Løse integraler med komplekse variabler. Integrering av funksjoner til en kompleks variabel

1. Grunnleggende begreper og utsagn

Teorem 5.1(en tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et integral av en funksjon av en kompleks variabel). La L– en enkel jevn kurve på , f(z)=u(x;y)+i×v(x;y) er kontinuerlig på L. Så finnes det , og følgende likhet gjelder:

Teorem 5.2. La L– en enkel jevn kurve, definert parametrisk: L:z(t)=x(t)+i×y(t), en£ t£ b, funksjon f(z) er kontinuerlig på L. Da er likheten sann:

(Hvor ). (5.2)

Teorem 5.3. Hvis f(z) analytisk i feltet D funksjon, da - analytisk funksjon og F"(z)=f(z), hvor integralet tas over enhver stykkevis jevn kurve som forbinder punktene z 0 og z.

- Newton-Leibniz formel.

2. Metoder for beregning av integralet

Første vei. Beregning av integraler av en kontinuerlig funksjon ved reduksjon til krumlinjede integraler av funksjoner til reelle variabler (anvendelse av formel (5.1)).

1. Finn Re f=u, Jeg er f=v.

2. Skriv integranden f(z)dz i form av et produkt ( u+iv)(dx+idy)=udx-vdy+Jeg(udy+vdx).

3. Beregn kurvelinjeformede integraler av formen i henhold til reglene for beregning av krumlinjede integraler av den andre typen.

Eksempel 5.1 . Regne ut med parabel y=x 2 fra punkt z 1 = 0 til punkt z 2 =1+Jeg.

■ La oss finne de virkelige og imaginære delene av integranden. For å gjøre dette, la oss erstatte i uttrykket for f(z) z=x+iy:

Fordi y=x 2, da dy= 2x, . Derfor

Andre vei. Beregning av integraler av en kontinuerlig funksjon ved reduksjon til et bestemt integral ved en parametrisk definisjon av integrasjonsveien (anvendelse av formel (5.2)).

1. Skriv den parametriske ligningen til kurven z=z(t) og bestemme grensene for integrering: t=a tilsvarer startpunktet for integrasjonsveien, t=b- endelig.

2. Finn differensialen til en funksjon med kompleks verdi z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Vikar z(t) til en integrand, transformer integralet til formen: .

4. Beregn det resulterende bestemte integralet.

Eksempel 5.2 . Regn ut hvor MED- sirkelbue, .

■ Parametrisk ligning gitt kurve: , 0 £ j£ s. Deretter . Vi får

Eksempel 5.3 . Regn ut hvor MED– den øvre sirkelbuen som følger med: a) , b) .

■ Ved å spesifisere funksjonsverdier i integrasjonssløyfen kan du velge entydige grener av uttrykket , k= 0,1. Siden da har vi k= 0.1, så velger vi i det første tilfellet grenen med k= 0, og i den andre – fra k= 1.

Integranden på integrasjonskonturen er kontinuerlig. Parametrisk ligning for denne kurven: , 0 £ j£ s. Deretter .

a) Filialen bestemmes når k= 0, det vil si fra vi får .

b) Filialen fastsettes når k=1, det vil si fra vi får .

Tredje vei. Beregning av integraler av analytiske funksjoner i enkelt tilkoblede domener (anvendelse av formel (5.3)).

Finn antiderivatet F(z), ved å bruke egenskapene til integraler, tabellintegraler og metoder kjent fra reell analyse. Bruk Newton-Leibniz-formelen: .

Eksempel 5.4 . Regne ut , Hvor MED- rett AB, z A=1-Jeg,z V=2+i.

■ Siden integrand-funksjonen - analytisk på hele det komplekse planet, så bruker vi Newton-Leibniz-formelen

3. Hovedsetninger integralregning

funksjoner til en kompleks variabel

Teorem 5.4 (Cauchy). Hvis f(z G funksjon, så hvor L- enhver lukket kontur som ligger i G.

Cauchys teorem gjelder også for et multiplisert sammenkoblet område.

Teorem 5.5. La funksjonen f(z) analytisk i et enkelt tilkoblet domene D, L-vilkårlig lukket stykkevis glatt kontur som ligger i D. Så for ethvert punkt z 0 som ligger innenfor konturen L, formelen er riktig:

, (5.4)

Hvor L beveger seg i positiv retning.

Formel (5.4) kalles Cauchy integrert formel . Den uttrykker verdiene til en analytisk funksjon inne i en kontur gjennom dens verdier på konturen.

Teorem 5.6. Hver funksjon f(z), analytisk i feltet D, har derivater av alle bestillinger på dette domenet, og for " z 0 Î D formelen er riktig:

, (5.5)

Hvor L– en vilkårlig stykkevis glatt lukket kontur som ligger helt i D og inneholder et punkt inni z 0 .

4. Beregning av integraler over lukket krets

fra funksjoner til en kompleks variabel

La oss vurdere integraler av formen , hvor funksjonen j(z) analytisk i , og y(z) – et polynom som ikke har nuller på en lukket kontur MED.

Regel. Ved beregning av integraler av formen avhengig av multiplisiteten av nuller i polynomet y(z) og deres plassering i forhold til konturen MED 4 tilfeller kan skilles.

1. I området D ingen polynomiske nuller y(z). Da er funksjonen analytisk og etter Cauchys teorem.

2. I området D det er en enkel null z=z 0 polynom y(z). Så skriver vi brøken på skjemaet hvor f(z) er en analytisk funksjon i å bruke Cauchy-integralformelen (5.4), får vi

. (5.6)

3. I området D ett multiplum av null er plassert z=z 0 polynom y(z) (mangfold n). Så skriver vi brøken på skjemaet hvor f(z) er en analytisk funksjon i Applying formel (5.5), får vi

4. I området D to nuller av polynomet er lokalisert y(z) z=z 1 og z=z 2. Deretter representerer vi integranden som en sum av to brøker, og integralet som en sum av to integraler, som hver er beregnet i samsvar med klausul 2 eller klausul 3.

Eksempel 5.5 . Regn ut hvor MED– sirkel.

■ Finne nullene til nevneren – enkeltstående punkter integrand funksjon . Dette er prikkene. Deretter bestemmer vi plasseringen av punktene i forhold til integrasjonskonturen: ingen av punktene er inkludert i området avgrenset av en sirkel med et senter i punktet og radius 2 (det vil si at vi har det første tilfellet). Du kan bekrefte dette ved å tegne eller bestemme avstanden fra hvert punkt til sentrum av sirkelen og sammenligne den med radiusen. For eksempel hører for , derfor ikke til kretsen.

Deretter funksjonen analytisk i sirkelen, og ved Cauchys teorem .

Merk at det gitte integralet også er lik null for enhver annen kontur som begrenser området som ikke inkluderer noen av nullpunktene til nevneren. ■

Eksempel 5.6 . Regn ut hvor MED– sirkel.

■ Ved å resonnere som i eksempel 5.5, finner vi at bare én av nullpunktene til nevneren er plassert i sirkelen (andre tilfelle). Derfor skriver vi integrandfunksjonen i formen , funksjon analytisk i en sirkel. Deretter i henhold til formel (5.6)

.■

Eksempel 5.7 . Regne ut , Hvor MED– sirkel.

Teoretisk minimum

Det er ofte tilfeller når beregningen av bestemte integraler ved hjelp av metoder omfattende analyseå foretrekke fremfor metoder
materialanalyse. Årsakene kan være svært forskjellige. TFCT-metoder kan tillate i noen tilfeller redusere beregningene kraftig.
Noen ganger kan Newton-Leibniz-formelen ikke brukes fordi den ikke er det bestemt integral kommer ikke til uttrykk i elementære funksjoner.
Metoder for differensiering og integrasjon med hensyn til en parameter krever en svært nøye begrunnelse for deres anvendelighet, og noen ganger parameteren
må innføres kunstig.

Vanligvis brukes komplekse analysemetoder for å beregne upassende integraler- langs et uendelig intervall eller fra ubegrenset på et segment
integrering av funksjoner. Generell idé er som følgende. En konturintegral kompileres. Integralet over enkelte deler av konturen skal
falle sammen med det ønskede bestemte integralet - i det minste opp til en konstant faktor. Integraler over andre deler av konturen
må beregnes. Den fundamentale restsetningen brukes deretter, som sier det
,
hvor er entallspunktene til funksjonen plassert inne i integrasjonskonturen. Dermed en kontur integrert med en
siden viser seg å være uttrykt gjennom det ønskede bestemte integralet, og på den andre siden beregnes det ved å bruke rester (som vanligvis er
ikke byr på noen alvorlige vanskeligheter).

Den største vanskeligheten er valget av integreringskonturen. Det foreslås i prinsippet av integrand-funksjonen. Imidlertid uten tilstrekkelig
Det er vanskelig å mestre denne metoden i praksis, og derfor vil det bli gitt ganske mange eksempler. De mest brukte konturene er sammensatt av
elementer som det er praktisk å utføre integrasjon langs (rette linjer, sirkelbuer).

integrasjon i det komplekse planet

Eksempel 1. Fresnel-integraler.
La oss beregne integralene , .
Det er lett å gjette at det første trinnet er å gå over til eksponentiell form, som innebærer å vurdere integralet.
Du trenger bare å velge integrasjonskonturen. Det er klart at halvaksen må inn i konturen. Ekte og
de imaginære delene av integralet over denne delen av konturen er Fresnel-integraler. Deretter den beregnede konturintegralen over strukturen
integranden ligner Euler-Poisson-integralet, hvis verdi er kjent. Men for å oppnå denne integralen, må vi sette
, Deretter . Og denne representasjonen av en variabel er integrasjon langs en rett linje som går gjennom et punkt
i vinkel til den reelle aksen.
Så det er to konturelementer. For at konturen skal lukkes, vil vi anta at de to valgte delene av konturen har en begrenset lengde og lukkes
kontur av en bue av en sirkel med radius. Senere vil vi rette denne radiusen til det uendelige. Resultatet er vist i fig. 1 krets.

(1)
Inne i integrasjonskonturen har integranden ingen entallspunkter, så integralet langs hele konturen er lik null.

.
I grensen er dette integralet lik null.
På siden kan du skrive
.
Vi erstatter de oppnådde resultatene i (1) og går til grensen:

Ved å separere de virkelige og imaginære delene finner vi, under hensyntagen til verdien av Euler-Poisson-integralet
,
.

Eksempel 2. Velge en integrasjonskontur som inneholder inne i entallspunktet til integranden.
La oss beregne et integral som ligner på det som ble vurdert i det første eksemplet: , hvor .
Vi vil beregne integralen. La oss velge en kontur lik det, som ble brukt i det første eksemplet. Bare nå er det ikke noe mål
reduser beregningen til Euler-Poisson-integralet. Merk her at ved utskifting integranden vil ikke endres.
Denne betraktningen ber oss velge den skrå rette linjen til integrasjonskonturen slik at den danner en vinkel med den virkelige aksen.

Når du skriver konturintegralen
(2)
integralet langs sirkelbuen har en tendens til null i grensen. På siden kan du skrive :
.
Dermed fra (2) når vi passerer til grensen vi finner
.
Her er det tatt hensyn til at inne i integrasjonskonturen har integranden en enkel stolpe.

Herfra finner vi den nødvendige integralen:
.

Eksempel 3. Lukk integreringssløyfen gjennom det øvre eller nedre halvplanet?
Ved å bruke følgende ganske enkle integral demonstrerer vi en karakteristisk detalj ved valg av integrasjonskontur. La oss beregne
integrert
Faktisk beregnes det nødvendige integralet til funksjonen langs den reelle aksen, som integranden ikke har
egenskaper. Det gjenstår bare å lukke integrasjonssløyfen. Siden funksjonen under integralet bare har to endelige entallspunkter, da
Du kan lukke konturen med en halvsirkel, hvis radius skal ha en tendens til uendelig. Og her oppstår spørsmålet om hvordan bør
en halvsirkel bør velges: i øvre eller nedre halvplan (se fig. 3 a, b). For å forstå dette, la oss skrive integralet over halvsirkelen
i begge tilfeller:


EN)
b)
Som det kan sees, er oppførselen til integralet i grensen bestemt av faktoren .
I tilfelle av "a", og derfor vil grensen være endelig under betingelsen .
I tilfelle "b" - tvert imot - , og derfor vil grensen være endelig under betingelsen .
Dette antyder at måten sløyfen er lukket på, bestemmes av fortegnet til parameteren. Hvis det er positivt, da
konturen er lukket gjennom det øvre halvplanet, ellers - gjennom det nedre. La oss vurdere disse tilfellene separat.
EN)
Integralet over en halvsirkel i grensen går, som vi har sett, til null. Inne i kretsen (se fig. 3a) er det
spesielt poeng, derfor

b)
Vi finner på samme måte ved å bruke integrasjon langs konturen vist i fig. 3b,

Merk. Det kan virke rart at integralet av kompleks funksjon viste seg å være ekte. Dette er imidlertid lett å forstå hvis det er i originalen
i integralet, skille de virkelige og imaginære delene. I den imaginære delen vil det under integralet være en oddetallsfunksjon, og integralet beregnes symmetrisk
grenser. De. den imaginære delen vil gå til null, som er det som skjedde i vår beregning.

Eksempel 4. Omgå enkeltpunkter i integranden når du konstruerer en integrasjonskontur.
I eksemplene som ble vurdert, hadde integranden enten enkeltpunkter, eller de var innenfor integrasjonskonturen. derimot
Det kan være praktisk å velge en kontur slik at entallspunktene til funksjonen faller på den. Slike punkter må unngås. Bypass utføres
langs en sirkel med liten radius, som da rett og slett har en tendens til null. Som et eksempel, la oss beregne integralet .
Det kan virke som om integranden ikke har endelige singularpunkter, siden et punkt er en fjernbar singularitet.
Men for å beregne integralet må du komponere et konturintegral fra en annen funksjon (for å sikre at integralet går til null kl.
lukkende halvsirkel i grensen for uendelig radius): . Her har integranden en polsingularitet
på punktet.

Dermed kreves en annen integrasjonssløyfe (se fig. 4). Det er forskjellig fra fig. 3a bare ved det faktum at entallspunktet går rundt en halvsirkel,
hvis radius forventes å ha en tendens til null i fremtiden.
. (3)
La oss umiddelbart legge merke til at integralet over en stor halvsirkel i grensen for dens uendelig store radius har en tendens til null, og innenfor konturen
det er ingen entallspunkter, så hele integralet langs konturen er null. Deretter vurderer du de første og tredje leddene i (3):

.
La oss nå skrive integralet over en liten halvsirkel, og ta hensyn til det på den. Vi vil også umiddelbart ta hensyn til hvor liten radiusen til halvsirkelen er:


Begrepene som har en tendens til null i grensen skrives ikke ut.
Vi samler begrepene i (3) - bortsett fra begrepet knyttet til den store halvsirkelen.

Som man kan se, utsletter begrepene som går til det uendelige ved hverandre. Regi og , vi har
.
Merk. For eksempel beregnes Dirichlet-integralet på en helt lignende måte (husk at det skiller seg fra det som nettopp ble vurdert av fraværet
kvadrater i telleren og nevneren).

Eksempler på beregning av bestemte integraler ved hjelp av kontur
integrasjon i det komplekse planet (fortsettelse)

Eksempel 5. Integranden har utallige enkeltstående punkter.
I mange tilfeller er valget av kontur komplisert av det faktum at integranden har et uendelig antall entallspunkter. I dette tilfellet kan det
det viser seg at summen av restene faktisk vil være nær, hvis konvergens fortsatt må bevises hvis vi summerer det opp
det fungerer ikke (og oppsummeringsserier er generelt ganske separate vanskelig oppgave). Som et eksempel, la oss beregne integralet.
Det er tydelig at en del av konturen er den virkelige aksen. Funksjonen har ingen spesielle funksjoner. La oss diskutere hvordan du lukker sløyfen. Du bør ikke velge en halvsirkel.
Faktum er at den hyperbolske cosinus har en familie enkle nuller . Derfor inne i konturen lukket av en halvsirkel
i grensen til en uendelig stor radius, vil det være uendelig mange entallspunkter. Hvordan kan du ellers lukke sløyfen? Legg merke til det .
Det følger at du kan prøve å inkludere et segment parallelt med den reelle aksen i integrasjonskonturen. Kretsen vil lukkes med to
vertikale segmenter, i grensen plassert uendelig langt fra den imaginære aksen (se fig. 5).


På vertikale deler av konturen . Den hyperbolske cosinus vokser eksponentielt med økende argumentasjon (i absolutt verdi), derfor
i grensen har integralene over de vertikale seksjonene en tendens til null.

Så, i grensen
.
På den annen side, inne i integrasjonskonturen er det to entallspunkter i integranden. Fradrag i dem
,
.
Derfor,
.

Eksempel 6. Integranden til de definitive og konturintegralene er forskjellige.
Det er et veldig viktig tilfelle av å beregne bestemte integraler ved å bruke konturintegrasjonsmetoden. Fortsatt integrand
konturintegralfunksjonen falt enten sammen med integranden til et visst integral, eller gikk inn i den ved separasjon
ekte eller imaginær del. Men ting viser seg ikke alltid å være så enkelt. La oss beregne integralet.
Når det gjelder valg av krets, er det ikke noe spesielt problem. Selv om funksjonen under integralet har uendelig mange enkle poler, vet vi allerede
Basert på erfaringen fra det forrige eksemplet, er det nødvendig med en rektangulær kontur, siden . Den eneste forskjellen fra eksempel 5 er det
at polen til integranden faller på den rette linjen, som må omgås. Derfor velger vi den som vises
i fig. 6 krets.

Vurder konturintegralen. Vi vil ikke male det på hver seksjon av konturen, og begrense oss til horisontal
i seksjoner. Integralet langs den reelle aksen har en tendens til ønsket verdi i grensen. La oss skrive integralene over de resterende delene:
.
I grensen vil de to første integralene gi , deretter vil de gå inn i konturintegralet i sum
med den ønskede, som avviker i fortegn. Som et resultat vil det ønskede bestemte integralet falle ut av konturintegralet. Det betyr at
integranden ble valgt feil. La oss vurdere en annen integral: . Vi lar omrisset være det samme.

Til å begynne med, la oss igjen vurdere integraler over horisontale seksjoner. Integralet langs den reelle aksen vil forvandles til .
Dette integralet er lik null som integralet merkelig funksjon innenfor symmetriske grenser.

I grensen vil de to første parentesene forsvinne og igjen danne integraler av odde funksjoner
innenfor symmetriske grenser. Men den siste braketten, opp til en faktor, vil gi den nødvendige integralen. Det er fornuftig å fortsette beregningen.
I likhet med eksempel 5 har integralene over de vertikale delene av konturen en tendens til null ved . Det gjenstår å finne integralet
langs en halvsirkel, hvor . Som i eksempel 4, beregner vi integralet, tar hensyn til litenheten til:
.
Så vi har alt for å skrive ned konturintegralet i grensen:

På den annen side, inne i integrasjonskonturen var det en pol til integrand-funksjonen

La oss vurdere en jevn kurve Γ på det komplekse planet definert av de parametriske ligningene

(definisjonen av en jevn kurve er gitt i begynnelsen av §8). Som nevnt i § 8, kan disse ligningene skrives i en kompakt form:

Når du endrer en parameter t fra EN til /3 tilsvarende punkt z(t) vil bevege seg langs kurven Г. Derfor bestemmer ligningene (15.1) og (15.2) ikke bare punktene til kurven Г, men spesifiserer også traverseringsretningen til denne kurven. Kurve Г с gitt retning dens bypass kalles orientert kurve.

Slipp inn i området D C C er gitt en kontinuerlig funksjon /(r) = = u(x, y) + iv(x.y), og la kurven G ligge inn D.Å introdusere begrepet integral [f(z)dz fra funksjon f(z) langs kurven Г bestemmer vi r

differensial dz likestilling dz = dx + idy. Integrand-uttrykket transformeres til formen

Dermed integralet av den komplekse funksjonen f(z) langs kurven Г det er naturlig å definere ved likheten

V høyre side som inkluderer to reelle krumlinjede integraler av den andre typen reelle funksjoner Og Og Og. For å beregne disse integralene, i stedet for X Og på erstatningsfunksjoner x(t) og t/(/), og i stedet dx Og dy- forskjeller mellom disse funksjonene dx = x"(t)dt Og dy = y"(t)dt. Da vil integralene på høyre side av (15.3) reduseres til to integraler av funksjoner til en reell variabel t

Vi er nå klare til å gi følgende definisjon.

Integrert langs en kurve G på funksjonen til en kompleks variabel f(z) er tallet angitt med J" f(z)dz og beregnet av

Hvor z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, - ligning av kurve Г, a z"(t) = = x"(t) + iy"(t).

Eksempel 15.1. Regn ut integralet til en funksjon f(z) = (g - a) s langs en sirkel med radius r med sentrum a, hvis retning er mot klokken.

Løsning: Likning av en sirkel z - a= r vil være z - a = ge a, eller

Når det endres t. fra 0 til 2tg poeng z(t.) beveger seg langs sirkelen G mot klokken. Deretter

Ved å bruke likhet (15.5) og Moivres formel (2.10) får vi

Vi har fått et resultat som er viktig for videre diskusjon:

Merk at verdien til integralet ikke avhenger av radiusen G sirkler.

Eksempel 15.2. Regn ut integralet til en funksjon f(z) = 1 men en jevn kurve Г med begynnelsen ved punktet EN og avslutte på et punkt b.

Løsning La kurven Г være gitt av ligningen z(t.) = x(t) + + iy(t), og ^ t^ /3, og EN= -g(a), b = z((3). Ved å bruke formel (15.5), samt Newtons Leibniz-formel for å beregne integraler av reelle funksjoner, får vi

Vi ser at integralen f 1 dz er ikke avhengig av typen sti G, kobler

felles punktene a og 6, a avhenger kun av sluttpunktene.

La oss kort skissere en annen tilnærming til å bestemme integralet til en kompleks funksjon f(z) langs en kurve, lik definisjonen av integralet av reell funksjon langs segmentet.

La oss dele kurven Г vilkårlig inn i P plott med prikker zq = a, z 1, ..., z n-ь z n = b, nummerert i bevegelsesretningen fra startpunktet til sluttpunktet (fig. 31). La oss betegne z - zo = = Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, z n -Zn- 1 = = Azn.(Antall Azk representert ved en vektor som kommer fra punktet zi L_i inn Zk-) På hvert sted (zk-i,Zk) velg en kurve vilkårlig poeng(d- og la oss gjøre opp beløpet

Dette beløpet kalles integrert sum. La oss betegne med A lengden på den største av seksjonene som kurven G er delt inn i. Tenk på rekkefølgen av partisjoner for hvilke A -? 0 (samtidig P-* oo).

Enheten av integral summer, beregnet under forutsetning av at lengden av den største delen av partisjonen har en tendens til null, kalles integral av funksjonen/(G) langs kurven G og betegnet med G f(z)dz:

Det kan vises at denne definisjonen også leder oss til formel (15.3) og er derfor ekvivalent med definisjonen (15.5) gitt ovenfor.

La oss installere grunnleggende egenskaper integral / f(z)dz.

1°. Linearitet. For alle komplekse konstanter a og b

Denne egenskapen følger av likhet (15,5) og de tilsvarende egenskapene til integralet over et segment.

2°. Additivitet. Hvis kurven G delt inn i seksjoner Ti m G2, At

Bevis. La kurven Г med ender a, b delt med punkt c i to deler: kurve Gi med ender a, Med og kurven GG med endene c, b. La Γ være gitt ved ligningen z = z(t), EN ^ t ^ V. og EN= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Da blir ligningene til kurvene Г1 og Гг z = z(t), Hvor EN ^ t^7 for Ti og 7^ t^/? for Gg. Ved å anvende definisjon (15.5) og de tilsvarende egenskapene til integralet over et segment får vi

Q.E.D.

Egenskapen 2° lar deg beregne integraler ikke bare over jevne kurver, men også over stykkevis glatt, dvs. kurver som kan deles inn i endelig nummer glatte områder.

3°. Ved endring av kurvens retning, skifter integralet fortegn.

Bevis på l s t v o. La kurven Г med ender EN Og b er gitt av ligningen r = r(?), o ^ t ^ $. En kurve som består av de samme punktene som Γ, men som avviker fra Γ i traverseringsretningen (orientering), vil bli betegnet med Γ“. Da er Г - gitt av ligningen z= 2i(J)> hvor z(t)= 2(0 -I - fi - t), Faktisk, la oss introdusere en ny variabel r = a + - t. Når det endres t fra a til (d variabel g varierer fra (5 til en. Følgelig vil punktet r(t) løpe langs kurven Γ".

3°-egenskapen er bevist. (Merk at fra definisjonen av integralet (15.8) følger denne egenskapen direkte: når orienteringen til kurven endres, øker alle inkrementer AZk endre tegn.)

4°. Modulen til integralet f f(z)dz overskrider ikke verdien til krumlinjet G

lineært integral av modulen til funksjonen langs lengden av kurven s (kurvilineært integral av f(z) av den første typen):

Det er lett å se det z[(t) = g" g (t)(a + - t)J = -z" t (t), dt = -dr. Ved å bruke definisjon (15.5) og gå over til variabelen r, får vi

Bevis. La oss bruke det faktum at for integralet over et segment

(denne ulikheten følger umiddelbart av definisjonen av et integral over et segment som grensen for integral summer). Herfra og fra (15.5) har vi

1. Grunnleggende begreper

2. Beregning av integraler av funksjoner til en kompleks variabel

3. Eksempler på beregning av integraler av funksjoner til en kompleks variabel

4. Cauchys hovedteorem for en enkel kontur

5. Cauchys teorem for en kompleks kontur

6. Cauchy integrert formel

7. Beregning av integraler over en lukket sløyfe

8. Eksempler på beregning av integraler over en lukket sløyfe

Enkle konsepter

1. Konseptet med et integral av en funksjon av en kompleks variabel introduseres (på samme måte som i det reelle området) som grensen for en sekvens av integralsummer; funksjonen er definert på en eller annen kurve l, kurven antas å være jevn eller stykkevis jevn:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

hvor x_k er et punkt valgt på buen \Delta l_k til kurvepartisjonen; \Delta z_k - økning av funksjonsargumentet i denne partisjonsdelen, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- partisjonstrinn, |\Delta z_k| - lengden på akkorden som forbinder endene av buen \Delta l_k ; kurve l er delt vilkårlig inn i n deler \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Retningen valgt på kurven, dvs. start- og sluttpunkter er angitt. Ved lukket kurve \tekststil(\venstre(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integrasjon skjer i positiv retning, dvs. i en retning som etterlater et begrenset område til venstre, avgrenset av en kontur.

Formel (2.43) avgjør linjeintegral av en funksjon av en kompleks variabel. Hvis vi skiller de reelle og imaginære delene av funksjonen f(z), dvs. skriv det i skjemaet

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatørnavn(Re)f(z),\quad v=\operatørnavn(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

da kan integralsummen skrives i form av to ledd, som vil være integralsummene av krumlinjede integraler av den andre typen funksjoner til to reelle variabler. Hvis f(z) antas å være kontinuerlig på l, så vil u(x,y),~ v(x,y) også være kontinuerlig på l, og derfor vil det være begrensninger på de tilsvarende integral summene. Derfor, hvis funksjonen f(z) er kontinuerlig på l, så eksisterer grensen i likhet (2,43), dvs. det er et krumlinjet integral av funksjonen f(z) langs kurven l og formelen holder

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Ved å bruke definisjonen av integralet eller formelen (2.44) og egenskapene til krumlinjede integraler av den andre typen, er det lett å verifisere gyldigheten til følgende egenskaper krumlinjet integral av funksjoner til en kompleks variabel (egenskaper kjent fra reell analyse).

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \venstre|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(justert)

spesielt, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), hvis funksjonen er begrenset i størrelse på kurven AB, dvs |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Denne egenskapen kalles egenskapen til å estimere modulen til integralet.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Formel (2.44) kan betraktes både som en definisjon av et krumlinjet integral av en funksjon av en kompleks variabel, og som en formel for å beregne det gjennom krumlinjede integraler av den andre typen funksjoner til to reelle variabler.

For å bruke og huske beregningsformelen, merker vi at likhet (2.44) tilsvarer den formelle utførelsen på venstre side under integrertegnet for handlingene for å skille de reelle og imaginære delene av funksjonen f(z), multiplisert med dz= dx+i\,dy og skrive det resulterende produktet inn algebraisk form:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Eksempel 2.79. Beregn integraler og \int\limits_(OA)z\,dz, hvor linje OA

a) en rett linje som forbinder punktene z_1=0 og z_2=1+i,
b) stiplet linje OBA, hvor O(0;0),~ A(1;1),~ B(1;0).

▼ Løsning

1. Regn ut integralet \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Her f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Vi skriver integralet i form av krumlinjede integraler av den andre typen:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

som tilsvarer formel (2.44). Vi beregner integralene:

a) integrasjonsveien er derfor et rett linjesegment \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) integrasjonsveien er en stiplet linje som består av to segmenter OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) Og BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Derfor får vi ved å dele integralet i to og utføre beregninger

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Integralet til funksjonen f(z)=\overline(z) avhenger av valget av integrasjonsveien som forbinder punktene O og A.

