Скорость при движении с постоянным ускорением. Прямолинейное движение с постоянным ускорением

На данном уроке, тема которого: «Уравнение движения с постоянным ускорением. Поступательное движение», мы вспомним, что такое движение, каким оно бывает. Также вспомним, что такое ускорение, рассмотрим уравнение движения с постоянным ускорением и как им пользоваться для определения координаты движущегося тела. Рассмотрим пример задачи для закрепления материала.

Главная задача кинематики - определить положение тела в любой момент времени. Тело может покоиться, тогда его положение меняться не будет (см. рис. 1).

Рис. 1. Покоящееся тело

Тело может двигаться прямолинейно с постоянной скоростью. Тогда его перемещение будет изменяться равномерно, то есть одинаково за равные промежутки времени (см. рис. 2).

Рис. 2. Перемещение тела при движении с постоянной скоростью

Перемещение , скорость, умноженная на время, это мы давно умеем делать. Тело может двигаться с постоянным ускорением, рассмотрим такой случай (см. рис. 3).

Рис. 3. Движение тела с постоянным ускорением

Ускорение

Ускорение - это изменение скорости за единицу времени (см. рис. 4): Рис. 4. Ускорение Скорость - векторная величина, поэтому и изменение скорости, т. е. разность векторов конечной и начальной скорости, является вектором. Ускорение - тоже вектор, направленный туда же, куда и вектор разности скоростей (см. рис. 5). Мы рассматриваем прямолинейное движение, поэтому можно выбрать координатную ось вдоль прямой, вдоль которой происходит движение, и рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

Тогда равномерно изменяется его скорость: (если его начальная скорость была равна нулю). Как теперь найти перемещение? Скорость умножить на время - нельзя : скорость постоянно менялась; какую брать? Как определить, где при таком движении будет находиться тело в любой момент времени - сегодня мы эту проблему решим.

Сразу определимся с моделью: мы рассматриваем прямолинейное поступательное движение тела. В таком случае можем применять модель материальной точки. Ускорение направлено вдоль той же прямой, вдоль которой материальная точка движется (см. рис. 6).

Поступательное движение

Поступательное движение - это такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково: с одинаковой скоростью, совершая одинаковое перемещение (см. рис. 7). Рис. 7. Поступательное движение А как еще может быть? Взмахните рукой и проследите: понятно, что ладонь и плечо двигались по-разному. Посмотрите на колесо обозрения: точки вблизи оси почти не движутся, а кабинки движутся с другой скоростью и по другим траекториям (см. рис. 8). Рис. 8. Движение выбранных точек на колесе обозрения Посмотрите на движущийся автомобиль: если не учитывать вращение колес и движение частей мотора, все точки автомобиля движутся одинаково, движение автомобиля считаем поступательным (см. рис. 9). Рис. 9. Движение автомобиля Тогда нет смысла описывать движение каждой точки, можно описать движение одной. Автомобиль считаем материальной точкой. Обратите внимание, что при поступательном движении линия, соединяющая любые две точки тела при движении, остается параллельной сама себе (см. рис. 10). Рис. 10. Положение линии, соединяющей две точки

Автомобиль ехал прямолинейно в течение часа. В начале часа его скорость была 10 км/ч, а в конце - 100 км/ч (см. рис. 11).

Рис. 11. Рисунок к задаче

Скорость изменялась равномерно. Сколько километров проехал автомобиль?

Проанализируем условие задачи.

Скорость автомобиля изменялась равномерно, то есть всё время пути его ускорение было постоянным. Ускорение по определению равно:

Автомобиль ехал прямолинейно, поэтому мы можем рассматривать его движение в проекции на одну ось координат:

Найдем перемещение.

Пример возрастающей скорости

На стол кладут орехи, по одному ореху в минуту. Понятно: сколько минут пройдет, столько орехов на столе окажется. А теперь представим, что скорость накладывания орехов равномерно возрастает с нуля: первую минуту орехов не кладут, во вторую кладут один орех, потом два, три и так далее. Сколько орехов окажется на столе через какое-то время? Понятно, что меньше, чем если бы максимальная скорость поддерживалась всегда. Причем хорошо видно, что меньше в 2 раза (см. рис. 12). Рис. 12. Количество орехов при разной их скорости выкладывании Так же и с равноускоренным движением: допустим, сначала скорость была равна нулю, в конце стала равна (см. рис. 13). Рис. 13. Изменение скорости Если бы тело постоянно двигалось с такой скоростью, его перемещение было бы равно , но поскольку скорость равномерно возрастала - то в 2 раза меньше.

Мы умеем находить перемещение при РАВНОМЕРНОМ движении: . Как обойти эту проблему? Если скорость изменяется не на много, то движение можно приближенно считать равномерным. Изменение скорости будет небольшим за небольшой интервал времени (см. рис. 14).

Рис. 14. Изменение скорости

Поэтому разобьем время в пути T на N небольших отрезков длительностью (см. рис. 15).

Рис. 15. Разбиение отрезка времени

Подсчитаем перемещение на каждом отрезке времени. Скорость прирастает на каждом интервале на:

На каждом отрезке мы будем считать движение равномерным и скорость приближенно равной начальной скорости на данном отрезке времени. Посмотрим, не приведет ли к ошибке наше приближение, если на небольшом промежутке движение будем считать равномерным. Максимальная ошибка будет равна:

и суммарная ошибка за всё время пути -> . При больших N принимаем ошибка близка к нулю. Это мы увидим и на графике (см. рис. 16): на каждом интервале будет ошибка, но суммарная ошибка при достаточно большом количестве интервалов будет пренебрежимо мала.

Рис. 16. Ошибка на интервалах

Итак, каждое следующее значение скорости на одну и ту же величину больше предыдущего. Из алгебры мы знаем, что это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии :

Путь на участках (при равномерном прямолинейном движении (см. рис. 17) равен:

Рис. 17. Рассмотрение участков движения тела

На втором участке:

На n-м участке путь равен:

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Арифметическая прогрессия задается двумя параметрами: начальный член прогрессии и разность прогрессии . Тогда последовательность записывается так: Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Просуммируем все пути. Это будет сумма первых N членов арифметической прогрессии:

Т. к. мы разбили движение на много интервалов, то можно считать, что , тогда:

У нас было множество формул, и, чтобы не запутаться, мы не писали каждый раз индексы х, но рассматривали всё в проекции на координатную ось.

Итак, мы получили главную формулу равноускоренного движения: перемещение при равноускоренном движении за время T, которую мы наряду с определением ускорения (изменение скорости за единицу времени) будем использовать для решения задач:

Мы занимались решением задачи об автомобиле. Подставим в решение числа и получим ответ: автомобиль проехал 55,4 км.

Математическая часть решения задачи

С перемещением мы разобрались. А как определить координату тела в любой момент времени?

По определению перемещение тела за время - это вектор, начало которого находится в начальной точке движения, а конец - в конечной точке, в которой тело будет через время . Нам нужно найти координату тела, поэтому запишем выражение для проекции перемещения на ось координат (см. рис. 18):

Рис. 18. Проекция перемещения

Выразим координату :

То есть координата тела в момент времени равна начальной координате плюс проекция перемещения, которое совершило тело за время . Проекцию перемещения при равноускоренном движении мы уже нашли, осталось подставить и записать:

Это и есть уравнение движения с постоянным ускорением. Оно позволяет узнать координату движущейся материальной точки в любой момент времени. Понятно, что момент времени мы выбираем в пределах промежутка, когда работает модель: ускорение постоянное, движение прямолинейное.

Почему уравнение движения нельзя применять для нахождения пути

В каких случаях мы можем считать перемещение по модулю равным пути? Когда тело движется вдоль прямой и не меняет направления. Например, при равномерном прямолинейном движении мы не всегда четко оговариваем, путь мы находим или перемещение, всё равно они совпадают. При равноускоренном движении скорость изменяется. Если скорость и ускорение направлены в противоположные стороны (см. рис. 19), то модуль скорости убывает, и в какой-то момент он станет равен нулю и скорость поменяет направление, то есть тело начнет двигаться в противоположную сторону. Рис. 19. Модуль скорости убывает И тогда, если в данный момент времени тело находится на расстоянии 3 м от начала наблюдения, то его перемещение равно 3 м, но если тело сначала прошло 5 м, затем развернулось и прошло еще 2 м, то путь будет равен 7 м. И как же его найти, если не знать этих чисел? Просто надо найти момент, когда скорость равна нулю, то есть когда тело развернется, и найти путь к этой точке и от нее (см. рис. 20). Рис. 20. Момент, когда скорость равна 0

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
2. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики; т.1. Механика. Теплота. Молекулярная физика - М.: Издательство «Наука», 1985.

1. Интернет портал «kaf-fiz-1586.narod.ru» ()
2. Интернет портал «Учеба - Легко» ()
3. Интернет портал «Гипермаркет знаний» ()

Домашнее задание

1. Что такое арифметическая прогрессия?
2. Какое движение называется поступательным?
3. Чем характеризуется векторная величина?
4. Запишите формулу для ускорения через изменение скорости.
5. Какой вид имеет уравнение движения с постоянным ускорением?
6. Вектор ускорения направлен в сторону движения тела. Как будет изменять свою скорость тело?

Среди разнообразных движений с постоянным уско-рением наиболее простым является прямолинейное движение. Если при этом модуль скорости возрастает, то движение иногда называют равноускоренным, а при уменьшении модуля скорости - равнозамедленным. Подобного рода движения совершает поезд, отходящий от станции или приближающийся к ней. Равно-ускоренно движется камень, брошенный вертикально вниз, а равнозамедленно - камень, брошенный вертикально вверх.
Для описания прямолинейного движения с постоянным ускорением можно обойтись одной осью координат (например, осью X), которую целесообразно направить вдоль траектории движения. В этом случае любая задача решается при помощи двух уравнений:
(1.20.1)

и
2? Проекция перемещения и путь при прямолинейном движении с постоянным ускорением Проекцию на ось X перемещения, равную Ах = х - х0, найдем из уравнения (1.20.2):
М2
Ax = v0xt +(1.20.3)
Если скорость тела (точки) не меняет своего направления, то путь равен модулю проекции перемещения
.2
s = |Ax| =
(1.20.4)
axt
VoJ + -о
Если же скорость меняет свое направление, то путь вычисляется сложнее. В этом случае он складывается из модуля перемещения до момента изменения направления скорости и модуля перемещения после этого момента.
Средняя скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением
Из формулы (1.19.1) следует, что
+ ^ = Ах 2 t "
Ах
Но - - это проекция средней скорости на ось X (см. § 1.12),
т. е. ^ = v. Следовательно, при прямолинейном движении с по- t
стоянным ускорением проекция средней скорости на ось X равна:
!)аг + Vr
vx= 0х2 . (1.20.5)
Можно доказать, что если какая-нибудь другая физическая величина находится в линейной зависимости от времени, то среднее по времени значение этой величины равно полусумме ее наименьшего и наибольшего значений в течение данного промежутка времени.
Если при прямолинейном движении с постоянным ускорением направление скорости не меняется, то средний модуль скорости равен полусумме модулей начальной и конечной скоростей, т. е.
К* + vx\ v0 + v
Связь между проекциями начальной и конечной скоростей, ускорения и перемещения
Согласно формуле (1.19.1)
Лх= °*2 xt. (1.20.7)
Время t выразим из формулы (1.20.1)
Vx~V0x ах
и подставим в (1.20.7). Получим:
Vx + V0x Vx - v0x V2X - i>jj
= 2 ST" --257-
Отсюда
v2x = v Іх+2а3Лх. (1.20.8)
Полезно запомнить формулу (1.20.8) и выражение (1.20.6) для средней скорости. Эти формулы могут по-надобиться для решения многих задач.
? 1. Как направлено ускорение при отправлении поезда от станции (разгон)? При подходе к станции (торможение)?
Начертите график пути при разгоне и при торможении.
Докажите самостоятельно, что при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки времени, пропорциональны последовательным нечетным числам:
Sj: S2* Sg ... = 1: 3: 5: ... . Впервые это было доказано Галилеем.

Еще по теме §1.20. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ:

1. § 4.3. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ДВИЖУЩИЕСЯ ПРЯМОЛИНЕЙНО С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
2. §1.18. ГРАФИКИ ЗАВИСИМОСТИ МОДУЛЯ И ПРОЕКЦИИ УСКОРЕНИЯ И МОДУЛЯ И ПРОЕКЦИИ СКОРОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ

Ускорение. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Мгновеннная скорость.

Ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела.

t 0 = 0c v 0 = 0 м/с Скорость изменилась на v = v 2 - v 1 в течение

t 1 = 5c v 1 = 2 м/ с промежутка времени = t 2 - t 1 . Значит за 1 с скорость

t 2 = 10c v 2 = 4 м/с тела увеличится на = .

t 3 = 15c v 3 = 6 м/с = или = . (1 м/с 2)

Ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Физический смысл : а = 3 м/с 2 – это значит, что за 1 с модуль скорости меняется на 3 м/с.

Если тело разгоняется а>0, если тормозит а

Аt = ; = + аt мгновенная скорость тела в любой момент времени. (Функция v(t)).

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение движения

Д
ля равномерного движения S=v*t, где v и t являются сторонами прямоугольника под графиком скорости. Т.е. перемещение = площади фигуры под графиком скорости.

Аналогично можно найти перемещение при равноускоренном движении. Нужно всего лишь найти отдельно площадь прямоугольника, треугольника и сложить их. Площадь прямоугольника v 0 t, площадь треугольника (v-v 0)t/2, где мы делаем замену v – v 0 = аt . Получим s = v 0 t + аt 2 /2

s = v 0 t + аt 2 /2

Формула перемещения при равноускоренном движении

Учитывая, что вектор s = х-х 0 , получим х-х 0 = v 0 t + аt 2 /2 или вынесем начальную координату вправо х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2

х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2

По этой формуле можно найти координату ускоренно движущегося тела в любой момент времени

При равнозамедленном движении перед буквой «а» в формулах знак + можно заменить на -

Движение с постоянным ускорением–это такое движение, при котором вектор ускорения остается постоянным как по величине, так и по направлению. Примером такого типа движения может служить движения точки в поле силы тяжести (как вертикально, так и под углом к горизонту).

Используя определение ускорения получим следующее соотношение

После интегрирования имеем равенство
.

С учетом того, что вектор мгновенной скорости есть
, будем иметь следующее выражение

Интегрирование последнего выражение дает следующее соотношение

. Откуда имеем получаем уравнение движения точки с постоянным ускорением

.

Примеры векторных уравнений движения материальной точки

Равномерное прямолинейное движение (
):

. (1.7)

Движение с постоянным ускорением (
):

. (1.8)

Зависимость скорости от времени при движении точки с постоянным ускорением имеет вид:

. (1.9)

Вопросы для самоконтроля.

Сформулируйте определение механического движения.

Дайте определение материальной точки.

Каким образом определяется положение материальной точки в пространстве в векторном способе описания движения?

В чем сущность векторного метода описания механического движения? Какие характеристики используются для описания этого движения?

Дайте определения векторов средней и мгновенной скорости. Как определяется направление этих векторов?

Дайте определение векторов среднего и мгновенного ускорений.

Какое из соотношений является уравнением движения точки с постоянным ускорением? Какое соотношение определяет зависимость вектора скорости от времени?

§1.2. Координатный способ описания движения

В координатном способе для описания движения выбирают систему координат (например, декартову). Начало отсчета жестко закрепляют с выбранным телом (телом отсчета ). Пусть
единичные орты, направленные в положительные стороны осейOX, OY и OZ соответственно. Положение точки задается координатами
.

Вектор мгновенной скорости определяется следующим образом:

где
проекции вектора скорости на оси координат, а
производные от координат по времени.

Длина вектора скорости связана с его проекциями соотношением:

. (1.11)

Для вектора мгновенного ускорения справедливо соотношение:

где
проекции вектора ускорения на оси координат, а
производные по времени от проекций вектора скорости.

Длина вектора мгновенного ускорения находится по формуле:

. (1.13)

Примеры уравнений движения точки в декартовой системе координат

. (1.14)

Уравнения движения:
. (1.15)

Зависимости проекций вектора скорости на оси координат от времени:

(1.16)

Вопросы для самоконтроля.

В чем сущность координатного способа описания движения?

Каким соотношением определяется вектор мгновенной скорости? По какой формуле вычисляется величина вектора скорости?

Каким соотношением определяется вектор мгновенного ускорения? По какой формуле вычисляется величина вектора мгновенного ускорения?

Какие соотношения называют уравнениями равномерного движения точки?

Какие соотношения называют уравнениями движения с постоянным ускорением? По каким формулам рассчитывают проекции мгновенной скорости точки на оси координат?