Biografije Karakteristike Analiza
Proširiti
Dom ›

Primjeri zadataka na lokusu točaka.

Geometrija (grčki geometria, od ge - Zemlja i metreo - mjera)

grana matematike koja proučava prostorne odnose i oblike, kao i druge odnose i oblike slične prostornim po svojoj strukturi.

Podrijetlo pojma "G.", što doslovno znači "pregled Zemlje", može se objasniti sljedećim riječima koje se pripisuju starogrčkom znanstveniku Eudemu s Rodosa (4. st. pr. Kr.): "Geometriju su otkrili Egipćani i nastala je kada mjerenje Zemlje. Ovo mjerenje mu je bilo neophodno zbog poplave rijeke Nil, koja je neprestano ispirala granice." Već kod starih Grka geodezija je označavala matematičku znanost, dok je pojam geodezija uveden za znanost o mjerenju Zemlje. . Sudeći prema preživjelim fragmentima staroegipatskih spisa, gravitacija se nije razvila samo iz mjerenja zemlje, već i iz mjerenja volumena i površina tijekom zemljanih i građevinskih radova itd.

Početni koncepti gravitacije nastali su kao rezultat apstrakcije od svih svojstava i odnosa tijela, osim relativnog položaja i veličine. Prvi se izražavaju u dodiru ili spajanju tijela jedno s drugim, u činjenici da je jedno tijelo dio drugog, na mjestu "između", "unutra" itd. Potonji su izraženi u konceptima "više", "manje", u konceptu jednakosti tijela.

Po istoj apstrakciji nastaje pojam geometrijskog tijela. Geometrijsko tijelo je apstrakcija u kojoj su sačuvani samo oblik i dimenzije u potpunoj apstrakciji od svih ostalih svojstava. Istodobno, kao što je tipično za matematiku općenito, geometrija se potpuno apstrahira od neodređenosti i pokretljivosti stvarnih oblika i veličina i sve odnose i forme koje istražuje smatra apsolutno preciznim i određenim. Apstrakcija od proširenja tijela dovodi do pojmova površina, linija i točaka. To je jasno izraženo, na primjer, u definicijama koje je dao Euklid: "crta je duljina bez širine", "površina je ono što ima duljinu i širinu". Točka bez ikakvog proširenja je apstrakcija koja odražava mogućnost neograničene redukcije u svim dimenzijama tijela, imaginarnu granicu njegove beskonačne podjele. Zatim postoji opći koncept geometrijskog lika, koji se ne shvaća samo kao tijelo, površina, linija ili točka, već i svaka njihova kombinacija.

G. u svom izvornom značenju je znanost o figurama, međusobnom rasporedu i veličini njihovih dijelova, kao i o preobrazbi figura. Ova se definicija u potpunosti slaže s definicijom geometrije kao znanosti o prostornim oblicima i odnosima. Doista, lik, kako se to smatra u G., je prostorni oblik; stoga u G. kažu, na primjer, “lopta”, a ne “tijelo sfernog oblika”; položaj i dimenzije određuju se prostornim odnosima; Konačno, transformacija je, kako se shvaća u G., također određeni odnos između dviju figura - dane i one u koju se pretvara.

U modernom, općenitijem smislu, geometrija obuhvaća niz matematičkih teorija, čija pripadnost geometriji nije određena samo sličnošću (iako ponekad vrlo udaljenom) njihovog predmeta s običnim prostornim oblicima i odnosima, već i činjenicom da povijesno su se razvijali i formiraju na G. u izvornom značenju i u svojim konstrukcijama polaze od analize, generalizacije i modifikacije njegovih pojmova. Geografija je u ovom općem smislu usko isprepletena s drugim granama matematike, a njezine granice nisu precizne. Vidi Generalizacija geometrije i moderna geometrija.

Razvoj geometrije. U razvoju geologije mogu se naznačiti četiri glavna razdoblja, prijelazi između kojih su označavali kvalitativnu promjenu u geologiji.

Prvi - razdoblje rođenja geometrije kao matematičke znanosti - trajao je u starom Egiptu, Babilonu i Grčkoj do otprilike 5. stoljeća. PRIJE KRISTA e. Primarne geometrijske informacije pojavljuju se u najranijim fazama razvoja društva. Počecima znanosti treba smatrati uspostavljanje prvih općih zakona, u ovom slučaju ovisnosti između geometrijskih veličina. Ovaj trenutak se ne može datirati. Najranije djelo koje sadrži rudimente G. došlo je do nas iz starog Egipta i potječe otprilike iz 17. stoljeća. PRIJE KRISTA e., ali sigurno nije prvi. Geometrijski podaci tog razdoblja nisu bili brojni i svodili su se prvenstveno na izračun određenih površina i volumena. Navedeni su u obliku pravila, očito u velikoj mjeri empirijskog porijekla, dok su logički dokazi vjerojatno još uvijek bili vrlo primitivni. Grčka je, prema grčkim povjesničarima, prenesena u Grčku iz Egipta u 7. stoljeću. PRIJE KRISTA e. Ovdje je, tijekom nekoliko generacija, evoluirao u koherentan sustav. Taj se proces odvijao kroz akumulaciju novih geometrijskih znanja, rasvjetljavanje veza između različitih geometrijskih činjenica, razvoj metoda dokazivanja i, konačno, formiranje pojmova o liku, o geometrijskoj rečenici i o dokazu.

Ovaj proces je konačno doveo do kvalitativnog skoka. Geometrija je postala samostalna matematička znanost: pojavila su se njezina sustavna izlaganja u kojima su se njezine tvrdnje dosljedno dokazivale. Od tog vremena počinje drugo razdoblje razvoja geografije, a poznata su upućivanja na sustavne prikaze geologije, među kojima je i 5. st. PRIJE KRISTA e. Hipokrat s Hiosa (vidi Hipokrat s Hiosa). Preživjeli su i odigrali odlučujuću ulogu u budućnosti, koja se pojavila oko 300. pr. e. "Počeci" Euklida (vidi Počeci Euklida). Ovdje su geometrije prikazane na način na koji se i danas općenito shvaćaju, ako se ograničimo na elementarnu geometriju (vidi elementarna geometrija); ovo je znanost o najjednostavnijim prostornim oblicima i odnosima, razvijenim u logičkom slijedu, na temelju jasno formuliranih osnovnih odredbi - aksioma i osnovnih prostornih prikaza. Geometrija razvijena na istim temeljima (aksiomima), čak dotjerana i obogaćena kako u predmetu tako iu metodama istraživanja, naziva se euklidska geometrija. I u Grčkoj mu se dodaju novi rezultati, nastaju nove metode za određivanje površina i volumena (Arhimed, 3. st. pr. Kr.), nauk o konusnim presjecima (Apolonije iz Perge, 3. st. pr. Kr.), dodaju se počeci trigonometrije (Hiparh , 2 u. PRIJE KRISTA e.) i G. na sferi (Menelaj, 1. st. Kr.). Propadanje antičkog društva dovelo je do usporedne stagnacije u razvoju cigana, ali se nastavilo razvijati u Indiji, srednjoj Aziji i zemljama arapskog istoka.

Renesansa znanosti i umjetnosti u Europi dovela je do daljnjeg procvata geografije, a u prvoj polovici 17. stoljeća učinjen je temeljno novi korak. R. Descartes, koji je u geometriju uveo metodu koordinata. Metoda koordinata omogućila je povezivanje geometrije s algebrom koja se tada razvijala i analizom u nastajanju. Primjenom metoda ovih znanosti u geologiji nastala je analitička, a potom i diferencijalna geografija. G. je prešao na kvalitativno novu razinu u usporedbi s G. drevnih: već razmatra mnogo općenitije brojke i koristi se bitno novim metodama. Od tada počinje treće razdoblje razvoja G. Analitička geometrija metodama algebre proučava figure i transformacije zadane algebarskim jednadžbama u pravokutnim koordinatama. Diferencijalna geometrija, koja je nastala u 18. stoljeću. Kao rezultat rada L. Eulera, H. Mongea i drugih, on već proučava sve dovoljno glatke zakrivljene linije i plohe, njihove obitelji (tj. njihove kontinuirane zbirke) i transformacije (koncept "diferencijalne geometrije" je sada se često daje općenitije značenje, o čemu se govori u odjeljku Moderna geometrija). Njegovo je ime povezano uglavnom s njegovom metodom, koja dolazi od diferencijalnog računa. Do 1. polovice 17.st. odnosi se na podrijetlo projektivne geometrije (Vidi projektivna geometrija) u djelima J. Desarguesa i B. Pascala (Vidi Pascal). Nastao je iz problema prikazivanja tijela na ravnini; njegov prvi predmet su ona svojstva ravninskih figura koja se čuvaju pri projiciranju iz jedne ravnine u drugu iz bilo koje točke. Konačna formulacija i sustavno izlaganje ovih novih trendova u geologiji dani su u 18. i ranom 19. stoljeću. Euler za analitičko grafiranje (1748), Monge za diferencijalno grafiranje (1795), J. Poncelet za projektivno grafiranje (1822), a sam nauk o geometrijskom predstavljanju (u izravnoj vezi s problemima crtanja) razvijen je još ranije (1799) a u sustav je donio Monge u obliku deskriptivne geometrije (Vidi deskriptivna geometrija). U svim tim novim disciplinama temelji (aksiomi, početni pojmovi) geometrije ostali su nepromijenjeni, dok se raspon proučavanih figura i njihovih svojstava, kao i korištenih metoda, proširio.

Četvrto razdoblje u razvoju geometrije otvara se izgradnjom N. I. Lobačevskog (Vidi Lobačevski) 1826. nova, neeuklidska geometrija, sada nazvana geometrija Lobačevskog (vidi geometrija Lobačevskog). Neovisno o Lobačevskom, J. Bolyai je 1832. izgradio istu geometriju (K. Gauss je razvio iste ideje, ali ih nije objavio). Izvor, bit i značaj ideja Lobačevskog svode se na sljedeće. U Euklidovoj geometriji postoji aksiom o paralelama, koji kaže: "kroz točku koja ne leži na danoj liniji, može se povući najviše jedan pravac paralelan danoj." Mnogi su geometri pokušali dokazati ovaj aksiom iz drugih osnovnih premisa Euklidove geometrije, ali bez uspjeha. Lobačevski je došao do zaključka da je takav dokaz nemoguć. Tvrdnja suprotna Euklidovom aksiomu kaže: "kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu, može se povući ne jedan, već barem dva pravca paralelna s njom." To je aksiom Lobačevskog. Prema Lobačevskom, dodavanje ove odredbe drugim temeljnim odredbama G. dovodi do logički besprijekornih zaključaka. Sustav ovih zaključaka tvori novu, neeuklidsku geometriju.Zasluga Lobačevskog je u tome što on ne samo da je izrazio tu ideju, nego je zapravo izgradio i sveobuhvatno razvio novu geometriju, logički jednako savršenu i bogatu zaključcima kao Euklidska. , unatoč njegovoj nedosljednosti s uobičajenim vizualnim prikazima. Lobačevski je svoju geometriju smatrao mogućom teorijom prostornih odnosa; međutim, ostala je hipotetička sve dok se njezino pravo značenje nije razjasnilo (1868.) i time je dano njegovo puno opravdanje (vidi odjeljak Tumačenja geometrije).

Revolucija u geometriji koju je donio Lobačevski po svom značaju nije inferiorna niti jednoj revoluciji u prirodnim znanostima, a nije uzalud Lobačevskog nazivali "Kopernikom geometrije". U njegovim su idejama zacrtana tri principa koji su odredili novi razvoj geometrije.Prvi princip je da su logički zamislive ne samo euklidske geometrije, nego i druge "geometrije". Drugo načelo je načelo same konstrukcije novih geometrijskih teorija modificiranjem i generalizacijom glavnih odredbi Euklidskog G. Treće načelo je da istinitost geometrijske teorije, u smislu korespondencije sa stvarnim svojstvima prostora, može biti provjerene samo fizičkim istraživanjima i moguće je da takva istraživanja utvrde, u tom smislu, netočnost Euklidskog G. Moderna fizika je to potvrdila. Međutim, zbog toga se ne gubi matematička točnost euklidske geometrije, budući da određen je logičkom konzistentnošću (konzistentnošću) ovog G. Na isti način, u odnosu na bilo koju geometrijsku teoriju, treba razlikovati njihovu fizičku i matematičku istinitost; prvi se sastoji u sukladnosti stvarnosti provjerene iskustvom, drugi u logičkoj dosljednosti. Lobačevski je tako dao materijalistički pristup filozofiji matematike. Ova opća načela odigrala su važnu ulogu ne samo u matematici, već iu matematici općenito, u razvoju njezine aksiomatske metode i razumijevanju njezina odnosa prema stvarnosti.

Glavno obilježje novog razdoblja u povijesti geometrije, koje je započeo Lobačevski, jest razvoj novih geometrijskih teorija - novih "geometrija" iu odgovarajućoj generalizaciji predmeta geometrije; javlja se koncept raznih vrsta “prostora” (pojam “prostor” u znanosti ima dva značenja: s jedne strane, to je običan stvarni prostor, s druge strane, to je apstraktni “matematički prostor”). Istodobno su se neke teorije oblikovale unutar euklidske geografije u obliku njezinih posebnih poglavlja i tek tada dobile samostalan značaj. Tako je nastala projektivna, afina, konformna geometrija i druge, čiji su predmet svojstva figura koja se čuvaju pri odgovarajućim (projektivnim, afinima, konformnim itd.) transformacijama. Nastao je pojam projektivnih, afinih i konformnih prostora; Sama euklidska geografija počela se u određenom smislu smatrati poglavarom projektivne geografije. teorije, poput geometrije Lobačevskog, građene su od samog početka na temelju promjene i generalizacije pojmova euklidske geometrije.Tako je nastala npr. višedimenzionalna geometrija; prvi radovi vezani uz nju (G. Grassman i A. Cayley, 1844.) predstavljali su formalnu generalizaciju uobičajene analitičke gravitacije od tri koordinate do n. Neki rezultat razvoja svih tih novih "geometrija" sažeo je 1872. F. Klein, ukazujući na opći princip njihove konstrukcije.