2. Regn ut integralet \tekststil(\int\limits_(OA)z\,dz) her f(z)=z=x+iy. Vi skriver integralet i form av krumlinjede integraler av den andre typen

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Integrandene til de oppnådde integralene av den andre typen er fulle differensialer(se betingelse (2.30)), derfor er det nok å vurdere ett tilfelle av integrasjonsveien. Så, i tilfelle "a", hvor ligningen til segmentet y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, får vi svaret

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

På grunn av integralets uavhengighet fra integreringsveiens form, er oppgaven i i dette tilfellet kan formuleres i flere generelt syn: beregn integralet

\int\limits_(l)z\,dz fra punkt z_1=0 til punkt z_2=1+i.

I neste avsnitt vil vi vurdere slike tilfeller av integrering mer detaljert.

2. La integralet til en kontinuerlig funksjon i et bestemt område ikke avhenge av typen kurve som forbinder to punkter i dette området. La oss fikse startpunktet, som betegner z_0. endepunktet er en variabel, la oss betegne det z. Da vil verdien av integralet bare avhenge av punktet z, det vil si at det bestemmer en funksjon i det angitte området.

Nedenfor vil vi gi en begrunnelse for påstanden om at i tilfelle av et enkelt tilkoblet domene, definerer integralet en funksjon med én verdi i dette domenet. La oss introdusere notasjonen

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Funksjon F(z) - integral med variabel øvre grense.

Ved å bruke definisjonen av derivat, dvs. med tanke på \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), er det lett å verifisere at F(z) har en derivert på et hvilket som helst punkt i definisjonsdomenet, og derfor er analytisk i det. I dette tilfellet får vi formelen for den deriverte

F"(z)=f(z).

Den deriverte av et integral med en variabel øvre grense er lik verdien av integranden ved den øvre grensen.

Spesielt av likhet (2.46) følger det at integrandfunksjonen f(z) i (2.45) er en analytisk funksjon, siden den deriverte F"(z) av den analytiske funksjonen F(z) av egenskapen til slike funksjoner (se påstand 2.28) - analytisk funksjon.

3. Funksjonen F(z) som likhet (2.46) gjelder kalles en antiderivert for funksjonen f(z) i et enkelt koblet domene, og samlingen av antiderivater \Phi(z)=F(z)+c, hvor c=\text( const) , - ubestemt integral fra funksjonen f(z) .

Fra punkt 2 og 3 får vi følgende utsagn.

Uttalelse 2.25

1. Integrert med variabel øvre grense \tekststil(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) fra en funksjonsanalytisk i et enkelt tilkoblet domene er en funksjonsanalytisk i dette domenet; denne funksjonen er et antiderivat av integranden.

2. Enhver analytisk funksjon i et enkelt koblet domene har et antiderivat (eksistensen av et antiderivat).

Antiderivater av analytiske funksjoner i enkelt koblede domener finnes, som i tilfellet med reell analyse: egenskapene til integraler, tabellen over integraler og reglene for integrasjon brukes.

For eksempel, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Mellom krumlinjet integral fra en analytisk funksjon og dens antiderivat i et enkelt koblet domene er det en formel som ligner på Newton-Leibniz-formelen fra ekte analyse:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Som i reell analyse, i det komplekse domenet vurderer vi, i tillegg til integraler som inneholder en parameter innenfor grensene for integrasjon (formel (2.45) gir enkleste eksempelet slike integraler), integraler som avhenger av parameteren i integraden: \tekststil(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Blant slike integraler viktig sted i teori og praksis kompleks integrasjon og applikasjoner det tar en integral av formen \tekststil(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Forutsatt at f(z) er kontinuerlig på linjen l, får vi at for ethvert punkt z som ikke tilhører l, eksisterer integralet og definerer en bestemt funksjon i ethvert domene som ikke inneholder l

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Integral (2.48) kalles en Cauchy-type integral; faktoren \frac(1)(2\pi\,i) introduseres for å gjøre det enklere å bruke den konstruerte funksjonen.

For denne funksjonen, som for funksjonen definert av likhet (2.45), er det bevist at den er analytisk overalt i definisjonsdomenet. Dessuten, i motsetning til integralet (2.45), er det her ikke påkrevd at den genererende funksjonen f(z) skal være analytisk, dvs. etter formel (2.48) på klassen kontinuerlige funksjoner kompleks variabel, er en klasse av analytiske funksjoner konstruert. Den deriverte av integralet (2.48) bestemmes av formelen

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

For å bevise formel (2.49) og derfor utsagnet om analytisiteten til Cauchy-typeintegralet, er det tilstrekkelig, i henhold til definisjonen av den deriverte, å fastslå gyldigheten av ulikheten

\venstre|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\høyre|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

for enhver \varepsilon>0 og for enhver z fra definisjonsdomenet til funksjonen F(z) .

Ved å bruke samme metode kan det vises at det finnes en derivert av funksjonen definert av likhet (2.49), dvs. F""(z) , og formelen er gyldig

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Prosedyren kan fortsettes og bevises ved induksjon av formelen for den deriverte av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen F(z)\kolon

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Ved å analysere formlene (2.48) og (2.49), er det enkelt å verifisere at den deriverte F(z) kan oppnås formelt ved å differensiere med hensyn til parameteren under integrertegnet i (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \venstre(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! \venstre(\frac(f) (\xi))(\xi-z)\høyre)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Ved å formelt anvende regelen for å differensiere integralet avhengig av parameteren n ganger, får vi formelen (2.50).

Vi skriver resultatene oppnådd i denne delen i form av en uttalelse.

Uttalelse 2.26. Integral \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi av en funksjon f(z) kontinuerlig på en kurve l er en funksjon som er analytisk i et hvilket som helst domene D som ikke inneholder l; derivater av denne funksjonen kan oppnås ved differensiering med hensyn til parameteren under integrertegnet.

Beregning av integraler av funksjoner til en kompleks variabel

Ovenfor fikk vi formler for å beregne integraler av funksjoner til en kompleks variabel - formler (2.44) og (2.47).

Hvis kurven l i formel (2.44) er spesifisert parametrisk: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta eller, som tilsvarer den faktiske formen: \begin(cases) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, så, ved å bruke reglene for å beregne integraler av den andre typen i tilfelle av en parametrisk definisjon av en kurve, kan vi transformere formel (2.44) til formen

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Vi vil skrive ned resultatet oppnådd og resultatene oppnådd i forrige forelesning som en rekke handlinger.

Metoder for beregning av integraler \tekststil(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Første vei. Beregning av integraler \tekststil(\int\limits_(l)f(z)\,dz) fra en kontinuerlig funksjon ved reduksjon til krumlinjede integraler av funksjoner til reelle variabler - anvendelse av formel (2.44).

1. Finn \operatørnavn(Re)f(z)=u,~ \operatørnavn(Im)f(z)=v.

2. Skriv integranden f(z)dz som et produkt (u+iv)(dx+i\,dy) eller multipliser, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Beregn kurvelinjeformede integraler av formen \tekststil(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Hvor P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) i henhold til reglene for beregning av krumlinjede integraler av den andre typen.

Andre vei. Beregning av integraler \tekststil(\int\limits_(l) f(z)\,dz) fra en kontinuerlig funksjon ved reduksjon til et bestemt integral ved en parametrisk definisjon av integrasjonsveien - anvendelse av formel (2.51).

1. Skriv ned den parametriske ligningen til kurven z=z(t) og ut fra den bestem grensene for integrasjon: t=\alpha tilsvarer startpunktet for integrasjonsbanen, t=\beta - sluttpunktet.

2. Finn differensialen til en funksjon med kompleks verdi z(t)\kolon\, dz=z"(t)dt.
3. Bytt ut z(t) i integranden og transformer integralet

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Beregn det definitive integralet til funksjonen med kompleks verdi til en reell variabel oppnådd i trinn 3.

Legg merke til at integrering av en funksjon med kompleks verdi av en reell variabel ikke er forskjellig fra å integrere en funksjon med reell verdi; den eneste forskjellen er tilstedeværelsen i det første tilfellet av en faktor i, handlinger som naturligvis betraktes som med en konstant. For eksempel,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Tredje vei. Beregning av integraler av analytiske funksjoner i enkelt koblede domener - anvendelse av formel (2.47).

1. Finn antideriverten F(z) ved å bruke egenskapene til integraler, tabellintegraler og metoder kjent fra reell analyse.

2. Bruk formel (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Merknader 2.10

1. I tilfellet med et multiplisert sammenkoblet område, foretas kutt slik at en funksjon F(z) med én verdi kan oppnås.

2. Ved integrering av enkeltverdiede grener av flerverdifunksjoner, skilles grenen ved å spesifisere verdien av funksjonen på et bestemt punkt på integrasjonskurven. Hvis kurven er lukket, anses startpunktet for integrasjonsbanen å være punktet der verdien til integranden er spesifisert. Verdien av integralet kan avhenge av valget av dette punktet.

▼ Eksempler 2.80-2.86 for beregning av integraler av funksjoner til en kompleks variabel

Eksempel 2.80. Regne ut \int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz, hvor l er linjen som forbinder punktet z_1=0 til punktet z_2=1+i\kolon

a) l - rett; b) l - stiplet linje OBA, hvor O(0;0),~ B(1;0),~ A(1;1).

▼ Løsning

a) Vi bruker den første metoden - (formel (2.44)).

1.2. Integranden har formen \operatørnavn(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Derfor

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Regn ut integralene ved y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(ligning av segmentet OA-forbindelsespunktene z_1 og z_2). Vi får

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Siden integrasjonsbanen består av to segmenter, skriver vi integralet som summen av to integraler:

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatørnavn(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatørnavn(Re)z\,dz

og vi beregner hver enkelt som i forrige avsnitt. Dessuten har vi for segmentet OB

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) og for segmentet BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

Vi gjør beregninger:

\int\limits_(l)\operatørnavn(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Merk at integranden i dette eksemplet ikke er en analytisk funksjon, så integralene langs to forskjellige kurver som forbinder to gitte punkter kan ha forskjellige verdier, som illustrert i dette eksemplet.

Eksempel 2.81. Regne ut \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, der l er den øvre halvsirkelen |z|=1, som krysser kurven l mot klokken.

▼ Løsning

Kurven har en enkel parametrisk ligning z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, derfor er det praktisk å bruke den andre metoden (formel (2.51)). Integranden her er en kontinuerlig funksjon og er ikke analytisk.

1.2. For z=e^(it) finner vi \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Bytt inn i integranden. Regn ut integralet

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Eksempel 2.82. Beregn integraler av analytiske funksjoner:

EN) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), går ikke integrasjonsveien gjennom punkt i.

▼ Løsning

a) Bruk formel (2.47) (tredje regel); Vi finner antiderivatet ved å bruke metoder for integrering av reell analyse:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \venstre.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatørnavn(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatørnavn(sh)2).

b) Integranden er analytisk overalt bortsett fra punkt i. Ved å kutte planet langs strålen fra punkt i til \infty , får vi et enkelt koblet område der funksjonen er analytisk og integralet kan beregnes ved hjelp av formel (2.47). Derfor, for enhver kurve som ikke går gjennom punkt i, kan du beregne integralet ved hjelp av formel (2.47), og for to gitte punkter vil den ha samme verdi.

I fig. Figur 2.44 viser to tilfeller av kutt. Retningen for å krysse grensen til enkelt koblede områder der integranden er analytisk, er indikert med piler. Vi beregner integralet:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \venstre.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1) )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Eksempel 2.83. Beregn integral \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Løsning

Integranden er analytisk overalt i \mathbb(C) . Vi bruker den tredje metoden, formel (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \venstre.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Dette resultatet ble oppnådd i eksempel 2.78 i henhold til den første metoden.

Eksempel 2.84. Beregn integral \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), hvor C er sirkelen |z-a|=R.

▼ Løsning

La oss bruke den andre metoden.

1. Vi skriver likningen til sirkelen i parametrisk form: z-a=R\,e^(it) , eller z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Finn differensialen dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Bytt ut z=a+R\,e^(it) og dz i integranden:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Vi beregner det resulterende bestemte integralet. For n\ne1 får vi

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Fordi e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Derfor \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 ved n\ne1 . For n=1 får vi \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

La oss skrive resultatet som en formel:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Spesielt, \tekststil(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Legg merke til at hvis sirkelen C\kolon |z-a|=R krysses av et punkt k ganger, endres argumentet (parameteren) fra 0 til 2\pi k ( k>0 hvis kryssingen er i positiv retning, dvs. mot klokken og k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Eksempel 2.85. Beregn integralet til en funksjon av en kompleks variabel \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) integrasjonsbanen går ikke gjennom punktet z=0 og går ikke rundt det, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) integrasjonsbanen går ikke gjennom punktet z=0, men går rundt det n ganger rundt sirkelen mot klokken.

▼ Løsning

a) Dette integralet - et integral med en variabel øvre grense - definerer en enkeltverdi analytisk funksjon i et hvilket som helst enkelt tilkoblet domene (se 2.45)). La oss finne et analytisk uttrykk for denne funksjonen - antideriverten for f(z)=\frac(1)(z) . Skille de virkelige og imaginære delene av integralet \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(ved å bruke formel (2.44)), er det lett å verifisere at integrandene til integraler av den andre typen er komplette differensialer, og derfor er integralet \frac(d\xi)(\xi) ikke avhengig av kurvetypen kobler punktene z_1=1 og z. La oss velge en bane som består av et segment av Ox-aksen fra punktet z_1=1 til punktet z_2=r, hvor r=|z| , og buer l av en sirkel. kobler z_2 til z (fig. 2.45, a).

Vi skriver integralet som en sum: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). For å beregne integralet over en sirkelbue bruker vi formel (2.51), buen har ligningen \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Vi får \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; som et resultat

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Høyre side av likheten definerer en funksjon med én verdi \ln z - hovedverdien til logaritmen. Svaret får vi i skjemaet

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Merk at den resulterende likheten kan tas som definisjonen av en funksjon med én verdi \ln z i et enkelt koblet domene - et plan med et kutt langs den negative reelle halvaksen (-\infty;0] .

b) Integralet kan skrives som en sum: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d) \xi)(\xi), hvor c er en sirkel |z|=1 krysset n ganger mot klokken, og l er en kurve som forbinder punktene z_1 og z og ikke dekker punktet z=0 (fig. 2.45, b).

