Matematički modeli mnogih signala koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uvjet apsolutne integrabilnosti, pa Fourierova transformacija u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. No, kao što je istaknuto, može se govoriti o spektralnim gustoćama takvih signala, ako pretpostavimo da su te gustoće opisane generaliziranim funkcijama.

Generalizirana Rayleighova formula. Dokažimo važnu pomoćnu tvrdnju o spektralnim svojstvima signala.

Neka su dva signala u općem slučaju kompleksne vrijednosti, definirana njihovim inverznim Fourierovim transformacijama:

Nađimo skalarni proizvod ovih signala, izražavajući jedan od njih, na primjer, kroz njegovu spektralnu gustoću:

Ovdje je unutarnji integral očito spektralna gustoća signala. Tako

Rezultirajuća relacija je generalizirana Rayleighova formula. Lako pamtljiva interpretacija ove formule je sljedeća: skalarni proizvod dvaju signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom umnošku njihovih spektralnih gustoća.

Generalizacija pojma spektralne gustoće.

Pretpostavljamo da je signal apsolutno integrabilna funkcija. Tada je njegova Fourierova transformacija uobičajena klasična frekvencijska funkcija. Neka uz to signal ne zadovoljava uvjet apsolutne integrabilnosti i Fourierova transformacija ne postoji u uobičajenom klasičnom smislu. Međutim, može se proširiti koncept spektralne gustoće uz pretpostavku da je to generalizirana funkcija u smislu utvrđenom u § 1.2. Da bismo to učinili, u skladu s generaliziranom Rayleighovom formulom, dovoljno je pretpostaviti da je to funkcional koji, djelujući na poznatu funkciju, daje sljedeći rezultat:

Preporučljivo je razmotriti metode za izračun spektra neintegrabilnih signala na konkretnim primjerima.

Spektralna gustoća vremenski konstantnog signala. Najjednostavniji neintegrabilni signal je konstantna vrijednost i . Pretpostavimo da je to proizvoljan realan apsolutno integrabilan signal s poznatom spektralnom gustoćom

Proširujući formulu (2.43), imamo

Ali, kao što je lako vidjeti,

Stoga, na temelju svojstva filtriranja delta funkcije, zaključujemo da je jednakost (2.43) moguća samo pod uvjetom da

Fizički smisao dobivenog rezultata je jasan - vremenski nepromjenjiv signal ima spektralnu komponentu samo na nultoj frekvenciji.

Spektralna gustoća složenog eksponencijalnog signala.

Neka je kompleksni eksponencijalni signal sa zadanom realnom frekvencijom.Ovaj signal nije apsolutno integrabilan, budući da funkcija s(t) ne teži ni jednoj granici na . Fourierova transformacija ovog signala, razmatrana u generaliziranom smislu, mora zadovoljiti relaciju

Stoga se željena spektralna gustoća S (co) izražava na sljedeći način:

Imajte na umu sljedeće:

1. Spektralna gustoća složenog eksponencijalnog signala svugdje je jednaka nuli, osim u točki u kojoj ima delta singularitet.

2. Spektar ovog signala je asimetričan u odnosu na točku i koncentriran je u području pozitivnih ili negativnih frekvencija.

Spektralna gustoća harmonijskih oscilacija. Neka Prema Eulerovoj formuli

Gore pronađeni spektar složenog eksponencijalnog signala, kao i svojstvo linearnosti Fourierove transformacije, omogućuju nam da odmah zapišemo izraz za spektralnu gustoću kosinusnog signala:

Čitatelj može lako sam provjeriti da je za sinusni signal relacija

Treba napomenuti da je izraz (2.46) paran, a izraz (2.47) neparna funkcija frekvencije.

Spektralna gustoća proizvoljnog periodičnog signala.

Prije su se periodični signali proučavali metodama teorije Fourierovih redova. Sada možete proširiti svoje razumijevanje njihovih spektralnih svojstava opisujući periodične signale koristeći Fourierovu transformaciju.

Periodični signal koji daje njegov Fourierov niz u složenom obliku. Na temelju formule (2.45), uzimajući u obzir svojstvo linearnosti Fourierove transformacije, odmah dobivamo izraz za spektralnu gustoću takvog signala:

Odgovarajući grafikon spektralne gustoće u svojoj konfiguraciji ponavlja uobičajeni spektralni dijagram periodičnog signala. Graf čine delta impulsi u frekvencijskoj domeni, koji se nalaze u točkama s koordinatama

Spektralna gustoća funkcije prebacivanja.

Izračunajmo spektralnu gustoću funkcije uključivanja, koju, radi jednostavnosti, definiramo u svim točkama, osim u točki t = 0 [usp. s (1.2)]:

Prije svega, napominjemo da se funkcija uključivanja dobiva prelaskom do granice iz eksponencijalnog video pulsa:

Stoga se može pokušati dobiti spektralna gustoća funkcije uključivanja prelaskom na granicu kao a - 0 u formuli za spektralnu gustoću eksponencijalne oscilacije:

Izravan prijelaz na granicu, prema kojoj vrijedi na svim frekvencijama, osim za vrijednost , kada je potrebno pažljivije razmatranje.

Prije svega, odvajamo stvarni i imaginarni dio u spektralnoj gustoći eksponencijalnog signala:

Može se provjeriti da

Doista, granična vrijednost ovog razlomka nestaje za bilo koji, i to u isto vrijeme

bez obzira na vrijednost a, iz čega slijedi tvrdnja.

Dakle, dobili smo korespondenciju jedan-na-jedan između funkcije uključivanja i njezine spektralne gustoće:

Delta singularnost na označava da funkcija uključivanja ima konstantnu komponentu jednaku 1/2.

Spektralna gustoća radio impulsa.

Kao što je poznato, radio puls je zadan kao umnožak nekog video pulsa, koji ima ulogu ovojnice, i neintegrabilne harmonijske oscilacije: .

Da bismo pronašli spektralnu gustoću radio impulsa, pretpostavljamo da je poznata funkcija spektar njegove ovojnice. Spektar kosinusnog signala s proizvoljnom početnom fazom dobiva se elementarnom generalizacijom formule (2.46):

Spektar radio impulsa je konvolucija

Uzimajući u obzir svojstvo filtriranja delta funkcije, dobivamo važan rezultat:

Riža. Slika 2.8 ilustrira transformaciju spektra video pulsa kada se on pomnoži visokofrekventnim harmonijskim signalom.

Riža. 2.8. Frekventne ovisnosti modula spektralne gustoće: a - video puls; b - radio puls

Može se vidjeti da prijelaz s video pulsa na radio puls u spektralnom pristupu znači prijenos spektra video pulsa u visokofrekventno područje - umjesto jednog maksimuma spektralne gustoće pri , dva maksimuma se uočavaju pri , apsolutne vrijednosti maksimuma su prepolovljene.

Imajte na umu da su grafikoni na sl. 2.8 odgovaraju situacijama u kojima frekvencija znatno premašuje efektivnu širinu spektra video pulsa (to je slučaj koji se obično provodi u praksi). U ovom slučaju nema primjetnog "preklapanja" spektra koji odgovaraju pozitivnim i negativnim frekvencijama. Međutim, može se pokazati da je širina pojasa spektra video pulsa toliko velika (za kratki impuls) da odabrana vrijednost frekvencije ne eliminira učinak "preklapanja". Kao posljedica toga, profili spektra video pulsa i radio pulsa prestaju biti slični.

Primjer 2.3. Spektralna gustoća pravokutnog radio impulsa.

Radi jednostavnosti postavili smo početnu fazu na nulu i zapisali matematički model radio impulsa u obliku

Poznavajući spektar odgovarajućeg video pulsa [vidi formule (2.20)], na temelju (2.50) nalazimo traženi spektar:

Na sl. 2.9 prikazuje rezultate izračuna spektralne gustoće pomoću formule (2.51) za dva karakteristična slučaja,

U prvom slučaju (slika 2.9, a), impuls ovojnice sadrži 10 razdoblja visokofrekventnog punjenja, frekvencija je ovdje dovoljno visoka da se izbjegne "preklapanje". U drugom slučaju (slika 2.9, b), radio puls se sastoji od samo jednog razdoblja punjenja.Superpozicija komponenti koje odgovaraju područjima pozitivnih i negativnih frekvencija dovodi do karakteristične asimetrije strukture latica grafa spektralnu gustoću radio impulsa.

Riža. 2.9. Grafovi spektralnih gustoća radio impulsa s pravokutnom ovojnicom: a - at ; b - na

U statističkoj radiotehnici i fizici, pri proučavanju determinističkih signala i slučajnih procesa, široko se koristi njihov spektralni prikaz u obliku spektralne gustoće, koji se temelji na Fourierovoj transformaciji.

Ako proces ima konačnu energiju i kvadratno je integrabilan (a ovo je nestacionaran proces), tada se za jednu implementaciju procesa Fourierova transformacija može definirati kao slučajna složena funkcija frekvencije:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \ograničenja _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Međutim, pokazalo se da je gotovo beskorisno za opisivanje ansambla. Izlaz iz ove situacije je odbaciti neke parametre spektra, odnosno spektar faza, i konstruirati funkciju koja karakterizira raspodjelu energije procesa duž frekvencijske osi. Zatim, prema Parsevalovom teoremu, energija

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X(f) | 2d f . (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Funkcija S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) tako karakterizira raspodjelu energije realizacije duž frekventne osi i naziva se spektralna gustoća realizacije. Usrednjavanjem ove funkcije po svim realizacijama može se dobiti spektralna gustoća procesa.

Okrenimo se sada široko stacionarnom stohastičkom procesu x (t) (\displaystyle x(t)), čije realizacije imaju beskonačnu energiju s vjerojatnošću 1 i, prema tome, nemaju Fourierovu transformaciju. Spektralna gustoća snage takvog procesa može se pronaći na temelju Wiener-Khinchinova teorema kao Fourierova transformacija korelacijske funkcije:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .)

(3)

Ako postoji izravna transformacija, onda postoji i inverzna Fourierova transformacija, koja određuje iz poznatog k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Ako pretpostavimo u formulama (3) i (4), respektivno, f = 0 (\displaystyle f=0) i τ = 0 (\displaystyle \tau =0), imamo

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau ,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Formula (6), uzimajući u obzir (2), pokazuje da disperzija određuje ukupnu energiju stacionarnog slučajnog procesa, koja je jednaka površini ispod krivulje spektralne gustoće. Dimenzijska vrijednost S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df) može se tumačiti kao dio energije koncentriran u malom frekvencijskom rasponu od f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) prije f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Ako se razumije od x (t) (\displaystyle x(t)) slučajne (fluktuacijske) struje ili napona, zatim vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) imat će dimenziju energije [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Tako S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) ponekad zove energetski spektar. Često se u literaturi može naći i druga interpretacija: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))- smatra se prosječnom snagom koju oslobađa struja ili napon pri otporu od 1 ohma. U isto vrijeme, vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) pozvao spektar snage slučajni proces.

Svojstva spektralne gustoće

• Energetski spektar stacionarnog procesa (stvarnog ili složenog) je nenegativna vrijednost:

S x (f) ≥ 0 (\displaystyle S_(x)(f)\geq 0).

(7)

• Energetski spektar realnog stacionara u širem smislu slučajnog procesa je stvarna i ravnomjerna funkcija frekvencije:

S x (− f) = S x (f) (\displaystyle S_(x)(-f)=S_(x)(f)).

(8)

1. Signali i spektri. Teorijske osnove digitalne komunikacije

1. Signali i spektri

1.1. Obrada signala u digitalnim komunikacijama

1.1.1. Zašto "digitalni"

Zašto se "brojevi" koriste u vojnim i komercijalnim komunikacijskim sustavima? Postoji mnogo razloga. Glavna prednost ovog pristupa je jednostavnost rekonstrukcije digitalnih signala u usporedbi s analognim. Razmotrite sl. 1.1, koji prikazuje idealan binarni digitalni impuls koji se širi kroz podatkovni kanal. Na valni oblik utječu dva glavna mehanizma: (1) budući da svi kanali i prijenosni vodovi imaju neidealan frekvencijski odziv, idealni impuls je izobličen; i (2) neželjeni električni šum ili druge vanjske smetnje dodatno izobličuju valni oblik. Što je kanal duži, ovi mehanizmi značajnije iskrivljuju impuls (slika 1.1). Dok se odaslani impuls još uvijek može pouzdano detektirati (prije nego što se degradira u dvosmisleno stanje), puls se pojačava digitalnim pojačalom, vraćajući njegov izvorni idealan oblik. Zamah se "ponovno rađa" ili obnavlja. Za obnavljanje signala odgovorni su regenerativni repetitori koji se nalaze u komunikacijskom kanalu na određenoj udaljenosti jedan od drugog.

