Logaritmen: voorbeelden en oplossingen. Logaritme - eigenschappen, formules, grafiek Basiseigenschappen van logaritmen

\(a^(b)=c\) \(\Pijl naar links\) \(\log_(a)(c)=b\)

Laten we het eenvoudiger uitleggen. \(\log_(2)(8)\) is bijvoorbeeld gelijk aan de macht waartoe \(2\) moet worden verheven om \(8\) te krijgen. Hieruit blijkt duidelijk dat \(\log_(2)(8)=3\).

Voorbeelden:	\(\log_(5)(25)=2\)	omdat \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	omdat \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	omdat \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument en basis van logaritme

Elke logaritme heeft de volgende “anatomie”:

Het argument van een logaritme wordt meestal op het niveau ervan geschreven, en de basis wordt in subscript geschreven, dichter bij het logaritmeteken. En dit bericht luidt als volgt: "logaritme van vijfentwintig tot grondtal vijf."

Hoe logaritme berekenen?

Om de logaritme te berekenen, moet je de vraag beantwoorden: tot welke macht moet de grondtal worden verheven om het argument te krijgen?

Bijvoorbeeld, bereken de logaritme: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Tot welke macht moet \(4\) worden verheven om \(16\) te krijgen? Uiteraard de tweede. Daarom:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Tot welke macht moet \(\sqrt(5)\) worden verheven om \(1\) te krijgen? Welke macht maakt iemand nummer één? Nul natuurlijk!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Tot welke macht moet \(\sqrt(7)\) worden verheven om \(\sqrt(7)\) te verkrijgen? Ten eerste is elk getal tot de eerste macht gelijk aan zichzelf.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Tot welke macht moet \(3\) worden verheven om \(\sqrt(3)\) te verkrijgen? We weten dat dit een fractionele macht is, wat betekent dat de vierkantswortel de macht is van \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Voorbeeld : Bereken logaritme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Oplossing :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		We moeten de waarde van de logaritme vinden, laten we deze noteren als x. Laten we nu de definitie van een logaritme gebruiken: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Pijl naar rechts\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Wat verbindt \(4\sqrt(2)\) en \(8\)? Twee, omdat beide getallen door tweeën kunnen worden weergegeven: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links gebruiken we de eigenschappen van de graad: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) en \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		De bases zijn gelijk, we gaan verder met de gelijkheid van indicatoren
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met \(\frac(2)(5)\)
		De resulterende wortel is de waarde van de logaritme

Antwoord : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Waarom werd de logaritme uitgevonden?

Om dit te begrijpen, gaan we de vergelijking oplossen: \(3^(x)=9\). Match gewoon \(x\) om de gelijkheid te laten werken. Natuurlijk, \(x=2\).

Los nu de vergelijking op: \(3^(x)=8\).Waar is x gelijk aan? Dat is het punt.

De slimsten zullen zeggen: “X is iets minder dan twee.” Hoe schrijf je dit nummer precies? Om deze vraag te beantwoorden werd de logaritme uitgevonden. Dankzij hem kan het antwoord hier worden geschreven als \(x=\log_(3)(8)\).

Ik wil benadrukken dat \(\log_(3)(8)\), zoals elke logaritme is slechts een getal. Ja, het ziet er ongebruikelijk uit, maar het is kort. Want als we het als decimaal zouden willen schrijven, zou het er als volgt uitzien: \(1.892789260714.....\)

Voorbeeld : Los de vergelijking \(4^(5x-4)=10\) op

Oplossing :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) en \(10\) kunnen niet naar dezelfde basis worden gebracht. Dit betekent dat je niet zonder logaritme kunt. Laten we de definitie van logaritme gebruiken: \(a^(b)=c\) \(\Pijl naar links\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Laten we de vergelijking omdraaien zodat X zich aan de linkerkant bevindt
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Voor ons. Laten we \(4\) naar rechts verplaatsen. En wees niet bang voor de logaritme, behandel het als een gewoon getal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Deel de vergelijking door 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Dit is onze wortel. Ja, het ziet er ongebruikelijk uit, maar ze kiezen het antwoord niet.

