Usporedba običnih i decimalnih razlomaka. Usporedba konačnih i beskonačnih decimala: pravila, primjeri, rješenja

ODJELJAK 7 DECIMALNI RAZLOMCI I OPERACIJE S NJIMA

U ovom odjeljku naučit ćete:

što je decimalni razlomak i kakva je njegova struktura;

kako usporediti decimale;

koja su pravila zbrajanja i oduzimanja decimala;

kako pronaći umnožak i kvocijent dva decimalna razlomka;

što je zaokruživanje broja i kako zaokružiti brojeve;

kako naučeno gradivo primijeniti u praksi

§ 29. ŠTO JE DECIMAL? USPOREĐIVANJE DECIMA

Pogledajte sliku 220. Vidite da je duljina segmenta AB 7 mm, a duljina segmenta DC 18 mm. Da biste dali duljine ovih segmenata u centimetrima, morate koristiti razlomke:

Znate mnoge druge primjere u kojima se koriste razlomci s nazivnicima 10, 100, 1000 i slično. Tako,

Takvi se razlomci nazivaju decimale. Da biste ih zabilježili, upotrijebite prikladniji obrazac koji predlaže ravnalo na vašem priboru. Pogledajmo dotični primjer.

Znate da se duljina segmenta DC (sl. 220) može izraziti mješovitim brojem

Ako iza cijelog dijela tog broja stavimo zarez, a iza njega brojnik razlomka, dobivamo kompaktniji zapis: 1,8 cm. Za segment AB tada dobivamo: 0,7 cm. Doista, razlomak je točno, manji je od jedan, dakle njegov cijeli dio jednako 0. Brojevi 1,8 i 0,7 primjeri su decimalnih razlomaka.

Decimalni razlomak 1,8 čita se na sljedeći način: "jedan zarez osam", a razlomak 0,7 je "nula zarez sedam".

Kako napisati razlomke kao decimale? Da biste to učinili, morate znati strukturu decimalnog zapisa.

U zapisu decimalnog razlomka uvijek postoji cijeli i razlomački dio. odvajaju se zarezom. U cijelom dijelu klase i činovi su isti kao oni prirodni brojevi. Znate da su to klase jedinica, tisućice, milijuni itd., a svaka od njih ima 3 znamenke - jedinice, desetice i stotine. U frakcijskom dijelu decimalnog razlomka klase se ne razlikuju, ali znamenki može biti koliko god želite; njihova imena odgovaraju nazivima nazivnika razlomaka - desetinke, stotinke, tisućinke, desettisućinke, stotisućinke, milijuntinke. , desetmilijunti dio itd. Desetina je najstarije mjesto u razlomačkom dijelu decimale.

U tablici 40 vidite nazive decimalnih mjesta i broj “sto dvadeset i tri cijeli i četiri tisuće petsto šeststo tisućiti” ili

Naziv frakcijskog dijela "stotisućinki" u običnom razlomku određuje njegov nazivnik, au decimalnom dijelu - posljednju znamenku njegovog frakcijskog dijela. To vidite u brojniku razlomljenog dijela broja U nazivniku je jedna znamenka manje nego nula. Ako to ne uzmemo u obzir, dobit ćemo pogrešku u zapisu razlomka - umjesto 4506 stotisućinki, zapisat ćemo 4506 desettisućinki, ali

Stoga se u snimci dati broj decimalni razlomak mora se staviti 0 iza decimalne točke (na desetom mjestu): 123.04506.

Bilješka:

decimalni razlomak mora imati onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ima nula u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka.

Sada možemo zapisati razlomke

kao decimale.

Decimale se mogu uspoređivati ​​na isti način kao i prirodni brojevi. Ako postoji mnogo znamenki u pisanju decimalnih razlomaka, tada koristite posebna pravila. Pogledajmo primjere.

Zadatak. Usporedi razlomke: 1) 96,234 i 830,123; 2) 3,574 i 3,547.

Rješenja. 1, Cijeli dio prvog razlomka je dvoznamenkasti broj 96, a cijeli dio drugog razlomka je troznamenkasti broj 830, dakle:

96,234 < 830,123.

2. U pisanju su razlomci 3,574 i 3,547 i cijeli brojevi jednaki. Stoga uspoređujemo njihove razlomke malo po malo. Da bismo to učinili, zapisujemo te razlomke jedan ispod drugog:

Svaki razlomak ima 5 desetina. Ali u prvom razlomku ima 7 stotinki, au drugom samo 4 stotinke. Dakle, prvi razlomak je veći od drugog: 3,574 > 3,547.