Digitalni kanali su manje osjetljivi na izobličenje i smetnje od analognih kanala. Budući da binarni digitalni kanali daju smislen signal samo kada rade u jednom od dva stanja – uključeno ili isključeno – smetnja mora biti dovoljno velika da pomakne radnu točku kanala iz jednog stanja u drugo. Samo dva stanja olakšavaju oporavak signala i stoga sprječavaju nakupljanje šuma ili drugih smetnji tijekom prijenosa. Analogni signali, s druge strane, nisu signali s dva stanja; mogu uzeti beskonačan broj oblicima. U analognim kanalima čak i mali poremećaj može neprepoznatljivo izobličiti signal. Nakon što je analogni signal izobličen, smetnja se ne može ukloniti pojačavanjem. Budući da je nakupljanje šuma neraskidivo povezano s analognim signalima, kao rezultat toga, oni se ne mogu savršeno reproducirati. Uz digitalnu tehnologiju, vrlo niska stopa pogreške plus primjena postupaka otkrivanja i ispravljanja pogrešaka omogućavaju visoku vjernost signala. Ostaje samo napomenuti da takvi postupci nisu dostupni s analognim tehnologijama.

sl.1.1. Izobličenje i oporavak zamaha

Postoje i druge važne prednosti digitalne komunikacije. Digitalni kanali su pouzdaniji i mogu se proizvoditi po nižim cijenama od analognih kanala. Osim toga, digitalni softver omogućuje više fleksibilna implementacija od analogne (npr. mikroprocesori, digitalna komutacija i integrirani krugovi velikih razmjera (LSI)). Upotreba digitalnih signala i multipleksiranja s vremenskom podjelom (TDM) jednostavnija je od analognih signala i multipleksiranja s frekvencijskom podjelom (FDM). U prijenosu i komutaciji različite vrste digitalnih signala (podatak, telegraf, telefon, televizija) mogu se smatrati identičnima: na kraju krajeva, bit je bit. Osim toga, radi lakšeg prebacivanja i obrade, digitalne poruke mogu se grupirati u autonomne jedinice koje se nazivaju paketi. Digitalne tehnologije prirodno uključuju značajke koje štite od smetnji i potiskivanja signala, ili pružaju enkripciju ili privatnost. (O takvim tehnologijama govori se u poglavljima 12 i 14.) Osim toga, komunikacija je uglavnom između dva računala, ili između računala i digitalnih uređaja ili terminala. Takve digitalne terminale bolje (i prirodnije!) opslužuju digitalni komunikacijski kanali.

Što plaćamo za prednosti digitalnih komunikacijskih sustava? Digitalni sustavi zahtijevaju više obrade nego analogni sustavi. Osim toga, digitalni sustavi zahtijevaju značajnu količinu resursa za sinkronizaciju na različitim razinama (vidi Poglavlje 10). Analogne je sustave, s druge strane, lakše sinkronizirati. Drugi nedostatak digitalnih komunikacijskih sustava je da je degradacija kvalitete praga prirode. Ako omjer signal-šum padne ispod određenog praga, kvaliteta usluge može se iznenada promijeniti iz vrlo dobre u vrlo lošu. U analognim sustavima, međutim, degradacija se odvija lakše.

1.1.2. Tipični okvir dijagram i osnovne transformacije

Funkcionalni blok dijagram prikazan na sl. 1.2 ilustrira korake širenja i obrade signala u tipičnom digitalnom komunikacijskom sustavu (DCS). Gornji blokovi - formatiranje, izvorno kodiranje, enkripcija, kanalno kodiranje, multipleksiranje, impulsna modulacija, propusna modulacija, prošireni spektar i višestruki pristup - odražavaju transformacije signala na putu od izvora do odašiljača. Donji blokovi dijagrama su transformacije signala na putu od primatelja do primatelja informacije, a zapravo su suprotni gornjim blokovima. Jedinice za modulaciju i demodulaciju/detekciju zajednički se nazivaju modemom. Pojam "modem" često kombinira nekoliko koraka obrade signala, prikazanih na Sl. 1.2; u ovom slučaju, modem se može smatrati "mozakom" sustava. Odašiljač i prijemnik se mogu promatrati kao "mišići" sustava. Za bežične aplikacije, odašiljač se sastoji od kruga za povećanje radio frekvencije (RF), pojačala snage i antene, a prijemnik se sastoji od antene i niskošumnog pojačala (LNA). Reverzna redukcija frekvencije vrši se na izlazu prijemnika i/ili demodulatora.

Na sl. 1.2 ilustrira korespondenciju između blokova gornjeg (odnosnog) i donjeg (prijemnog) dijela sustava. Koraci obrade signala koji se odvijaju u odašiljaču su uglavnom obrnuti koracima prijamnika. Na sl. 1.2 izvorne informacije se pretvaraju u binarne znamenke (bitove); bitovi se zatim grupiraju u digitalne poruke ili znakove poruke. Svaki takav znak ( gdje ) može se smatrati elementom konačne abecede koja sadrži M elementi. Stoga, za M=2 simbol poruke je binarni (tj. sastoji se od jednog bita). Iako se binarni znakovi mogu klasificirati kao M-ary (s M=2), obično naziv " M-ary" koristi se za slučajeve M>2; stoga se takvi simboli sastoje od niza od dva ili više bitova. (Usporedite sličnu konačnu abecedu DCS sustava s onim što imamo u analognim sustavima, gdje je signal poruke element beskonačnog skupa mogućih signala.) Za sustave koji koriste kanalno kodiranje (kodove za ispravljanje pogrešaka), slijed simbola poruke je pretvara se u niz znakova simbola kanala), a svaki znak kanala označava se s . Budući da se simboli poruke ili simboli kanala mogu sastojati od jednog bita ili grupe bitova, slijed takvih simbola naziva se tok bitova (slika 1.2).

Razmotrite ključne blokove obrade signala prikazane na Sl. 1.2; samo su formatiranje, modulacija, demodulacija/detekcija i sinkronizacija potrebni za DCS sustave.

Formatiranje pretvara izvornu informaciju u bitove, čineći tako funkcije obrade informacija i signala kompatibilne s DCS sustavom. Od ove točke na slici pa do bloka impulsne modulacije, informacija ostaje u obliku toka bitova.

Riža. 1.2. Blok dijagram tipičnog digitalnog komunikacijskog sustava

Modulacija je proces kojim se simboli poruke ili simboli kanala (ako se koristi kanalno kodiranje) pretvaraju u signale koji su kompatibilni sa zahtjevima koje nameće podatkovni kanal. Impulsna modulacija je još jedan neophodan korak jer se svaki simbol koji se šalje mora prvo pretvoriti iz binarnog prikaza (razine napona predstavljaju binarne 0 i 1) u uskopojasni oblik signala. Pojam "uskopojasni" (baseband) definira signal čiji spektar počinje od (ili blizu) konstantne komponente i završava nekom konačnom vrijednošću (obično, ne većom od nekoliko megaherca). PCM blok obično uključuje filtriranje radi minimiziranja širine pojasa prijenosa. Kada se impulsna modulacija primjenjuje na binarne simbole, rezultirajući binarni signal naziva se PCM (pulse-code modulation) kodirani signal. Postoji nekoliko tipova PCM signala (opisanih u 2. poglavlju); u telefonskim aplikacijama ti se signali često nazivaju kodovima kanala. Kada se impulsna modulacija primjenjuje na nebinarne simbole, rezultirajući signal se naziva M-arno pulsno modulirano. Postoji nekoliko tipova takvih signala, koji su također opisani u poglavlju 2, koje se fokusira na pulsno-amplitudnu modulaciju (PAM). Nakon impulsne modulacije, svaki simbol poruke ili simbol kanala poprima oblik propusnog signala, gdje je . U bilo kojoj elektroničkoj implementaciji, tok bitova koji prethodi impulsnoj modulaciji predstavljen je razinama napona. Može se postaviti pitanje zašto postoji poseban blok za impulsnu modulaciju, a zapravo se razine napona za binarne nule i jedinice već mogu smatrati idealnim pravokutnim impulsima, od kojih je trajanje svakoga jednako vremenu prijenosa jednog bita? Postoje dvije važne razlike između ovih razina napona i propusnih signala koji se koriste za modulaciju. Prvo, blok pulsne modulacije omogućuje korištenje binarnih i M-arnih signala. Odjeljak 2.8.2 opisuje različite korisne parametre ovih tipova signala. Drugo, filtriranje izvedeno u bloku impulsne modulacije generira impulse čije je trajanje duže od vremena prijenosa jednog bita. Filtriranje vam omogućuje korištenje dužih impulsa; tako se impulsi rašire na susjedne bitne vremenske utore. Taj se proces ponekad naziva oblikovanjem pulsa; koristi se za zadržavanje širine pojasa prijenosa unutar neke željene regije spektra.

Za aplikacije koje uključuju radiofrekvencijski prijenos, sljedeći važan korak je propusna modulacija; potrebno je kad god prijenosni medij ne podržava širenje impulsnih signala. U takvim slučajevima, okolina zahtijeva propusni signal, gdje je . Pojam "pojasni prolaz" koristi se za odraz da je uskopojasni signal pomaknut valom nositelja na frekvenciji mnogo većoj od spektralnih komponenti. Kako se signal širi kanalom, na njega utječu karakteristike kanala, koje se mogu izraziti u smislu impulsnog odziva (vidi odjeljak 1.6.1). Također, na različitim točkama duž puta signala, dodatni nasumični šum iskrivljuje primljeni signal, pa se prijem mora izraziti u smislu oštećene verzije signala od odašiljača. Primljeni signal se može izraziti na sljedeći način:

gdje znak "*" predstavlja operaciju konvolucije (vidi Dodatak A) i predstavlja proces buke (vidi odjeljak 1.5.5).

U obrnutom smjeru, prednji kraj prijemnika i/ili demodulator osiguravaju smanjenje frekvencije za svaki pojasni signal. U pripremi za detekciju, demodulator rekonstruira uskopojasni signal kao optimalnu ovojnicu. Obično je nekoliko filtara povezano s prijemnikom i demodulatorom – filtriranje se radi kako bi se uklonile neželjene visokofrekventne komponente (tijekom pretvorbe propusnog signala u uskopojasni) i oblikovanje impulsa. Izjednačavanje se može opisati kao vrsta filtriranja koja se koristi u demodulatoru (ili nakon demodulatora) za uklanjanje svih učinaka degradacije signala koje može uzrokovati kanal. Izjednačavanje je potrebno ako je impulsni odziv kanala toliko loš da je primljeni signal ozbiljno izobličen. Ekvilizator (ekvilajzer) je implementiran da kompenzira (tj. ukloni ili priguši) bilo koje izobličenje signala uzrokovano neidealnim odgovorom. Konačno, korak uzorkovanja pretvara oblikovani impuls u uzorak kako bi se povratio (približno) simbol kanala ili simbol poruke (ako se ne koristi kanalno kodiranje). Neki autori koriste pojmove "demodulacija" i "detekcija" naizmjenično. U ovoj knjizi demodulacija se odnosi na obnavljanje signala (pulsa širine pojasa), a detekcija se odnosi na donošenje odluke o digitalnoj vrijednosti tog signala.

Preostale faze obrade signala u modemu su izborne i usmjerene su na zadovoljavanje specifičnih potreba sustava. Izvorno kodiranje je pretvorba analognog signala u digitalni (za analogne izvore) i uklanjanje suvišnih (nepotrebnih) informacija. Imajte na umu da tipični DCS sustav može koristiti ili izvorno kodiranje (za digitalizaciju i komprimiranje izvornih informacija) ili jednostavniju transformaciju formatiranja (samo za digitalizaciju). Sustav ne može primijeniti i izvorno kodiranje i formatiranje u isto vrijeme, budući da prvo već uključuje nužni korak digitalizacije informacija. Enkripcija, koja se koristi za osiguranje tajnosti komunikacije, sprječava neovlaštenog korisnika da razumije poruku i unese lažne poruke u sustav. Kodiranje kanala pri danoj brzini podataka može smanjiti vjerojatnost PE pogreške ili smanjiti omjer signal-šum potreban za postizanje željene PE vjerojatnosti povećanjem širine pojasa prijenosa ili kompliciranjem dekodera. Postupci multipleksiranja i višestrukog pristupa kombiniraju signale koji mogu imati različite karakteristike ili mogu dolaziti iz različitih izvora tako da mogu dijeliti neke od komunikacijskih resursa (npr. spektar, vrijeme). Frekventno širenje može pružiti signal koji je relativno imun na smetnje (i prirodne i namjerne) i može se koristiti za povećanje privatnosti strana koje komuniciraju. To je također vrijedna tehnologija koja se koristi za višestruki pristup.

Blokovi za obradu signala prikazani na sl. 1.2 predstavljaju tipični dijagram digitalnog komunikacijskog sustava; međutim, ovi blokovi se ponekad implementiraju malo drugačijim redoslijedom. Na primjer, multipleksiranje se može dogoditi prije kanalnog kodiranja ili modulacije, ili, u dvostupanjskom procesu modulacije (podnosač i nositelj), može se dogoditi između dva stupnja modulacije. Slično, blok proširenja frekvencije može se nalaziti na različitim mjestima u gornjem redu na Sl. 1.2; njegova točna lokacija ovisi o specifičnoj korištenoj tehnologiji. Sinkronizacija i njezin ključni element, sinkronizirajući signal, uključeni su u sve faze obrade signala u DCS sustavu. Radi jednostavnosti, blok za sinkronizaciju na Sl. 1.2 prikazan je bez obzira na bilo što, iako zapravo sudjeluje u regulaciji operacija u gotovo svakom bloku prikazanom na slici.

Na sl. Slika 1.3 prikazuje glavne funkcije obrade signala (koje se mogu smatrati transformacijama signala) podijeljene u sljedećih devet skupina.

sl.1.3. Glavne transformacije digitalnih komunikacija

1. Formatiranje i kodiranje izvora

2. Uskopojasna signalizacija

3. Signalizacija širine pojasa

4. Niveliranje

5. Kodiranje kanala

6. Brtvljenje i višestruki pristup

7. Prošireni spektar

8. Šifriranje

9. Sinkronizacija

Na sl. 1.3 Uskopojasni signalni blok sadrži popis binarnih alternativa kada se koristi PCM modulacija ili linijski kodovi. Ovaj blok također specificira nebinarnu kategoriju signala tzv M-ararna pulsna modulacija. Još jedna transformacija na sl. 1.3, označena kao signalizacija širine pojasa, podijeljena je u dva glavna bloka, koherentan i nekoherentan. Demodulacija se obično izvodi pomoću referentnih signala. Korištenjem poznatih signala kao mjere svih parametara signala (osobito faze), kaže se da je proces demodulacije koherentan; kada se ne koriste informacije o fazi, proces je nekoherentan.

Kodiranje kanala bavi se tehnikama koje se koriste za poboljšanje digitalnih signala, koji kao rezultat postaju manje osjetljivi na faktore degradacije kao što su šum, blijeđenje i potiskivanje signala. Na sl. 1.3, kanalno kodiranje podijeljeno je u dva bloka, blok kodiranja valnog oblika i blok strukturirane sekvence. Kodiranje valnog oblika uključuje korištenje novih signala koji donose poboljšanu kvalitetu detekcije u odnosu na izvorni signal. Strukturirane sekvence uključuju upotrebu dodatnih bitova za određivanje postoji li pogreška uzrokovana šumom u kanalu. Jedna takva tehnologija, automatski zahtjev za ponavljanje (ARQ), jednostavno prepoznaje pojavu greške i traži od pošiljatelja da ponovno pošalje poruku; druga tehnika, poznata kao ispravljanje pogreške naprijed (FEC), omogućuje automatsko ispravljanje pogrešaka (uz određena ograničenja). Kada razmatramo strukturirane sekvence, raspravljat ćemo o tri uobičajene metode - blokovnom, konvolucijskom i turbo kodiranju.

U digitalnim komunikacijama mjerenje vremena uključuje izračun vremena i frekvencije. Kao što je prikazano na sl. 1.3, sinkronizacija se izvodi na pet razina. Referentne frekvencije koherentnih sustava moraju biti sinkronizirane s nosiocem (i eventualno podnosačem) u frekvenciji i fazi. Za nekoherentne sustave fazna sinkronizacija nije potrebna. Osnovni proces sinkronizacije vremena je sinkronizacija simbola (ili sinkronizacija bitova za binarne simbole). Demodulator i detektor moraju znati kada započeti i završiti proces detekcije simbola i bita; pogreška sinkronizacije dovodi do smanjenja učinkovitosti detekcije. Sljedeća razina vremenske sinkronizacije, sinkronizacija okvira, omogućuje preuređivanje poruka. I posljednja razina, mrežna sinkronizacija, omogućuje vam koordinaciju s drugim korisnicima kako biste učinkovito koristili resurse.

1.1.3. Osnovna terminologija digitalne komunikacije

Slijede neki od glavnih pojmova koji se obično koriste u području digitalnih komunikacija.

Izvor informacija(izvor informacija). Uređaj koji prenosi informacije kroz DCS sustav. Izvor informacija može biti analogni ili diskretni. Izlaz analognog izvora može poprimiti bilo koju vrijednost iz kontinuiranog raspona amplituda, dok izlaz diskretnog izvora informacija može uzeti vrijednosti iz konačnog skupa amplituda. Analogni izvori informacija pretvaraju se u digitalne uzorkovanjem ili kvantizacijom. Metode uzorkovanja i kvantizacije nazvane izvorno formatiranje i kodiranje (slika 1.3).

Tekstualna poruka(tekstualna poruka). Slijed znakova (slika 1.4, a). U digitalnom prijenosu podataka, poruka je niz brojeva ili znakova koji pripadaju konačnom skupu znakova ili abecedi.

Znak(Lik). Element abecede ili skupa znakova (slika 1.4, b). Znakovi se mogu mapirati u niz binarnih znamenki. Postoji nekoliko standardiziranih kodova koji se koriste za kodiranje znakova, uključujući ASCII (Američki standardni kod za razmjenu informacija), EBCDIC (Prošireni binarno kodirani decimalni kod za razmjenu), Hollerith kod (Hollerith kod), Baudot kod, Murray kod i Morseov kod.

sl.1.4. Ilustracija pojmova: a) tekstualne poruke; b) simboli;

c) bit stream (7-bitni ASCII kod); d) simboli, ;

e) propusni digitalni signal

binarna znamenka(binarna znamenka) (bit) (bit). Temeljna jedinica informacija za sve digitalne sustave. Pojam "bit" također se koristi kao jedinica informacije, što je opisano u 9. poglavlju.

bitni tok(bitstream). Niz binarnih znamenki (nula i jedinica). Bitstream se često naziva signalom osnovnog pojasa; to implicira da se njegove spektralne komponente kreću od (ili oko) istosmjerne do neke konačne vrijednosti, obično ne više od nekoliko megaherca. Na sl. 1.4, poruka "KAKO" je predstavljena pomoću sedmobitnog ASCII koda, a tok bitova je prikazan u obliku dvorazinskih impulsa. Slijed impulsa prikazan je visoko stiliziranim (savršeno pravokutnim) valnim oblicima s prazninama između susjednih impulsa. U stvarnom sustavu impulsi nikada neće izgledati ovako, budući da su takve praznine apsolutno beskorisne. Pri danoj brzini podataka, praznine će povećati propusnost potrebnu za prijenos; ili će, s obzirom na širinu pojasa, povećati vremensko kašnjenje potrebno za primanje poruke.

Simbol(simbol) (digitalna poruka) (digitalna poruka). Simbol je skupina k bitovi promatrani kao cjelina. Nadalje, ovaj blok ćemo nazvati simbolom poruke () iz konačnog skupa simbola ili abecede (slika 1.4, d.) Veličina abecede M jednako , gdje k je broj bitova u simbolu. U uskopojasnom prijenosu, svaki od simbola bit će predstavljen jednim od niza uskopojasnih impulsnih signala . Ponekad se, prilikom prijenosa niza takvih impulsa, jedinica bauda (baud) koristi za izražavanje brzine pulsa (brzine simbola). Za tipičan propusni prijenos, svaki impuls će biti predstavljen jednim od niza propusnih impulsnih signala . Dakle, za bežične sustave, simbol se šalje prijenosom digitalnog signala za T sekundi. Sljedeći znak se šalje tijekom sljedećeg vremenskog intervala, T. Činjenica da je skup znakova koji odašilje DCS sustav konačan glavna je razlika između ovih sustava i analognih komunikacijskih sustava. DCS prijemnik samo treba odrediti koji M mogući signali su preneseni; dok analogni prijemnik mora točno odrediti vrijednost koja pripada kontinuiranom rasponu signala.

digitalni signal(digitalni valni oblik). Opisan razinom napona ili struje, signal (puls za uskopojasni prijenos ili sinusni val za propusni opseg) koji predstavlja digitalni znak. Karakteristike signala (za impulse - amplituda, trajanje i mjesto, ili za sinusoidu - amplituda, frekvencija i faza) omogućuju ga identificirati kao jedan od simbola konačne abecede. Na sl. 1.4 d prikazan je primjer propusnog digitalnog signala. Iako je signal sinusoidan i stoga ima analogni oblik, još uvijek se naziva digitalnim jer kodira digitalne informacije. Na ovoj slici je digitalna vrijednost označena prijenosom tijekom svakog vremenskog intervala T signal određene frekvencije.

Brzina prijenosa(brzina prijenosa podataka). Ova vrijednost u bitovima u sekundi (bps) je data sa (bps) gdje k bitovi definiraju znak iz abecede znakova - i T je trajanje do-bitni karakter.

1.1.4. Digitalna i analogna mjerila performansi

Temeljna razlika između analognih i digitalnih komunikacijskih sustava povezana je s načinom ocjenjivanja njihove izvedbe. Signali analognog sustava su u kontinuumu, tako da prijemnik mora raditi s beskonačnim brojem mogućih signala. Mjera izvedbe analognih komunikacijskih sustava je točnost, kao što je omjer signala i šuma, postotak izobličenja ili očekivana RMS pogreška između odaslanih i primljenih signala.

Za razliku od analognih, digitalni komunikacijski sustavi prenose signale koji predstavljaju brojeve. Ove znamenke čine konačan skup ili abecedu, a taj je skup poznat primatelju a priori. Kriterij kvalitete digitalnih komunikacijskih sustava je vjerojatnost netočnog otkrivanja znamenke ili vjerojatnost pogreške ().

1.2. Klasifikacija signala

1.2.1. Deterministički i slučajni signali

Signal se može klasificirati kao deterministički (kada nema nesigurnosti oko njegove vrijednosti u bilo kojem trenutku) ili slučajan na neki drugi način. Deterministički signali su modelirani matematičkim izrazom. Nemoguće je napisati takav izraz za slučajni signal. Međutim, kada se promatra slučajni signal (koji se također naziva slučajni proces) tijekom dovoljno dugog vremenskog razdoblja, mogu se uočiti neki obrasci koji se mogu opisati u smislu vjerojatnosti i statističkog prosjeka. Takav model, u obliku probabilističkog opisa slučajnog procesa, posebno je koristan za opisivanje karakteristika signala i šuma u komunikacijskim sustavima.

1.2.2. Periodični i neperiodični signali

Za signal se kaže da je periodičan u vremenu ako postoji konstanta , takva da

za (1.2)

gdje kroz t naznačeno je vrijeme. Najmanja vrijednost koja zadovoljava ovaj uvjet naziva se period signala. Razdoblje određuje trajanje jednog punog ciklusa funkcije. Signal za koji ne postoji vrijednost koja zadovoljava jednadžbu (1.2) naziva se neperiodični.

1.2.3. Analogni i diskretni signali

Analogni signal je kontinuirana funkcija vremena, t.j. jedinstveno definiran za sve t. Električni analogni signal nastaje kada neki uređaj pretvara fizički signal (kao što je govor) u električni signal. Za usporedbu, diskretni signal je signal koji postoji u diskretnim vremenskim intervalima; karakterizira ga niz brojeva definiranih za svaku točku u vremenu, kT, gdje k je cijeli broj, i T- određeno vremensko razdoblje.

1.2.4. Signali izraženi u smislu energije ili snage

Električni signal se može zamisliti kao promjena napona ili struje s trenutnom snagom koja se primjenjuje na otpor R:

U komunikacijskim sustavima snaga se često normalizira (pretpostavlja se da je otpor R jednak je 1 Ohm, iako u stvarnom kanalu može biti bilo što). Ako je potrebno odrediti stvarnu vrijednost snage, ona se dobiva "denormalizacijom" normalizirane vrijednosti. U normaliziranom slučaju, jednadžbe (1.3.a) i (1.3.6) imaju isti oblik. Stoga, bez obzira na to je li signal predstavljen naponom ili strujom, normalizirani oblik nam omogućuje da izrazimo trenutnu snagu kao

gdje je ili napon ili struja. Rasipanje energije tijekom vremenskog intervala () stvarnog signala s trenutnom snagom dobivenom pomoću jednadžbe (1.4) može se zapisati na sljedeći način.

(1.5)

Prosječna snaga raspršena signalom tijekom ovog intervala je sljedeća.

(1.6)

Izvedba komunikacijskog sustava ovisi o energiji primljenog signala; signali s većom energijom se pouzdanije detektiraju (s manje pogrešaka) – posao detekcije obavlja primljena energija. S druge strane, snaga je stopa uložene energije. Ova je točka važna iz nekoliko razloga. Snaga određuje napon koji se treba primijeniti na odašiljač i jačinu elektromagnetskih polja koja treba uzeti u obzir u radijskim sustavima (tj. polja u valovodima koji povezuju odašiljač s antenom i polja oko zračećih elemenata antene).

Kod analize komunikacijskih signala često je poželjno raditi s energijom signala. Nazvat ćemo ga energetskim signalom ako i samo ako ima konačnu energiju različitu od nule u bilo kojem trenutku vremena (), gdje

(1.7)

U stvarnoj situaciji uvijek prenosimo signale s konačnom energijom (). Međutim, za opisivanje periodičnih signala, koji po definiciji (jednadžba (1.2)) uvijek postoje i stoga imaju beskonačnu energiju, te za rad sa slučajnim signalima koji također imaju neograničenu energiju, prikladno je definirati klasu signala izraženih u terminima moći. Dakle, prikladno je predstaviti signal koristeći snagu ako je periodičan i u bilo kojem trenutku ima konačnu snagu različitu od nule (), gdje je

(1.8)

Određeni signal može se pripisati ili energetskom ili periodičnom. Energetski signal ima konačnu energiju, ali nultu prosječnu snagu, dok periodični signal ima nultu prosječnu snagu, ali beskonačnu energiju. Signal u sustavu može se izraziti ili u smislu njegove energije ili periodičnih vrijednosti. Kao opće pravilo, periodični i slučajni signali izražavaju se u terminima snage, a signali koji su deterministički i neperiodični izražavaju se u terminima energije.

Energija i snaga signala dva su važna parametra u opisivanju komunikacijskog sustava. Klasificiranje signala kao energetskog ili periodičnog je prikladan model koji olakšava matematičku obradu različitih signala i šuma. Odjeljak 3.1.5 razvija ove ideje u kontekstu digitalnih komunikacijskih sustava.

1.2.5. Jedinična impulsna funkcija

Korisna funkcija u teoriji komunikacije je jedinični impuls ili Diracova delta funkcija. Funkcija impulsa je apstrakcija, impuls beskonačne amplitude, nulte širine i jedinične težine (površine ispod impulsa), koncentriran na točki gdje je vrijednost njezina argumenta nula. Jedinični impuls zadan je sljedećim relacijama.

Neograničeno u jednom trenutku (1.11)

(1.12)

Jedinični impuls nije funkcija u uobičajenom smislu riječi. Ako ulazi u bilo koju operaciju, prikladno ga je smatrati impulsom konačne amplitude, jedinične površine i trajanja različitog od nule, nakon čega je potrebno uzeti u obzir granicu jer trajanje impulsa teži nuli. Grafički se može prikazati kao vrh koji se nalazi u točki čija je visina jednaka njegovom integralu ili njegovoj površini. Dakle, s konstantom ALI predstavlja impulsnu funkciju čija je površina (ili težina). ALI, a vrijednost je svugdje nula osim točke .

Jednadžba (1.12) poznata je kao svojstvo prosijavanja (ili kvantiziranja) jedinične impulsne funkcije; integral jediničnog impulsa i proizvoljne funkcije daje uzorak funkcije u točki .

1.3. Spektralna gustoća

Spektralna gustoća karakteristika signala je raspodjela energije ili snage signala u rasponu frekvencija. Ovaj koncept je od posebne važnosti kada se razmatra filtriranje u komunikacijskim sustavima. Moramo biti u mogućnosti procijeniti signal i šum na izlazu filtra. Pri provođenju takve procjene koristi se spektralna gustoća energije (ESD) ili spektralna gustoća snage (power spectral density - PSD).

1.3.1. Spektralna gustoća energije

Ukupna energija signala realne energije definiranog u intervalu opisana je jednadžbom (1.7). Koristeći Parsevalov teorem, možemo povezati energiju takvog signala izraženu u vremenskoj domeni s energijom izraženom u frekvencijskoj domeni:

, (1.13)

gdje je Fourierova transformacija neperiodskog signala . (Sažetak Fourierove analize može se naći u Dodatku A.) Označite pravokutnim amplitudnim spektrom definiranim kao

(1.14)

Količina je spektralna gustoća energije (ESD) signala. Stoga se iz jednadžbe (1.13) može izraziti ukupna energija integracijom spektralne gustoće s obzirom na frekvenciju.

(1.15)

Ova jednadžba pokazuje da je energija signala jednaka površini ispod grafa u frekvencijskoj domeni. Spektralna gustoća energije opisuje energiju signala po jedinici širine pojasa i mjeri se u J/Hz. Pozitivna i negativna frekvencijska komponenta daju jednake energetske doprinose, tako da je za stvarni signal vrijednost parna funkcija frekvencije. Stoga je spektralna gustoća energije frekvencijsko simetrična u odnosu na ishodište, a ukupna energija signala može se izraziti na sljedeći način.

(1.16)

1.3.2. Spektralna gustoća snage

Prosječna snaga realnog signala u periodičnom prikazu određena je jednadžbom (1.8). Ako je periodični signal s točkom , klasificiran je kao signal u periodičnom prikazu. Izraz za prosječnu snagu periodičnog signala dan je formulom (1.6), pri čemu se vremenski prosjek uzima u jednom razdoblju.

(1.17a)

Parsevalov teorem za pravi periodični signal ima oblik

, (1.17,b)

gdje su članovi kompleksni koeficijenti Fourierovog reda za periodični signal (vidi Dodatak A).

Za korištenje jednadžbe (1.17.6) potrebno je samo znati vrijednosti koeficijenata . Spektralna gustoća snage (PSD) periodičnog signala, koja je stvarna, parna i nenegativna funkcija frekvencije i daje raspodjelu snage signala u frekvencijskom rasponu, definirana je kako slijedi.

(1.18)

Jednadžba (1.18) definira spektralnu gustoću snage periodičnog signala kao slijed ponderiranih delta funkcija. Stoga je PSD periodičnog signala diskretna funkcija frekvencije. Koristeći PSD definiran u jednadžbi (1.18), može se napisati prosječna normalizirana snaga stvarnog signala.

(1.19)

Jednadžba (1.18) opisuje samo PSD periodičnih signala. Ako je neperiodični signal, ne može se izraziti u terminima Fourierovog niza; ako je to neperiodični signal u periodičnom prikazu (koji ima beskonačnu energiju), možda neće imati Fourierovu transformaciju. Međutim, još uvijek možemo izraziti spektralnu gustoću snage takvih signala u granicama. Ako oblikujemo skraćenu verziju neperiodskog signala u periodičnom prikazu, uzimajući za to samo njegove vrijednosti iz intervala (), tada će imati konačnu energiju i odgovarajuću Fourierovu transformaciju. Može se pokazati da je spektralna gustoća snage neperiodičnih signala definirana kao granica.

(1.20)

Primjer 1.1. Prosječna nazivna snaga

a) Pronađite prosječnu normaliziranu snagu signala koristeći usrednjavanje vremena.

b) Izvedite točku a zbrajanjem spektralnih koeficijenata.

Odluka

a) Koristeći jednadžbu (1.17, a), imamo sljedeće.

b) Pomoću jednadžbi (1.18) i (1.19) dobivamo sljedeće.

(vidi dodatak A)

1.4. autokorelacija

1.4.1. Autokorelacija energetskog signala

Korelacija je proces uparivanja; autokorelacija je podudaranje signala s njegovom vlastitom odgođenom verzijom. Autokorelacija signala stvarne energije definirana je kako slijedi.

za (1.21)

Funkcija autokorelacije daje mjeru sličnosti signala s vlastitom kopijom, pomaknutu za jedinice vremena. Varijabla ima ulogu parametra skeniranja ili pretraživanja. nije funkcija vremena; to je samo funkcija vremenske razlike između signala i njegove pomaknute kopije.

Autokorelacija signala realne energije ima sljedeća svojstva.

1.

3. autokorelacija i ESD su Fourierove transformacije jedna druge, što je označeno dvosmjernom strelicom

4. vrijednost na nuli jednaka je energiji signala

Nakon zadovoljenja st. 1-3 je autokorelacija funkcija. Uvjet 4 posljedica je uvjeta 3, pa ga nije potrebno uključiti u glavni skup za testiranje autokorelacijske funkcije.

1.4.2. Autokorelacija periodičnog signala

Autokorelacija stvarnog periodičnog signala definirana je kako slijedi.

za (1.22)

Ako je signal periodičan s periodom , vremenski prosjek u jednadžbi (1.22) može se uzeti za jedan period , a autokorelacija se može izraziti na sljedeći način.

za (1.23)

Autokorelacija periodičnog signala koji uzima stvarne vrijednosti ima svojstva slična onima energetskog signala.

1. simetrija u odnosu na nulu

2. za sve, maksimalna vrijednost je na nuli

3. autokorelacija i ESD su jedna od druge Fourierove transformacije

4.

1.5. slučajni signali

Glavni zadatak komunikacijskog sustava je prijenos informacija putem komunikacijskog kanala. Svi korisni signali poruka pojavljuju se nasumično, tj. primatelj ne zna unaprijed koji će se od mogućih znakova poruke prenijeti. Osim toga, zbog različitih električnih procesa nastaje šum koji prati informacijske signale. Stoga nam je potreban učinkovit način za opisivanje slučajnih signala.

1.5.1. slučajne varijable

Neka je slučajna varijabla HA) predstavlja funkcionalni odnos između slučajnog događaja ALI i pravi broj. Radi lakšeg označavanja, slučajnu varijablu označavamo s x, te njegova funkcionalna ovisnost o ALI smatrat će se eksplicitnim. Slučajna varijabla može biti diskretna ili kontinuirana. Distribucija slučajne varijable x nalazi se izrazom:

, (1.24)

gdje je vjerojatnost da je vrijednost prihvaćena; nasumična varijabla x manji od realnog broja x ili jednak tome. Funkcija distribucije ima sljedeća svojstva.

2. ako

Još jedna korisna funkcija vezana uz slučajnu varijablu x, je gustoća vjerojatnosti, koja se piše na sljedeći način.

(1.25,a)

Kao i kod funkcije distribucije, gustoća vjerojatnosti je funkcija realnog broja x. Naziv "funkcija gustoće" proizašao je iz činjenice da je vjerojatnost događaja jednaka sljedećem.

Pomoću jednadžbe (1.25.6) možemo približno zapisati vjerojatnost da će slučajna varijabla x ima vrijednost koja pripada vrlo malom intervalu između i .

Dakle, u granici koja teži nuli možemo napisati sljedeće.

Gustoća vjerojatnosti ima sljedeća svojstva.

2. .

Stoga je gustoća vjerojatnosti uvijek nenegativna i ima jediničnu površinu. U tekstu knjige koristit ćemo notaciju za označavanje gustoće vjerojatnosti za kontinuiranu slučajnu varijablu. Radi lakšeg označavanja, često ćemo izostaviti indeks x i napiši jednostavno. Ako je slučajna varijabla x može uzeti samo diskretne vrijednosti, koristit ćemo zapis .

1.5.1.1. Ansambl znači

Srednja vrijednost ili očekivana vrijednost slučajne varijable x definiran je izrazom

, (1.26)

gdje se naziva operator očekivane vrijednosti. trenutak n distribucija vjerojatnosti -tog reda slučajne varijable x naziva sljedeća vrijednost.

(1.27)

Za analizu komunikacijskih sustava važna su prva dva momenta varijable x. Da, kod n=1 jednadžba (1.27) daje gore razmatrani trenutak i kada n= 1 - srednja kvadratna vrijednost x.

(1.28)

Također se mogu definirati središnji momenti, koji su momenti razlike x i . Središnji moment drugog reda (koji se također naziva disperzija) je kako slijedi.

Disperzija x također napisan kao , a kvadratni korijen ove vrijednosti, , naziva se standardna devijacija x. Disperzija je mjera "raspršenja" slučajne varijable x. Određivanje varijance slučajne varijable ograničava širinu funkcije gustoće vjerojatnosti. Disperzija i RMS povezani su sljedećim odnosom.

Dakle, varijanca je jednaka razlici između korijenskog srednjeg kvadrata i kvadrata srednje vrijednosti.

1.5.2. slučajni procesi

Slučajni proces može se promatrati kao funkcija dviju varijabli: događaja ALI i vrijeme. Na sl. 1.5 prikazuje primjer slučajnog procesa. Prikazivanje N uzorak funkcija vremena. Svaka od funkcija uzorka može se promatrati kao izlaz zasebnog generatora buke. Za svaki događaj imamo jednu vremensku funkciju (tj. funkcija uzorka). Skup svih funkcija uzorka naziva se ansambl. U bilo kojem trenutku, , je slučajna varijabla čija vrijednost ovisi o događaju. I posljednji, za određeni događaj i za određeno vrijeme, redoviti je broj. Radi lakšeg označavanja, slučajni proces ćemo označiti kao X(t), te funkcionalna ovisnost o ALI smatrat će se eksplicitnim.

sl.1.5. Proces slučajnog šuma

1.5.2.1. Statistička sredina slučajnog procesa

Budući da je vrijednost slučajnog procesa u svakom sljedećem trenutku nepoznata, slučajni proces čije su funkcije distribucije kontinuirane može se opisati statistički u smislu gustoće vjerojatnosti. Općenito, u različito vrijeme ova će funkcija za slučajni proces imati drugačiji oblik. U većini slučajeva nerealno je empirijski odrediti distribuciju vjerojatnosti slučajnog procesa. Istodobno, za potrebe komunikacijskih sustava često je dovoljan parcijalni opis, uključujući srednju vrijednost i autokorelacijske funkcije. Dakle, definirajmo prosjek slučajnog procesa X(t) kao

, (1.30)

gdje je slučajna varijabla dobivena razmatranjem slučajnog procesa u trenutku , a je gustoća vjerojatnosti (gustoća nad ansamblom događaja u trenutku ).

Definirajmo autokorelacijske funkcije slučajnog procesa X(t) kao funkcija dviju varijabli i

gdje su i slučajne varijable dobivene razmatranjem X(t) s vremena na vrijeme i respektivno. Funkcija autokorelacije je mjera odnosa između dva vremenska uzorka jednog slučajnog procesa.

1.5.2.2. stacionarnost

slučajni proces X(t) naziva se stacionarnim u strogom smislu ako ni na jednu njegovu statistiku ne utječe prijenos nastanka vremena. Slučajni proces naziva se stacionarnim u širem smislu ako se dvije njegove statistike, srednja vrijednost i autokorelacija, ne mijenjaju kada se pomakne ishodište vremena. Dakle, proces je uglavnom stacionaran ako

Stacionarnost u užem smislu podrazumijeva stacionarnost u širem smislu, ali ne i obrnuto. Većina korisnih rezultata teorije komunikacija temelji se na pretpostavci da su nasumični informacijski signali i šum stacionarni u širem smislu. S praktične točke gledišta, slučajni proces ne mora uvijek biti stacionaran, dovoljno je biti stacionaran u nekom vidljivom vremenskom intervalu od praktičnog interesa.

Za stacionarne procese, autokorelacija u jednadžbi (1.33) ne ovisi o vremenu, već samo o razlici. Drugim riječima, svi parovi vrijednosti X(t) u vremenima odvojenim intervalom , imaju istu vrijednost korelacije. Stoga, za stacionarne sustave, funkcija se može napisati jednostavno kao .

1.5.2.3. Autokorelacija slučajnih procesa, stacionarnih u širem smislu

Baš kao što varijanca nudi mjeru slučajnosti za slučajne varijable, funkcija autokorelacije nudi sličnu mjeru za slučajne procese. Za procese koji su stacionarni u širem smislu, funkcija autokorelacije ovisi samo o vremenskoj razlici.

Za općenito stacionarni proces s nultom srednjom sredinom, funkcija pokazuje koliko su statistički korelirane slučajne varijable procesa razdvojene sekundama. Drugim riječima, daje informacije o frekvencijskom odzivu povezanom sa slučajnim procesom. Ako se polako mijenja kako raste od nule do neke vrijednosti, to pokazuje da su u prosjeku vrijednosti uzorka X(t), uzeti na vrijeme i , su gotovo jednaki. Stoga to imamo pravo očekivati ​​u frekvencijskom prikazu X(t) dominirat će niske frekvencije. S druge strane, ako se brzo smanjuje s povećanjem, moglo bi se to očekivati X(t) brzo će se mijenjati s vremenom i stoga će uključivati ​​pretežno visoke frekvencije.

Autokorelacija procesa koji je stacionaran u širem smislu i uzima stvarne vrijednosti ima sljedeća svojstva.

1. simetrija u odnosu na nulu

2. za sve maksimalna vrijednost je na nuli

3. autokorelacija i spektralna gustoća snage su jedna od druge Fourierove transformacije

4. vrijednost na nuli jednaka je prosječnoj jačini signala

1.5.3. Usrednjavanje vremena i ergodicnost

Za izračun i prosječenje po ansamblu, potrebno ih je usrednjavati po svim uzornim funkcijama procesa, te su nam stoga potrebne potpune informacije o međusobnoj raspodjeli funkcija gustoće vjerojatnosti u prvoj i drugoj aproksimaciji. U općem slučaju takve informacije u pravilu nisu dostupne.

Ako slučajni proces pripada posebnoj klasi zvanoj klasa ergodičkih procesa, njegov je vremenski prosjek jednak prosjeku ansambla, a statistička svojstva procesa mogu se odrediti usrednjavanjem tijekom vremena jedne uzorke funkcije procesa. Da bi slučajni proces bio ergodičan, mora biti stacionaran u strogom smislu (obrnuto nije potrebno). Međutim, za komunikacijske sustave, gdje nam je stacionarnost u širem smislu dovoljna, zanimaju nas samo srednja vrijednost i autokorelacija.

Za slučajni proces se kaže da je ergodičan s obzirom na srednju vrijednost if

(1.35)

i ergodičan s obzirom na autokorelacijske funkcije ako

(1.36)

Testiranje slučajnog procesa na ergodičnost obično je prilično teško. U praksi se u pravilu koristi intuitivna pretpostavka o svrsishodnosti zamjene prosjeka ansambla vremenskim prosjekima. Prilikom analize većine signala u komunikacijskim kanalima (u nedostatku impulsnih učinaka), razumno je pretpostaviti da su slučajni signali ergodični s obzirom na autokorelaciju. Budući da su za ergodičke procese vremenski prosjeci jednaki prosjekima ansambla, osnovni električni parametri, kao što su amplituda istosmjerne komponente, srednja kvadratna vrijednost i prosječna snaga, mogu se povezati s trenucima ergodičkog slučajnog procesa.

1. Vrijednost je jednaka istosmjernoj komponenti signala.

2. Vrijednost je jednaka normaliziranoj snazi ​​istosmjerne komponente.

3. Trenutak drugog reda X(t), , jednaka je ukupnoj prosječnoj normaliziranoj snazi.

4. Vrijednost je jednaka efektivnoj vrijednosti signala izraženoj kroz struju ili napon.

5. Disperzija je jednaka prosječnoj normaliziranoj snazi ​​izmjeničnog signala.

6. Ako je srednja vrijednost procesa nula (tj. ), tada je , a varijanca jednaka efektivnoj vrijednosti ili (drugim riječima) varijanca predstavlja ukupnu snagu u normaliziranom opterećenju.

7. Standardna devijacija je standardna vrijednost varijabilnog signala.

8. Ako je , tada je RMS vrijednost signala.

1.5.4. Spektralna gustoća snage i autokorelacija stohastičkog procesa

slučajni proces X(t) može se pripisati periodičnom signalu koji ima takvu spektralnu gustoću snage kao što je navedeno u jednadžbi (1.20). Funkcija je posebno korisna u komunikacijskim sustavima jer opisuje raspodjelu snage signala u frekvencijskom rasponu. Spektralna gustoća snage omogućuje procjenu snage signala koji će se prenositi kroz mrežu s poznatim frekvencijskim karakteristikama. Glavna svojstva funkcija spektralne gustoće snage mogu se formulirati na sljedeći način.

1. uvijek poprima stvarne vrijednosti

2. za X(t) uzimajući stvarne vrijednosti

3. autokorelacija i spektralna gustoća snage su jedna od druge Fourierove transformacije

4. odnos između prosječne normalizirane snage i spektralne gustoće snage

Na sl. 1.6 prikazuje vizualni prikaz autokorelacijske funkcije i funkcije spektralne gustoće snage. Što znači pojam "korelacija"? Kada nas zanima korelacija dvaju fenomena, pitamo se koliko su usko povezani u ponašanju ili izgledu i koliko se podudaraju. U matematici, autokorelacija signala (u vremenskoj domeni) opisuje korespondenciju signala samom sebi, pomaknutu za određeno vrijeme. Smatra se da je točna kopija stvorena i lokalizirana na minus beskonačno. Zatim uzastopno pomičemo kopiju u pozitivnom smjeru vremenske osi i pitamo kako oni (izvorna verzija i kopija) međusobno odgovaraju. Zatim pomaknemo kopiju još jedan korak u pozitivnom smjeru i pitamo koliko se sada podudaraju, i tako dalje. Korelacija između dva signala prikazana je kao funkcija vremena, označena s ; u ovom slučaju vrijeme se može smatrati parametrom skeniranja.

Na sl. 1.6 oglas gore opisana situacija je prikazana u nekim vremenskim trenucima. Riža. 1.6 a ilustrira jedan signal široko stacionarnog slučajnog procesa X(t). Signal je slučajni binarni niz s pozitivnim i negativnim (bipolarnim) impulsima jedinične amplitude. Pozitivni i negativni impulsi se pojavljuju s jednakom vjerojatnošću. Trajanje svakog impulsa (binarne znamenke) je T sekundi, a prosjek ili vrijednost konstantne komponente slučajnog niza je nula. Na sl. 1.6 b prikazan je isti slijed, pomaknut u vremenu za sekunde. Prema prihvaćenoj notaciji, ovaj niz se označava sa . Pretpostavimo proces X(t) je ergodičan s obzirom na funkciju autokorelacije, tako da za pronalaženje možemo koristiti usrednjavanje vremena umjesto usrednjavanja ansambla. Vrijednost se dobiva množenjem dva niza X(t) i s naknadnim pronalaženjem prosjeka pomoću jednadžbe (1.36), koja vrijedi za ergodičke procese samo u granici. Međutim, integracija kroz cijeli broj razdoblja može nam dati neku procjenu od . Zabilježite što se može dobiti pomicanjem X(t) i u pozitivnom i u negativnom smjeru. Sličan slučaj ilustriran je na sl. 1.6 u, na kojem se koristi originalni slijed uzorka (slika 1.6, a) i njegovu pomaknutu kopiju (slika 1.6, b). Zasjenjena područja ispod krivulje proizvoda pozitivno pridonose proizvodu, dok siva područja doprinose negativno. Integracija tijekom vremena prijenosa daje točku na krivulji. Slijed se može dalje pomicati za i svaki takav pomak će dati točku na cjelokupnu autokorelaciju funkciju, prikazanu na Sl. 1.6 G. Drugim riječima, svaki slučajni niz bipolarnih impulsa odgovara autokorelacijskoj točki na općoj krivulji prikazanoj na Sl. 1.6 G. Maksimum funkcije je u točki (najbolje odgovara kada , jednako nuli, budući da za sve ), a funkcija pada kao . Na sl. 1.6 G prikazane su točke koje odgovaraju i.

Analitički izraz za autokorelacijske funkcije, prikazan na sl. 1.6 G, ima sljedeći oblik.

(1.37)

Imajte na umu da nam funkcija autokorelacije daje informacije o frekvenciji; govori nam nešto o propusnosti signala. Istodobno, autokorelacija je vremenska funkcija; u formuli (1.37) nema pojmova koji ovise o frekvenciji. Pa kako nam daje informacije o propusnosti?

sl.1.6. Autokorelacija i spektralna gustoća snage

sl.1.6. Autokorelacija i spektralna gustoća snage (kraj)

Pretpostavimo da se signal kreće vrlo sporo (signal ima nisku širinu pojasa). Ako kopiju signala pomaknemo duž osi, postavljajući u svakoj fazi pomaka pitanje koliko kopija i original odgovaraju jedan drugome, korespondencija će biti prilično jaka dugo vremena. Drugim riječima, trokutasta autokorelacija (slika 1.6, G i formula 1.37) polako će se smanjivati ​​s povećanjem . Pretpostavimo sada da se signal mijenja dovoljno brzo (tj. imamo veliki pojas). U ovom slučaju, čak i mala promjena će uzrokovati da korelacija bude nula, a funkcija autokorelacije će imati vrlo uski oblik. Stoga, uspoređivanje autokorelacijskih funkcija prema obliku daje nam neke informacije o širini pojasa signala. Smanjuje li se funkcija postupno? U ovom slučaju imamo signal s uskim pojasom. Podsjeća li oblik funkcije na uski vrh? Tada signal ima široki pojas.

Funkcija autokorelacije omogućuje vam da eksplicitno izrazite spektralnu gustoću snage slučajnog signala. Budući da su spektralna gustoća snage i autokorelacijske funkcije jedna druge Fourierove transformacije, spektralna gustoća snage, , slučajnog niza bipolarnih impulsa može se pronaći kao Fourierova transformacija funkcije , čiji je analitički izraz dan u jednadžbi (1.37) . Da biste to učinili, možete koristiti tablicu. A.1. primijeti da

(1.38)

Opći prikaz funkcije prikazan je na sl. 1.6 d.

Imajte na umu da područje ispod krivulje spektralne gustoće snage predstavlja prosječnu snagu signala. Jedna zgodna mjera širine pojasa je širina glavnog spektralnog režnja (vidi odjeljak 1.7.2). Na sl. 1.6 d pokazuje se da je širina pojasa signala povezana s recipročnim trajanjem simbola ili širinom impulsa. Riža. 1.6 f-k formalno ponoviti sl. 1.6 pakao, osim što je na sljedećim slikama trajanje impulsa kraće. Imajte na umu da je za kraće impulse funkcija uža (slika 1.6, i) nego za duže (slika 1.6, G). Na sl. 1.6 i; drugim riječima, u slučaju kraćeg trajanja impulsa, pomak od , dovoljan je za stvaranje nulte podudarnosti ili za potpuni gubitak korelacije između pomaknutih sekvenci. Budući da na sl. 1.6 e trajanje pulsa T manje (veća brzina prijenosa pulsa) nego na sl. 1.6 a, popunjenost pojasa na Sl. 1.6 do veća zauzetost pojasa za nižu frekvenciju impulsa prikazanu na sl. 1.6 d.

1.5.5. Buka u komunikacijskim sustavima

Pojam "šum" odnosi se na neželjene električne signale koji su uvijek prisutni u električnim sustavima. Prisutnost buke naglašene na signalu "zamračuje" ili maskira signal; ovo ograničava sposobnost primatelja da donese točne odluke o značenju simbola i stoga ograničava brzinu informacija. Priroda buke je raznolika i uključuje prirodne i umjetne izvore. Buka koju stvara čovjek je šum paljenja iskre, šum impulsa prebacivanja i šum drugih povezanih izvora elektromagnetskog zračenja. Prirodni zvukovi dolaze iz atmosfere, sunca i drugih galaktičkih izvora.

Dobar inženjerski dizajn može eliminirati većinu šuma ili njezinih neželjenih učinaka kroz filtriranje, screening, odabir modulacije i optimalnu lokaciju prijemnika. Na primjer, osjetljiva radioastronomska mjerenja obično se provode u udaljenim pustinjskim područjima, daleko od prirodnih izvora buke. Međutim, postoji jedna prirodna buka, nazvana toplinska buka, koja se ne može eliminirati. Toplinski šum nastaje toplinskim gibanjem elektrona u svim disipativnim komponentama – otpornicima, vodičima itd. Isti elektroni koji su odgovorni za električnu vodljivost odgovorni su i za toplinski šum.

Toplinski šum se može opisati kao Gaussov slučajni proces s nultom srednjom vrijednosti. Gaussov proces n(t) je slučajna funkcija, čija vrijednost i u proizvoljnom trenutku t je statistički karakteriziran Gaussovom funkcijom gustoće vjerojatnosti:

, (1.40)

gdje je varijanca n. Normalizirana Gaussova funkcija gustoće procesa s nultom sredinom dobiva se pod pretpostavkom da . Shematski normalizirana funkcija gustoće vjerojatnosti prikazana je na sl. 1.7.

Ovdje je nasumični signal, a- signal u komunikacijskom kanalu, i n je slučajna varijabla koja izražava Gaussov šum. Tada se funkcija gustoće vjerojatnosti izražava kao

, (1.41)

gdje je, kao gore, varijanca n.

sl.1.7. Normalizirana () Gaussova funkcija gustoće vjerojatnosti

Gaussova se distribucija često koristi kao model za šum u sustavu, budući da postoji središnji granični teorem, koji navodi da, pod vrlo općim uvjetima, distribucija vjerojatnosti zbroja j statistički neovisne slučajne varijable pokoravaju se Gaussovoj distribuciji, a oblik pojedinačnih funkcija distribucije nije bitan. Dakle, čak i ako će pojedinačni mehanizmi buke imati ne-Gaussovu distribuciju, skup mnogih takvih mehanizama težit će Gaussovoj distribuciji.

1.5.5.1. bijeli šum

Glavna spektralna karakteristika toplinskog šuma je da je njegova spektralna gustoća snage jednaka za sve frekvencije od interesa u većini komunikacijskih sustava; drugim riječima, izvor toplinskog šuma zrači na svim frekvencijama s jednakom snagom po jedinici širine pojasa - od istosmjerne do frekvencije reda Hz. Stoga, jednostavan model toplinskog šuma pretpostavlja da je njegova spektralna gustoća snage ujednačena za sve frekvencije, kao što je prikazano na Sl. 1.8 a, a piše se u sljedećem obliku.

(1.42)

Ovdje je uključen faktor 2 kako bi se pokazalo da je to obostrana spektralna gustoća snage. Kada snaga šuma ima tako jednoliku spektralnu gustoću, taj šum nazivamo bijelim. Pridjev "bijelo" koristi se u istom značenju kao i za bijelo svjetlo, koje sadrži jednake dijelove svih frekvencija u vidljivom elektromagnetskom spektru.

sl.1.8. Bijeli šum: a) spektralna gustoća snage;

b) autokorelacijske funkcije

Funkcija autokorelacije bijelog šuma dana je inverznom Fourierovom transformacijom spektralne gustoće snage šuma (vidi tablicu A.1) i zapisuje se kako slijedi.

(1.43)

Dakle, autokorelacija bijelog šuma je delta funkcija, ponderirana faktorom i smještena u točki , kao što je prikazano na sl. 1.8 b. Imajte na umu da je jednako nuli za , tj. dva različita uzorka bijelog šuma nisu u korelaciji, bez obzira koliko su bliski.

Prosječna snaga bijelog šuma je beskonačna jer je širina pojasa bijelog šuma beskonačna. To se može vidjeti dobivanjem sljedećeg izraza iz jednadžbi (1.19) i (1.42).

(1.44)

Iako je bijeli šum vrlo korisna apstrakcija, nijedan proces buke zapravo ne može biti bijeli; međutim, šum koji se pojavljuje u mnogim stvarnim sustavima vjerojatno se može smatrati bijelim. Takav šum možemo promatrati tek nakon što prođe kroz stvarni sustav s konačnom širinom pojasa. Stoga, sve dok je širina pojasa šuma znatno veća od propusnosti koju koristi sustav, može se smatrati da šum ima beskonačnu širinu pojasa.

Delta funkcija u jednadžbi (1.43) znači da signal šuma n(t) apsolutno nije u korelaciji s vlastitom pristranom verzijom za bilo koji . Jednadžba (1.43) pokazuje da bilo koja dva uzorka procesa bijelog šuma nisu u korelaciji. Budući da je toplinski šum Gaussov proces i njegovi uzorci nisu u korelaciji, uzorci buke su također neovisni. Dakle, učinak aditivnog bijelog Gaussovog kanala šuma na proces detekcije je da šum neovisno utječe na svaki odaslani simbol. Takav kanal naziva se kanal bez memorije. Izraz "aditiv" znači da se šum jednostavno nadovezuje ili dodaje signalu - ne postoje multiplikativni mehanizmi.

Budući da je toplinski šum prisutan u svim komunikacijskim sustavima i značajan je izvor buke za većinu sustava, karakteristike toplinskog šuma (aditivni, bijeli i Gaussov) često se koriste za modeliranje buke u komunikacijskim sustavima. Budući da je Gaussov šum nulte srednje vrijednosti u potpunosti karakteriziran svojom varijansom, ovaj model je posebno jednostavan za korištenje u detekciji signala i optimalnom dizajnu prijemnika. U ovoj knjizi pretpostavit ćemo (osim ako nije drugačije navedeno) da je sustav oštećen aditivnim bijelim Gaussovim šumom s nultom srednjom vrijednosti, iako će ponekad ovo pojednostavljenje biti pretjerano jako.

1.6. Prijenos signala kroz linijske sustave

Sada kada smo razvili skup modela signala i šuma, pogledajmo karakteristike sustava i njihov učinak na signale i šum. Budući da se sustav može okarakterizirati s jednakim uspjehom iu frekvencijskoj i u vremenskoj domeni, u oba su slučaja razvijene metode za analizu odgovora linearnog sustava na proizvoljan ulazni signal. Signal primijenjen na ulaz sustava (slika 1.9) može se opisati ili kao vremenski signal, , ili kroz njegovu Fourierovu transformaciju, . Korištenje vremenske analize daje vremenski izlaz, a u procesu će se odrediti funkcija, impulsni odziv ili impulsni odziv mreže. Kada razmatramo ulaz u frekvencijskoj domeni, moramo odrediti frekvencijski odziv sustava, odnosno prijenosnu funkciju, koja će odrediti frekvencijski izlaz. Pretpostavlja se da je sustav linearan i nepromjenjiv s obzirom na vrijeme. Također se pretpostavlja da sustav nema latentnu energiju u trenutku davanja ulaznog signala.

sl.1.9. Linearni sustav i njegovi ključni parametri

1.6.1. impulsni odgovor

Linearni, vremenski nepromjenjivi sustav ili mreža prikazana na Sl. 1.9 je opisan (u vremenskoj domeni) impulsnim odzivom, koji je odgovor sustava kada se jedan impuls primijeni na njegov ulaz.

Razmislite o terminu "impulsni odgovor", koji je izuzetno prikladan za ovaj događaj. Opis karakteristika sustava kroz njegov impulsni odgovor ima izravnu fizičku interpretaciju. Na ulaz sustava primjenjujemo jedan impuls (nestvarni signal beskonačne amplitude, nulte širine i jedinične površine), kao što je prikazano na sl. 1.10, a. Dodavanje takvog impulsa u sustav može se smatrati "trenutnim utjecajem". Kako će sustav reagirati (“reagirati”) na takvu primjenu sile (impulsa)? Izlazni signal je impulsni odziv sustava. (Mogući oblik ovog odgovora prikazan je na slici 1.10, b.)

Odgovor mreže na proizvoljan signal je konvolucija s , koja se piše kako slijedi.

(1.46)

sl.1.10. Ilustracija koncepta "impulsnog odziva": a) ulazni signal je jedinična impulsna funkcija; b) izlazni signal je impulsni odziv sustava

Ovdje znak "*" označava operaciju konvolucije (vidi klauzulu A.5). Pretpostavlja se da je sustav kauzalni, što znači da nema signala na izlazu do trenutka kada se signal primijeni na ulaz. Stoga se donja granica integracije može uzeti jednakom nuli, a izlaz se može izraziti na nešto drugačiji način.

(1.47,a)

ili u obliku

(1.47b)

Izrazi u jednadžbama (1.46) i (1.47) nazivaju se konvolucijskim integralima. Konvolucija je temeljni matematički alat koji igra važnu ulogu u razumijevanju svih komunikacijskih sustava. Ako čitatelj nije upoznat s ovom operacijom, trebao bi pogledati odjeljak A.5 za izvođenje jednadžbi (1.46) i (1.47).

1.6.2. Funkcija prijenosa frekvencije

Frekvencijski izlaz se dobiva primjenom Fourierove transformacije na obje strane jednadžbe (1.46). Budući da konvolucija u vremenskoj domeni postaje množenje u frekvencijskoj domeni (i obrnuto), iz jednadžbe (1.46) dobivamo sljedeće.

(Pretpostavlja se, naravno, da za sve .) Evo , Fourierova transformacija impulsnog odziva, nazvana funkcija prijenosa frekvencije, frekvencijski odziv ili frekvencijski odziv mreže. Općenito, funkcija je složena i može se zapisati kao

, (1.50)

gdje je modul odziva. Faza odgovora definirana je kako slijedi.

(1.51)

(i označi stvarne i imaginarne dijelove argumenta.)

Funkcija prijenosa frekvencije linearne, vremenski nepromjenjive mreže može se lako izmjeriti u laboratoriju - u mreži s generatorom harmonika na ulazu i osciloskopom na izlazu. Ako se ulazni signal izrazi kao

,

onda se izlaz može napisati na sljedeći način.

Ulazna frekvencija se pomiče za vrijednost koja nas zanima; stoga mjerenja na ulazu i izlazu omogućuju određivanje vrste.

1.6.2.1. Stohastički procesi i linearni sustavi

Ako slučajni proces čini ulaz linearnog, vremenski nepromjenjivog sustava, tada na izlazu ovog sustava također dobivamo slučajni proces. Drugim riječima, svaka funkcija uzorka ulaznog procesa daje funkciju uzorka izlaznog procesa. Spectralna gustoća ulazne snage i spektralna gustoća izlazne snage povezane su sljedećim odnosom.

(1.53)

Jednadžba (1.53) pruža jednostavan način za pronalaženje spektralne gustoće snage na izlazu linearnog, vremenski nepromjenjivog sustava kada se kao ulaz primjenjuje slučajni proces.

U poglavljima 3 i 4 pogledat ćemo detekciju signala u Gaussovoj buci. Glavno svojstvo Gaussovih procesa bit će primijenjeno na linearni sustav. Pokazat će se da ako se Gaussov proces dovodi u vremenski nepromjenjiv linearni filtar, onda je slučajni proces, koji se izlazi, također Gaussov.

1.6.3. Prijenos bez izobličenja

Što je potrebno da bi se mreža ponašala kao idealan kanal za prijenos? Signal na izlazu idealnog komunikacijskog kanala može biti odgođen u odnosu na signal na ulazu; osim toga, ti signali mogu imati različite amplitude (jednostavno rescaling), ali što se tiče svega ostalog – signal ne smije biti izobličen, t.j. mora imati isti oblik kao i ulazni signal. Stoga, za idealan neiskrivljeni prijenos, možemo opisati izlazni signal kao

, (1.54)

gdje i su konstante. Primjenom Fourierove transformacije na oba dijela (vidi odjeljak A.3.1), imamo sljedeće.

(1.55)

Zamijenivši izraz (1.55) u jednadžbu (1.49), vidimo da potrebna prijenosna funkcija sustava za prijenos bez izobličenja ima sljedeći oblik.

(1.56)

Stoga, da bi se dobio idealan prijenos bez izobličenja, ukupni odziv sustava mora imati konstantan modul, a fazni pomak mora biti linearan u frekvenciji. Nije dovoljno da sustav jednako pojačava ili reže sve frekvencijske komponente. Svi harmonici signala moraju stići na izlaz s istom zakašnjenjem kako bi se mogli zbrojiti. Budući da je kašnjenje povezano s faznim pomakom i cikličkom frekvencijom relacijom

, (1.57,a)

očito je da, da bi kašnjenje svih komponenti bilo isto, fazni pomak mora biti proporcionalan frekvenciji. Za mjerenje izobličenja signala uzrokovanog kašnjenjem, često se koristi karakteristika koja se naziva grupno kašnjenje; definira se na sljedeći način.

(1.57b)

Dakle, za prijenos bez izobličenja imamo dva ekvivalentna zahtjeva: faza mora biti linearne frekvencije ili grupno kašnjenje mora biti jednako konstanti. U praksi će signal biti izobličen dok prolazi kroz neke dijelove sustava. Kako bi se uklonilo ovo izobličenje, u sustav se mogu uvesti krugovi korekcije faze ili amplitude (izjednačavanje). Općenito, izobličenje je opća I/O karakteristika sustava koja određuje njegovu izvedbu.

1.6.3.1. Idealan filter

Nerealno je konstruirati idealnu mrežu opisanu jednadžbom (1.56). Problem je u tome što jednadžba (1.56) pretpostavlja beskonačnu širinu pojasa, pri čemu je širina pojasa sustava određena rasponom pozitivnih frekvencija u kojima modul ima zadanu vrijednost. (Općenito, postoji nekoliko mjera širine pojasa; najčešće su navedene u odjeljku 1.7.) Kao aproksimaciju idealnoj mreži s beskonačnom širinom pojasa, biramo skraćenu mrežu koja bez izobličenja prolazi sve harmonike s frekvencijama između i gdje je donja granična frekvencija, a gornja je, kao što je prikazano na sl. 1.11. Sve takve mreže nazivaju se idealnim filterima. Pretpostavlja se da je izvan raspona, koji se naziva propusni pojas (propusni pojas), amplituda odgovora idealnog filtra nula. Efektivna širina pojasa određena je širinom pojasa filtra i iznosi Hz.

Ako i , filtar se naziva prijenosnim (slika 1.11, a). Ako i ima konačnu vrijednost, naziva se niskopropusni filtar (slika 1.11, b). Ako ima vrijednost različitu od nule i , naziva se visokopropusni filtar (slika 1.11, u).

sl.1.11. Prijenosna funkcija idealnih filtara: a) idealni prijenosni filtar; b) idealan niskopropusni filtar; c) idealan niskopropusni filtar

Koristeći jednadžbu (1.59) i uz pretpostavku za idealan niskopropusni filtar s Hz propusnim opsegom prikazanim na sl. 1.11 b, prijenosna funkcija se može napisati na sljedeći način.

(1.58)

Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtra, prikazan na sl. 1.12 izražava se sljedećom formulom.

sl.1.12. Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera

gdje je funkcija definirana u jednadžbi (1.39). Impulsni odziv prikazan na sl. 1.12 nije uzročno; to znači da u trenutku kada se signal primijeni na ulaz (), na izlazu filtera postoji odziv različit od nule. Stoga bi trebalo biti očito da se idealni filtar opisan jednadžbom (1.58) zapravo ne pojavljuje.

Primjer 1.2. Propuštanje bijelog šuma kroz idealan filter

Bijeli šum sa spektralnom gustoćom snage prikazano na slici 1.8, a, primjenjuje se na ulaz idealnog niskopropusnog filtra prikazanog na sl. 1.11 b. Odredite spektralnu gustoću snage i autokorelacijske funkcije izlaznog signala.

Odluka

Funkcija autokorelacije rezultat je primjene inverzne Fourierove transformacije na spektralnu gustoću snage. Funkcija autokorelacije određena je sljedećim izrazom (vidi tablicu A.1).

Uspoređujući rezultat dobiven s formulom (1.62), vidimo da on ima isti oblik kao impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtra prikazanog na Sl. 1.12. U ovom primjeru, idealni niskopropusni filtar pretvara funkciju autokorelacije bijelog šuma (definiranu u smislu delta funkcije) u funkciju . Nakon filtriranja, sustav više neće imati bijeli šum. Izlazni šumni signal će imati samo nultu korelaciju sa svojim pomaknutim kopijama kada se pomakne za , gdje je bilo koji cijeli broj različit od nule.

1.6.3.2. Implementirani filteri

Najjednostavniji niskopropusni filtar koji se može implementirati sastoji se od otpora (R) i kapacitivnosti (C), kao što je prikazano na sl. 1.13 a; ovaj filtar se naziva RC filter i njegova prijenosna funkcija može se izraziti na sljedeći način.

, (1.63)

gdje . Amplitudna i fazna karakteristika prikazane su na sl. 1.13 b, u. Širina pojasa niskopropusnog filtra određena je na točki pola snage; ova točka je frekvencija na kojoj je snaga izlaznog signala polovica maksimalne vrijednosti, ili frekvencija na kojoj je amplituda izlaznog napona jednaka maksimalnoj vrijednosti.

Općenito, točka polovice snage izražava se u decibelima (dB) kao točka -3 dB ili točka 3 dB ispod maksimalne vrijednosti. Po definiciji, vrijednost u decibelima određena je omjerom snaga i .

(1.64, a)

Ovdje i su naponi, a i su otpori. U komunikacijskim sustavima za analizu se obično koristi normalizirana snaga; u ovom slučaju, otpori i smatraju se jednakima 1 ohma, tada

sl.1.13. RC filtar i njegova prijenosna funkcija: a) RC filtar; b) amplitudnu karakteristiku RC filtera; c) fazni odziv RC filtera

(1,64, b)

Amplitudni odziv se može izraziti u decibelima kao

, (1,64, in)

gdje su i ulazni i izlazni naponi, a ulazni i izlazni otpori se pretpostavljaju jednakima.

Iz jednadžbe (1.63) lako je provjeriti da točka polovice snage RC niskopropusnog filtra odgovara rad/s, ili Hz. Dakle, širina pojasa u hercima je . Faktor oblika filtra je mjera koliko je pravi filtar približan idealnom. Obično se definira kao omjer propusnosti filtra -60 dB i -6 dB. Dovoljno mali faktor oblika (oko 2) može se dobiti u prijenosnom filtru s vrlo oštrim rezom. Za usporedbu, faktor oblika jednostavnog RC niskopropusnog filtra je oko 600.

Postoji nekoliko korisnih aproksimacija karakteristike idealnog niskopropusnog filtra. Jedan od njih je Butterworthov filtar, koji približuje idealnom niskopropusnom filtru s funkcijom

, (1.65)

gdje je gornja granična frekvencija (-3 dB) i red filtera. Što je veći redoslijed, to je veća složenost i cijena implementacije filtera. Na sl. 1.14 prikazuje grafikone amplitude za nekoliko vrijednosti. Imajte na umu da se, kako rastu, amplitudske karakteristike približavaju karakteristikama idealnog filtra. Butterworthovi filtri su popularni jer su najbolja aproksimacija idealnog slučaja u smislu maksimalne ravnosti propusnosti filtra.

Periodični nastavak impulsa. Pojam spektralne gustoće signala Inverzna Fourierova transformacija. Uvjet postojanja spektralne gustoće signala Odnos između trajanja impulsa i širine njegovog spektra Generalizirana Rayleighova formula Međusobna spektralna gustoća signala. Energetski spektar Korelacijska analiza signala Usporedba signala pomaknutih u vremenu.

Svrha predavanja:

Dobivanje spektralnih karakteristika neperiodičnih (impulsnih) signala generaliziranjem Fourierovih redova. Odredite zahtjeve za širinu pojasa radio uređaja. Predstaviti signale u smislu njihove spektralne gustoće. Koristite energetski spektar za dobivanje različitih inženjerskih procjena. Shvatite kako se javlja potreba za signalima s posebno odabranim svojstvima.

Neka je s (t) jedan impulsni signal konačnog trajanja. Nadopunjujući ga mentalno istim signalima koji periodično slijede kroz određeni vremenski interval T, dobivamo prethodno proučavani periodični niz S per (t), koji se može predstaviti kao složeni Fourierov niz

(12.1) s koeficijentima . (12.2)

Kako bismo se vratili na jedan impulsni signal, postavimo period ponavljanja na beskonačnost T. U ovom slučaju, očito je:

a) frekvencije susjednih harmonika nω 1 i (n+ l)ω 1 će biti proizvoljno bliske, tako da se u formulama (12.1) i (12.2) diskretna varijabla nω 1 može zamijeniti kontinuiranom varijablom ω - trenutnom frekvencijom;

b) amplitudski koeficijenti C n postat će beskonačno mali zbog prisustva T u nazivniku formule (12.2).

Naš je zadatak sada pronaći granični oblik formule (12.1) kao T→∞.

Razmotrimo mali frekvencijski interval Δω, koji čini susjedstvo neke odabrane frekvencijske vrijednosti ω 0 . Unutar ovog intervala će sadržavati N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) pojedinačnih parova spektralnih komponenti, čije se frekvencije razlikuju koliko god želite. Stoga se komponente mogu dodati kao kao da svi imaju istu frekvenciju i da ih karakteriziraju iste kompleksne amplitude

Kao rezultat, nalazimo kompleksnu amplitudu ekvivalentnog harmonijskog signala, koja odražava doprinos svih spektralnih komponenti sadržanih u intervalu Δω

. (12.3)

Funkcija (12.4)

Zove se spektralna gustoća signal s (t). Formula (12.4) implementira Fourierova transformacija ovaj signal.

Riješimo inverzni problem spektralne teorije signala: pronađimo signal po njegovoj spektralnoj gustoći, koju ćemo smatrati danom.

Budući da se u granici frekvencijski intervali između susjednih harmonika neograničeno smanjuju, posljednji zbroj treba zamijeniti integralom

. (12.5)

Ova važna formula se zove inverzna Fourierova transformacija za signal s(t).

Formulirajmo konačno temeljni rezultat: signal s(t) i njegova spektralna gustoća S(ω) međusobno su povezani izravnim i inverznim Fourierovim transformacijama

, (12.6)

.

Spektralni prikaz signala otvara izravan put u analizu prolaska signala kroz široku klasu radio krugova, uređaja i sustava.

Signal s(t) može se povezati s njegovom spektralnom gustoćom s(ω) ako je ovaj signal apsolutno integrabilno, tj. postoji integral

Takav uvjet značajno sužava klasu dopuštenih signala. Dakle, u naznačenom klasičnom smislu, nemoguće je govoriti o spektralnoj gustoći harmonijskog signala i(t) = U m cosω 0 t , postojeće u cijeloj beskonačnoj osi vremena.

Važan prilog: što je trajanje pulsa kraće, širi je njegov spektar.

Pod širinom spektra podrazumijeva se frekvencijski interval unutar kojeg modul spektralne gustoće nije manji od neke unaprijed određene razine, na primjer, varira od |S| max , do 0,1|S| maks.

Umnožak širine pulsnog spektra i njegovog trajanja je konstantan broj koji ovisi samo o obliku impulsa i u pravilu ima red jedinice: Što je trajanje impulsa kraće, širina je pojasa odgovarajućeg impulsa. pojačalo bi trebalo biti. Kratki impulsni šum ima širok spektar i stoga može pogoršati uvjete radio prijema u velikom frekvencijskom pojasu.

Matematički modeli mnogih signala koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uvjet apsolutne integrabilnosti, pa Fourierova transformacija u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. Međutim, možemo govoriti o spektralnim gustoćama takvih signala, ako pretpostavimo da su te gustoće opisane generaliziranim funkcijama.

Neka dva signala u(t) i v(t), općenito kompleksne vrijednosti, definirane njihovim inverznim Fourierovim transformacijama.

Nađimo skalarni umnožak tih signala izražavajući, na primjer, jedan od njih v(t), kroz svoju spektralnu gustoću

Rezultirajuća relacija je generalizirana Rayleighova formula. Lako pamtljiva interpretacija ove formule je sljedeća: skalarni proizvod dvaju signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom umnošku njihovih spektralnih gustoća. Ako se signali podudaraju identično, tada skalarni proizvod postaje jednak energiji

. (12.7)

nazovimo međusobni energetski spektar stvarni signali u(t) i v(t) funkcija

, (12.8)

takav da

. (4.9)

Lako je vidjeti da je Re W UV(ω)-par, a Im W UV(ω)-neparna frekvencijska funkcija. Integral (12.9) samo doprinosi realnom dijelu, dakle

. (12.10)

Posljednja formula omogućuje analizu "fine strukture" međusobnog povezivanja signala.

Štoviše, generalizirana Rayleighova formula, predstavljena u obliku (12.10), ukazuje na temeljni način da se smanji stupanj povezanosti dvaju signala, postižući njihovu ortogonalnost u granici. Da biste to učinili, jedan od signala mora se obraditi u posebnom fizičkom sustavu tzv frekvencijski filter. Ovaj filtar je potreban da na izlaz ne propušta spektralne komponente koje se nalaze unutar frekvencijskog intervala, gdje je stvarni dio međusobnog energetskog spektra velik. Frekvencijska ovisnost koeficijenta prijenosa takvih ortogonalizirajući filtar imat će izražen minimum unutar naznačenog frekvencijskog raspona.

Spektralni prikaz energije signala može se lako dobiti iz generalizirane Rayleighove formule ako se signali u njoj u(t) i v(t) smatrati isto. Formula (12.8), koja izražava spektralnu gustoću energije, poprima oblik

Vrijednost W u (ω) se zove spektralna gustoća energije signal u(t), ili, ukratko, njegov energetski spektar. Formula (3.2) će se tada napisati kao

. (12.12)

Relacija (4.12) poznata je kao Rayleighova formula(u užem smislu), koji kaže sljedeće: energija bilo kojeg signala rezultat je zbrajanja doprinosa iz različitih intervala frekvencijske osi.

Kada proučavamo signal koristeći njegov energetski spektar, neizbježno gubimo informacije sadržane u faznom spektru signala, budući da je, u skladu s formulom (4.11), energetski spektar kvadrat modula spektralne gustoće i ne ovisi o svoju fazu.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji rada pulsnog radara dizajniranog za mjerenje dometa do cilja. Ovdje je informacija o objektu mjerenja ugrađena u vrijednost τ - vremensko kašnjenje između sonde i primljenih signala. Obrasci za sondiranje i(t) i prihvaćeno i(t-τ) signali su isti za bilo koje kašnjenje. Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala dizajniranog za određivanje raspona može izgledati kao onaj prikazan na slici 12.1.

Slika 12.1 - Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Razmotrimo takozvani oblik energije Fourierovog integrala. U 5. poglavlju prikazane su formule (7.15) i (7.16) koje daju prijelaz s vremenske funkcije na Fourierovu sliku i obrnuto. Ako se uzme u obzir neka slučajna funkcija vremena x (s), tada se za nju ove formule mogu zapisati u obliku

i integrirati preko svega

zamijeniti izrazom (11.54):

Vrijednost u uglatim zagradama (11.57), kao što je lako vidjeti, izvorna je funkcija vremena (11.55). Stoga je rezultat takozvana Rayleighova formula (Parsevalov teorem), koja odgovara obliku energije Fourierovog integrala:

Desna strana (11.58) i (11.39) je veličina proporcionalna energiji procesa koji se razmatra. Dakle, na primjer, ako uzmemo u obzir struju koja teče kroz određeni otpornik s otporom K, tada će energija oslobođena u tom otporniku tijekom vremena biti

Formule (11.58) i (11.59) i izražavaju oblik energije Fourierovog integrala.

Međutim, ove formule su nezgodne jer za većinu procesa energija također teži beskonačnosti u beskonačnom vremenskom intervalu. Stoga je prikladnije baviti se ne energijom, već prosječnom snagom procesa, koja će se dobiti ako se energija podijeli s intervalom promatranja. Tada se formula (11.58) može predstaviti kao

Uvođenje notacije

naziva se spektralna gustoća. važno

Prema svom fizičkom značenju, spektralna gustoća je veličina koja je proporcionalna prosječnoj snazi ​​procesa u frekvencijskom području od co do co + d?co.

U nekim slučajevima, spektralna gustoća se razmatra samo za pozitivne frekvencije, udvostručujući je u isto vrijeme, što se može učiniti, budući da je spektralna gustoća parna funkcija frekvencije. Tada, na primjer, formulu (11.62) treba napisati kao

- spektralna gustoća za pozitivne frekvencije.

budući da u ovom slučaju formule postaju simetričnije.

Vrlo je važna okolnost da su spektralna gustoća i korelacijske funkcije slučajnih procesa međusobne Fourierove transformacije, tj. povezane su integralnim ovisnostima tipa (11.54) i (11.55). Ovo svojstvo je dato bez dokaza.

Dakle, mogu se napisati sljedeće formule:

Budući da su spektralna gustoća i korelacijske funkcije čak i realne funkcije, ponekad se formule (11.65) i (11.66) prikazuju u jednostavnijem obliku;

)

To proizlazi iz činjenice da se jednakosti odvijaju:

a imaginarni dijelovi se mogu odbaciti nakon zamjene u (11.65) i (11.66), budući da su realne funkcije na lijevoj strani.

leži u činjenici da što je graf spektralne gustoće uži (slika 11.16, a), tj. što su frekvencije niže zastupljene u spektralnoj gustoći, to se vrijednost x sporije mijenja tijekom vremena. Naprotiv, što je širi graf spektralne gustoće (slika 11.16, b), tj. što su veće frekvencije zastupljene u spektralnoj gustoći, to je finija struktura funkcije x (r) i brže promjene u vremenu .

Kao što se vidi iz ovog razmatranja, odnos između vrste spektralne gustoće i vrste vremenske funkcije dobiva se obrnuto u odnosu na odnos između korelacijske funkcije i samog procesa (slika 11.14). Iz ovoga slijedi da bi uži graf korelacijske funkcije trebao odgovarati širem grafu spektralne gustoće i obrnuto.

I 8 (co). Ove su funkcije, za razliku od impulsnih funkcija o kojima se govori u 4. poglavlju, parne. To znači da se funkcija 8(m) nalazi simetrično u odnosu na ishodište i može se definirati na sljedeći način;

Slična definicija vrijedi i za funkciju 8(co). Ponekad se u obzir uvodi normalizirana spektralna gustoća, što je Fourierova slika normalizirane korelacijske funkcije (11.52):

i zbog toga

gdje je O disperzija.

Međusobne spektralne gustoće također su mjera odnosa između dvije slučajne varijable. U nedostatku komunikacije, međusobne spektralne gustoće su jednake nuli.

Pogledajmo neke primjere.

Ova funkcija je prikazana na sl. 11.17 sati Fourierova slika koja joj odgovara na temelju tablice. 11.3 će

Spektar procesa sastoji se od jednog vrha tipa impulsne funkcije koji se nalazi na ishodištu koordinata (slika 11.17, b).

To znači da je sva snaga procesa koji se razmatra koncentrirana na frekvenciji metka, što je i očekivano.

Ova funkcija je prikazana na sl. 11.18, a, U skladu s tablicom. 11.3 spektralna gustoća će biti

3. Za periodičnu funkciju proširenu u Fourierov red

osim periodičnog dijela sadržavat će i neperiodičnu komponentu, tada će spektar ove funkcije sadržavati, uz pojedinačne linije tipa impulsne funkcije, i kontinuirani dio (slika 11.20). Pojedinačni vrhovi na grafu spektralne gustoće ukazuju na prisutnost skrivenih nepravilnosti u ispitivanoj funkciji.

ne sadrži periodični dio, tada će imati kontinuirani spektar bez izraženih vrhova.

Razmotrimo neke stacionarne slučajne procese koji su važni u proučavanju upravljačkih sustava. Smatrat ćemo samo centriranim

U ovom slučaju, srednji kvadrat slučajne varijable bit će jednak varijanci:

uzimanje u obzir stalnog pomaka u sustavu upravljanja je elementarno.

(slika 11.21, a):

Primjer takvog procesa je toplinski šum otpornika, koji daje razinu spektralne gustoće kaotičnog napona na ovom otporniku

apsolutna temperatura.

Na temelju (11.68), spektralna gustoća (11.71) odgovara korelacijskoj funkciji

ne postoji korelacija između sljedećih i prethodnih vrijednosti slučajne varijable x.

a time i beskonačna moć.

Da bismo dobili fizički stvarni proces, prikladno je uvesti koncept bijelog šuma s ograničenom spektralnom gustoćom (slika 11.21, b):

Širina pojasa za spektralnu gustoću.

Ovaj proces odgovara korelacijskoj funkciji

RMS vrijednost slučajne varijable proporcionalna je kvadratnom korijenu frekvencijskog pojasa:

Često je prikladnije aproksimirati ovisnost (11.73) glatkom krivuljom. U tu svrhu možete, na primjer, upotrijebiti izraz

Faktor koji određuje širinu pojasa.

Proces se približava bijelom šumu, dakle

što se tiče ovih frekvencija

Integracija (11.77) po svim frekvencijama omogućuje određivanje disperzije:

Stoga se spektralna gustoća (11.77) može zapisati u drugom obliku:

Korelacijska funkcija za ovaj proces

Korelacijska funkcija je također prikazana na sl. 11.21, c.

Prijelaz s jedne vrijednosti na drugu je trenutan. Vremenski intervali podliježu Poissonovom zakonu raspodjele (11.4).

Graf ovog tipa dobiva se npr. u prvoj aproksimaciji pri praćenju cilja u pokretu radarom. Vrijednost konstantne brzine odgovara pravocrtnom kretanju mete. Promjena predznaka ili veličine brzine odgovara manevru cilja.

Bit će prosječna vrijednost vremenskog intervala tijekom kojeg kutna brzina ostaje konstantna. Za radar, ova će vrijednost biti prosječno vrijeme pomicanja cilja pravocrtno.

Za određivanje korelacijske funkcije potrebno je pronaći prosječnu vrijednost proizvoda

Prilikom pronalaska ovog djela mogu postojati dva slučaja.

pripadaju istom intervalu. Tada će prosječna vrijednost umnoška kutnih brzina biti jednaka srednjem kvadratu kutne brzine ili disperzije:

pripadaju različitim intervalima. Tada će prosječna vrijednost umnožaka brzina biti jednaka metku:

budući da će proizvodi s pozitivnim i negativnim predznacima biti jednako vjerojatni. Korelacijska funkcija bit će jednaka

Vjerojatnost njihovog pronalaska u različitim intervalima.

Vjerojatnost izostanka

Za vremenski interval

budući da su ti događaji neovisni.

Kao rezultat, za konačni interval Am dobivamo

Predznak modula na m je postavljen jer izraz (11.80) mora odgovarati parnoj funkciji. Izraz za korelacijske funkcije podudara se s (11.79). Stoga se spektralna gustoća procesa koji se razmatra mora podudarati s (11.78):

Imajte na umu da je, za razliku od (11.78), formula spektralne gustoće (11.81) zapisana za kutnu brzinu procesa (slika 11.22). Ako prijeđemo od kutne brzine do kuta, tada ćemo dobiti nestacionarni slučajni proces s varijanco koja teži beskonačnosti. Međutim, u većini slučajeva servo sustav, na čijem se ulazu odvija ovaj proces, ima astatičnost prvog i višeg reda. Stoga je prvi koeficijent pogreške c0 servo sustava jednak nuli, a njegovu pogrešku određuju samo ulazna brzina i derivacije viših redova, prema kojima je proces stacionaran. To omogućuje korištenje spektralne gustoće (11.81) u izračunu dinamičke pogreške sustava za praćenje.

3. Nepravilno bacanje. Neki objekti, kao što su brodovi, zrakoplovi i drugi, pod utjecajem nepravilnih smetnji (nepravilni valovi, atmosferski poremećaji i sl.), kreću se po slučajnom zakonu.frekvencije poremećaja koje su bliske njihovoj frekvenciji prirodnog titranja. Rezultirajuće nasumično kretanje objekta naziva se nepravilno kotrljanje, za razliku od redovitog kotrljanja, koje je periodično gibanje.

Tipičan dijagram nepravilnog nagiba prikazan je na sl. 11.23. Iz razmatranja ovog grafa može se vidjeti da, unatoč slučajnoj prirodi, ovo

gibanje je prilično blisko periodičnom.

U praksi se korelacijske funkcije nepravilnog kotrljanja često aproksimiraju izrazom

Disperzija.

obično se pronalaze obradom eksperimentalnih podataka (terenska ispitivanja).

Korelacijska funkcija (11.82) odgovara spektralnoj gustoći (vidi tablicu 11.3)

Neugodnost aproksimacije (11.82) je u tome što ova formula može opisati ponašanje bilo koje količine nepravilnog kotrljanja (kut, kutna brzina ili kutno ubrzanje), u ovom slučaju, vrijednost O će odgovarati disperziji kuta, brzine ili ubrzanje.

Ako je, na primjer, formula (11.82) napisana za kut, tada će ovaj proces odgovarati nepravilnom damastu s disperzijom za kutne brzine koje teže beskonačnosti, tj. bit će to fizički nerealan proces.

Prikladnija formula za aproksimaciju kuta nagiba

Međutim, ova aproksimacija također odgovara fizički nerealnom procesu, budući da se ispostavlja da disperzija kutnog ubrzanja teži beskonačnosti.

Za dobivanje konačne disperzije kutnog ubrzanja potrebne su još složenije aproksimacijske formule koje ovdje nisu prikazane.

Tipične krivulje korelacijske funkcije i spektralne gustoće nepravilnog valjanja prikazane su na sl. 11.24.