Antwoord : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimale en natuurlijke logaritmes

Zoals vermeld in de definitie van een logaritme, kan het grondtal ervan elk positief getal zijn, behalve één \((a>0, a\neq1)\). En van alle mogelijke basen zijn er twee die zo vaak voorkomen dat er een speciale korte notatie voor logaritmen mee is uitgevonden:

Natuurlijke logaritme: een logaritme waarvan de basis het getal \(e\) van Euler is (gelijk aan ongeveer \(2,7182818…\)), en de logaritme wordt geschreven als \(\ln(a)\).

Dat is, \(\ln(a)\) is hetzelfde als \(\log_(e)(a)\)

Decimaal logaritme: Een logaritme waarvan het grondtal 10 is, wordt geschreven als \(\lg(a)\).

Dat is, \(\lg(a)\) is hetzelfde als \(\log_(10)(a)\), waarbij \(a\) een getal is.

Fundamentele logaritmische identiteit

Logaritmen hebben veel eigenschappen. Een daarvan heet de “Basis Logaritmische Identiteit” en ziet er als volgt uit:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Deze eigenschap volgt rechtstreeks uit de definitie. Laten we eens kijken hoe deze formule precies tot stand kwam.

Laten we ons een korte notatie van de definitie van logaritme herinneren:

als \(a^(b)=c\), dan \(\log_(a)(c)=b\)

Dat wil zeggen, \(b\) is hetzelfde als \(\log_(a)(c)\). Dan kunnen we \(\log_(a)(c)\) schrijven in plaats van \(b\) in de formule \(a^(b)=c\). Het bleek \(a^(\log_(a)(c))=c\) - de belangrijkste logaritmische identiteit.

U kunt andere eigenschappen van logaritmen vinden. Met hun hulp kunt u de waarden van uitdrukkingen met logaritmen vereenvoudigen en berekenen, die moeilijk direct te berekenen zijn.

Voorbeeld : Zoek de waarde van de uitdrukking \(36^(\log_(6)(5))\)

Oplossing :

Antwoord : \(25\)

Hoe schrijf je een getal als logaritme?

Zoals hierboven vermeld, is elke logaritme slechts een getal. Het omgekeerde is ook waar: elk getal kan als logaritme worden geschreven. We weten bijvoorbeeld dat \(\log_(2)(4)\) gelijk is aan twee. Dan kun je in plaats van twee \(\log_(2)(4)\) schrijven.

Maar \(\log_(3)(9)\) is ook gelijk aan \(2\), wat betekent dat we ook \(2=\log_(3)(9)\) kunnen schrijven. Hetzelfde geldt voor \(\log_(5)(25)\), en voor \(\log_(9)(81)\), enz. Dat wil zeggen, zo blijkt

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dus als we dat nodig hebben, kunnen we twee schrijven als een logaritme met elk grondtal waar dan ook (zij het in een vergelijking, in een uitdrukking of in een ongelijkheid). We schrijven het grondtal eenvoudigweg in het kwadraat als een argument.

Hetzelfde geldt voor de triple – deze kan worden geschreven als \(\log_(2)(8)\), of als \(\log_(3)(27)\), of als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schrijven we het grondtal in de kubus als argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

En met vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

En met min één:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

En met een derde:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Elk getal \(a\) kan worden weergegeven als een logaritme met grondtal \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Voorbeeld : Zoek de betekenis van de uitdrukking \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Oplossing :

Antwoord : \(1\)

Logaritmen kunnen, net als alle andere getallen, op elke manier worden opgeteld, afgetrokken en getransformeerd. Maar aangezien logaritmen niet bepaald gewone getallen zijn, zijn er hier regels die worden genoemd belangrijkste eigenschappen.

Je moet deze regels zeker kennen - zonder hen kan geen enkel ernstig logaritmisch probleem worden opgelost. Bovendien zijn er maar heel weinig - je kunt alles op één dag leren. Dus laten we beginnen.

