Sila tromosti materijalne točke. Postojanje inercijalnih referentnih okvira

inercija - sposobnost da svoje stanje održi nepromijenjenim je intrinzično svojstvo svih materijalnih tijela.

Sila inercije - sila koja proizlazi iz ubrzanja ili usporavanja tijela (materijalne točke) i usmjerena u suprotnom smjeru od ubrzanja. Sila tromosti se može mjeriti, primjenjuje se na "veze" - tijela povezana s tijelom koje ubrzava ili usporava.

Računa se da je sila tromosti jednaka

F u = | m*a|

Dakle, sile koje djeluju na materijalne točke m 1 i m2(Sl. 14.1), kod overclockinga platforme su jednake

F in1 \u003d m 1 * a; F in2 \u003d m 2 * a

Tijelo koje ubrzava (platforma s masom t(Sl. 14.1)) ne percipira silu inercije, inače bi ubrzanje platforme bilo uopće nemoguće.

Kod rotacijskog (krivocrtnog) gibanja rezultirajuće ubrzanje obično se prikazuje u obliku dvije komponente: normalne a str i tangenta a t(Slika 14.2).

Stoga, kada se razmatra krivocrtno gibanje, mogu nastati dvije komponente inercijske sile: normalna i tangencijalna

a = a t + a n;

Kod jednolikog gibanja duž luka uvijek se javlja normalno ubrzanje, tangencijalno ubrzanje je nula, stoga djeluje samo normalna komponenta inercijske sile, usmjerena duž polumjera iz središta luka (slika 14.3).

Princip kinetostatike (d'Alembertov princip)

Načelo kinetostatike koristi se za pojednostavljenje rješenja niza tehničkih problema.

U stvarnosti, sile tromosti djeluju na tijela povezana s tijelom koje se ubrzava (na veze).

d'Alembert je predložio uvjetno primijeniti sila inercije na tijelo koje aktivno ubrzava. Tada se sustav sila na materijalnu točku uravnotežuje, te je moguće koristiti jednadžbe statike pri rješavanju problema dinamike.

d'Alembertov princip:

Materijalna točka pod djelovanjem aktivnih sila, reakcija veza i uvjetno primijenjene sile tromosti je u ravnoteži;

Kraj posla -

Ova tema pripada:

Teorijska mehanika

Teorijska mehanika.. predavanje.. tema osnovni pojmovi i aksiomi statike..

Ako trebate dodatne materijale o ovoj temi ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretraživanje naše baze radova:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako se ovaj materijal pokazao korisnim za vas, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

cvrkut

Sve teme u ovom odjeljku:

Problemi teorijske mehanike
Teorijska mehanika je znanost o mehaničkom gibanju materijalnih čvrstih tijela i njihovoj interakciji. Mehaničko gibanje podrazumijeva kretanje tijela u prostoru i vremenu

Treći aksiom
Bez narušavanja mehaničkog stanja tijela, možete dodati ili ukloniti uravnoteženi sustav sila (načelo odbacivanja sustava sila ekvivalentnog nuli) (slika 1.3). P,=P2 P,=P.

Posljedica iz drugog i trećeg aksioma
Sila koja djeluje na kruto tijelo može se pomicati duž njegove linije djelovanja (slika 1.6).

Veze i reakcije veza
Za slobodno kruto tijelo vrijede svi zakoni i teoremi statike. Sva tijela se dijele na slobodna i vezana. Slobodna tijela su tijela čije kretanje nije ograničeno.

Čvrsta šipka
Na dijagramima su šipke prikazane debelom punom linijom (slika 1.9). rod mozhe

fiksna šarka
Točka pričvršćivanja ne može se pomaknuti. Šipka se može slobodno okretati oko osi šarke. Reakcija takvog nosača prolazi kroz os zgloba, ali

Planarni sustav konvergentnih sila
Sustav sila, čije se linije djelovanja sijeku u jednoj točki, naziva se konvergentnim (slika 2.1).

Rezultanta konvergentnih sila
Rezultanta dviju sila koje se sijeku može se odrediti pomoću paralelograma ili trokuta sila (4. aksiom) (Vis. 2.2).

Uvjet ravnoteže za ravni sustav konvergentnih sila
Kada je sustav sila u ravnoteži, rezultanta mora biti jednaka nuli, stoga se u geometrijskoj konstrukciji kraj posljednjeg vektora mora podudarati s početkom prvog. Ako a

Rješavanje problema ravnoteže na geometrijski način
Pogodno je koristiti geometrijsku metodu ako u sustavu postoje tri sile. Pri rješavanju problema ravnoteže smatra se da je tijelo apsolutno čvrsto (skrućeno). Redoslijed rješavanja problema:

Riješenje
1. Sile koje nastaju u pričvrsnim šipkama jednake su po veličini silama kojima šipke nose teret (5. aksiom statike) (sl. 2.5a). Određujemo moguće smjerove reakcija veze

Projekcija sile na os
Projekcija sile na os određena je segmentom osi, odsječenim okomicama, spuštenim na os s početka i kraja vektora (slika 3.1).

Sile na analitički način
Vrijednost rezultante jednaka je vektorskom (geometrijskom) zbroju vektora sustava sila. Rezultantu određujemo geometrijski. Biramo koordinatni sustav, određujemo projekcije svih zadataka

Konvergentne sile u analitičkom obliku
Na temelju činjenice da je rezultanta jednaka nuli dobivamo: Uvjet

Par sila, moment para sila
Par sila je sustav dviju sila koje su jednake po modulu, paralelne i usmjerene u različitim smjerovima. Razmotrimo sustav sila (P; B") koji tvore par.

Moment sile oko točke
Sila koja ne prolazi kroz točku pričvršćenja tijela uzrokuje rotaciju tijela u odnosu na točku, pa se djelovanje takve sile na tijelo procjenjuje kao moment. Moment sile rel.

Poinsotov teorem o paralelnom prijenosu sila
Sila se može prenijeti paralelno s pravcem njezinog djelovanja zbrajanjem para sila s momentom jednakim umnošku modula sile i udaljenosti na koju je sila prenesena.

smještene snage
Linije djelovanja proizvoljnog sustava sila ne sijeku se u jednoj točki, stoga, za procjenu stanja tijela, takav sustav treba pojednostaviti. Da biste to učinili, sve sile sustava proizvoljno se prenose na jednu

Utjecaj referentne točke
Referentna točka odabire se proizvoljno. Kada promijenite položaj točke redukcije, vrijednost glavnog vektora se neće promijeniti. Promijenit će se vrijednost glavnog trenutka kada se točka redukcije pomakne,

Ravni sustav sila
1. U ravnoteži je glavni vektor sustava jednak nuli. Analitička definicija glavnog vektora dovodi do zaključka:

Vrste opterećenja
Prema načinu primjene opterećenja se dijele na koncentrirana i raspodijeljena. Ako se u stvarnosti prijenos opterećenja događa na zanemarivoj površini (u točki), opterećenje se naziva koncentrirano

Moment sile oko osi
Moment sile oko osi jednak je momentu projekcije sile na ravninu okomitu na os, u odnosu na točku presjeka osi s ravninom (sl. 7.1 a). MO

Vektor u prostoru
U prostoru se vektor sile projicira na tri međusobno okomite koordinatne osi. Projekcije vektora tvore rubove pravokutnog paralelopipeda, vektor sile podudara se s dijagonalom (Sl. 7.2

Prostorni konvergentni sustav sila
Prostorni konvergentni sustav sila je sustav sila koje ne leže u istoj ravnini, čije se pravce djelovanja sijeku u jednoj točki. Rezultantni prostorni sustav si

Dovođenje proizvoljnog prostornog sustava sila u središte O
Zadan je prostorni sustav sila (sl. 7.5a). Dovedimo ga u središte O. Sile se moraju gibati paralelno i nastaje sustav parova sila. Trenutak svakog od ovih parova je

Težište homogenih ravnih tijela
(plosnati likovi) Vrlo često je potrebno odrediti težište raznih ravnih tijela i geometrijskih ravnih likova složenog oblika. Za ravna tijela možemo napisati: V =

Određivanje koordinata težišta ravnih likova
Bilješka. Težište simetričnog lika nalazi se na osi simetrije. Težište štapa je na sredini visine. Položaji težišta jednostavnih geometrijskih oblika mogu

Kinematika točke
Imati predodžbu o prostoru, vremenu, putanji, putanji, brzini i ubrzanju Znati postaviti kretanje točke (prirodno i koordinatno). Znati notaciju

Prijeđena udaljenost
Staza se mjeri po stazi u smjeru vožnje. Oznaka - S, mjerne jedinice - metri. Jednadžba gibanja točke: Definiranje jednadžbe

Brzina putovanja
Vektorska vrijednost koja trenutno karakterizira brzinu i smjer kretanja duž putanje naziva se brzinom. Brzina je vektor usmjeren duž k

točkasto ubrzanje
Vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene veličine i smjera brzine naziva se akceleracija točke. Brzina točke pri kretanju iz točke M1

Jednoliko kretanje
Jednoliko gibanje je gibanje stalnom brzinom: v = const. Za pravocrtno ravnomjerno gibanje (Sl. 10.1 a)

Jednakopromjenljivo gibanje
Jednakopromjenljivo gibanje je gibanje s konstantnom tangencijalnom akceleracijom: at = const. Za pravocrtno ravnomjerno gibanje

translatorno kretanje
Translatorno je takvo kretanje krutog tijela pri kojem svaka pravac na tijelu tijekom kretanja ostaje paralelna sa svojim početnim položajem (sl. 11.1, 11.2). Na

rotacijsko kretanje
Tijekom rotacijskog gibanja sve točke tijela opisuju kružnice oko zajedničke nepomične osi. Nepomična os oko koje se okreću sve točke tijela naziva se os rotacije.

Posebni slučajevi rotacijskog gibanja
Jednolika rotacija (kutna brzina je konstantna): ω = const Jednadžba (zakon) jednolike rotacije u ovom slučaju ima oblik:

Brzine i ubrzanja točaka rotacijskog tijela
Tijelo rotira oko točke O. Odredimo parametre gibanja točke koja se nalazi na udaljenosti RA od osi rotacije (sl. 11.6, 11.7). Staza

Riješenje
1. Odjeljak 1 - neravnomjerno ubrzano kretanje, ω \u003d φ '; ε = ω’ 2. Odsječak 2 - brzina je konstantna - gibanje je jednoliko, . ω = const 3.

Osnovne definicije
Složeno gibanje je gibanje koje se može rastaviti na više jednostavnih. Jednostavni pokreti su translatorni i rotacijski. Razmotriti složeno kretanje točaka

Planparalelno gibanje krutog tijela
Planparalelno, ili ravno, je takvo gibanje krutog tijela pri kojem se sve točke tijela gibaju paralelno s nekom fiksnom u referentnom okviru koji se razmatra.

translatorni i rotacijski
Planparalelno gibanje se rastavlja na dva gibanja: translatorno uz određeni pol i rotacijsko u odnosu na taj pol. Razlaganje se koristi za određivanje

Središte brzina
Brzina bilo koje točke tijela može se odrediti pomoću trenutnog središta brzina. U ovom slučaju složeno kretanje predstavlja se kao lanac rotacija oko različitih središta. Zadatak

Aksiomi dinamike
Zakoni dinamike sažimaju rezultate brojnih pokusa i opažanja. Zakone dinamike, koji se obično smatraju aksiomima, formulirao je Newton, ali su prvi i četvrti zakon također

Pojam trenja. Vrste trenja
Trenje je otpor koji se javlja kada se jedno grubo tijelo kreće po površini drugog. Kod klizanja tijela nastaje trenje klizanja, a kod kotrljanja trenje kotrljanja. Priroda otpora

trenje kotrljanja
Otpor kotrljanja povezan je s međusobnom deformacijom tla i kotača i mnogo je manji od trenja klizanja. Obično se tlo smatra mekšim od kotača, tada je tlo uglavnom deformirano, i

Besplatni i nebesplatni bodovi
Materijalna točka, čije kretanje u prostoru nije ograničeno nikakvim ograničenjima, naziva se slobodnom. Problemi se rješavaju pomoću osnovnog zakona dinamike. Materijal dakle

Riješenje
Aktivne sile: pogonska sila, sila trenja, gravitacija. Reakcija u osloncu R. Djelujemo silom tromosti u suprotnom smjeru od akceleracije. Sustav sila koje djeluju na platformu prema d'Alembertovom principu

Rad rezultantne sile
Pod djelovanjem sustava sila točka mase m pomakne se iz položaja M1 u položaj M 2 (sl. 15.7). U slučaju gibanja pod djelovanjem sustava sila,

Vlast
Za karakterizaciju učinka i brzine rada uvodi se pojam snage. Snaga je rad obavljen u jedinici vremena:

Snaga rotacije
Riža. 16.2 Tijelo se giba po luku radijusa od točke M1 do točke M2 M1M2 = φr Rad sile

Učinkovitost
Svaki stroj i mehanizam, obavljajući rad, troši dio energije za svladavanje štetnih otpora. Dakle, stroj (mehanizam), osim korisnog rada, obavlja i dodatni

Teorem o promjeni količine gibanja
Količina gibanja materijalne točke vektorska je veličina jednaka umnošku mase točke i njezine brzine mv. Vektor količine gibanja poklapa se s

Teorem o promjeni kinetičke energije
Energija je sposobnost tijela da izvrši mehanički rad. Postoje dva oblika mehaničke energije: potencijalna energija ili energija položaja i kinetička energija,

Osnove dinamike sustava materijalnih točaka
Skup materijalnih točaka međusobno povezanih silama interakcije naziva se mehanički sustav. Svako materijalno tijelo u mehanici se smatra mehaničkim

Osnovna jednadžba dinamike rotacijskog tijela
Neka kruto tijelo rotira oko osi Oz pod djelovanjem vanjskih sila kutnom brzinom

napon
Metoda presjeka omogućuje određivanje veličine faktora unutarnje sile u presjeku, ali ne omogućuje utvrđivanje zakona raspodjele unutarnjih sila po presjeku. Za procjenu jakosti n

Čimbenici unutarnjih sila, naprezanja. Plotanje
Imati predodžbu o uzdužnim silama, o normalnim naprezanjima u presjecima. Poznavati pravila za konstruiranje dijagrama uzdužnih sila i normalnih naprezanja, zakon raspodjele

Uzdužne sile
Promotrimo gredu opterećenu vanjskim silama duž osi. Greda je pričvršćena u zid (fiksiranje "ugradnje") (slika 20.2a). Dijelimo gredu na dijelove opterećenja. Područje opterećenja sa

Geometrijske karakteristike ravnih presjeka
Imati predodžbu o fizikalnom značenju i postupku određivanja aksijalnog, centrifugalnog i polarnog momenta tromosti, o glavnim središnjim osima i glavnim središnjim momentima tromosti.

Statički moment površine presjeka
Razmotrimo proizvoljan presjek (sl. 25.1). Podijelimo li presjek na beskonačno mala područja dA i pomnožimo svako područje s udaljenosti do koordinatne osi i integriramo dobiveni

centrifugalni moment tromosti
Centrifugalni moment tromosti presjeka je zbroj umnožaka elementarnih površina i ukupne površine po obje koordinate:

Aksijalni momenti tromosti
Aksijalni moment tromosti presjeka u odnosu na neko dvorište koje leži u istoj ravnini zbroj je umnožaka elementarnih površina po kvadratu njihove udaljenosti uzeto preko cijele površine

Polarni moment tromosti presjeka
Polarni moment tromosti presjeka u odnosu na određenu točku (pol) je zbroj umnožaka elementarnih područja uzetih po cijelom području i kvadrata njihove udaljenosti do ove točke:

Momenti tromosti najjednostavnijih presjeka
Aksijalni momenti tromosti pravokutnika (Sl. 25.2) Zamislimo izravno

Polarni moment tromosti kruga
Za kružnicu se prvo izračunava polarni moment tromosti, a zatim aksijalni. Zamislite krug kao skup beskonačno tankih prstenova (slika 25.3).

Torzijske deformacije
Torzija oblog nosača nastaje kada ga opterećuju parovi sila s momentima u ravninama okomitim na uzdužnu os. U ovom slučaju, generatrix grede je savijen i okrenut kroz kut γ,

Hipoteze u torziji
1. Hipoteza ravnih presjeka je ispunjena: poprečni presjek grede, koji je ravan i okomit na uzdužnu os, nakon deformacije ostaje ravan i okomit na uzdužnu os.

Faktori unutarnje sile u torziji
Torzija se naziva opterećenjem, kod kojeg u poprečnom presjeku grede nastaje samo jedan unutarnji faktor sile - moment. Vanjska opterećenja također su dva pro

Ploče momenta
Zakretni momenti mogu varirati duž osi grede. Nakon određivanja vrijednosti momenata duž presjeka, gradimo dijagram momenta duž osi šipke.

Torziona naprezanja
Na površini grede nacrtamo mrežu uzdužnih i poprečnih linija i razmotrimo uzorak formiran na površini nakon Sl. 27.1a deformacija (sl. 27.1a). Pop

Maksimalna torzijska naprezanja
Iz formule za određivanje naprezanja i dijagrama raspodjele posmičnih naprezanja pri uvijanju vidljivo je da se najveća naprezanja javljaju na površini. Odredite maksimalni napon

Vrste proračuna čvrstoće
Postoje dvije vrste proračuna čvrstoće 1. Projektni proračun - određuje se promjer grede (vratila) u opasnom presjeku:

Proračun krutosti
Pri proračunu krutosti utvrđuje se deformacija i uspoređuje s dopuštenom. Promotrimo deformaciju okrugle šipke pod djelovanjem vanjskog para sila s momentom t (sl. 27.4).

Osnovne definicije
Zavoj je vrsta opterećenja kod koje u presjeku grede nastaje unutarnji faktor sile - moment savijanja. Bar radi

Čimbenici unutarnje sile pri savijanju
Primjer 1. Promotrimo gredu na koju djeluje par sila s momentom t i vanjskom silom F (sl. 29.3a). Za određivanje unutarnjih faktora sile koristimo metodu s

Momenti savijanja
Poprečna sila u presjeku smatra se pozitivnom ako nastoji okrenuti

Diferencijalne ovisnosti za izravno poprečno savijanje
Konstrukcija dijagrama posmičnih sila i momenata savijanja znatno se pojednostavljuje korištenjem diferencijalnih odnosa između momenta savijanja, posmične sile i jednolikog intenziteta.

Metoda presjeka Dobiveni izraz može se generalizirati
Poprečna sila u presjeku koji se razmatra jednaka je algebarskom zbroju svih sila koje djeluju na gredu do presjeka koji se razmatra: Q = ΣFi Budući da govorimo o

napon
Razmotrimo savijanje grede uklještene s desne strane i opterećene koncentriranom silom F (sl. 33.1).

Napregnuto stanje u točki
Stanje naprezanja u točki karakteriziraju normalna i tangencijalna naprezanja koja nastaju na svim područjima (presjecima) koja prolaze kroz danu točku. Obično je dovoljno definirati

Pojam složenog deformiranog stanja
Skup deformacija koje se javljaju u različitim smjerovima iu različitim ravninama koje prolaze kroz točku određuju deformirano stanje u toj točki. Složene deformacije

Proračun okrugle šipke za savijanje uvijanjem
U slučaju proračuna okrugle grede pod djelovanjem savijanja i torzije (slika 34.3), potrebno je uzeti u obzir normalna i posmična naprezanja, budući da se u oba slučaja javljaju maksimalne vrijednosti naprezanja

Pojam stabilne i nestabilne ravnoteže
Relativno kratke i masivne šipke oslanjaju se na kompresiju, jer. kvare se zbog razaranja ili zaostalih deformacija. Duge šipke malog presjeka pod akcijom

Izračun održivosti
Proračun stabilnosti sastoji se u određivanju dopuštene tlačne sile i, u usporedbi s njom, djelujuće sile:

Izračun po Eulerovoj formuli
Problem određivanja kritične sile matematički je riješio L. Euler 1744. Za štap zglobno spojen s obje strane (sl. 36.2), Eulerova formula ima oblik

Kritična naprezanja
Kritično naprezanje je tlačno naprezanje koje odgovara kritičnoj sili. Naprezanje od tlačne sile određeno je formulom

Granice primjenjivosti Eulerove formule
Eulerova formula vrijedi samo u granicama elastičnih deformacija. Dakle, kritično naprezanje mora biti manje od granice elastičnosti materijala. Pret

NA klasična mehanika ideje o snage a njihova se svojstva temelje na Newtonovi zakoni a neraskidivo su povezani s pojmom inercijski referentni okvir.

Doista, fizikalnu veličinu koja se naziva sila uvodi u razmatranje drugi Newtonov zakon, dok je sam zakon formuliran samo za inercijalne referentne okvire. Sukladno tome, ispada da je pojam sile u početku definiran samo za takve referentne okvire.

Jednadžba drugog Newtonovog zakona koja se odnosi ubrzanje i masa materijalna točka sa silom koja na njega djeluje, zapisuje se u obliku

Iz jednadžbe izravno proizlazi da su samo sile uzrok ubrzanja tijela, i obrnuto: djelovanje nekompenziranih sila na tijelo nužno uzrokuje njegovo ubrzanje.

Newtonov treći zakon nadopunjuje i razvija ono što je rečeno o silama u drugom zakonu.

sila je mjera mehaničkog djelovanja drugih tijela na određeno materijalno tijelo

u skladu s Newtonovim trećim zakonom, sile mogu postojati samo u parovima, a priroda sila u svakom takvom paru je ista.

svaka sila koja djeluje na tijelo ima izvor u obliku drugog tijela. Drugim riječima, sile su nužno rezultat interakcije tel.

Nikakve druge sile u mehanici se ne uzimaju u obzir niti koriste. Mogućnost postojanja sila koje su nastale samostalno, bez međusobnog djelovanja tijela, mehanika ne dopušta.

Iako nazivi Eulerove i d'Alembertove sile tromosti sadrže riječ snaga, te fizičke veličine nisu sile u smislu prihvaćenom u mehanici.

34. Pojam planparalelnog gibanja krutog tijela

Gibanje krutog tijela naziva se planparalelnim ako se sve točke tijela gibaju u ravninama paralelnim s nekom nepokretnom ravninom (glavnom ravninom). Neka neko tijelo V vrši ravninsko gibanje, π - glavna ravnina. Iz definicije planparalelnog gibanja i svojstava apsolutno krutog tijela, proizlazi da će svaki segment pravca AB, okomit na ravninu π, vršiti translatorno gibanje. To znači da će putanje, brzine i ubrzanja svih točaka segmenta AB biti iste. Dakle, kretanje svake točke presjeka s paralelno s ravninom π određuje kretanje svih točaka tijela V koje leže na segmentu okomitom na presjek u ovoj točki. Primjeri planparalelnog gibanja su: kotrljanje kotača duž ravnog segmenta, jer se sve njegove točke kreću u ravninama paralelnim s ravninom okomitom na os kotača; poseban slučaj takvog kretanja je rotacija krutog tijela oko nepomične osi, zapravo, sve točke rotacijskog tijela gibaju se u ravninama paralelnim s nekom fiksnom ravninom okomitom na os rotacije.

35. Sile tromosti kod pravocrtnog i krivocrtnog gibanja materijalne točke

Sila kojom se točka opire promjeni gibanja naziva se sila tromosti materijalne točke. Sila tromosti usmjerena je suprotno od akceleracije točke i jednaka je masi puta akceleraciji.

U ravnoj liniji smjer ubrzanja poklapa se s putanjom. Sila inercije usmjerena je u smjeru suprotnom od ubrzanja, a njezina brojčana vrijednost određena je formulom:

Kod ubrzanog gibanja smjerovi ubrzanja i brzine se poklapaju te je sila tromosti usmjerena u smjeru suprotnom od gibanja. Kod usporenog kretanja, kada je akceleracija usmjerena u smjeru suprotnom od brzine, sila tromosti djeluje u smjeru gibanja.

Nakrivolinijska i neravnapokret ubrzanje se može rastaviti na normalno an i tangenta na komponente. Slično tome, sila tromosti točke također se sastoji od dvije komponente: normalne i tangencijalne.

Normalan komponenta inercijske sile jednaka je umnošku mase točke i normalne akceleracije i usmjerena je suprotno od te akceleracije:

Tangens komponenta inercijske sile jednaka je umnošku mase točke i tangencijalnog ubrzanja i usmjerena je suprotno od tog ubrzanja:

Očito, ukupna sila tromosti točke M jednaka je geometrijskom zbroju normalne i tangentne komponente, tj.

S obzirom da su tangentna i normalna komponenta međusobno okomite, ukupna sila tromosti.

Nakon što smo utvrdili da pojedinačne točke u Newtonovom apsolutnom prostoru nisu fizička stvarnost, sada se moramo zapitati što ostaje unutar

uopće ovaj koncept? Ostaje sljedeće: otpor svih tijela akceleraciji mora se tumačiti u Newtonovom smislu kao djelovanje apsolutnog prostora. Lokomotiva koja pokreće vlak svladava otpor tromosti. Projektil koji ruši zid crpi svoju razornu snagu iz inercije. Djelovanje inercije očituje se kad god se dogode ubrzanja, a potonja nisu ništa drugo nego promjene brzine u apsolutnom prostoru (možemo koristiti potonji izraz, budući da je promjena brzine jednake veličine u svim inercijskim okvirima). Dakle, referentni okviri, koji se sami gibaju s akceleracijom u odnosu na inercijalne okvire, nisu ekvivalentni potonjem ili jedan drugome. Moguće je, naravno, odrediti zakone mehanike u takvim sustavima, ali oni će poprimiti složeniji oblik. Čak se i putanja slobodnog tijela ne pokazuje više ravnomjerna i pravocrtna u ubrzanom sustavu (vidi pogl. str. 59). Potonje se može izraziti u obliku tvrdnje da u ubrzanom sustavu, osim stvarnih sila, postoje i prividne, odnosno inercijalne sile. Tijelo na koje ne djeluju stvarne sile ipak je podložno djelovanju tih inercijskih sila, pa njegovo kretanje u općem slučaju ispada neravnomjerno i nepravocrtno. Na primjer, automobil koji se pokrene ili uspori je takav ubrzani sustav. Svatko zna guranje vlaka koji se kreće ili zaustavlja; nije ništa drugo nego djelovanje inercijske sile o kojoj govorimo.

Razmotrimo ovu pojavu u detalje na primjeru sustava koji se giba pravocrtno s akceleracijom. Ako mjerimo akceleraciju tijela u odnosu na takav sustav u gibanju, tada će njegova akceleracija u odnosu na apsolutni prostor očito biti veća za. Stoga je temeljna zakon mehanike u ovom prostoru ima oblik

Ako to napišemo u obliku

tada možemo reći da je zakon gibanja u Newtonovom obliku zadovoljen u ubrzanom sustavu, tj.

osim što sada sila mora biti postavljena na K, što je jednako

gdje je K stvarna sila, a prividna sila ili sila tromosti.

Dakle, ova sila djeluje na slobodno tijelo. Njegovo djelovanje može se ilustrirati sljedećim razmišljanjem: znamo da je gravitacija na Zemlji - sila teže - određena formulom G = mg, gdje je konstantno ubrzanje gravitacije. Sila inercije u ovom slučaju djeluje poput gravitacije; predznak minus znači da je sila tromosti usmjerena suprotno od akceleracije referentnog okvira koji se koristi kao osnova. Veličina prividne gravitacijske akceleracije y podudara se s akceleracijom referentnog okvira. Dakle, gibanje slobodnog tijela u okviru je jednostavno gibanje tipa koje poznajemo kao pad ili gibanje bačenog tijela.

Ovaj odnos između inercijskih sila u ubrzanim sustavima i sile gravitacije ovdje se još uvijek čini pomalo umjetnim. Zapravo, prošlo je nezapaženo dvjesto godina. Međutim, već u ovoj fazi moramo istaknuti da ona čini osnovu Einsteinove opće teorije relativnosti.

SILA TROMOSTI

SILA TROMOSTI

Vektorska veličina numerički jednaka umnošku mase m materijalne točke i njezinog w i usmjerena suprotno od akceleracije. Kod krivocrtnog kretanja S. i. može se rastaviti na tangentu ili tangencijalnu komponentu Jt, usmjerenu suprotno od tangente. ubrzanje wt, a na normalnu komponentu Jn usmjerenu duž normale na putanju iz središta zakrivljenosti; numerički Jt=mwt, Jn=mv2/r, gdje je v - točke, r - radijus zakrivljenosti putanje. Proučavajući gibanje u odnosu na inercijski referentni okvir, S. i. uveden kako bi imali formalnu priliku sastavljati jednadžbe dinamike u obliku jednostavnijih jednadžbi statike (vidi). Koncept S. i. također se uvodi u proučavanje relativnog gibanja. U ovom slučaju, dodavanje sila interakcije s drugim tijelima koja djeluju na materijalnu točku S. i. - prijenosne Jper i Coriolisove sile Jcor - omogućuje vam sastavljanje jednadžbi gibanja ove točke u pokretnom (neinercijalnom) okviru referenca na isti način kao u inercijskoj.

Fizički enciklopedijski rječnik. - M.: Sovjetska enciklopedija. . 1983 .

SILA TROMOSTI

Vektorska veličina numerički jednaka umnošku mase t materijalnu točku na njeno ubrzanje w a usmjerena suprotno od akceleracije. Kod krivocrtnog kretanja S. i. može se rastaviti na tangentu, ili tangencijalnu, komponentu usmjerenu suprotno od tangente. ubrzanje, a na normalnoj, ili centrifugalnoj, komponenti, usmjerenoj duž Ch. normale putanje iz središta zakrivljenosti; brojčano , , gdje v- brzina točke je polumjer zakrivljenosti putanje. Pri proučavanju kretanja u odnosu na inercijski referentni okvir S. i. uveden kako bi se dobila formalna prilika za sastavljanje jednadžbi dinamike u obliku jednostavnijih jednadžbi statike (vidi. D "Alamberov princip, Kinetostatika).

Koncept S. i. također uveden u studiju relativno kretanje. U ovom slučaju, dodavanjem prijenosne sile J nep silama međudjelovanja s drugim tijelima koja djeluju na materijalnu točku i Coriolisova sila inercija, Targ.

Fizička enciklopedija. U 5 svezaka. - M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni urednik A. M. Prokhorov. 1988 .

Pogledajte što je "POWER OF INERTIA" u drugim rječnicima:

- (također inercijalna sila) pojam široko korišten u različitim značenjima u egzaktnim znanostima, a također, kao metafora, u filozofiji, povijesti, novinarstvu i fikciji. U egzaktnim znanostima, sila inercije je obično koncept ... Wikipedia

Moderna enciklopedija

Vektorska veličina brojčano jednaka umnošku mase m materijalne točke i modula njezine akceleracije? a usmjeren suprotno od akceleracije... Veliki enciklopedijski rječnik

sila inercije- Vektorska veličina, čiji je modul jednak umnošku mase materijalne točke i modula njezine akceleracije i usmjeren je suprotno od te akceleracije. [Zbirka preporučenih pojmova. Broj 102. Teorijska mehanika. Akademija znanosti SSSR-a. Odbor…… Tehnički prevoditeljski priručnik

sila inercije- SILA TROME, vektorska veličina brojčano jednaka umnošku mase m materijalne točke i njezine akceleracije u i usmjerena suprotno od akceleracije. Nastaje zbog neinercijalnosti referentnog sustava (rotacija ili pravocrtno gibanje s ... ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

sila inercije- inercijos jėga statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus materialiojo taško arba kūno masės ir pagreičio sandaugai; kryptis priešinga pagreičiui. atitikmenys: engl. sila tromosti vok. Tragheitskraft, f;… … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

Vektorska veličina numerički jednaka umnošku mase m materijalne točke i modula njezine akceleracije w i usmjerena suprotno od akceleracije. * * * SILA TROME SILA TROME, vektorska veličina, brojčano jednaka umnošku mase m materijala ... ... enciklopedijski rječnik

sila inercije- inercijos jėga statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. inercijska sila vok. Tragheitskraft, f rus. inercijalna sila, fpranc. sila d inercija, f … Automatikos terminų žodynas

sila inercije- inercijos jėga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inercijska sila vok. Tragheitskraft, f rus. inercijalna sila, fpranc. sila inercije, f … Fizikos terminų žodynas

sila inercije- vrijednost brojčano jednaka umnošku mase tijela i njegove akceleracije, a usmjerena suprotno od akceleracije; Vidi također: sila sila trenja sila svjetlosti sila otpora sila unutrašnjeg trenja ... Enciklopedijski rječnik metalurgije

Sile inercije i osnovni zakon mehanike

Bernikov Vasilij Ruslanovič,

inženjer.

Predgovor

Unutarnje sile u nekim su slučajevima uzrok pojave vanjskih sila koje djeluju na sustav , , , . Sile inercije uvijek su vanjske u odnosu na bilo koji pokretni sustav materijalnih tijela , , , . Sile inercije djeluju na isti način kao i sile interakcije, one su sasvim stvarne, mogu izvršiti rad, dati ubrzanje , , , . Uz veliki broj teorijskih preduvjeta u mehanici, mogućnost korištenja inercijskih sila kao translatorne sile u izradi konstrukcija nije dovela do pozitivnog rezultata. Mogu se primijetiti samo neki dobro poznati dizajni s niskom učinkovitošću korištenja sila inercije: Tolchinov inertsoid, Frolovljev vrtložni tekući propulzor, Thornsonov propulzor. Spori razvoj inercijalnog pogona objašnjava se nedostatkom temeljne teorijske potkrepljenosti promatranog učinka. Na temelju uobičajenih klasičnih pojmova fizikalne mehanike, u ovom radu je stvorena teorijska osnova za korištenje sila tromosti kao translatorne sile.

§jedan. Osnovni zakon mehanike i njegove posljedice.

Razmotrimo zakone transformacije sila i ubrzanja u različitim referentnim okvirima. Odaberimo proizvoljno nepomičan inercijalni referentni okvir i dogovorimo se da se gibanje u odnosu na njega smatra apsolutnim. U takvom referentnom sustavu osnovna jednadžba gibanja materijalne točke je jednadžba koja izražava drugi Newtonov zakon.

m w trbušnjaci = F, (1.1)

gdje F- sila međudjelovanja tijela.

Tijelo koje miruje u pomičnom referentnom okviru vuče ga ovaj potonji u svom gibanju u odnosu na nepomični referentni okvir. Ovaj pokret se naziva prijenosnim. Gibanje tijela u odnosu na referentni sustav nazivamo relativnim. Apsolutno gibanje tijela sastoji se od njegovih relativnih i figurativnih gibanja. U neinercijalnim referentnim okvirima (referentnim okvirima koji se gibaju ubrzano), zakon transformacije ubrzanja za translatorno gibanje ima sljedeći oblik

w trbušnjaci = w rel +w po. (1.2)

Uzimajući u obzir (1.1) za sile, pišemo jednadžbu relativnog gibanja za materijalnu točku u referentnom okviru koja se giba translatorno ubrzano

mw rel = F - mw traka, (1.3)

gdje mw per je translacijska sila tromosti, koja ne nastaje zbog međudjelovanja tijela, već zbog ubrzanog gibanja referentnog okvira. Gibanje tijela pod djelovanjem inercijskih sila slično je gibanju u vanjskim poljima sila [2, str.359]. Količina gibanja centra mase sustava [3, str.198] može se promijeniti promjenom unutrašnje količine rotacije ili unutrašnje translacijske količine gibanja. Sile inercije su uvijek vanjske [2, str.359] u odnosu na bilo koji pokretni sustav materijalnih tijela.

Pretpostavimo sada da se referentni okvir kreće sasvim proizvoljno u odnosu na fiksni referentni okvir. Ovo kretanje se može podijeliti na dva: translatorno kretanje brzinom v o, jednaka brzini kretanja ishodišta, i rotacijsko kretanje oko trenutne osi koja prolazi kroz to ishodište. Označavamo kutnu brzinu te rotacije w, a udaljenost od ishodišta koordinata pomičnog referentnog sustava do pomične točke u njemu kroz r. Osim toga, pokretna točka ima brzinu u odnosu na pokretni referentni okvir v rel. Tada za apsolutno ubrzanje [2, str.362] znamo relaciju

w trbušnjaci = w rel - 2[ v rel w] + (d v o /dt) - w 2 r ^ + [ (d w/ dt) r] ,. (1.4)

gdje r ^ - komponenta radijus-vektora r, okomito na trenutnu os rotacije. Prenesemo relativnu akceleraciju na lijevu stranu, a apsolutnu akceleraciju na desnu stranu i sve pomnožimo s masom tijela, dobijemo osnovnu jednadžbu sila relativnog gibanja [ 2, str.364] materijalne točke. u proizvoljno pokretnom referentnom okviru

mw rel = mw trbušnjaci + 2m[ v rel w] - m(d v o /dt) + mw 2 r ^ – m[ (d w/ dt) r] . (1.5)

Ili respektivno

mw rel = F + F na + F n+ F c + Fφ, (1.6)

gdje: F- sila međudjelovanja tijela; F k je Coriolisova sila tromosti; F p je translacijska sila tromosti; F c - centrifugalna sila tromosti; F f je fazna sila tromosti.

Smjer sile međudjelovanja tijela F poklapa se sa smjerom ubrzanja tijela. Coriolisova sila tromosti F k je usmjeren prema vektorskom umnošku radijalne i kutne brzine, odnosno okomito na oba vektora. Translacijska inercijska sila F n je usmjeren suprotno od akceleracije tijela. Centrifugalna sila tromosti F q je usmjeren duž polumjera iz središta rotacije tijela. Fazna sila inercije Fφ je usmjeren suprotno od vektorskog umnoška kutne akceleracije i polumjera iz središta rotacije okomito na te vektore.

Dakle, dovoljno je znati veličinu i smjer sila inercije i interakcije kako bi se odredila putanja tijela u odnosu na bilo koji referentni okvir.

Osim sila tromosti i međudjelovanja tijela, postoje sile promjenljive mase, koje su rezultat djelovanja sila tromosti. Razmotrite drugi Newtonov zakon u diferencijalnom obliku [2, str.77]

d P/dt = ∑ F, (1.7)

gdje: P je moment količine gibanja sustava tijela; ∑ F je zbroj vanjskih sila.

Poznato je da moment količine gibanja sustava tijela u općem slučaju ovisi o vremenu i prema tome jednak je

P(t) = m(t) v(t), (1.8)

gdje je: m(t) masa sustava tijela; v(t) je brzina sustava tijela.

Kako je brzina vremenska derivacija koordinata sustava, onda

v(t) = d r(t)/dt, (1.9)

gdje r je radijus vektor.

U budućnosti ćemo misliti na ovisnost o vremenu: masu, brzinu i radijus vektor. Zamjenom (1.9) i (1.8) u (1.7) dobivamo

d(m (d r/dt))/dt = ∑ F. (1.10)

Uvodimo masu m pod predznak diferencijala [1, str.295], dakle

d[ (d(m r)/dt) – r(dm/dt)]/dt = ∑ F.

Izvodnica razlike jednaka je razlici izvodnica

d [ (d(m r)/dt) ] dt – d [ r(dm/dt)] /dt =∑ F.

Provedimo detaljno razlikovanje svakog pojma prema pravilima za razlikovanje proizvoda

m(d2 r/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) + (dm/dt)(d r/dt) +

+ r(d 2 m/dt 2) – r(d 2 m/dt 2)- (dm/dt)(d r/dt) = ∑ F. (1.11)

Prikazat ćemo slične članove i napisati jednadžbu (1.11) u sljedećem obliku

m(d2 r/dt 2) = ∑ F- (dm/dt)(d r/dt). (1.12)

Na desnoj strani jednadžbe (1.12) nalazi se zbroj svih vanjskih sila. Posljednji član naziva se sila promjenljive mase, tj

F pm = - (dm/dt)(d r/dt). (1.13)

Time se vanjskim silama dodaje još jedna vanjska sila - sila promjenljive mase. Izraz u prvoj zagradi s desne strane jednadžbe (1.13) je brzina promjene mase, a izraz u drugoj zagradi je brzina odvajanja (pripajanja) čestica. Dakle, ova sila djeluje kada se masa (reaktivna sila) [2, str.120] sustava tijela mijenja s odvajanjem (spajanjem) čestica odgovarajućom brzinom u odnosu na taj sustav tijela. Jednadžba (1.12) je jednadžba Meshcherskyja [2, str.120], znak minus označava da je jednadžba izvedena pod pretpostavkom djelovanja unutarnjih sila (odvajanje čestica). Kako je jednadžba (1.12) izvedena pod pretpostavkom promjene momenta količine gibanja sustava tijela pod utjecajem unutarnjih sila koje generiraju vanjske, egzaktnom matematičkom metodom, dakle, kada je izvedena u izrazu (1.11), pojavile su se još dvije sile koje ne sudjeluju u promjeni momenta količine gibanja sustava tijela, budući da se poništavaju pri smanjenju sličnih članova. Prepišimo jednadžbu (1.11), uzimajući u obzir jednadžbu (1.13), bez poništavanja sličnih članova, kako slijedi

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt) = ∑ F + F pm + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt). (1.14)

Označimo pretposljednji član izraza (1.14) sa F m, a posljednji kroz F d, tada

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) = ∑ F + F pm + F m + F d. (1.15)

Od snage F m ne sudjeluje u promjeni količine gibanja, tada se može napisati kao posebna jednadžba

F m = r(d 2 m/dt 2). (1.16)

Razmotrimo fizičko značenje jednadžbe (1.16), za to ćemo je prepisati u sljedećem obliku

r = F m /(d 2 m/dt 2). (1.17)

Omjer sile i ubrzanog rasta mase u određenom volumenu je konstantna veličina, odnosno prostor koji zauzima određena količina neke vrste tvari karakterizira minimalni volumen. Snaga F m je statičan i vrši funkciju pritiska.

Snaga F q također ne sudjeluje u promjeni količine gibanja sustava tijela, pa je pišemo kao zasebnu jednadžbu i razmatramo njen fizički smisao

F d = (dm/dt)(d r/dt). (1.18)

Snaga F d je sila pritiska kojom tvar u tekućem ili plinovitom stanju djeluje na okolni prostor. Karakterizira ga broj, masa i brzina čestica koje stvaraju pritisak u određenom smjeru. Treba napomenuti da pritisak F q poklapa se s promjenjivom silom mase F pm i njihova se razlika vrši samo da bi se odredila priroda djelovanja u raznim uvjetima. Dakle, jednadžba (1.15) u potpunosti opisuje agregatno stanje. Odnosno, uzimajući u obzir jednadžbu (1.15), možemo zaključiti da je tvar karakterizirana masom kao mjerom tromosti, minimalnim prostorom koji određena količina tvari može zauzeti bez promjene svojih svojstava i tlakom koji tvar vrši u tekuće i plinovito stanje na okolni prostor.

§2. Karakteristike djelovanja inercijskih sila i promjenljive mase.

Translatorno ubrzano gibanje tijela nastaje pod djelovanjem sile prema drugom Newtonovom zakonu. To jest, promjena u veličini brzine tijela događa se uz prisustvo akceleracije i sile koja je uzrokovala to ubrzanje.

Korištenje centrifugalne sile tromosti za translatorno gibanje moguće je samo uz povećanje linearne brzine izvora tih sila, jer s ubrzanim kretanjem sustava, sile tromosti izvora u smjeru povećanja brzine sustava smanjuju dok potpuno ne nestanu. Osim toga, polje inercijskih sila mora biti nejednoliko i imati najveću vrijednost u dijelu sustava u smjeru translatornog gibanja.

Promotrimo gibanje tijela (slika 2.1) mase m po kružnici polumjera R.

Riža. 2.1.

Centrifugalna sila F c, kojim tijelo pritišće kružnicu, određuje se formulom

F c \u003d m ω 2 R. (2.1)

Koristeći dobro poznatu relaciju ω = v /R, gdje je v linearna brzina tijela okomito na polumjer R, formulu (2.1) zapisujemo u sljedećem obliku

F c \u003d m v 2 / R. (2.2)

Centrifugalna sila djeluje u smjeru polumjera R. Sada odmah prekinimo krug po kojem se tijelo kreće. Iskustvo pokazuje da će tijelo letjeti tangencijalno u smjeru linearne brzine v nego u smjeru centrifugalne sile. To jest, u nedostatku podrške, centrifugalna sila trenutno nestaje.

Neka se tijelo mase m giba po elementu polukruga (sl. 2.2) polumjera R, a polukrug se giba akceleracijom w P okomito na promjer.

Riža. 2.2.

Kod jednolikog gibanja tijela (linearna brzina se ne mijenja po veličini) i ubrzanog polukruga, oslonac u obliku polukruga trenutno nestaje i centrifugalna sila će biti jednaka nuli. Ako se tijelo giba pozitivnom linearnom akceleracijom, ono će sustići polukružnicu i djelovat će centrifugalna sila. Nađimo linearnu akceleraciju w tijela pri kojoj djeluje centrifugalna sila, odnosno pritišće polukružnicu. Da bi se to postiglo, vrijeme koje tijelo provede na tangencijalnom putu do sjecišta s isprekidanom linijom paralelnom s promjerom i povučenom kroz točku B (Sl. 2.2) mora biti manje ili jednako vremenu koje će polukrug provesti u smjer okomit na promjer. Neka su početne brzine tijela i polukružnice jednake nuli, a proteklo vrijeme isto, tada je put S AC koji tijelo prijeđe.

S AC = w t 2 /2, (2.3)

a put koji je prešla polukružnica S AB bit će

S AB \u003d w P t 2 / 2. (2.4)

Jednadžbu (2.3) podijelimo s (2.4) i dobijemo

S AC / S AB \u003d w / w P.

Tada je akceleracija tijela w, uzimajući u obzir očitu relaciju S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w P /cosΨ, (2.5)

gdje je 0 £ Ψ £ π/2.

Dakle, projekcija ubrzanja tijela u kružnom elementu na zadani smjer (slika 2.2) uvijek mora biti veća ili jednaka ubrzanju sustava u istom smjeru kako bi se održala centrifugalna sila na djelu. Odnosno, centrifugalna sila djeluje kao translacijska pokretačka sila samo uz prisustvo pozitivne akceleracije koja mijenja vrijednost linearne brzine tijela u sustavu

Slično se dobiva omjer za drugu četvrtinu polukruga (slika 2.3).

Riža. 2.3.

Samo će put koji tijelo prijeđe tangentom krenuti od točke na polukružnici koja se kreće ubrzano sve dok se ne presječe s isprekidanom linijom paralelnom s promjerom i prolazi kroz točku A početnog položaja polukružnice. Kut je u ovom slučaju određen intervalom π/2 ³ Ψ ³ 0.

Za sustav u kojem se tijelo giba jednoliko ili usporeno po kružnici, centrifugalna sila neće uzrokovati translatorno ubrzano gibanje sustava, jer će linearna akceleracija tijela biti nula ili će tijelo zaostajati za ubrzanim gibanjem sustav.

Ako tijelo rotira kutnom brzinom ω a istovremeno se brzinom približava središtu kruga v, tada postoji Coriolisova sila

F k = 2m [ v ω]. (2.6)

Tipičan element trajektorije prikazan je na slici 2.4.

Riža. 2.4.

Sve formule (2.3), (2.4), (2.5) i zaključci za održavanje centrifugalne sile cirkulirajućeg medija na djelu će vrijediti i za Coriolisovu silu, budući da se tijekom ubrzanog gibanja sustava tijelo giba pozitivnom linearnom akceleracija će ići ukorak s akceleracijom sustava i, odnosno, kretati se duž zakrivljene staze, a ne duž tangentne ravne linije, kada nema Coriolisove sile. Krivulja mora biti podijeljena na dvije polovice. U prvoj polovici krivulje (sl. 4) kut se mijenja od početne točke do donje u intervalu -π/2 £ Ψ £ π/2, a u drugoj polovici od donje točke do središta kružnice π/2 ³ Ψ ³ 0. Slično, za rotaciju tijela i njegovo istovremeno odmicanje (sl. 2.5) od središta, Coriolisova sila djeluje kao translacijska sila s pozitivnom akceleracijom linearne brzine tijela. .

Riža. 2.5.

Interval kutova u prvoj polovici od središta kružnice do donje točke 0 £ Ψ £ π/2, a u drugoj polovici od donje točke do krajnje točke π/2 ³ Ψ ³ -π/2.

Razmotrimo translacijsku silu inercije F n (sl. 2.6), koji je određen formulom

F n = -m w,(2.7)

gdje w je ubrzanje tijela.

Riža. 2.6.

Pozitivnom akceleracijom tijela djeluje suprotno gibanju, a negativnom akceleracijom (usporenjem) djeluje u smjeru gibanja tijela. Kada element ubrzanja ili usporavanja (sl. 2.6) djeluje na sustav s kojim su elementi povezani, ubrzanje tijela elementa u apsolutnoj vrijednosti, očito, mora biti veće od modula ubrzanja sustava, uzrokovanog translatornom sila tromosti tijela. To jest, translacijska sila inercije djeluje kao pokretačka sila u prisutnosti pozitivne ili negativne akceleracije.

Fazna sila inercije F f (sila tromosti uzrokovana neravnomjernom rotacijom) određena je formulom

F f = -m [(d ω /dt) R]. (2.8)

Neka radijus R okomito na vektor kutne brzine ω , tada formula (2.8) u skalarnom obliku ima oblik

F f \u003d -m (dω / dt) R. (2.9)

Pozitivnom kutnom akceleracijom tijela (sl. 1.7) ono djeluje suprotno gibanju, a negativnom kutnom akceleracijom (usporenjem) djeluje u smjeru gibanja tijela.

Riža. 2.7.

Koristeći dobro poznatu relaciju ω = v /R, gdje je v linearna brzina tijela okomito na polumjer R, formulu (2.9) zapisujemo u sljedećem obliku

F f \u003d -m (dv / dt). (2.10)

Kako je dv/dt = w, gdje je w linearna akceleracija tijela, jednadžba (2.10) ima oblik

F f = -m w (2.11)

Dakle, formula (2.11) je slična formuli (2.7) za translacijsku inercijalnu silu, samo se akceleracija w mora rastaviti na paralelnu α II i okomitu α ┴ komponentu (sl. 2.8) s obzirom na promjer elementa polukruga.

Riža. 2.8.

Očito, okomita komponenta akceleracije w ┴ stvara moment, jer je u gornjem dijelu polukruga usmjerena ulijevo, au donjem udesno. Paralelna komponenta akceleracije w II stvara translacijsku silu tromosti F f II , budući da je usmjerena u gornjem i donjem dijelu polukruga u jednom smjeru, koji se poklapa sa pravcem w II .

F fII \u003d -m w II. (2.12)

Koristeći relaciju w II = w cosΨ, dobivamo

F FII = -m w cosΨ, (2.13)

gdje je kut Ψ u intervalu -π/2 £ Ψ £ π/2.

Tako je dobivena formula (2.13) za izračunavanje elementa fazne tromosti za translatorno gibanje. To jest, fazna sila inercije djeluje kao pokretačka sila u prisutnosti pozitivne ili negativne linearne akceleracije.

Dakle, razlikuju se četiri elementa translacijske inercijske sile: centrifugalna, Coriolisova, translacijska, fazna. Povezivanjem pojedinih elemenata na određeni način moguće je stvoriti sustave pogonske sile translacijske tromosti.

Razmotrimo silu promjenjive mase definiranu formulom

F pm = - (dm/dt)(d r/dt). (2.14)

Budući da je brzina odvajanja (pripajanja) čestica u odnosu na sustav tijela jednaka

u=d r/dt, (2.15)

tada se jednadžba (2.14) može napisati kao

F pm = - u(dm/dt). (2.16)

U jednadžbi (2.16), varijabilna sila mase je vrijednost sile koju proizvodi odvajajuća čestica tijekom promjene svoje brzine od nule do u ili vrijednost koju proizvede čestica koja se približava tijekom promjene svoje brzine od u sve do nule. Dakle, varijabilna sila mase djeluje u trenutku ubrzanja ili usporavanja čestica, odnosno radi se o translatornoj inercijskoj sili, ali izračunatoj drugim parametrima. S obzirom na gore navedeno, potrebno je razjasniti izvođenje formule Ciolkovskog. Prepisujemo jednadžbu (1.12) u skalarnom obliku i postavljamo ∑ F= 0, tada

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt). (2.17)

Budući da je ubrzanje sustava

d 2 r / dt 2 \u003d dv / dt,

gdje je v brzina sustava, tada će jednadžba (2.17), uzimajući u obzir jednadžbu (2.15), biti

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Množenjem jednadžbe (2.17) s dt dobivamo

mdv = -udm, (2.19)

odnosno, znajući maksimalnu brzinu u = u O odvajanja čestica, koju smatramo konstantnom, moguće je odrediti konačnu brzinu sustava v omjerom početne m O i konačne mase m

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O / m \u003d e v / uo. (2.21)

Jednadžba (2.21) je jednadžba Ciolkovskog.

§3. Kontura cirkulirajućeg medija centrifugalne sile tromosti.

Razmotrimo kruženje medija duž torusa (slika 3.1) s prosječnim radijusom R, koji se kreće kutnom brzinom ω u odnosu na središte O . Modul centrifugalne sile koja djeluje na točkasti element toka mase ∆m bit će jednak

∆ F= ∆m ω 2 R.

U bilo kojem dijelu prstena za identične elemente, centrifugalna sila će biti iste veličine i usmjerena duž polumjera od središta, rastežući prsten. Centrifugalna sila ne ovisi o smjeru vrtnje.

Riža. 3.1.

Izračunajmo sada ukupnu centrifugalnu silu koja djeluje okomito na promjer gornjeg polukruga (slika 3.2). Očito, u smjeru od sredine promjera, okomita projekcija sile bit će maksimalna, postupno se smanjujući do rubova polukruga, zbog simetrije krivulje u odnosu na središnju liniju. Osim toga, rezultanta projekcija centrifugalnih sila koje djeluju paralelno s promjerom bit će jednaka nuli, jer su jednake i suprotno usmjerene.

Riža. 3.2.

Zapisujemo elementarnu funkciju centrifugalne sile koja djeluje na segment točke s masom ∆ m i dužina ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

Masa točkastog elementa jednaka je gustoći toka pomnoženoj s njegovim volumenom

∆ m=ρ ∆ v. (3.2)

Duljina polutorusa duž središnje linije

gdje je π broj pi.

Volumen polovice torusa

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

gdje je r polumjer torusne cijevi.

Za elementarni volumen, pišemo

∆ V = ∆ l r 2 .

Poznato je da za krug

∆ ℓ=R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ Ψ. (3.3)

Zamjenom izraza (3.3) u (3.2) dobivamo:

∆ m=ρ π r 2 R ∆ Ψ. (3.4)

Sada zamijenimo (3.4) u (3.1), dakle

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Centrifugalna sila koja djeluje u okomitom smjeru (Sl. 2)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)-Ψ).

Poznato je da je cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, dakle

∆ F┴ = ∆ F sin Ψ.

Zamijenite vrijednost za ∆ F dobivamo

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 sin Ψ ∆ Ψ.

Odredite ukupnu centrifugalnu silu koja djeluje u okomitom smjeru u rasponu od 0 do Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

Integriramo ovaj izraz, onda dobivamo

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

Uzmimo da je akceleracija w kružećeg medija deset puta veća od akceleracije sustava w c, tj.

U ovom slučaju, prema formuli (2.5), dobivamo

Izračunajte kut djelovanja sila tromosti u radijanima

Ψ ≈ 0,467 π,

što odgovara kutu od 84 stupnja.

Dakle, kutni interval djelovanja inercijalnih sila je

0 £ Ψ £ 84° u lijevoj polovici konture i simetrično 96° £ Ψ £ 180° u desnoj polovici konture. Odnosno, interval odsutnosti aktivnih inercijskih sila u cijelom krugu je oko 6,7% (zapravo, ubrzanje cirkulirajućeg medija puno je veće od ubrzanja sustava, pa će interval odsutnosti aktivnih inercijskih sila biti manji od 1% i može se zanemariti). Za određivanje ukupne centrifugalne sile, u tim intervalima kutova, dovoljno je zamijeniti prvi interval u formulu (3.5) i, zbog simetrije, pomnožiti s 2, dobivamo

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

Nakon jednostavnih izračuna dobivamo

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2.

Poznato je da kutna brzina

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 v 2.

Budući da se cirkulirajući medij mora gibati ubrzano kako bi djelovala sila inercije, izražavamo linearnu brzinu kroz ubrzanje, pretpostavljajući da je početna brzina nula

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 (w t) 2. (3.8)

Prosječna vrijednost za trajanje pozitivne akceleracije, koju smatramo konstantnom, bit će

F ┴CP \u003d ((1,8ρ π r 2 w 2) / t) ∫t 2 dt.

Nakon izračuna dobivamo

F ┴CP \u003d 0,6ρ π r 2 w 2 t 2. (3.9).

Tako je identificirana kontura cirkulirajućeg medija iz koje je moguće napraviti zatvoreni krug i zbrojiti njihove centrifugalne sile.

Sastavimo zatvoreni krug od četiri konture različitih presjeka (slika 3.3): dvije gornje konture polumjera R. s presjekom S i dvije donje konture polumjera R 1 s presjekom S 1, zanemarujući rubne efekte kada cirkulirajući medij prelazi iz jednog dijela u drugi. Neka S< S 1 и радиус

R1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2 , (3.10)

gdje su r 1 i r polumjeri strujanja cirkulirajućeg medija odgovarajućeg presjeka.

Dodatno, zapisujemo očitu relaciju za brzine i ubrzanja

v/v 1 = w/w 1 . (3.11)

Nađimo ubrzanje medija donje konture, koristeći jednadžbe (3.10) i (3.11) za izračune

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Sada, prema jednadžbi (3.9), određujemo centrifugalnu silu za donji krug, uzimajući u obzir jednadžbu (3.12) i nakon izračuna dobivamo

F ┴SR1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴SR (r 2 / r 1 2) (3.13)

Usporedbom izraza za centrifugalnu silu gornje konture (3.9) i donje konture (3.13) proizlazi da se one razlikuju za vrijednost (r 2 / r 1 2).

Odnosno za r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Riža. 3.3.

Rezultanta centrifugalnih sila koje djeluju na dvije konture u gornjoj poluravnini (granica gornje i donje poluravnine prikazana je tankom crtom) suprotno je usmjerena od rezultante centrifugalnih sila koje djeluju na dvije konture u donjoj polovici -avion. Očito, ukupna F C centrifugalna sila će djelovati u smjeru, kao što je prikazano na slici 3.3, uzmimo ovaj smjer kao pozitivan. Izračunajte ukupnu F C centrifugalnu silu

F C \u003d 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 \u003d 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

Kao što vidite, ukupna centrifugalna sila ovisi o gustoći toka, presjecima suprotnih kontura i ubrzanju toka. Ukupna centrifugalna sila ne ovisi o polumjeru kontura. Za sustav u kojem se kružni medij giba jednoliko ili usporeno po kružnici, centrifugalna sila neće izazvati translatorno ubrzano gibanje sustava.

Tako je identificirana osnovna kontura cirkulirajućeg medija, mogućnost korištenja kontura cirkulirajućeg medija različitih presjeka za zbrajanje centrifugalne sile u određenom smjeru i promjenu ukupne količine gibanja zatvorenog sustava tijela pod djelovanjem vanjskih prikazane su inercijske sile uzrokovane unutarnjim silama.

Neka je r = 0,025m; r 1 \u003d 0,05 m; ρ \u003d 1000 kg / m 3; w \u003d 5m / s 2, t = 1s, tada tijekom pozitivnog ubrzanja srednja vrijednost ukupna centrifugalna sila F C.≈ 44N.

§ četiri. Kontura cirkulirajućeg medija Coriolisove sile tromosti.

Poznato je da Coriolisova sila tromosti nastaje kada tijelo mase m rotira po kružnici i istovremeno ga radijalno pomiče, a okomito je na kutnu brzinu ω i brzina radijalnog kretanja v. Smjer Coriolisove sile F poklapa se sa smjerom vektorskog produkta u formuli F= 2m[ vw].

Riža. 4.1.

Na slici 4.1 prikazan je smjer Coriolisove sile kada tijelo rotira u krugu suprotno od smjera kazaljke na satu i pomiče ga radijalno u središte kruga u prvom poluciklusu. a sl.4.2 prikazuje smjer Coriolisove sile kada tijelo rotira oko kruga također suprotno od kazaljke na satu i pomiče ga radijalno od središta kruga u drugom poluciklusu.

Riža. 4.2.

Kombinirajmo lijevi dio kretanja tijela na sl. 4.1 i desni dio na sl. 4.2. tada dobivamo na sl. 4.3 varijanta putanje gibanja tijela za razdoblje.

Riža. 4.3.

Razmotrimo kretanje cirkulirajućeg medija (tekućine) kroz cijevi zakrivljene prema putanji. Coriolisove sile lijeve i desne krivulje djeluju u sektoru od 180 stupnjeva u radijalnom smjeru kada se kreću od točke B do točke O lijevo odnosno desno u odnosu na os X. Komponente Coriolisove sile lijeva i desna krivulja F| | AC paralelne s pravcem kompenziraju jedna drugu, jer su iste, suprotno usmjerene i simetrične prema osi X. Simetrične komponente Coriolisove sile lijeve i desne F^ krivulje okomite na pravac AC zbrajaju se, jer usmjereni su u jednom smjeru.

Izračunajmo vrijednost Coriolisove sile koja djeluje duž X osi na lijevoj polovici putanje. Budući da je sastavljanje jednadžbe putanje težak zadatak, tražimo rješenje za pronalaženje Coriolisove sile približnom metodom. Neka je v konstantna brzina tekućine duž cijele putanje. Radijalnu brzinu v p i linearnu brzinu vrtnje v l, prema teoremu o paralelogramu brzina, izražavamo (sl. 3) kroz brzinu v i kut α

v p \u003d v cosα, v l \u003d v sinα.

Putanja kretanja (slika 4.3) izgrađena je uzimajući u obzir činjenicu da je u točki B radijalna brzina v p jednaka nuli, a linearna brzina v l jednaka v. U središtu kružnice O, radijusa Ro, radijalna brzina v p jednaka je v, a linearna brzina v l jednaka je nuli, a tangenta putanje u središtu kružnice okomita je na tangentu kružnice. putanja na početku (točka B). Polumjer monotono opada od Ro do nule. Kut α mijenja se od 90° u točki B do 0° u središtu kružnice. Zatim iz grafičkih konstrukcija izaberemo duljinu putanje 1/4 opsega kruga polumjera R 0 . Sada možete izračunati masu tekućine pomoću formule za volumen torusa. To jest, masa cirkulirajućeg medija bit će jednaka 1/4 mase torusa s prosječnim radijusom R 0 i unutarnjim radijusom cijevi r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

gdje je ρ gustoća tekućine.

Modul projekcije Coriolisove sile u svakoj točki putanje na os X nalazi se po formuli

F^ = 2m v r sr ω sr cos b , (4.2)

gdje je v p cf prosječna vrijednost radijalne brzine; ω cf srednja vrijednost kutne brzine; b je kut između Coriolisove sile F i X osi (-90° £ b £ 90° ).

Za tehničke proračune moguće je ne uzeti u obzir interval odsutnosti djelovanja inercijalnih sila, budući da je ubrzanje cirkulirajućeg medija puno veće od ubrzanja sustava. Odnosno, odabiremo interval kuta između Coriolisove sile F i X osi (-90° £ b £ 90°). Kut α se mijenja od 90° u točki B do 0° u središtu kružnice, tada prosječna vrijednost radijalne brzine

v p cf = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

Prosječna vrijednost kutne brzine bit će jednaka

ω cf = (1/ ((v π /2Ro) - v Ro))) ∫ ω dω = (v /2Ro) ((π /2.) +1). (4.4)

Donja granica kutne brzine integrala u formuli (4.4) određena je u početnoj točki B. Ona je očito jednaka v / Ro. Gornja vrijednost integrala definirana je kao granica omjera

ℓim (v l /R) = ℓim (v sinα /R), (4.5)

v l ® 0 α ® 0

R ® 0 R ® 0

gdje je R trenutni radijus.

Upotrijebimo dobro poznatu metodu [7, str.410] pronalaženja granica za funkcije više varijabli: funkcija vsinα /R u točki (R= 0, α = 0) na bilo kojem pravcu R = kα koji prolazi kroz ishodište ima granicu. U ovom slučaju ograničenje ne postoji, ali postoji za određenu liniju. Nađimo koeficijent k u jednadžbi pravca koji prolazi kroz ishodište.

Pri α = 0 ® R= 0, pri α = π /2 ® R= Ro (slika 3), dakle k = 2Ro/π , tada se formula (5) transformira u oblik koji uključuje prvu značajnu granicu

ℓim (v π sinα /2Ro α) = (v π/2Ro) ℓim sinα/α = v π/2Ro. (4.6)

α ® 0 α ® 0

Sada zamijenimo vrijednost dobivenu iz formula (4.1), (4.3) i (4.4) u (4.2) i dobijemo

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Nađimo zbroj projekcija Coriolisove sile u intervalu (-90° £ b £ 90° ) za lijevu krivulju.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

Na kraju, zbroj projekcija Coriolisove sile za lijevu i desnu krivulju

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

Prema relaciji (3.7), jednadžbu (4.7) prepisujemo u obliku

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

Izračunajmo prosječnu vrijednost Coriolisove sile tijekom vremena, pod pretpostavkom da je ubrzanje konstantno

Fc = ∑F^ cp = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

Nakon izračuna dobivamo

Fc ≈ 1.3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

Neka je r = 0,02m; w \u003d 5m / s 2; ρ \u003d 1000 kg / m 3; t = 1c, tada će ukupna prosječna Coriolisova sila tromosti tijekom djelovanja pozitivne akceleracije kružećeg medija biti Fk ≈ 33N.

U središtu kružnice na putanji nalazi se infleksija (sl. 4.3), koja se, radi pojednostavljenja izračuna, može protumačiti kao polukrug s malim polumjerom. Radi jasnoće, podijelimo putanju na dvije polovice i umetnemo polukrug u donji dio, a ravnu liniju u gornji dio, kao što je prikazano na slici 4.4, i usmjerimo cirkulirajući medij duž cijevi polumjera r, zakrivljene u oblik putanje.

Riža. 4.4.

U formuli (3.5) postavljamo kut Ψ = 180°, zatim ukupnu centrifugalnu silu Fc koja djeluje u okomitom smjeru za krug optočnog medija

Fc = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

Dakle, centrifugalna sila ne ovisi o polumjeru R, već ovisi samo o kutu integracije (vidi formulu (3.5)) pri konstantnoj gustoći toka ρ, polumjeru r i brzini cirkulirajućeg medija v u svakoj točki putanja. Budući da polumjer R može biti bilo koji, možemo zaključiti da će za bilo koju konveksnu krivulju s rubovima okomitim na ravnu liniju AOB (slika 3.2), centrifugalna sila biti određena izrazom (4.10). Kao posljedicu treba primijetiti da svaki rub konveksne krivulje može biti okomit na vlastitu liniju, koje su paralelne i ne leže na istoj liniji.

Zbroj projekcija centrifugalnih sila (slika 4) koje djeluju suprotno smjeru osi X, a koje nastaju u polukrugu i dvjema polovinama konveksne krivulje (ravna linija ne doprinosi centrifugalnoj sili) iznad izlomljene linije i projekcija koje djeluju duž osi X, a nastaju u dvjema konveksnim krivuljama ispod isprekidanih linija, kompenziraju se, budući da su iste i usmjerene u suprotnim smjerovima. Na ovaj način. centrifugalna sila ne doprinosi translatornom gibanju.

§5. Rotacijski sustavi u čvrstom stanju. Centrifugalne sile inercije.

1. Vektor vlastite kutne brzine štapova okomit je na vektor kutne brzine središta mase štapa i polumjera zajedničke osi rotacije štapova.

Energija translatornog gibanja može se pretvoriti u energiju rotacijskog gibanja i obrnuto. Razmotrimo par suprotnih štapova duljine ℓ s šiljastim utezima iste mase na krajevima, koji jednoliko rotiraju oko vlastitog središta mase i oko zajedničkog središta O polumjera R s kutna brzina ω (Sl. 5.1): pola okreta štapa u jednom okretaju oko zajedničke osi. Neka R³ℓ/2. Za potpuni opis procesa dovoljno je razmotriti rotaciju u rasponu kutova 0£ α £ π/2. Rasporedimo sile koje djeluju paralelno s osi X koja prolazi kroz zajedničko središte O i položaj šipki pod kutomα = 45 stupnjeva, u ravnini X-osi i zajedničke osi rotacije, kao što je prikazano na slici 5.1.

Riža. 5.1.

Kut α povezan je s frekvencijom ω i vremenom t prema

α = ωt/2, (5.1.1)

budući da se poluokret štapa događa u jednom okretaju oko zajedničke osi. Jasno je da centrifugalna sila inercija bit će više udaljenih tereta od centra nego bliskih. Projekcije centrifugalnih sila inercija na X osi bit će

Fc1 = mω 2 (R - (l/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Fc2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Fc3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Fc4 = - mω 2 (R - (l/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Zapisujemo razliku centrifugalne sile inercija djelujući na udaljena opterećenja. Razlika centrifugalne sile inercija na drugom opterećenju

Fc2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Razlika centrifugalne sile inercija na trećem opterećenju

Fc3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Prosječna vrijednost diferencijalnih centrifugalnih sila inercija za pola okreta

Fav c2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 l cosα sin2αdα = 4mω 2 l/3 π » 0,4mω 2 l, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 l sinα sin2αdα = -4mω 2 l/3 π "-0,4mω 2 l. (5.1.9)

Primio dvije suprotne i jednake u apsolutnoj vrijednosti centrifugalne sile inercije koje su vanjske. Stoga se mogu prikazati kao dva identična beskonačno udaljena tijela (koja nisu uključena u sustav) koja istovremeno djeluju na sustav: drugo opterećenje vuče sustav prema prvom tijelu, a treće opterećenje gura sustav od drugog tijela.

Prosječna vrijednost sile prisilnog djelovanja na sustav po poluokretu duž X osi jednaka je zbroju sila povlačenja Fav c2-1 i odbijanja Fav c3-4 od vanjskih tijela.

Fp = | Fcp c2-1 | + | Omiljeni ts3-4 | = 0,8 mω 2 l. (5.1.10)

Da bi se uklonio zakretni moment sustava dviju šipki u vertikalnoj ravnini (slika 5.2), potrebno je primijeniti još jedan par suprotnih šipki koje se sinkrono okreću u istoj ravnini u suprotnom smjeru.

Riža. 5.2.

Da bismo eliminirali moment sustava duž zajedničke osi sa središtem O, koristimo isti par od četiri šipke, ali rotirajući u suprotnom smjeru u odnosu na zajedničku os (slika 5.3).

Riža. 5.3.

Konačno, za sustav od četiri para rotirajućih šipki (slika 5.3), vučna sila će biti

Ft \u003d 4Fp \u003d 3,2mω 2 l. (5.1.11)

Neka je m = 0,1 kg; ω =2 πf, gdje je f = 10r/s; ℓ = 0,5 m, tada Ft ≈ 632N.

2. Vektor vlastite kutne brzine štapova okomit je na vektor kutne brzine centra mase štapa i paralelan je s polumjerom zajedničke osi rotacije štapova.

Razmotrimo par štapova duljine ℓ nasuprot okomitih jedan na drugi s točkastim utezima iste mase na krajevima, koji jednoliko rotiraju oko vlastitog središta mase i oko zajedničkog središta O polumjera R s kutna brzina ω (sl. 5.4): pola okreta štapa u jednom okretaju oko zajedničke osi.

Riža. 5.4.

Za izračun biramo samo m1 i m2, jer je rješenje slično za m3 i m4. Odredimo kutne brzine tereta u odnosu na zajedničko središte O. Moduli projekcija linearne brzine tereta u odnosu na vlastito središte mase paralelno s ravninom rotacije u odnosu na zajedničko središte O bit će ( sl. 5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

gdje je Ψ = ωt.

Izdvajamo projekcije tangente tih brzina okomite na polumjere r1 odnosno r2 u odnosu na središte O dobivamo

v1R = v2R = (ωℓ/4) grijeh ( Ψ /2) cosb, (5.2.2)

cosb= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 +(l 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R je udaljenost od centra O do centra mase tereta, r1, r2 su razmak od tereta do centra O, a r1 = r2.

Riža. 5.5.

Moduli linearne brzine tereta u odnosu na zajedničko središte O bez uzimanja u obzir njihove linearne brzine u odnosu na njihov vlastiti centar mase bit će

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Nađimo ukupnu kutnu brzinu svakog tereta u odnosu na zajedničku os rotacije, s obzirom da su linearne brzine suprotno usmjerene za prvi teret, a iste za drugi, tada

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (lR sin (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2 / 4) cos 2 (Ψ / 2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

Sukladno tome, centrifugalne sile će biti

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 \u003d mω 2 2 r2

Ili u detalje

F 1 \u003d mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (l 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 \u003d mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (l 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Razmotrimo slučaj kada l=4R. U ovom slučaju, naΨ=180° kutna frekvencija prvog utega ω 1 = 0 i ne mijenja smjer, drugo opterećenje ima ω 2 = 2ω (sl.5.6).

Riža. 5.6.

Prijeđimo na definiciju centrifugalnih sila u smjeru osi X na ℓ= 4R

F 1 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)–sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Treba napomenuti da s povećanjem kutaΨ od 0 do 180 ° u točkiΨ = b= 60 ° projekcija centrifugalne sile F 2 mijenja predznak iz negativnog u pozitivan.

Prvo zbrajamo prosječne vrijednosti projekcije na X os centrifugalne sile prvog opterećenja i prosječnu vrijednost projekcije drugog u kutnom intervalu

0 £ Ψ £60° , uzimajući u obzir predznake, jer su suprotno usmjereni

F SR 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( b +Ψ) - F 2 sin( b-Ψ))dΨ ≈ 0,6mω 2 R, (5.2.12)

gdje b= arccos(1/ Ö (1 +4 cos 2 (Ψ /2))) određuje se iz formule (5.2.3).

Centrifugalna sila F SR 1-2 u formuli (5.2.12) je pozitivan, odnosno usmjeren je duž X osi. Sada zbrajamo jednako usmjerenu prosječnu vrijednost projekcije na X os centrifugalne sile prvog opterećenja i prosječnu vrijednost projekcije drugog u intervalu kuta 60° £ Ψ £180°

F SR 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + b)+ F 2 sin(Ψ- b))dΨ ≈ 1,8mω 2 R, (5.2.13)

Prosječna vrijednost u intervalu 0° £ Ψ £180° očito će biti

F SR = (F SR 1-2 + 2F SR 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

Za m3 i m4 prosječna vrijednost projekcije na X os centrifugalne sile bit će ista, ali će djelovati u suprotnom smjeru.

F T \u003d 4 F SR \u003d 5,6 mω 2 R. (5.2.15)

Neka je m = 0,1 kg; ω =2 πf, gdje je f = 10r/s; ℓ= 4R, gdje je R = 0,1m, tada F T ≈ 220N.

3. Vektor vlastite kutne brzine štapova je paralelan i jednako usmjeren s vektorom kutne brzine centra mase štapa koji rotira oko zajedničke osi.

Razmotrimo par nasuprotnih, koji leže na vodenoj ravnini, štapova duljine ℓ s točkastim utezima iste mase na krajevima, koji jednoliko rotiraju oko vlastitog središta mase i oko zajedničkog središta O polumjera R s kutna brzina ω (sl. 5.7): pola okreta štapa u jednom okretaju oko zajedničke osi.

Riža. 5.7.

Slično prethodnom slučaju, za izračun biramo samo m1 i m2, jer je rješenje za m3 i m4 slično. Napravit ćemo približnu procjenu djelujućih sila inercije na ℓ = 2R koristeći prosječne vrijednosti kutne brzine u odnosu na središte O, kao i prosječne vrijednosti udaljenosti od opterećenja do središta O Očito, kutna brzina prvog opterećenja na početku će biti 1,5ω, drugog opterećenja 0,5ω, a kroz pola kruga za oba ω. Udaljenost od prvog utega do središta O na početku 2R od drugog utega je 0, a nakon pola okreta od svakog RÖ 2.

Riža. 5.8.

I u intervalu 0° £ Ψ £36° (sl. 5.8) centrifugalne sile se zbrajaju u smjeru X osi, u intervalu 36° £ Ψ £72° (sl. 5.8, sl. 5.9) sila drugog tijela oduzeta je od sile prvog tijela i njihova razlika djeluje duž X osi, u intervalu 72° £ Ψ £90° (sl. 5.9) sile se zbrajaju i djeluju suprotno od X osi.

Riža. 5.9.

Odredimo prosječne vrijednosti kutne brzine i polumjera opterećenja po poluokretu.

Prosječna kutna brzina prvog opterećenja

ω SR 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Prosječna kutna brzina drugog opterećenja

ω SR 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Prosječni radijus prvog opterećenja

R SR 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R(2 + Ö 2)/2.(5.3.3)

Prosječni radijus drugog opterećenja

R SR 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (RÖ 2)/2.(5.3.4)

Projekcija centrifugalne sile koja djeluje na prvi uteg u smjeru X osi bit će

F 1 = mω 2 SR 1 R SR 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

Projekcija centrifugalne sile koja djeluje na drugi uteg u smjeru X osi bit će

F 2 = mω 2 SR 2 R SR 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ £36° će biti

0,2p

F SR 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1,47mω 2 R. (5.3.7)

Prosječna vrijednost razlike između projekcija centrifugalnih sila prvog i drugog opterećenja u intervalu 36° £ Ψ £72° će biti

0,4p

F SR 1 - 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 - F 2) dΨ » 1,95mω 2 R. (5.3.8)

0,2p

Prosječna vrijednost zbroja projekcija centrifugalnih sila prvog i drugog opterećenja u intervalu 72° £ Ψ £90° će biti

0,5p

F SR- (1 + 2) \u003d - (1 / 0,1 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ "-3,72mω 2 R. (5.3.9)

0,4p

Prosječna vrijednost zbroja projekcija centrifugalnih sila prvog i drugog opterećenja u intervalu 0° £ Ψ £90° će biti

F SR = (2F SR 1 + 2 + 2F SR 1 – 2 + F SR- (1 + 2))/5 » 0,62mω 2 R. (5.3.10)

Slično se izračunava zbroj projekcija centrifugalnih sila za treće i četvrto opterećenje.

Da bi se eliminirao okretni moment, potrebno je primijeniti drugi par šipki, ali rotirajući u suprotnom smjeru u odnosu na vlastito središte mase i u odnosu na zajedničku os rotacije, tada će konačna sila potiska biti

F T \u003d 4F SR \u003d 2,48mω 2 R. (5.3.11)

Neka je m = 0,1 kg; ω =2 πf, gdje je f = 10r/s; R = 0,25m, tada F T ≈ 245N.

§6. Fazna sila inercije.

Za implementaciju fazne inercijske sile koristimo dvokraku zglobnu četverokraku kao translatornu za pretvaranje jednolike rotacije motora u neravnomjernu rotaciju tereta prema određenom režimu uz optimizaciju prirode kretanja robe za učinkovito korištenje sila inercije, te odgovarajućim izborom relativnog položaja tereta kompenzirati povratni impuls

Zglobna poluga s četiri poluge bit će dvostruka radilica ako središnja udaljenost AG (Sl.6.1) bit će manja od duljine bilo koje pomične karike, a zbroj udaljenosti od središta do središta i duljine najveće od pomičnih karika bit će manji od zbroja duljina druge dvije karike.

Riža. 6.1.

Karika VG (poluga), na kojoj je fiksiran teret mase m, je pogonska koljena na nepomičnom vratilu G, a karika AB je vodeća. Link A je osovina motora. BV karika je klipnjača. Omjer duljina klipnjače i pogonske poluge odabran je tako da kada opterećenje dosegne krajnju točku D, postoji pravi kut između klipnjače i pogonske poluge, što osigurava maksimalnu učinkovitost. Zatim jednolikom vrtnjom vratila motora A s pogonskom koljenicom AB kutnom brzinom w klipnjača BV prenosi kretanje na gonjenu koljenu VG, usporavajući je. Dakle, opterećenje se usporava od točke E do točke D duž gornjeg polukruga. U tom slučaju sila tromosti djeluje u smjeru kretanja tereta. Razmotrimo kretanje tereta u suprotnom polukrugu (sl. 6.2), gdje klipnjača, ispravljajući se, ubrzava teret.

Riža. 6.2.

U tom slučaju inercijska sila djeluje suprotno od smjera kretanja tereta, podudarajući se sa smjerom inercijske sile u prvom polukrugu. Shema integriranog pogona prikazana je na slici 6.3.

Riža. 6.3.

Pogonske koljene AB i A¢ B¢ kruto su pravocrtno povezane na osovini motora, a pogonske koljene (poluge) neovisno se okreću na nepomičnoj osovini. Zbrajaju se uzdužne komponente sila tromosti u smjeru od točke E do točke D gornjeg i donjeg opterećenja, čime se ostvaruje translatorno gibanje. Nema povratnog impulsa, jer se utezi okreću u istom smjeru iu prosjeku su simetrično suprotni.

Procijenimo djelovajuću faznu silu tromosti.

Neka je AB = BV = r, GV = R.

Pretpostavimo da je u krajnjem desnom položaju kut Ψ između polumjera R i srednje linije DE 0° (Sl.6.4) i

r + r - AG = R, (6.1)

a također u krajnjem lijevom položaju na Ψ =180° (Sl.6.5) kut

Ð ABV = 90° . (6.2)

Zatim, na temelju ovih uvjeta, lako je utvrditi da su pretpostavke zadovoljene za sljedeće vrijednosti

r = 2R/(2+r 2), (6.3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6.4)

Sada odredimo kutne brzine u krajnjem desnom i lijevom položaju. Očito je da se u desnom položaju kutne brzine AG i GV podudaraju i jednake su w .

Riža. 6.4.

U lijevom položaju, kutna brzina w GW će očito biti jednaka

w HW = (180° /225° )w . (6.5)

Povećanje kutne brzine ∆w tijekom vremena ∆t = 225° /w = 5π/4w bit će

∆w = w GW - w = - 0,2w . (6.6)

Neka je onda kutna akceleracija jednako spora

dω / dt \u003d ∆w / ∆t \u003d - 0,16w 2 / π. (6,7)

Upotrijebimo formulu fazne sile tromosti (2.8) u skalarnom obliku

F f \u003d -m [(dω / dt) R] \u003d 0,16 mw 2 R / π. (6,8)

Riža. 6.5.

Projekcija fazne sile tromosti u smjeru ED bit će

F FED \u003d 0,16 mw 2 RsinΨ / π. (6,9)

Prosječna vrijednost projekcije fazne sile tromosti za poluciklus

F SR = 0,16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Za dva opterećenja (sl. 6.3) sila se udvostručuje. Da bi se otklonio okretni moment, potrebno je primijeniti još jedan par utega, ali rotirajući u suprotnom smjeru. Konačno, vučna sila za četiri tereta bit će

F T \u003d 4F SR \u003d 1,28mω 2 R / π 2. (6.11)

Neka je m = 0,1 kg; ω =2 πf, gdje je f = 10r/s; R = 0,5 m, tada F T = 25,6 N.

§7. Žiroskop. Coriolis i centrifugalna sila tromosti.

Razmotrimo oscilatorno kretanje tereta mase m duž polukruga (sl. 7.1) polumjera R s linearnom brzinom v. Centrifugalna inercijska sila Fc koja djeluje na teret mase m bit će jednaka m v ​​2 / R, usmjerena duž polumjer iz središta O. Projekcija centrifugalne sile na os X bit će jednaka

F c׀׀ \u003d (m v 2 / R) sin α. (7.1)

Teret se mora kretati ubrzano w po obodu tako da centrifugalna sila djeluje na translatorno kretanje sustava, a budući da v = wt, tada

F c׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

gdje je t vrijeme.

Riža. 7.1.

Zbog inercije opterećenja na rubovima polukruga javlja se reverzni impuls koji onemogućuje kretanje sustava prema naprijed u smjeru X osi.

Poznato je da pod utjecajem sile koja mijenja smjer osi žiroskopa, ona precesira pod utjecajem Coriolisove sile, a to gibanje je bez inercije. Odnosno, trenutnom primjenom sile koja mijenja smjer osi rotacije, žiroskop odmah počinje precesirati i isto tako se trenutno zaustavlja kada ova sila nestane. Umjesto tereta koristimo žiroskop koji rotira kutnom brzinom ω. Sada djelujemo silom F okomito na os rotacije žiroskopa (sl. 7.2) i djelujemo na os tako da držač s žiroskopom vrši inercijsko oscilatorno gibanje (precesira) u određenom sektoru (u optimalnom slučaju s konačna vrijednost α = 180 °). Trenutačno zaustavljanje precesije držača s žiroskopom i njezino ponovno pokretanje u suprotnom smjeru događa se kada se smjer sile F promijeni u suprotan. Dakle, postoji oscilatorno bez inercije kretanje držača sa žiroskopom, čime se eliminira obrnuti impuls koji sprječava translatorno kretanje duž X osi.

Riža. 7.2.

Kutna brzina precesije

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

gdje je: M - moment sile; I Z je moment tromosti žiroskopa; ω je kutna brzina žiroskopa.

Moment sile (pod pretpostavkom da je ℓ okomit na F)

M = ℓ F, (7.4)

gdje je: ℓ udaljenost od točke primjene sile F do središta tromosti žiroskopa; F je sila primijenjena na os žiroskopa.

Zamjenom (7.4) u (7.3) dobivamo

dα /dt = l F / I Z ω, (7.5)

Na desnoj strani formule (7.5), komponente ℓ , I Z , ω smatramo konstantnom, a sila F, ovisno o vremenu t, neka se mijenja po komadno-linearnom zakonu (sl. 7.3).

Riža. 7.3.

Poznato je da je linearna brzina povezana s kutnom brzinom sljedećom relacijom

v = R (dα /dt). (7,6)

Diferencirajući formulu (7.6) s obzirom na vrijeme, dobivamo akceleraciju

w = R (d 2 α /dt 2). (7,7)

Zamijenimo formulu (7.5) u formulu (7.7) i dobijemo

w = (R ℓ/I Zω ) (dF/dt). (7.8)

Dakle, ubrzanje ovisi o brzini promjene sile F, što čini centrifugalna sila koja djeluje za translatorno gibanje sustava.

Treba napomenuti da pri velikoj kutnoj brzini ω i dα /dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Za kompenzaciju okomite projekcije centrifugalne sile Fc ┴ koristimo drugi isti žiroskop koji oscilira sinkrono u protufazi s prvim žiroskopom (sl. 7.4). Projekcija centrifugalne sile Fc ┴ na drugom žiroskopu bit će usmjerena suprotno od projekcije na prvom. Očito je da će se okomite komponente Fc ┴ kompenzirati, a paralelne Fc׀׀ zbrajati.

Riža. 7.4.

Ako oscilacijski sektor žiroskopa nije veći od polukruga, tada neće biti suprotne centrifugalne sile, što smanjuje centrifugalnu silu u smjeru X osi.

Da bi se uklonio okretni moment uređaja, koji nastaje zbog prisilne rotacije osi žiroskopa, potrebno je ugraditi još jedan par istih žiroskopa, čije se osi okreću u suprotnom smjeru. Sektori oscilirajućeg gibanja držača s žiroskopima u paru, čije osi žiroskopa rotiraju u jednom smjeru, moraju biti simetrično usmjereni u jednom smjeru sa sektorima držača s žiroskopima, čije osi žiroskopa rotiraju u drugom smjeru (sl. 7.5).

Riža. 7.5.

Izračunajmo prosječnu vrijednost projekcije centrifugalne sile Fc׀׀ za jedan žiroskop (sl. 7.2) na držaču, koji oscilira u sektoru polukruga od 0 do π i označimo tu vrijednost s Fp

Fp = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7,9)

Za četiri žiroskopa na držačima, prosječna vrijednost translacijske sile Fp za svaki poluciklus bit će:

Fp = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Neka je masa držača mnogo manja od mase žiroskopa, a masa žiroskopa m = 1kg. Akceleracija w = 5 m/s 2, a akceleracija žiroskopa je za red veličine veća od akceleracije sustava, tada možemo zanemariti mali interval odsutnosti centrifugalne sile u središtu. Vrijeme ubrzanja t = 1s. Polumjer (dužina) držača R = 0,5 m. Tada će prema formuli (7.10) translacijska sila biti Fp = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127N.

Književnost

1. Vygodsky M. Ya. Priručnik za višu matematiku, 14. izdanje, - M .: LLC "Big Bear", APP "Dzhangar", 2001, 864s.

2. Sivukhin DV Opći tečaj fizike. T.1. Mehanika. 5. izd., stereo. - M.: FIZMATLIT., 2010, 560s.

3. Shipov G.I. Teorija fizičkog vakuuma. Teorijski eksperimenti i tehnologije. 2. izdanje, - M.: Nauka, 1996, 456s.

4.Olkhovski I.I. Kolegij teorijske mehanike za fizičare: udžbenik. 4. izdanje, ster. - St. Petersburg: Izdavačka kuća "Lan", 2009, 576s.

5. Vodič kroz fiziku za inženjere i studente / B.M. Yavorsky, A.A. Detlaf, A.K. Lebedev. - 8. izdanje, revidirano. i ispraviti. - M .: Izdavačka kuća Onyx LLC, Izdavačka kuća Mir i obrazovanje, 2008, 1056s.

6. Khaikin S.E. Fizikalni temelji mehanike, 2. izdanje, ispravljeno. i dodatni Tutorial. Glavno izdanje fizikalne i matematičke literature. M.: Nauka, 1971, 752 str.

7. Zorich V.A. Matematička analiza. Dio 1. Ed. 2., rev. i dodatni M.: FAZIS, 1997, 554s.

8. Aleksandrov N.V. i Yashkin A.Ya. Kolegij opće fizike. Mehanika. Proc. dodatak za izvanredne studente fiz.-mat. fak. ped. in-drug. M., "Prosvjetiteljstvo", 1978, 416s.

9. Geronimus Ya. L. Teorijska mehanika (eseji o glavnim odredbama): Glavno izdanje fizičke i matematičke literature izdavačke kuće Nauka, 1973., 512 str.

10. Tečaj teorijske mehanike: udžbenik / A.A. Yablonsky, V.M. Nikiforova. - 15. izd., izbrisano. – M.: KNORUS, 2010, 608s.

11. Turyshev M.V., O gibanju zatvorenih sustava, ili pod kojim uvjetima nije ispunjen zakon očuvanja količine gibanja, “Prirodne i tehničke znanosti”, br. 3 (29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Aizerman M.A. Klasična mehanika: Udžbenik. - 2. izdanje, revidirano. – M.: Znanost. Glavno izdanje fizičke i matematičke literature, 1980, 368s.

13. Yavorsky V.M., Pinsky A.A. Osnove fizike: Udžbenik. U 2 sveska T.1. Mehanika, Molekularna fizika. Elektrodinamika / Ed. Yu.I.Dika. - 5. izd., stereo. – M.: FIZMATLIT. 2003. - 576s.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. Mehanika: Udžbenik: Per. s engleskog / Ed. A.I. Shalnikova i A.S. Akhmatova. - 3. izdanje, Rev. – M.: Znanost. Glavno izdanje fizikalne i matematičke literature. 1983. - (Berkeley Physics Course, Volume 1). - 448s.

15. Tolchin VN, Inertsoid, Sile inercije kao izvor translatornog gibanja. permski. Izdavačka kuća Perm, 1977., 99.

16. Frolov A.V. Vrtložni pokretač, Nova energija, broj 3 (18), 2004., ISSN 1684-7288.

17. Bernikov V.R. Neke posljedice iz osnovnog zakona mehanike, "Zbornik znanstvenih radova studenata diplomskih i doktorskih studija", br. 5 (71), 2012., ISSN 1991-3087.

18. Bernikov V.R. Inercijske sile i ubrzanje, Znanstvena perspektiva, broj 4, 2012., ISSN 2077-3153.

19. Bernikov V.R. Sile inercije i njihova primjena, "Zbornik znanstvenih radova studenata diplomskih i doktorskih studija", br. 11 (65), 2011., ISSN 1991-3087.