riža. 1.

Riža. 1

Razmotrimo četverokutnu piramidu PABCD(slika 2).

R- vrh piramide.

ABCD- baza piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovno rebro.

Od točke R ispustimo okomicu RN na osnovnu ravninu ABCD. Povučena okomica je visina piramide.

Riža. 2

Puna površina Piramida se sastoji od bočne površine, odnosno površine svih bočnih stranica i površine baze:

S puni = S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

njegov temelj - pravilan poligon;
segment koji povezuje vrh piramide sa središtem baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverokutne piramide

Razmotrimo pravilnu četverokutnu piramidu PABCD(slika 3).

R- vrh piramide. Baza piramide ABCD- pravilan četverokut, odnosno kvadrat. Točka OKO, točka sjecišta dijagonala, središte je kvadrata. Sredstva, RO je visina piramide.

Riža. 3

Obrazloženje: u ispravnom n U trokutu se središte upisane kružnice i središte opisane kružnice poklapaju. To se središte naziva središte poligona. Ponekad kažu da se vrh projicira u središte.

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apotema i naznačen je h a.

1. svi bočni bridovi pravilne piramide su jednaki;

2. bočna lica sukladni su jednakokračni trokuti.

Dokaz ovih svojstava dat ćemo na primjeru pravilne četverokutne piramide.

S obzirom: PABCD- pravilna četverokutna piramida,

ABCD- kvadrat,

RO- visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vidi sl. 4.

Riža. 4

Dokaz.

RO- visina piramide. Odnosno ravno RO okomito na ravninu ABC, a samim time i izravna dd, VO, SO I ČINI ležeći u njemu. Dakle trokuti ROA, ROV, ROS, ROD- pravokutni.

Razmotrimo kvadrat ABCD. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = VO = CO = ČINI.

Zatim pravokutni trokuti ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- opće i noge dd, VO, SO I ČINI su jednaki, što znači da su ti trokuti jednaki na dvije stranice. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost odsječaka, RA = PB = RS = PD. Točka 1 je dokazana.

Segmenti AB I Sunce su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = PB = RS. Dakle trokuti AVR I VSR - jednakokračan i jednak na tri strane.

Na sličan način nalazimo da trokuti ABP, VCP, CDP, DAP su jednakokračni i jednaki, kao što je potrebno dokazati u paragrafu 2.

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovici umnoška opsega baze i apoteme:

Da bismo to dokazali, odaberimo pravilnu trokutastu piramidu.

S obzirom: RAVS- točno trokutasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Pogledajte sl. 5.

Riža. 5

Dokaz.

RAVS- pravilna trokutasta piramida. To je AB= AC = BC. Neka OKO- središte trokuta ABC, Zatim RO je visina piramide. U osnovi piramide nalazi se jednakostranični trokut ABC. primijeti da .

Trokuti RAV, RVS, RSA- jednaka jednakokračni trokuti(po svojstvu). Trokutasta piramida ima tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. To znači da je površina bočne površine piramide:

S strana = 3S RAW

Teorem je dokazan.

Polumjer kruga upisanog u podnožje pravilne četverokutne piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Odredite površinu bočne površine piramide.

S obzirom: pravilna četverokutna piramida ABCD,

ABCD- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Pronaći: S strana. Pogledajte sl. 6.

Riža. 6

Riješenje.

Prema dokazanom teoremu, .

Prvo pronađimo stranu baze AB. Znamo da je polumjer kruga upisanog u osnovi pravilne četverokutne piramide 3 m.

Zatim, m.

Nađi opseg kvadrata ABCD sa stranicom od 6 m:

Razmotrimo trokut BCD. Neka M- sredina strane DC. Jer OKO- sredina BD, To (m).

Trokut DPC- jednakokračan. M- sredina DC. To je, RM- medijan, a time i visina u trokutu DPC. Zatim RM- apotem piramide.

RO- visina piramide. Zatim, ravno RO okomito na ravninu ABC, a samim time i izravna OM, ležeći u njemu. Pronađimo apotemu RM iz pravokutnog trokuta ROM.

Sada možemo pronaći bočnu površinu piramide:

Odgovor: 60 m2.

Polumjer kružnice opisane oko baze pravilne trokutaste piramide jednak je m. Bočna površina je 18 m2. Odredi duljinu apoteme.

S obzirom: ABCP- pravilna trokutasta piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m2.

Pronaći: . Pogledajte sl. 7.

Riža. 7

Riješenje.

U pravokutnom trokutu ABC Zadan je polumjer opisane kružnice. Nađimo stranu AB ovaj trokut pomoću teorema sinusa.

Poznavajući stranu pravilan trokut(m), nađimo njegov opseg.

Prema teoremu o površini bočne površine pravilne piramide, gdje je h a- apotem piramide. Zatim:

Odgovor: 4 m.

Dakle, pogledali smo što je piramida, što je pravilna piramida i dokazali smo teorem o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati s krnjom piramidom.

Bibliografija

Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za učenike obrazovne ustanove(osnovni i razine profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, rev. i dodatni - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za općeobrazovne obrazovne ustanove/ Sharygin I.F.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
Geometrija. 10. razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove s produbljenim i specijalističkim studijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 str.: ilustr.

Internet portal "Yaklass" ()
Internetski portal „Festival pedagoške ideje"Prvi rujan" ()
Internet portal “Slideshare.net” ()

Domaća zadaća

Može li pravilan mnogokut biti baza nepravilne piramide?
Dokažite da su disjunktni bridovi pravilne piramide okomiti.
Pronađite vrijednost dvostrani kut na stranici baze pravilne četverokutne piramide, ako je apotem piramide jednak stranici njezine baze.
RAVS- pravilna trokutasta piramida. Konstruirajte linearni kut diedralnog kuta na bazi piramide.

Voluminozna figura koja se često pojavljuje u geometrijski problemi, je piramida. Najjednostavnija od svih figura u ovoj klasi je trokutasta. U ovom ćemo članku detaljno analizirati osnovne formule i svojstva ispravnih

Geometrijske ideje o liku

Prije nego što prijeđemo na razmatranje svojstava pravilne trokutaste piramide, pogledajmo pobliže o kojoj vrsti figure govorimo.

Pretpostavimo da postoji proizvoljni trokut V trodimenzionalni prostor. Odaberimo bilo koju točku u tom prostoru koja ne leži u ravnini trokuta i spojimo je s tri vrha trokuta. Dobili smo trokutastu piramidu.

Sastoji se od 4 stranice, od kojih su sve trokuti. Točke u kojima se susreću tri plohe nazivaju se vrhovi. Figura ih također ima četiri. Linije sjecišta dvaju lica su bridovi. Dotična piramida ima 6 rubova.

Budući da lik čine četiri strane, naziva se i tetraedar.

Ispravna piramida

Gore smo razmotrili proizvoljnu figuru s trokutastom bazom. Sada pretpostavimo da nacrtamo okomiti segment od vrha piramide do njezine baze. Taj se segment naziva visina. Očito, možete nacrtati 4 različite visine figure. Ako visina siječe trokutastu bazu u geometrijskom središtu, tada se takva piramida naziva ravnom.

Ravna piramida, čija je baza jednakostranični trokut, naziva se pravilnom. Za nju su sva tri trokuta koji čine bočnu plohu figure jednakokračna i međusobno jednaka. Poseban slučaj pravilne piramide je situacija kada su sve četiri stranice jednakostranični identični trokuti.

Razmotrimo svojstva pravilne trokutaste piramide i dajmo odgovarajuće formule za izračunavanje njezinih parametara.

Osnovna stranica, visina, bočni rub i apotem

Bilo koja dva od navedenih parametara jednoznačno određuju druge dvije karakteristike. Navedimo formule koje povezuju te količine.