Pravila za uspoređivanje decimalnih razlomaka.

1. Od dva decimalna razlomka veći je onaj čiji je cijeli dio veći.

2. Ako su cijeli brojevi decimalnih razlomaka jednaki, usporedite njihove razlomke bit po bit, počevši od najznačajnije znamenke.

Kao i razlomci, decimale se mogu postaviti koordinatna zraka. Na slici 221 vidite da točke A, B i C imaju koordinate: A(0,2), B(0,9), C(1,6).

Saznaj više

Decimale su vezane uz decimalni pozicijski brojevni sustav. Međutim, njihova pojava ima dužu povijest i povezana je s imenom izvanrednog matematičara i astronoma al-Kashija ( puno ime- Džemšid ibn Mesudal-Kaši). U svom djelu "Ključ aritmetike" (15. stoljeće) prvi je formulirao pravila za rad s decimalnim razlomcima i dao primjere izvođenja radnji s njima. Ne znajući ništa o otkriću al-Kashija, flamanski matematičar i inženjer Simon Stevin je oko 150 godina kasnije po drugi put "otkrio" decimalne razlomke. U djelu “Decimal” (1585 str.) S. Stevin je iznio teoriju decimalnih razlomaka. Promicao ih je na sve moguće načine, naglašavajući pogodnost decimalnih razlomaka za praktične izračune.

Odvajanje cijelog dijela od frakcijske decimale predloženo je na različite načine. Tako je al-Kashi pisao cijeli i razlomak različitim tintama ili stavljao okomitu crtu između njih. S. Stevin stavio je nulu u krug kako bi odvojio cijeli dio od razlomka. Zarez usvojen u naše vrijeme predložio je poznati njemački astronom Johannes Kepler (1571. - 1630.).

RIJEŠITI PROBLEME

1173. Zapiši duljinu dužine AB u centimetrima ako je:

1)AB = 5 mm; 2)AB = 8 mm; 3)AB = 9 mm; 4)AB = 2 mm.

1174. Pročitaj razlomke:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Imenuj: a) cijeli dio razlomka; b) razlomački dio razlomka; c) znamenke razlomka.

1175. Navedite primjer decimalnog razlomka u kojem iza decimalne točke stoji:

1) jedna znamenka; 2) dva broja; 3) tri broja.

1176. Koliko decimalnih mjesta ima decimalni razlomak ako je nazivnik odgovarajućeg običnog razlomka jednak:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Koji od razlomaka ima veći cijeli broj:

1) 12,5 ili 115,2; 4) 789.154 ili 78.4569;

2) 5,25 ili 35,26; 5) 1258,00265 ili 125,0333;

3) 185,25 ili 56,325; 6) 1269.569 ili 16.12?

1178. U broju 1256897 zarezom odvoji zadnju znamenku i pročitaj broj koji si dobio. Zatim uzastopce pomičite zarez za jednu znamenku ulijevo i imenujte razlomke koje ste dobili.

1179. Pročitaj razlomke i zapiši ih kao decimale:

1180 Pročitaj razlomke i zapiši ih kao decimale:

1181. Napiši običnim razlomkom:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Napiši običnim razlomkom:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Napiši decimalnim razlomkom:

1) 8 točka 3; 5) 145. točka 14.;

2) 12 točka 5; 6) 125 točka 19;

3) 0 bodova 5; 7) 0 bodova 12 stotinki;

4) 12. točka 34.; 8) 0 bodova 3 stotinke.

1184. Napiši decimalnim razlomkom:

1) nula zareza osam tisućinki;

2) dvadeset zarez četiri;

3) trinaest zarez pet;

4) sto četrdeset pet zarez dvije stotinke.

1185. Zapiši razlomak kao razlomak, a zatim kao decimalu:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Upiši u obrazac mješoviti broj, a zatim kao decimala:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Napiši kao mješoviti broj, a zatim kao decimalu:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Ekspresno u grivnama:

1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 kopejki; 4) 123k.

1189. Ekspresno u grivnama:

1) 58 k.; 2) 2 k.; 3) 56 UAH 55 kopejki; 4) 175 tisuća.

1190. Napišite u grivnama i kopejkama:

1)10,34 UAH; 2) 12,03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH.

1191. Izrazi u metrima i odgovor zapiši decimalnim razlomkom: 1) 5 m 7 dm; 2) 15 m 58 cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Izrazi u kilometrima i odgovor zapiši decimalnim razlomkom: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.

1193. Napiši u metrima i centimetrima:

1) 12,55 m; 2) 2,06 m; 3) 0,25 m; 4) 0,08 m.

1194. Najveća dubina Crnog mora je 2 211 km. Izrazi dubinu mora u metrima.

1195. Usporedi razlomke:

1) 15,5 i 16,5; 5) 4.2 i 4.3; 9) 1,4 i 1,52;

2) 12,4 i 12,5; 6) 14,5 i 15,5; 10) 4,568 i 4,569;

3) 45,8 i 45,59; 7) 43.04 i 43.1; 11)78.45178.458;

4) 0,4 i 0,6; 8) 1,23 i 1,364; 12) 2,25 i 2,243.

1196. Usporedi razlomke:

1) 78,5 i 79,5; 3) 78,3 i 78,89; 5) 25.03 i 25.3;

2) 22,3 i 22,7; 4) 0,3 i 0,8; 6) 23.569 i 23.568.

1197. Napiši decimalne razlomke uzlaznim redom:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Zapiši decimalne razlomke silaznim redom:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Express in četvornih metara i zapiši u decimalnom razlomku:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200. Soba je oblikovana kao pravokutnik. Duljina mu je 90 dm, a širina 40 dm. Pronađite površinu sobe. Odgovor napišite u kvadratnim metrima.

1201. Usporedi razlomke:

1)0,04 i 0,06; 5) 1,003 i 1,03; 9) 120.058 i 120.051;

2) 402.0022 i 40.003; 6) 1,05 i 1,005; 10) 78,05 i 78,58;

3) 104,05 i 105,05; 7) 4,0502 i 4,0503; 11) 2,205 i 2,253;

4) 40.04 i 40.01; 8)60.4007i60.04007; 12)20.12 i 25.012.

1202. Usporedi razlomke:

1)0,03 i 0,3; 4) 6.4012 i 6.404;

2) 5,03 i 5,003; 5) 450.025 i 450.2054;

1203. Zapiši pet decimalnih razlomaka koji se nalaze između razlomaka na koordinatnoj zraci:

1) 6.2 i 6.3; 2) 9.2 i 9.3; 3) 5,8 i 5,9; 4) 0,4 i 0,5.

1204. Zapiši pet decimalnih razlomaka koji se nalaze između razlomaka na koordinatnoj gredi: 1) 3,1 i 3,2; 2) 7.4 i 7.5.

1205. Između koja dva susjedna prirodna broja nalazi se decimalni razlomak:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Zapiši pet decimalnih razlomaka za koje vrijedi nejednakost:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Zapiši pet decimalnih razlomaka za koje vrijedi nejednakost:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Napiši najveću decimal:

1) s dvije znamenke iza decimalne točke, manje od 2;

2) s jednom znamenkom iza decimalne točke, manje od 3;

3) s tri znamenke iza decimalne točke manje od 4;

4) s četiri znamenke iza decimalne točke, manje od 1.

1209. Napiši najmanji decimalni razlomak:

1) s dvije znamenke iza decimalne točke, koje su veće od 2;

2) s tri znamenke iza decimalne točke, koje su veće od 4.

1210. Upiši sve brojeve koji se mogu staviti umjesto zvjezdice da bi se dobila ispravna nejednakost:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Koji se broj može staviti umjesto zvjezdice da bi se dobila točna nejednakost:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Zapiši sve decimale čiji je cijeli dio jednak 6, a razlomački dio sadrži tri decimale, zapisane kao 7 i 8. Zapiši te razlomke silaznim redom.

1213. Napiši šest decimalnih razlomaka čiji je cijeli dio jednak 45, a razlomački se sastoji od četiri različite brojeve: 1, 2, 3, 4. Napiši ove razlomke uzlaznim redoslijedom.

1214. Koliko decimalnih razlomaka možete sastaviti čiji je cijeli dio jednak 86, a razlomački se dio sastoji od tri različite znamenke: 1,2,3?

1215. Koliko se može sastaviti decimalnih razlomaka čiji je cijeli dio jednak 5, a razlomački dio troznamenkasti, zapisan kao 6 i 7? Napiši te razlomke silaznim redoslijedom.

1216. Prekriži tri nule u broju 50.004007 tako da dobiješ:

1) najveći broj; 2) najmanji broj.

PRIMJENITE TO U PRAKSU

1217. Izmjeri duljinu i širinu svoje bilježnice u milimetrima i napiši odgovor u decimetrima.

1218. Napiši svoju visinu u metrima koristeći decimale.

1219. Izmjeri dimenzije svoje sobe i izračunaj njen opseg i površinu. Napiši odgovor u metrima i četvornim metrima.

PREGLED PROBLEMA

1220. Pri kojim je vrijednostima x razlomak nepravi?

1221. Riješi jednadžbu:

1222. Trgovina je morala prodati 714 kg jabuka. Prvog dana prodane su sve jabuke, a drugog dana - od onoga što je prodano prvog dana. Koliko je jabuka prodano u 2 dana?

1223. Brid kocke smanjili smo za 10 cm i dobili smo kocku obujma 8 dm3. Nađi obujam prve kocke.

Svrha lekcije:

• stvoriti uvjete za izvođenje pravila za uspoređivanje decimalnih razlomaka i sposobnost njegove primjene;
• ponoviti snimanje obični razlomci u obliku decimala, zaokruživanje decimalnih razlomaka;
• razviti logično mišljenje, sposobnost generaliziranja, istraživačke vještine, govor.

Tijekom nastave

Dečki, sjetimo se što smo radili s vama u prethodnim lekcijama?

Odgovor: proučavali decimalne razlomke, zapisivali obične razlomke kao decimale i obrnuto, zaokružene decimale.

Što biste željeli raditi danas?

(Učenici odgovaraju.)

Ali za nekoliko minuta saznat ćete što ćemo raditi na satu. Otvorite svoje bilježnice i zapišite datum. Učenik će izaći pred ploču i raditi s njom obrnuta strana ploče. Nudit ću vam zadatke koje rješavate usmeno. Svoje odgovore zapišite u svoju bilježnicu na crtu odvojenu točkom i zarezom. Učenik za pločom piše u stupac.

Čitam zadatke koji su unaprijed napisani na ploči:

Provjerimo. Tko ima druge odgovore? Zapamtite pravila.

dobio: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Uspostavite uzorak i nastavite rezultirajući niz za još 2 broja. Provjerimo.

Uzmite prijepis i ispod svakog broja (osoba koja odgovara na ploči stavlja slovo uz broj) stavite odgovarajuće slovo. Pročitaj riječ.

Obrazloženje:

Dakle, što ćemo raditi u razredu?

Odgovor: usporedba.

Za usporedbu! Dobro, na primjer, sada ću početi uspoređivati ​​svoje ruke, 2 udžbenika, 3 ravnala. Što želite usporediti?

Odgovor: decimalni razlomci.

Koju ćemo temu lekcije zapisati?

Zapisujem temu sata na ploču, a učenici je zapisuju u svoje bilježnice: “Uspoređivanje decimala”.

Vježba: usporediti brojeve (napisane na ploči)

18.625 i 5.784		15.200 i 15.200
3.0251 i 21.02		7.65 i 7.8
23,0521 i 0,0521		0,089 i 0,0081

Prvo otvaramo lijevu stranu. Cijeli dijelovi su različiti. Izvodimo zaključak o usporedbi decimalnih razlomaka s različitim cjelobrojnim dijelovima. Otvor desna strana. Cijeli dijelovi - isti brojevi. Kako usporediti?

Ponuda: zapisivati ​​decimale kao razlomke i uspoređivati.

Napiši usporedbu običnih razlomaka. Ako pretvorite svaki decimalni razlomak u obični razlomak i usporedite 2 razlomka, trebat će vam puno vremena. Možda možemo smisliti pravilo usporedbe? (Učenici predlažu.) Napisao sam pravilo za uspoređivanje decimalnih razlomaka koje predlaže autor. Usporedimo.

Postoje 2 pravila ispisana na komadu papira:

1. Ako su cijeli dijelovi decimalnih razlomaka različiti, tada je razlomak s većim cijelim dijelom veći.
2. Ako su cijeli dijelovi decimalnih razlomaka isti, tada je veći razlomak onaj čije je prvo od neusklađenih decimalnih mjesta veće.

Ti i ja smo otkrili. A ovo otkriće je pravilo za usporedbu decimalnih razlomaka. Poklopilo se s pravilom koje je predložio autor udžbenika.

Primijetio sam da pravila kažu koji je od 2 razlomka veći. Možete li mi reći koji je od 2 decimalna razlomka manji?

Ispuniti u bilježnici br.785(1, 2) na stranici 172. Zadatak je napisan na ploči. Učenici komentiraju, a učitelj daje znakove.

Vježba: usporediti

3.4208 i 3.4028

Što smo danas naučili raditi? Provjerimo se. Rad na komadima papira s karbonskim papirom.

Učenici uspoređuju decimalne razlomke koristeći >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Samostalni rad.

(Provjerite - odgovori na poleđini ploče.)

Usporedi

148.05 i 14.805

6.44806 i 6.44863

35.601 i 35.6010

Tko prvi to napravi, dobiva zadatak (izvodi sa stražnje strane ploče) br. 786(1, 2):

Pronađite obrazac i zapišite sljedeći broj u nizu. U kojim nizovima su brojevi poredani rastućim, a u kojima silaznim redoslijedom?

Odgovor:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – pada
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – povećava.

Nakon što posljednji učenik preda rad, provjerite ga.

Učenici uspoređuju svoje odgovore.

Oni koji su sve učinili ispravno dat će sebi ocjenu "5", oni koji su napravili 1-2 pogreške - "4", 3 pogreške - "3". Saznajte u kojim su usporedbama napravljene pogreške, na kojem pravilu.

Zapišite domaću zadaću: br. 813, br. 814 (c. 4, str. 171). Komentar. Ako imate vremena, ispunite br. 786(1, 3), br. 793(a).

Sažetak lekcije.

1. Što ste naučili raditi na satu?
2. Svidjelo ti se ili ne?
3. Koje su bile poteškoće?

Uzmite listove i ispunite ih, naznačujući stupanj vaše asimilacije materijala:

• potpuno ovladao, mogu izvesti;
• Potpuno sam ga savladao, ali mi je teško koristiti ga;
• djelomično savladan;
• nije naučeno.

Hvala vam na lekciji.

U ovom članku ćemo pogledati temu " uspoređujući decimale" Prvo, raspravimo opće načelo usporedbe decimalnih razlomaka. Nakon toga ćemo odgonetnuti koji su decimalni razlomci jednaki, a koji nejednaki. Zatim ćemo naučiti odrediti koji je decimalni razlomak veći, a koji manji. Da bismo to učinili, proučit ćemo pravila za usporedbu konačnih, beskonačnih periodičnih i beskonačnih neperiodičnih razlomaka. Cijelu teoriju ćemo dati primjerima s detaljnim rješenjima. Za kraj pogledajmo usporedbu decimalnih razlomaka s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo ovdje govoriti samo o usporedbi pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi raspravljaju se u člancima usporedba racionalnih brojeva i usporedba realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opći princip uspoređivanja decimalnih razlomaka

Na temelju tog načela usporedbe izvedena su pravila za usporedbu decimalnih razlomaka koja omogućuju da se uspoređeni decimalni razlomci ne pretvaraju u obične razlomke. O ovim pravilima, kao i primjerima njihove primjene, raspravljat ćemo u sljedećim paragrafima.

Sličan princip se koristi za usporedbu konačnih decimalnih razlomaka ili beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima: uspoređeni brojevi zamjenjuju se odgovarajućim običnim razlomcima, nakon čega se uspoređuju obični razlomci.

O usporedbe beskonačnih neperiodičnih decimala, onda se obično svodi na uspoređivanje konačnih decimalnih razlomaka. Da biste to učinili, razmotrite broj znakova uspoređivanih beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka koji vam omogućuju da dobijete rezultat usporedbe.

Jednake i nejednake decimale

Prvo predstavljamo definicije jednakih i nejednakih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Dva krajnja decimalna razlomka nazivaju se jednak, ako su im odgovarajući obični razlomci jednaki, inače se ti decimalni razlomci zovu nejednak.

Na temelju ove definicije lako je opravdati sljedeću tvrdnju: ako dodate ili odbacite nekoliko znamenki 0 na kraju danog decimalnog razlomka, dobit ćete decimalni razlomak jednak njemu. Na primjer, 0,3=0,30=0,300=…, i 140.000=140.00=140.0=140.

Doista, dodavanje ili odbacivanje nule na kraju decimalnog razlomka s desne strane odgovara množenju ili dijeljenju s 10 brojnika i nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka. A znamo i osnovno svojstvo razlomka, koje kaže da množenje ili dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim prirodnim brojem daje razlomak jednak izvornom. Ovo dokazuje da dodavanje ili odbacivanje nula s desne strane u razlomačkom dijelu decimale daje razlomak jednak izvornom.

Na primjer, decimalni razlomak 0,5 odgovara običnom razlomku 5/10, nakon dodavanja nule s desne strane, decimalni razlomak 0,50 odgovara običnom razlomku 50/100 i. Dakle, 0,5=0,50. Obrnuto, ako u decimalnom razlomku 0,50 odbacimo 0 s desne strane, tada dobivamo razlomak 0,5, pa od običnog razlomka 50/100 dolazimo do razlomka 5/10, ali . Prema tome, 0,50=0,5.

Prijeđimo na određivanje jednakih i nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Dva beskonačna periodična razlomka jednak, ako su odgovarajući obični razlomci jednaki; ako obični razlomci koji im odgovaraju nisu jednaki, onda su i uspoređeni periodički razlomci nejednak.

Iz ove definicije slijede tri zaključka:

• Ako se zapisi periodičnih decimalnih razlomaka potpuno podudaraju, tada su takvi beskonačni periodički decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodične decimale 0,34(2987) i 0,34(2987) su jednake.
• Ako periode uspoređivanih decimalnih periodičnih razlomaka počinju s iste pozicije, prvi razlomak ima period 0, drugi ima period 9, a vrijednost znamenke koja prethodi točki 0 za jedan je veća od vrijednosti znamenke prethodna periodi 9, onda su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodični razlomci 8,3(0) i 8,2(9) su jednaki, a jednaki su i razlomci 141,(0) i 140,(9).
• Bilo koja dva druga periodična razlomka nisu jednaka. Evo primjera nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka: 9,0(4) i 7,(21), 0,(12) i 0,(121), 10,(0) i 9,8(9).

Ostaje da se pozabavimo jednaki i nejednaki beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Kao što je poznato, takvi decimalni razlomci se ne mogu pretvoriti u obične razlomke (takvi decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve), stoga se usporedba beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ne može svesti na usporedbu običnih razlomaka.

Definicija.

Dvije beskonačne neperiodične decimale jednak, ako se njihovi zapisi potpuno podudaraju.

Ali postoji jedno upozorenje: nemoguće je vidjeti "gotov" zapis beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, stoga je nemoguće biti siguran u potpunu slučajnost njihovih zapisa. Kako biti?

Pri usporedbi beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka uzima se u obzir samo konačan broj znakova razlomaka koji se uspoređuju, što omogućuje izvođenje potrebnih zaključaka. Tako se usporedba beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi na usporedbu konačnih decimalnih razlomaka.

Ovakvim pristupom možemo govoriti o jednakosti beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka samo do dotične znamenke. Navedimo primjere. Beskonačne neperiodične decimale 5,45839... i 5,45839... jednake su najbližim stotisućinkama, budući da su konačne decimale 5,45839 i 5,45839 jednake; neperiodični decimalni razlomci 19,54... i 19,54810375... jednaki su najbližoj stotini, jer su jednaki razlomcima 19,54 i 19,54.

Ovim se pristupom sasvim sigurno utvrđuje nejednakost beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka. Na primjer, beskonačne neperiodične decimale 5,6789... i 5,67732... nisu jednake, jer su razlike u njihovim oznakama očite (konačne decimale 5,6789 i 5,6773 nisu jednake). Beskonačne decimale 6,49354... i 7,53789... također nisu jednake.

Pravila za uspoređivanje decimalnih razlomaka, primjeri, rješenja

Nakon utvrđivanja činjenice da su dva decimalna razlomka nejednaka, često treba otkriti koji je od tih razlomaka veći, a koji manji od drugog. Sada ćemo pogledati pravila za usporedbu decimalnih razlomaka, omogućujući nam da odgovorimo na postavljeno pitanje.

U mnogim slučajevima dovoljno je usporediti cijele dijelove decimalnih razlomaka koji se uspoređuju. Istina je sljedeće pravilo za usporedbu decimala: veći je decimalni razlomak čiji je cijeli dio veći, a manji je decimalni razlomak čiji je cijeli dio manji.

Ovo pravilo vrijedi i za konačne i za beskonačne decimalne razlomke. Pogledajmo rješenja primjera.

Primjer.

Usporedite decimale 9,43 i 7,983023….

Riješenje.

Očito, ove decimale nisu jednake. Cjelobrojni dio konačnog decimalnog razlomka 9.43 jednak je 9, ali cijeli broj beskonačnog decimalnog razlomka nije periodički razlomak 7,983023... jednako je 7. Kako je 9>7 (vidi usporedbu prirodnih brojeva), onda je 9,43>7,983023.

Odgovor:

9,43>7,983023 .

Primjer.

Koji je decimalni razlomak 49,43(14) i 1045,45029... manji?

Riješenje.

Cjelobrojni dio periodičnog razlomka 49,43(14) manji je od cijelog dijela beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka 1045,45029..., dakle, 49,43(14)<1 045,45029… .

Odgovor:

49,43(14) .

Ako su cijeli dijelovi decimalnih razlomaka koji se uspoređuju jednaki, onda da biste saznali koji je od njih veći, a koji manji, morate usporediti razlomke. Usporedba frakcijskih dijelova decimalnih frakcija provodi se malo po malo- iz kategorije desetina u niže.

Prvo, pogledajmo primjer usporedbe dvaju konačnih decimalnih razlomaka.

Primjer.

Usporedite krajnje decimale 0,87 i 0,8521.

Riješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki (0=0), pa prelazimo na uspoređivanje razlomačkih dijelova. Vrijednosti desetinki su jednake (8=8), a vrijednost stotinki razlomka je 0,87 veća od vrijednosti stotinki razlomka 0,8521 (7>5). Prema tome, 0,87>0,8521.

Odgovor:

0,87>0,8521 .

Ponekad, za izvođenje usporedbe krajnjih decimalnih razlomaka s različite količine decimalna mjesta, razlomcima s manje decimalnih mjesta mora biti pridodan broj nula s desne strane. Prilično je zgodno izjednačiti broj decimalnih mjesta prije nego počnete uspoređivati ​​konačne decimalne razlomke dodavanjem određenog broja nula desno od jednog od njih.

Primjer.

Usporedite završne decimale 18.00405 i 18.0040532.

Riješenje.

Očito je da su ovi razlomci nejednaki, jer su im oznake različite, ali istovremeno imaju jednake cjelobrojne dijelove (18 = 18).

Prije bitne usporedbe razlomaka tih razlomaka izjednačavamo broj decimalnih mjesta. Da bismo to učinili, dodamo dvije znamenke 0 na kraju razlomka 18,00405 i dobijemo jednak decimalni razlomak 18,0040500.

Vrijednosti decimalna mjesta razlomci 18.0040500 i 18.0040532 jednaki su do stotisućinki, a vrijednost milijuntinskog mjesta razlomka je 18.0040500 manje od vrijednosti odgovarajuća znamenka razlomka 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Odgovor:

18,00405<18,0040532 .

Pri usporedbi konačnog decimalnog razlomka s beskonačnim, konačni razlomak zamjenjuje se jednakim beskonačnim periodičnim razlomkom s periodom 0, nakon čega se vrši usporedba po znamenkama.

Primjer.

Usporedite konačnu decimalu 5,27 s beskonačnom neperiodičnom decimalom 5,270013... .

Riješenje.

Cijeli dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki. Vrijednosti desetih i stotih znamenki ovih razlomaka su jednake, a kako bismo izvršili daljnju usporedbu, konačni decimalni razlomak zamijenimo jednakim beskonačnim periodičnim razlomkom s periodom 0 oblika 5,270000.... Do pete decimale vrijednosti decimalnih mjesta 5,270000... i 5,270013... su jednake, a na petoj decimali imamo 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Odgovor:

5,27<5,270013… .

Usporedba beskonačnih decimalnih razlomaka također se provodi po mjestima, a završava čim se ispostavi da su vrijednosti nekih znamenki različite.

Primjer.

Usporedite beskonačne decimale 6.23(18) i 6.25181815….

Riješenje.

Cijeli dijelovi ovih razlomaka su jednaki, a jednake su i vrijednosti na desetinkama. A vrijednost stotinki periodičnog razlomka 6.23(18) manja je od stotinki beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka 6.25181815..., dakle, 6.23(18)<6,25181815… .

Odgovor:

6,23(18)<6,25181815… .

Primjer.

Koja je od beskonačnih periodičnih decimala 3,(73) i 3,(737) veća?

Riješenje.

Jasno je da je 3,(73)=3,73737373... i 3,(737)=3,737737737... . Na četvrtom decimalnom mjestu bitna usporedba završava, jer tu imamo 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Odgovor:

3,(737) .

Usporedite decimale s prirodnim brojevima, razlomcima i mješovitim brojevima.

Rezultat usporedbe decimalnog razlomka s prirodnim brojem može se dobiti usporedbom cjelobrojnog dijela zadanog razlomka sa zadanim prirodnim brojem. U tom slučaju periodične razlomke s periodima 0 ili 9 prvo treba zamijeniti njima jednakim konačnim decimalnim razlomcima.

Istina je sljedeće pravilo za usporedbu decimalnih razlomaka i prirodnih brojeva: ako je cijeli dio decimalnog razlomka manji od zadanog prirodnog broja, tada je cijeli razlomak manji od tog prirodnog broja; ako je cjelobrojni dio razlomka veći ili jednak zadanom prirodnom broju, tada je razlomak veći od zadanog prirodnog broja.

Pogledajmo primjere primjene ovog pravila usporedbe.

Primjer.

Usporedite prirodni broj 7 s decimalnim razlomkom 8,8329….

Riješenje.

Budući da je zadani prirodni broj manji od cijelog dijela zadanog decimalnog razlomka, tada je taj broj manji od zadanog decimalnog razlomka.

Odgovor:

7<8,8329… .

Primjer.

Usporedi prirodni broj 7 i decimalni razlomak 7.1.

Segment AB jednak je 6 cm, odnosno 60 mm. Kako je 1 cm = dm, onda je 6 cm = dm. To znači da je AB 0,6 dm. Kako je 1 mm = dm, onda je 60 mm = dm. To znači AB = 0,60 dm.
Dakle, AB = 0,6 dm = 0,60 dm. To znači da decimalni razlomci 0,6 i 0,60 izražavaju duljinu istog segmenta u decimetrima. Ovi razlomci su međusobno jednaki: 0,6 = 0,60.

Ako dodate nulu ili odbacite nulu na kraju decimalnog razlomka, dobit ćete frakcija, jednako ovome.
Na primjer,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Usporedimo dva decimalna razlomka 5,345 i 5,36. Izjednačimo broj decimalnih mjesta dodavanjem nule s desne strane broja 5,36. Dobivamo razlomke 5,345 i 5,360.

Zapišimo ih u obliku nepravih razlomaka:

Ovi razlomci imaju iste nazivnike. To znači da je onaj s većim brojnikom veći.
Od 5345< 5360, то što znači 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Da biste usporedili dva decimalna razlomka, prvo morate izjednačiti broj decimalnih mjesta dodavanjem nula jednom od njih s desne strane, a zatim, odbacivši zarez, usporediti dobiveni cijeli brojevi.

Decimalni razlomci mogu se prikazati na koordinatnoj zraci na isti način kao i obični razlomci.
Na primjer, da bismo prikazali decimalni razlomak 0,4 na koordinatnoj zraci, najprije ga predstavimo kao obični razlomak: 0,4 = Zatim odvojimo četiri desetinke jediničnog segmenta od početka zrake. Dobivamo točku A(0,4) (slika 141).

Jednaki decimalni razlomci prikazani su na koordinatnoj zraci istom točkom.

Na primjer, razlomci 0,6 i 0,60 prikazani su jednom točkom B (vidi sliku 141).

Manji decimalni razlomak leži na koordinatna zraka lijevo od većeg, a veći desno od manjeg.

Na primjer, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Hoće li se decimala promijeniti ako se na kraj doda nula?
A6 nule?
Formulirajte pravilo usporedbe decimal razlomci.

1172. Napiši decimalni razlomak:

a) s četiri decimalna mjesta, jednako 0,87;
b) s pet decimala, jednako 0,541;
c) s tri znamenke iza zauzetih, jednako 35;
d) s dvije decimale, jednako 8,40000.

1173. Dodavanjem nula s desne strane izjednačite broj decimalnih mjesta u decimalnim razlomcima: 1,8; 13,54 i 0,789.

1174. Napiši kraće razlomke: 2,5000; 3,02000; 20,010.

85.09 i 67.99; 55.7 i 55.7000; 0,5 i 0,724; 0,908 i 0,918; 7.6431 i 7.6429; 0,0025 i 0,00247.

1176. Poredaj brojeve u rastućem redoslijedu:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

poredati u silaznom redoslijedu.

a) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Usporedi vrijednosti:

a) 98,52 m i 65,39 m; e) 0,605 t i 691,3 kg;
b) 149,63 kg i 150,08 kg; f) 4,572 km i 4671,3 m;
c) 3,55°C i 3,61°C; g) 3,835 hektara i 383,7 a;
d) 6,781 sati i 6,718 sati; h) 7,521 l i 7538 cm3.

Može li se usporediti 3,5 kg i 8,12 m? Navedite neke primjere veličina koje se ne mogu uspoređivati.

1185. Izračunaj usmeno:

1186. Obnovite lanac izračuna

1187. Može li se reći koliko znamenaka iza decimalne točke ima decimalni razlomak ako njegov naziv završava riječju:

a) stotinke; b) desettisućiti; c) desetine; d) milijunti dio?

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu, metodološke preporuke, programi rasprava Integrirane lekcije