Jednadžbe pravaca i krivulja u ravnini. Jednadžba pravca

Svojstva pravca u euklidskoj geometriji.

Postoji beskonačno mnogo pravaca koji se mogu povući kroz bilo koju točku.

Kroz bilo koje dvije točke koje se ne poklapaju vodi samo jedan pravac.

Dvije nepoklapajuće crte u ravnini se sijeku u jednoj točki ili se

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dviju linija:

• linije se sijeku;

• ravne linije su paralelne;

• ravne linije se sijeku.

Ravno crta- algebarska krivulja prvog reda: u kartezijevom koordinatnom sustavu pravac

dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).

Opća jednadžba pravca.

Definicija. Bilo koji pravac u ravnini može se dati jednadžbom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nije u isto vrijeme jednaka nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se Općenito

jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I S Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- pravac prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija se podudara s osi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija se podudara s osi Oh

Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojoj danosti

početni uvjeti.

Jednadžba pravca s točkom i normalnim vektorom.

Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B)

okomito na pravac zadan jednadžbom

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Riješenje. Sastavimo na A \u003d 3 i B \u003d -1 jednadžbu ravne linije: 3x - y + C \u003d 0. Da bismo pronašli koeficijent C

u dobiveni izraz zamijenimo koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Zatim jednadžba ravne linije,

prolazeći kroz ove točke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na

ravnine, gore napisana jednadžba ravne linije je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Frakcija = k nazvao faktor nagiba ravno.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(1, 2) i B(3, 4).

Riješenje. Primjenom gornje formule dobivamo:

Jednadžba pravca s točkom i kosom.

Ako opća jednadžba pravca Ah + Wu + C = 0 dovesti do forme:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednadžba naziva

jednadžba pravca s nagibom k.

Jednadžba pravca u točki i usmjeravajućeg vektora.

Analogno s točkom koja razmatra jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti zadatak

pravac kroz točku i vektor smjera pravca.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet

Aα 1 + Bα 2 = 0 nazvao vektor smjera pravca.

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).

Riješenje. Jednadžbu tražene ravne linije ćemo tražiti u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti uvjete:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

na x=1, y=2 dobivamo C/A = -3, tj. željena jednadžba:

x + y - 3 = 0

Jednadžba pravca u segmentima.

Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada, dijeljenjem s -C, dobivamo:

ili, gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata presječne točke

ravno s osovinom Oh, A b- koordinata sjecišta pravca s osi OU.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x - y + 1 = 0. Pronađite jednadžbu ove ravne linije u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednadžba pravca.

Ako obje strane jednadžbe Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem , koji se zove

faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba ravne linije.

Predznak ± normalizirajućeg faktora mora biti odabran tako da μ * C< 0.

R- duljina okomice spuštene iz ishodišta na pravac,

A φ - kut koji čini ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.

Primjer. S obzirom na opću jednadžbu pravca 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno je napisati razne vrste jednadžbi

ovu ravnu liniju.

Jednadžba ove ravne linije u segmentima:

Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)

Jednadžba pravca:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,

paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.

Kut između pravaca na ravnini.

Definicija. Ako su zadane dvije crte y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, zatim oštri kut između ovih linija

definirat će se kao

Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2. Dvije linije su okomite

Ako k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ah + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ako također S 1 \u003d λS, onda se linije podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju linija

nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku je okomita na zadani pravac.

Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) a okomito na pravac y = kx + b

predstavljena jednadžbom:

Udaljenost od točke do pravca.

Teorema. Ako se da bod M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Neka točka M 1 (x 1, y 1)- osnovica okomice spuštene s točke M za dano

direktno. Zatim udaljenost između točaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito

dana linija. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dva pravca. Uvjet paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca. Određivanje točke presjeka dviju linija

Primjeri problema s rješenjima

Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke: (-1, 2) i (2, 1).

Riješenje.

Prema jednadžbi

vjerujući u to x 1 = -1, g 1 = 2, x 2 = 2, g 2 \u003d 1 (bez obzira koja se točka smatra prvom, koja - drugom), dobivamo

nakon pojednostavljenja konačno dobivamo željenu jednadžbu u obliku

x + 3g - 5 = 0.

Stranice trokuta dane su jednadžbama: (AB ) 2 x + 4 g + 1 = 0, (AC ) x - g + 2 = 0, (PRIJE KRISTA ) 3 x + 4 g -12 = 0. Odredi koordinate vrhova trokuta.

Riješenje.

Koordinate vrhova A pronaći rješavanjem sustava sastavljenog od sporednih jednadžbi AB I AC:

Metodama poznatim iz elementarne algebre rješavamo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i dobivamo

Vertex A ima koordinate

Koordinate vrhova B pronaći rješavanjem sustava jednadžbi stranica AB I PRIJE KRISTA:

dobivamo .

Koordinate vrhova C dobivamo rješavanjem sustava iz jednadžbi strana PRIJE KRISTA I AC:

Vertex C ima koordinate.

A (2, 5) paralelno s pravcem 3x - 4 g + 15 = 0.

Riješenje.

Dokažimo da ako su dva pravca paralelna, tada se njihove jednadžbe uvijek mogu prikazati na takav način da se razlikuju samo u slobodnim članovima. Doista, iz uvjeta paralelnosti dviju linija slijedi da je .

Označimo sa t ukupna vrijednost tih odnosa. Zatim

a otuda slijedi da

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Ako dva retka

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0 i

A 2 x + B 2 g + C 2 = 0

su paralelni, uvjeti (1) su zadovoljeni, i, zamjenjujući u prvoj od ovih jednadžbi A 1 i B 1 formulama (1), imat ćemo

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

ili, dijeleći obje strane jednadžbe s , dobivamo

Uspoređujući dobivenu jednadžbu s jednadžbom drugog retka A 2 x + B 2 g + C 2 = 0, napominjemo da se ove jednadžbe razlikuju samo u slobodnom članu; dakle, tvrdnju smo dokazali. Sada počnimo rješavati problem. Jednadžbu željenog pravca napišemo tako da će se od jednadžbe tog pravca razlikovati samo slobodnim članom: prva dva člana u željenoj jednadžbi bit će uzeta iz te jednadžbe, a njezin slobodni član će biti označen sa C. Tada se željena jednadžba može napisati u obliku

3x - 4g + C = 0, (3)

i da se odredi C.

Dajući u jednadžbi (3) do vrijednosti C sve moguće realne vrijednosti, dobivamo skup pravaca paralelnih sa zadanom. Dakle, jednadžba (3) nije jednadžba jednog pravca, već cijele obitelji pravaca paralelnih s tim pravcem 3 x - 4g+ 15 = 0. Iz ove obitelji pravaca treba izdvojiti onaj koji prolazi točkom A(2, 5).

Ako pravac prolazi kroz točku, tada koordinate te točke moraju zadovoljavati jednadžbu pravca. I tako definiramo C, ako u (3) umjesto trenutnih koordinata zamijenimo x I g koordinate točke A, tj. x = 2, g= 5. Dobivamo i C = 14.

Pronađena vrijednost C zamijenimo u (3), a željena jednadžba će biti zapisana na sljedeći način:

3x - 4g + 14 = 0.

Isti problem može se riješiti i na drugi način. Budući da su nagibi paralelnih pravaca međusobno jednaki, a za dani pravac 3 x - 4g+ 15 = 0 nagib, tada je nagib željene linije također jednak .

Sada koristimo jednadžbu g - g 1 = k(x - x 1) snop ravnih linija. Točka A(2, 5), kroz koji prolazi ravna crta, poznata nam je, pa stoga, zamjenjujući u jednadžbu olovke ravnih linija g - g 1 = k(x - x 1) vrijednosti koje dobivamo

ili nakon pojednostavljenja 3 x - 4g+ 14 = 0, tj. isto kao i prije.

Nađite jednadžbe pravaca koji prolaze kroz točkuA (3, 4) pod 60 stupnjeva u odnosu na liniju 2x + 3 g + 6 = 0.

Riješenje.

Da bismo riješili problem, potrebno je odrediti nagibe pravaca I i II (vidi sliku). Označimo te koeficijente redom sa k 1 i k 2 , a nagib ove ravne linije - kroz k. Očito je da .

Na temelju definicije kuta između dviju ravnih linija, pri određivanju kuta između zadane prave i prave I slijedi u brojniku razlomak u formuli

oduzmite nagib zadane linije, budući da je treba rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko točke C dok se ne poklopi s linijom I.

S obzirom na to, dobivamo

Pri određivanju kuta između pravca II i zadanog pravca treba od brojnika istog razlomka oduzeti nagib pravca II, tj. k 2, budući da se pravac II treba rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko točke B dok se ne poklopi s ovom linijom:

Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkomA (5, -1) okomito na pravac 3x - 7 g + 14 = 0.

Riješenje.

Ako dva retka

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0, A 2 x + B 2 g + C 2 = 0

su okomiti, onda je jednakost

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

ili, što je isto,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

a otuda slijedi da

Opće značenje ovih izraza bit će označeno sa t.

Zatim, odakle slijedi da

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Zamjenom ovih vrijednosti A 2 i B 2 i jednadžbu druge ravne linije, dobivamo

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

ili dijeljenje sa t obje strane jednakosti, imat ćemo

Uspoređujući dobivenu jednadžbu s jednadžbom prvog pravca

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0,

imajte na umu da imaju koeficijente pri x I g promijenili mjesta, a predznak između prvog i drugog člana promijenio se u suprotan, dok su slobodni članovi različiti.

Počnimo sada rješavati problem. Želeći napisati jednadžbu pravca okomitog na pravac 3 x - 7g+ 14 = 0, na temelju gornjeg zaključka, postupamo na sljedeći način: mijenjamo koeficijente na x I g, a znak minus između njih zamjenjuje se znakom plus, slobodni izraz označava se slovom C. Uzmimo 7 x + 3g + C= 0. Ova jednadžba je jednadžba obitelji pravaca okomitih na pravac 3 x - 7g+ 14 = 0. Definirajte C iz uvjeta da željeni pravac prolazi točkom A(5, -1). Poznato je da ako pravac prolazi kroz točku, tada koordinate te točke moraju zadovoljiti jednadžbu pravca. Zamjenom u posljednjoj jednadžbi 5 umjesto x i -1 umjesto toga g, dobivamo

Ova vrijednost C Zamijenite posljednju jednadžbu i dobijete

7x + 3g - 32 = 0.

Isti problem rješavamo na drugačiji način, koristeći jednadžbu olovke linija

g - g 1 = k(x - x 1).

Nagib ove ravne linije 3 x - 7g + 14 = 0

zatim nagib linije okomite na nju,

Zamjenom u jednadžbu olovke linija , i umjesto x 1 i g 1 koordinate zadane točke A(5, -1), pronađi ili 3 g + 3 = -7x+ 35 i na kraju 7 x + 3g- 32 = 0, tj. isto kao i prije.

Jednadžbe obline ima u izobiljučitajući ekonomsku literaturu.. Istaknimo neke od tih krivulja.

krivulja indiferencije - krivulja koja prikazuje različite kombinacije dva proizvoda koji imaju istu potrošačku vrijednost, odnosno korisnost za potrošača.

Krivulja potrošačkog proračuna je krivulja koja prikazuje različite kombinacije količina dvaju dobara koje potrošač može kupiti pri danoj razini svog novčanog dohotka.

Krivulja proizvodnih mogućnosti - krivulja koja prikazuje različite kombinacije dviju roba ili usluga koje se mogu proizvesti uz punu zaposlenost i punu proizvodnju u gospodarstvu sa stalnim zalihama resursa i nepromijenjenom tehnologijom.

Krivulja investicijske potražnje - krivulja koja prikazuje dinamiku kamatne stope i obujam ulaganja po različitim kamatnim stopama.

Phillipsova krivulja- krivulja koja pokazuje postojanje stabilnog odnosa između stope nezaposlenosti i stope inflacije.

Lafferova krivulja- krivulja koja prikazuje odnos između poreznih stopa i poreznih prihoda, otkrivajući takvu poreznu stopu pri kojoj porezni prihodi dostižu maksimum.

Čak i jednostavno nabrajanje pojmova pokazuje koliko je za ekonomiste važno znati graditi grafikone i analizirati jednadžbe krivulja, a to su ravne linije i krivulje drugog reda - krug, elipsa, hiperbola, parabola. Osim toga, kada se rješava velika klasa problema, potrebno je odabrati područje na ravnini omeđeno nekim krivuljama čije su jednadžbe zadane. Najčešće se ti problemi formuliraju na sljedeći način: pronaći najbolji plan proizvodnje za zadane resurse. Dodjela resursa obično ima oblik nejednakosti čije su jednadžbe dane. Stoga treba tražiti najveće ili najmanje vrijednosti koje uzima neka funkcija u području određenom jednadžbama sustava nejednakosti.

U analitičkoj geometriji linija na ravnini je definiran kao skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu F(x,y)=0. U tom slučaju se moraju nametnuti ograničenja na funkciju F tako da, s jedne strane, ova jednadžba ima beskonačan skup rješenja, a s druge strane, tako da taj skup rješenja ne ispunjava „komad ravnine ”. Važna klasa linija su one za koje je funkcija F(x,y) polinom u dvije varijable, u kojem slučaju se linija definirana jednadžbom F(x,y)=0 naziva algebarski. Algebarske linije dane jednadžbom prvog stupnja su ravne linije. Jednadžba drugog stupnja, koja ima beskonačan broj rješenja, definira elipsu, hiperbolu, parabolu ili liniju koja se dijeli na dvije ravne crte.

Neka je na ravnini zadan pravokutni Kartezijev koordinatni sustav. Pravac na ravnini može se dati jednom od jednadžbi:

10. Opća jednadžba pravca

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(A,V) je ortogonalna na ravnu crtu, brojevi A i B nisu istovremeno jednaki nuli.

20 . Jednadžba linije s nagibom

y - y o = k (x - x o), (2.2)

gdje je k nagib ravne linije, tj. k = tg a , gdje je a - vrijednost kuta koji pravac tvori s osi Ox, M (x o , y o) - neka točka koja pripada pravoj liniji.

Jednadžba (2.2) ima oblik y = kx + b ako je M (0, b) točka presjeka pravca s osi Oy.

trideset . Jednadžba pravca u segmentima

x/a + y/b = 1, (2.3)

gdje su a i b vrijednosti segmenata odsječenih ravnom linijom na koordinatnim osima.

40 . Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke je A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2):

. (2.4)

50 . Jednadžba pravca koji prolazi kroz danu točku A(x 1 , y 1) paralelno sa danim vektorom a(m, n)

. (2.5)

60 . Normalna jednadžba pravca

rn o - p = 0, (2.6)

Gdje r je polumjer proizvoljne točke M(x, y) ove linije, n o je jedinični vektor okomit na ovaj pravac i usmjeren iz ishodišta na pravac; p udaljenost od ishodišta do pravca.

Normala u koordinatnom obliku ima oblik:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

gdje - vrijednost kuta kojeg čini ravna linija s osi x.

Jednadžba niza linija sa središtem u točki A (x 1, y 1) ima oblik:

y-y 1 = l (x-x 1),

gdje l je parametar grede. Ako je greda dana dvjema pravcima koji se sijeku A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, tada njena jednadžba ima oblik:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

gdje su l i m su parametri snopa koji se ne okreću na 0 u isto vrijeme.

Kut između linija y \u003d kx + b i y \u003d k 1 x + b 1 dan je formulom:

tg j = .

Jednakost 1 + k 1 k = 0 nužan je i dovoljan uvjet da su pravci okomiti.

Da napravimo dvije jednadžbe

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

postaviti istu ravnu liniju, potrebno je i dovoljno da su im koeficijenti proporcionalni:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Jednadžbe (2.7), (2.8) definiraju dva različita paralelna pravca ako je A 1 /A 2 = B 1 /B 2 i B 1 /B 2¹ C1/C2; pravci se sijeku ako je A 1 /A 2¹B1/B2.

Udaljenost d od točke M o (x o, y o) do pravca je duljina okomice povučene iz točke M o na pravac. Ako je pravac dan normalnom jednadžbom, tada je d =ê r O n o - r ê , Gdje r o je radijus vektor točke M o ili, u koordinatnom obliku, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Opća jednadžba krivulje drugog reda ima oblik

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Pretpostavlja se da među koeficijentima jednadžbe a 11 , a 12 , a 22 ima različitih od nule.

Jednadžba kružnice sa središtem u točki C(a, b) polumjera jednakog R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Elipsanaziva se geometrijsko mjesto točaka čiji je zbroj udaljenosti od dvije zadane točke F 1 i F 2 (žarišta) konstantna vrijednost jednaka 2a.

Kanonska (najjednostavnija) jednadžba elipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elipsa dana jednadžbom (2.10) je simetrična u odnosu na koordinatne osi. Mogućnosti a I b nazvao osovinske osovine elipsa.

Neka je a>b, tada su fokusi F 1 i F 2 udaljeni na osi Ox
c= od ishodišta. Omjer c/a = e < 1 называется ekscentričnost elipsa. Udaljenosti od točke M(x, y) elipse do njezinih žarišta (fokalni radijus vektori) određuju se formulama:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Ako a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Ako je a = b, tada je elipsa krug sa središtem u ishodištu polumjera a.

Hiperbolanaziva se geometrijsko mjesto točaka čija je razlika udaljenosti od dviju zadanih točaka F 1 i F 2 (žarišta) po apsolutnoj vrijednosti jednaka zadanom broju 2a.

Kanonska jednadžba hiperbole

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hiperbola dana jednadžbom (2.11) je simetrična u odnosu na koordinatne osi. Ona siječe os Ox u točkama A (a,0) i A (-a,0) - vrhovima hiperbole i ne siječe os Oy. Parametar a nazvao prava poluos, b -imaginarna os. Parametar c= je udaljenost od fokusa do ishodišta. Omjer c/a = e >1 se zove ekscentričnost hiperbola. Pravci čije su jednadžbe y =± b/a x nazivaju se asimptote hiperbola. Udaljenosti od točke M(x,y) hiperbole do njezinih žarišta (fokalni radijus vektori) određuju se formulama:

r 1 = ê e x-a ê, r 2 = ê e x + a ê.

Hiperbola s a = b naziva se jednakostraničan, njegova jednadžba x 2 - y 2 \u003d a 2 i jednadžba asimptota y \u003d± x. Hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 nazivaju se konjugiran.

parabolaje geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od dane točke (fokusa) i danog pravca (direktrise).

Kanonska jednadžba parabole ima dva oblika:

1) y 2 \u003d 2px - parabola je simetrična u odnosu na os Ox.

2) x 2 \u003d 2py - parabola je simetrična oko osi Oy.

U oba slučaja je p>0 i vrh parabole, odnosno točka koja leži na osi simetrije, nalazi se u ishodištu.

Parabola čija jednadžba y 2 = 2rx ima fokus F(r/2,0) i direktrisu x = - r/2, žarišni radijus vektor točke M(x, y) na njoj r = x+ r/2.

Parabola čija jednadžba x 2 =2py ima fokus F(0, p/2) i direktrisu y = - p/2; žarišni radijus vektor točke M(x, y) parabole je r = y + p/2.

Jednadžba F(x, y) = 0 definira liniju koja dijeli ravninu na dva ili više dijelova. U jednom od ovih dijelova nejednakost F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Drugim riječima linija
F(x, y)=0 odvaja dio ravnine gdje je F(x, y)>0 od dijela ravnine gdje je F(x, y)<0.

Pravac, čija je jednadžba Ax+By+C = 0, dijeli ravninu na dvije poluravnine. U praksi, da bismo saznali u kojoj poluravnini imamo Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, primijenite metodu prijelomne točke. Da biste to učinili, uzmite kontrolnu točku (naravno, koja ne leži na ravnoj liniji, čija je jednadžba Ax + By + C = 0) i provjerite koji znak ima izraz Ax + By + C u ovoj točki. Isti znak ima naznačeni izraz u cijeloj poluravnini u kojoj se nalazi kontrolna točka. U drugoj poluravnini Ax+By+C ima suprotan predznak.

Nelinearne nejednadžbe s dvije nepoznanice rješavaju se na isti način.

Na primjer, riješimo nejednadžbu x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Može se prepisati kao (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Jednadžba (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definira kružnicu sa središtem u točki C(2,-3) i polumjerom 5. Kružnica dijeli ravninu na dva dijela - unutarnji i vanjski. Da bismo saznali u kojem od njih postoji ova nejednakost, uzmemo kontrolnu točku u unutarnjem području, na primjer, središte C(2,-3) naše kružnice. Zamjenom koordinata točke C u lijevu stranu nejednadžbe dobivamo negativan broj -25. Dakle, u svim točkama koje leže unutar kruga, nejednakost
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Primjer 1.5.Sastavite jednadžbe pravaca koji prolaze kroz točku A(3,1) i nagnuti su prema pravcu 2x+3y-1 = 0 pod kutom od 45 o .

Riješenje.Tražit ćemo u obliku y=kx+b. Kako pravac prolazi točkom A, njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca, tj. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Kut između pravaca
y= k 1 x+b 1 i y= kx+b definirana je formulom tg j = . Budući da je nagib k 1 izvorne linije 2x+3y-1=0 - 2/3, a kut j = 45 o , tada imamo jednadžbu za određivanje k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 ili (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Imamo dvije vrijednosti k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Pronalaženjem odgovarajućih vrijednosti b formulom b=1-3k, dobivamo dvije željene linije, čije su jednadžbe: x - 5y + 2 = 0 i
5x + y - 16 = 0.

Primjer 1.6. Pri kojoj vrijednosti parametra t pravci čije su jednadžbe 3tx-8y+1 = 0 i (1+t)x-2ty = 0 paralelne?

Riješenje.Ravne linije zadane općim jednadžbama su paralelne ako su koeficijenti pri x I g proporcionalno, tj. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Rješavajući dobivenu jednadžbu, nalazimo t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Primjer 1.7. Nađite jednadžbu zajedničke tetive dviju kružnica:
x 2 +y 2 =10 i x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Riješenje.Pronađite točke sjecišta krugova, za to rješavamo sustav jednadžbi:

.

Rješavanjem prve jednadžbe nalazimo vrijednosti x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Iz druge jednadžbe - odgovarajuće vrijednosti g: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Sada dobivamo jednadžbu zajedničke tetive, znajući dvije točke A (3,1) i B (1,3) koje pripadaju ovoj liniji: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), ili y+ x - 4 = 0.

Primjer 1.8. Kako se na ravnini nalaze točke čije koordinate zadovoljavaju uvjete (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Riješenje.Prva nejednadžba sustava definira unutrašnjost kruga, ne uključujući granicu, tj. kružnica sa središtem u točki (3,3) i polumjerom . Druga nejednadžba definira poluravninu definiranu ravnom crtom čija je jednadžba x = y, a budući da je nejednakost stroga, točke same ravnine ne pripadaju poluravnini, a sve točke ispod te ravnine pravac pripadaju poluravnini. Budući da tražimo točke koje zadovoljavaju obje nejednakosti, tada je željeno područje unutrašnjost polukruga.

Primjer 1.9.Izračunajte duljinu stranice kvadrata upisanog u elipsu čija je jednadžba x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Riješenje.Neka M(s, s)- vrh kvadrata, koji leži u prvoj četvrtini. Tada će stranica kvadrata biti 2 S. Jer točka M pripada elipsi, njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu elipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, odakle
c = ab/; pa je stranica kvadrata 2ab/ .

Primjer 1.10.Poznavajući jednadžbu asimptota hiperbole y =± 0,5 x i jednu njegovu točku M (12, 3), nacrtajte jednadžbu hiperbole.

Riješenje.Zapisujemo kanonsku jednadžbu hiperbole: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimptote hiperbole dane su jednadžbama y =± 0,5 x, pa je b/a = 1/2, dakle a=2b. Jer M- točka hiperbole, tada njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu hiperbole, tj. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. S obzirom da je a = 2b, nalazimo b: b 2 =9Þ b=3 i a=6. Tada je jednadžba hiperbole x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Primjer 1.11.Izračunaj duljinu stranice pravilnog trokuta ABC upisanog u parabolu s parametrom R, uz pretpostavku da se točka A poklapa s vrhom parabole.

Riješenje.Kanonska jednadžba parabole s parametrom R ima oblik y 2 = 2rx, vrh joj se poklapa s ishodištem, a parabola je simetrična oko x-osi. Kako pravac AB s osi Ox zatvara kut od 30 o, jednadžba pravca glasi: y = x. puno grafikona

Dakle, koordinate točke B možemo pronaći rješavanjem sustava jednadžbi y 2 =2px, y = x, odakle je x = 6p, y = 2p. Dakle, udaljenost između točaka A(0,0) i B(6p,2p) je 4p.

Pravac koji prolazi točkom K(x 0; y 0) i paralelan je s pravcem y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Gdje je k nagib ravne linije.

Alternativna formula:
Pravac koji prolazi kroz točku M 1 (x 1 ; y 1) i paralelan je s pravcem Ax+By+C=0 predstavljen je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Primjer #1. Sastavite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku M 0 (-2,1) i istovremeno:
a) paralelna s pravcem 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na liniju 2x+3y -7 = 0.
Riješenje . Predstavimo jednadžbu nagiba kao y = kx + a . Da bismo to učinili, prenijet ćemo sve vrijednosti osim y na desnu stranu: 3y = -2x + 7 . Zatim desnu stranu podijelimo s koeficijentom 3 . Dobivamo: y = -2/3x + 7/3
Nađite jednadžbu NK koja prolazi točkom K(-2;1) paralelno s pravom y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 dobivamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0

Primjer #2. Napišite jednadžbu pravca paralelnog s pravcem 2x + 5y = 0 koji zajedno s koordinatnim osima tvori trokut čija je površina 5.
Riješenje . Budući da su linije paralelne, jednadžba željene linije je 2x + 5y + C = 0. Površina pravokutnog trokuta, gdje su a i b njegove noge. Pronađite točke sjecišta željene linije s koordinatnim osima:
;
.
Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamijenite u formuli površinu: . Dobivamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y - 10 = 0 .

Primjer #3. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku (-2; 5) i paralelnog pravca 5x-7y-4=0 .
Riješenje. Ova ravna crta može se prikazati jednadžbom y = 5/7 x – 4/7 (ovdje a = 5/7). Jednadžba željenog pravca je y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer #4. Rješavajući primjer 3 (A=5, B=-7) pomoću formule (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Primjer broj 5. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom (-2;5) i paralelnog pravca 7x+10=0.
Riješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primjenjiva jer se ova jednadžba ne može riješiti s obzirom na y (ova ravna linija je paralelna s osi y).