Geometrijske primjene određenog integralnog izračuna površine. Fizičke primjene ROI-a

Definitivni integral (DI) naširoko se koristi u praktičnim primjenama matematike i fizike.

Konkretno, u geometriji se područja pronalaze pomoću ROI-a jednostavne figure i složene plohe, volumeni tijela rotacije i tijela proizvoljnog oblika, duljine krivulja u ravnini i prostoru.

U fizici i teorijska mehanika ROI se koriste za izračunavanje statičkih momenata, masa i centara mase materijalnih krivulja i površina, za izračunavanje rada varijabilne sile duž zakrivljene staze itd.

Područje ravne figure

Neka neka ravna figura u kartezijanskom pravokutni sustav koordinate $xOy$ ograničen je gore krivuljom $y=y_(1) \lijevo(x\desno)$, dolje krivuljom $y=y_(2) \lijevo(x\desno)$, a lijevo a desno okomitim ravnim linijama $ x=a$ odnosno $x=b$. U opći slučaj površina takve figure izražava se pomoću RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x \right)\right )\cdot dx $.

Ako je neka ravna figura u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu $xOy$ omeđena s desne strane krivuljom $x=x_(1) \lijevo(y\desno)$, s lijeve strane krivuljom $x=x_(2) \lijevo(y\desno) $, a ispod i iznad horizontalnim ravnim linijama $y=c$ i $y=d$, tada se površina takve figure izražava pomoću ROI $S=\int \ograničenja _(c)^(d)\lijevo(x_(1 ) \lijevo(y\desno)-x_(2) \lijevo(y\desno)\desno)\cdot dy $.

Neka se ravna figura (krivolinijski sektor) razmatra u polarni sustav koordinate, čine graf kontinuirane funkcije $\rho =\rho \left(\phi \right)$, kao i dvije zrake koje prolaze pod kutovima $\phi =\alpha $ i $\phi =\beta $ , odnosno. Formula za izračunavanje površine takvog krivocrtnog sektora je: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \desno )\cdot d\phi $.

Duljina luka krivulje

Ako je na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ krivulja je dana jednadžbom $\rho =\rho \left(\phi \right)$ u polarnom koordinatnom sustavu, a zatim se duljina njezina luka izračunava pomoću ILI $L=\int \limits _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \lijevo(\phi \desno)+\rho "^(2) \lijevo(\phi \desno)) \cdot d\ phi $.

Ako je krivulja na segmentu $\lijevo$ dana jednadžbom $y=y\lijevo(x\desno)$, tada se duljina njenog luka izračunava pomoću ROI $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $.

Ako je na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ krivulja je specificirana parametarski, to jest, $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, tada se duljina njezina luka izračunava pomoću ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \lijevo(t\desno)+y"^(2) \lijevo(t\desno)) \cdot dt $.

Izračunavanje obujma tijela iz površina paralelnih presjeka

Neka je potrebno pronaći obujam prostornog tijela čije koordinate točke zadovoljavaju uvjete $a\le x\le b$ i za koje su površine presjeka $S\left(x\right)$ ravninama okomitima na $Ox$ osi su poznati.

Formula za izračunavanje volumena takvog tijela je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Volumen tijela revolucije

Neka nenegativan kontinuirana funkcija$y=y\lijevo(x\desno)$, formiranje zakrivljeni trapez(KrT). Ako ovaj KrT rotirate oko osi $Ox$, tada nastaje tijelo koje se zove tijelo rotacije.

Izračunavanje obujma tijela rotacije poseban je slučaj izračunavanja volumena tijela pomoću poznati trgovi njegove paralelne dijelove. Odgovarajuća formula je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \lijevo(x\desno)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu $xOy$ ograničena gore krivuljom $y=y_(1) \lijevo(x\desno)$, a dolje krivuljom $y=y_(2) \lijevo( x\desno)$, gdje su $y_(1) \lijevo(x\desno)$ i $y_(2) \lijevo(x\desno)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a lijevo i desno okomite ravne linije $x=a$ odnosno $x= b$. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Ox$ osi izražava s RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ (2) \lijevo(x \desno)-y_(2)^(2) \lijevo(x\desno)\desno)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu $xOy$ s desne strane ograničena krivuljom $x=x_(1) \lijevo(y\desno)$, s lijeve strane krivuljom $x=x_(2) \lijevo(y\desno)$, gdje su $x_(1) \lijevo(y\desno)$ i $x_(2) \lijevo(y\desno)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a ispod i iznad horizontalne ravne linije $y=c$ i $y= d$ prema tome. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Oy$ osi izražava s RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ (2) \lijevo(y \desno)-x_(2)^(2) \lijevo(y\desno)\desno)\cdot dy $.

