Hvordan løse et system med lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden. Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden

Et system av denne typen kalles normalt system av differensialligninger (SNDU). For et normalt system av differensialligninger kan vi formulere et teorem om eksistens og unikhet, det samme som for en differensialligning.

Teorem. Hvis funksjonene er definert og kontinuerlig på et åpent sett, og de tilsvarende partielle deriverte også er kontinuerlige på, vil system (1) ha en løsning (2)

og i nærvær av initiale forhold (3)

denne løsningen vil være den eneste.

Dette systemet kan representeres som:

Systemer av lineære differensialligninger

Definisjon. Systemet med differensialligninger kalles lineær , hvis den er lineær med hensyn til alle ukjente funksjoner og deres deriverte.

(5)

Generell oversikt over systemet med differensialligninger

Hvis startbetingelsen er gitt: , (7)

da vil løsningen være unik, forutsatt at vektorfunksjonen er kontinuerlig og matrisekoeffisientene også er kontinuerlige funksjoner.

La oss introdusere en lineær operator, så kan (6) skrives om som:

hvis så kalles operatorligningen (8). homogen og har formen:

Siden operatøren er lineær, er følgende egenskaper tilfredsstilt for den:

løse ligning (9).

Konsekvens. Lineær kombinasjon, løsning (9).

Hvis løsninger (9) er gitt og de er lineært uavhengige, vil alle lineære kombinasjoner av formen: (10) bare under forutsetning av at alle. Dette betyr at determinanten som er sammensatt av løsninger (10):

. Denne determinanten kalles Vronskys determinant for et system av vektorer.

Teorem 1. Hvis Wronski-determinanten for et lineært homogent system (9) med koeffisienter kontinuerlig på et intervall er lik null i minst ett punkt, så er løsningene lineært avhengige av dette intervallet, og derfor er Wronski-determinanten lik null på hele intervallet.

Bevis: Siden de er kontinuerlige, tilfredsstiller system (9) betingelsen Eksistens- og unikhetsteoremer derfor bestemmer starttilstanden den unike løsningen til systemet (9). Wronski-determinanten på et punkt er lik null, derfor er det et ikke-trivielt system som følgende gjelder: Den tilsvarende lineære kombinasjonen for et annet punkt vil ha formen, og tilfredsstiller homogene startbetingelser, derfor sammenfaller med den trivielle løsningen, det vil si lineært avhengig og Wronski-determinanten er lik null.

Definisjon. Settet med løsninger av system (9) kalles grunnleggende system av løsninger på hvis Wronski-determinanten ikke forsvinner på noe tidspunkt.

Definisjon. Hvis startbetingelsene for et homogent system (9) er definert som følger - så kalles løsningssystemet normal fundamental beslutningssystem .

Kommentar. Hvis er et fundamentalt system eller et normalt fundamentalt system, så er den lineære kombinasjonen den generelle løsningen (9).

Teorem 2. En lineær kombinasjon av lineært uavhengige løsninger av et homogent system (9) med koeffisienter kontinuerlig på et intervall vil være en generell løsning (9) på samme intervall.

Bevis: Siden koeffisientene er kontinuerlig på, tilfredsstiller systemet betingelsene for eksistens- og unikhetsteoremet. For å bevise teoremet er det derfor nok å vise at ved å velge konstanter er det mulig å tilfredsstille en eller annen vilkårlig valgt startbetingelse (7). De. kan tilfredsstilles av vektorligningen:. Siden er en generell løsning på (9), er systemet relativt løsbart, siden og alle er lineært uavhengige. Vi definerer det unikt, og siden vi er lineært uavhengige, da.

Teorem 3. Hvis dette er en løsning på system (8), en løsning på system (9), så + vil det også være en løsning på (8).

Bevis: I henhold til egenskapene til den lineære operatoren: 

Teorem 4. Den generelle løsningen (8) på et intervall med koeffisienter og høyresider kontinuerlig på dette intervallet er lik summen av den generelle løsningen til det tilsvarende homogene systemet (9) og den spesielle løsningen til det inhomogene systemet (8) ).

Bevis: Siden betingelsene for teoremet om eksistens og unikhet er oppfylt, gjenstår det derfor å bevise at den vil tilfredsstille en vilkårlig gitt startverdi (7), dvs. . (11)

For system (11) er det alltid mulig å bestemme verdiene til . Dette kan gjøres som et grunnleggende beslutningssystem.

Cauchy-problem for en førsteordens differensialligning

Formulering av problemet. Husk at løsningen på en førsteordens ordinær differensialligning

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

kalles en differensierbar funksjon y(t), som, når den erstattes i ligning (5.1), gjør den til en identitet. Grafen til løsningen til en differensialligning kalles en integralkurve. Prosessen med å finne løsninger på en differensialligning kalles vanligvis å integrere denne ligningen.

Basert på den geometriske betydningen av den deriverte y", merker vi at ligning (5.1) spesifiserer ved hvert punkt (t, y) i planet til variablene t, y verdien f(t, y) til tangenten til vinkelen til helning (til 0t-aksen) til tangenten til grafen til løsningen som går gjennom dette punktet. Verdien k=tga=f(t,y) vil videre bli kalt vinkelkoeffisienten (fig. 5.1).Hvis nå ved hver punkt (t,y) spesifiserer vi, ved hjelp av en viss vektor, retningen til tangenten, bestemt av verdien f(t,y ), da får du det såkalte retningsfeltet (Fig. 5.2, a). , geometrisk, består oppgaven med å integrere differensialligninger i å finne integralkurver som i hvert punkt har en gitt tangentretning (fig. 5.2, b) For å velge én spesifikk løsning fra familien av løsninger av differensialligningen (5.1) ), angi startbetingelsen

y(t 0)=y 0 (5,2)

Her er t 0 en fast verdi av argumentet t, og 0 har en verdi som kalles startverdien. Den geometriske tolkningen av å bruke startbetingelsen er å velge fra en familie av integralkurver kurven som går gjennom et fast punkt (t 0, y 0).

Problemet med å finne for t>t 0 en løsning y(t) til differensialligningen (5.1) som tilfredsstiller startbetingelsen (5.2) vil bli kalt Cauchy-problemet. I noen tilfeller er oppførselen til løsningen for alle t>t 0 av interesse. Imidlertid er de oftere begrenset til å bestemme løsningen på et begrenset segment.

Integrasjon av vanlige systemer

En av hovedmetodene for å integrere et normalt DE-system er metoden for å redusere systemet til en høyere ordens DE. (Det omvendte problemet - overgangen fra fjernkontrollen til systemet - ble vurdert ovenfor ved å bruke et eksempel.) Teknikken til denne metoden er basert på følgende betraktninger.

La et normalt system (6.1) gis. La oss differensiere enhver ligning, for eksempel den første, med hensyn til x:

Ved å erstatte verdiene til derivatene i denne likheten fra system (6.1), får vi

eller kort fortalt

Differensiere den resulterende likheten igjen og erstatte verdiene til derivatene fra system (6.1), får vi

Ved å fortsette denne prosessen (differensiere - erstatte - få), finner vi:

La oss samle de resulterende ligningene i et system:

Fra de første (n-1) likningene til system (6.3) uttrykker vi funksjonene y 2, y 3, ..., y n i form av x, funksjonen y 1 og dens deriverte y" 1, y" 1,. .., y 1 (n -1) . Vi får:

Vi erstatter de funnet verdiene til y 2, y 3,..., y n inn i den siste ligningen av systemet (6.3). La oss få en n. ordens DE med hensyn til den ønskede funksjonen La dens generelle løsning være

Differensieer det (n-1) ganger og bytt ut verdiene til derivatene inn i likningene til systemet (6.4), finner vi funksjonene y 2, y 3,..., y n.

Eksempel 6.1. Løs ligningssystem

Løsning: La oss differensiere den første ligningen: y"=4y"-3z. Erstatt z"=2y-3z med den resulterende likheten: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9z. La oss lage et ligningssystem:

Fra den første ligningen i systemet uttrykker vi z gjennom y og y":

Vi erstatter z-verdien i den andre ligningen i det siste systemet:

dvs. y""-y"-6y=0. Vi mottok en LOD av andre orden. Løs det: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 og - generell løsning

ligninger Finn funksjonen z. Vi erstatter verdiene av y og inn i uttrykket z gjennom y og y" (formel (6.5)). Vi får:

Dermed har den generelle løsningen til dette ligningssystemet formen

Kommentar. Ligningssystem (6.1) kan løses ved metoden med integrerbare kombinasjoner. Essensen av metoden er at det, gjennom aritmetiske operasjoner, dannes såkalte integrerbare kombinasjoner fra likningene til et gitt system, dvs. lett integrerbare likninger med hensyn til en ny ukjent funksjon.

La oss illustrere teknikken til denne metoden med følgende eksempel.

Eksempel 6.2. Løs ligningssystemet:

Løsning: La oss legge til de gitte ligningene ledd for ledd: x"+y"=x+y+2, eller (x+y)"=(x+y)+2. La oss betegne x+y=z. Da har vi z"=z+2. Vi løser den resulterende ligningen:

Vi fikk den såkalte første integral av systemet. Fra den kan du uttrykke en av de søkte funksjonene gjennom en annen, og dermed redusere antall søkte funksjoner med en. For eksempel, Da vil den første ligningen i systemet ta formen

Etter å ha funnet x fra den (for eksempel ved å bruke substitusjonen x=uv), finner vi også y.

Kommentar. Dette systemet "tillater" å danne en annen integrerbar kombinasjon: Ved å sette x - y = p, har vi:, eller Å ha to første integraler av systemet, dvs. Og det er lett å finne (ved å legge til og trekke fra de første integralene) det

Lineær operatør, egenskaper. Lineær avhengighet og uavhengighet av vektorer. Wronski-determinant for LDE-systemet.

Lineær differensialoperator og dens egenskaper. Settet med funksjoner som har på intervallet ( en , b ) ikke mindre n derivater, danner et lineært rom. Tenk på operatøren L n (y ), som viser funksjonen y (x ), som har derivater, til en funksjon som har k - n derivater:

Bruke en operatør L n (y ) inhomogen ligning (20) kan skrives som følger:

L n (y ) = f (x );

homogen ligning (21) tar formen

L n (y ) = 0);

Teorem 14.5.2. Differensialoperatør L n (y ) er en lineær operator. Dokument følger direkte av egenskapene til derivater: 1. If C = konst, da 2. Våre videre handlinger: studer først hvordan den generelle løsningen av den lineære homogene likningen (25) fungerer, deretter den inhomogene likningen (24), og lær deretter hvordan du løser disse likningene. La oss starte med begrepene lineær avhengighet og uavhengighet av funksjoner på et intervall og definere det viktigste objektet i teorien om lineære ligninger og systemer - Wronski-determinanten.

Vronskys determinant. Lineær avhengighet og uavhengighet av et funksjonssystem.Def. 14.5.3.1. Funksjonssystem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er kalt lineært avhengig på intervallet ( en , b ), hvis det er et sett med konstante koeffisienter som ikke er lik null på samme tid, slik at den lineære kombinasjonen av disse funksjonene er identisk lik null på ( en , b ): for. Hvis likhet for er mulig bare hvis, systemet av funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er kalt lineært uavhengig på intervallet ( en , b ). Med andre ord, funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineært avhengig på intervallet ( en , b ), hvis det er lik null på ( en , b ) deres ikke-trivielle lineære kombinasjon. Funksjoner y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) lineært uavhengig på intervallet ( en , b ), hvis bare deres trivielle lineære kombinasjon er identisk lik null på ( en , b ). Eksempler: 1. Funksjoner 1, x , x 2 , x 3 er lineært uavhengige av ethvert intervall ( en , b ). Deres lineære kombinasjon - gradspolynom - kan ikke ha på ( en , b )mer enn tre røtter, så likheten = 0 for er kun mulig når. Eksempel 1 kan lett generaliseres til funksjonssystem 1, x , x 2 , x 3 , …, x n . Deres lineære kombinasjon - et gradspolynom - kan ikke ha på ( en , b ) mer n røtter. 3. Funksjonene er lineært uavhengige av ethvert intervall ( en , b ), Hvis . Faktisk, hvis, for eksempel, så likestillingen finner sted på et enkelt punkt .4. Funksjonssystem er også lineært uavhengig hvis tallene k Jeg (Jeg = 1, 2, …, n ) er parvis forskjellige, men direkte bevis på dette er ganske tungvint. Som eksemplene ovenfor viser, er i noen tilfeller den lineære avhengigheten eller uavhengigheten til funksjoner bevist enkelt, i andre tilfeller er dette beviset mer komplisert. Derfor er det nødvendig med et enkelt universelt verktøy som vil svare på spørsmålet om den lineære avhengigheten av funksjoner. Et slikt verktøy - Vronskys determinant.

Def. 14.5.3.2. Wronskys determinant (Wronskian) systemer n - 1 gang differensierbare funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kalles determinanten

.

14.5.3.3. Teorem om Wronskian til et lineært avhengig system av funksjoner. Hvis systemet av funksjoner y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineært avhengig på intervallet ( en , b ), så er Wronskian for dette systemet identisk lik null på dette intervallet. Dokument. Hvis funksjonene y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er lineært avhengig av intervallet ( en , b ), så er det tall , hvorav minst ett er ikke-null, slik at

La oss skille ved x likestilling (27) n - 1 gang og lag et likningssystem Vi vil betrakte dette systemet som et homogent lineært system av algebraiske ligninger mht. Determinanten for dette systemet er Wronski-determinanten (26). Dette systemet har en ikke-triviell løsning, derfor er determinanten på hvert punkt lik null. Så, W (x ) = 0 at , dvs. at ( en , b ).

I den første delen så vi på noe teoretisk materiale, substitusjonsmetoden, samt metoden for ledd-for-ledd addisjon av systemligninger. Jeg anbefaler alle som har besøkt siden gjennom denne siden å lese den første delen. Kanskje noen besøkende vil finne materialet for enkelt, men i prosessen med å løse systemer med lineære ligninger kom jeg med en rekke svært viktige kommentarer og konklusjoner angående løsning av matematiske problemer generelt.

Nå skal vi analysere Cramers regel, samt løse et system med lineære ligninger ved å bruke en invers matrise (matrisemetode). Alt materiale presenteres enkelt, detaljert og tydelig; nesten alle lesere vil kunne lære å løse systemer ved hjelp av metodene ovenfor.

Først skal vi se nærmere på Cramers regel for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? – Tross alt kan det enkleste systemet løses ved hjelp av skolemetoden, metoden med termin-for-termin addisjon!

Faktum er at, om enn noen ganger, oppstår en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved å bruke Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.

I tillegg er det systemer med lineære ligninger med to variabler, som er tilrådelig å løse ved hjelp av Cramers regel!

Tenk på ligningssystemet

På første trinn beregner vi determinanten, heter det hoveddeterminanten for systemet.

Gaussisk metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og

I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med en latinsk bokstav.

Vi finner røttene til ligningen ved å bruke formlene:
,

Eksempel 7

Løs et system med lineære ligninger

Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store, på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk; jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.

Hvordan løse et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du sannsynligvis ende opp med forferdelige fancy brøker som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se rett og slett forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vil også oppstå her.

Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.

;

;

Svar: ,

Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses ved hjelp av ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Et fragment av oppgavedesignet er følgende fragment: "Dette betyr at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for manglende respekt for Cramers teorem.

Det ville ikke være overflødig å sjekke, noe som enkelt kan utføres på en kalkulator: vi erstatter omtrentlige verdier på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør du få tall som er på høyre side.

Eksempel 8

Presenter svaret i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

La oss gå videre til å vurdere Cramers regel for et system med tre ligninger med tre ukjente:

Vi finner hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe, du må bruke Gaussisk metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter:
, ,

Og til slutt beregnes svaret ved hjelp av formlene:

Som du kan se, er tilfellet "tre av tre" fundamentalt ikke forskjellig fra tilfellet "to og to"; kolonnen med frie termer "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler.

, som betyr at systemet har en unik løsning.

Svar: .

Her er det faktisk ikke noe spesielt å kommentere, på grunn av at løsningen følger ferdige formler. Men det er et par kommentarer.

Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en datamaskin for hånden, gjør dette:

1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter en "dårlig" brøkdel, må du umiddelbart sjekke Er betingelsen omskrevet riktig?. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelse i en annen rad (kolonne).

2) Hvis ingen feil blir identifisert som et resultat av sjekking, har det mest sannsynlig vært en skrivefeil i oppgavebetingelsene. I dette tilfellet jobbe rolig og NØYE gjennom oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og vi tegner det opp på et rent ark etter vedtaket. Å sjekke et brøksvar er selvfølgelig en ubehagelig oppgave, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som virkelig liker å gi minus for noe tull som . Hvordan håndtere brøker er beskrevet i detalj i svaret på eksempel 8.

Hvis du har en datamaskin for hånden, så bruk et automatisert program for å sjekke, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest lønnsomt å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen); du vil umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil! Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.

Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE:
– Nuller plasseres i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der nullen er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (et utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet i henhold til lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen. Egenskaper til determinanten. Redusere rekkefølgen til determinanten– fem 4. ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.

Løse systemet ved hjelp av en invers matrise

Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning (Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).

For å studere denne delen må du kunne utvide determinanter, finne inversen til en matrise og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringene skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet ved hjelp av matrisemetoden

Løsning: La oss skrive systemet i matriseform:
, Hvor

Vennligst se på systemet med likninger og matriser. Jeg tror alle forstår prinsippet som vi skriver elementer inn i matriser etter. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, måtte nuller plasseres på de tilsvarende stedene i matrisen.

Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

La oss først se på determinanten:

Her utvides determinanten på første linje.

Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet ved hjelp av matrisemetoden. I dette tilfellet er systemet løst metode for å eliminere ukjente (Gauss-metoden).

Nå må vi beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i mindreårige matrisen

Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er nummeret på linjen der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert:

Det vil si at et dobbelt skrift indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3 rader, 2 kolonner

Emne 2. SYSTEMER AV LINEÆRE ALGEBRAISKE LIGNINGER.

Enkle konsepter.

Definisjon 1. System m lineære ligninger med n ukjente er et system av formen:

hvor og - tall.

Definisjon 2. En løsning på system (I) er et sett med ukjente der hver likning av dette systemet blir en identitet.

Definisjon 3. System (I) kalles ledd, hvis den har minst én løsning og ikke-ledd, hvis det ikke har noen løsninger. Leddsystemet kalles sikker, hvis den har en unik løsning, og usikker ellers.

Definisjon 4. Formens ligning

kalt null, og ligningen er av formen

kalt uforenlig. Åpenbart er et ligningssystem som inneholder en inkompatibel ligning inkonsekvent.

Definisjon 5. To systemer med lineære ligninger kalles tilsvarende, hvis hver løsning av ett system tjener som en løsning til et annet, og omvendt, hver løsning av det andre systemet er en løsning til det første.

Matriserepresentasjon av et system av lineære ligninger.

La oss vurdere system (I) (se §1).

La oss betegne:

Koeffisientmatrise for ukjente

,

Matrise - kolonne med frie termer

Matrise – kolonne med ukjente

.

Definisjon 1. Matrisen kalles hovedmatrisen til systemet(I), og matrisen er den utvidede matrisen til system (I).

Ved definisjonen av likhet av matriser, tilsvarer system (I) matriselikheten:

.

Høyresiden av denne likheten per definisjon av produktet av matriser ( se definisjon 3 § 5 kapittel 1) kan faktoriseres:

, dvs.

Likestilling (2) kalt matrisenotasjon av system (I).

Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Slipp inn system (I) (se §1) m=n, dvs. antall ligninger er lik antall ukjente, og hovedmatrisen til systemet er ikke-singular, dvs. . Da har system (I) fra §1 en unik løsning

hvor Δ = det A kalt hoved determinant for systemet(I), Δ Jeg fås fra determinanten Δ ved å erstatte Jeg kolonne til en kolonne med frie medlemmer av systemet (I).

Eksempel: Løs systemet ved å bruke Cramers metode:

.

Etter formler (3) .

Vi beregner determinantene til systemet:

,

,

,

.

For å få determinanten, erstattet vi den første kolonnen i determinanten med en kolonne med frie termer; erstatter den andre kolonnen i determinanten med en kolonne med frie termer, får vi ; på lignende måte, ved å erstatte den tredje kolonnen i determinanten med en kolonne med frie termer, får vi . Systemløsning:

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av en invers matrise.

Slipp inn system (I) (se §1) m=n og hovedmatrisen til systemet er ikke-singular. La oss skrive system (I) i matriseform ( se §2):

fordi matrise EN ikke-singular, så har den en invers matrise ( se setning 1 §6 i kapittel 1). La oss multiplisere begge sider av likheten (2) til matrisen, da

. (3)

Per definisjon av en invers matrise. Fra likestilling (3) vi har

Løs systemet ved å bruke den inverse matrisen

.

La oss betegne

; ; .

I eksempel (§ 3) beregnet vi determinanten, derfor matrisen EN har en invers matrise. Da i kraft (4) , dvs.

. (5)

La oss finne matrisen ( se §6 kapittel 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Gauss metode.

La et system med lineære ligninger gis:

. (JEG)

Det kreves å finne alle løsninger av system (I) eller sørge for at systemet er inkonsekvent.

Definisjon 1.La oss kalle den elementære transformasjonen av systemet(I) en av tre handlinger:

1) krysse ut nullligningen;

2) å legge til begge sider av ligningen de tilsvarende delene av en annen ligning, multiplisert med tallet l;

3) bytte ledd i systemets likninger slik at ukjente med samme tall i alle likninger opptar samme plass, dvs. hvis vi for eksempel i 1. likning endret 2. og 3. ledd, så må det samme gjøres i alle likninger i systemet.

Gauss-metoden består i at system (I) ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres til et ekvivalent system, hvis løsning er funnet direkte eller dets uløselighet er etablert.

Som beskrevet i §2, er system (I) unikt bestemt av sin utvidede matrise og enhver elementær transformasjon av system (I) tilsvarer en elementær transformasjon av den utvidede matrisen:

.

Transformasjon 1) tilsvarer å slette nullraden i matrisen, transformasjon 2) tilsvarer å legge til en annen rad til den tilsvarende raden i matrisen, multiplisert med tallet l, transformasjon 3) tilsvarer å omorganisere kolonnene i matrisen.

Det er lett å se at tvert imot tilsvarer hver elementær transformasjon av matrisen en elementær transformasjon av systemet (I). På grunn av ovenstående vil vi i stedet for operasjoner med system (I) jobbe med den utvidede matrisen til dette systemet.

I matrisen består 1. kolonne av koeffisienter for x 1, 2. kolonne - fra koeffisientene for x 2 etc. Hvis kolonnene omorganiseres, bør det tas i betraktning at denne betingelsen brytes. For eksempel, hvis vi bytter 1. og 2. kolonne, vil nå 1. kolonne inneholde koeffisientene for x 2, og i 2. kolonne - koeffisientene for x 1.

Vi skal løse system (I) ved hjelp av Gauss-metoden.

1. Kryss ut alle null-rader i matrisen, hvis noen (dvs. kryss ut alle null-ligninger i system (I).

2. La oss sjekke om det blant radene i matrisen er en rad der alle elementene unntatt den siste er lik null (la oss kalle en slik rad inkonsistent). Åpenbart tilsvarer en slik linje en inkonsistent ligning i system (I), derfor har system (I) ingen løsninger og det er her prosessen slutter.

3. La matrisen ikke inneholde inkonsistente rader (system (I) inneholder ikke inkonsistente ligninger). Hvis a 11 = 0, så finner vi i 1. rad et element (bortsett fra det siste) annet enn null og omorganiserer kolonnene slik at det i 1. rad ikke er null på 1. plass. Vi vil nå anta at (dvs. vi vil bytte de tilsvarende leddene i likningene til system (I)).

4. Multipliser 1. linje med og legg til resultatet med 2. linje, gang deretter 1. linje med og legg til resultatet med 3. linje osv. Åpenbart tilsvarer denne prosessen å eliminere det ukjente x 1 fra alle likninger av system (I), bortsett fra 1. I den nye matrisen får vi nuller i 1. kolonne under elementet en 11:

.

5. La oss krysse ut alle nullrader i matrisen, hvis det er noen, og sjekke om det er en inkonsekvent rad (hvis det er en, så er systemet inkonsekvent og løsningen slutter der). La oss sjekke om det blir det a 22 / =0, hvis ja, så finner vi i 2. rad et annet element enn null og omorganiserer kolonnene slik at . Deretter multipliserer du elementene i den andre raden med og legg til med de tilsvarende elementene i 3. linje, deretter - elementene i 2. linje på og legg til med de tilsvarende elementene i den 4. linjen osv. til vi får nuller under en 22/

.

Handlingene som er iverksatt tilsvarer å eliminere det ukjente x 2 fra alle likninger av system (I), bortsett fra 1. og 2. Siden antall rader er endelig, får vi derfor etter et begrenset antall trinn at enten er systemet inkonsekvent, eller så ender vi opp med en trinnmatrise ( se definisjon 2 §7 kapittel 1) :

,

La oss skrive ut ligningssystemet som tilsvarer matrisen. Dette systemet tilsvarer system (I)

.

Fra den siste ligningen uttrykker vi; erstatte inn i forrige ligning, finne, etc., til vi får .

Merknad 1. Når vi løser system (I) ved hjelp av Gauss-metoden, kommer vi frem til en av følgende tilfeller.

1. System (I) er inkonsekvent.

2. System (I) har en unik løsning hvis antall rader i matrisen er lik antall ukjente ().

3. System (I) har et uendelig antall løsninger hvis antall rader i matrisen er mindre enn antall ukjente ().

Derfor gjelder følgende teorem.

Teorem. Et system med lineære ligninger er enten inkonsekvent, har en unik løsning eller har et uendelig antall løsninger.

Eksempler. Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden eller bevis dets inkonsekvens:

EN) ;

b) ;

V) .

a) La oss omskrive det gitte systemet i formen:

.

Vi har byttet 1. og 2. likning av det opprinnelige systemet for å forenkle beregningene (i stedet for brøker, vil vi kun operere med heltall ved å bruke denne omorganiseringen).

La oss lage en utvidet matrise:

.

Det er ingen null-linjer; det er ingen inkompatible linjer, ; La oss ekskludere den første ukjente fra alle ligningene i systemet bortsett fra den første. For å gjøre dette, multipliser elementene i den første raden i matrisen med "-2" og legg dem til med de tilsvarende elementene i den andre raden, som tilsvarer å multiplisere den første ligningen med "-2" og legge den til med den andre. ligning. Deretter multipliserer vi elementene i den første linjen med "-3" og legger dem til med de tilsvarende elementene i den tredje linjen, dvs. multipliser den andre ligningen til det gitte systemet med "-3" og legg den til den tredje ligningen. Vi får

.

Matrisen tilsvarer et ligningssystem