Jinsi ya kutengeneza nambari na koma kutoka kwa sehemu. Uendeshaji na sehemu

Akizungumza kavu lugha ya hisabati, sehemu ni nambari inayowakilishwa kama sehemu ya moja. Vipande hutumiwa sana katika maisha ya binadamu: kutumia nambari za sehemu tunaonyesha uwiano katika mapishi ya upishi, tunatoa alama za desimali kwenye mashindano au kuzitumia kukokotoa punguzo katika maduka.

Uwakilishi wa sehemu

Kuna angalau aina mbili za kuandika nambari moja ya sehemu: katika fomu ya decimal au katika fomu sehemu ya kawaida. Katika fomu ya decimal, nambari zinaonekana kama 0.5; 0.25 au 1.375. Tunaweza kuwakilisha yoyote ya maadili haya kama sehemu ya kawaida:

0,5 = 1/2;
0,25 = 1/4;
1,375 = 11/8.

Na ikiwa tunabadilisha kwa urahisi 0.5 na 0.25 kutoka sehemu ya kawaida hadi decimal na nyuma, basi katika kesi ya nambari 1.375 kila kitu sio dhahiri. Jinsi ya kubadilisha haraka nambari yoyote ya decimal kuwa sehemu? Kuna njia tatu rahisi.

Kuondoa koma

Algorithm rahisi zaidi inajumuisha kuzidisha nambari kwa 10 hadi koma itatoweka kutoka kwa nambari. Mabadiliko haya yanafanywa katika hatua tatu:

Hatua ya 1: Kuanza, tunaandika nambari ya decimal kama sehemu ya "nambari / 1", yaani, tunapata 0.5 / 1; 0.25/1 na 1.375/1.

Hatua ya 2: Baada ya haya, zidisha nambari na denominator ya sehemu mpya hadi koma ipotee kutoka kwa nambari:

0,5/1 = 5/10;
0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

Hatua ya 3: Tunapunguza sehemu zinazosababisha kuwa fomu inayoweza kuyeyuka:

5/10 = 1 × 5 / 2 × 5 = 1/2;
25/100 = 1 × 25 / 4 × 25 = 1/4;
1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.

Nambari 1.375 ilipaswa kuzidishwa na 10 mara tatu, ambayo haifai sana, lakini tunapaswa kufanya nini ikiwa tunahitaji kubadilisha nambari 0.000625? Katika hali hii tunatumia njia inayofuata kubadilisha sehemu.

Kuondoa koma hata rahisi zaidi

Njia ya kwanza inaelezea kwa undani algorithm ya "kuondoa" koma kutoka kwa decimal, lakini tunaweza kurahisisha mchakato huu. Tena, tunafuata hatua tatu.

Hatua ya 1: Tunahesabu nambari ngapi baada ya nukta ya desimali. Kwa mfano, nambari 1.375 ina nambari tatu kama hizo, na 0.000625 ina sita. Tutaashiria wingi huu kwa herufi n.

Hatua ya 2: Sasa tunahitaji tu kuwakilisha sehemu katika fomu C/10 n, ambapo C ni tarakimu muhimu za sehemu (bila sufuri, ikiwa zipo), na n ni idadi ya tarakimu baada ya uhakika wa decimal. Mfano:

kwa nambari 1.375 C = 1375, n = 3, sehemu ya mwisho kulingana na formula 1375/10 3 = 1375/1000;
kwa nambari 0.000625 C = 625, n = 6, sehemu ya mwisho kulingana na formula 625/10 6 = 625/1000000.

Kimsingi, 10n ni 1 yenye sufuri n, kwa hivyo huna haja ya kujisumbua kuinua kumi kwa nguvu - 1 tu na sifuri n. Baada ya hayo, inashauriwa kupunguza sehemu iliyojaa sifuri.

Hatua ya 3: Tunapunguza zero na kupata matokeo ya mwisho:

1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8;
625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.

Sehemu 11/8 ni sehemu isiyofaa kwa sababu nambari yake ni kubwa kuliko denominator yake, ambayo inamaanisha tunaweza kutenga sehemu nzima. Katika hali hii, tunatoa sehemu nzima ya 8/8 kutoka 11/8 na kupata salio 3/8, kwa hivyo sehemu inaonekana kama 1 na 3/8.

Uongofu kwa sikio

Kwa wale wanaoweza kusoma desimali kwa usahihi, njia rahisi zaidi ya kuzibadilisha ni kusikia. Ukisoma 0.025 sio kama "sifuri, sifuri, ishirini na tano" lakini kama "elfu 25," basi hautakuwa na shida kubadilisha desimali kuwa sehemu.

0,025 = 25/1000 = 1/40

Kwa hivyo usomaji sahihi ni nambari ya desimali hukuruhusu kuiandika mara moja kama sehemu ya kawaida na kuipunguza ikiwa ni lazima.

Mifano ya kutumia sehemu katika maisha ya kila siku

Kwa mtazamo wa kwanza, sehemu za kawaida hazitumiwi katika maisha ya kila siku au kazini, na ni ngumu kufikiria hali wakati unahitaji kutafsiri. Nukta kama kawaida nje ya kazi za shule. Hebu tuangalie mifano michache.

Kazi

Kwa hiyo, unafanya kazi katika duka la pipi na kuuza halva kwa uzito. Ili kufanya bidhaa iwe rahisi kuuza, unagawanya halva katika briquettes ya kilo, lakini wanunuzi wachache wako tayari kununua kilo nzima. Kwa hiyo, unapaswa kugawanya kutibu vipande vipande kila wakati. Na ikiwa mnunuzi anayefuata anakuuliza kwa kilo 0.4 za halva, utamuuza sehemu inayohitajika bila matatizo yoyote.

0,4 = 4/10 = 2/5

Maisha

Kwa mfano, unahitaji kufanya ufumbuzi wa 12% ili kuchora mfano kwenye kivuli unachotaka. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchanganya rangi na kutengenezea, lakini jinsi ya kufanya hivyo kwa usahihi? 12% ni sehemu ya desimali ya 0.12. Badilisha nambari kuwa sehemu ya kawaida na upate:

0,12 = 12/100 = 3/25

Kujua sehemu zitakusaidia kuchanganya viungo kwa usahihi na kupata rangi unayotaka.

Hitimisho

Sehemu kwa kawaida hutumiwa katika maisha ya kila siku, kwa hivyo ikiwa unahitaji kubadilisha desimali mara kwa mara kuwa sehemu, utataka kutumia kikokotoo cha mtandaoni ambacho kinaweza kupata matokeo papo hapo kama sehemu iliyopunguzwa.

Kujaribu kuamua matatizo ya hisabati na sehemu, mwanafunzi anaelewa kuwa hamu ya kutatua shida hizi haitoshi kwake. Ujuzi wa mahesabu na nambari za sehemu pia inahitajika. Katika baadhi ya matatizo, data zote za awali hutolewa katika hali katika fomu ya sehemu. Katika zingine, zingine zinaweza kuwa sehemu, na zingine zinaweza kuwa nambari kamili. Kufanya mahesabu kadhaa na haya maadili yaliyopewa, lazima kwanza tuwalete aina moja, yaani, badilisha nambari kamili kuwa sehemu, na kisha fanya mahesabu. Kwa ujumla, njia ya kubadilisha nambari nzima kuwa sehemu ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuandika nambari iliyopewa yenyewe katika nambari ya sehemu ya mwisho, na moja katika dhehebu lake. Hiyo ni, ikiwa unahitaji kubadilisha nambari 12 kuwa sehemu, basi sehemu inayotokana itakuwa 12/1.

Marekebisho kama haya husaidia kupunguza sehemu dhehebu la kawaida. Hii ni muhimu ili kuweza kutoa au kuongeza sehemu. Wakati wa kuzizidisha na kuzigawanya, dhehebu ya kawaida haihitajiki. Unaweza kuangalia mfano wa jinsi ya kubadilisha nambari kuwa sehemu na kuongeza sehemu mbili. Wacha tuseme unahitaji kuongeza nambari 12 na nambari ya sehemu 3/4. Muda wa kwanza (namba 12) umepunguzwa hadi fomu 12/1. Hata hivyo, denominator yake ni sawa na 1, wakati ile ya muda wa pili ni sawa na 4. Ili kuongeza zaidi sehemu hizi mbili, lazima ziletwe kwa denominator ya kawaida. Kwa sababu ya ukweli kwamba moja ya nambari ina dhehebu la 1, hii kwa ujumla ni rahisi kufanya. Unahitaji kuchukua dhehebu la nambari ya pili na kuzidisha nayo nambari na dhehebu ya kwanza.

Matokeo ya kuzidisha ni: 12/1=48/4. Ikiwa unagawanya 48 kwa 4, unapata 12, ambayo ina maana kwamba sehemu imepunguzwa kwa denominator sahihi. Kwa njia hii unaweza pia kuelewa jinsi ya kubadilisha sehemu kuwa nambari nzima. Hii inatumika tu kwa sehemu zisizofaa kwa sababu zina nambari kubwa kuliko denominator. Katika kesi hii, nambari imegawanywa na denominator na, ikiwa hakuna salio, kutakuwa na nambari nzima. Na salio, sehemu inabaki kuwa sehemu, lakini kwa sehemu nzima iliyoangaziwa. Sasa kuhusu kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida katika mfano unaozingatiwa. Ikiwa kiashiria cha neno la kwanza kingekuwa sawa na nambari nyingine zaidi ya 1, nambari na kiashiria cha nambari ya kwanza ingelazimika kuzidishwa na kiashiria cha pili, na nambari na kiashiria cha pili na kiashiria cha nambari. kwanza.

Maneno yote mawili yamepunguzwa kwa dhehebu lao la kawaida na tayari kwa nyongeza. Inatokea kwamba katika tatizo hili unahitaji kuongeza namba mbili: 48/4 na 3/4. Wakati wa kuongeza sehemu mbili na denominator sawa, unahitaji tu kujumlisha sehemu zao za juu, ambayo ni, nambari. Denominator ya kiasi itabaki bila kubadilika. Katika mfano huu inapaswa kuwa 48/4+3/4=(48+3)/4=51/4. Hii itakuwa matokeo ya nyongeza. Lakini katika hisabati ni kawaida kupunguza sehemu zisizofaa kusahihisha zile. Tulijadili hapo juu jinsi ya kugeuza sehemu kuwa nambari, lakini katika mfano huu hautapata nambari kamili kutoka kwa sehemu 51/4, kwani nambari 51 haijagawanywa na nambari 4. Kwa hivyo, unahitaji kutenganisha sehemu kamili ya sehemu hii na sehemu yake ya sehemu. Sehemu kamili itakuwa nambari inayopatikana kwa kugawanya nambari kamili chini ya 51.

Hiyo ni, kitu ambacho kinaweza kugawanywa na 4 bila salio. Nambari ya kwanza kabla ya nambari 51, ambayo inaweza kugawanywa kabisa na 4, itakuwa namba 48. Kugawanya 48 kwa 4, nambari ya 12 inapatikana. Hii ina maana kwamba sehemu kamili ya sehemu inayotakiwa itakuwa 12. Yote iliyobaki ni kupata sehemu ya sehemu ya nambari. Denominator ya sehemu ya sehemu inabaki sawa, ambayo ni, 4 in kwa kesi hii. Ili kupata nambari ya sehemu, unahitaji kutoa kutoka kwa nambari ya asili nambari ambayo iligawanywa na denominator bila salio. Katika mfano unaozingatiwa, hii inahitaji kuondoa nambari 48 kutoka kwa nambari 51. Hiyo ni, nambari ya sehemu ya sehemu ni sawa na 3. Matokeo ya kuongeza itakuwa 12 integers na 3/4. Vile vile hufanyika wakati wa kuondoa sehemu. Wacha tuseme unahitaji kuondoa nambari ya sehemu 3/4 kutoka nambari 12. Ili kufanya hivyo, nambari 12 inabadilishwa kuwa sehemu ya 12/1, na kisha kuletwa kwa dhehebu la kawaida na nambari ya pili - 48/4.

Wakati wa kutoa kwa njia ile ile, denominator ya sehemu zote mbili bado haijabadilika, na kutoa hufanywa na nambari zao. Hiyo ni, nambari ya pili imetolewa kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza. KATIKA katika mfano huu itakuwa 48/4-3/4=(48-3)/4=45/4. Na tena tulipata sehemu isiyofaa, ambayo lazima ipunguzwe kwa moja sahihi. Ili kutenganisha sehemu nzima, tambua nambari ya kwanza hadi 45, ambayo inaweza kugawanywa na 4 bila salio. Hii itakuwa 44. Ikiwa unagawanya nambari 44 kwa 4, utapata 11. Kwa hiyo sehemu nzima sehemu ya mwisho ni sawa na 11. Katika sehemu ya sehemu, denominator pia imeachwa bila kubadilika, na kutoka kwa nambari ya asili. sehemu isiyofaa toa nambari ambayo imegawanywa na denominator bila salio. Hiyo ni, unahitaji kutoa 44 kutoka 45. Hii ina maana kwamba nambari katika sehemu ya sehemu ni sawa na 1 na 12-3/4=11 na 1/4.

Ikiwa unapewa integer moja na sehemu moja, lakini denominator yake ni 10, basi ya pili ni rahisi zaidi Badilisha nambari kuwa sehemu ya desimali, kisha ufanye mahesabu. Kwa mfano, unahitaji kuongeza nambari 12 na nambari ya sehemu 3/10. Ukiandika 3/10 kama desimali, utapata 0.3. Sasa ni rahisi zaidi kuongeza 0.3 hadi 12 na kupata 2.3 kuliko kuleta sehemu kwa dhehebu la kawaida, kufanya mahesabu, na kisha kutenganisha sehemu zote na za sehemu kutoka kwa sehemu isiyofaa. Hata shida rahisi zaidi za sehemu hufikiri kwamba mwanafunzi (au mwanafunzi) anajua jinsi ya kubadilisha nambari nzima kuwa sehemu. Sheria hizi ni rahisi sana na rahisi kukumbuka. Lakini kwa msaada wao ni rahisi sana kufanya mahesabu ya nambari za sehemu.

Mwanzoni kabisa, bado unahitaji kujua ni sehemu gani na inaingia katika aina gani. Na kuna aina tatu. Na ya kwanza ni sehemu ya kawaida, kwa mfano ½, 3/7, 3/432, nk. Nambari hizi pia zinaweza kuandikwa kwa kutumia dashi mlalo. Yote ya kwanza na ya pili yatakuwa ya kweli sawa. Nambari ya juu inaitwa nambari, na nambari ya chini inaitwa denominator. Kuna hata msemo kwa wale watu ambao mara kwa mara huchanganya majina haya mawili. Inakwenda kama hii: "Zzzzz kumbuka! Zzzz denominator - downzzzz! " Hii itakusaidia kuepuka kuchanganyikiwa. Sehemu ya kawaida ni nambari mbili tu ambazo zinaweza kugawanywa kwa kila mmoja. Dashi ndani yao inaonyesha ishara ya mgawanyiko. Inaweza kubadilishwa na koloni. Ikiwa swali ni "jinsi ya kubadilisha sehemu kuwa nambari," basi ni rahisi sana. Unahitaji tu kugawanya nambari na denominator. Ni hayo tu. Sehemu imetafsiriwa.

Aina ya pili ya sehemu inaitwa decimal. Huu ni msururu wa nambari ikifuatiwa na koma. Kwa mfano, 0.5, 3.5, nk Waliitwa decimal tu kwa sababu baada ya nambari iliyoimbwa tarakimu ya kwanza ina maana "kumi", ya pili ni mara kumi zaidi ya "mamia", na kadhalika. Na nambari za kwanza kabla ya nambari ya desimali huitwa nambari kamili. Kwa mfano, nambari 2.4 inasikika kama hii, kumi na mbili nukta mbili na mia mbili thelathini na nne elfu. Sehemu kama hizo zinaonekana haswa kwa sababu ya ukweli kwamba kugawanya nambari mbili bila salio haifanyi kazi. Na sehemu nyingi, zinapobadilishwa kuwa nambari, huishia kama desimali. Kwa mfano, sekunde moja ni sawa na nukta sifuri tano.

Na mtazamo wa tatu wa mwisho. Hii nambari mchanganyiko. Mfano wa hii unaweza kutolewa kama 2½. Inasikika kama jumla mbili na sekunde moja. Katika shule ya upili, aina hii ya sehemu haitumiki tena. Pengine watahitaji kuletwa au muonekano wa kawaida sehemu, au kwa desimali. Ni rahisi tu kufanya hivi. Unahitaji tu kuzidisha nambari kamili kwa denominator na kuongeza nukuu inayotokana na nambari. Wacha tuchukue mfano wetu 2½. Mbili ukizidishwa na mbili sawa na nne. Nne pamoja na moja ni sawa na tano. Na sehemu ya umbo 2½ huundwa kuwa 5/2. Na tano, iliyogawanywa na mbili, inaweza kupatikana kama sehemu ya decimal. 2½=5/2=2.5. Tayari imekuwa wazi jinsi ya kubadilisha sehemu kuwa nambari. Unahitaji tu kugawanya nambari na denominator. Ikiwa nambari ni kubwa, unaweza kutumia calculator.

Ikiwa haitoi nambari kamili na kuna nambari nyingi baada ya nukta ya decimal, basi thamani iliyopewa inaweza kuwa mviringo. Kila kitu kimezungushwa kwa urahisi sana. Kwanza unahitaji kuamua ni nambari gani unahitaji kuzunguka. Mfano unapaswa kuzingatiwa. Mtu anahitaji kuzungusha nambari sifuri nukta sifuri, elfu tisa mia saba hamsini na sita elfu kumi, au kwa thamani ya dijiti ya 0.6. Kuzungusha lazima kufanywe hadi karibu mia moja. Hii ina maana kwamba kwa sasa ni hadi mia saba. Baada ya nambari saba katika sehemu kuna tano. Sasa tunahitaji kutumia sheria za kuzunguka. Nambari kubwa zaidi ya tano zimezungushwa juu, na nambari ndogo kuliko tano zimepunguzwa chini. Katika mfano, mtu ana tano, yuko kwenye mpaka, lakini inachukuliwa kuwa kuzunguka hutokea juu. Hii inamaanisha kuwa tunaondoa nambari zote baada ya saba na kuongeza moja kwake. Inageuka 0.8.

Hali pia hutokea wakati mtu anahitaji kubadilisha haraka sehemu ya kawaida kuwa nambari, lakini hakuna calculator karibu. Ili kufanya hivyo, tumia mgawanyiko wa safu. Hatua ya kwanza ni kuandika nambari na denominata karibu na kila mmoja kwenye kipande cha karatasi. Kona ya kugawanya imewekwa kati yao; inaonekana kama herufi "T", iko tu kwa upande wake. Kwa mfano, unaweza kuchukua sehemu ya kumi ya sita. Na hivyo, kumi inapaswa kugawanywa na sita. Ni sita ngapi zinaweza kutoshea katika kumi, moja tu. Kitengo kimeandikwa chini ya kona. Kumi toa sita sawa na nne. Kutakuwa na sita ngapi katika nne, kadhaa. Hii ina maana kwamba katika jibu comma imewekwa baada ya moja, na nne inazidishwa na kumi. Saa arobaini na sita sita. Sita imeongezwa kwa jibu, na thelathini na sita imetolewa kutoka arobaini. Hiyo inageuka kuwa nne tena.

Katika mfano huu, kitanzi kimetokea, ikiwa unaendelea kufanya kila kitu sawa, utapata jibu 1.6 (6) Nambari ya sita inaendelea kwa infinity, lakini kwa kutumia kanuni ya kuzunguka, unaweza kuleta nambari kwa 1.7. . Ambayo ni rahisi zaidi. Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa sio sehemu zote za kawaida zinaweza kubadilishwa kuwa desimali. Katika baadhi kuna mzunguko. Lakini sehemu yoyote ya decimal inaweza kubadilishwa kuwa sehemu rahisi. Msaada hapa kanuni ya msingi, kama ilivyosikiwa, ndivyo ilivyoandikwa. Kwa mfano, nambari 1.5 inasikika kama nukta moja ya mia ishirini na tano. Kwa hivyo unahitaji kuiandika, moja nzima, ishirini na tano imegawanywa na mia moja. Hatua moja ni mia moja, ambayo ina maana sehemu rahisi itakuwa mia moja ishirini na tano mara mia moja (125/100). Kila kitu pia ni rahisi na wazi.

Kwa hivyo sheria na mabadiliko ya kimsingi ambayo yanahusishwa na sehemu yamejadiliwa. Wote ni rahisi, lakini unapaswa kuwajua. KATIKA maisha ya kila siku Sehemu, haswa desimali, zimejumuishwa kwa muda mrefu. Hii inaonekana wazi kwenye vitambulisho vya bei katika maduka. Imekuwa muda mrefu tangu mtu yeyote aandike bei za pande zote, lakini kwa sehemu bei inaonekana kuwa nafuu zaidi. Pia, moja ya nadharia inasema kwamba ubinadamu uligeuka kutoka kwa nambari za Kirumi na kuchukua za Kiarabu, kwa sababu tu za Kirumi hazikuwa na sehemu. Na wanasayansi wengi wanakubaliana na dhana hii. Baada ya yote, kwa sehemu unaweza kufanya mahesabu kwa usahihi zaidi. Na katika zama zetu teknolojia ya anga, usahihi katika mahesabu unahitajika zaidi kuliko hapo awali. Kwa hivyo kusoma sehemu katika hisabati ya shule ni muhimu kwa kuelewa maendeleo mengi ya sayansi na teknolojia.

Ikiwa tunahitaji kugawanya 497 na 4, basi wakati wa kugawanya tutaona kwamba 497 haipatikani kwa usawa na 4, i.e. sehemu iliyobaki ya mgawanyiko inabaki. Katika hali kama hizi inasemekana kuwa imekamilika mgawanyiko na salio, na suluhisho limeandikwa kama ifuatavyo:
497: 4 = 124 (1 salio).

Vipengele vya mgawanyiko upande wa kushoto wa usawa huitwa sawa na katika mgawanyiko bila salio: 497 - gawio, 4 - mgawanyiko. Matokeo ya mgawanyiko wakati umegawanywa na salio inaitwa faragha isiyo kamili. Kwa upande wetu, hii ni namba 124. Na hatimaye, sehemu ya mwisho, ambayo si katika mgawanyiko wa kawaida, ni. salio. Katika hali ambapo hakuna salio, nambari moja inasemekana kugawanywa na nyingine bila kuwaeleza, au kabisa. Inaaminika kuwa kwa mgawanyiko kama huo salio ni sifuri. Kwa upande wetu, iliyobaki ni 1.

Salio daima ni chini ya kigawanyaji.

Mgawanyiko unaweza kukaguliwa kwa kuzidisha. Ikiwa, kwa mfano, kuna usawa 64: 32 = 2, basi hundi inaweza kufanywa kama hii: 64 = 32 * 2.

Mara nyingi katika hali ambapo mgawanyiko na salio hufanywa, ni rahisi kutumia usawa
a = b * n + r,
ambapo a ni mgao, b ni mgawanyiko, n ni mgawo wa sehemu, r ni salio.

Sehemu ya nambari za asili inaweza kuandikwa kama sehemu.

Nambari ya sehemu ni mgao, na denominator ni kigawanyiko.

Kwa kuwa nambari ya sehemu ni mgao na denominator ni kigawanyaji, amini kwamba mstari wa sehemu unamaanisha hatua ya mgawanyiko. Wakati mwingine ni rahisi kuandika mgawanyiko kama sehemu bila kutumia ":" ishara.

Sehemu ya mgawanyo wa nambari asilia m na n inaweza kuandikwa kama sehemu \(\frac(m)(n) \), ambapo nambari m ni mgao, na dhehebu n ni kigawanyiko:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Sheria zifuatazo ni kweli:

Ili kupata sehemu \(\frac(m)(n)\), unahitaji kugawanya moja kwa n sehemu sawa(hisa) na kuchukua sehemu kama hizo.

Ili kupata sehemu \(\frac(m)(n)\), unahitaji kugawanya nambari m kwa nambari n.

Ili kupata sehemu ya jumla, unahitaji kugawanya nambari inayolingana na nzima na dhehebu na kuzidisha matokeo na nambari ya sehemu inayoonyesha sehemu hii.

Ili kupata nzima kutoka kwa sehemu yake, unahitaji kugawanya nambari inayolingana na sehemu hii na nambari na kuzidisha matokeo na dhehebu la sehemu inayoonyesha sehemu hii.

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu zinazidishwa kwa nambari sawa (isipokuwa sifuri), thamani ya sehemu haitabadilika:
\(\kubwa \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu imegawanywa na nambari sawa (isipokuwa sifuri), thamani ya sehemu haitabadilika:
\(\kubwa \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b:m) \)
Mali hii inaitwa mali kuu ya sehemu.

Mabadiliko mawili ya mwisho yanaitwa kupunguza sehemu.

Ikiwa sehemu zinahitaji kuwakilishwa kama sehemu na denominator sawa, basi hatua hii inaitwa kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.

Sehemu zinazofaa na zisizofaa. Nambari zilizochanganywa

Tayari unajua kuwa sehemu inaweza kupatikana kwa kugawanya nzima katika sehemu sawa na kuchukua sehemu kadhaa kama hizo. Kwa mfano, sehemu \(\frac(3)(4)\) inamaanisha robo tatu ya moja. Katika matatizo mengi katika aya iliyotangulia, sehemu ndogo zilitumiwa kuwakilisha sehemu za jumla. Akili ya kawaida inapendekeza kwamba sehemu inapaswa kuwa chini ya nzima kila wakati, lakini vipi kuhusu sehemu kama vile, kwa mfano, \(\frac(5)(5)\) au \(\frac(8)(5)\)? Ni wazi kuwa hii sio sehemu ya kitengo tena. Labda hii ndio sababu sehemu ambazo nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator huitwa sehemu zisizofaa. Sehemu zilizobaki, i.e. sehemu ambazo nambari yake chini ya dhehebu, kuitwa sehemu sahihi.

Kama unavyojua, sehemu yoyote ya kawaida, sawa na isiyofaa, inaweza kuzingatiwa kama matokeo ya kugawanya nambari na denominator. Kwa hiyo, katika hisabati, tofauti lugha ya kawaida, neno "sehemu isiyofaa" haimaanishi kwamba tulifanya jambo baya, lakini tu kwamba nambari ya sehemu hii ni kubwa kuliko au sawa na denominator.

Ikiwa nambari ina sehemu kamili na sehemu, basi vile sehemu huitwa mchanganyiko.

Kwa mfano:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ni sehemu kamili, na \(\frac(2)(3) \) ni sehemu ya sehemu.

Ikiwa nambari ya sehemu \(\frac(a)(b) \) inaweza kugawanywa na nambari asilia n, basi ili kugawanya sehemu hii na n, nambari yake lazima igawanywe kwa nambari hii:
\(\kubwa \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ikiwa nambari ya sehemu \(\frac(a)(b)\) haiwezi kugawanywa na nambari asilia n, basi ili kugawanya sehemu hii na n, unahitaji kuzidisha dhehebu lake kwa nambari hii:
\(\kubwa \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Kumbuka kuwa sheria ya pili pia ni kweli wakati nambari inaweza kugawanywa na n. Kwa hiyo, tunaweza kuitumia wakati ni vigumu kuamua kwa mtazamo wa kwanza ikiwa nambari ya sehemu inaweza kugawanywa na n au la.

Vitendo vilivyo na sehemu. Kuongeza sehemu.

Na nambari za sehemu, kama ilivyo kwa nambari asilia, unaweza kufanya shughuli za hesabu. Hebu tuangalie kuongeza sehemu kwanza. Ongeza sehemu kwa urahisi na madhehebu sawa. Hebu tupate, kwa mfano, jumla ya \(\frac(2)(7)\) na \(\frac(3)(7)\). Ni rahisi kuelewa kwamba \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Ili kuongeza sehemu na denominators sawa, unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha denominator sawa.

Kwa kutumia herufi, sheria ya kuongeza sehemu zilizo na kama dhehebu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
\(\kubwa \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ikiwa unahitaji kuongeza sehemu na madhehebu tofauti, basi lazima kwanza ziletwe kwa dhehebu la kawaida. Kwa mfano:
\(\kubwa \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Kwa sehemu, kama kwa nambari za asili, sifa za kubadilisha na za ushirika za nyongeza ni halali.

Kuongeza sehemu zilizochanganywa

Vidokezo kama vile \(2\frac(2)(3)\) vinaitwa sehemu zilizochanganywa. Katika kesi hii, nambari ya 2 inaitwa sehemu nzima sehemu iliyochanganywa, na nambari \(\frac(2)(3)\) ni yake sehemu ya sehemu. Ingizo \(2\frac(2)(3)\) linasomeka kama ifuatavyo: "theluthi mbili na mbili."

Wakati wa kugawanya nambari 8 kwa nambari 3, unaweza kupata majibu mawili: \(\frac(8)(3)\) na \(2\frac(2)(3)\). Zinaonyesha nambari ya sehemu sawa, yaani \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Kwa hivyo, sehemu isiyofaa \(\frac(8)(3)\) inawakilishwa kama sehemu mchanganyiko \(2\frac(2)(3)\). Katika hali kama hizi wanasema kutoka kwa sehemu isiyofaa iliangazia sehemu nzima.

Kutoa sehemu (nambari za sehemu)

Utoaji wa nambari za sehemu, kama nambari asilia, imedhamiriwa kwa msingi wa hatua ya kuongeza: kutoa nyingine kutoka kwa nambari moja inamaanisha kupata nambari ambayo, ikiongezwa kwa ya pili, inatoa ya kwanza. Kwa mfano:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) tangu \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frak(8)(9)\)

Sheria ya kutoa sehemu na dhehebu kama ni sawa na sheria ya kuongeza sehemu kama hizo:
Ili kupata tofauti kati ya sehemu zilizo na madhehebu sawa, unahitaji kutoa nambari ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na kuacha dhehebu sawa.

Kutumia barua, sheria hii imeandikwa kama hii:
\(\kubwa \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Kuzidisha sehemu

Ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari na denominators zao na uandike bidhaa ya kwanza kama nambari, na ya pili kama dhehebu.

Kutumia herufi, sheria ya kuzidisha sehemu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
\(\kubwa \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Kutumia sheria iliyoundwa, unaweza kuzidisha sehemu kwa nambari ya asili, kwa sehemu iliyochanganywa, na pia kuzidisha sehemu zilizochanganywa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuandika nambari asilia kama sehemu na dhehebu la 1, sehemu iliyochanganywa - kama sehemu isiyofaa.

Matokeo ya kuzidisha yanapaswa kurahisishwa (ikiwezekana) kwa kupunguza sehemu na kutenganisha sehemu nzima ya sehemu isiyofaa.

Kwa sehemu, kama kwa nambari za asili, mali ya kubadilisha na ya pamoja ya kuzidisha, na vile vile mali ya usambazaji ya kuzidisha inayohusiana na kuongeza, ni halali.

Mgawanyiko wa sehemu

Hebu tuchukue sehemu \(\frac(2)(3)\) na "kuipindua", tukibadilishana nambari na denominator. Tunapata sehemu \(\frac(3)(2)\). Sehemu hii inaitwa kinyume sehemu \(\frac(2)(3)\).

Ikiwa sasa "tutageuza" sehemu \(\frac(3)(2)\), tutapata sehemu asili \(\frac(2)(3)\). Kwa hivyo, sehemu kama \(\frac(2)(3)\) na \(\frac(3)(2)\) huitwa. kinyume.

Kwa mfano, sehemu \(\frac(6)(5) \) na \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) na \(\frac (18) )(7)\).

Kwa kutumia herufi, sehemu zinazofanana zinaweza kuandikwa kama ifuatavyo: \(\frac(a)(b) \) na \(\frac(b)(a) \)

Ni wazi kwamba bidhaa ya sehemu za kubadilishana ni sawa na 1. Kwa mfano: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Kwa kutumia sehemu zinazofanana, unaweza kupunguza mgawanyiko wa sehemu hadi kuzidisha.

Kanuni ya kugawanya sehemu kwa sehemu ni:
Ili kugawanya sehemu moja na nyingine, unahitaji kuzidisha mgawanyiko kwa upatanisho wa mgawanyiko.

Kutumia herufi, sheria ya kugawa sehemu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo.
\(\kubwa \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ikiwa gawio au mgawanyiko ni nambari ya asili au sehemu iliyochanganywa, basi ili kutumia kanuni ya kugawanya sehemu, lazima kwanza iwakilishwe kama sehemu isiyofaa.