Površina tijela rotacije

Neka je nenegativna funkcija $y=y\left(x\right)$ dana na segmentu $\left$ s kontinuiranom derivacijom $y"\left(x\right)$. Ova funkcija tvori CRT. Ako ovaj CRT se okreće oko osi $Ox $, tada sam tvori tijelo rotacije, a luk KrT je njegova površina. Površina takvog tijela rotacije izražava se formulom $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\lijevo( x\desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $.

Pretpostavimo da je krivulja $x=\phi \left(y\right)$, gdje je $\phi \left(y\right)$ nenegativna funkcija definirana na segmentu $c\le y\le d $, se okreće oko osi $Oy$. U ovom slučaju, površina formiranog tijela rotacije izražava se s RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \lijevo(y\desno)) \cdot dy $.

Fizičke primjene ROI-a

1. Za izračun prijeđene udaljenosti u trenutku $t=T$ s promjenjivom brzinom kretanja $v=v\lijevo(t\desno)$ materijalne točke koja se počela kretati u trenutku $t=t_(0)$, upotrijebite ROI $S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Za izračun rada varijable sila $F=F\lijevo(x\desno)$ primijenjena na materijalna točka, krećući se ravna staza duž osi $Ox$ od točke $x=a$ do točke $x=b$ (smjer sile poklapa se sa smjerom kretanja) koristite ROI $A=\int \limits _(a)^ (b)F\lijevo(x \desno)\cdot dx $.
3. Statički momenti relativni koordinatne osi materijalna krivulja $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$ izražavaju se formulama $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ lijevo(x\ desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, gdje se linearna gustoća $\rho $ ove krivulje smatra konstantnom.
4. Središte mase materijalne krivulje je točka u kojoj je sva njena masa uvjetno koncentrirana na takav način da su statički momenti točke u odnosu na koordinatne osi jednaki odgovarajućim statičkim momentima cijele krivulje kao cjeline.

Formule za izračunavanje koordinata središta mase ravninske krivulje imaju oblik $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \lijevo(x\ desno)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx ) $ i $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\lijevo(x\desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx ) $.

5. Statički momenti materijala ravna figura u obliku KpT u odnosu na koordinatne osi izražavaju se formulama $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \lijevo(x\ desno)\cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \granice _(a)^(b)x\cdot y\lijevo(x\desno)\cdot dx $.
6. Koordinate središta mase materijalne ravne figure u obliku KrT, koju tvori krivulja $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$, izračunavaju se pomoću formula $x_( C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\desno)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\desno)\cdot dx ) $ i $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \desno)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\lijevo(x\desno)\cdot dx ) $.

Predstavimo neke primjene određenog integrala.

Izračunavanje površine ravne figure

Područje zakrivljenog trapeza omeđeno krivuljom (gdje
), ravno
,
i segment
sjekire
, izračunato formulom

.

Područje figure ograničeno krivuljama
I
(Gdje
) ravno
I
izračunati po formuli

.

Ako je krivulja dana parametarskim jednadžbama
, zatim područje krivuljastog trapeza omeđeno ovom krivuljom ravnim linijama
,
i segment
sjekire
, izračunato formulom

,

Gdje I određuju se iz jednadžbi
,
, A
na
.

Područje krivuljastog sektora omeđeno krivuljom navedenom u polarne koordinate jednadžba
i dva polarna radijusa
,
(
), nalazi se formulom

.

Primjer 1.27. Izračunajte površinu lika omeđenog parabolom
i ravno
(Slika 1.1).

	Riješenje. Nađimo sjecišne točke pravca i parabole. Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu , . Gdje , . Tada prema formuli (1.6) imamo .

Izračunavanje duljine luka ravninske krivulje

Ako krivulja
na segmentu
- glatka (to jest, izvedena
kontinuirano), tada se duljina odgovarajućeg luka ove krivulje nalazi formulom

.

Kod parametarskog zadavanja krivulje
(
- kontinuirano diferencijabilne funkcije) duljina luka krivulje koja odgovara monotonoj promjeni parametra iz prije , izračunato formulom

Primjer 1.28. Izračunajte duljinu luka krivulje
,
,
.

Riješenje. Nađimo derivacije u odnosu na parametar :
,
. Tada iz formule (1.7) dobivamo

.

2. Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Neka svaki poredani par brojeva
iz nekog područja
odgovara određenom broju
. Zatim nazvao funkcija dviju varijabli I ,
-nezavisne varijable ili argumenti ,
-domena definicije funkcije i skup sve vrijednosti funkcije - raspon njegovih vrijednosti i označavaju
.

Geometrijski, područje definicije funkcije obično predstavlja neki dio ravnine
, omeđen linijama koje mogu ali ne moraju pripadati ovom području.

Primjer 2.1. Pronađite domenu definicije
funkcije
.

	Riješenje. Ova je funkcija definirana u tim točkama ravnine , u kojem , ili . Točke ravnine za koje , čine granicu regije . Jednadžba definira parabolu (sl. 2.1; budući da parabola ne pripada regiji , zatim je prikazan isprekidanom linijom). Nadalje, lako je izravno provjeriti da su točke za koje , koji se nalazi iznad parabole. Regija je otvoren i može se odrediti pomoću sustava nejednakosti:

Ako varijabla dati neki prirast
, A ostaviti konstantu, zatim funkciju
dobit će prirast
, nazvao privatni prirast funkcije po varijabli :

Isto tako, ako varijabla dobiva prirast
, A ostaje konstantna, tada funkcija
dobit će prirast
, nazvao privatni prirast funkcije po varijabli :

Ako postoje ograničenja:

,

,

zovu se parcijalne derivacije funkcije
po varijablama I odnosno.

Napomena 2.1. Parcijalne derivacije funkcija bilo kojeg broja neovisnih varijabli određuju se na sličan način.

Napomena 2.2. Budući da je parcijalna derivacija u odnosu na bilo koju varijablu derivacija u odnosu na tu varijablu, pod uvjetom da su ostale varijable konstantne, tada su sva pravila za razlikovanje funkcija jedne varijable primjenjiva na pronalaženje parcijalnih derivacija funkcija bilo kojeg broja varijabli.

Primjer 2.2.
.

Riješenje. Pronašli smo:

,

.

Primjer 2.3. Naći parcijalne derivacije funkcije
.

Riješenje. Pronašli smo:

,

,

.

Povećanje pune funkcije
zove razlika

Glavni dio punog povećanja funkcije
, linearno ovisan o priraštajima nezavisnih varijabli
I
,naziva se totalni diferencijal funkcije i naznačen je
. Ako funkcija ima kontinuirane parcijalne derivacije, tada ukupni diferencijal postoji i jednak je

,

Gdje
,
- proizvoljna povećanja nezavisnih varijabli, koja se nazivaju njihovim diferencijalima.

Slično, za funkciju od tri varijable
ukupni diferencijal je dan sa

.

Neka funkcija
ima u točki
parcijalne derivacije prvog reda u odnosu na sve varijable. Tada se vektor zove gradijent funkcije
u točki
i naznačen je
ili
.

Primjedba 2.3. Simbol
naziva se Hamiltonov operator i izgovara se "nambla".

Primjer 2.4. Pronađite gradijent funkcije u točki
.

Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije:

,
,

i izračunati njihove vrijednosti u točki
:

,
,
.

Stoga,
.

Izvedenica funkcije
u točki
u smjeru vektora
naziva se granica omjera
na
:

, Gdje
.

Ako funkcija
je diferencijabilan, tada se derivacija u zadanom smjeru izračunava formulom:

,

Gdje ,- kutovi, što je vektor forme sa sjekirama
I
odnosno.

U slučaju funkcije triju varijabli
derivacija smjera se definira slično. Odgovarajuća formula je

,

Gdje
- smjer kosinusa vektora .

Primjer 2.5. Pronađite izvod funkcije
u točki
u smjeru vektora
, Gdje
.

Riješenje. Nađimo vektor
a njeni kosinusi smjera:

,
,
,
.

Izračunajmo vrijednosti parcijalnih derivacija u točki
:

,
,
;
,
,
.

Zamjenom u (2.1) dobivamo

.

Parcijalne derivacije drugog reda nazivaju se parcijalne derivacije preuzete iz parcijalnih derivacija prvog reda:

,

,

,

Parcijalne derivacije
,
se zovu mješoviti . Vrijednosti mješovitih izvodnica su jednake u onim točkama u kojima su te izvodnice kontinuirane.

Primjer 2.6. Pronađite parcijalne derivacije drugog reda funkcije
.

Riješenje. Izračunajmo najprije parcijalne derivacije prvog reda:

,
.

Ponovo ih razlikujući, dobivamo:

,
,

,
.

Uspoređujući posljednje izraze, vidimo da
.

Primjer 2.7. Dokažite da funkcija
zadovoljava Laplaceovu jednadžbu

.

Riješenje. Pronašli smo:

,
.

,
.

.

Točka
nazvao lokalna maksimalna točka (minimum ) funkcije
, ako za sve točke
, različito od
i pripada dovoljno malom susjedstvu toga, nejednakost vrijedi

(
).

Maksimum ili minimum funkcije naziva se njen ekstremno . Točka u kojoj je dostignut ekstrem funkcije naziva se ekstremna točka funkcije .

Teorem 2.1 (Nužni uvjeti za ekstrem ). Ako je točka
je ekstremna točka funkcije
, ili barem jedna od ovih izvedenica ne postoji.

Bodovi za koje su ti uvjeti ispunjeni nazivaju se stacionarni ili kritično . Točke ekstrema su uvijek stacionarne, ali stacionarna točka ne mora biti točka ekstrema. Da bi stacionarna točka bila točka ekstrema, moraju biti zadovoljeni dovoljni uvjeti za ekstrem.

Uvedimo najprije sljedeću oznaku :

,
,
,
.

Teorem 2.2 (Dovoljni uvjeti za ekstrem ). Neka funkcija
dvaput diferencijabilan u okolini točke
i točka
je stacionaran za funkciju
. Zatim:

1.Ako
, zatim točka
je ekstrem funkcije, i
bit će najveća točka na
(
)a minimalna točka na
(
).

2.Ako
, zatim u točki

nema ekstrema.

3.Ako
, onda ekstrem može ali ne mora postojati.

Primjer 2.8. Ispitajte funkciju ekstrema
.

Riješenje. Budući da je u u ovom slučaju parcijalne derivacije prvog reda uvijek postoje, tada za pronalaženje stacionarnih (kritičnih) točaka rješavamo sustav:

,
,

gdje
,
,
,
. Tako smo dobili dvije stacionarne točke:
,
.

,
,
.

Za bod
dobivamo:, odnosno u ovoj točki nema ekstrema. Za bod
dobivamo: i
, stoga

u ovom trenutku ovu funkciju dostiže lokalni minimum: .

Predavanja 8. Primjene određeni integral.

Primjena integrala na fizičke zadatke temelji se na svojstvu aditivnosti integrala nad skupom. Stoga se korištenjem integrala mogu izračunati količine koje su same aditivne u skupu. Na primjer, površina figure jednaka je zbroju površina njegovih dijelova, površina, volumen tijela i masa tijela imaju isto svojstvo. Stoga se sve te veličine mogu izračunati pomoću određenog integrala.

Za rješavanje problema možete koristiti dvije metode: metoda integralnih suma i metoda diferencijala.

Metoda integralnih suma ponavlja konstrukciju određenog integrala: konstruira se particija, označavaju se točke, na njima se izračunava funkcija, izračunava se integralna suma i izvodi se prijelaz na limes. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da je u limitu rezultat točno ono što je potrebno u problemu.

Diferencijalna metoda koristi neodređeni integral i Newton–Leibnizovu formulu. Izračunava se diferencijal veličine koju treba odrediti, a zatim se integracijom tog diferencijala dobiva tražena veličina pomoću Newton–Leibnizove formule. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da je izračunat diferencijal tražene vrijednosti, a ne nešto drugo.

Izračunavanje površina ravnih figura.

1. Slika je ograničena grafom funkcije navedene u Kartezijanski sustav koordinate

Do pojma određenog integrala došli smo iz problema površine zakrivljenog trapeza (zapravo, koristeći metodu integralnih suma). Ako funkcija samo prihvaća negativne vrijednosti, tada se površina ispod grafa funkcije na segmentu može izračunati pomoću određenog integrala. primijeti da dakle, ovdje se može vidjeti i metoda diferencijala.

Ali funkcija također može poprimiti negativne vrijednosti na određenom segmentu, tada će integral nad tim segmentom dati negativno područje, što je u suprotnosti s definicijom područja.

Površinu možete izračunati pomoću formuleS=. To je jednako promjeni predznaka funkcije u onim područjima u kojima ona poprima negativne vrijednosti.

Ako trebate izračunati površinu figure ograničenu gore grafom funkcije, a dolje grafom funkcije, tada možete koristiti formuluS= , jer .

Primjer. Izračunajte površinu figure omeđene pravim linijama x=0, x=2 i grafovima funkcija y=x 2, y=x 3.

Uočimo da na intervalu (0,1) vrijedi nejednakost x 2 > x 3, a za x >1 vrijedi nejednakost x 3 > x 2. Zato

2. Slika je ograničena grafom funkcije zadane u polarnom koordinatnom sustavu.

Neka je graf funkcije dan u polarnom koordinatnom sustavu i želimo izračunati površinu krivocrtnog sektora omeđenog dvjema zrakama i graf funkcije u polarnom koordinatnom sustavu.

Ovdje možete koristiti metodu integralnih zbrojeva, računajući površinu krivocrtnog sektora kao granicu zbroja površina elementarnih sektora u kojima je graf funkcije zamijenjen kružnim lukom .

Također možete koristiti diferencijalnu metodu: .

Možeš razmišljati i ovako. Zamjenom elementarnog krivocrtnog sektora koji odgovara središnjem kutu s kružnim sektorom, imamo udio . Odavde . Integrirajući i koristeći Newton–Leibnizovu formulu, dobivamo .

Primjer. Izračunajmo površinu kruga (provjerite formulu). Vjerujemo. Površina kruga je .

Primjer. Izračunajmo površinu omeđenu kardioidom .

3 Slika je ograničena grafom funkcije definirane parametrijski.

Funkcija se može specificirati parametarski u obliku . Koristimo formulu S= , zamjenjujući u njega granice integracije preko nove varijable. . Obično se pri izračunavanju integrala identificiraju ona područja u kojima funkcija integranda ima određeni predznak i uzima se u obzir odgovarajuće područje s jednim ili drugim predznakom.

Primjer. Izračunajte površinu koju zatvara elipsa.

Koristeći simetriju elipse, izračunavamo površinu četvrtine elipse koja se nalazi u prvom kvadrantu. U ovom kvadrantu. Zato .

Izračunavanje volumena tijela.

1. Izračunavanje volumena tijela iz površina paralelnih presjeka.

Neka treba izračunati obujam nekog tijela V iz poznatih površina presjeka tog tijela ravninama okomitim na pravac OX povučen kroz bilo koju točku x dužine OX.

Primijenimo metodu diferencijala. Uzimajući u obzir elementarni volumen iznad segmenta kao volumen pravog kružnog valjka s osnovnom površinom i visinom, dobivamo . Integracijom i primjenom Newton–Leibnizove formule dobivamo

2. Izračunavanje volumena tijela rotacije.

Neka je potrebno izračunati VOL.

Zatim .

Također, volumen tijela rotacije oko osiOY, ako je funkcija dana u obliku , može se izračunati pomoću formule .

Ako je funkcija navedena u obrascu i potrebno je odrediti volumen tijela rotacije oko osiOY, tada se formula za izračunavanje volumena može dobiti na sljedeći način.

Prelazeći na diferencijal i zanemarujući kvadratne članove, imamo . Integriranjem i primjenom Newton–Leibnizove formule imamo .

Primjer. Izračunaj obujam kugle.

Primjer. Izračunaj obujam pravilnog kružnog stošca omeđenog plohom i ravninom.

Izračunajmo volumen kao volumen rotacijskog tijela nastalog rotacijom oko osi OZ pravokutni trokut u ravnini OXZ, čiji kraci leže na osi OZ i pravcu z = H, a hipotenuza na pravcu.

Izražavajući x kroz z, dobivamo .

Izračunavanje duljine luka.

Da bismo dobili formule za izračunavanje duljine luka, prisjetimo se formula izvedenih u 1. polugodištu za diferencijal duljine luka.

Ako je luk graf kontinuirano diferencijabilne funkcije, razlika duljine luka može se izračunati pomoću formule

. Zato

Ako je glatki luk parametarski zadan, To

. Zato .

Ako je luk zadan u polarnom koordinatnom sustavu, To

. Zato .

Primjer. Izračunajte duljinu luka grafa funkcije, . .

Površina krivocrtnog trapeza omeđena odozgo grafom funkcije y=f(x), lijevo i desno - ravno x=a I x=b prema tome, odozdo - os Vol, izračunato formulom

Površina krivocrtnog trapeza omeđena s desne strane grafom funkcije x=φ(y), iznad i ispod - ravno y=d I y=c prema tome, s lijeve strane - os Joj:

Kvadrat krivocrtni lik, omeđen odozgo grafom funkcije y 2 =f 2 (x), ispod - grafikon funkcije y 1 =f 1 (x), lijevo i desno - ravno x=a I x=b:

Područje krivocrtne figure ograničeno s lijeve i desne strane grafovima funkcija x 1 =φ 1 (y) I x 2 =φ 2 (y), iznad i ispod - ravno y=d I y=c odnosno:

Razmotrimo slučaj kada je linija koja ograničava zakrivljeni trapez odozgo dana parametarskim jednadžbama x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Gdje α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Ove jednadžbe definiraju neku funkciju y=f(x) na segmentu [ a, b]. Površina zakrivljenog trapeza izračunava se formulom

Prijeđimo na novu varijablu x = φ 1 (t), Zatim dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), stoga \begin(displaymath)

Područje u polarnim koordinatama

Razmotrimo krivolinijski sektor OAB, omeđen linijom zadanom jednadžbom ρ=ρ(φ) u polarnim koordinatama, dvije zrake O.A. I O.B., za koji φ=α , φ=β .

Sektor ćemo podijeliti na elementarne sektore OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n = B). Označimo sa Δφ k kut između zraka OM k-1 I OMk tvoreći kutove s polarnom osi φ k-1 I φk odnosno. Svaki od elementarnih sektora OM k-1 M k zamijenite ga kružnim isječkom polumjera ρ k =ρ(φ" k), Gdje φ"k- vrijednost kuta φ iz intervala [ φ k-1 , φ k], I središnji kut Δφ k. Područje posljednjeg sektora izražava se formulom .

izražava područje "stepenastog" sektora koji približno zamjenjuje dati sektor OAB.

Područje sektora OAB naziva se granica područja "stepenastog" sektora na n → ∞ I λ=max Δφ k → 0:

Jer , To

Duljina luka krivulje

Neka na segmentu [ a, b] dana je diferencijabilna funkcija y=f(x), čiji je graf luk. Segment [ a,b] podijelimo ga na n dijelovi s točkicama x 1, x 2, …, xn-1. Ove točke će odgovarati bodovima M 1, M 2, …, Mn-1 lukove, povezujemo ih izlomljenom crtom, koja se naziva izlomljena crta upisana u luk. Opseg ove izlomljene linije označit ćemo s s n, to je

Definicija. Duljina luka linije je granica opsega izlomljene linije upisane u njega, kada je broj veza M k-1 M k neograničeno raste, a duljina najvećeg od njih teži nuli:

gdje je λ duljina najveće karike.

Brojat ćemo duljinu luka od neke točke, npr. A. Neka u točki M(x,y) duljina luka je s, i u točki M"(x+Δ x,y+Δy) duljina luka je s+Δs, gdje je,i>Δs duljina luka. Iz trokuta MNM" nađi duljinu tetive: .

Iz geometrijska razmatranja slijedi to

to jest, infinitezimalni luk linije i tetiva koja ga spaja su ekvivalentni.

Transformirajmo formulu koja izražava duljinu tetive:

Prelaskom na granicu u ovoj jednakosti dobivamo formulu za derivaciju funkcije s=s(x):

iz kojih nalazimo

Ova formula izražava diferencijal luka ravninske krivulje i ima jednostavnu geometrijsko značenje : izražava Pitagorin teorem za infinitezimalni trokut MTN (ds=MT, ).

Diferencijal luka prostorne krivulje određen je formulom

Promotrimo luk prostorne linije definirane parametarskim jednadžbama

Gdje α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - diferencijabilne funkcije argumenta t, To

Integrirajući ovu jednakost preko intervala [ α, β ], dobivamo formulu za izračunavanje duljine ovog luka

Ako pravac leži u ravnini Oxy, To z=0 pred svima t∈[α, β], Zato

U slučaju ravna linija zadan jednadžbom y=f(x) (a≤x≤b), Gdje f(x) je diferencijabilna funkcija, zadnja formula ima oblik

Neka je ravninska linija dana jednadžbom ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) u polarnim koordinatama. U ovom slučaju imamo parametarske jednadžbe linije x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, gdje se polarni kut uzima kao parametar φ . Jer

zatim formula koja izražava duljinu luka pravca ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) u polarnim koordinatama ima oblik

Volumen tijela

Nađimo volumen tijela ako je poznata površina bilo kojeg poprečnog presjeka ovog tijela okomitog na određeni smjer.

Podijelimo ovo tijelo na elementarne slojeve ravninama okomitim na os Vol a definirana jednadžbama x=konst. Za bilo koji fiksni x∈ poznato područje S=S(x) presjek datog tijela.

Elementarni sloj odsječen ravninama x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), zamijenite ga cilindrom s visinom Δx k =x k -x k-1 i osnovno područje S(ξ k), ξ k ∈.

Volumen navedenog elementarnog cilindra izražava se formulom Δv k =E(ξ k)Δx k. Sažejmo sve takve proizvode

što je integralni zbroj za datu funkciju S=S(x) na segmentu [ a, b]. Izražava volumen stepenastog tijela koje se sastoji od elementarnih cilindara i približno zamjenjuje ovo tijelo.

Volumen danog tijela je granica obujma navedenog stepenastog tijela na λ→0 , Gdje λ - duljina najvećeg od elementarnih segmenata Δx k. Označimo sa V volumen danog tijela, zatim po definiciji

Na drugoj strani,

Prema tome, volumen tijela po zadanim presjecima izračunava se formulom

Ako je tijelo nastalo rotacijom oko osi Vol zakrivljeni trapez koji je na vrhu omeđen lukom neprekinute linije y=f(x), Gdje a≤x≤b, To S(x)=πf 2 (x) a zadnja formula ima oblik:

Komentar. Volumen tijela dobiven rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog s desne strane grafom funkcije x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), oko osi Joj izračunati po formuli

Površina rotacije

Promotrimo površinu dobivenu rotacijom luka linije y=f(x) (a≤x≤b) oko osi Vol(pretpostavimo da funkcija y=f(x) ima kontinuiranu derivaciju). Popravljanje vrijednosti x∈, dati ćemo prirast argumentu funkcije dx, što odgovara “elementarnom prstenu” dobivenom rotacijom elementarnog luka Δl. Zamijenimo ovaj "prsten" cilindričnim prstenom - bočnom površinom tijela nastalog rotacijom pravokutnika s bazom jednakom diferencijalu luka dl, i visina h=f(x). Rezanjem zadnjeg prstena i rasklapanjem dobivamo traku šir dl i dužine 2πy, Gdje y=f(x).

Stoga se razlika površine izražava formulom

Ova formula izražava površinu dobivenu rotacijom luka linije y=f(x) (a≤x≤b) oko osi Vol.

Početna > Predavanje

Predavanje 18. Primjene određenog integrala.

18.1. Izračunavanje površina ravnih figura.

Poznato je da je određeni integral na segmentu površina krivocrtnog trapeza omeđena grafom funkcije f(x). Ako se graf nalazi ispod Ox osi, tj. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, tada područje ima znak "+".

Da biste pronašli ukupnu površinu, upotrijebite formulu.

Površina figure omeđene određenim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe tih linija.

Primjer. Pronađite površinu figure, ograničena linijama y = x, y = x2, x = 2.

Potrebna površina (osjenčana na slici) može se pronaći pomoću formule:

18.2. Pronalaženje površine zakrivljenog sektora.

Da bismo pronašli područje krivocrtnog sektora, uvodimo polarni koordinatni sustav. Jednadžba krivulje koja ograničava sektor u ovom koordinatnom sustavu ima oblik  = f(), gdje je  duljina radijus vektora koji povezuje pol s proizvoljna točka krivulja, a  je kut nagiba ovog radijus vektora prema polarnoj osi.

Područje krivuljastog sektora može se pronaći pomoću formule

18.3. Izračunavanje duljine luka krivulje.

y y = f(x)

S i y i

Duljina izlomljene linije koja odgovara luku može se pronaći kao
.

Tada je duljina luka
.

Iz geometrijskih razmatranja:

U isto vrijeme

Tada se može pokazati da

Oni.

Ako je jednadžba krivulje dana parametarski, tada uzimajući u obzir pravila za izračunavanje parametarski zadane derivacije, dobivamo

,

gdje je x = (t) i y = (t).

Ako je postavljeno svemirska krivulja, i x = (t), y = (t) i z = Z(t), tada

Ako je krivulja dana u polarne koordinate, To

,  = f().

Primjer: Odredite opseg kružnice zadane jednadžbom x 2 + y 2 = r 2 .

1 način. Izrazimo varijablu y iz jednadžbe.

Nađimo izvod

Tada je S = 2r. Dobili smo dobro poznatu formulu za opseg kruga.

Metoda 2. Ako zadanu jednadžbu prikažemo u polarnom koordinatnom sustavu, dobivamo: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, tj. funkcija  = f() = r,
Zatim

18.4. Izračunavanje volumena tijela.

Izračunavanje obujma tijela iz poznatih površina njegovih paralelnih presjeka.

Neka postoji tijelo volumena V. Površina bilo kojeg poprečnog presjeka tijela Q poznata je kao kontinuirana funkcija Q = Q(x). Podijelimo tijelo na “slojeve” presjecima koji prolaze kroz točke x i particije segmenta . Jer funkcija Q(x) je kontinuirana na bilo kojem srednjem segmentu particije, tada zauzima najveći i najmanja vrijednost. Označimo ih M i odnosno m i .

Ako na tim najvećim i najmanjim presjecima konstruiramo cilindre s generatrisama paralelnim s osi x, tada će volumeni tih cilindara biti redom jednaki M i x i i m i x i ovdje x i = x i - x i -1.

Izradom takvih konstrukcija za sve segmente pregrade dobivamo cilindre čiji su volumeni jednaki, odnosno
I
.

Kako korak dijeljenja  teži nuli, ti zbrojevi imaju zajedničku granicu:

Dakle, volumen tijela može se pronaći pomoću formule:

Nedostatak ove formule je što je za pronalaženje volumena potrebno znati funkciju Q(x), što je vrlo problematično za složena tijela.

Primjer: Nađite obujam kugle polumjera R.

U presjeci lopta proizvodi krugove promjenjivog radijusa y. Ovisno o trenutnoj x koordinati, ovaj radijus se izražava formulom
.

Tada funkcija površine presjeka ima oblik: Q(x) =
.

Dobijamo volumen lopte:

Primjer: Odredite obujam proizvoljne piramide visine H i osnovice S.

Kada se piramida presječe ravninama okomitim na visinu, u presjeku dobivamo likove slične osnovici. Koeficijent sličnosti ovih figura jednak je omjeru x/H, gdje je x udaljenost od presječne ravnine do vrha piramide.

Iz geometrije je poznato da je omjer površina sličnih likova jednak kvadratu koeficijenta sličnosti, tj.

Odavde dobivamo funkciju površina presjeka:

Određivanje volumena piramide:

18.5. Volumen tijela rotacije.

Razmotrimo krivulju zadan jednadžbom y = f(x). Pretpostavimo da je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu. Ako se odgovarajući krivocrtni trapez s bazama a i b zakrene oko osi Ox, tada se dobiva tzv. tijelo revolucije.

y = f(x)

Jer svaki presjek tijela ravninom x = const je kružnica polumjera
, tada se volumen tijela rotacije može lako pronaći pomoću gore dobivene formule:

18.6. Površina tijela rotacije.

M i B

Definicija: Površina rotacije krivulja AB oko zadane osi je granica kojoj teže površine rotacijskih površina izlomljenih linija upisanih u krivulju AB kada najveće duljine karika tih izlomljenih linija teže nuli.

Podijelimo luk AB na n dijelova s ​​točkama M 0, M 1, M 2, ..., M n. Koordinate vrhova dobivene izlomljene linije imaju koordinate x i i y i . Zakretanjem izlomljene crte oko osi dobivamo plohu koja se sastoji od bočnih ploha krnjih stožaca, čija je površina jednaka P i. Ovo područje se može pronaći pomoću formule:

Ovdje je S i duljina svake tetive.

Primjenjujemo Lagrangeov teorem (vidi. Lagrangeov teorem) na odnos
.