Temeljni korak napravio je B. Riemann (predavanje 1854, objavljeno 1867). Prvo, jasno je formulirao generalizirani koncept prostora kao kontinuirane zbirke bilo kakvih homogenih objekata ili pojava (vidi odjeljak Generalizacija predmeta geometrije). Drugo, uveo je pojam prostora s bilo kojim zakonom za mjerenje udaljenosti u beskonačno malim koracima (slično kao kod mjerenja duljine pravca s vrlo malom skalom). Odavde se razvila ogromna regija Gruzije, tzv. Riemannova geometrija i njezine generalizacije, koje su našle važne primjene u teoriji relativnosti, u mehanici itd.

Još jedan primjer. Stanje plina u cilindru ispod klipa određeno je tlakom i temperaturom. Ukupnost svih mogućih stanja plina može se stoga predstaviti kao dvodimenzionalni prostor. "Točke" ovog "prostora" su stanja plina; "točke" se razlikuju u dvije "koordinate" - tlaku i temperaturi, kao što se točke na ravnini razlikuju po vrijednostima svojih koordinata. Kontinuirana promjena stanja predstavljena je linijom u ovom prostoru.

Nadalje, može se zamisliti bilo koji materijalni sustav - mehanički ili fizikalno-kemijski. Ukupnost svih mogućih stanja ovog sustava naziva se "fazni prostor". “Točke” ovog prostora su same države. Ako je stanje sustava definirano n količine, onda kažemo da sustav ima n stupnjevi slobode. Ove veličine igraju ulogu koordinata stanja točke, kao što su u primjeru plina tlak i temperatura igrali ulogu koordinata. U skladu s tim takav se fazni prostor sustava naziva n-dimenzionalni. Promjena stanja je predstavljena linijom u ovom prostoru; pojedina područja stanja, koja se razlikuju po jednom ili drugom obilježju, bit će regije faznog prostora, a granice regija bit će površine u tom prostoru. Ako sustav ima samo dva stupnja slobode, tada se njegova stanja mogu predstaviti točkama na ravnini. Dakle, stanje plina s tlakom R i temperaturu T predstavljen točkom s koordinatama R i T, a procesi koji se odvijaju s plinom bit će predstavljeni linijama na ravnini. Ova metoda grafičkog prikaza dobro je poznata i stalno se koristi u fizici i tehnologiji za vizualizaciju procesa i njihovih zakonitosti. Ali ako je broj stupnjeva slobode veći od 3, tada jednostavan grafički prikaz (čak i u prostoru) postaje nemoguć. Zatim, kako bi se očuvale korisne geometrijske analogije, pribjegava se konceptu apstraktnog faznog prostora. Dakle, vizualne grafičke metode prerastaju u ovaj apstraktni prikaz. Metoda faznog prostora ima široku primjenu u mehanici, teorijskoj fizici i fizikalnoj kemiji. U mehanici se gibanje mehaničkog sustava predstavlja gibanjem točke u njegovom faznom prostoru. U fizikalnoj kemiji posebno je važno razmotriti oblik i međusobno spajanje onih područja faznog prostora sustava od nekoliko tvari koje odgovaraju kvalitativno različitim stanjima. Površine koje razdvajaju ove regije su površine prijelaza iz jedne kvalitete u drugu (taljenje, kristalizacija itd.). U samoj geometriji razmatraju se i apstraktni prostori, čije su "točke" figure; tako se definiraju "prostori" krugova, sfera, linija itd. U mehanici i teoriji relativnosti također se uvodi apstraktni četverodimenzionalni prostor, koji dodaje vrijeme trima prostornim koordinatama kao četvrtoj koordinati. To znači da se događaji moraju razlikovati ne samo po položaju u prostoru, već iu vremenu.

Tako postaje jasno kako se kontinuirane zbirke različitih objekata, pojava i stanja mogu podvesti pod generalizirani koncept prostora. U takvom prostoru moguće je crtati "linije" koje prikazuju neprekidne nizove pojava (stanja), crtati "površine" i na odgovarajući način odrediti "udaljenosti" između "točaka", dajući na taj način kvantitativni izraz fizičkog koncepta stupanj razlike odgovarajućih pojava (stanja) i sl. Tako, po analogiji s običnom geometrijom, nastaje "geometrija" apstraktnog prostora; potonji čak može imati malo sličnosti s običnim prostorom, budući da je, na primjer, nehomogen u svojim geometrijskim svojstvima i konačan, poput neravnomjerno zakrivljene zatvorene površine.

Predmet geologije u generaliziranom smislu nisu samo prostorni oblici i odnosi, nego i svi oblici i odnosi koji se, apstrahirani od svog sadržaja, pokazuju sličnima običnim prostornim oblicima i odnosima. Ti prostorni oblici stvarnosti nazivaju se "prostori" i "figure". Prostor je u tom smislu kontinuirana zbirka homogenih objekata, pojava, stanja koji igraju ulogu točaka u prostoru, a u toj zbirci postoje odnosi slični običnim prostornim odnosima, kao što je npr. udaljenost između točaka, jednakost figura itd. (figura je općenito dio prostora). G. ove oblike stvarnosti razmatra apstrahirano od konkretnog sadržaja, dok je proučavanje specifičnih oblika i odnosa u vezi s njihovim kvalitativno jedinstvenim sadržajem predmet drugih znanosti, a G. im služi kao metoda. Bilo koja primjena apstraktne geometrije može poslužiti kao primjer, čak i ako je gornja primjena n-dimenzionalni prostor u fizikalnoj kemiji. G. karakterizira takav pristup objektu koji se sastoji u generaliziranju i prenošenju na nove objekte uobičajenih geometrijskih pojmova i vizualnih prikaza. Upravo to je učinjeno u gornjim primjerima prostora boja itd. Ovaj geometrijski pristup nije nimalo čista konvencija, već odgovara samoj prirodi fenomena. Ali često se iste stvarne činjenice mogu predstaviti analitički ili geometrijski, baš kao što se ista ovisnost može dati jednadžbom ili linijom na grafu.

Ne treba, međutim, razvoj geometrije predstavljati na način da ona samo registrira i geometrijskim jezikom opisuje oblike i odnose koji su se već susreli u praksi, slično prostornim. U stvarnosti, geometrija definira široke klase novih prostora i figura u njima, polazeći od analize i generalizacije podataka vizualne geometrije i već uspostavljenih geometrijskih teorija. U apstraktnoj definiciji ti se prostori i figure pojavljuju kao mogući oblici stvarnosti. One, dakle, nisu isključivo spekulativne konstrukcije, već bi u konačnici trebale poslužiti kao sredstvo istraživanja i opisa stvarnih činjenica. Lobačevski, stvarajući svoju geometriju, smatrao ju je mogućom teorijom prostornih odnosa. I kao što je njegova geometrija potkrijepljena u smislu svoje logičke konzistentnosti i primjenjivosti na prirodne pojave, tako i svaka apstraktna geometrijska teorija prolazi isti dvostruki test. Za provjeru logičke konzistentnosti neophodna je metoda konstruiranja matematičkih modela novih prostora. No, u znanosti su konačno ukorijenjeni samo oni apstraktni pojmovi koji su opravdani i izgradnjom umjetnog modela i primjenom, ako ne izravno u prirodnoj znanosti i tehnologiji, onda barem u drugim matematičkim teorijama kroz koje su ti pojmovi na neki način povezani s stvarnost. Lakoća s kojom matematičari i fizičari danas operiraju s različitim "prostorima" postignuta je kao rezultat dugog razvoja geometrije u uskoj vezi s razvojem matematike u cjelini i drugih egzaktnih znanosti. Upravo se kao rezultat tog razvoja oblikovala i dobila veliko značenje druga strana geografije, naznačena u općoj definiciji danoj na početku članka: uključivanje u geografiju proučavanja oblika i odnosa sličnih oblicima. i odnosi u običnom prostoru.

Kao primjer apstraktne geometrijske teorije može se uzeti G. n-dimenzionalni euklidski prostor. Konstruira se jednostavnom generalizacijom glavnih odredbi obične geometrije, a za to postoji nekoliko mogućnosti: mogu se, na primjer, generalizirati aksiomi obične geometrije, ali se može poći i od specificiranja točaka po koordinatama. S drugim pristupom n-dimenzionalni prostor definiran je kao skup bilo kojeg elementa-točaka danih sa (svaki) n brojevima x 1, x2,…, xn, koji se nalazi određenim redoslijedom, - koordinate točaka. Nadalje, udaljenost između točaka X \u003d (x 1, x 2, ..., xn) i X"= (x’ 1, x’ 2,…, x’ n) određuje se formulom:

što je izravna generalizacija poznate formule za udaljenost u trodimenzionalnom prostoru. Gibanje se definira kao transformacija figure koja ne mijenja udaljenosti između njegovih točaka. Zatim predmet n-dimenzionalna geometrija se definira kao proučavanje onih svojstava figura koja se ne mijenjaju tijekom kretanja. Na temelju toga, koncepti ravne, ravnine različitih brojeva dimenzija od dva do n-1, o lopti, itd. Da. pojavljuje se teorija bogata sadržajem, u mnogočemu slična običnoj euklidskoj geometriji, ali u mnogo čemu i drugačija od nje. Često se događa da se rezultati dobiveni za trodimenzionalni prostor lako, uz odgovarajuće izmjene, prenose u prostor bilo kojeg broja dimenzija. Na primjer, teorem da među svim tijelima istog volumena lopta ima najmanju površinu, čita se doslovno na isti način u prostoru bilo kojeg broja dimenzija [samo trebate imati na umu n-dimenzionalni volumen, ( n-1)-dimenzionalna površina i n-dimenzionalne lopte, koje su definirane sasvim analogno odgovarajućim konceptima obične gravitacije]. Dalje, u n-dimenzionalni prostor, volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine, a volumen piramide jednak je takvom umnošku podijeljenom s n. Takvi primjeri bi se mogli nastaviti. S druge strane, kvalitativno nove činjenice također se nalaze u višedimenzionalnim prostorima.

Tumačenja geometrije. Ista geometrijska teorija dopušta različite primjene, različite interpretacije (realizacije, modeli ili interpretacije). Svaka primjena teorije nije ništa drugo nego realizacija nekih njezinih zaključaka u odgovarajućem polju fenomena.

Mogućnost različitih implementacija zajedničko je svojstvo svake matematičke teorije. Tako se aritmetički odnosi ostvaruju na najrazličitijim skupovima objekata; ista jednadžba često opisuje potpuno različite pojave. Matematika razmatra samo oblik fenomena, apstrahirajući od sadržaja, a sa stajališta forme mnoge kvalitativno različite pojave često se ispostavljaju sličnima. Raznolikost primjena matematike, a posebno geometrije, osigurava upravo njezin apstraktni karakter. Vjeruje se da određeni sustav objekata (područje fenomena) osigurava realizaciju teorije ako se odnosi u tom području objekata mogu opisati jezikom teorije na način da svaki iskaz teorije izražava jednu ili neku drugu činjenicu koja se događa na području koje se razmatra. Konkretno, ako je teorija izgrađena na temelju određenog sustava aksioma, onda se tumačenje ove teorije sastoji u takvoj usporedbi njezinih pojmova s ​​određenim objektima i njihovim odnosima, u kojima su aksiomi za te objekte zadovoljeni.

Euklidski G. nastao je kao odraz činjenica stvarnosti. Njezino uobičajeno tumačenje, u kojem se rastegnute niti smatraju ravnim, mehaničkim kretanjem itd., prethodi gravitaciji kao matematičkoj teoriji. Pitanje drugih tumačenja nije bilo niti se moglo postavljati sve dok se nije pojavilo apstraktnije razumijevanje geometrije. Lobačevski je stvorio neeuklidsku geometriju kao moguću geometriju, a onda se postavilo pitanje njezine stvarne interpretacije. Taj je problem 1868. riješio E. Beltrami, koji je primijetio da se geometrija Lobačevskog podudara s unutarnjom geometrijom površina konstantne negativne zakrivljenosti, tj. teoremi geometrije Lobačevskog opisuju geometrijske činjenice na takvim površinama (u ovom slučaju uloga ravnih linija je igraju geodetske linije, a ulogu kretanja – savijanje površine prema sebi). Budući da je, ujedno, takva ploha objekt euklidske geometrije, pokazalo se da se geometrija Lobačevskog tumači u terminima Euklidove geometrije. Tako je dokazana konzistentnost geometrije Lobačevskog, budući da proturječnost u njemu, na temelju ovog tumačenja, povlači za sobom proturječnost u Euklidovoj geometriji.

Time je razjašnjeno dvojno značenje tumačenja geometrijske teorije – fizičko i matematičko. Ako je riječ o interpretaciji na konkretnim objektima, tada dobivamo eksperimentalni dokaz istinitosti teorije (naravno, s odgovarajućom točnošću); ako sami objekti imaju apstraktan karakter (poput geometrijske plohe u okviru Euklidove geometrije), onda je teorija povezana s drugom matematičkom teorijom, u ovom slučaju s euklidskom geometrijom, a preko nje i s eksperimentalnim podacima koji su u njoj sažeti. Takvo tumačenje jedne matematičke teorije pomoću druge postalo je matematička metoda potkrijepljivanja novih teorija, metoda dokazivanja njihove konzistentnosti, budući da bi proturječje u novoj teoriji dovelo do proturječja u teoriji u kojoj se tumači. Ali teoriju kojom se tumači, pak, treba potkrijepiti. Stoga navedena matematička metoda ne otklanja činjenicu da praksa ostaje konačni kriterij istine za matematičke teorije. Trenutno se geometrijske teorije najčešće tumače analitički; na primjer, točke na ravnini Lobačevskog mogu se povezati s parovima brojeva x i na, ravne - odrediti jednadžbama itd. Ova tehnika daje opravdanje za teoriju jer je sama matematička analiza, u konačnici, opravdana velikom praksom njezine primjene.

moderna geometrija. Formalna matematička definicija pojmova prostora i figure prihvaćena u modernoj matematici polazi od koncepta skupa (vidi teoriju skupova). Prostor se definira kao skup bilo kojeg elementa ("točaka") uz uvjet da se u tom skupu uspostave neki odnosi slični uobičajenim prostornim odnosima. Skup boja, skup stanja fizičkog sustava, skup kontinuiranih funkcija definiranih na segmentu, itd. formirati prostore u kojima će točke biti boje, stanja, funkcije. Točnije, ovi se skupovi shvaćaju kao prostori ako su u njima fiksirani samo odgovarajući odnosi, na primjer, udaljenost između točaka, te ona svojstva i relacije koje su kroz njih određene. Dakle, udaljenost između funkcija može se definirati kao maksimum apsolutne vrijednosti njihove razlike: max| f(x)-g(x)| . Figura se definira kao proizvoljan skup točaka u danom prostoru. (Ponekad je prostor sustav skupova elemenata. Na primjer, u projektivnoj geometriji uobičajeno je da se točke, pravci i ravnine smatraju jednakim početnim geometrijskim objektima povezanim relacijama “veze”.)

Glavne vrste odnosa koje u raznim kombinacijama dovode do čitave raznolikosti "prostora" moderne geometrije su sljedeće:

1) Opći odnosi koji postoje u bilo kojem skupu su odnosi članstva i uključivanja: točka pripada skupu, a jedan skup je dio drugog. Ako se uzmu u obzir samo ti odnosi, onda u skupu još nije definirana nikakva "geometrija", on ne postaje prostor. Međutim, ako se odaberu neke posebne figure (skupovi točaka), tada se "geometrija" prostora može odrediti zakonima povezivanja točaka s tim likovima. Takvu ulogu imaju kombinacija aksioma u elementarnoj, afinoj i projektivnoj geometriji; ovdje linije i ravnine služe kao posebni skupovi.

Isti princip odabira nekih posebnih skupova omogućuje nam da definiramo pojam topološkog prostora - prostora u kojem se “susjedstva” točaka izdvajaju kao posebni skupovi (uz uvjet da točka pripada svom susjedstvu i da svaka točka ima na barem jedno susjedstvo; nametanje daljnjih zahtjeva za susjedstva određuje jednu ili drugu vrstu topoloških prostora). Ako bilo koja okolina dane točke ima zajedničke točke s nekim skupom, tada se takva točka naziva dodirna točka tog skupa. Dva skupa se mogu nazvati dodirujućim ako barem jedan od njih sadrži dodirne točke drugog; prostor ili lik bit će kontinuirani, ili, kako kažu, povezani ako se ne mogu podijeliti na dva nesusjedna dijela; transformacija je kontinuirana ako ne prekida kontakt. Dakle, koncept topološkog prostora služi kao matematički izraz za pojam kontinuiteta. [Topološki prostor također se može definirati drugim posebnim skupovima (zatvorenim, otvorenim) ili izravno relacijom tangentnosti, u kojoj je bilo koji skup točaka pridružen svojim dodirnim točkama.] Topološki prostori kao takvi, skupovi u njima i njihove transformacije su predmet topologije. Predmet same geometrije (u velikoj mjeri) je proučavanje topoloških prostora i likova u njima, obdarenih dodatnim svojstvima.

2) Drugi najvažniji princip za određivanje određenih prostora i njihovo proučavanje je uvođenje koordinata. Mnogobrojnik je (povezani) topološki prostor u susjedstvu svake točke u koji se mogu uvesti koordinate stavljanjem točaka susjedstva u međusobnu i međusobno kontinuiranu korespondenciju sa sustavima iz n realni brojevi x 1 , x 2 ,(, xn. Broj n je broj dimenzija mnogostrukosti. Prostori koji se proučavaju u većini geometrijskih teorija su mnogostrukosti; najjednostavniji geometrijski likovi (segmenti, dijelovi ploha omeđeni krivuljama itd.) obično su komadi mnogostrukosti. Ako se među svim koordinatnim sustavima koji se mogu uvesti u dijelove mnogostrukosti razlikuju koordinatni sustavi takve vrste da se neke koordinate izražavaju u terminima drugih pomoću diferencibilnih (jedan ili drugi broj puta) ili analitičkih funkcija, tada dobiti tzv. glatka (analitička) mnogostrukost. Ovaj koncept generalizira vizualni prikaz glatke površine. Glatke mnogostrukosti kao takve predmet su tzv. diferencijalna topologija. U vlastitom G. oni su obdareni dodatnim svojstvima. Koordinate s prihvaćenim uvjetom diferencijabilnosti njihovih transformacija daju osnovu za široku upotrebu analitičkih metoda - diferencijalnog i integralnog računa, kao i vektorske i tenzorske analize (vidi Vektorski račun, Tenzorski račun). Sveukupnost geoloških teorija razvijenih ovim metodama tvori opću diferencijalnu geografiju; njen najjednostavniji slučaj je klasična teorija glatkih krivulja i ploha, koje nisu ništa drugo nego jedno- i dvodimenzionalne diferencibilne mnogostrukosti.

3) Generalizacija pojma gibanja kao transformacije jedne figure u drugu dovodi do općeg načela za definiranje različitih prostora, kada se prostor smatra skupom elemenata (točaka) u kojima se nalazi skupina jedno-prema- data je jedna transformacija ovog skupa na sebe. "Geometrija" takvog prostora sastoji se u proučavanju onih svojstava figura koja su sačuvana pri transformacijama iz ove skupine. Stoga, sa stajališta takve geometrije, figure se mogu smatrati "jednakim" ako jedna prelazi u drugu transformacijom iz zadane skupine. Na primjer, euklidska geometrija proučava svojstva figura koje se čuvaju pri gibanju, afina geometrija proučava svojstva figura koje se čuvaju pri afinim transformacijama, a topologija proučava svojstva figura koje su sačuvane pod bilo kojim jednosmjernim i kontinuiranim transformacijama. . Ista shema uključuje geometriju Lobačevskog, projektivne geometrije i dr. Zapravo, ovaj princip se kombinira s uvođenjem koordinata. Prostor je definiran kao glatka mnogostrukost u kojoj su transformacije definirane funkcijama koje se odnose na koordinate svake dane točke i one na koju ona prolazi (koordinate slike točke definirane su kao funkcije koordinata same točke i parametri o kojima ovisi transformacija; na primjer, afine transformacije definirane su kao linearne: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a u x n , i = 1, …, n). Stoga je opći aparat za razvoj takvih "geometrija" teorija kontinuiranih skupina transformacija. Moguće je još jedno, bitno ekvivalentno, stajalište prema kojem se ne specificiraju transformacije prostora, već u njemu koordinatne transformacije, te se proučavaju ona svojstva figura koja su jednako izražena u različitim koordinatnim sustavima. Ovo gledište našlo je primjenu u teoriji relativnosti, koja zahtijeva isti izraz fizikalnih zakona u različitim koordinatnim sustavima, koji se u fizici nazivaju referentnim okvirima.

4) Drugi opći princip za definiciju prostora, koji je 1854. naznačio Riemann, polazi od generalizacije pojma udaljenosti. Prema Riemannu, prostor je glatka mnogostrukost u kojoj je zakon mjerenja udaljenosti, točnije, duljina, postavljen u beskonačno malim koracima, tj. diferencijal duljine luka krivulje postavljen je kao funkcija koordinata točka krivulje i njihovi diferencijali. Ovo je generalizacija unutarnje geometrije površina, koju je Gauss definirao kao proučavanje svojstava površina, koja se mogu ustanoviti mjerenjem duljina krivulja na njoj. Najjednostavniji slučaj predstavlja tzv. Riemannove prostore u kojima vrijedi Pitagorin teorem u beskonačno malom (tj. u susjedstvu svake točke mogu se uvesti koordinate na način da će u ovoj točki kvadrat diferencijala duljine luka biti jednak zbroju kvadrati diferencijala koordinata; u proizvoljnim koordinatama, izražava se općim pozitivnim kvadratnim oblikom, vidi Riemannove geometrije (vidi Riemannova geometrija)). Takav je prostor, dakle, euklidski u infinitezimalnom, ali općenito ne može biti euklidski, kao što se zakrivljena ploha može svesti na ravninu u infinitezimalnoj samo s odgovarajućom točnošću. Pokazalo se da su geometrije Euklida i Lobačevskog poseban slučaj ovog Riemanovog G. Najšira generalizacija pojma udaljenosti dovela je do koncepta općeg metričkog prostora kao takvog skupa elemenata u kojem je dana "metrika", tj. svakom paru elemenata dodjeljuje se broj - udaljenost između njih, podređena samo vrlo općim uvjetima. Ova ideja igra važnu ulogu u funkcionalnoj analizi i temelji se na nekim od najnovijih geometrijskih teorija, kao što su unutarnja granica neglatkih površina i odgovarajuće generalizacije Riemannove granice.

5) Kombinacija Riemannove ideje o definiciji "geometrije" u beskonačno malim područjima mnogostrukosti s definicijom "geometrije" pomoću skupine transformacija dovela je (E. Cartan, 1922-25) do koncepta prostor u kojem su transformacije dane samo u beskonačno malim područjima; drugim riječima, ovdje transformacije uspostavljaju vezu između samo beskonačno bliskih dijelova mnogostrukosti: jedan komad se pretvara u drugi, beskonačno blizak. Stoga se govori o prostorima s "vezom" ove ili one vrste. Konkretno, prostori s "euklidskom vezom" su Riemannovi. Daljnje generalizacije sežu do koncepta prostora kao glatke mnogostrukosti na kojoj je općenito zadano "polje" nekog "objekta", koji može biti kvadratni oblik, kao u Riemannovoj geometriji, skup veličina koje određuju vezu, jedan ili drugi tenzor itd. Tu spada i nedavno uvedena tzv. slojeviti prostori. Ovi koncepti uključuju, posebice, generalizaciju Riemannove geometrije povezanu s teorijom relativnosti, kada se razmatraju prostori gdje metrika više nije dana pozitivnim, već izmjeničnim kvadratnim oblikom (takvi se prostori također nazivaju Riemanovim ili pseudo -Riemanian, ako ih žele razlikovati od Riemanna u izvornom smislu). Ti su prostori prostori s vezom definiranom odgovarajućom grupom, različitom od skupine euklidskih gibanja.

Na temelju teorije relativnosti nastala je teorija prostora u kojoj se definira pojam sukcesije točaka, tako da svaka točka x postavljeni odgovori V(X) točke koje ga slijede. (Ovo je prirodna matematička generalizacija slijeda događaja, definiranog činjenicom da je događaj Y prati događaj x, ako x utječe Y, i onda Y slijedi x u vremenu u bilo kojem referentnom okviru.) Od samog dodjele skupova V definira sljedeće točke x, kao pripadajući skupu V(X), onda se ispostavlja da je definicija ove vrste prostora primjena prvog od gore navedenih principa, kada je "geometrija" prostora određena odabirom posebnih skupova. Naravno, dok mnogi V moraju podlijegati relevantnim uvjetima; u najjednostavnijem slučaju to su konveksni stošci. Ova teorija uključuje teoriju odgovarajućih pseudo-Riemanovih prostora.

6) Aksiomatska metoda u svom čistom obliku sada služi ili za formuliranje gotovih teorija ili za određivanje općih tipova prostora s posebnim posebnim skupovima. Ako se jedan ili drugi tip specifičnijih prostora definira formuliranjem njihovih svojstava kao aksioma, tada se koriste ili koordinate ili metrika, itd. Konzistentnost, a time i smislenost aksiomatske teorije provjerava se navođenjem modela na kojem je implementirana. , kao što je prvi put učinjeno za geometriju Lobačevskog. Sam model je izgrađen od apstraktnih matematičkih objekata, pa "konačno opravdanje" svake geometrijske teorije ide u područje temelja matematike općenito, koji ne mogu biti konačni u punom smislu, ali zahtijevaju produbljivanje (vidi Matematika, Aksiomatska metoda ).

Ova načela u raznim kombinacijama i varijacijama dovode do širokog spektra geometrijskih teorija. Značaj svake od njih i stupanj pažnje na njezinu problematiku određeni su sadržajem ovih problema i dobivenim rezultatima, njegovim vezama s drugim teorijama geometrije, s drugim područjima matematike, s egzaktnim prirodnim znanostima i s problemima tehnologija. Svaka data geometrijska teorija definirana je među ostalim geometrijskim teorijama, prvo, po tome koji prostor ili koju vrstu prostora razmatra. Drugo, definicija teorije uključuje naznaku brojki koje se proučavaju. Tako se razlikuju teorije poliedara, krivulja, ploha, konveksnih tijela itd. Svaka od ovih teorija može se razviti u određenom prostoru. Na primjer, može se razmotriti teorija poliedara u uobičajenom euklidskom prostoru, u n-dimenzionalni euklidski prostor, u prostoru Lobačevskog, itd. Moguće je razviti uobičajenu teoriju ploha, projektivnu, u prostoru Lobačevskog, itd. Treće, važna je priroda razmatranih svojstava figura. Tako se mogu proučavati svojstva površina koje su sačuvane pod određenim transformacijama; može se razlikovati doktrina zakrivljenosti površina, doktrina savijanja (tj. o deformacijama koje ne mijenjaju duljine krivulja na površini) i unutarnje G. Konačno, u definiciju teorije može se uključiti njezin osnovna metoda i priroda formulacije problema. G. se razlikuje na ovaj način: elementarni, analitički, diferencijalni; na primjer, može se govoriti o elementarnoj ili analitičkoj geometriji prostora Lobačevskog. G. se razlikuje "u malom", koje razmatra samo svojstva proizvoljno malih dijelova geometrijske slike (krivulje, površine, mnogostrukosti), od G. "u cjelini", koja je, kao što je jasno iz imena, geometrijska slike u cjelini cijelom dužinom. Vrlo se općenito razlikuje analitičke metode i metode sintetičke geometrije (ili strogo geometrijske metode); prvi koriste sredstva odgovarajućeg računa: diferencijal, tenzor itd., drugi izravno operiraju s geometrijskim slikama.

Od sve raznolikosti geometrijskih teorija, zapravo, najrazvijenija n-dimenzionalna euklidska geometrija i Riemannova (uključujući pseudo-Riemannova) geometrija.U prvoj se posebno razvija teorija krivulja i ploha (i hiperpovršina različitog broja dimenzija), glatka, proučavana u klasičnoj diferencijalnoj geometriji; to također uključuje poliedre (poliedarske plohe). Zatim je potrebno imenovati teoriju konveksnih tijela, koja se, međutim, velikim dijelom može pripisati teoriji površina u cjelini, budući da. tijelo je definirano svojom površinom. Sljedeća je teorija regularnih sustava figura, tj. onih koji dopuštaju kretnje koje prenose cijeli sustav u sebe i bilo koju njegovu figuru u bilo koju drugu (vidi Fedorovljeve grupe (vidi grupu Fedorov)). Može se primijetiti da je značajan broj najvažnijih rezultata na ovim područjima zaslužan Sov. geometri: vrlo cjelovit razvoj teorije konveksnih ploha i značajan razvoj teorije općih nekonveksnih ploha, raznih teorema o površinama općenito (postojanje i jedinstvenost konveksnih ploha s danom intrinzičnom metrikom ili s danom ili druga "funkcija zakrivljenosti", teorem o nemogućnosti postojanja potpune plohe sa zakrivljenošću, posvuda manje od nekog negativnog broja, itd.), proučavanje ispravne podjele prostora itd.

U teoriji Riemanovih prostora istražuju se pitanja o povezanosti njihovih metričkih svojstava s topološkom strukturom, općenito o ponašanju geodetskih (najkraćih na malim presjecima) pravaca, kao što su pitanje postojanja zatvorenih geodezija, pitanja " uranjanje", tj. ostvarenje datog n-dimenzionalni Riemannov prostor u obliku n-dimenzionalna ploha u euklidskom prostoru bilo kojeg broja dimenzija, pitanja pseudo-Riemannove geometrije vezana uz opću teoriju relativnosti i dr. G.

Osim toga, treba spomenuti algebarsku geometriju (vidi Algebarska geometrija), koja se razvila iz analitičke geometrije i proučava prvenstveno geometrijske slike definirane algebarskim jednadžbama; zauzima posebno mjesto, jer uključuje ne samo geometrijske, već i algebarske i aritmetičke probleme. Također postoji opsežno i važno područje proučavanja beskonačno-dimenzionalnih prostora, koje, međutim, nije uključeno u kategoriju heterogenosti, ali je uključeno u funkcionalnu analizu, budući da Beskonačno-dimenzionalni prostori su posebno definirani kao prostori čije su točke određene funkcije. Ipak, u ovom području postoje brojni rezultati i problemi koji su uistinu geometrijske prirode i koje stoga treba pripisati G.

Vrijednost geometrije. Korištenje euklidske geometrije najčešći je fenomen gdje god se određuju područja, volumeni i tako dalje. Sva tehnika, budući da oblik i veličina tijela igraju ulogu u tome, koristi se euklidskom žiroskopijom. Kartografija, geodezija, astronomija, sve grafičke metode i mehanika su nezamislive bez žiroskopa. Upečatljiv primjer je otkriće I. Keplera činjenice da se planeti okreću u elipsama; mogao je iskoristiti činjenicu da su elipsu proučavali antički geometri. Geometrijska kristalografija je duboka primjena geometrijske kristalografije, koja je poslužila kao izvor i polje primjene za teoriju pravilnih sustava figura (usp. Kristalografija).

Apstraktnije geometrijske teorije se široko koriste u mehanici i fizici, kada se skup stanja sustava smatra određenim prostorom (vidi odjeljak Generalizacija predmeta geometrije). Dakle, sve moguće konfiguracije (međusobni raspored elemenata) mehaničkog sustava čine “konfiguracijski prostor”; gibanje sustava predstavljeno je gibanjem točke u ovom prostoru. Ukupnost svih stanja fizičkog sustava (u najjednostavnijem slučaju, položaji i brzine materijalnih točaka koje tvore sustav, na primjer, molekule plina) smatra se "faznim prostorom" sustava. Ovo gledište nalazi se, posebice, u statističkoj fizici (vidi. Statistička fizika) itd.

Prvi put se koncept višedimenzionalnog prostora rodio u vezi s mehanikom još kod J. Lagrangea, kada su tri prostora. koordinate x, y, z vrijeme se formalno dodaje kao četvrto t. Tako se pojavljuje četverodimenzionalni "prostor-vrijeme", gdje je točka određena s četiri koordinate x, y, z, t. Svaki događaj karakteriziraju ove četiri koordinate i, apstraktno, skup svih događaja u svijetu ispada kao četverodimenzionalni prostor. Ovo gledište razvijeno je u geometrijskoj interpretaciji teorije relativnosti koju je dao H. Minkowski i kasnije u A. Einsteinovoj konstrukciji opće teorije relativnosti. U njemu je koristio četverodimenzionalnu Riemanovu (pseudo-Riemanovu) geometriju, pa su se geometrijske teorije, razvijene iz generalizacije podataka iz prostornog iskustva, pokazale kao matematička metoda za izgradnju dublje teorije prostora i vremena. Zauzvrat, teorija relativnosti dala je snažan poticaj razvoju općih geometrijskih teorija. Nastala iz elementarne prakse, geologija se nizom apstrakcija i generalizacija vraća prirodnoj znanosti i praksi na višoj razini kao metodi.

S geometrijske točke gledišta, prostorno-vremenski mnogostrukost se obično tretira u općoj teoriji relativnosti kao nehomogena Riemannova tipa, ali s metrikom određenom oblikom koji mijenja znak, reduciranom u beskonačno malom području na oblik

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(sa - brzina svjetlosti u vakuumu). Sam prostor, budući da se može odvojiti od vremena, također se ispostavlja kao nehomogen Riemannov. Sa moderne geometrijske točke gledišta, bolje je gledati na teoriju relativnosti na sljedeći način. Posebna teorija relativnosti tvrdi da je mnogostrukost prostor - vrijeme pseudoeuklidski prostor, tj. onaj u kojem ulogu "kretanja" imaju transformacije koje čuvaju kvadratni oblik

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

točnije, to je prostor s grupom transformacija koje čuvaju navedeni kvadratni oblik. Bilo koja formula koja izražava fizikalni zakon mora se ne mijenjati pod transformacijama grupe ovog prostora, a to su takozvane Lorentzove transformacije. Prema općoj teoriji relativnosti, prostorno-vremenski mnogostrukost je nehomogena i samo je u svakom “beskonačno malom” području svedena na pseudo-euklidsko, tj. to je prostor Cartanovog tipa (vidi odjeljak Moderna geometrija). Međutim, takvo je shvaćanje postalo moguće tek kasnije, jer. sam koncept prostora ovog tipa pojavio se nakon teorije relativnosti i razvijao se pod njezinim izravnim utjecajem.

U samoj matematici položaj i uloga geometrije determinirani su prvenstveno činjenicom da je kroz nju u matematiku uveden kontinuitet. Matematika, kao znanost o oblicima stvarnosti, prije svega susreće dva opća oblika: diskretnost i kontinuitet. Račun zasebnih (diskretnih) objekata daje aritmetiku, razmake. G. proučava kontinuitet Jedna od glavnih proturječnosti koja pokreće razvoj matematike je sukob između diskretnog i kontinuiranog. Čak i podjela kontinuiranih veličina na dijelove i mjerenje predstavljaju usporedbu diskretnog i kontinuiranog: na primjer, ljestvica se crta duž mjerenog segmenta u zasebnim koracima. Kontradikcija je izašla na vidjelo. s posebnom jasnoćom, kada je u staroj Grčkoj (vjerojatno u 5. st. pr. Kr.) otkrivena nesumjerljivost stranice i dijagonale kvadrata: duljina dijagonale kvadrata sa stranicom 1 nije bila izražena nikakvim brojem, jer koncept iracionalnog broja nije postojao. Trebalo je generalizirati koncept broja – stvaranje koncepta iracionalnog broja (što je učinjeno tek mnogo kasnije u Indiji). Opća teorija iracionalnih brojeva nastala je tek 70-ih godina. 19. stoljeća Ravna crta (i s njom bilo koja figura) počela se smatrati skupom točaka. Sada je ovo gledište dominantno. Međutim, poteškoće teorije skupova pokazale su njezina ograničenja. Kontradikcija između diskretnog i kontinuiranog ne može se potpuno ukloniti.

Opća uloga geometrije u matematici također leži u činjenici da je povezana s preciznim sintetičkim mišljenjem koje proizlazi iz prostornih predstava, a često omogućuje da se općenito obuhvati ono što se analizom i proračunima postiže samo kroz dugi niz koraka. . Dakle, geometriju karakterizira ne samo njezin predmet, već i njezina metoda koja polazi od vizualnih prikaza i koja se pokazuje plodnom u rješavanju mnogih problema u drugim područjima matematike. Zauzvrat, G. uvelike koristi njihove metode. Dakle, jedan te isti matematički problem često se može tretirati ili analitički ili geometrijski, ili u kombinaciji obje metode.

U određenom smislu, gotovo se sva matematika može smatrati razvijanjem iz interakcije algebre (izvorno aritmetičke) i geometrije, a u smislu metode, iz kombinacije proračuna i geometrijskih prikaza. To se već može vidjeti u konceptu ukupnosti svih realnih brojeva kao brojevne linije koja povezuje aritmetička svojstva brojeva s kontinuitetom. Evo nekih naglasaka G.-ovog utjecaja na matematiku.

1) Uz mehaniku, geometrija je bila od presudnog značaja u nastanku i razvoju analize. Integracija dolazi od pronalaženja područja i volumena, koju su započeli drevni znanstvenici, štoviše, površina i volumen kao količine smatrani su određenim; nije data analitička definicija integrala sve do prve polovice 19. stoljeća. Crtanje tangenti bio je jedan od problema koji je doveo do diferencijacije. Grafički prikaz funkcija odigrao je važnu ulogu u razvoju koncepata analize i zadržao je svoju važnost. U samoj terminologiji analize vidljiv je geometrijski izvor njezinih pojmova, kao, na primjer, u terminima: “prijelomna točka”, “raspon promjene varijable” itd. Prvi tečaj analize, koji je 1696. napisao G. Lopital (Vidi Lopital), zvao se: "Infinitezimalna analiza za razumijevanje zakrivljenih linija". Teorija diferencijalnih jednadžbi se uglavnom tumači geometrijski (integralne krivulje i sl.). Račun varijacija Nastala je i razvija se u velikoj mjeri na problemima geometrije, a njezini pojmovi u tome igraju važnu ulogu.

2) Kompleksni brojevi konačno su se ustalili u matematici na prijelazu iz 18. u 19. stoljeće. samo kao rezultat njihove usporedbe s točkama ravnine, tj. konstruiranjem "složene ravnine". U teoriji funkcija složene varijable geometrijske metode igraju bitnu ulogu. Sam koncept analitičke funkcije w = f(z) kompleksne varijable može se definirati čisto geometrijski: takva funkcija je konformno preslikavanje ravnine z(ili područja ravnine z) u avionu w. Koncepti i metode Riemannove geometrije nalaze primjenu u teoriji funkcija nekoliko kompleksnih varijabli.

3) Glavna ideja funkcionalne analize je da se funkcije određene klase (na primjer, sve kontinuirane funkcije definirane na intervalu) smatraju točkama "funkcionalnog prostora", a odnosi između funkcija tumače se kao geometrijski odnosi između odgovarajućih točaka (na primjer, konvergencija funkcija se tumači kao konvergencija točaka, maksimum apsolutne vrijednosti razlike funkcija - kao udaljenost itd.). Tada mnoga pitanja analize dobivaju geometrijsku obradu, koja se u mnogim slučajevima pokazuje vrlo plodonosnom. Općenito, predstavljanje određenih matematičkih objekata (funkcija, figura itd.) kao točaka nekog prostora s odgovarajućim geometrijskim tumačenjem odnosa tih objekata jedna je od najopćenitijih i najplodnijih ideja moderne matematike, koja je prodrla gotovo u sve njegove sekcije.

4) G. utječe na algebru pa čak i na aritmetiku – teorija brojeva. Algebra koristi, na primjer, koncept vektorskog prostora. U teoriji brojeva stvoren je geometrijski smjer koji omogućuje rješavanje mnogih problema koji su teško podložni računskoj metodi. S druge strane, valja istaknuti i grafičke metode proračuna (vidi Nomografiju) i geometrijske metode suvremene teorije računanja i računala.

5) Logičko usavršavanje i analiza aksiomatike teorije odigralo je odlučujuću ulogu u razvoju apstraktnog oblika aksiomatske metode s potpunom apstrakcijom od prirode objekata i odnosa koji se nalaze u aksiomatiziranoj teoriji. Na temelju istog materijala razvijeni su koncepti konzistentnosti, cjelovitosti i neovisnosti aksioma.

U cjelini, međuprožimanje geometrije i drugih područja matematike toliko je blisko da se granice često ispostavljaju uvjetovane i povezane samo s tradicijom. Samo takvi dijelovi kao što su apstraktna algebra, matematička logika i neki drugi ostaju gotovo ili nikako povezani s geometrijom.

Lit.: Glavna klasična djela. Euklid, Počeci, prev. s grčkog, knj. 1-15, M. - L., 1948-50; Descartes R., Geometrija, prev. iz lat., M. - L., 1938.; Monge G., Primjena analize na geometriju, trans. s francuskog, M. - L., 1936.; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - R., 1822; Gauss KF, Opća istraživanja zakrivljenih površina, prev. s njemačkog, u zborniku: Na temeljima geometrije, M., 1956.; Lobačevski N.I., Poln. kol. soč., st. 1-3, M. - L., 1946-51; Bolai Ya., Dodatak. Prijava,..., per. iz lat., M. - L., 1950.; Riemann B., O hipotezama u temelju geometrije, trans. s njemačkog, u zborniku: Na temeljima geometrije, M., 1956.; Klein, F., Usporedni pregled najnovijih geometrijskih istraživanja ("Erlangen program"), ibid.; E. Kartan, Holonomske skupine generaliziranih prostora, trans. s francuskoga, u knjizi: VIII međunarodno natjecanje za nagradu imena Nikolaja Ivanoviča Lobačevskog (1937.), Kazanj, 1940.; Hilbert D., Temelji geometrije, prev. s njemačkog., M. - L., 1948.

Priča. Kolman E., Povijest matematike u antici, M., 1961; Juškevič A. P., Povijest matematike u srednjem vijeku, M., 1961; Vileitner G., Povijest matematike od Descartesa do sredine 19. stoljeća, trans. s njemačkog, 2. izd., M., 1966.; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

b) Elementarna geometrija. Adamard J., Elementarna geometrija, trans. s francuskoga, 1. dio, 3. izd., M., 1948., 2. dio, M., 1938.; Pogorelov A. V., Elementarna geometrija, Moskva, 1969.

u) Analitička geometrija. Aleksandrov P.S., Predavanja iz analitičke geometrije..., M., 1968.; Pogorelov A. V., Analitička geometrija, 3. izd., M., 1968.

e) Deskriptivna i projektivna geometrija. Glagolev N. A., Nacrtna geometrija, 3. izd., M. - L., 1953.; Efimov N.V., Viša geometrija, 4. izd., M., 1961.

e) Riemannova geometrija i njezine generalizacije. Rashevsky P.K., Riemannova geometrija i tenzorska analiza, 2. izd., M. - L., 1964.; Norden A. P., Prostori afine veze, M. - L., 1950.; Cartan E., Geometrija Riemanovih prostora, prev. s francuskog, M. - L., 1936.; Eisenhart L.P., Riemannova geometrija, prev. s engleskog, M., 1948.

Neke monografije o geometriji. Fedorov ES, Simetrija i struktura kristala. Temeljni radovi, M., 1949.; Aleksandrov A. D., Konveksni poliedri, M. - L., 1950; njegov, Unutarnja geometrija konveksnih ploha, M. - L., 1948.; Pogorelov A. V., Vanjska geometrija konveksnih površina, Moskva, 1969; Buseman G., Geometrija geodezije, prev. s engleskog, M., 1962.; njegove, Konveksne plohe, trans. s engleskog, M., 1964.; E. Kartan, Metoda pokretnog okvira, Teorija kontinuiranih grupa i generaliziranih prostora, prev. s francuskog, M. - L., 1936.; Finikov S. P., Cartanova metoda vanjskih oblika u diferencijalnoj geometriji, M. - L., 1948; njegova vlastita, Projektivno-diferencijalna geometrija, M. - L., 1937.; njegova vlastita, Teorija kongruencija, M. - L., 1950.; Shouten I. A., Stroik D. J., Uvod u nove metode diferencijalne geometrije, prev. s engleskog, vol. 1-2, M. - L., 1939-48; Nomizu K., Liejeve skupine i diferencijalna geometrija, trans. s engleskog, M., 1960.; Milnor J., Morseova teorija, trans. s engleskog, M., 1965.

Rječnik stranih riječi ruskog jezika


    • 4. Primjeri problema na mjesto točaka

    1. Dva kotača polumjera r 1 i r 2 kotrljaju se po pravoj liniji l. Pronađite skup točaka presjeka M njihovih zajedničkih unutarnjih tangenti.

    Rješenje: Neka su O 1 i O 2 središta kotača polumjera r 1 i r 2. Ako je M točka presjeka unutarnjih tangenti, tada je O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Iz ovog uvjeta lako je dobiti da je udaljenost od točke M do pravca l jednaka 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Prema tome, sve točke presjeka zajedničkih unutarnjih tangenti leže na pravoj liniji koja je paralelna s pravom l i udaljena je od nje razmakom 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

    2. Nađi mjesto središta kružnica koje prolaze kroz dvije zadane točke.

    Rješenje: Neka kružnica sa središtem O prolazi kroz zadane točke A i B. Budući da je OA = OB (kao polumjeri jedne kružnice), točka O leži na okomitoj simetrali odsječka AB. Obrnuto, svaka točka O koja leži na okomitoj simetrali AB jednako je udaljena od točaka A i B. Dakle, točka O je središte kružnice koja prolazi kroz točke A i B.

    3. Stranice AB i CD četverokuta ABCD površine S nisu paralelne. Pronađite HMT X koji leži unutar četverokuta za koji je S ABX + S CDX = S/2.

    Rješenje: Neka je O sjecište pravaca AB i CD. Nacrtajmo segmente OK i OL na zrakama OA i OD, jednake AB i CD. Tada je S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL. Dakle, površina trokuta KXL je konstantna, tj. točka X leži na liniji paralelnoj s KL.

    4. Na ravnini su zadane točke A i B. Pronađite GMT M za koji je razlika kvadrata duljina odsječaka AM i BM konstantna.

    Rješenje: Uvodimo koordinatni sustav odabirom točke A za ishodište i usmjeravanjem osi Ox duž zraka AB. Neka točka M ima koordinate (x, y). Tada je AM 2 = x 2 + y 2 i BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , gdje je a = AB. Stoga AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Ova vrijednost je jednaka k za točke M s koordinatama ((a 2 + k)/2a, y); sve takve točke leže na pravcu okomitom na AB.

    5. Zadan je pravokutnik ABCD. Pronađite GMT X za koji je AX + BX = CX + DX.

    Rješenje: Neka je l pravac koji prolazi središtima stranica BC i AD. Pretpostavimo da točka X ne leži na pravcu l, na primjer, da točke A i X leže na istoj strani pravca l. Zatim AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

    6. Zadana su dva pravca koji se sijeku u točki O. Nađite GMT X za koji je zbroj duljina projekcija odsječaka OX na ove prave konstantan.

    Rješenje: Neka su a i b jedinični vektori paralelni zadanim crtama; x je jednako vektoru x. Zbroj duljina projekcija vektora x na zadane prave jednak je |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, a promjena predznaka se događa na okomicama podignutim iz točke O na zadane prave. Stoga je željeni GMT pravokutnik čije su stranice paralelne sa simetralama kutova između zadanih pravaca, a vrhovi leže na naznačenim okomicama.

    7. Zadana je kružnica S i točka M izvan nje. Kroz točku M povučene su sve moguće kružnice S 1 koje sijeku kružnicu S; X - točka presjeka tangente u točki M na kružnicu S 1 s nastavkom zajedničke tetive kružnica S i S 1 . Pronađite GMT X.

    Rješenje: Neka su A i B sjecišta kružnica S i S 1 . Tada je XM 2 = XA . XB \u003d XO 2 - R 2, gdje su O i R središte i polumjer kružnice S. Dakle, XO 2 - XM 2 \u003d R 2, što znači da točke X leže na okomici na pravac OM.

    8. Zadane su dvije kružnice koje se ne sijeku. Pronađite mjesto točaka središta kružnica koje dijele dane kružnice (tj. sijeku ih u dijametralno suprotnim točkama).

    Rješenje: Neka su O 1 i O 2 središta ovih kružnica, R 1 i R 2 su njihovi polumjeri. Krug polumjera r sa središtem X siječe prvu kružnicu u dijametralno suprotnim točkama ako i samo ako je r 2 \u003d XO 1 2 + R 1 2, stoga se željeni GMT sastoji od točaka X takvih da je XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2 , sve takve točke X leže na pravcu okomitom na O 1 O 2 .

    9. Unutar kružnice uzima se točka A. Pronađite mjesto presjeka tangenti na kružnicu povučenu kroz krajeve svih mogućih tetiva koje sadrže točku A.

    Rješenje: Neka je O središte kružnice, R njegov polumjer, M točka presjeka tangenti povučenih kroz krajeve tetive koja sadrži točku A, P središte te tetive. Tada je OP * OM = R 2 i OP = OA cos f, gdje je f = AOP. Dakle, AM 2 \u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2, što znači da je vrijednost OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 konstantna. Prema tome, sve točke M leže na pravcu okomitom na OA.

    10. Pronađite mjesto točaka M koje leže unutar romba ABCD i imaju svojstvo da je AMD + BMC = 180 o .

    Rješenje: Neka je N točka takva da su vektori MN = DA. Tada je NAM = DMA i NBM = BMC, pa je AMBN upisani četverokut. Dijagonale upisanog četverokuta AMBN jednake su, pa AM| BN ili BM| AN. U prvom slučaju AMD = MAN = AMB, au drugom slučaju BMC = MBN = BMA. Ako je AMB = AMD, tada je AMB + BMC = 180 o i točka M leži na dijagonali AC, a ako je BMA = BMC, tada točka M leži na dijagonali BD. Također je jasno da ako točka M leži na jednoj od dijagonala, tada je AMD + BMC = 180 o .

    11. a) Zadan je paralelogram ABCD. Dokažite da veličina AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 ne ovisi o izboru točke X.

    b) Četverokut ABCD nije paralelogram. Dokažite da sve točke X koje zadovoljavaju odnos AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 leže na istoj pravoj liniji okomitoj na segment koji spaja sredine dijagonala.

    Rješenje: Neka su P i Q sredine dijagonala AC i BD. Tada je AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 i BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, dakle, u zadatku b), željeni HMT sastoji se od točaka X takvih da je PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4, a u zadatku a) P = Q, pa je količina koja se razmatra jednaka (BD 2 - AC 2)/2.


    Književnost

    1. Pogorelov A.V. Geometrija: udžbenik za 7.-9. razred obrazovnih ustanova. - M.: Prosvjeta, 2000, str. 61.

    2. Savin A.P. Metoda geometrijskih mjesta / Izborni predmet iz matematike: Udžbenik za 7.-9. razred srednje škole. Comp. I.L. Nikolskaya. - M .: Obrazovanje, 1991, str. 74.

    3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometrija: udžbenik za 7.-9. razred obrazovnih ustanova. – M.: Mnemosyne, 2005., str. 84.

    4. Sharygin I.F. Geometrija. 7-9 razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove. – M.: Drfa, 1997., str. 76.

    5. Internetski resurs: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm





    Informacijska uzročnost interakcija (neutralizacija entropije), povezana s procesima refleksije stupnjeva reda (pobuđenosti), posjedovanjem univerzalnog sustava prostorno-vremenskih odnosa, alociraju "apsolutni kvant" u fenomenalni fenomen fizičke prirode. To može biti neočekivano materijalno utjelovljenje te početne aktivne tvari, čiji objektivni idealizam, ...


    Q(y) takvog presjeka je jednak, pri čemu se pretpostavlja da je y konstantan tijekom integracije. Integrirajući zatim Q(y) unutar raspona od y, tj. od c do d, dolazimo do drugog izraza za dvostruki integral (B). Ovdje se integracija izvodi prvo preko x, a zatim preko y. .Formule (A) i (B) pokazuju da se izračun dvostrukog integrala svodi na sekvencijalni izračun dvaju običnih ...

    Geometrija je znanost koja proučava prostorne odnose i oblike objekata.

    Euklidska geometrija je geometrijska teorija koja se temelji na sustavu aksioma koji je prvi put izložen u Euklidovim elementima.

    Geometrija Lobačevskog (hiperbolička geometrija)- jedna od neeuklidskih geometrija, geometrijska teorija koja se temelji na istim osnovnim pretpostavkama kao i obična euklidska geometrija, s izuzetkom aksioma paralelnih pravaca, koji je zamijenjen aksiomom paralelnih pravaca Lobačevskog.

    Ravna linija omeđena na jednom kraju, a neograničena na drugom zove se zraka.

    Dio ravne linije omeđen s obje strane naziva se odsječak.

    Injekcija- Ovo je geometrijski lik kojeg čine dvije zrake (stranice kuta) koje izlaze iz jedne točke (vrh kuta). Koriste se dvije jedinice za mjerenje kutova: radijani i stupnjevi. Kut od 90° naziva se pravi kut; kut manji od 90° naziva se oštar kut; Kut veći od 90° naziva se tupim kutom.

    Susjedni kutovi su kutovi koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranu; druge dvije strane su jedna drugoj produžeci. Zbroj susjednih kutova je 180°. Vertikalni kutovi su dva kuta sa zajedničkim vrhom, u kojima su stranice jedne produžetke stranica druge.

    Simetrala kuta zove se zraka koja dijeli kut.

    Dva pravca nazivaju se paralelnima ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se, bez obzira koliko dugo se nastavljaju. Svi pravci paralelni s jednom linijom su međusobno paralelni. Sve okomice na isti pravac međusobno su paralelne, i obrnuto, pravac okomit na jedan od paralelnih pravaca okomit je na ostale. Duljina okomitog segmenta zatvorenog između dvije paralelne linije je udaljenost između njih. Kada se dva paralelna pravca sijeku s trećim pravcem, nastaje osam kutova koji se u paru nazivaju: odgovarajući kutovi (ovi kutovi su parno jednaki); unutarnji križno ležeći kutovi (jednaki su u parovima); vanjski križno ležeći kutovi (jednaki su u parovima); unutarnji jednostrani kutovi (njihov zbroj je 180°); vanjski jednostrani kutovi (njihov zbroj je 180°).

    Talesov teorem. Kada se stranice kuta sijeku paralelnim crtama, stranice kuta se dijele na proporcionalne segmente.

    Aksiomi geometrije. Aksiom pripadnosti: kroz bilo koje dvije točke na ravnini može se povući pravac i, osim toga, samo jednu. Aksiom reda: među bilo koje tri točke koje leže na pravoj, postoji najviše jedna točka koja leži između dvije druge.

    Aksiom kongruencije (jednakosti) segmenti i kutovi: ako su dva segmenta (kuta) sukladna trećem, onda su međusobno sukladna. Aksiom paralelnih pravaca: kroz bilo koju točku koja leži izvan pravca moguće je povući još jednu liniju paralelnu s danom, i štoviše, samo jednu.

    Aksiom kontinuiteta (Arhimedov aksiom): za bilo koja dva odsječka AB i CD postoji konačan skup točaka A1, A2, …, An koji leži na pravoj AB, tako da su segmenti AA1, A1A2, …, An-1An su sukladni segmentu CD, a točka B leži između A i An.

    Ravni lik formiran zatvorenim lancem segmenata naziva se poligon.
    Ovisno o broju kutova, mnogokut može biti trokut, četverokut, peterokut, šesterokut itd. Zbroj duljina naziva se perimetar i označava se p.
    Ako sve dijagonale leže unutar poligona, naziva se konveksan. Zbroj unutarnjih kutova konveksnog poligona je 180°*(n-2), gdje je n broj kutova (ili stranica) poligona.

    Trokut je poligon s tri strane (ili tri ugla). Ako su sva tri kuta oštra, onda je to oštar trokut. Ako je jedan od kutova pravi, onda je to pravokutni trokut; stranice koje tvore pravi kut nazivaju se noge; strana nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza. Ako je jedan od kutova tup, onda je to tupokutni trokut. Trokut je jednakokračan ako su mu dvije stranice jednake. Trokut je jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake.

    U pravokutnom trokutu istinite su sljedeće relacije:

    Površina pravokutnog trokuta:

    Polumjer upisane kružnice:

    U proizvoljnom trokutu:

    Krug se može upisati u bilo koji pravilan poligon, a krug se može opisati oko njega:

    gdje je a stranica, n broj stranica poligona, R polumjer opisane kružnice, r polumjer upisane kružnice (apotem pravilnog poligona).

    Površina pravilnog poligona:

    Duljine stranica i dijagonala povezane su formulom:

    Osnovna svojstva trokuta:

    • nasuprot veće strane leži veći kut i obrnuto;
    • suprotne jednake stranice su jednaki kutovi i obrnuto;
    • zbroj kutova trokuta je 180°;
    • nastavljajući jednu od stranica trokuta, dobivamo vanjski kut. Vanjski kut trokuta jednak je zbroju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni;
    • Bilo koja strana trokuta manja je od zbroja druge dvije stranice i veća od njihove razlike.

    Znakovi jednakosti trokuta: trokuti su sukladni ako su jednaki:

    • dvije strane i kut između njih;
    • dva ugla i strana uz njih;
    • tri strane.

    Testovi jednakosti pravokutnog trokuta: dva pravokutna trokuta su sukladna ako je jedan od sljedećih uvjeta istinit:

    • noge su im jednake;
    • krak i hipotenuza jednog trokuta jednaki su katetama i hipotenuzi drugoga trokuta;
    • hipotenuza i oštar kut jednog trokuta jednaki su hipotenuzi i oštrom kutu drugog trokuta;
    • kateta i susjedni oštar kut jednog trokuta jednaki su kateta i susjednom oštrom kutu drugog;
    • krak i suprotni oštar kut jednog trokuta jednaki su kraku i nasuprot oštrom kutu drugog trokuta.

    Visina trokuta je okomica spuštena s bilo kojeg vrha na suprotnu stranu (ili njegov produžetak). Ova stranica se zove baza trokuta. Tri visine trokuta uvijek se sijeku u jednoj točki, koja se zove ortocentar trokuta. Ortocentar oštrog trokuta nalazi se unutar trokuta, a ortocentar tupokuta izvana; Ortocentar pravokutnog trokuta poklapa se s vrhom pravog kuta.

    Formula za visinu trokuta je:

    Medijan je odsječak koji povezuje bilo koji vrh trokuta sa središtem suprotne strane. Tri medijane trokuta sijeku se u jednoj točki, koja uvijek leži unutar trokuta i predstavlja njegovo težište. Ova točka dijeli svaki medijan 2:1 od vrha.

    Simetrala- ovo je segment simetrale kuta od vrha do točke presjeka sa suprotnom stranom. Tri simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki, koja uvijek leži unutar trokuta i središte je upisane kružnice. Simetrala dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
    Formula za simetralu trokuta je:

    Srednja okomita je okomica povučena iz sredine segmenta (stranice). Tri srednje okomice trokuta sijeku se u jednoj točki, koja je središte opisane kružnice. U oštrom trokutu ova točka leži unutar trokuta; u tupim - izvana; u pravokutnom - u sredini hipotenuze. Ortocentar, težište, središte opisane kružnice i središte upisane kružnice podudaraju se samo u jednakostraničnom trokutu.

    Pitagorin poučak. U pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta: c2 = a2 + b2.

    U općem slučaju (za proizvoljni trokut) imamo: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, gdje je C kut između stranica a i b.

    četverokut- lik formiran od četiri točke (vrhova), od kojih tri ne leže na istoj pravoj liniji, i četiri segmenta (stranice) koji ih spajaju u nizu, a koji se ne bi trebali sijeku.

    Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice parno paralelne. Bilo koje dvije suprotne strane paralelograma zovu se njegove baze, a razmak između njih naziva se njegova visina.

    Svojstva paralelograma:

    • suprotne strane paralelograma su jednake;
    • suprotni kutovi paralelograma su jednaki;
    • dijagonale paralelograma podijeljene su na pola u točki njihova sjecišta;
    • zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegove četiri strane.

    Područje paralelograma:

    Polumjer kružnice upisane u paralelogram:

    Pravokutnik je paralelogram čiji su svi kutovi jednaki 90°.

    Osnovna svojstva pravokutnika.
    Stranice pravokutnika su ujedno i njegove visine.
    Dijagonale pravokutnika su jednake: AC = BD.

    Kvadrat dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica (prema Pitagorinom teoremu).

    Površina pravokutnika: S=ab.

    Promjer pravokutnika:

    Polumjer kružnice opisane oko pravokutnika:

    Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake. Dijagonale romba međusobno su okomite i dijele svoje kutove na pola.

    Površina romba izražava se dijagonalama:

    Kvadrat je paralelogram s pravim kutovima i jednakim stranicama. Kvadrat je istovremeno poseban slučaj pravokutnika i romba, stoga ima sva njihova gore navedena svojstva.

    Površina kvadrata:

    Polumjer kružnice opisane oko kvadrata:

    Polumjer kružnice upisane u kvadrat:

    Kvadratna dijagonala:

    Trapez je četverokut s dvije suprotne strane paralelne. Paralelne stranice nazivaju se bazama trapeza, a druge dvije stranice. Udaljenost između baza je visina. Segment koji povezuje središnje točke strana naziva se središnja linija trapeza. Srednja linija trapeza je polovina zbroja baza i paralelna je s njima. Trapez s jednakim stranicama naziva se jednakokraki trapez. U jednakokračnom trapezu kutovi na svakoj osnovici su jednaki.

    Područje trapeza: , gdje su a i b baze, h je visina.

    Srednja linija trokuta je odsječak koji spaja sredine stranica trokuta. Srednja crta trokuta jednaka je polovici njegove baze i paralelna s njom. Ovo svojstvo proizlazi iz svojstva trapeza, budući da se trokut može smatrati slučajem degeneracije trapeza, kada jedna od njegovih baza postane točka.

    Sličnost ravninskih figura. Ako promijenite sve dimenzije ravne figure isti broj puta (omjer sličnosti), tada se stari i novi lik nazivaju sličnima. Dva su poligona slična ako su im kutovi jednaki, a stranice proporcionalne.

    Znakovi sličnosti trokuta. Dva su trokuta slična ako:

    • svi su im odgovarajući kutovi jednaki (dovoljna su dva kuta);
    • sve su im strane proporcionalne;
    • dvije stranice jednog trokuta proporcionalne su dvjema stranicama drugoga, a kutovi uključeni između ovih stranica su jednaki.

    Površine sličnih likova proporcionalne su kvadratima njihovih sličnih linija (npr. stranice, promjeri).

    Lokus točaka je skup svih točaka koje zadovoljavaju određene zadane uvjete.

    Krug- Ovo je mjesto točaka na ravnini jednako udaljenoj od jedne točke, koja se zove središte kružnice. Segment koji povezuje središte kružnice s bilo kojom njegovom točkom naziva se polumjer i označava se - r. Dio ravnine omeđen kružnicom naziva se kružnica. Dio kružnice naziva se luk. Ravna crta koja prolazi kroz dvije točke kružnice naziva se sekansa, a njezin segment koji leži unutar kružnice naziva se tetiva. Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se promjer i označava se d. Promjer je najveća tetiva, jednaka po veličini dvama polumjerima: d = 2r.

    Gdje je a realno, b je imaginarna poluos.

    Jednadžba ravnine u prostoru:
    Ax + By + Cz + D = 0,
    gdje su x, y, z pravokutne koordinate promjenjive točke ravnine, A, B, C su konstantni brojevi.
    Ravna crta koja prolazi kroz točku kružnice okomitu na polumjer povučen do te točke naziva se tangenta. Ova točka se zove dodirna točka.

    Svojstva tangente:

    • tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen do točke dodira;
    • iz točke izvan kružnice mogu se povući dvije tangente u istu kružnicu; segmenti su im jednaki.

    Segment- ovo je dio kružnice omeđen lukom i odgovarajućom tetivom. Duljina okomice povučene od sredine tetive do sjecišta s lukom naziva se visina segmenta.

    Sektor- ovo je dio kružnice omeđen lukom i dva polumjera povučena na krajeve ovog luka.

    Kutovi u krugu. Središnji kut je kut koji čine dva polumjera. Upisani kut je kut koji čine dvije tetive povučene iz njihove zajedničke točke. Opisani kut je kut koji čine dvije tangente povučene iz jedne zajedničke točke.

    Ova formula je osnova za određivanje radijanskog mjerenja kutova. Radijanska mjera bilo kojeg kuta je omjer duljine luka povučenog proizvoljnim polumjerom i zatvorenog između strana tog kuta i njegovog polumjera.

    Odnosi između elemenata kružnice.

    Upisani kut jednak je polovici središnjeg kuta na temelju istog luka. Stoga su svi upisani kutovi temeljeni na istom luku jednaki. A budući da središnji kut sadrži isti broj stupnjeva kao i njegov luk, svaki upisani kut mjeri se polovicom luka na kojem počiva.

    Svi upisani kutovi temeljeni na polukrugu su pravi kutovi.

    Kut koji čine dvije tetive mjeri se polovicom zbroja lukova zatvorenih između njegovih stranica.

    Kut koji čine dvije sekante mjeri se polovičnom razlikom lukova zatvorenih između njegovih stranica.

    Kut koji čine tangenta i tetiva mjeri se polovicom luka zatvorenog unutar njih.

    Kut koji čine tangenta i sekansa mjeri se polurazlikom lukova zatvorenih između njegovih stranica.

    Opisani kut, koji čine dvije tangente, mjeri se polovičnom razlikom lukova zatvorenih između njegovih stranica.

    Umnožak odsječaka tetiva na koje su podijeljeni točkom presjeka jednaki su.

    Kvadrat tangente jednak je umnošku sekansa i njegovog vanjskog dijela.

    Tetiva okomita na promjer prepolovljena je u njihovoj točki presjeka.

    Poligon se naziva upisanim u krug, čiji se vrhovi nalaze na kružnici. Poligon opisan u blizini kružnice je mnogokut čije su stranice tangente na kružnicu. Prema tome, kružnica koja prolazi kroz vrhove poligona naziva se opisana u blizini poligona; kružnica kojoj su stranice poligona tangente naziva se upisana kružnica. Za proizvoljan poligon nemoguće je u njega upisati i opisati kružnicu oko njega. Za trokut ta mogućnost uvijek postoji.

    Krug se može upisati u četverokut ako su zbroji njegovih suprotnih strana jednaki. Za paralelograme je to moguće samo za romb (kvadrat). Središte upisane kružnice nalazi se na presjeku dijagonala. Krug se može opisati oko četverokuta ako je zbroj njegovih suprotnih kutova 180°. Za paralelograme, to je moguće samo za pravokutnik (kvadrat). Središte opisane kružnice leži u točki presjeka dijagonala. Krug se može opisati oko trapeza ako je jednakokračan. Pravilan mnogokut je mnogokut s jednakim stranicama i kutovima.

    Pravilan četverokut je kvadrat; pravokutni trokut je jednakostranični trokut. Svaki kut pravilnog poligona jednak je 180°(n - 2)/n, gdje je n broj njegovih kutova. Unutar pravilnog poligona nalazi se točka O, jednako udaljena od svih njegovih vrhova, koja se naziva središtem pravilnog mnogokuta. Središte pravilnog poligona također je jednako udaljeno od svih njegovih strana. U pravilan mnogokut može se upisati krug, a oko njega se može opisati kružnica. Središta upisane i opisane kružnice podudaraju se sa središtem pravilnog mnogokuta. Polumjer opisane kružnice je polumjer pravilnog mnogokuta, a polumjer upisane kružnice njegov je apotem.

    Osnovni aksiomi stereometrije.

    Bez obzira na ravninu, postoje točke koje pripadaju ovoj ravnini i točke koje ne pripadaju.

    Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda se sijeku duž ravne linije koja prolazi kroz ovu točku.

    Ako dvije različite linije imaju zajedničku točku, onda se kroz njih može povući jedna i samo jedna ravnina.

    Kroz tri točke koje leže na jednoj pravoj crti može se povući beskonačan broj ravnina koje u ovom slučaju tvore snop ravnina. Prava crta kroz koju prolaze sve ravnine grede naziva se os grede. Kroz bilo koji pravac i točku izvan ovog pravca može se povući jedna i samo jedna ravnina. Kroz dvije linije nije uvijek moguće nacrtati ravninu, tada se te linije nazivaju kosi.

    Pravice koje se križaju se ne sijeku, koliko god da se nastavljaju, ali nisu paralelne, jer ne leže u istoj ravnini. Samo su paralelni pravci koji se ne sijeku kroz koje se može povući ravnina. Razlika između kosih i paralelnih linija je u tome što paralelne linije imaju isti smjer, ali kosine nemaju. Kroz dvije linije koje se sijeku uvijek se može povući jedna i samo jedna ravnina. Udaljenost između dviju kosih linija je duljina segmenta koji povezuje najbliže točke koje se nalaze na kosim linijama. Ravnine koje se ne sijeku nazivaju se paralelne ravnine. Ravnina i pravac ili se sijeku (u jednoj točki) ili se ne sijeku. U potonjem slučaju kaže se da su pravac i ravnina međusobno paralelne.

    Okomita ispuštena iz točke na ravninu je odsječak koji povezuje zadanu točku s točkom u ravnini i teče na ravnoj crti okomitoj na ravninu.

    Projekcija točke na ravninu je baza okomice spuštene iz točke na ravninu. Projekcija segmenta na ravninu P je segment čiji su krajevi projekcije točaka tog segmenta.

    Diedralni kut je lik kojeg čine dvije poluravnine s zajedničkom ravnom crtom koja ih omeđuje. Poluravnine se nazivaju lica, a ravna crta koja ih omeđuje naziva se rub diedralnog kuta. Ravnina okomita na rub daje kut u svom presjeku s poluravninama koji se naziva linearni kut diedralnog kuta. Diedarski kut mjeri se njegovim linearnim kutom.

    poliedarski kut. Ako kroz točku povučemo skup ravnina koje se sukcesivno sijeku duž ravnih linija, tada dobivamo lik koji se zove poliedarski kut. Ravnine koje tvore poliedarski kut nazivaju se njegove strane; linije po kojima se uzastopno sijeku lica nazivaju se bridovi poliedarskog kuta. Najmanji broj strana poliedarskog kuta je tri.

    Na rubovima poliedarskog kuta izrezane su paralelne ravnine, proporcionalni segmenti i tvore slične poligone.

    Znakovi paralelnosti ravne i ravnine.

    Ako je pravac koji leži izvan ravnine paralelan s bilo kojim pravcem koji leži u toj ravnini, tada je paralelan s tom ravninom.

    Ako su pravac i ravnina okomite na isti pravac, onda su paralelne.

    Znakovi paralelnih ravnina:

    • Ako su dva pravca u jednoj ravnini koja se sijeku paralelna s dva pravca koja se sijeku u drugoj ravnini, tada su te ravnine paralelne.
    • Ako su dvije ravnine okomite na isti pravac, onda su paralelne.
    • Znakovi okomitosti ravne i ravnine.
    • Ako je pravac okomit na dva pravca koja se sijeku u ravnini, onda je okomita na tu ravninu.
    • Ako je ravnina okomita na jedan od paralelnih pravaca, onda je ona okomita i na drugi.

    Ravna crta koja siječe ravninu i nije okomita na nju naziva se kosom na ravninu.

    Teorem o tri okomice

    Ravna crta koja leži u ravnini i okomita na projekciju kose ravnine na ovu ravninu također je okomita na samu kosu.

    Znakovi paralelnih linija u prostoru:

    • Ako su dva pravca okomita na istu ravninu, onda su paralelna.
    • Ako jedna od ravnina koje se sijeku sadrži pravac paralelan s drugom ravninom, tada je paralelan s linijom presjeka ravnina.

    Jednadžba ravne na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu xy:
    ax + bx + c = 0, gdje su a, b, c konstantni brojevi, a x i y koordinate varijabilne točke M(x,y) na pravoj.

    Znakovi paralelnih linija:

    Znak okomitosti ravnina: ako ravnina prolazi kroz pravac okomit na drugu ravninu, tada su te ravnine okomite.

    Teorem o zajedničkoj okomici na dvije nagnute linije. Za bilo koja dva pravca koja se sijeku postoji samo jedna zajednička okomica.

    Poliedar- ovo je tijelo čija se granica sastoji od komada ravnina (poligona). Ti se poligoni nazivaju lica, njihove stranice nazivaju se bridovi, njihovi vrhovi su vrhovi poliedra. Segmenti koji spajaju dva vrha, a ne leže na istoj površini nazivaju se dijagonale poliedra. Poliedar je konveksan ako su sve njegove dijagonale unutar njega.

    Kocka- trodimenzionalni lik sa šest jednakih lica.

    Volumen i površina kocke:

    Prizma je poliedar čije su dvije strane (baze prizme) jednaki poligoni s paralelnim stranicama, a preostale strane su paralelogrami.

    Segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove nazivaju se bočnim bridovima. Visina prizme je svaka okomica spuštena s bilo koje točke baze na ravninu druge baze. Ovisno o obliku poligona koji leži u osnovi, prizma može biti trokuta, četverokutna, peterokutna, šesterokutna itd. Ako su bočni rubovi prizme okomiti na ravninu baze, tada je takva prizma naziva se ravna linija; inače, to je kosa prizma. Ako pravilni mnogokut leži na bazi ravne prizme, tada se takva prizma naziva i pravilna. Dijagonala prizme je segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istom licu.

    Bočna površina ravne prizme:
    S strana \u003d P * H, gdje je P opseg baze, a H visina.

    Paralelopiped je prizma čije su baze paralelogrami. Dakle, paralelepiped ima šest lica i sve su paralelogrami. Suprotna lica su u paru jednaka i paralelna. Paralelepiped ima četiri dijagonale; svi se sijeku u jednoj točki i u njoj se dijele na pola.

    Ako su četiri bočne strane paralelepipeda pravokutnici, onda se naziva ravnim. Pravi paralelepiped, u kojemu su svih šest lica pravokutnici, naziva se pravokutni. Dijagonala pravokutnog paralelepipeda d i njegovi bridovi a, b, c povezani su relacijom d2 = a2 + b2 + c2. Pravokutni paralelepiped, čija su sva lica kvadrati, naziva se kocka. Svi rubovi kocke su jednaki.

    Volumen i površina pravokutnog paralelepipeda:
    V = a*b*c, S ukupno = 2(ab + ac + bc).

    Piramida je poliedar u kojemu je jedno lice (osnova piramide) proizvoljan mnogokut, a preostale strane (bočne strane) su trokuti sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide. Okomica spuštena s vrha piramide na njenu bazu naziva se visina piramide. Ovisno o obliku poligona koji leži u podnožju, piramida može biti trokutasta, četverokutna, peterokutna, šesterokutna itd. Trokutasta piramida je tetraedar, četverokutna piramida je pentaedar itd. Piramida se naziva pravilna. ako baza leži poligon, a njegova visina pada na središte baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su jednaki; sve bočne strane su jednakokračni trokuti. Visina bočne strane naziva se apotemom pravilne piramide.

    Ako nacrtamo presjek paralelan s bazom piramide, tada se tijelo zatvoreno između ovih ravnina i bočne površine naziva krnjom piramidom. Paralelna lica nazivaju se bazama; udaljenost između njih je visina. Skraćena piramida naziva se ispravnom ako je piramida iz koje je dobivena ispravna. Sve bočne strane pravilne krnje piramide su jednaki jednakokračni trapezi.

    Bočna površina pravilne piramide:
    , gdje je P perimetar baze; h je visina bočne strane (apotema pravilne piramide).

    Volumen krnje piramide:

    Bočna površina pravilne skraćene piramide:
    ,
    gdje su P i P' perimetri baza; h je visina bočne strane (apotema pravilne krnje piramide).

    Cilindrična ploha nastaje pomicanjem ravne linije koja zadržava svoj smjer i siječe se zadanom linijom (krivuljom). Ova linija se zove smjernica. Prave linije koje odgovaraju različitim položajima ravne linije dok se kreće nazivaju se generatorima cilindrične površine.

    Cilindar je tijelo omeđeno cilindričnom površinom sa zatvorenom vodilicom i dvije paralelne ravnine. Dijelovi tih ravnina nazivaju se bazama cilindra. Udaljenost između baza je visina cilindra. Cilindar je ravan ako su mu generatori okomiti na bazu; inače je cilindar nagnut. Cilindar se naziva kružnim ako mu je baza kružnica. Ako je cilindar i ravan i okrugao, onda se naziva okruglim. Prizma je poseban slučaj cilindra.

    Volumen, površina bočne i pune površine cilindra:
    ,
    gdje je R polumjer baza; H je visina cilindra.

    Cilindrični presjeci bočne površine kružnog cilindra.

    Presjeci paralelni s bazom su kružnice istog polumjera.

    Sekcije paralelne s generatorima cilindra su parovi paralelnih linija.

    Presjeci koji nisu paralelni ni s bazom ni s generatorima su elipse.

    Konusna ploha nastaje kada se ravna linija kreće, prolazeći cijelo vrijeme kroz fiksnu točku i siječe zadanu liniju, koja se zove vodilica. Pravci koji odgovaraju različitim položajima linije dok se ona giba nazivaju se generatricijama stožaste površine; točka je njegov vrh. Konusna površina sastoji se od dva dijela: jedan je opisan zrakom, drugi svojim nastavkom.

    Obično se jedan od njegovih dijelova smatra konusnom površinom.

    Konus- ovo je tijelo omeđeno jednim od dijelova stožaste plohe sa zatvorenom vodilicom i ravninom koja siječe stožastu plohu koja ne prolazi kroz vrh.

    Dio ove ravnine koji se nalazi unutar stožaste površine naziva se baza stošca. Okomica spuštena s vrha na bazu naziva se visina stošca.

    Piramida je poseban slučaj stošca. Konus se naziva kružnim ako mu je baza kružnica. Ravna crta koja povezuje vrh stošca sa središtem baze naziva se os stošca. Ako se visina kružnog stošca poklapa s njegovom osi, onda se takav stožac naziva kružnim.

    Volumen, površina bočne i pune površine stošca:
    ,
    gdje je r polumjer; Sosn - područje; P je opseg baze; L je duljina generatrise; H je visina stošca.

    Volumen i površina bočne površine krnjeg stošca:

    Konusni presjeci.

    Presjeci kružnog stošca paralelni s njegovom bazom su kružnice.

    Presjek koji siječe samo jedan dio kružnog stošca i nije paralelan ni s jednim od njegovih generatora je elipsa.

    Presjek koji siječe samo jedan dio kružnog stošca i paralelan je s jednim od njegovih generatora je parabola.

    Presjek koji siječe oba dijela kružnog stošca općenito je hiperbola koja se sastoji od dvije grane. Konkretno, ako ovaj presjek prolazi kroz os stošca, tada dobivamo par linija koje se sijeku (tvore stožac).

    sferna površina- ovo je mjesto točaka u prostoru, jednako udaljenih od jedne točke, koja se naziva središtem sferne površine.

    Lopta (sfera) je tijelo omeđeno sfernom površinom. Lopticu možete dobiti okretanjem polukruga (ili kruga) oko promjera. Svi ravni presjeci kugle su kružnice. Najveći krug leži u presjeku koji prolazi kroz središte lopte i zove se veliki krug. Njegov je polumjer jednak polumjeru kugle. Bilo koje dvije velike kružnice sijeku se u promjeru lopte. Ovaj promjer je također promjer velikih kružnica koje se sijeku. Kroz dvije točke sferne površine koje se nalaze na krajevima istog promjera moguće je nacrtati beskonačan broj velikih kružnica.

    Volumen kugle je jedan i pol puta manji od volumena cilindra opisanog oko nje, a površina kugle je jedan i pol puta manja od ukupne površine istog cilindra.

    Jednadžba kugle u pravokutnom koordinatnom sustavu je:
    (x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
    ovdje su x, y, z koordinate promjenjive točke na sferi;
    x0, y0, z0 - koordinate središta;
    R je polumjer kugle.

    Volumen kugle i površina kugle:

    Volumen sfernog segmenta i površina segmentirane površine:
    ,
    gdje je h visina sfernog segmenta.

    Volumen i ukupna površina sfernog sektora:
    ,
    gdje je R polumjer kuglice; h je visina sfernog segmenta.

    Volumen i ukupna površina sfernog sloja:
    ,
    gdje je h visina; r1 i r2 su polumjeri baza sfernog sloja.

    Volumen i površina torusa:
    ,
    gdje je r polumjer kružnice; R je udaljenost od središta kružnice do osi rotacije.

    Prosječna zakrivljenost površine S u točki A0:

    dijelovi lopte. Dio kugle (sfere), odsječen od nje bilo kojom ravninom, naziva se sferni (sferni) segment. Krug se naziva baza sfernog segmenta. Odsječak okomice povučen od središta kružnice do sjecišta sa sfernom površinom naziva se visina sfernog segmenta. Dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravnine koje sijeku sfernu površinu naziva se sferni sloj; zakrivljena površina sfernog sloja naziva se sferni pojas (zona). Udaljenost između baza sfernog pojasa je njegova visina. Dio lopte omeđen zakrivljenom površinom sfernog segmenta i stožastom plohom, čija je baza baza segmenta, a vrh središte lopte, naziva se sferni sektor.

    Simetrija.

    Zrcalna simetrija. Za geometrijski lik se kaže da je simetričan u odnosu na ravninu S ako se za svaku točku E ove figure može pronaći točka E' iste figure, tako da je segment EE' okomit na ravninu S i podijeljen je s ovaj avion na pola. Ravnina S naziva se ravnina simetrije. Simetrični likovi, predmeti i tijela nisu međusobno jednaki u užem smislu riječi, nazivaju se zrcalno jednaki.

    središnja simetrija. Za geometrijski lik se kaže da je simetričan u odnosu na središte C ako se za svaku točku A ovog lika može pronaći točka E istog lika, tako da segment AE prolazi središtem C i u toj je točki prepolovljen. Točka C u ovom slučaju naziva se središtem simetrije.

    simetrija rotacije. Tijelo ima rotacijsku simetriju ako se, kada se zakrene za kut od 360° / n (n je cijeli broj) oko neke ravne crte AB (os simetrije), potpuno poklapa sa svojim početnim položajem. Za n=2 imamo aksijalnu simetriju.

    Primjeri vrsta simetrije. Kugla (sfera) ima središnju i zrcalnu simetriju i rotacijsku simetriju. Središte simetrije je središte lopte; ravnina simetrije je ravnina bilo kojeg velikog kruga; os simetrije je promjer lopte.

    Okrugli konus je aksijalno simetričan; os simetrije je os stošca.

    Ravna prizma ima zrcalnu simetriju. Ravnina simetrije paralelna je s njezinim bazama i nalazi se na istoj udaljenosti između njih.

    Simetrija ravninskih figura.

    Simetrija osi zrcala. Ako je ravninski lik simetričan u odnosu na ravninu (što je moguće samo ako je ravninski lik okomit na tu ravninu), tada je pravac po kojoj se te ravnine sijeku os simetrije drugog reda ove figure. U ovom slučaju, lik se naziva zrcalno-simetričnim.

    središnja simetrija. Ako ravni lik ima os simetrije drugog reda, okomitu na ravninu lika, tada je točka u kojoj se pravac i ravnina lika sijeku centar simetrije.

    Primjeri simetrije ravnih likova.

    Paralelogram ima samo središnju simetriju. Njegovo središte simetrije je presjek dijagonala.
    Jednakokraki trapez ima samo aksijalnu simetriju. Njegova os simetrije je okomica povučena kroz sredine baza trapeza.

    Romb ima središnju i aksijalnu simetriju. Njegova os simetrije je bilo koja od njegovih dijagonala; središte simetrije je točka njihova presjeka.

    Mjesto točaka (u daljnjem tekstu GMT) je ravna figura koja se sastoji od točaka s određenim svojstvom, a ne sadrži niti jednu točku koja nema to svojstvo.

    Razmotrit ćemo samo one HMT-ove koji se mogu konstruirati pomoću šestara i ravnala.

    Razmotrimo HMT na ravnini, koji imaju najjednostavnija i najčešće izražena svojstva:

    1) HMT, razmaknut na zadanoj udaljenosti r od zadane točke O, je kružnica sa središtem u točki O polumjera r.

    2) GMT točaka A i B jednako udaljenih od dvije zadane točke je pravac okomit na odsječak AB i prolazi kroz njegovu sredinu.

    3) GMT jednako udaljen od dvije zadane linije koje se sijeku, postoji par međusobno okomitih pravaca koji prolaze kroz točku presjeka i dijele kutove između zadanih pravaca na pola.

    4) GMT, udaljeni na istoj udaljenosti h od ravne, postoje dvije ravne linije paralelne s ovom ravnom crtom i smještene na suprotnim stranama od nje na zadanoj udaljenosti h.

    5) Mjesto središta kružnica koje dodiruju zadanu ravnu crtu m u danoj točki M na njoj je okomica na AB u točki M (osim točke M).

    6) Mjesto središta kružnica koje dodiruju zadanu kružnicu u zadanoj točki M na njoj je ravna crta koja prolazi točkom M i središtem zadane kružnice (osim točaka M i O).

    7) HMT, čiji je segment vidljiv pod određenim kutom, dva su luka kružnica opisana na danom segmentu i zatvaraju zadani kut.

    8) GMT, udaljenosti od kojih su dvije zadane točke A i B u omjeru m: n, je kružnica (naziva se Apolonijeva kružnica).

    9) Mjesto središnjih točaka tetiva povučenih iz jedne točke kružnice je kružnica izgrađena na segmentu koji povezuje danu točku sa središtem dane kružnice, kao na promjeru.

    10) Geografsko mjesto vrhova trokuta jednakih danoj veličini i zajedničke baze su dvije ravne linije koje su paralelne s bazom i prolaze kroz vrh zadanog trokuta i simetrične su na njega u odnosu na pravac koji sadrži bazu.

    Navedimo primjere pronalaženja GMT.

    PRIMJER 2.Pronađite GMT, koje su sredine akorda,povučen iz jedne točke zadane kružnice(GMT br. 9).

    Odluka . Neka je dana kružnica sa središtem O i odabrana točka A na toj kružnici iz koje se povlače tetive. Pokažimo da je željeni HMT kružnica izgrađena na AO kao promjer (osim točke A) (slika 3).

    Neka je AB tetiva, a M njegova sredina. Spojimo M i O. Tada MO ^ AB (polumjer koji tetivu dijeli na pola je okomit na ovu tetivu). Ali, tada je RAMO = 90 0 . Dakle, M pripada krugu promjera AO (GMT br. 7). Jer ovaj krug prolazi točkom O, tada O pripada našem GMT.


    Obrnuto, neka M pripada našem GMT-u. Zatim, povlačeći tetivu AB kroz M i spajajući M i O, dobivamo da je RAMO = 90 0 , t.j. MO ^ AB, i, prema tome, M je sredina tetive AB. Ako se M podudara s O, tada je O središte AC.

    Često vam metoda koordinata omogućuje pronalaženje GMT.

    PRIMJER 3.Pronađite GMT, udaljenost od koje su do dvije zadane točke A i B u danom omjeru m: n (m ≠ n).

    Odluka . Pravokutni koordinatni sustav biramo tako da se točke A i B nalaze na osi Ox simetrično u odnosu na ishodište koordinata, a os Oy prolazi sredinom AB (slika 4.). Postavljamo AB = 2a. Tada točka A ima koordinate A (a, 0), točka B ima koordinate B (-a, 0). Neka C pripada našem HMT-u, koordinate C(x, y) i CB/CA = m/n. Ali Sredstva

    (*)

    Promijenimo našu jednadžbu. Imamo

    Tijela se međusobno razlikuju po težini, boji, gustoći, tvrdoći, prostoru koji zauzimaju itd.

    Ti se znakovi nazivaju svojstva tijela.

    Tijela s tim svojstvima nazivaju se fizička tijela.

    Između ovih svojstava, svojstvo tijela tzv duljina.

    Duljina tamo je svojstvo tijela da zauzima određeno mjesto u prostoru.

    To se zove geometrijsko svojstvo tijela. Ovo svojstvo određuje oblik i veličinu tijela.

    Tijelo koje ima samo jedno svojstvo proširenja naziva se geometrijsko tijelo. S obzirom na geometrijsko tijelo, obratite pozornost samo na njegov oblik i veličinu.

    Preostala svojstva tijela nazivaju se fizičkim.

    geometrijsko tijelo tamo je prostor koji zauzima fizičko tijelo.

    Geometrijsko tijelo ograničeno je sa svih strana. Od ostatka prostora odvojen je površinom tijela. Da bi to izrazili, kažu ono

    Površinski tamo je tjelesna granica.

    Jedna površina je odvojena od druge linijom. Linija definira plohu, pa se linija naziva granicom plohe.

    Crta tamo je površinska granica.

    Kraj linije naziva se točka. Točka omeđuje i odvaja jednu liniju od druge, zbog čega se točka naziva granica linije.

    Točka tamo je granica linije.

    Na slici 1 prikazano je tijelo u obliku kutije zatvorene sa svih strana. Omeđena je sa šest strana koje čine površinu kutije. Svaka strana kutije može se promatrati kao zasebna površina. Ove strane su odvojene jedna od druge s 12 linija koje čine rubove kutije. Linije su međusobno odvojene s 8 točaka koje čine kutove kutije.

    Tijela, površine i linije nisu iste veličine. To znači da zauzimaju nejednak prostor ili nejednak opseg.

    volumen tijela. Vrijednost geometrijskog tijela naziva se volumen ili kapacitet tijela.

    površina. Površina se naziva površina.

    Duljina linije. Duljina linije naziva se duljina.

    Duljina, površina i volumen su heterogene veličine. Mjere se u različitim jedinicama i koriste se u različite svrhe. Da biste pronašli udaljenost dvaju predmeta, širinu kraka, dubinu bunara, visinu tornja, odredite duljinu linije. Za to se vrši samo jedno mjerenje, odnosno mjerenje u jednom smjeru. Prilikom mjerenja pribjegavajte jedinicama duljine. Ove jedinice dužine nazivaju se versti, saženi, aršini, stope, metri itd. Jedinica dužine ima jednu dimenziju, zbog čega kažu da

    Linije imaju jednu dimenziju. Linije nemaju ni širinu ni debljinu. Iste su dužine.

    Da biste imali ideju o veličini slike, morate znati njezinu duljinu i širinu. Duljina i širina daju predodžbu o površini slike. Za određivanje područja bilo je potrebno napraviti dva mjerenja, odnosno izmjeriti sliku u dva smjera. Za određivanje veličine površine koriste se jedinice površine. Kao jedinica površine uzima se kvadrat čije stranice imaju određenu jedinicu duljine. Jedinice površine nazivaju se kvadratne milje, kvadratne verste, kvadratne stope itd. Kvadratna versta je površina kvadrata čija je svaka strana jednaka versti i tako dalje. Jedinica površine ima dvije dimenzije: dužina i širina. Budući da se površine mjere u jedinicama površine, u tom smislu kažu to

    Površine imaju dvije dimenzije. Površine nemaju debljinu. Mogu imati samo duljinu i širinu.

    Da biste imali ideju o kapacitetu sobe ili kutije, morate znati njihov volumen. Da biste to učinili, morate znati duljinu, širinu i visinu prostorije, odnosno napraviti tri mjerenja ili je izmjeriti u tri smjera. Zapremine se mjere u jedinicama volumena. Kao jedinica volumena uzima se kocka čija je svaka strana jednaka jedan. Jedinice volumena imaju tri dimenzije: duljinu, širinu i visinu. Budući da se volumeni mjere u jedinicama volumena, kažemo to

    Tijela imaju tri dimenzije.

    Jedinice volumena nazivaju se kubičnim verstima, kubičnim stopama itd. Ovisno o duljini stranice kocke.

    Točka nema dužinu, širinu, visinu ili točka nema dimenziju.

    geometrijski nastavci. Prave, plohe i tijela nazivaju se geometrijskim ekstenzijama.

    Geometrija je znanost o svojstvima i mjerenju geometrijskih produžetaka.

    Geometrija je znanost o prostoru. Postavlja skup potrebnih odnosa povezanih s prirodom prostora.

    Formiranje geometrijskih opsega kretanjem

    Pravu se može promatrati na isti način kao trag koji je ostavljen kretanjem točke, plohu kao trag koji ostavlja pomicanje pravca, a tijelo kao trag koji ostavlja kretanje plohe. Druge definicije linije, površine i čvrstog tijela temelje se na tim razmatranjima.

    Crta je mjesto pokretne točke.

    Površinski je mjesto pokretne linije.

    Tijelo je mjesto pokretne površine.

    Svi predmeti koji se razmatraju u prirodi imaju tri dimenzije. U njemu nema točaka, nema linija, nema površina, već postoje samo tijela. Međutim, u geometriji se točke, linije i plohe razmatraju odvojeno od tijela. Istodobno, vrlo tanka ljuska tijela daje nam neki približni vizualni prikaz površine, vrlo tanka nit ili kosa daje nam vizualni prikaz linije, a kraj niti oko točke.

    linije

    Linije se dijele na ravne, izlomljene i krivulje.

    je najkraća udaljenost između dvije točke.

    Čvrsto razvučena tanka nit daje vizualni prikaz ravne linije.

    Bilo koja linija označena je slovima postavljenim u njezinim točkama. Crtež 2 prikazuje ravnu liniju AB. U svakoj pravoj liniji pozornost se skreće na svoje smjer i vrijednost.

    Smjer ravne linije određen je njezinim položajem.

    postoji niz i kontinuirana veza nekoliko ravnih linija koje imaju različite smjerove.

    Izlomljenu liniju ABCD (sl. 3) čine prave linije AB, BC, CD, koje nemaju isti smjer.

    postoji jedan koji se ne može sastaviti od ravnih linija.

    Linija prikazana na sl. 4, bit će zakrivljena linija.

    Linija sastavljena od ravnih linija i krivulja ponekad se naziva složena linija.

    Crtež (4, a) predstavlja takvu složenu liniju.

    površine

    Površine se dijele na ravne ili ravne i zakrivljene. Ravna površina naziva se ravnina.

    Avion. Površina se naziva ravninom kada svaka ravna crta povučena kroz svake dvije točke plohe leži na njoj sa svim svojim točkama.

    Zakrivljena površina postoji jedan koji se ne može sastaviti od ravnina.

    Ravna crta povučena između bilo koje dvije točke krivulje ne stane na nju sa svim svojim međutočkama.

    Neki vizualni prikaz ravnine daje površina dobro uglačanog zrcala ili površina stajaće vode. Primjer zakrivljenih površina je površina biljarske lopte.

    Dijelovi geometrije

    Geometrija se dijeli na planimetriju i čvrstu geometriju.

    Planimetrija proučava svojstvo geometrijskih produžetaka razmatranih na ravnini.

    Stereometrija proučava svojstva takvih geometrijskih nastavaka koji se ne mogu prikazati u jednoj ravnini.

    Planimetrija se naziva geometrija na ravni, stereometrija - geometrija u prostoru.

    Geometrija se dalje dijeli na primarnu i višu. U ovom radu prikazana je samo početna geometrija.

    Različiti oblici izražavanja geometrijskih istina

    Geometrijske istine izražavaju se u obliku aksioma, teorema, lema i problema ili problema.

    Aksiom postoji istina, ali njeni dokazi ne zahtijevaju dokaze.

    Primjeri istina koje ne zahtijevaju dokaz su sljedeći aksiomi:

      Cjelina je jednaka zbroju svojih dijelova.

      Cjelina je veća od svog dijela. Dijelovi su manji od cjeline.

      Dvije količine jednake istoj trećini jednake su jedna drugoj.

      Jednakim zbrajanjem ili oduzimanjem jednakih količina dobivamo jednake količine.

      Zbrajanjem ili oduzimanjem od jednakih vrijednosti ne jednako, dobivamo nejednake vrijednosti.

      Zbrajanjem ili oduzimanjem jednako od nejednakih vrijednosti, dobivamo nejednake vrijednosti.

      Zbroj većih je veći od zbroja manjih.

      Homogena veličina, koja nije ni više ni manja od druge, jednaka joj je itd.

    Teorema. Teorem ili pretpostavka je istina koja zahtijeva dokaz..

    Dokaz je skup argumenata koji čine teorem očitim.

    Teorem je dokazan uz pomoć aksioma.

    Sastav teorema. Svaki se teorem sastoji od uvjeta i zaključka.

    Stanje se ponekad naziva pretpostavka, pretpostavka, a zaključak se ponekad naziva posljedica. Uvjet je zadan i stoga ponekad dobiva ime dano.

    Teorem se naziva inverznim ako zaključak postane uvjet, a uvjet ili pretpostavka zaključak. U ovom slučaju ovaj se teorem naziva izravnim. Nema svaki teorem svoj inverz.

    Problem ili izazov postoji pitanje koje se može riješiti uz pomoć teorema.

    Lema je pomoćna istina koja olakšava dokaz teorema.

    Niste pronašli odgovor na svoje pitanje? Pogledaj ovdje
    IgraIgra "Skyrim": svi vriskovi Skyrim vrišti od 4 riječi
    The Elder Scrolls V: SkyrimThe Elder Scrolls V: Skyrim
    The Elder Scrolls V: Skyrim WalkthroughThe Elder Scrolls V: Skyrim Walkthrough