Logaritmen optellen en aftrekken

Beschouw twee logaritmen met dezelfde grondtallen: log A X en loggen A j. Vervolgens kunnen ze worden opgeteld en afgetrokken, en:

loggen A X+ logboek A j=logboek A (X · j);
loggen A X− logboek A j=logboek A (X : j).

De som van de logaritmen is dus gelijk aan de logaritme van het product, en het verschil is gelijk aan de logaritme van het quotiënt. Let op: het belangrijkste punt hier is identieke gronden. Als de redenen verschillend zijn, werken deze regels niet!

Met deze formules kunt u een logaritmische uitdrukking berekenen, zelfs als de afzonderlijke delen niet in aanmerking worden genomen (zie les “Wat is een logaritme”). Bekijk de voorbeelden en zie:

Stam 6 4 + stam 6 9.

Omdat logaritmen dezelfde grondtal hebben, gebruiken we de somformule:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 2 48 − log 2 3.

De bases zijn hetzelfde, we gebruiken de verschilformule:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 3 135 − log 3 5.

Opnieuw zijn de bases hetzelfde, dus we hebben:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Zoals u kunt zien, bestaan de oorspronkelijke uitdrukkingen uit ‘slechte’ logaritmen, die niet afzonderlijk worden berekend. Maar na de transformaties worden volledig normale getallen verkregen. Veel tests zijn op dit feit gebaseerd. Ja, testachtige uitdrukkingen worden in alle ernst aangeboden (soms met vrijwel geen wijzigingen) op het Unified State Examination.

De exponent uit de logaritme halen

Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken. Wat als de grondtal of het argument van een logaritme een macht is? Vervolgens kan de exponent van deze graad uit het teken van de logaritme worden gehaald volgens de volgende regels:

Het is gemakkelijk in te zien dat de laatste regel de eerste twee volgt. Maar het is toch beter om het te onthouden - in sommige gevallen zal het het aantal berekeningen aanzienlijk verminderen.

Natuurlijk zijn al deze regels logisch als de ODZ van de logaritme in acht wordt genomen: A > 0, A ≠ 1, X> 0. En nog één ding: leer alle formules niet alleen van links naar rechts toe te passen, maar ook andersom, d.w.z. U kunt de getallen vóór het logaritmeteken in de logaritme zelf invoeren. Dit is wat het vaakst nodig is.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 7 49 6 .

Laten we de graad in het argument verwijderen met behulp van de eerste formule:
logboek 7 49 6 = 6 logboek 7 49 = 6 2 = 12

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukking:
[Onderschrift voor de foto]

Merk op dat de noemer een logaritme bevat, waarvan de basis en het argument exacte machten zijn: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. We hebben:

[Onderschrift voor de foto]

Ik denk dat het laatste voorbeeld enige verduidelijking behoeft. Waar zijn logaritmes gebleven? Tot het allerlaatste moment werken we alleen met de noemer. We presenteerden de basis en het argument van de logaritme die daar stond in de vorm van machten en haalden de exponenten eruit - we kregen een breuk van "drie verdiepingen".

Laten we nu naar de hoofdbreuk kijken. De teller en de noemer bevatten hetzelfde getal: log 2 7. Omdat log 2 7 ≠ 0 kunnen we de breuk verkleinen - 2/4 blijft in de noemer. Volgens de rekenregels kunnen de vier worden overgedragen naar de teller, en dat is ook gebeurd. Het resultaat was het antwoord: 2.

Overgang naar een nieuwe stichting

Sprekend over de regels voor het optellen en aftrekken van logaritmen, heb ik specifiek benadrukt dat ze alleen met dezelfde grondtallen werken. Wat als de redenen verschillend zijn? Wat als het geen exacte machten van hetzelfde getal zijn?

Formules voor de overgang naar een nieuwe stichting komen te hulp. Laten we ze formuleren in de vorm van een stelling:

Laat het logaritmelogboek worden gegeven A X. Dan voor welk nummer dan ook C zoals dat C> 0 en C≠ 1, de gelijkheid is waar:
[Onderschrift voor de foto]
In het bijzonder, als we zetten C = X, we krijgen:
[Onderschrift voor de foto]

Uit de tweede formule volgt dat de basis en het argument van de logaritme kunnen worden verwisseld, maar in dit geval wordt de hele uitdrukking “omgedraaid”, d.w.z. de logaritme verschijnt in de noemer.

Deze formules worden zelden aangetroffen in gewone numerieke uitdrukkingen. Het is alleen mogelijk om te evalueren hoe handig ze zijn bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.

Er zijn echter problemen die helemaal niet kunnen worden opgelost, behalve door naar een nieuwe stichting te verhuizen. Laten we er een paar bekijken:

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 5 16 log 2 25.

Merk op dat de argumenten van beide logaritmen exacte machten bevatten. Laten we de indicatoren eruit halen: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; logboek 2 25 = logboek 2 5 2 = 2 logboek 2 5;

Laten we nu de tweede logaritme “omkeren”:

[Onderschrift voor de foto]

Omdat het product niet verandert bij het herschikken van factoren, hebben we rustig vier en twee vermenigvuldigd en vervolgens met logaritmen gewerkt.

Taak. Zoek de waarde van de uitdrukking: log 9 100 lg 3.

De basis en het argument van de eerste logaritme zijn exacte machten. Laten we dit opschrijven en de indicatoren verwijderen:

[Onderschrift voor de foto]

Laten we nu de decimale logaritme verwijderen door naar een nieuwe basis te gaan:

[Onderschrift voor de foto]

Fundamentele logaritmische identiteit

Vaak is het tijdens het oplossingsproces nodig om een getal weer te geven als een logaritme met een gegeven grondtal. In dit geval zullen de volgende formules ons helpen:

In het eerste geval het nummer N wordt een indicator van de mate waarin het argument staat. Nummer N kan absoluut alles zijn, omdat het slechts een logaritmewaarde is.

De tweede formule is eigenlijk een geparafraseerde definitie. Zo wordt het genoemd: de fundamentele logaritmische identiteit.

Wat zal er eigenlijk gebeuren als het nummer B verheffen tot een zodanige macht dat het getal B aan deze macht geeft het getal A? Dat klopt: u krijgt hetzelfde nummer A. Lees deze paragraaf nog eens aandachtig door - veel mensen blijven erin hangen.

Net als formules om naar een nieuwe basis te gaan, is de logaritmische basisidentiteit soms de enige mogelijke oplossing.

Taak. Zoek de betekenis van de uitdrukking:
[Onderschrift voor de foto]

Merk op dat log 25 64 = log 5 8 - neem eenvoudigweg het kwadraat van de basis en het argument van de logaritme. Rekening houdend met de regels voor het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, krijgen we:

[Onderschrift voor de foto]

Als iemand het niet weet: dit was een echte taak van het Unified State Exam :)

Logaritmische eenheid en logaritmische nul

Tot slot zal ik twee identiteiten geven die nauwelijks eigenschappen kunnen worden genoemd; het zijn eerder consequenties van de definitie van de logaritme. Ze verschijnen voortdurend in problemen en creëren, verrassend genoeg, zelfs voor ‘gevorderde’ studenten problemen.

loggen A A= 1 is een logaritmische eenheid. Onthoud voor eens en voor altijd: logaritme met elk grondtal A vanaf deze basis is gelijk aan één.
loggen A 1 = 0 is logaritmisch nul. Baseren A kan van alles zijn, maar als het argument er één bevat, is de logaritme gelijk aan nul! Omdat A 0 = 1 is een direct gevolg van de definitie.

Dat zijn alle eigenschappen. Zorg ervoor dat je oefent om ze in de praktijk te brengen! Download het spiekbriefje aan het begin van de les, print het uit en los de problemen op.

Volgt uit de definitie ervan. En dus de logaritme van het getal B gebaseerd op A wordt gedefinieerd als de exponent waarmee een getal moet worden verhoogd A om het nummer te krijgen B(logaritme bestaat alleen voor positieve getallen).

Uit deze formulering volgt dat de berekening x=log a b, is gelijk aan het oplossen van de vergelijking eenx=b. Bijvoorbeeld, logboek 2 8 = 3 omdat 8 = 2 3 . De formulering van de logaritme maakt het mogelijk om te rechtvaardigen dat als b=een c en vervolgens de logaritme van het getal B gebaseerd op A gelijk aan Met. Het is ook duidelijk dat het onderwerp logaritmen nauw verwant is aan het onderwerp machten van een getal.

Met logaritmen kun je, zoals met alle getallen, doen bewerkingen van optellen, aftrekken en op alle mogelijke manieren transformeren. Maar vanwege het feit dat logaritmen niet geheel gewone getallen zijn, zijn hier hun eigen speciale regels van toepassing, die worden genoemd belangrijkste eigenschappen.

Logaritmen optellen en aftrekken.

Laten we twee logaritmes nemen met dezelfde grondtallen: log een x in En log een y. Dan is het mogelijk om optel- en aftrekkingsbewerkingen uit te voeren:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log een(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log een x in 1 + log een x in 2 + log een x in 3 + ... + log a x k.

Van logaritmequotiëntstelling Er kan nog een eigenschap van de logaritme worden verkregen. Het is algemeen bekend dat log A 1= 0 dus

loggen A 1 /B=logboek A 1 - logboek een b= -logboek een b.

Dit betekent dat er gelijkheid is:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmen van twee omgekeerde getallen om dezelfde reden zullen uitsluitend door teken van elkaar verschillen. Dus:

Logboek 3 9= - Logboek 3 1 / 9 ; logboek 5 1 / 125 = -log 5 125.

We blijven logaritmes bestuderen. In dit artikel zullen we erover praten logaritmen berekenen, dit proces wordt genoemd logaritme. Eerst zullen we de berekening van logaritmen per definitie begrijpen. Laten we vervolgens kijken hoe de waarden van logaritmen worden gevonden met behulp van hun eigenschappen. Hierna zullen we ons concentreren op het berekenen van logaritmen via de aanvankelijk opgegeven waarden van andere logaritmen. Laten we tot slot leren hoe we logaritmetabellen kunnen gebruiken. De gehele theorie is voorzien van voorbeelden met uitgewerkte oplossingen.

Paginanavigatie.

Logaritmen per definitie berekenen

In de eenvoudigste gevallen is het mogelijk om vrij snel en gemakkelijk uit te voeren per definitie de logaritme vinden. Laten we eens nader bekijken hoe dit proces plaatsvindt.

De essentie ervan is om het getal b weer te geven in de vorm a c, waarvan, volgens de definitie van een logaritme, het getal c de waarde van de logaritme is. Dat wil zeggen dat de volgende reeks gelijkheden per definitie overeenkomt met het vinden van de logaritme: log a b=log a a c =c.

Het berekenen van een logaritme komt dus per definitie neer op het vinden van een getal c zodat a c = b, en het getal c zelf is de gewenste waarde van de logaritme.

Rekening houdend met de informatie in de voorgaande paragrafen, wanneer het getal onder het logaritmeteken wordt gegeven door een bepaalde macht van de logaritmebasis, kunt u onmiddellijk aangeven waar de logaritme gelijk aan is: het is gelijk aan de exponent. Laten we oplossingen voor voorbeelden tonen.

Voorbeeld.

Zoek log 2 2 −3, en bereken ook de natuurlijke logaritme van het getal e 5,3.

Oplossing.

De definitie van de logaritme stelt ons in staat onmiddellijk te zeggen dat log 2 2 −3 =−3. Het getal onder het logaritmeteken is inderdaad gelijk aan grondtal 2 tot de macht −3.

Op dezelfde manier vinden we de tweede logaritme: lne 5,3 =5,3.

Antwoord:

log 2 2 −3 =−3 en lne 5,3 =5,3.

Als het getal b onder het logaritmeteken niet is gespecificeerd als een macht van het grondtal van de logaritme, dan moet je goed kijken of het mogelijk is om een representatie van het getal b te bedenken in de vorm a c. Vaak is deze weergave vrij duidelijk, vooral wanneer het getal onder het logaritmeteken gelijk is aan het grondtal tot de macht 1, of 2, of 3, ...

Voorbeeld.

Bereken de logaritmen log 5 25 , en .

Oplossing.

Het is gemakkelijk in te zien dat 25=5 2, hierdoor kun je de eerste logaritme berekenen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Laten we verder gaan met het berekenen van de tweede logaritme. Het getal kan worden weergegeven als een macht van 7: (kijk indien nodig). Vandaar, .

Laten we de derde logaritme in de volgende vorm herschrijven. Nu kun je dat zien , waaruit wij dat concluderen . Daarom volgens de definitie van logaritme .

In het kort zou de oplossing als volgt kunnen worden geschreven: .

Antwoord:

logboek 5 25=2 , En .

Als er een voldoende groot natuurlijk getal onder het logaritmeteken staat, kan het geen kwaad om dit in priemfactoren te verwerken. Het helpt vaak om zo’n getal voor te stellen als een macht van de basis van de logaritme, en daarom deze logaritme per definitie te berekenen.

Voorbeeld.

Zoek de waarde van de logaritme.

Oplossing.

Met sommige eigenschappen van logaritmen kunt u onmiddellijk de waarde van logaritmen opgeven. Deze eigenschappen omvatten de eigenschap van de logaritme van één en de eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal: log 1 1=log a a 0 =0 en log a a=log a a 1 =1. Dat wil zeggen, als er onder het teken van de logaritme een getal 1 of een getal a staat dat gelijk is aan de basis van de logaritme, dan zijn de logaritmen in deze gevallen respectievelijk gelijk aan 0 en 1.

Voorbeeld.

Waar zijn logaritmen en log10 gelijk aan?

Oplossing.

Sinds , volgt dan uit de definitie van logaritme .

In het tweede voorbeeld valt het getal 10 onder het logaritmeteken samen met het grondtal, dus de decimale logaritme van tien is gelijk aan één, dat wil zeggen: lg10=lg10 1 =1.

Antwoord:

EN lg10=1 .

Merk op dat de berekening van logaritmen per definitie (die we in de vorige paragraaf hebben besproken) het gebruik impliceert van de gelijkheidslog a a p =p, wat een van de eigenschappen van logaritmen is.

Wanneer een getal onder het logaritmeteken en de basis van de logaritme in de praktijk gemakkelijk kan worden weergegeven als een macht van een bepaald getal, is het erg handig om de formule te gebruiken , wat overeenkomt met een van de eigenschappen van logaritmen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het vinden van een logaritme dat het gebruik van deze formule illustreert.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme.

Oplossing.

Antwoord:

Eigenschappen van logaritmen die hierboven niet zijn genoemd, worden ook gebruikt in berekeningen, maar hierover zullen we in de volgende paragrafen praten.

Logaritmen vinden via andere bekende logaritmen

De informatie in deze paragraaf gaat verder met het onderwerp van het gebruik van de eigenschappen van logaritmen bij het berekenen ervan. Maar hier is het belangrijkste verschil dat de eigenschappen van logaritmen worden gebruikt om de oorspronkelijke logaritme uit te drukken in termen van een andere logaritme, waarvan de waarde bekend is. Laten we een voorbeeld geven ter verduidelijking. Laten we zeggen dat we weten dat log 2 3≈1,584963, dan kunnen we bijvoorbeeld log 2 6 vinden door een kleine transformatie uit te voeren met behulp van de eigenschappen van de logaritme: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

In het bovenstaande voorbeeld was het voor ons voldoende om de eigenschap van de logaritme van een product te gebruiken. Veel vaker is het echter nodig om een breder arsenaal aan eigenschappen van logaritmen te gebruiken om de oorspronkelijke logaritme via de gegeven waarden te berekenen.

Voorbeeld.

Bereken de logaritme van 27 tot grondtal 60 als je weet dat log 60 2=a en log 60 5=b.

Oplossing.

We moeten dus log 60 27 vinden. Het is gemakkelijk in te zien dat 27 = 3 3 , en dat de oorspronkelijke logaritme, vanwege de eigenschap van de logaritme van de macht, kan worden herschreven als 3·log 60 3 .

Laten we nu eens kijken hoe we log 60 3 kunnen uitdrukken in termen van bekende logaritmen. De eigenschap van de logaritme van een getal gelijk aan het grondtal stelt ons in staat het gelijkheidslogboek 60 60=1 te schrijven. Aan de andere kant, log 60 60=log60(2 2 3 5)= logboek 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dus, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vandaar, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Tenslotte berekenen we de oorspronkelijke logaritme: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Antwoord:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Afzonderlijk is het de moeite waard om de betekenis van de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme van de vorm te vermelden . Hiermee kunt u van logaritmen met elk grondtal overgaan naar logaritmen met een specifiek grondtal, waarvan de waarden bekend zijn of mogelijk zijn om ze te vinden. Meestal gaan ze van de oorspronkelijke logaritme, met behulp van de overgangsformule, naar logaritmen in een van de basen 2, e of 10, omdat er voor deze basen tabellen met logaritmen zijn waarmee hun waarden met een bepaalde mate van berekening kunnen worden berekend. nauwkeurigheid. In de volgende paragraaf laten we zien hoe dit gebeurt.

Logaritmetabellen en hun gebruik

Voor een geschatte berekening van logaritmewaarden kunnen worden gebruikt logaritme tabellen. De meest gebruikte logaritmetabel met grondtal 2, natuurlijke logaritmetabel en decimale logaritmetabel. Wanneer u met het decimale getalsysteem werkt, is het handig om een tabel met logaritmen te gebruiken op basis van grondtal tien. Met zijn hulp zullen we leren de waarden van logaritmen te vinden.

Met de gepresenteerde tabel kunt u de waarden vinden van de decimale logaritmen van getallen van 1.000 tot 9.999 (met drie decimalen) met een nauwkeurigheid van één tienduizendste. We zullen het principe van het vinden van de waarde van een logaritme analyseren met behulp van een tabel met decimale logaritmen aan de hand van een specifiek voorbeeld - op deze manier is het duidelijker. Laten we log1.256 vinden.

In de linkerkolom van de tabel met decimale logaritmen vinden we de eerste twee cijfers van het getal 1,256, dat wil zeggen we vinden 1,2 (dit getal is voor de duidelijkheid blauw omcirkeld). Het derde cijfer van het getal 1.256 (cijfer 5) vindt u in de eerste of laatste regel links van de dubbele regel (dit getal is rood omcirkeld). Het vierde cijfer van het oorspronkelijke getal 1.256 (cijfer 6) vindt u in de eerste of laatste regel rechts van de dubbele regel (dit getal is omcirkeld met een groene lijn). Nu vinden we de getallen in de cellen van de logaritmetabel op het snijpunt van de gemarkeerde rij en gemarkeerde kolommen (deze getallen zijn oranje gemarkeerd). De som van de gemarkeerde getallen geeft de gewenste waarde van de decimale logaritme nauwkeurig tot op de vierde decimaal, dat wil zeggen: log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Is het mogelijk om met behulp van de bovenstaande tabel de waarden te vinden van decimale logaritmen van getallen met meer dan drie cijfers achter de komma, en ook van getallen die verder gaan dan het bereik van 1 tot 9,999? Ja, dat kan. Laten we laten zien hoe dit wordt gedaan met een voorbeeld.

Laten we lg102.76332 berekenen. Eerst moet je opschrijven nummer in standaardvorm: 102,76332=1,0276332·10 2. Hierna moet de mantisse worden afgerond op de derde decimaal, dat hebben we gedaan 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, terwijl de oorspronkelijke decimale logaritme ongeveer gelijk is aan de logaritme van het resulterende getal, dat wil zeggen dat we log102,76332≈lg1,028·10 2 nemen. Nu passen we de eigenschappen van de logaritme toe: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Ten slotte vinden we de waarde van de logaritme lg1,028 uit de tabel met decimale logaritmen lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Als gevolg hiervan ziet het hele proces van het berekenen van de logaritme er als volgt uit: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Concluderend is het vermeldenswaard dat u met behulp van een tabel met decimale logaritmen de geschatte waarde van elke logaritme kunt berekenen. Om dit te doen, volstaat het om de overgangsformule te gebruiken om naar decimale logaritmen te gaan, hun waarden in de tabel te vinden en de resterende berekeningen uit te voeren.

Laten we bijvoorbeeld log 2 3 berekenen. Volgens de formule voor de overgang naar een nieuw grondtal van de logaritme hebben we . Uit de tabel met decimale logaritmen vinden we log3≈0,4771 en log2≈0,3010. Dus, .

Bibliografie.

Kolmogorov AN, Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. en anderen Algebra en het begin van analyse: leerboek voor de groepen 10 - 11 van instellingen voor algemeen onderwijs.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan).

De basiseigenschappen van de logaritme, logaritmegrafiek, definitiedomein, reeks waarden, basisformules, stijgend en dalend worden gegeven. Er wordt rekening gehouden met het vinden van de afgeleide van een logaritme. Evenals integrale, machtreeksuitbreiding en representatie met behulp van complexe getallen.

Inhoud

Domein, waardenset, toenemend, afnemend

De logaritme is een monotone functie en heeft dus geen extremen. De belangrijkste eigenschappen van de logaritme worden weergegeven in de tabel.


Domein	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Bereik van waarden	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotoon	monotoon toeneemt	neemt monotoon af
Nullen, y = 0	x = 1	x = 1
Snij punten met de ordinaatas, x = 0	Nee	Nee
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privé waarden

De logaritme met grondtal 10 wordt genoemd decimale logaritme en wordt als volgt aangegeven:

Logaritme naar grondtal e genaamd natuurlijke logaritme:

Basisformules voor logaritmen

Eigenschappen van de logaritme die voortkomen uit de definitie van de inverse functie:

De belangrijkste eigenschap van logaritmen en de gevolgen ervan

Basisvervangingsformule

Logaritme is de wiskundige bewerking van het nemen van een logaritme. Bij het nemen van logaritmen worden producten van factoren omgezet in sommen van termen.
Potentiatie is de wiskundige bewerking die omgekeerd is aan de logaritme. Tijdens potentiëring wordt een bepaalde base verhoogd tot de mate van expressie waarover potentiëring wordt uitgevoerd. In dit geval worden de sommen van termen omgezet in producten van factoren.

Bewijs van basisformules voor logaritmen

Formules gerelateerd aan logaritmen volgen uit formules voor exponentiële functies en uit de definitie van een inverse functie.

Beschouw de eigenschap van de exponentiële functie
.
Dan
.
Laten we de eigenschap van de exponentiële functie toepassen
:
.

Laten we de basisvervangingsformule bewijzen.
;
.
Ervan uitgaande dat c = b, vinden we:

Omgekeerde functie

De inverse van een logaritme met grondtal a is een exponentiële functie met exponent a.

Als dan

Afgeleide van logaritme

Afgeleide van de logaritme van modulus x:
.
Afgeleide van de n-de orde:
.
Formules afleiden > > >

Om de afgeleide van een logaritme te vinden, moet deze worden teruggebracht tot het grondtal e.
;
.

Integraal

De integraal van de logaritme wordt berekend door delen te integreren: .
Dus,

Uitdrukkingen waarbij gebruik wordt gemaakt van complexe getallen

Beschouw de complexe getalfunctie z:
.
Laten we een complex getal uitdrukken z via module R en betoog φ :
.
Met behulp van de eigenschappen van de logaritme krijgen we dan:
.
Of

Echter, de argumentatie φ niet uniek gedefinieerd. Als je zet
, waarbij n een geheel getal is,
dan zal het hetzelfde nummer zijn voor verschillende N.

Daarom is de logaritme, als functie van een complexe variabele, geen functie met één waarde.

Uitbreiding van de machtreeksen

Wanneer de uitbreiding plaatsvindt:

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handboek wiskunde voor ingenieurs en studenten, “Lan”, 2009.

Zie ook: