Definirajte loptu. Sfera, lopta, segment i sektor

Lopta je tijelo koje se sastoji od svih točaka u prostoru koje se nalaze od date točke na udaljenosti ne većoj od zadane. Ta se točka naziva središtem lopte, a ta se udaljenost naziva polumjerom lopte. Granica lopte naziva se sferna ploha ili sfera. Točke sfere su sve točke lopte koje su udaljene od središta na udaljenost jednaku polumjeru. Bilo koji segment koji povezuje središte lopte s točkom na sfernoj površini također se naziva radijus. Isječak koji prolazi središtem lopte i spaja dvije točke na sfernoj površini naziva se promjer. Krajevi bilo kojeg promjera nazivaju se dijametralno suprotnim točkama lopte.

Lopta je tijelo rotacije, baš kao stožac i valjak. Lopta se dobije rotiranjem polukruga oko njegovog promjera kao osi.

Površina lopte može se pronaći pomoću formula:

gdje je r polumjer lopte, d je promjer lopte.

Volumen lopte nalazi se po formuli:

V = 4 / 3 πr 3,

gdje je r polumjer lopte.

Teorema. Svaki presjek lopte ravninom je krug. Središte tog kruga je osnovica okomice povučene iz središta lopte na reznu ravninu.

Na temelju ovog teorema, ako je lopta sa središtem O i polumjerom R presječena ravninom α, tada presjek rezultira kružnicom polumjera r sa središtem K. Polumjer presjeka lopte ravninom može se pronaći po formuli

Iz formule je jasno da ravnine jednako udaljene od središta sijeku loptu u jednakim kružnicama. Polumjer presjeka je veći što je rezna ravnina bliža središtu kugle, odnosno što je udaljenost OK manja. Najveći radijus ima presjek ravninom koja prolazi središtem lopte. Polumjer te kružnice jednak je polumjeru lopte.

Ravnina koja prolazi središtem lopte naziva se središnja ravnina. Odsječak lopte dijametralnom ravninom naziva se veliki krug, a odsjek sfere naziva se veliki krug, a odsjek sfere naziva se veliki krug.

Teorema. Svaka dijametralna ravnina lopte je njena ravnina simetrije. Središte lopte je njezino središte simetrije.

Ravnina koja prolazi točkom A sferne plohe i okomita je na polumjer povučen u točku A naziva se tangentna ravnina. Točka A naziva se tangenta.

Teorema. Tangentna ravnina ima samo jednu zajedničku točku s loptom – točku dodira.

Pravac koji prolazi kroz točku A sferne plohe okomito na polumjer povučen u tu točku naziva se tangenta.

Teorema. Kroz bilo koju točku sferne plohe prolazi beskonačan broj tangenti i sve one leže u tangentnoj ravnini lopte.

Sferni segment je dio lopte koji je od njega odsječen ravninom. Kružnica ABC je baza sfernog segmenta. Okomit isječak MN povučen iz središta N kružnice ABC do sjecišta sa sfernom plohom je visina sfernog isječka. Točka M je vrh sfernog segmenta.

Površina sfernog segmenta može se izračunati pomoću formule:

Volumen sfernog segmenta može se pronaći pomoću formule:

V = πh 2 (R – 1/3h),

gdje je R radijus velikog kruga, h je visina sfernog segmenta.

Sferni sektor dobiva se iz sfernog segmenta i stošca na sljedeći način. Ako je sferni segment manji od hemisfere, tada je sferni segment nadopunjen stošcem, čiji je vrh u središtu lopte, a baza je baza segmenta. Ako je segment veći od hemisfere, tada se navedeni stožac uklanja iz njega.

Sferni sektor je dio lopte omeđen zakrivljenom plohom sfernog segmenta (na našoj slici to je AMCB) i stožastom plohom (na našoj slici ovo je OABC), čija je baza baza segment (ABC), a vrh je središte lopte O.

Volumen sfernog sektora nalazi se formulom:

V = 2/3 πR 2 H.

Sferni sloj je dio kugle zatvoren između dvije paralelne ravnine (ravnine ABC i DEF na slici) koje sijeku sfernu plohu. Zakrivljena površina sfernog sloja naziva se sferni pojas (zona). Kružnice ABC i DEF su osnovice sfernog pojasa. Udaljenost NK između baza sfernog pojasa je njegova visina.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

GEOMETRIJA

Odjeljak II. STEREOMETRIJA

§22. LOPTA. SFERA.

1. Definicija lopte i sfere. Elementi lopte i kugle.

Metak je geometrijsko tijelo koje nastaje rotacijom kružnice oko osi koja sadrži njegov promjer (slika 500).

Središte kružnice koja rotira naziva se središte lopte, polumjer kružnice je polumjer lopte, a promjer kružnice je promjer lopte. Na slici 500 točka O je središte lopte, OA i OB su polumjeri lopte, a AB je promjer lopte.

Površina lopte naziva se kugla.

Središte, polumjer i promjer kugle također su središte, polumjer i promjer kugle.

Sve točke na kugli su na istoj udaljenosti, jednakoj polumjeru, od središta kugle. Ostale točke lopte koje ne pripadaju sferi nazivaju se unutarnjim točkama; za takve se kaže da leže unutar sfere. Unutarnje točke lopte nalaze se od središta lopte na udaljenosti manjoj od polumjera.

Tako dolazimo do druge definicije sfere i lopte.

Sfera je ploha koja se sastoji od svih točaka u prostoru jednako udaljenih od iste točke. Ta se točka naziva središte sfere, a udaljenost od središta sfere do bilo koje njezine točke je polumjer sfere.

Metak je geometrijsko tijelo koje se sastoji od svih točaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od zadane točke od zadane točke. Ta se točka naziva središtem lopte, a ta se udaljenost naziva polumjerom lopte.

Primjer. Polumjer kugle je 3,5 cm. Točka A se nalazi unutar ili izvan kugle ako je udaljena od središta kugle: 1) cm, 2) cm.

Definicija.

Sfera (površina lopte) je skup svih točaka u trodimenzionalnom prostoru koje su na istoj udaljenosti od jedne točke, tzv centar sfere(OKO).

Kugla se može opisati kao trodimenzionalna figura koja nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko svog promjera za 360°.

Definicija.

Lopta je skup svih točaka u trodimenzionalnom prostoru, čija udaljenost ne prelazi određenu udaljenost do točke tzv. centar lopte(O) (skup svih točaka trodimenzionalnog prostora ograničen sferom).

Lopta se može opisati kao trodimenzionalna figura koja nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko svog promjera za 360°.

Definicija. Polumjer sfere (lopte)(R) je udaljenost od centra sfere (lopte) O na bilo koju točku na sferi (površini lopte).

Definicija. Promjer kugle (lopte).(D) je segment koji povezuje dvije točke sfere (površinu lopte) i prolazi kroz njezino središte.

Formula. Volumen kugle:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formula. Površina kugle kroz polumjer ili promjer:

S = 4π R 2 = π D 2

Jednadžba sfere

1. Jednadžba sfere polumjera R i središta u ishodištu Kartezijevog koordinatnog sustava:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Jednadžba sfere polumjera R i središta u točki s koordinatama (x 0, y 0, z 0) u Kartezijevom koordinatnom sustavu:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definicija. Dijametralno suprotne točke su bilo koje dvije točke na površini lopte (sfere) koje su povezane promjerom.

Osnovna svojstva sfere i lopte

1. Sve točke sfere jednako su udaljene od središta.

2. Svaki presjek sfere ravninom je kružnica.

3. Svaki presjek lopte ravninom je krug.

4. Kugla ima najveći obujam od svih prostornih figura iste površine.

5. Kroz bilo koje dvije dijametralno suprotne točke možete povući mnogo velikih krugova za sferu ili krugova za loptu.

6. Kroz bilo koje dvije točke, osim dijametralno suprotnih točaka, možete povući samo jedan veliki krug za sferu ili veliki krug za loptu.

7. Bilo koje dvije velike kružnice jedne lopte sijeku se ravnom crtom koja prolazi središtem lopte, a kružnice se sijeku u dvije dijametralno suprotne točke.

8. Ako je udaljenost između središta bilo koje dvije lopte manja od zbroja njihovih polumjera i veća od modula razlike njihovih polumjera, tada takve lopte presijecati, a u presječnoj ravnini nastaje kružnica.

Sekanta, tetiva, sekanta sferne ravnine i njihova svojstva

Definicija. Sekans sfere je pravac koji siječe sferu u dvije točke. Točke sjecišta nazivaju se piercing točke površine ili ulazno-izlazne točke na površini.

Definicija. Tetiva sfere (lopte)- ovo je segment koji povezuje dvije točke na sferi (površina lopte).

Definicija. Rezna ravnina je ravnina koja siječe sferu.

Definicija. Dijametralna ravnina- ovo je sekantna ravnina koja prolazi kroz središte sfere ili lopte, presjek se formira u skladu s tim veliki krug I veliki krug. Veliki krug i veliki krug imaju središte koje se poklapa sa središtem sfere (lopte).

Svaka tetiva koja prolazi središtem kugle (lopte) je promjer.

Tetiva je isječak sekante.

Udaljenost d od središta sfere do sekante uvijek je manja od polumjera sfere:

d< R

Udaljenost m između rezne ravnine i središta sfere uvijek je manja od polumjera R:

m< R

Mjesto presjeka rezne ravnine na sferi uvijek će biti mali krug, a na lopti odjeljak će biti mali krug. Kružnica i kružić imaju svoja središta koja se ne poklapaju sa središtem sfere (lopte). Polumjer r takve kružnice može se pronaći pomoću formule:

r = √R 2 - m 2,

Gdje je R radijus sfere (lopte), m je udaljenost od središta lopte do ravnine rezanja.

Definicija. Hemisfera (hemisfera)- ovo je polovica sfere (lopte), koja nastaje kada se prereže dijametralnom ravninom.

Tangenta, tangentna ravnina na sferu i njihova svojstva

Definicija. Tangenta na sferu je pravac koji dodiruje sferu samo u jednoj točki.

Definicija. Tangentna ravnina na sferu je ravnina koja dodiruje sferu samo u jednoj točki.

Tangenta (ravnina) uvijek je okomita na polumjer sfere povučen na točku dodira

Udaljenost od središta sfere do tangente (ravnine) jednaka je polumjeru sfere.

Definicija. Segment lopte- ovo je dio lopte koji je reznom ravninom odsječen od lopte. Osnova segmenta naziva krug koji je nastao na mjestu odsječka. Visina segmenta h je duljina okomice povučene iz sredine osnovice isječka na površinu isječka.

Formula. Vanjska površina segmenta sfere s visinom h kroz polumjer sfere R:

S = 2πRh

Lopta (sfera)

Sferična površina. Lopta (sfera). Sekcije lopte: krugovi.

Arhimedov teorem. Dijelovi lopte: sferni segment,

sferni sloj, sferni pojas, sferni sektor.

Sferična površina - Ovo mjesto točaka(oni. punobroj svih bodova)u prostoru, jednako udaljen od jedne točke O , koji se naziva središte sferne plohe (Slika 90). Radius AOi promjer AB određuju se na isti način kao u krugu.

Lopta (sfera) - Ovo tijelo omeđeno sfernom plohom. Limenka dobiti loptu rotirajući polukrug ( ili krug ) oko promjera. Svi ravninski presjeci lopte su krugovi ( Sl.90 ). Najveći krug leži u dijelu koji prolazi središtem lopte i naziva se veliki krug. Njegov polumjer jednak je polumjeru lopte. Bilo koja dva velika kruga sijeku se duž promjera lopte ( AB, sl.91 ).Ovaj promjer je također promjer velikih kružnica koje se sijeku. Kroz dvije točke sferne površine koje se nalaze na krajevima istog promjera(A i B, sl.91 ), možete nacrtati bezbroj velikih krugova. Na primjer, kroz Zemljine polove može se povući beskonačan broj meridijana.

Volumen kugle je jedan i pol puta manji od volumena valjka opisanog oko nje. (Sl.92 ), A površina lopte je jedan i pol puta manja od ukupne površine istog cilindra ( Arhimedov teorem):

Ovdje S lopta I V lopta - površinu i volumen lopte;

S cyl I V cyl - ukupna površina i obujam opisanog valjka.

Dijelovi lopte. Dio lopte (sfera) ), odsječen od njega nekom ravninom ( ABC, sl.93), nazvao lopta(kuglastog ) segment. Kružnica ABC nazvao osnova segment lopte. Segment linije MN okomito povučeno iz središta N krug ABC dok se ne presječe s kuglastom plohom, zove se visina segment lopte. Točka M nazvao vrh segment lopte.

Dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravnine ABC i DEF sijeku sfernu plohu (sl. 93), nazvao sferni sloj; zakrivljena površina sferičnog sloja naziva se loptasti pojas(zona). Krugovi ABC i DEF – osnove loptasti pojas. Udaljenost N.K. između baza sfernog pojasa – njegova visina. Dio lopte omeđen zakrivljenom plohom sfernog segmenta ( AMCB, sl.93) i stožaste površine OABC , čija je baza baza segmenta ( ABC ), a vrh je središte lopte O , nazvao sferni sektor.

Lopta i sfera su prije svega geometrijski likovi, a ako je lopta geometrijsko tijelo, onda je sfera površina lopte. Ove su brojke bile zanimljive prije mnogo tisuća godina pr.

Naknadno, kada je otkriveno da je Zemlja lopta, a nebo nebeska sfera, razvio se novi fascinantan pravac u geometriji - geometrija na sferi ili sferna geometrija. Da bismo mogli govoriti o veličini i volumenu lopte, prvo je moramo definirati.

Lopta

Lopta radijusa R sa središtem u točki O u geometriji je tijelo koje čine sve točke u prostoru koje imaju zajedničko svojstvo. Te se točke nalaze na udaljenosti koja ne prelazi polumjer lopte, odnosno ispunjavaju cijeli prostor manji od polumjera lopte u svim smjerovima od njezina središta. Ako razmatramo samo one točke koje su jednako udaljene od središta lopte, smatrat ćemo njezinu površinu ili ljusku lopte.

Kako mogu dobiti loptu? Možemo izrezati krug od papira i početi ga okretati oko vlastitog promjera. To jest, promjer kruga bit će os rotacije. Formirana figura bit će lopta. Stoga se lopta naziva i tijelom rotacije. Zato što se može formirati rotiranjem ravnog lika – kruga.

Uzmimo neki avion i njime presijecimo svoju loptu. Baš kao što naranču režemo nožem. Komad koji smo odrezali od lopte nazivamo sferni segment.

U staroj Grčkoj su znali ne samo raditi s loptom i sferom kao geometrijskim figurama, na primjer, koristiti ih u građevinarstvu, već su znali izračunati površinu lopte i volumen lopte.

Sfera je drugi naziv za površinu lopte. Kugla nije tijelo - ona je površina tijela rotacije. Međutim, budući da i Zemlja i mnoga tijela imaju sferni oblik, na primjer kap vode, proučavanje geometrijskih odnosa unutar sfere postalo je rašireno.

Na primjer, ako dvije točke sfere spojimo ravnom linijom, tada se ta ravna crta naziva tetiva, a ako ta tetiva prolazi kroz središte sfere, koje se poklapa sa središtem lopte, tada tetiva se naziva promjer kugle.

Ako nacrtamo ravnu liniju koja dodiruje sferu samo u jednoj točki, tada ćemo tu liniju zvati tangenta. Osim toga, ova tangenta na sferu u ovoj će točki biti okomita na polumjer sfere povučen na točku dodira.

Ako produžimo tetivu na ravnu liniju u jednom ili drugom smjeru od sfere, tada ćemo tu tetivu zvati sekantom. Ili možemo reći drugačije - sekansa sfere sadrži njezinu tetivu.

Volumen lopte

Formula za izračunavanje volumena lopte je:

gdje je R polumjer lopte.

Ako trebate pronaći volumen sfernog segmenta, upotrijebite formulu:

V seg =πh 2 (R-h/3), h je visina sfernog segmenta.

Površina lopte ili sfere

Da biste izračunali površinu sfere ili površinu lopte (to je ista stvar):

gdje je R polumjer sfere.

Arhimed je jako volio loptu i kuglu, čak je tražio da mu na grobu ostavi crtež na kojem je lopta bila upisana u cilindar. Arhimed je vjerovao da su volumen lopte i njezina površina jednaki dvije trećine volumena i površine cilindra u koji je lopta upisana.”