Pretpostavimo da je stranica baze pravilne trokutaste piramide a. Duljina njegovog bočnog ruba je b. Kolika će biti visina pravilne trokutaste piramide i njezin apotem?

Za visinu h dobivamo izraz:

Ova formula slijedi iz Pitagorinog poučka za koji su bočni rub, visina i 2/3 visine baze.

Apotem piramide je visina bilo koje strane trokuta. Duljina apoteme a b jednaka je:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Iz ovih je formula jasno da bez obzira na stranu baze trokutaste pravilne piramide i duljinu njezinog bočnog ruba, apotem će uvijek biti više visine piramide.

Dvije prikazane formule sadrže sve četiri linearne karakteristike predmetne figure. Dakle, s obzirom na poznata dva od njih, ostatak možete pronaći rješavanjem sustava zapisanih jednakosti.

Volumen figure

Za apsolutno svaku piramidu (uključujući nagnutu), vrijednost volumena prostora ograničenog njime može se odrediti poznavanjem visine figure i površine njezine baze. Odgovarajuća formula je:

Primjenom ovog izraza na predmetnu figuru dobivamo sljedeću formulu:

Gdje je visina pravilne trokutaste piramide h, a njezina osnovna stranica a.

Nije teško dobiti formulu za volumen tetraedra u kojem su sve stranice međusobno jednake i predstavljaju jednakostranične trokute. U ovom slučaju, volumen figure određuje se formulom:

Odnosno, jednoznačno je određena duljinom stranice a.

Površina

Nastavimo razmatrati trokutasti pravilan. Ukupna površina svih lica figure naziva se njezinom površinom. Potonje se može jednostavno proučavati razmatranjem odgovarajućeg razvoja. Na donjoj slici prikazano je kako izgleda razvoj pravilne trokutaste piramide.

Pretpostavimo da znamo visinu h i stranicu baze a lika. Tada će površina njegove baze biti jednaka:

Svaki školarac može dobiti ovaj izraz ako se sjeti kako pronaći površinu trokuta i također uzme u obzir da je visina jednakostraničan trokut je također simetrala i medijana.

Bočna površina koju čine tri jednaka jednakokračna trokuta je:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ova jednakost proizlazi iz izraza apoteme piramide u smislu visine i duljine baze.

Ukupna površina figure je:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Imajte na umu da će za tetraedar u kojem su sve četiri strane identični jednakostranični trokuti, površina S biti jednaka:

Svojstva pravilne krnje trokutaste piramide

Ako je vrh razmatrane trokutaste piramide odrezan ravninom paralelnom s bazom, tada preostali Donji dio nazvat će se krnja piramida.

U slučaju trokutaste baze, rezultat opisane metode presjeka je novi trokut, koji je također jednakostraničan, ali ima kraću stranicu od stranice baze. Ispod je prikazana krnja trokutasta piramida.

Vidimo da je ova figura već ograničena s dvije trokutaste baze i tri jednakokračna trapeza.

Pretpostavimo da je visina dobivenog lika jednaka h, duljine stranica donje i gornje baze su a 1 odnosno a 2, a apotem (visina trapeza) je jednak a b. Tada se površina krnje piramide može izračunati pomoću formule:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Ovdje je prvi izraz područje bočne površine, drugi izraz je područje trokutastih baza.

Volumen figure izračunava se na sljedeći način:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Za nedvosmisleno određivanje karakteristika krnje piramide potrebno je poznavati njena tri parametra, što pokazuju navedene formule.

Piramida- ovo je poliedar, u kojem je jedno lice baza piramide - proizvoljni poligon, a ostatak su bočne strane - trokuti sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide. Okomica spuštena s vrha piramide na njezinu bazu naziva se visina piramide. Piramida se naziva trokutasta, četverokutna itd., ako je osnova piramide trokut, četverokut itd. Trokutasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokut - peterokut, itd.

Piramida, Krnja piramida

Ispravna piramida

Ako je baza piramide pravilan mnogokut, a visina pada u središte baze, tada je piramida pravilna. U pravilnoj piramidi svi su bočni bridovi jednaki, sve su bočne plohe jednaki jednakokračni trokuti. Visina trokuta bočne strane pravilne piramide naziva se - apotem pravilne piramide.

Krnja piramida

Presjek paralelan s bazom piramide dijeli piramidu na dva dijela. Dio piramide između njezine baze i ovog dijela je krnja piramida . Ovaj odjeljak za krnju piramidu je jedna od njenih baza. Razmak između baza krnje piramide naziva se visina krnje piramide. Krnja piramida se naziva pravilnom ako je piramida iz koje je izvedena pravilna. Sva bočna lica pravilne krnje piramide su jednaki jednakokračni trapezi. Visina trapeza bočne strane pravilne krnje piramide naziva se - apotem pravilne krnje piramide.

Trokutasta piramida je piramida koja u osnovi ima trokut. Visina ove piramide je okomica koja je spuštena od vrha piramide do njezine baze.

Određivanje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Jako jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trokutaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3) Sh, gdje je S površina baze, V je volumen piramide, h je njegova visina. Iz ove formule izvedite formulu visine: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, trebate pomnožiti volumen piramide s 3, a zatim podijeliti dobivenu vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V)/S. Budući da je baza trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegovu stranicu z, onda prema formuli površine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdje je h visina piramide, γ je rub trokuta; kut između stranica trokuta i samih dviju stranica, a zatim pomoću sljedeće formule: S = (1/2)γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa kuta Q potrebno je pogledati u tablici sinusa koja je dostupna na internetu. Zatim zamijenimo vrijednost površine u formulu za visinu: h = (2S)/γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trokutasta piramida

Nađite visinu pravilne trokutaste piramide, odnosno piramide u kojoj su sve plohe jednakostraničnog trokuta, znajući veličinu brida γ. U ovom slučaju, rubovi piramide su stranice jednakostraničnog trokuta. Visina pravilne trokutaste piramide bit će: h = γ√(2/3), gdje je γ brid jednakostraničnog trokuta, h je visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dani su samo duljina ruba (γ) i volumen (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji se izražava u smislu duljine ruba. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 umnoška duljine stranice ovog trokuta na kvadrat s kvadratnim korijenom iz 3. Zamjenjujemo ovu formulu umjesto površine baze u prethodnoj formule, te dobivamo sljedeću formulu: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumen tetraedra može se izraziti kroz duljinu njegova ruba, tada iz formule za izračunavanje visine figure možete ukloniti sve varijable i ostaviti samo stranicu trokutaste stranice figure. Volumen takve piramide može se izračunati dijeljenjem s 12 iz umnoška kubirane duljine njenog lica s kvadratnim korijenom iz 2.

Zamjenom ovog izraza u prethodnu formulu dobivamo sljedeću formulu za izračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Također točno trokutasta prizma može se upisati u sferu, a znajući samo radijus sfere (R) može se pronaći visina samog tetraedra. Duljina brida tetraedra je: γ = 4R/√6. Varijablu γ zamijenimo ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijemo formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ista se formula može dobiti poznavanjem polumjera (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, duljina ruba trokuta bit će jednaka 12 omjera između korijen od 6 i radijus. Zamijenimo ovaj izraz u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četverokutne piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći duljinu visine piramide, morate znati što je pravilna piramida. Četverokutna piramida je piramida s četverokutom u osnovi. Ako u uvjetima problema imamo: volumen (V) i površinu baze (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite volumen pomnožen za 3 površinom S: h = (3V)/S. Zadana je kvadratna baza piramide zadanog volumena (V) i duljine stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom duljine stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Visina pravilne piramide h = SO prolazi točno središtem kružnice koja je opisana u blizini baze. Budući da je baza ove piramide kvadrat, točka O je sjecište dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Sljedeće, ulazimo pravokutni trokut Nalazimo SOC (koristeći Pitagorin teorem): SO = √(SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu pravilne piramide.