Det første leddet er lik 2n\pi i (se eksempel 2.84), det andre er \ln(z) - formel (2.53). Vi får resultatet \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Eksempel 2.86. Beregn integral \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) langs den øvre sirkelbuen |z|=1 gitt: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Løsning

Ved å angi verdiene til funksjonen \sqrt(z) på et punkt på integrasjonskonturen kan du velge entydige grener av uttrykket \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(se eksempel 2.6). Kuttet kan for eksempel gjøres langs en tenkt negativ halvakse. Siden for z=1 har vi \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, så i det første tilfellet velges grenen med k=0, i det andre - med k=1. Integranden på integrasjonskonturen er kontinuerlig. For å løse bruker vi formel (2.51), definer kurven med ligningen z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Grenen bestemmes til k=0, dvs. fra z=e^(it) for integranden vi får \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Vi beregner integralet:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2) \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \venstre(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\høyre)= 2(i-1).

b) Grenen bestemmes til k=1, dvs. fra z=e^(it) for integranden vi har \sqrt(z)= e^(i \venstre(\frac(t)(2)+\pi\høyre))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Vi beregner integralet:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i) \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

I teori og praksis, i anvendelser av integralberegning av funksjoner til en kompleks variabel, når man studerer oppførselen til funksjoner i avgrensede områder eller i nærheten av individuelle punkter, blir integraler vurdert over lukkede kurver - grensene til områder, spesielt nabolag av poeng. Vi vil vurdere integralene \oint\limits_(C)f(z)dz, hvor f(z) er analytisk i noen c-regioner, med unntak av individuelle punkter, er C grensen til regionen eller den indre konturen i denne regionen.

Cauchys grunnleggende teorem for en enkel kontur

Teorem 2.1 (Cauchys teorem for en enkel kontur). Hvis f(z) er analytisk i et enkelt tilkoblet domene, gjelder følgende likhet for enhver kontur C som tilhører dette domenet:

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Beviset for teoremet er lett å få basert på egenskapen til analytiske funksjoner, ifølge hvilken en analytisk funksjon har deriverte av en hvilken som helst rekkefølge (se påstand 2.28). Denne egenskapen sikrer kontinuiteten til partielle derivater av \operatørnavn(Re)f(z) Og \operatørnavn(Im)f(z), derfor, hvis vi bruker formel (2.44), så er det lett å se at for hver av integrandene i krumlinjede integraler av den andre typen, er betingelsene for den totale differensialen oppfylt, som Cauchy-Riemann-betingelsene for analytiske funksjoner. Og integraler over lukkede kurver fra totale differensialer er lik null.

Legg merke til at alle teoretiske posisjoner presentert nedenfor til syvende og sist er basert på dette viktige teoremet, inkludert den ovennevnte egenskapen til analytiske funksjoner. Slik at det ikke er noen tvil om riktigheten av presentasjonen, merker vi at teoremet kan bevises uten referanse til eksistensen av dens derivater bare på grunnlag av definisjonen av en analytisk funksjon.

Konklusjoner fra teorem 2.1

1. Teoremet er også gyldig hvis C er grensen til domenet D, og ​​funksjonen f(z) er analytisk i domenet og på grensen, dvs. i \overline(D) siden analytisitet i \overline(D) per definisjon innebærer analytisitet av funksjonen i et domene B som inneholder D~(B\upset\overline(D)), og C vil være den indre konturen i B.

2. Integraler over forskjellige kurver som ligger i et enkelt koblet analytisk domene for en funksjon og forbinder to punkter i dette domenet er lik hverandre, dvs. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, hvor l_1 og l_2 er vilkårlige kurver som forbinder punktene z_1 og z_2 (fig. 2.46).

For å bevise det er det nok å vurdere konturen C, bestående av kurve l_1 (fra punkt z_1 til punkt z_2) og kurve l_2 (fra punkt z_2 til punkt z_1). Eiendommen kan formuleres som følger. Integralet til en analytisk funksjon er ikke avhengig av typen integrasjonskurve som forbinder to punkter i funksjonens analytiske domene og forlater ikke dette domenet.

Dette gir en begrunnelse for påstand 2.25 gitt ovenfor om egenskapene til integralet \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi og om eksistensen av en primitiv analytisk funksjon.

Cauchys teorem for en kompleks kontur

Teorem 2.2 (Cauchys teorem for en kompleks kontur). Hvis funksjonen f(z) er analytisk i et multiplisert tilkoblet domene avgrenset av en kompleks kontur, og på denne konturen, så er integralet til funksjonen over grensen til domenet lik null, dvs. hvis C er en kompleks kontur - grensen til domenet, da er formel (2.54) gyldig ).

En kompleks kontur C for en (n+1) - forbundet region består av en ytre kontur \Gamma og intern - C_i,~i=1,2,\ldots,n; konturene skjærer seg ikke parvis, grenseomveien er positiv (i fig. 2.47, n=3).

For å bevise teorem 2.2 er det nok å lage kutt i området (stiplet linje i fig. 2.47) slik at man får to enkelt sammenkoblede områder og bruke teorem 2.1.

Konklusjoner fra teorem 2.2

1. Når betingelsene i teorem 2.2 er oppfylt, er integralet over den ytre konturen lik summen av integralene over de indre konturene; bypass på alle kretser i én retning (i fig. 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Hvis f(z) er analytisk i et enkelt koblet domene D og på grensen til domenet, med mulig unntak av punkt a i dette domenet, vil integralene over ulike lukkede kurver som ligger i domenet D og binder domener som inneholder punktet a er like innbyrdes (fig. 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Beviset er åpenbart, siden hver slik kontur kan betraktes som den indre grensen til et dobbeltforbundet område, hvis ytre grense er grensen til region D. I samsvar med formel (2.55) for n=1, er ethvert slikt integral lik integralet over grensen D.

Ved å sammenligne formuleringene til setning 2.2 og konsekvens 1 fra setning 2.1 kan vi gjøre en generalisering, som vi skriver i form av følgende utsagn.

Uttalelse 2.27. Hvis f(z) er analytisk i D, da , hvor C er grensen til domenet D (enkel eller kompleks kontur).

Integrert Cauchy-formel

Den neste teoremet, i motsetning til de to foregående, vurderer integralet til en funksjon, som, selv om den ikke er analytisk i området begrenset av integrasjonskonturen, har en spesiell form.

Teorem 2.3. Hvis funksjonen f(z) er analytisk i domenet D og på dets grense C, så gjelder likheten for ethvert internt punkt a i domenet (a\in D)

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Region D kan enkelt kobles eller multipliseres, og grensen til regionen kan være en enkel eller kompleks kontur.

Beviset for tilfellet med et enkelt tilkoblet domene er basert på resultatet av setning 2.1, og for et multiplisert tilkoblet domene reduseres det til tilfellet med enkelt tilkoblede domener (som i beviset til setning 2.2) ved å lage kutt som ikke gjør det gå gjennom punktet a.

Det skal bemerkes at punkt a ikke tilhører grensen til regionen og derfor er integranden kontinuerlig på C og integralet eksisterer.

Teoremet er av viktig anvendt interesse, nemlig i henhold til formel (2.57), løses det såkalte grenseverdiproblemet for funksjonsteori: fra verdiene til funksjonen på grensen til domenet, dens verdi ved enhver intern punktet er bestemt.

Merknad 2.11. Under betingelsene for teoremet, integralet \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definerer en analytisk funksjon i et hvilket som helst punkt z som ikke tilhører konturen C, og i punktene i det endelige området D avgrenset av konturen er den lik f(z) (i henhold til formel (2.57)), og utenfor \overline( D) den er lik null på grunn av Cauchys teorem. Dette integralet, kalt Cauchy-integralet, er et spesialtilfelle av Cauchy-typen (2.48). Her er konturen lukket, i motsetning til den vilkårlige i (2.48), og funksjonen f(z) er analytisk, i motsetning til kontinuerlig på l i (2.48). For Cauchy-integralet er derfor uttalelse 2.26 om eksistensen av derivater, formulert for en integral av Cauchy-typen, gyldig. På bakgrunn av dette kan følgende utsagn formuleres.

Uttalelse 2.28

1. Den analytiske funksjonen på ethvert analytisk punkt kan skrives som en integral

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. En analytisk funksjon har derivater av hvilken som helst rekkefølge, som formelen er gyldig for

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Formel (2.59) gir en integrert representasjon av derivatene til den analytiske funksjonen.

Beregning av lukket sløyfe-integraler

Vi vil vurdere integraler av skjemaet \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, hvor funksjonen \varphi(z) er analytisk i D, og ​​\psi(z) er et polynom som ikke har nuller på konturen C. For å beregne integraler benyttes teoremene fra forrige forelesning og følgene deres.

Regel 2.6. Ved beregning av integraler av skjemaet \oint\limits_(C)f(z)\,dz Avhengig av arten (multiplisiteten) til nullpunktene til polynomet \psi(z) og deres plassering i forhold til konturen C, kan fire tilfeller skilles.

1. Det er ingen nuller av polynomet \psi(z) i domene D. Deretter f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funksjonen er analytisk, og ved å bruke Cauchys fundamentalteorem har vi resultatet \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. I område D er det en enkel null z=a av polynomet \psi(z) . Deretter skriver vi brøken på formen \frac(f(z))(z-a) , der f(z) er en funksjon som er analytisk i \overline(D) . Ved å bruke integralformelen får vi resultatet:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. I region D er det ett multiplum null z=a av polynomet \psi(z) (av multiplum n). Så skriver vi brøken i skjemaet \frac(f(z))((z-a)^n), hvor f(z) er en funksjon som er analytisk i \overline(D) . Ved å bruke formel (2.59), får vi resultatet

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. Region D inneholder to nuller av polynomet \psi(z)\kolon\,z_1=a og z_2=b. Deretter, ved å bruke Corollary 1 fra Theorem 2.2, skriver vi integralet på formen \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , der C er en vilkårlig kontur som begrenser området som inneholder punkt a .

▼ Løsning

Tenk på et dobbeltkoblet område, hvor den ene grensen er konturen C, den andre er sirkelen |z-a|=R. Ved konsekvens 2 fra setning 2.2 (se (2.56)) har vi

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Når vi tar i betraktning resultatet av å løse eksempel 2.84 (formel (2.52)), får vi svaret \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Merk at løsningen kan oppnås ved å bruke Cauchy-integralformelen med f(z)=1. Spesielt får vi \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, siden konturen C går rundt punktet z=0 én gang. Hvis konturen C går rundt punktet z=0 k ganger i positiv (k>0) eller negativ retning (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Eksempel 2.88. Regne ut \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), der l er en kurve som forbinder punktene 1 og z, som går rundt origo én gang.

▼ Løsning

Integranden er kontinuerlig på kurven - integralet eksisterer. For beregningen bruker vi resultatene fra forrige eksempel og eksempel 2.85. For å gjøre dette, vurder en lukket sløyfe, som kobler for eksempel punkt A med punkt 1 (fig. 2.50). Integrasjonsveien fra punkt 1 til punkt z gjennom punkt A kan nå representeres som bestående av to kurver - en lukket kontur C (kurve BDEFAB) og en kurve l_0 som forbinder punktene 1 og z gjennom punkt A\kolon

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Ved å bruke resultatene fra eksempel 2.85 og 2.87 får vi svaret:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Uten å endre det geometriske bildet kan vi vurdere tilfellet når kurven går rundt origo n ganger. La oss få resultatet

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Det resulterende uttrykket definerer en funksjon med flere verdier \operatørnavn(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), går ikke integrasjonsveien gjennom origo. Valget av gren av et uttrykk med flere verdier bestemmes ved å spesifisere verdien til funksjonen på et tidspunkt.

Eksempel 2.89. Finne \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), hvis \ln1=4\pi i .

▼ Løsning

Vi finner nullpunktene til nevneren - entallspunktene til integranden. Dette er punktene z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Deretter må du bestemme plasseringen av punktene i forhold til integrasjonskonturen. I begge tilfeller er ingen av punktene inkludert i området begrenset av konturen. Du kan verifisere dette ved å bruke tegningen. Begge konturene er sirkler, sentrum av den første er z_0=2+i og radius R=2; midten av den andre z_0=-2i og R=1. Du kan bestemme om et punkt tilhører en region på en annen måte, nemlig bestemme avstanden fra sentrum av sirkelen og sammenligne den med verdien av radiusen. For eksempel, for punkt z_2=4i er denne avstanden lik |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), som er større enn radiusen (\sqrt(13)>2) , så z_2=4i hører ikke til sirkelen |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Eksempel 2.91. Beregn i følgende tilfeller spesifikasjonene til konturen C\kolon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2.

▼ Løsning

Resonnement som i forrige eksempel finner vi at i begge tilfeller er kun ett av entallspunktene z_1=0 plassert inne i sirklene. Derfor, ved å bruke paragraf 2 i regel 2.6 (Cauchy integralformel), skriver vi integrandfunksjonen som en brøk \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), hvor telleren f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)- en funksjon som er analytisk i disse kretsene. Svaret er det samme for begge tilfeller:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \venstre.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\right|_(z=0)=0.

Eksempel 2.92. Regne ut \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz i følgende tilfeller med spesifikasjon av konturen C\kolon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2.

▼ Løsning

Integrasjonskonturene er sirkler, som ovenfor, og i tilfelle "a" er sentrum ved punktet z_0=-4i,~R=2, i tilfellet "b" - ved punktet z_0=1-3i,~R=2.nIn begge tilfeller faller ett punkt z_0=-4i innenfor de tilsvarende sirklene. Ved å bruke klausul 2 i regel 2.6, skriver vi integrandfunksjonen i skjemaet \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), hvor telleren f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) er en analytisk funksjon i de aktuelle områdene. Ved å bruke integralformelen får vi svaret:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \venstre.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatørnavn(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatørnavn(sh)1)(16)\,.

Eksempel 2.93. Beregn integralet i følgende tilfeller av spesifikasjon av konturen: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2.

▼ Løsning

Vi finner entallspunktene til integranden - nullpunktene til nevneren z_1=i,~z_2=-2. Vi bestemmer at punktene tilhører de tilsvarende områdene. I tilfelle av "a" i sirkelen |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

I tilfelle "b" i sirkelen |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), Hvor f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- analytisk funksjon i sirkelen |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+) i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Eksempel 2.94. Beregn integral \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) i følgende tilfeller med spesifikasjon av en kontur: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3.

▼ Løsning

a) Inn i sirkelen |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) og bruk klausul 3 i regel 2.6 med m=2 og a=i. Vi beregner integralet:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+) 2)\høyre)")\høyre|_(z=i)= \venstre.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\høyre|_(z=i)= \venstre.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\høyre|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) Inn i sirkelen |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

hvor hver av konturene C_1 og C_2 dekker kun ett av punktene. Spesielt kan sirkelen fra forrige tilfelle "a" tas som konturen C_1; C_2 - sirkel fra eksempel 2.93 s. "b", dvs. du kan bruke de oppnådde resultatene. Vi skriver ned svaret:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+) i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigr).

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!