Korelacijska funkcija.

1. Matematičko očekivanje neslučajnog procesa j( t) jednako je samom neslučajnom procesu:

Iz izraza (1.9) slijedi da je svaka centrirana neslučajna funkcija jednaka nuli, jer

2. Ako je slučajna varijabla Y(t) je linearna kombinacija funkcija X i(t):

, (1.11)

gdje su neslučajne funkcije t, To

. (1.12)

Posljednja relacija proizlazi iz činjenice da operacija određivanja matematičko očekivanje linearni.

3. Korelacijska funkcija neslučajnog procesa identički je jednaka nuli. Ovo svojstvo izravno slijedi iz (1.10).

4. Korelacijska funkcija se ne mijenja kada se doda slučajna funkcija bilo koja neslučajna funkcija. Doista, ako , To

Iz toga slijedi da korelacijske funkcije slučajni procesi I

Podudarati se. Stoga pri određivanju korelacijskih funkcija uvijek možemo pretpostaviti da je proces koji se razmatra centriran.

5. Ako slučajni proces Y(t) je linearna kombinacija slučajnih procesa X i(t):

,

gdje su onda neslučajne funkcije

, (1.14)

gdje je ispravna korelacijska funkcija procesa X i(t), je funkcija međusobne korelacije procesa i .

Stvarno:

, =

.

Ako su slučajni procesi parno nekorelirani, tada

. (1.15)

Uz pretpostavku (1.14), dobivamo izraz za disperziju linearne kombinacije slučajnih procesa:

U posebnom slučaju nekoreliranih slučajnih procesa

. (1.17)

6. Korelacijska funkcija je nenegativna određena funkcija:

. (1.18)

Zaista, predstavimo (1.18) u obliku:

.

Budući da je integral limit integralnog zbroja, posljednji izraz se može prikazati kao limit zbroja matematičkih očekivanja, koji je pak jednak matematičkom očekivanju zbroja. Stoga se operacije integracije i matematičkog očekivanja mogu međusobno zamijeniti. Kao rezultat dobivamo:

7. Korelacijska funkcija je simetrična s obzirom na svoje argumente. Funkcija unakrsne korelacije nema to svojstvo.

Simetrija korelacijske funkcije izravno proizlazi iz njezine definicije:

U isto vrijeme, za funkciju unakrsne korelacije imamo:

Funkcija uzajamne korelacije zadovoljava sljedeći odnos:

8. Korelacijska funkcija i unakrsna korelacijska funkcija zadovoljavaju sljedeće nejednakosti:

Često, umjesto pravilne i unakrsne korelacijske funkcije, razmatramo normalizirane korelacijske funkcije :

, (1.23)

. (1.24)

Na temelju (1.21) i (1.22) za normalizirane korelacijske funkcije vrijede sljedeće nejednakosti:

. (1.25)

Primjer Zadani slučajni proces je zbroj slučajnih i neslučajnih procesa: . Specificirano , definirati

Koristeći (1.9) i (1.12), imat ćemo:

Prema (1.15)

i konačno, u skladu s (1.17) .

KLASIFIKACIJA SLUČAJNIH PROCESA

Stacionarni procesi

Slučajni proces se zove stacionarni , ako njegov višedimenzionalni zakon raspodjele ovisi samo o relativni položaj trenutaka u vremenu t 1 , t 2 , . . .tn, tj. ne mijenja se kada se ti trenuci vremena istovremeno pomaknu iste vrijednosti:

Ako je izraz (2.1) zadovoljen za bilo koju n, tada se takav proces naziva stacionarni u užem smislu.

Na n=1 izraz (2.1) ima oblik:

I kada , 2.2)

oni. jednodimenzionalni zakon raspodjele stacionarni proces ne ovisi o vremenu. Posljedično, karakteristike slučajnog procesa, ovisno o jednodimenzionalnom zakonu distribucije: matematičko očekivanje i disperzija slučajnog procesa, neće ovisiti o vremenu:

, . (2.3)

Na n=2 izraz (2.1) prepisuje se na sljedeći način:

Prema tome, korelacijska funkcija stacionarnog procesa, određena dvodimenzionalnim zakonom raspodjele, ovisit će samo o vremenskom intervalu t

Prema definiciji A.Ya Khinchina, proces je stacionarni u u širem smislu , ako je uvjet stacionarnosti (2.1) zadovoljen samo za n= 1. i 2.

Prema tome, uvjeti stacionarnosti procesa u širem smislu mogu se formulirati kao:

· matematičko očekivanje i varijanca takvog procesa ne ovise o vremenu – i D X;

· korelacijska funkcija procesa ovisi samo o vremenskom intervalu između dionica - .

KXX(t) je ravnomjerna funkcija tvoj argument:

Treba imati na umu da je funkcija unakrsne korelacije neparna funkcija:

, (). (2.7)

Normalni procesi

Slučajni proces je normalan , ako je bilo koji višedimenzionalni zakon normalan:

× ), (2.8)

Gdje (2.9)

Relativne vlastite i unakrsne korelacijske funkcije, te dvije vrijednosti slučajne varijable Y–y 1 i g 2. Slika pokazuje da je matematičko očekivanje implementacije na Y=g 1 jednako g 1, i na Y=g 2 – g 2 .

sl.2.1. Primjer stacionarnog neergodičkog procesa

Dakle, na temelju jedne implementacije stacionarnog, ali neergodičkog procesa, ne mogu se suditi o karakteristikama procesa kao cjeline.

Markovljevi procesi

Ako su vjerojatnostna svojstva slučajnog procesa u potpunosti određena vrijednošću njegove ordinate u određenom trenutku u vremenu i ne ovise o vrijednostima ordinate procesa u prethodnim točkama u vremenu, tada je takav slučajni proces nazvao Markovskog. Ponekad se takvi procesi nazivaju procesima bez naknadnog djelovanja.

Smetnje u komunikacijskim sustavima opisane su metodama teorije slučajnih procesa.

Funkcija se naziva slučajnom ako, kao rezultat eksperimenta, poprimi jedan ili drugi oblik, a nije unaprijed poznato koji. Slučajni proces je slučajna funkcija vremena. Specifični oblik koji slučajni proces poprima kao rezultat eksperimenta naziva se implementacija slučajnog procesa.

Na sl. Slika 1.19 prikazuje skup nekoliko (tri) implementacija slučajnog procesa , , . Takva zbirka naziva se ansambl ostvarenja. Uz fiksnu vrijednost trenutka vremena u prvom eksperimentu dobivamo određenu vrijednost, u drugom - , u trećem - .

Slučajni proces je dvostruke prirode. S jedne strane, u svakom konkretnom eksperimentu to je predstavljeno njegovom implementacijom - neslučajnom funkcijom vremena. S druge strane, slučajni proces opisuje se skupom slučajne varijable.

Doista, razmotrimo slučajni proces u određenoj vremenskoj točki. Tada u svakom eksperimentu uzima jednu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Dakle, slučajni proces razmatran u fiksnoj vremenskoj točki je slučajna varijabla. Ako se zabilježe dva vremenska trenutka i , tada ćemo u svakom eksperimentu dobiti dvije vrijednosti i . U ovom slučaju, zajedničko razmatranje ovih vrijednosti dovodi do sustava dviju slučajnih varijabli. Kada analiziramo slučajne procese u N točaka u vremenu, dolazimo do skupa ili sustava od N slučajnih varijabli .

Matematičko očekivanje, disperzija i korelacijska funkcija slučajnog procesa Budući da je slučajni proces razmatran u fiksnoj vremenskoj točki slučajna varijabla, možemo govoriti o matematičkom očekivanju i disperziji slučajnog procesa:

, .

Kao i kod slučajne varijable, disperzija karakterizira širenje vrijednosti slučajnog procesa u odnosu na prosječnu vrijednost. Što je više, to je veća vjerojatnost vrlo velikog pozitivnog i negativne vrijednosti postupak. Pogodnija karakteristika je prosjek standardna devijacija(RMS), koji ima istu dimenziju kao i sam slučajni proces.

Ako slučajni proces opisuje, na primjer, promjenu udaljenosti do objekta, tada je matematičko očekivanje prosječni raspon u metrima; disperzija se mjeri u kvadratnim metrima, a Sco se mjeri u metrima i karakterizira širenje mogućih vrijednosti raspona u odnosu na prosjek.

Srednja vrijednost i varijanca su vrlo važne karakteristike, omogućujući procjenu ponašanja slučajnog procesa u fiksnoj vremenskoj točki. Međutim, ako je potrebno procijeniti "stopu" promjene u procesu, tada promatranje u jednom trenutku nije dovoljno. U tu svrhu koriste se dvije slučajne varijable koje se promatraju zajedno. Kao i za slučajne varijable, uvodi se karakteristika povezanosti ili ovisnosti između i. Za slučajni proces ova karakteristika ovisi o dva vremenska trenutka i naziva se korelacijskom funkcijom: .

Stacionarni slučajni procesi. Mnogi procesi u sustavima upravljanja odvijaju se ravnomjerno tijekom vremena. Njihove osnovne karakteristike se ne mijenjaju. Takvi se procesi nazivaju stacionarni. Točna definicija može se dati na sljedeći način. Slučajni proces se naziva stacionarnim ako nijedna njegova probabilistička karakteristika ne ovisi o pomaku u početku vremena. Za stacionarni slučajni proces, matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija su konstantni: , .

Korelacijska funkcija stacionarnog procesa ne ovisi o ishodištu t, tj. ovisi samo o razlici u vremenu:

Korelacijska funkcija stacionarnog slučajnog procesa ima sljedeća svojstva:

1) ; 2) ; 3) .

Često korelacijske funkcije procesa u komunikacijskim sustavima imaju oblik prikazan na sl. 1.20.

Riža. 1.20. Korelacijske funkcije procesa

Vremenski interval tijekom kojeg korelacijska funkcija, tj. veličina veze između vrijednosti slučajnog procesa smanjuje se za M puta, što se naziva interval ili vrijeme korelacije slučajnog procesa. Obično ili . Možemo reći da su vrijednosti slučajnog procesa koje se razlikuju u vremenu za interval korelacije slabo povezane jedna s drugom.

Dakle, poznavanje korelacijske funkcije omogućuje prosuđivanje brzine promjene slučajnog procesa.

Druga važna karakteristika je energetski spektar slučajnog procesa. Definira se kao Fourierova transformacija korelacijske funkcije:

.

Očito vrijedi i obrnuta transformacija:

.

Energetski spektar pokazuje raspodjelu snage slučajnog procesa, kao što je interferencija, na frekvencijskoj osi.

Pri analizi ACS-a vrlo je važno odrediti karakteristike slučajnog procesa na izlazu linearnog sustava s poznatim karakteristikama procesa na ulazu ACS-a. Pretpostavimo da je linearni sustav zadan impulsnim prijelaznim odzivom. Tada je izlazni signal u trenutku vremena određen Duhamelovim integralom:

,

gdje je proces na ulazu sustava. Da bismo pronašli korelacijsku funkciju, pišemo a nakon množenja nalazimo matematičko očekivanje

9. Korelacijska funkcija i njena glavna svojstva.

Za puni opis slučajnih procesa uvodi se pojam korelacije f-i.

jednako matematičkom očekivanju, varijanci, standardnoj devijaciji

Pretpostavlja se da je zakon distribucije normalan. Grafikoni pokazuju oštru razliku između procesa, unatoč njihovim jednakim vjerojatnosnim karakteristikama.

			(t)m				(t)
			(t )D				(t)
			(t)			(t) .

Na primjer, praćenje aviona. Ako je u trenutku t na poziciji 1, tada je njegova moguća pozicija 2 u sljedećem trenutku t 2 ograničena, odnosno događaji (x 1 ,t 1 ) i (x 2 ,t 2 ) neće biti neovisni. Što je predmet koji se proučava inercijskiji, to je ta međuovisnost, ili korelacija, veća. Funkcija Corr matematički izražava korelaciju dviju funkcija ili korelaciju funkcije sa samom sobom (funkcija autokorekcije). Funkcija je opisana na sljedeći način:

gdje su t 1 i t 2 bilo koji trenuci u vremenu, tj. t 1 i t 2 T

Poveznica - statistički odnos dvije ili više slučajnih varijabli.

Korelacijska funkcija– takva neslučajna funkcija R x (t 1 ,t 2 ) dvaju argumenata, koja je za bilo koji par fiksnih vrijednosti argumenata t 1 i t 2 jednaka momentu korelacije koji odgovara tim dijelovima slučajnih varijabli x (t 1 ) i x (t 2 ).

Korelacijska funkcija je funkcija vremena koja određuje korelaciju u sustavima sa slučajnim procesima.

Kada se trenuci t 1 i t 2 podudaraju, korelacijska funkcija je jednaka disperziji. Normalizirana korelacijska funkcija izračunava se pomoću formule:

) 1,

gdje su x (t 1) i x (t 2) r.s.o. slučajna funkcija x (t) s t =t 1 odnosno t =t 2. Izračunati

potrebna korelacijska funkcija

gustoća (dvodimenzionalna)

vjerojatnosti

(x,x

; t, t

) dx dx

Svojstva korelacijskih funkcija

1. Korelacijska funkcija R x (t 1 ,t 2 ) je simetričan u odnosu na svoje argumente:

R x (t 1 ,t 2 ) =R x (t 2 ,t 1 )

u skladu s definicijom korelacijske funkcije X(t).

2. Kada se doda slučajnoj funkciji X (t) proizvoljnog neslučajnog člana

(t), funkcija korelacije Z (t) X (t) (t),

tada je R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. Pri množenju slučajne funkcije X (t) proizvoljnim neslučajnim faktorom ψ(t), korelacijska funkcija R x (t 1,t 2) se množi s ψ(t 1)ψ(t 2).

Prilikom istraživanja pitanja ovisnost ili neovisnost dva ili više presjeka slučajnih procesa, poznavanje samo matematičkog očekivanja i disperzije r.p. nedovoljno.

Za određivanje odnosa između različitih slučajnih procesa koristi se koncept korelacijske funkcije - analog koncepta kovarijance slučajnih varijabli (vidi T.8)

Korelacija (kovarijanca, autokovarijanca, autokorelacija) funkcija slučajnog procesa
nazvao neslučajna funkcija dva argumenta

jednak momentu korelacije odgovarajućih presjeka
I
:

ili (uzimajući u obzir notaciju centrirane slučajne funkcije
) imamo

Ovdje su glavne svojstva korelacijske funkcije
slučajni proces
.

1. Korelacijska funkcija za iste vrijednosti argumenata jednaka je disperziji r.p.

Stvarno,

Dokazano svojstvo omogućuje izračunavanje m.o. a korelacijska funkcija je glavna karakteristika slučajnog procesa, nema potrebe za izračunavanjem varijance.

2. Korelacijska funkcija se ne mijenja s obzirom na zamjenu argumenata, tj. je simetrična funkcija s obzirom na svoje argumente: .

Ovo svojstvo je izravno izvedeno iz definicije korelacijske funkcije.

3. Ako se neslučajna funkcija doda slučajnom procesu, tada se funkcija korelacije ne mijenja, tj. Ako
, To. Drugim riječima

je periodična funkcija u odnosu na bilo koju neslučajnu funkciju.

Dapače, iz lanca rezoniranja

slijedi da . Odavde dobivamo traženo svojstvo 3.

4. Modul korelacijske funkcije ne prelazi umnožak r.c.o., tj.

Dokaz svojstva 4. provodi se slično kao u točki 12.2. (Teorem 12..2), uzimajući u obzir prvo svojstvo korelacijske funkcije r.p.
.

5. Prilikom množenja s.p.
neslučajnim množiteljem
njegova korelacijska funkcija pomnožit će se umnoškom
, tj. ako
, To

5.1. Normalizirana korelacijska funkcija

Uz funkciju korelacije s.p. također smatra normalizirana korelacijska funkcija(ili autokorelacijafunkcija)
definiran jednakošću

.

Posljedica. Na temelju svojstva 1 vrijedi jednakost

.

Po svom značenju
sličan koeficijentu korelacije za r.v., ali nije konstantna vrijednost, već ovisi o argumentima I .

Nabrojimo svojstva normalizirane korelacijske funkcije:

1.

2.

3.
.

Primjer 4. Neka s.p. određuje se formulom, tj.
s.v.,

raspodijeljen po normalno pravo S

Pronađite korelaciju i normalizirane funkcije slučajnog procesa

Riješenje. Po definiciji imamo

oni.
Odavde, uzimajući u obzir definiciju normalizirane korelacijske funkcije i rezultate rješavanja prethodnih primjera, dobivamo
=1, tj.
.

5.2. Unakrsna korelacijska funkcija slučajnog procesa

Za određivanje stupnja ovisnosti odjeljci dva slučajna procesa koriste funkciju korelacijske veze ili funkciju unakrsne korelacije.

Funkcija uzajamne korelacije dvaju slučajnih procesa
I
zove se neslučajna funkcija
dva nezavisna argumenta I , koji za svaki par vrijednosti I jednak momentu korelacije dvaju presjeka
I

Dvije sp.
I
se zovu nepovezano, ako je njihova međusobna korelacijska funkcija identički jednaka nuli, tj. ako za bilo koji I javlja se
Ako za bilo koji I ispada
, zatim slučajni procesi
I
se zovu korelirani(ili srodni).

Razmotrimo svojstva unakrsne korelacijske funkcije, koja su izravno izvedena iz njezine definicije i svojstava korelacijskog momenta (vidi 12.2):

1. Kada se indeksi i argumenti istovremeno preuređuju, funkcija unakrsne korelacije se ne mijenja, tj.

2. Modul funkcije unakrsne korelacije dvaju slučajnih procesa ne prelazi umnožak njihovih standardnih odstupanja, tj.

3. Korelacijska funkcija se neće promijeniti ako slučajni procesi
I
dodajte neslučajne funkcije
I
prema tome tj
, gdje respektivno
I

4. Neslučajni množitelji
može se uzeti kao korelacijski znak, odnosno ako
i onda

5. Ako
, To.

6. Ako slučajni procesi
I
nekorelirano, tada je korelacijska funkcija njihovog zbroja jednaka zbroju njihovih korelacijskih funkcija, tj.

Za ocjenu stupnja ovisnosti presjeka dvaju s.p. također se koristi normalizirana funkcija unakrsne korelacije
, definiran jednakošću:

Funkcija
ima ista svojstva kao funkcija
, ali svojstvo 2

zamjenjuje se sljedećom dvostrukom nejednakošću
, tj. modul normalizirane unakrsne korelacijske funkcije ne prelazi jedinicu.

Primjer 5. Nađite funkciju međusobne korelacije dvaju r.p.
I
, Gdje
slučajna varijabla, dok

Riješenje. Jer,.

Kako bi se donekle okarakterizirala unutarnja struktura slučajnog procesa, tj. uzeti u obzir odnos između vrijednosti slučajnog procesa u različitim točkama u vremenu ili, drugim riječima, uzeti u obzir stupanj varijabilnosti slučajnog procesa, uvesti koncept korelacijske (autokorelacijske) funkcije slučajni proces.

Korelacijska (ili autokorelacijska) funkcija slučajnog procesa je neslučajna funkcija dvaju argumenata, koja je za svaki par proizvoljno odabranih vrijednosti argumenata (vremenskih točaka) jednaka matematičkom očekivanju umnoška dva slučajna varijable odgovarajući dijelovi slučajnog procesa:

Korelacijska funkcija za centriranu slučajnu komponentu naziva se centriranim i određuje se iz relacije

(1.58)

Funkcija se često naziva kovarijanca, i – autokorelacija .

Razni slučajni procesi, ovisno o tome kako se njihove statističke karakteristike mijenjaju tijekom vremena, dijele se na stacionarni I nestacionarno. Pravi se razlika između stacionarnosti u užem smislu i stacionarnosti u širem smislu.

Stacionarni u užem smislu nazvan slučajni proces, ako njegove -dimenzionalne funkcije distribucije i gustoće vjerojatnosti za bilo koju ne ovise od početne pozicije mjerenja vremena. To znači da dva procesa imaju ista statistička svojstva za bilo koji, tj. statističke karakteristike stacionarnog slučajnog procesa su konstantne tijekom vremena. Stacionarni slučajni proces je svojevrsni analog stacionarnog procesa u dinamičkim sustavima.

Stacionarni u širem smislu nazvan slučajni proces, čije je matematičko očekivanje konstantno:

a korelacijska funkcija ovisi samo o jednoj varijabli - razlici između argumenata:

Pojam slučajnog procesa, stacionarnog u širem smislu, uvodi se kada se kao statističke karakteristike slučajnog procesa koriste samo matematičko očekivanje i korelacijska funkcija. Dio teorije slučajnih procesa koji opisuje svojstva slučajnog procesa kroz njegovo matematičko očekivanje i korelacijsku funkciju naziva se teorija korelacije.

Za slučajni proces s normalnim zakonom distribucije, matematičko očekivanje i korelacijska funkcija u potpunosti ga određuju n-dimenzionalna gustoća vjerojatnosti. Zato Za normalne slučajne procese pojmovi stacionarnosti u širem i užem smislu se podudaraju.

Teorija stacionarnih procesa najpotpunije je razvijena i omogućuje relativno jednostavne proračune za mnoge praktične slučajeve. Stoga je ponekad preporučljivo napraviti pretpostavku stacionarnosti i za one slučajeve kada slučajni proces, iako nestacionaran, ali tijekom razmatranog perioda rada sustava, statističke karakteristike signala nemaju vremena za promjenu u bilo koji značajan način.

U teoriji slučajnih procesa koriste se dva koncepta prosječnih vrijednosti. Prvi koncept prosjeka je postaviti prosjek (ili matematičko očekivanje), koje se utvrđuje na temelju promatranja više implementacija slučajnog procesa u istoj vremenskoj točki. Obično se označava prosječna vrijednost skupa valovita crta preko izraza koji opisuje slučajnu funkciju:

Općenito, postavljeni prosjek je funkcija vremena.

Drugi koncept prosjeka je prosjek tijekom vremena , koji se utvrđuje na temelju promatranja zasebne provedbe slučajnog procesa tijekom dovoljno dugog vremena. Vremenski prosjek je označen sa ravno crta preko odgovarajućeg izraza slučajne funkcije i određuje se formulom

, (1.62)

ako ta granica postoji.

Vremenski prosjek je općenito različit za pojedinačne realizacije skupa koji definiraju slučajni proces.

Općenito, za isti slučajni proces, prosjek u skupu i prosjek u vremenu su različiti, ali za tzv. ergodički stacionarni slučajni procesi prosječna vrijednost u nizu podudara se s prosječnom vrijednošću u vremenu:

U skladu s ergodičkim teoremom za stacionarni slučajni proces, korelacijska funkcija može se definirati kao vremenski prosjek jedne implementacije

(1.64)

Gdje - svaka implementacija slučajnog procesa.

Centrirana korelacijska funkcija ergodičkog stacionarnog slučajnog procesa

Iz izraza (1.65) može se uočiti da varijanca stacionarnog slučajnog procesa jednaka je početna vrijednost centriranu korelacijsku funkciju: