Decimale breuken. Hoe decimalen op te lossen Wat is een "breuk"

Van de vele breuken die in de rekenkunde voorkomen, verdienen de breuken met 10, 100, 1000 in de noemer (in het algemeen elke macht van tien) speciale aandacht. Deze breuken hebben een speciale naam en notatie.

Een decimaal is een breuk waarvan de noemer een macht van tien is.

Voorbeelden van decimale breuken:

Waarom was het überhaupt nodig om dergelijke fracties te scheiden? Waarom hebben ze hun eigen opnameformulier nodig? Daar zijn minstens drie redenen voor:

1. Decimalen zijn veel gemakkelijker te vergelijken. Onthoud: om gewone breuken te vergelijken, moet je ze van elkaar aftrekken en vooral de breuken terugbrengen tot een gemeenschappelijke noemer. In decimalen is zoiets niet vereist;
2. Verminder berekeningen. Decimalen worden opgeteld en vermenigvuldigd volgens hun eigen regels, en met een beetje oefening kun je er veel sneller mee werken dan met gewone breuken;
3. Gemak van opnemen. In tegenstelling tot gewone breuken worden decimalen op één regel geschreven zonder verlies van duidelijkheid.

De meeste rekenmachines geven antwoorden ook in decimalen. In sommige gevallen kan een ander opnameformaat problemen veroorzaken. Wat als u bijvoorbeeld in de winkel om wisselgeld vraagt ​​voor een bedrag van 2/3 roebel :)

Regels voor het schrijven van decimale breuken

Het belangrijkste voordeel van decimale breuken is een handige en visuele notatie. Namelijk:

Decimale notatie is een vorm van het schrijven van decimale breuken waarbij het gehele deel door een regelmatige punt of komma van het breukdeel wordt gescheiden. In dit geval wordt het scheidingsteken zelf (punt of komma) een decimaalpunt genoemd.

Bijvoorbeeld 0,3 (lees: “nulwijzers, 3 tienden”); 7,25 (7 hele, 25 honderdste); 3.049 (3 hele, 49 duizendste). Alle voorbeelden zijn ontleend aan de vorige definitie.

Bij het schrijven wordt meestal een komma als decimaalteken gebruikt. Hier en elders op de site wordt ook de komma gebruikt.

Om een ​​willekeurige decimale breuk in deze vorm te schrijven, moet je drie eenvoudige stappen volgen:

1. Schrijf de teller apart op;
2. Verschuif de komma zoveel plaatsen naar links als er nullen in de noemer staan. Stel dat de komma aanvankelijk rechts van alle cijfers staat;
3. Als de komma is verplaatst en er daarna nullen aan het einde van de invoer staan, moeten deze worden doorgestreept.

Het komt voor dat de teller in de tweede stap niet genoeg cijfers heeft om de verschuiving te voltooien. In dit geval worden de ontbrekende posities gevuld met nullen. En over het algemeen kunt u links van elk getal een willekeurig aantal nullen toekennen zonder uw gezondheid te schaden. Het is lelijk, maar soms nuttig.

Op het eerste gezicht lijkt dit algoritme behoorlijk ingewikkeld. In feite is alles heel, heel eenvoudig - je hoeft alleen maar een beetje te oefenen. Bekijk de voorbeelden:

Taak. Geef voor elke breuk de decimale notatie aan:

De teller van de eerste breuk is: 73. We verschuiven de komma één plaats (aangezien de noemer 10 is) - we krijgen 7,3.

Teller van de tweede breuk: 9. We verschuiven de komma met twee plaatsen (aangezien de noemer 100 is) - we krijgen 0,09. Ik moest een nul achter de komma toevoegen en nog een ervoor, om geen vreemde invoer als “.09” achter te laten.

De teller van de derde breuk is: 10029. We verschuiven de komma met drie plaatsen (aangezien de noemer 1000 is) - we krijgen 10,029.

De teller van de laatste breuk: 10500. Opnieuw verschuiven we het punt met drie cijfers - we krijgen 10.500. Er staan ​​extra nullen aan het einde van het nummer. Streep ze door en we krijgen 10,5.

Let op de laatste twee voorbeelden: de getallen 10.029 en 10.5. Volgens de regels moeten de nullen aan de rechterkant worden doorgestreept, zoals in het laatste voorbeeld is gedaan. U moet dit echter nooit doen met nullen binnen een getal (dat omgeven is door andere getallen). Daarom hebben we 10,029 en 10,5, en niet 1,29 en 1,5.

Dus we hebben de definitie en vorm van het schrijven van decimale breuken ontdekt. Laten we nu eens kijken hoe we gewone breuken naar decimalen kunnen converteren - en omgekeerd.

Conversie van breuken naar decimalen

Beschouw een eenvoudige numerieke breuk van de vorm a /b. Je kunt de basiseigenschap van een breuk gebruiken en de teller en de noemer met zo'n getal vermenigvuldigen dat de bodem een ​​macht van tien blijkt te zijn. Maar voordat je dat doet, lees het volgende:

Er zijn noemers die niet tot machten van tien kunnen worden herleid. Leer dergelijke breuken herkennen, omdat je er niet mee kunt werken met het hieronder beschreven algoritme.

Dat is het. Hoe begrijp je of de noemer wordt gereduceerd tot een macht van tien of niet?

Het antwoord is simpel: factoreer de noemer in priemfactoren. Als de uitbreiding alleen de factoren 2 en 5 bevat, kan dit getal worden teruggebracht tot een macht van tien. Als er andere getallen zijn (3, 7, 11 - wat dan ook), kun je de macht van tien vergeten.

Taak. Controleer of de aangegeven breuken als decimalen kunnen worden weergegeven:

Laten we de noemers van deze breuken opschrijven en ontbinden:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - alleen de cijfers 2 en 5 zijn aanwezig. Daarom kan de breuk als decimaal worden weergegeven.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - er is een "verboden" factor 3. De breuk kan niet als decimaal worden weergegeven.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Alles is in orde: er is niets behalve de cijfers 2 en 5. Een breuk kan worden weergegeven als een decimaal getal.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. De factor 3 “dook weer op” en kan niet als een decimale breuk worden weergegeven.

We hebben dus de noemer uitgezocht - laten we nu eens kijken naar het hele algoritme voor het overgaan naar decimale breuken:

1. Ontbind de noemer van de oorspronkelijke breuk in factoren en zorg ervoor dat deze doorgaans als decimaal kan worden weergegeven. Die. controleer of alleen de factoren 2 en 5 aanwezig zijn in de uitbreiding, anders werkt het algoritme niet;
2. Tel hoeveel tweeën en vijven er in de uitbreiding aanwezig zijn (er zullen daar geen andere getallen zijn, weet je nog?). Kies een extra factor zodat het aantal tweeën en vijven gelijk is.
3. Vermenigvuldig feitelijk de teller en de noemer van de oorspronkelijke breuk met deze factor - we krijgen de gewenste representatie, d.w.z. de noemer is een macht van tien.

Uiteraard wordt de aanvullende factor ook alleen in tweeën en vijfen ontleed. Tegelijkertijd moet u, om uw leven niet ingewikkelder te maken, de kleinst mogelijke vermenigvuldiger kiezen.

En nog één ding: als de oorspronkelijke breuk een geheel getal bevat, zorg er dan voor dat u deze breuk omzet in een onechte breuk - en pas dan pas het beschreven algoritme toe.

Taak. Converteer deze numerieke breuken naar decimalen:

Laten we de noemer van de eerste breuk ontbinden in factoren: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Daarom kan de breuk als decimaal worden weergegeven. De uitbreiding bevat twee tweeën en niet één vijf, dus de extra factor is 5 2 = 25. Hiermee is het aantal tweeën en vijfen gelijk. We hebben:

Laten we nu naar de tweede breuk kijken. Houd er rekening mee dat 24 = 3 8 = 3 2 3 - er zit een triple in de uitbreiding, dus de breuk kan niet als decimaal worden weergegeven.

De laatste twee breuken hebben respectievelijk de noemers 5 (priemgetal) en 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - overal zijn alleen tweeën en vijfen aanwezig. Bovendien is in het eerste geval "voor volledig geluk" een factor 2 niet genoeg, en in het tweede geval - 5. We krijgen:

Conversie van decimalen naar gewone breuken

De omgekeerde conversie – van decimale naar reguliere notatie – is veel eenvoudiger. Er zijn hier geen beperkingen of speciale controles, dus u kunt een decimale breuk altijd omzetten naar de klassieke breuk van twee verdiepingen.

Het vertaalalgoritme is als volgt:

1. Schrap alle nullen aan de linkerkant van de komma, evenals de komma. Dit is de teller van de gewenste breuk. Het belangrijkste is om het niet te overdrijven en de binnenste nullen omringd door andere cijfers niet door te strepen;
2. Tel hoeveel decimalen er achter de komma staan. Neem het cijfer 1 en voeg rechts zoveel nullen toe als er tekens zijn die u telt. Dit zal de noemer zijn;
3. Schrijf in feite de breuk op waarvan we zojuist de teller en de noemer hebben gevonden. Indien mogelijk, verminder het. Als de oorspronkelijke breuk een geheel getal bevatte, krijgen we nu een onechte breuk, wat erg handig is voor verdere berekeningen.

Taak. Converteer decimale breuken naar gewone breuken: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Schrap de nullen aan de linkerkant en de komma's - we krijgen de volgende cijfers (dit zijn de tellers): 8; 3107; 225; 72008.

In de eerste en tweede breuken zijn er 3 decimalen, in de tweede - 2 en in de derde - maar liefst 4 decimalen. We krijgen de noemers: 1000; 1000; 100; 10000.

Laten we ten slotte de tellers en noemers combineren tot gewone breuken:

Zoals uit de voorbeelden blijkt, kan de resulterende fractie zeer vaak worden verminderd. Ik wil nogmaals opmerken dat elke decimale breuk kan worden weergegeven als een gewone breuk. De omgekeerde conversie is mogelijk niet altijd mogelijk.

Met de online breukcalculator kunt u eenvoudige rekenkundige bewerkingen met breuken uitvoeren: breuken optellen, breuken aftrekken, breuken vermenigvuldigen, breuken delen. Om berekeningen uit te voeren, vult u de velden in die overeenkomen met de tellers en noemers van de twee breuken.

Breuken in de wiskunde is een getal dat een deel van een eenheid of meerdere delen daarvan vertegenwoordigt.

Een gewone breuk wordt geschreven als twee getallen, meestal gescheiden door een horizontale lijn die het deelteken aangeeft. Het getal boven de lijn wordt de teller genoemd. Het getal onder de lijn wordt de noemer genoemd. De noemer van een breuk geeft het aantal gelijke delen weer waarin het geheel is verdeeld, en de teller van de breuk geeft het aantal van deze delen van het geheel weer.

Breuken kunnen regelmatig of oneigenlijk zijn.

• Een breuk waarvan de teller kleiner is dan de noemer, wordt een echte breuk genoemd.
• Er is sprake van een onechte breuk als de teller van een breuk groter is dan de noemer.

Een gemengde breuk is een breuk die wordt geschreven als een geheel getal en een echte breuk, en wordt opgevat als de som van dit getal en het gebroken deel. Dienovereenkomstig wordt een breuk die geen geheel getal heeft, een eenvoudige breuk genoemd. Elke gemengde breuk kan worden omgezet in een onechte breuk.

Om een ​​gemengde breuk om te zetten in een gewone breuk, moet je het product van het hele deel en de noemer optellen bij de teller van de breuk:

Hoe een gewone breuk naar een gemengde breuk te converteren

Om een ​​gewone breuk om te zetten in een gemengde breuk, moet u:

1. Deel de teller van een breuk door de noemer
2. Het resultaat van de deling zal het hele deel zijn
3. Het saldo van de afdeling zal de teller zijn

Hoe een breuk naar een decimaal getal te converteren

Om een ​​breuk om te zetten in een decimaal getal, moet je de teller delen door de noemer.

Om een ​​decimale breuk om te zetten in een gewone breuk, moet je:

Hoe een breuk naar een percentage te converteren

Om een ​​gewone of gemengde breuk om te zetten in een percentage, moet je deze omzetten naar een decimale breuk en vermenigvuldigen met 100.

Hoe percentages naar breuken te converteren

Om percentages in breuken om te zetten, moet je uit het percentage een decimale breuk halen (delen door 100) en de resulterende decimale breuk vervolgens omzetten in een gewone breuk.

Breuken toevoegen

Het algoritme voor het optellen van twee breuken is als volgt:

1. Voer het optellen van breuken uit door hun tellers toe te voegen.

Breuken aftrekken

Algoritme voor het aftrekken van twee breuken:

1. Converteer gemengde breuken naar gewone breuken (laat het hele deel weg).
2. Herleid breuken tot een gemeenschappelijke noemer. Om dit te doen, moet je de teller en de noemer van de eerste breuk vermenigvuldigen met de noemer van de tweede breuk, en de teller en de noemer van de tweede breuk vermenigvuldigen met de noemer van de eerste breuk.
3. Trek de ene breuk van de andere af door de teller van de tweede breuk af te trekken van de teller van de eerste.
4. Zoek de grootste gemene deler (GGD) van de teller en de noemer en verklein de breuk door de teller en de noemer te delen door GCD.
5. Als de teller van de laatste breuk groter is dan de noemer, selecteer dan het hele deel.

Breuken vermenigvuldigen

Algoritme voor het vermenigvuldigen van twee breuken:

1. Converteer gemengde breuken naar gewone breuken (laat het hele deel weg).
2. Zoek de grootste gemene deler (GGD) van de teller en de noemer en verklein de breuk door de teller en de noemer te delen door GCD.
3. Als de teller van de laatste breuk groter is dan de noemer, selecteer dan het hele deel.

Deling van breuken

Algoritme voor het delen van twee breuken:

1. Converteer gemengde breuken naar gewone breuken (laat het hele deel weg).
2. Om breuken te delen, moet je de tweede breuk transformeren door de teller en de noemer om te wisselen, en vervolgens de breuken vermenigvuldigen.
3. Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede.
4. Zoek de grootste gemene deler (GGD) van de teller en de noemer en verklein de breuk door de teller en de noemer te delen door GCD.
5. Als de teller van de laatste breuk groter is dan de noemer, selecteer dan het hele deel.

Online rekenmachines en converters:

Het verdelen van decimalen in een kolom is iets moeilijker dan het delen van hele getallen vanwege de drijvende komma, en de noodzaak om de rest te verdelen maakt de taak nog moeilijker. Als u dit proces wilt vereenvoudigen of uw resultaat wilt controleren, kunt u daarom een ​​online rekenmachine gebruiken die niet alleen het antwoord weergeeft, maar ook de hele oplossingsprocedure.

Er zijn een groot aantal online diensten die hiervoor geschikt zijn, maar ze verschillen vrijwel allemaal weinig van elkaar. Vandaag hebben we twee verschillende berekeningsopties voor u voorbereid en na het lezen van de instructies kiest u degene die het meest geschikt is.

Methode 1: OnlineMSchool

De OnlineMSchool-website is ontworpen voor het leren van wiskunde. Nu bevat het niet alleen veel nuttige informatie, lessen en taken, maar ook ingebouwde rekenmachines, waarvan we er vandaag één zullen gebruiken. De indeling in een kolom met decimale breuken gebeurt als volgt:

1. Open de hoofdpagina van de OnlineMSchool-website en ga naar de sectie "Rekenmachines".



2. Hieronder vindt u diensten voor getaltheorie. Selecteer daar "Kolomverdeling" of "Kolomverdeling met rest".



3. Let allereerst op de gebruiksaanwijzingen op het overeenkomstige tabblad. Wij raden u aan om er vertrouwd mee te raken.



4. Ga nu terug naar "Rekenmachine". Hier moet u nogmaals controleren of u de juiste bewerking heeft geselecteerd. Als dit niet het geval is, wijzigt u dit via het pop-upmenu.



5. Voer twee cijfers in, gebruik een punt om het hele deel van de breuk aan te geven, en vink ook het vakje aan als u de rest moet delen.



6. Om de oplossing te verkrijgen, klikt u met de linkermuisknop op het gelijkteken.



7. U krijgt een antwoord waarin elke stap voor het verkrijgen van het definitieve nummer wordt beschreven. Maak uzelf ermee vertrouwd en u kunt doorgaan met de volgende berekeningen.

Bestudeer zorgvuldig de probleemstelling voordat u de rest verdeelt. Vaak is dit niet nodig, anders kan het antwoord als onjuist worden beschouwd.

In slechts zeven eenvoudige stappen konden we decimalen splitsen met behulp van een klein hulpmiddel op OnlineMSchool.

Methode 2: Rytex

De online service Rytex helpt ook bij het leren van wiskunde door voorbeelden en theorie te bieden. Vandaag zijn we echter geïnteresseerd in de daarin aanwezige rekenmachine, waarvan de overgang naar het werken als volgt wordt uitgevoerd:

Zoals u kunt zien, verschillen de diensten die we hebben beoordeeld praktisch niet van elkaar, behalve misschien alleen qua uiterlijk. Daarom kunnen we concluderen dat het geen verschil maakt welke webbron u gebruikt; alle rekenmachines berekenen correct en geven een gedetailleerd antwoord volgens uw voorbeeld.

Deling door een decimale breuk wordt gereduceerd tot deling door een natuurlijk getal.

De regel voor het delen van een getal door een decimale breuk

Als u een getal door een decimale breuk wilt delen, moet u de komma in zowel het deeltal als de deler met evenveel cijfers naar rechts verplaatsen als er in de deler na de komma staan. Deel hierna door een natuurlijk getal.

Voorbeelden.

Delen door decimale breuk:

Om door een decimaal te delen, moet u de komma in zowel het deeltal als de deler met evenveel cijfers naar rechts verplaatsen als er na de komma in de deler staan, dat wil zeggen met één cijfer. We krijgen: 35,1: 1,8 = 351: 18. Nu voeren we de deling uit met een hoek. Als resultaat krijgen we: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Om decimale breuken te delen, verplaatsen we in zowel het deeltal als de deler de komma één plaats naar rechts: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Nu voeren we een natuurlijk getal uit. Resultaat: 14,76: 3,6 = 4,1.

Om een ​​natuurlijk getal door een decimale breuk te delen, moet je zowel het deeltal als de deler net zoveel plaatsen naar rechts verplaatsen als er in de deler achter de komma staan. Omdat er in dit geval geen komma in de deler staat, vullen we het ontbrekende aantal tekens in met nullen: 70: 1,75 = 7000: 175. Verdeel de resulterende natuurlijke getallen met een hoek: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Om de ene decimale breuk door de andere te delen, verplaatsen we de komma naar rechts in zowel het deeltal als de deler met evenveel cijfers als er in de deler na de komma staan, dat wil zeggen met drie decimalen. Dus 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Deling door een decimale breuk werd vervangen door deling door een natuurlijk getal. Wij delen een hoek. We hebben: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt bij veel berekeningen, constructies en zelfs sporten. De mens gebruikte vergelijkingen in de oudheid, en sindsdien is het gebruik ervan alleen maar toegenomen. Een lineaire vergelijking met decimalen wordt op dezelfde manier opgelost als veel andere vergelijkingen, maar je moet beginnen met het oplossen ervan door de vergelijking in te korten en de decimalen weg te laten.

Stel dat we een vergelijking krijgen met de volgende vorm:

Deze vergelijking kan op twee verschillende manieren worden opgelost.

Methode nr. 1:

We beginnen de oplossing door de vergelijking te vereenvoudigen door haakjes te openen, en aangezien er een getal voor de haakjes staat, vermenigvuldigen we dit getal met elke term tussen haakjes:

Nu heeft onze vergelijking een lineaire vorm, waardoor we de overdracht van onbekenden in de ene richting uitvoeren, en gehele getallen in de andere:

\[ - 7,2x + 5,2x = 1,7 - 14,4 - 4,3\]

Deel 2 delen door het getal vóór \

\[ - 2x = - 17\]

Antwoord: \

Methode nummer 2:

Vermenigvuldig bij deze methode de linker- en rechterkant met 10:

Dit is een lineaire vergelijking die kan worden opgelost naar analogie met methode 1:

\[ - 72x + 52x = 17 - 144 - 43\]

\[ - 20x = - 170\]

Antwoord: \

Waar kan ik decimale vergelijkingen online oplossen?

U kunt de vergelijking oplossen op onze website https://site. Met de gratis online oplosser kunt u online vergelijkingen van elke complexiteit binnen enkele seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is eenvoudigweg uw gegevens in de oplosser invoeren. U kunt ook video-instructies bekijken en leren hoe u de vergelijking op onze website kunt oplossen. En als u nog vragen heeft, kunt u deze stellen in onze VKontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Sluit u aan bij onze groep, wij helpen u graag verder.