Ni nini apothem ya piramidi ya kawaida ya quadrangular. Takwimu za kijiometri

Ufafanuzi. Ukingo wa upande- hii ni pembetatu ambayo pembe moja iko juu ya piramidi, na upande wa pili unafanana na upande wa msingi (polygon).

Ufafanuzi. Mbavu za upande- hizi ni pande za kawaida za nyuso za upande. Piramidi ina kingo nyingi kama pembe za poligoni.

Ufafanuzi. Urefu wa piramidi- hii ni perpendicular iliyopungua kutoka juu hadi msingi wa piramidi.

Ufafanuzi. Apothem- hii ni perpendicular kwa uso wa upande wa piramidi, iliyopunguzwa kutoka juu ya piramidi hadi upande wa msingi.

Ufafanuzi. Sehemu ya diagonal- hii ni sehemu ya piramidi na ndege inayopita juu ya piramidi na diagonal ya msingi.

Ufafanuzi. Piramidi sahihi ni piramidi ambayo msingi ni poligoni ya kawaida, na urefu unashuka hadi katikati ya msingi.

Kiasi na eneo la uso wa piramidi

Mfumo. Kiasi cha piramidi kupitia eneo la msingi na urefu:

Tabia za piramidi

Ikiwa kingo zote za upande ni sawa, basi mduara unaweza kutekwa karibu na msingi wa piramidi, na katikati ya msingi sanjari na katikati ya duara. Pia, perpendicular imeshuka kutoka juu inapita katikati ya msingi (mduara).

Ikiwa kingo zote za upande ni sawa, basi zimewekwa kwenye ndege ya msingi kwa pembe sawa.

Kingo za kando ni sawa wakati zinaunda pembe sawa na ndege ya msingi au ikiwa mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.

Ikiwa nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe sawa, basi mduara unaweza kuandikwa kwenye msingi wa piramidi, na juu ya piramidi inakadiriwa katikati yake.

Ikiwa nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe sawa, basi apothems ya nyuso za upande ni sawa.

Mali ya piramidi ya kawaida

1. Juu ya piramidi ni equidistant kutoka pembe zote za msingi.

2. Kingo zote za upande ni sawa.

3. Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa pembe sawa kwa msingi.

4. Ahemu za nyuso zote za upande ni sawa.

5. Maeneo ya nyuso zote za upande ni sawa.

6. Nyuso zote zina pembe za dihedral (gorofa).

7. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi. Katikati ya nyanja iliyozunguka itakuwa sehemu ya makutano ya perpendiculars ambayo hupita katikati ya kando.

8. Unaweza kutoshea tufe kwenye piramidi. Katikati ya nyanja iliyoandikwa itakuwa hatua ya makutano ya vipande viwili vinavyotokana na pembe kati ya makali na msingi.

9. Ikiwa katikati ya tufe iliyoandikwa inapatana na katikati ya nyanja iliyozingirwa, basi jumla ya pembe za ndege kwenye vertex ni sawa na π au kinyume chake, pembe moja ni sawa na π/n, ambapo n ni nambari. ya pembe chini ya piramidi.

Uhusiano kati ya piramidi na nyanja

Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi wakati chini ya piramidi kuna polyhedron karibu na ambayo mduara unaweza kuelezewa (hali ya lazima na ya kutosha). Katikati ya tufe itakuwa sehemu ya makutano ya ndege zinazopita perpendicularly kupitia midpoints ya kingo za upande wa piramidi.

Daima inawezekana kuelezea tufe karibu na piramidi yoyote ya pembetatu au ya kawaida.

Tufe inaweza kuandikwa katika piramidi ikiwa ndege za bisector za pembe za ndani za dihedral za piramidi zinaingiliana kwa hatua moja (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Uunganisho wa piramidi na koni

Koni inasemekana kuandikwa kwenye piramidi ikiwa wima zao zinalingana na msingi wa koni umeandikwa kwenye msingi wa piramidi.

Koni inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa apothems ya piramidi ni sawa kwa kila mmoja.

Koni inasemekana kuzungushwa kuzunguka piramidi ikiwa vipeo vyake vinapatana na sehemu ya chini ya koni inazingirwa kuzunguka msingi wa piramidi.

Koni inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa kingo zote za nyuma za piramidi ni sawa kwa kila mmoja.

Uhusiano kati ya piramidi na silinda

Piramidi inaitwa iliyoandikwa kwenye silinda ikiwa juu ya piramidi iko kwenye msingi mmoja wa silinda, na msingi wa piramidi umeandikwa kwenye msingi mwingine wa silinda.

Silinda inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi.

Ufafanuzi. Piramidi iliyokatwa (piramidal prism) ni polihedron ambayo iko kati ya msingi wa piramidi na ndege ya sehemu inayofanana na msingi. Hivyo piramidi ina msingi mkubwa na msingi mdogo unaofanana na ule mkubwa. Nyuso za upande ni trapezoidal.

Ufafanuzi. Piramidi ya pembetatu (tetrahedron) ni piramidi ambayo nyuso tatu na msingi ni pembetatu za kiholela.

Tetrahedron ina nyuso nne na vipeo vinne na kingo sita, ambapo kingo zozote mbili hazina vipeo vya kawaida lakini hazigusi.

Kila kipeo kina nyuso tatu na kingo zinazounda pembe ya pembe tatu.

Sehemu inayounganisha vertex ya tetrahedron na katikati ya uso kinyume inaitwa wastani wa tetrahedron(GM).

Bimedian inayoitwa sehemu inayounganisha ncha za kati za kingo tofauti ambazo hazigusi (KL).

Wawili wote na wapatanishi wa tetrahedron huingiliana kwa hatua moja (S). Katika kesi hii, bimedians imegawanywa kwa nusu, na wa kati wamegawanywa kwa uwiano wa 3: 1 kuanzia juu.

Ufafanuzi. Piramidi iliyoinama ni piramidi ambamo moja ya kingo huunda pembe ya butu (β) yenye msingi.

Ufafanuzi. Piramidi ya mstatili ni piramidi ambayo moja ya nyuso za upande ni perpendicular kwa msingi.

Ufafanuzi. Piramidi ya pembe ya papo hapo- piramidi ambayo apothem ni zaidi ya nusu ya urefu wa upande wa msingi.

Ufafanuzi. Piramidi ya kupindukia- piramidi ambayo apothem ni chini ya nusu ya urefu wa upande wa msingi.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya kawaida- tetrahedron ambayo nyuso zote nne ni pembetatu za usawa. Ni mojawapo ya poligoni tano za kawaida. Katika tetrahedron ya kawaida, pembe zote za dihedral (kati ya nyuso) na pembe za trihedral (kwenye vertex) ni sawa.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya mstatili inaitwa tetrahedron ambayo kuna pembe ya kulia kati ya kingo tatu kwenye kilele (kingo ni perpendicular). Nyuso tatu zinaunda pembe ya pembe tatu ya mstatili na nyuso ni pembetatu za kulia, na msingi ni pembetatu ya kiholela. Apothem ya uso wowote ni sawa na nusu ya upande wa msingi ambao apothem huanguka.

Ufafanuzi. Isohedral tetrahedron inaitwa tetrahedron ambayo nyuso za upande ni sawa na kila mmoja, na msingi ni pembetatu ya kawaida. Tetrahedron kama hiyo ina nyuso ambazo ni pembetatu za isosceles.

Ufafanuzi. Tetrahedron ya Orthocentric inaitwa tetrahedron ambayo urefu wote (perpendiculars) ambao hupunguzwa kutoka juu hadi uso wa kinyume huingiliana kwa hatua moja.

Ufafanuzi. Piramidi ya nyota inayoitwa polihedron ambayo msingi wake ni nyota.

Ufafanuzi. Bipiramidi- polyhedron yenye piramidi mbili tofauti (piramidi pia inaweza kukatwa), kuwa na msingi wa kawaida, na wima hulala kwa pande tofauti za ndege ya msingi. Kumbuka. Hii ni sehemu ya somo na matatizo ya jiometri (sehemu ya stereometry, matatizo kuhusu piramidi). Ikiwa unahitaji kutatua shida ya jiometri ambayo haipo hapa, andika juu yake kwenye jukwaa. Katika kazi, badala ya ishara ya "mzizi wa mraba", kazi ya sqrt() hutumiwa, ambayo sqrt ni ishara ya mizizi ya mraba, na usemi mkali unaonyeshwa kwenye mabano..Kwa misemo rahisi ya radical, ishara "√" inaweza kutumika.

Kwa nyenzo za kinadharia na fomula, angalia sura "Piramidi Sahihi".

Kazi

Apothem ya piramidi ya kawaida ya pembetatu ni 4 cm, na pembe ya dihedral kwenye msingi ni digrii 60. Tafuta kiasi cha piramidi.

Suluhisho.

Kwa kuwa piramidi ni ya kawaida, fikiria yafuatayo:

• Urefu wa piramidi unakadiriwa katikati ya msingi
• Kulingana na shida, katikati ya msingi wa piramidi ya kawaida ni pembetatu ya usawa
• Katikati ya pembetatu ya usawa ni katikati ya duara iliyoandikwa na iliyozunguka.
• Urefu wa piramidi huunda pembe ya kulia na ndege ya msingi

Kiasi cha piramidi kinaweza kupatikana kwa kutumia formula:
V = 1/3 Sh

Kwa kuwa apothem ya piramidi ya kawaida huunda pembetatu ya kulia pamoja na urefu wa piramidi, tunatumia theorem ya sines kupata urefu. Kwa kuongeza, hebu tuzingatie:

• Mguu wa kwanza wa pembetatu ya kulia inayozingatiwa ni urefu, mguu wa pili ni radius ya mduara ulioandikwa (katika pembetatu ya kawaida, katikati ni wakati huo huo katikati ya mduara ulioandikwa na uliowekwa), hypotenuse ni apothem ya piramidi
• Pembe ya tatu ya pembetatu ya kulia ni sawa na digrii 30 (jumla ya pembe za pembetatu ni digrii 180, angle ya digrii 60 inatolewa na hali, pembe ya pili ni mstari wa moja kwa moja kulingana na mali ya piramidi; ya tatu ni 180-90-60 = 30)
• sine ya digrii 30 ni sawa na 1/2
• sine ya digrii 60 ni sawa na mzizi wa tatu kwa nusu
• sine ya digrii 90 ni 1

Kulingana na nadharia ya sine:
4 / dhambi(90) = h / dhambi(60) = r / dhambi(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
wapi
r = 2
h = 2√3

Chini ya piramidi iko pembetatu ya kawaida, eneo ambalo linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
S pembetatu ya kawaida = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Sasa hebu tupate kiasi cha piramidi:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm 3.

Jibu: 24 cm 3 .

Kazi

Urefu na upande wa msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ni mtiririko wa 24 na 14. Pata apothem ya piramidi.

Suluhisho .

Kwa kuwa piramidi ni ya kawaida, kwa msingi wake kuna quadrangle ya kawaida - mraba. Kwa kuongeza, urefu wa piramidi unapangwa katikati ya mraba. Kwa hivyo, mguu wa pembetatu ya kulia, ambayo hutengenezwa na apothem ya piramidi, urefu na sehemu inayowaunganisha, ni sawa na nusu ya urefu wa msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular.

Ambapo, kulingana na nadharia ya Pythagorean, urefu wa apothem utapatikana kutoka kwa equation:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Jibu: 25 cm

• apothem- urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida, ambayo hutolewa kutoka kwa vertex yake (kwa kuongeza, apothem ni urefu wa perpendicular, ambayo hupunguzwa kutoka katikati ya poligoni ya kawaida hadi moja ya pande zake);
• nyuso za upande (ASB, BSC, CSD, DSA) - pembetatu zinazokutana kwenye vertex;
• mbavu za pembeni ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) - pande za kawaida za nyuso za upande;
• juu ya piramidi (t. S) - hatua inayounganisha mbavu za upande na ambayo haipo katika ndege ya msingi;
• urefu ( HIVYO ) - sehemu ya perpendicular inayotolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake (mwisho wa sehemu hiyo itakuwa juu ya piramidi na msingi wa perpendicular);
• sehemu ya diagonal ya piramidi- sehemu ya piramidi inayopita juu na diagonal ya msingi;
• msingi (ABCD) - poligoni ambayo si ya vertex ya piramidi.

Tabia za piramidi.

1. Wakati kingo zote za upande zina ukubwa sawa, basi:

• ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mzunguko huu;
• mbavu za upande huunda pembe sawa na ndege ya msingi;
• Aidha, kinyume chake pia ni kweli, i.e. wakati mbavu za upande zinaunda pembe sawa na ndege ya msingi, au wakati mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu, inamaanisha kwamba kingo zote za upande. ya piramidi ni ukubwa sawa.

2. Wakati nyuso za upande zina pembe ya mwelekeo kwa ndege ya msingi wa thamani sawa, basi:

• ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mzunguko huu;
• urefu wa nyuso za upande ni za urefu sawa;
• eneo la uso wa upande ni sawa na ½ bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa uso wa upande.

3. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa chini ya piramidi kuna poligoni ambayo mduara unaweza kuelezewa (hali ya lazima na ya kutosha). Katikati ya nyanja itakuwa mahali pa makutano ya ndege zinazopita katikati ya kingo za piramidi inayowazunguka. Kutoka kwa nadharia hii tunahitimisha kuwa tufe inaweza kuelezewa karibu na pembetatu yoyote na karibu na piramidi yoyote ya kawaida.

4. Tufe inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa ndege za bisector za pembe za ndani za dihedral za piramidi zinaingiliana kwenye hatua ya 1 (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Piramidi rahisi zaidi.

Kulingana na idadi ya pembe, msingi wa piramidi umegawanywa katika triangular, quadrangular, na kadhalika.

Kutakuwa na piramidi pembetatu, ya pembe nne, na kadhalika, wakati msingi wa piramidi ni pembetatu, quadrangle, na kadhalika. Piramidi ya pembetatu ni tetrahedron - tetrahedron. Quadrangular - pentagonal na kadhalika.

Hapa unaweza kupata taarifa za msingi kuhusu piramidi na kanuni na dhana zinazohusiana. Wote husomwa na mkufunzi wa hisabati katika maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Fikiria ndege, poligoni , amelala ndani yake na uhakika S, sio uongo ndani yake. Wacha tuunganishe S kwa wima zote za poligoni. Polyhedron inayotokana inaitwa piramidi. Sehemu hizo huitwa mbavu za upande. Poligoni inaitwa msingi, na uhakika S ni sehemu ya juu ya piramidi. Kulingana na nambari n, piramidi inaitwa triangular (n = 3), quadrangular (n = 4), pentagonal (n = 5) na kadhalika. Jina mbadala la piramidi ya pembetatu ni tetrahedron. Urefu wa piramidi ni perpendicular inayoshuka kutoka juu hadi ndege ya msingi.

Piramidi inaitwa kawaida ikiwa poligoni ya kawaida, na msingi wa urefu wa piramidi (msingi wa perpendicular) ni katikati yake.

Maoni ya mwalimu:
Usichanganye dhana za "piramidi ya kawaida" na "tetrahedron ya kawaida". Katika piramidi ya kawaida, kingo za upande sio lazima sawa na kingo za msingi, lakini katika tetrahedron ya kawaida, kingo zote 6 ni sawa. Huu ndio ufafanuzi wake. Ni rahisi kuthibitisha kuwa usawa unamaanisha kuwa P katikati ya poligoni inalingana na urefu wa msingi, hivyo tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya kawaida.

apothem ni nini?
Maneno ya piramidi ni urefu wa uso wake wa upande. Ikiwa piramidi ni ya kawaida, basi apothems zake zote ni sawa. Kinyume chake si kweli.

Mkufunzi wa hisabati kuhusu istilahi yake: 80% ya kazi na piramidi hujengwa kupitia aina mbili za pembetatu:
1) Yenye apothem SK na urefu SP
2) Yenye lateral edge SA na makadirio yake PA

Ili kurahisisha marejeleo ya pembetatu hizi, ni rahisi zaidi kwa mwalimu wa hesabu kumwita wa kwanza wao apothemal, na pili gharama kubwa. Kwa bahati mbaya, hautapata istilahi hii katika kitabu chochote cha kiada, na mwalimu anapaswa kuitambulisha kwa upande mmoja.

Mfumo wa kiasi cha piramidi:
1) , ni wapi eneo la msingi wa piramidi, na ni urefu wa piramidi
2) , ambapo ni radius ya nyanja iliyoandikwa, na ni eneo la jumla ya uso wa piramidi.
3) , ambapo MN ni umbali kati ya kingo zozote mbili zinazovuka, na ni eneo la msambamba linaloundwa na ncha za kati za kingo nne zilizosalia.

Mali ya msingi wa urefu wa piramidi:

Pointi P (tazama takwimu) inaambatana na katikati ya duara iliyoandikwa kwenye msingi wa piramidi ikiwa moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:
1) Apothems zote ni sawa
2) Nyuso zote za upande zimeelekezwa kwa msingi sawa
3) Apothems zote zimeelekezwa kwa urefu wa piramidi
4) Urefu wa piramidi umeelekezwa sawa kwa nyuso zote za upande

Maoni ya mwalimu wa hisabati: Tafadhali kumbuka kuwa pointi zote zimeunganishwa na mali moja ya kawaida: kwa njia moja au nyingine, nyuso za upande zinahusika kila mahali (apothems ni mambo yao). Kwa hivyo, mkufunzi anaweza kutoa uundaji usio sahihi zaidi, lakini unaofaa zaidi kwa kujifunza: hatua P inalingana na katikati ya duara iliyoandikwa, msingi wa piramidi, ikiwa kuna habari sawa juu ya nyuso zake za nyuma. Ili kuthibitisha hilo, inatosha kuonyesha kwamba pembetatu zote za apothem ni sawa.

Pointi P inalingana na katikati ya duara iliyozungukwa karibu na msingi wa piramidi ikiwa moja ya masharti matatu ni kweli:
1) Kingo zote za upande ni sawa
2) Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa msingi sawa
3) Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa urefu sawa

Ili kutatua kwa mafanikio matatizo katika jiometri, lazima uelewe wazi maneno ambayo sayansi hii hutumia. Kwa mfano, hizi ni "moja kwa moja", "ndege", "polyhedron", "piramidi" na wengine wengi. Katika makala hii tutajibu swali la nini apothem ni.

Matumizi mara mbili ya neno "apothem"

Katika jiometri, maana ya neno "apothema" au "apothema", kama inaitwa pia, inategemea kitu ambacho kinatumika. Kuna madarasa mawili tofauti ya takwimu ambayo ni moja ya sifa zao.

Kwanza kabisa, hizi ni poligoni bapa. Nini apothem kwa poligoni? Huu ni urefu unaotolewa kutoka katikati ya kijiometri ya takwimu kwa pande zake yoyote.

Ili kuifanya iwe wazi zaidi kile tunachozungumza, acheni tuangalie mfano maalum. Wacha tufikirie kuwa tunayo hexagon ya kawaida kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Alama l inaashiria urefu wa upande wake, na herufi a inaashiria apothem. Kwa pembetatu iliyo na alama, sio urefu tu, bali pia bisector na wastani. Ni rahisi kuonyesha kuwa kupitia upande l inaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo:

apothem imefafanuliwa vile vile kwa n-gon yoyote.

Pili, hizi ni piramidi. Nini apothem kwa takwimu kama hii? Suala hili linahitaji kuzingatiwa kwa kina zaidi.

Juu ya mada hii: Jinsi ya kufanya kope zako ndefu na nene kwa mwezi mmoja tu?

Piramidi na apothems zao

Kwanza, hebu tufafanue piramidi kutoka kwa mtazamo wa kijiometri. Takwimu hii ni mwili wa tatu-dimensional unaoundwa na n-gon moja (msingi) na n pembetatu (pande). Mwisho huunganishwa kwa hatua moja, ambayo inaitwa vertex. Umbali kutoka kwake hadi msingi ni urefu wa takwimu. Ikiwa huanguka kwenye kituo cha kijiometri cha n-gon, basi piramidi inaitwa mstari wa moja kwa moja. Ikiwa, kwa kuongeza, n-gon ina pembe na pande sawa, basi takwimu inaitwa mara kwa mara. Chini ni mfano wa piramidi.

Nini apothem kwa takwimu kama hii? Hii ni perpendicular inayounganisha pande za n-gon na vertex ya takwimu. Kwa wazi, inawakilisha urefu wa pembetatu, ambayo ni upande wa piramidi.

Apothem ni rahisi kutumia wakati wa kutatua matatizo ya kijiometri na piramidi za kawaida. Ukweli ni kwamba kwao nyuso zote za upande ni pembetatu za isosceles sawa na kila mmoja. Ukweli wa mwisho unamaanisha kuwa n apothems zote ni sawa, kwa hivyo kwa piramidi ya kawaida tunaweza kuzungumza juu ya mstari mmoja na wa moja kwa moja tu.

Apothem ya piramidi ya kawaida ya quadrangular

Labda mfano dhahiri zaidi wa takwimu hii itakuwa ajabu ya kwanza ya ulimwengu - Piramidi ya Cheops. Yeye iko katika Misri.

Kwa takwimu yoyote kama hiyo yenye msingi wa n-gonali wa kawaida, tunaweza kutoa fomula zinazoturuhusu kubainisha apothem yake kupitia urefu wa upande wa poligoni, kupitia ukingo wa upande b na urefu h. Hapa tunaandika kanuni zinazofanana za piramidi moja kwa moja na msingi wa mraba. Neno h b kwa maana litakuwa sawa na:

Juu ya mada hii: Bendera ya Bashkiria - maelezo, ishara na historia

h b = √(b 2 - a 2/4);

h b = √(h 2 + a 2/4)

Ya kwanza ya maneno haya ni halali kwa piramidi yoyote ya kawaida, ya pili - tu kwa moja ya quadrangular.

Hebu tuonyeshe jinsi fomula hizi zinaweza kutumika kutatua tatizo.

Tatizo la kijiometri

Hebu piramidi moja kwa moja yenye msingi wa mraba itolewe. Ni muhimu kuhesabu eneo la msingi wake. Apothem ya piramidi ni 16 cm, na urefu wake ni mara 2 upande wa msingi.

Kila mtoto wa shule anajua: kupata eneo la mraba, ambalo ni msingi wa piramidi inayohusika, unahitaji kujua upande wake a. Ili kuipata, tunatumia fomula ifuatayo ya apothem:

h b = √(h 2 + a 2/4)

Maana ya apothem inajulikana kutokana na hali ya tatizo. Kwa kuwa urefu h ni mara mbili ya urefu wa upande a, usemi huu unaweza kubadilishwa kama ifuatavyo:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Eneo la mraba ni sawa na bidhaa za pande zake. Kubadilisha usemi unaotokana na a, tunayo:

S = a 2 = 4/17*h b 2

Inabakia kubadilisha thamani ya apothem kutoka kwa hali ya shida kuwa fomula na kuandika jibu: S ≈ 60.2 cm 2.

Soma pia: