Watu wengine huchukulia neno "maendeleo" kwa tahadhari, kama neno ngumu sana kutoka kwa sehemu hisabati ya juu. Wakati huo huo, maendeleo rahisi zaidi ya hesabu ni kazi ya mita ya teksi (ambapo bado ipo). Na kuelewa kiini (na katika hisabati hakuna kitu muhimu zaidi kuliko "kupata kiini") mlolongo wa hesabu Sio ngumu sana mara tu unapoelewa dhana chache za msingi.

Mlolongo wa nambari za hisabati

Mlolongo wa nambari kawaida huitwa safu ya nambari, ambayo kila moja ina nambari yake.

a 1 ni mwanachama wa kwanza wa mlolongo;

na 2 ni muda wa pili wa mlolongo;

na 7 ni mshiriki wa saba wa mfuatano huo;

na n ni mwanachama wa nth wa mlolongo;

Walakini, sio seti yoyote ya nambari na nambari inayotuvutia. Tutazingatia mfuatano wa nambari ambapo thamani ya neno la nth inahusiana na nambari yake ya kawaida kwa uhusiano ambao unaweza kutengenezwa kwa uwazi kimahesabu. Kwa maneno mengine: thamani ya nambari ya nambari ya nth ni kazi fulani ya n.

a ni thamani ya mwanachama wa mlolongo wa nambari;

n - yake nambari ya serial;

f(n) ni chaguo la kukokotoa, ambapo nambari ya mpangilio katika mfuatano wa nambari n ndiyo hoja.

Ufafanuzi

Kuendelea kwa hesabu kwa kawaida huitwa mfuatano wa nambari ambapo kila neno linalofuata ni kubwa (chini) kuliko la awali kwa nambari sawa. Fomula ya muhula wa nth wa mlolongo wa hesabu ni kama ifuatavyo:

a n - thamani ya mwanachama wa sasa wa maendeleo ya hesabu;

n+1 - formula ya nambari inayofuata;

d - tofauti (idadi fulani).

Ni rahisi kuamua kwamba ikiwa tofauti ni chanya (d>0), basi kila mwanachama anayefuata wa mfululizo unaozingatiwa atakuwa mkubwa zaidi kuliko uliopita na maendeleo hayo ya hesabu yatakuwa yanaongezeka.

Katika grafu hapa chini ni rahisi kuona kwa nini mlolongo wa nambari inayoitwa "kuongezeka".

Katika hali ambapo tofauti ni hasi (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Thamani ya mwanachama iliyobainishwa

Wakati mwingine ni muhimu kuamua thamani ya neno lolote la kiholela a n ya maendeleo ya hesabu. Hii inaweza kufanywa kwa kuhesabu sequentially maadili ya wanachama wote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya kwanza hadi ya taka. Hata hivyo, njia hii haikubaliki kila wakati ikiwa, kwa mfano, ni muhimu kupata thamani ya muda wa elfu tano au milioni nane. Mahesabu ya jadi yatachukua muda mwingi. Hata hivyo, maendeleo maalum ya hesabu yanaweza kusomwa kwa kutumia fomula fulani. Pia kuna fomula ya muhula wa nth: thamani ya neno lolote la kuendelea kwa hesabu inaweza kuamuliwa kama jumla ya muhula wa kwanza wa mwendelezo na tofauti ya mwendelezo, ikizidishwa na idadi ya muda unaotakiwa, kupunguzwa kwa moja.

Fomula ni ya ulimwengu wote kwa ajili ya kuongeza na kupunguza maendeleo.

Mfano wa kuhesabu thamani ya neno fulani

Wacha tutatue shida ifuatayo ya kupata thamani ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu.

Hali: kuna maendeleo ya hesabu na vigezo:

Muda wa kwanza wa mlolongo ni 3;

Tofauti katika safu ya nambari ni 1.2.

Kazi: unahitaji kupata thamani ya maneno 214

Suluhisho: kuamua thamani ya neno fulani, tunatumia fomula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Kubadilisha data kutoka kwa taarifa ya shida hadi usemi, tunayo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Jibu: Muda wa 214 wa mlolongo ni sawa na 258.6.

Faida za njia hii ya hesabu ni dhahiri - suluhisho lote huchukua si zaidi ya mistari 2.

Jumla ya idadi fulani ya masharti

Mara nyingi sana, katika safu fulani ya hesabu, inahitajika kuamua jumla ya maadili ya baadhi ya sehemu zake. Ili kufanya hivyo, pia hakuna haja ya kuhesabu maadili ya kila neno na kisha kuziongeza. Njia hii inatumika ikiwa idadi ya maneno ambayo jumla yake inahitaji kupatikana ni ndogo. Katika hali nyingine, ni rahisi zaidi kutumia formula ifuatayo.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu kutoka 1 hadi n ni sawa na jumla ya maneno ya kwanza na ya nth, yanayozidishwa na idadi ya neno n na kugawanywa na mbili. Ikiwa katika fomula thamani ya neno la nth inabadilishwa na usemi kutoka kwa aya iliyotangulia ya kifungu, tunapata:

Mfano wa hesabu

Kwa mfano, wacha tutatue shida na hali zifuatazo:

Muda wa kwanza wa mlolongo ni sifuri;

Tofauti ni 0.5.

Shida inahitaji kuamua jumla ya masharti ya safu kutoka 56 hadi 101.

Suluhisho. Wacha tutumie fomula ya kuamua kiwango cha maendeleo:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Kwanza, tunaamua jumla ya maadili ya masharti 101 ya maendeleo kwa kubadilisha masharti tuliyopewa ya shida yetu kwenye fomula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Ni wazi, ili kujua jumla ya masharti ya maendeleo kutoka 56 hadi 101, ni muhimu kutoa S 55 kutoka S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kwa hivyo, jumla ya maendeleo ya hesabu kwa mfano huu ni:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Mfano wa matumizi ya vitendo ya maendeleo ya hesabu

Mwishoni mwa makala, hebu turudi kwa mfano wa mlolongo wa hesabu iliyotolewa katika aya ya kwanza - taximeter (mita ya gari la teksi). Hebu tufikirie mfano huu.

Kupanda teksi (ambayo ni pamoja na kilomita 3 za kusafiri) hugharimu rubles 50. Kila kilomita inayofuata inalipwa kwa kiwango cha rubles 22 / km. Umbali wa kusafiri ni kilomita 30. Kuhesabu gharama ya safari.

1. Hebu tuondoe kilomita 3 za kwanza, bei ambayo ni pamoja na gharama ya kutua.

30 - 3 = 27 km.

2. Hesabu zaidi si chochote zaidi ya kuchanganua mfululizo wa nambari za hesabu.

Nambari ya mwanachama - idadi ya kilomita zilizosafiri (ondoa tatu za kwanza).

Thamani ya mwanachama ni jumla.

Neno la kwanza katika tatizo hili litakuwa sawa na 1 = 50 rubles.

Tofauti ya maendeleo d = 22 r.

nambari tunayopendezwa nayo ni thamani ya muda wa (27+1) wa maendeleo ya hesabu - usomaji wa mita mwishoni mwa kilomita 27 ni 27.999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Mahesabu ya data ya kalenda kwa muda mrefu bila mpangilio yanategemea fomula zinazoelezea mfuatano fulani wa nambari. Katika astronomia, urefu wa obiti inategemea kijiometri kwa umbali wa mwili wa mbinguni hadi nyota. Kwa kuongezea, safu kadhaa za nambari hutumiwa kwa mafanikio katika takwimu na maeneo mengine yaliyotumika ya hesabu.

Aina nyingine ya mlolongo wa nambari ni kijiometri

Uendelezaji wa kijiometri una sifa ya viwango vikubwa vya mabadiliko ikilinganishwa na maendeleo ya hesabu. Sio bahati mbaya kwamba katika siasa, sosholojia, na dawa, ili kuonyesha kasi kubwa ya kuenea kwa jambo fulani, kwa mfano, ugonjwa wakati wa janga, mara nyingi wanasema kwamba mchakato unaendelea katika maendeleo ya kijiometri.

Neno la Nth la safu ya nambari za kijiometri hutofautiana na ile ya awali kwa kuwa inazidishwa na nambari fulani ya mara kwa mara - dhehebu, kwa mfano, neno la kwanza ni 1, denominator ni sawa na 2, basi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - thamani ya muda wa sasa wa maendeleo ya kijiometri;

b n + 1 - formula ya muda unaofuata wa maendeleo ya kijiometri;

q ni denominator ya maendeleo ya kijiometri (idadi ya mara kwa mara).

Ikiwa grafu ya maendeleo ya hesabu ni mstari wa moja kwa moja, basi maendeleo ya kijiometri huchora picha tofauti kidogo:

Kama ilivyo kwa hesabu, kuendelea kwa kijiometri kuna fomula ya thamani ya neno la kiholela. Muhula wowote wa nth wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na bidhaa ya muhula wa kwanza na denominator ya kuendelea kwa nguvu ya n kupunguzwa kwa moja:

Mfano. Tuna maendeleo ya kijiometri na muhula wa kwanza sawa na 3 na denominator ya maendeleo sawa na 1.5. Wacha tupate muhula wa 5 wa mwendelezo

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Jumla ya idadi fulani ya maneno pia huhesabiwa kwa kutumia fomula maalum. Jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri ni sawa na tofauti kati ya bidhaa ya muhula wa nth wa maendeleo na denominator yake na muda wa kwanza wa maendeleo, umegawanywa na denominator iliyopunguzwa na moja:

Ikiwa b n itabadilishwa kwa kutumia fomula iliyojadiliwa hapo juu, thamani ya jumla ya masharti ya n ya safu ya nambari inayozingatiwa itachukua fomu:

Mfano. Mwendelezo wa kijiometri huanza na muhula wa kwanza sawa na 1. Kiashiria kimewekwa kuwa 3. Hebu tutafute jumla ya maneno nane ya kwanza.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Au hesabu ni aina ya mlolongo wa nambari ulioamriwa, mali ambayo inasomwa katika kozi ya algebra ya shule. Nakala hii inajadili kwa undani swali la jinsi ya kupata jumla ya maendeleo ya hesabu.

Ni aina gani ya maendeleo haya?

Kabla ya kuendelea na swali (jinsi ya kupata jumla ya maendeleo ya hesabu), inafaa kuelewa kile tunachozungumza.

Mfuatano wowote wa nambari halisi unaopatikana kwa kuongeza (kutoa) thamani fulani kutoka kwa kila nambari iliyotangulia huitwa kuendelea kwa aljebra (hesabu). Ufafanuzi huu, unapotafsiriwa katika lugha ya hisabati, huchukua fomu:

Hapa kuna nambari ya serial ya kipengee cha safu a i. Kwa hivyo, kujua nambari moja tu ya kuanzia, unaweza kurejesha safu nzima kwa urahisi. Parameta d katika fomula inaitwa tofauti ya maendeleo.

Inaweza kuonyeshwa kwa urahisi kuwa kwa safu ya nambari zinazozingatiwa usawa ufuatao unashikilia:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Hiyo ni, kupata thamani ya kipengele cha nth kwa utaratibu, unapaswa kuongeza tofauti d kwa kipengele cha kwanza mara 1 n-1.

Je! ni jumla gani ya maendeleo ya hesabu: fomula

Kabla ya kutoa formula kwa kiasi kilichoonyeshwa, inafaa kuzingatia kesi maalum rahisi. Kwa kuzingatia maendeleo ya nambari za asili kutoka 1 hadi 10, unahitaji kupata jumla yao. Kwa kuwa kuna maneno machache katika maendeleo (10), inawezekana kutatua tatizo moja kwa moja, yaani, jumla ya vipengele vyote kwa utaratibu.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Inafaa kuzingatia jambo moja la kupendeza: kwa kuwa kila neno hutofautiana na lifuatalo kwa thamani sawa d = 1, basi muhtasari wa jozi wa kwanza na wa kumi, wa pili na wa tisa, na kadhalika utatoa matokeo sawa. Kweli:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kama unaweza kuona, kuna 5 tu ya hesabu hizi, ambayo ni, mara mbili chini ya idadi ya vitu vya safu. Kisha kuzidisha idadi ya jumla (5) kwa matokeo ya kila jumla (11), utafika kwenye matokeo yaliyopatikana katika mfano wa kwanza.

Tukijumlisha hoja hizi, tunaweza kuandika usemi ufuatao:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Usemi huu unaonyesha kuwa sio lazima hata kidogo kujumlisha vitu vyote kwa safu; inatosha kujua thamani ya kwanza a 1 na ya mwisho n, na pia idadi ya jumla ya istilahi n.

Inaaminika kuwa Gauss alifikiria kwanza usawa huu alipokuwa akitafuta suluhu la tatizo lililotolewa na mwalimu wake wa shule: jumlisha nambari 100 za kwanza.

Jumla ya vipengele kutoka m hadi n: formula

Fomula iliyotolewa katika aya iliyotangulia inajibu swali la jinsi ya kupata jumla ya maendeleo ya hesabu (vipengele vya kwanza), lakini mara nyingi katika matatizo ni muhimu kuhitimisha mfululizo wa nambari katikati ya maendeleo. Jinsi ya kufanya hivyo?

Njia rahisi zaidi ya kujibu swali hili ni kwa kuzingatia mfano ufuatao: basi iwe muhimu kupata jumla ya maneno kutoka kwa m-th hadi n-th. Ili kutatua tatizo, unapaswa kuwasilisha sehemu iliyotolewa kutoka m hadi n ya maendeleo kwa namna ya mfululizo mpya wa nambari. Katika uwakilishi huu, neno la mth a m litakuwa la kwanza, na n litapewa nambari n-(m-1). Katika kesi hii, kwa kutumia fomula ya kawaida ya jumla, usemi ufuatao utapatikana:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Mfano wa kutumia fomula

Kujua jinsi ya kupata jumla ya maendeleo ya hesabu, inafaa kuzingatia mfano rahisi wa kutumia fomula hapo juu.

Ifuatayo ni mlolongo wa nambari, unapaswa kupata jumla ya masharti yake, kuanzia ya 5 na kumalizia na ya 12:

Nambari zilizotolewa zinaonyesha kuwa tofauti d ni sawa na 3. Kutumia usemi wa kipengele cha nth, unaweza kupata maadili ya masharti ya 5 na 12 ya maendeleo. Inageuka:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Kujua maadili ya nambari kwenye miisho ya maendeleo ya algebra inayozingatiwa, na pia kujua ni nambari gani kwenye safu wanayochukua, unaweza kutumia fomula kwa jumla iliyopatikana katika aya iliyotangulia. Itageuka:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Ni muhimu kuzingatia kwamba thamani hii inaweza kupatikana kwa njia tofauti: kwanza pata jumla ya vipengele 12 vya kwanza kwa kutumia fomula ya kawaida, kisha uhesabu jumla ya vipengele 4 vya kwanza kwa kutumia fomula sawa, kisha uondoe pili kutoka kwa jumla ya kwanza.

Maendeleo ya hesabu taja mlolongo wa nambari (masharti ya mwendelezo)

Ambayo kila neno linalofuata hutofautiana na lile lililotangulia kwa neno jipya, ambalo pia huitwa tofauti ya hatua au maendeleo.

Kwa hivyo, kwa kubainisha hatua ya maendeleo na muda wake wa kwanza, unaweza kupata vipengele vyake vyovyote kwa kutumia fomula

Tabia za maendeleo ya hesabu

1) Kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia nambari ya pili, ndio maana ya hesabu ya washiriki wa awali na wanaofuata wa maendeleo.

Mazungumzo pia ni ya kweli. Ikiwa maana ya hesabu ya masharti yasiyo ya kawaida (hata) yanayokaribiana ya mwendelezo ni sawa na neno linalosimama kati yao, basi mlolongo huu wa nambari ni mwendelezo wa hesabu. Kutumia taarifa hii, ni rahisi sana kuangalia mlolongo wowote.

Pia, kwa mali ya maendeleo ya hesabu, fomula iliyo hapo juu inaweza kujumuishwa kwa jumla kwa zifuatazo

Hii ni rahisi kuthibitisha ikiwa utaandika masharti upande wa kulia wa ishara sawa

Mara nyingi hutumiwa katika mazoezi ili kurahisisha mahesabu katika matatizo.

2) Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu huhesabiwa kwa kutumia fomula

Kumbuka vizuri formula ya jumla ya maendeleo ya hesabu; ni muhimu katika mahesabu na mara nyingi hupatikana katika hali rahisi za maisha.

3) Ikiwa unahitaji kupata sio jumla nzima, lakini sehemu ya mlolongo kuanzia muda wake wa kth, basi fomula ifuatayo itakuwa na manufaa kwako.

4) Ya manufaa ya vitendo ni kutafuta jumla ya masharti n ya mwendelezo wa hesabu kuanzia nambari ya kth. Ili kufanya hivyo, tumia formula

Hii inahitimisha nyenzo za kinadharia na huenda kwenye kutatua matatizo ya kawaida katika mazoezi.

Mfano 1. Tafuta muhula wa arobaini wa maendeleo ya hesabu 4;7;...

Suluhisho:

Kulingana na hali tuliyo nayo

Wacha tuamue hatua ya maendeleo

Kwa kutumia fomula inayojulikana sana, tunapata muhula wa arobaini wa kuendelea

Mfano 2. Maendeleo ya hesabu hutolewa na muhula wake wa tatu na saba. Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo na jumla ya kumi.

Suluhisho:

Hebu tuandike vipengele vilivyotolewa vya maendeleo kwa kutumia fomula

Tunaondoa kwanza kutoka kwa equation ya pili, kwa matokeo tunapata hatua ya maendeleo

Tunabadilisha thamani iliyopatikana katika milinganyo yoyote ili kupata muhula wa kwanza wa kuendelea kwa hesabu

Tunahesabu jumla ya masharti kumi ya kwanza ya maendeleo

Bila kutumia mahesabu magumu, tulipata kiasi kinachohitajika.

Mfano 3. Maendeleo ya hesabu hutolewa na denominator na mojawapo ya masharti yake. Tafuta muhula wa kwanza wa mwendelezo, jumla ya masharti yake 50 kuanzia 50 na jumla ya 100 za kwanza.

Suluhisho:

Hebu tuandike fomula ya kipengele cha mia cha maendeleo

na kupata wa kwanza

Kulingana na ya kwanza, tunapata muhula wa 50 wa maendeleo

Kupata jumla ya sehemu ya maendeleo

na jumla ya 100 za kwanza

Kiasi cha maendeleo ni 250.

Mfano 4.

Tafuta idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu ikiwa:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Suluhisho:

Wacha tuandike milinganyo kulingana na muhula wa kwanza na hatua ya kuendelea na tuamue

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula ya jumla ili kuamua idadi ya maneno katika jumla

Tunafanya kurahisisha

na kutatua equation ya quadratic

Kati ya maadili mawili yaliyopatikana, nambari 8 tu inafaa hali ya shida. Kwa hivyo, jumla ya masharti nane ya kwanza ya mwendelezo ni 111.

Mfano 5.

Tatua mlinganyo

1+3+5+...+x=307.

Suluhisho: Mlinganyo huu ni jumla ya maendeleo ya hesabu. Wacha tuandike muhula wake wa kwanza na tupate tofauti katika maendeleo

I. V. Yakovlev | Nyenzo za hisabati | MathUs.ru

Maendeleo ya hesabu

Maendeleo ya hesabu ni aina maalum ya mlolongo. Kwa hiyo, kabla ya kufafanua maendeleo ya hesabu (na kisha kijiometri), tunahitaji kujadili kwa ufupi dhana muhimu ya mlolongo wa nambari.

Kufuatia

Hebu fikiria kifaa kwenye skrini ambacho nambari fulani zinaonyeshwa moja baada ya nyingine. Tuseme 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Seti hii ya nambari kwa hakika ni mfano wa mfuatano.

Ufafanuzi. Mfuatano wa nambari ni seti ya nambari ambazo kila nambari inaweza kupewa nambari ya kipekee (yaani, inayohusishwa na nambari moja asilia)1. Nambari n inaitwa neno la nth la mlolongo.

Kwa hiyo, katika mfano hapo juu, nambari ya kwanza ni 2, hii ni mwanachama wa kwanza wa mlolongo, ambayo inaweza kuonyeshwa na a1; nambari tano ina nambari 6 ni muhula wa tano wa mlolongo, ambao unaweza kuonyeshwa na a5. Hata kidogo, muhula wa nth mlolongo huonyeshwa na (au bn, cn, nk).

Hali rahisi sana ni wakati muda wa nth wa mlolongo unaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula = 2n 3 inabainisha mlolongo: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n inabainisha mfuatano: 1; 1; 1; 1; :::

Sio kila seti ya nambari ni mlolongo. Kwa hivyo, sehemu sio mlolongo; ina nambari "nyingi" za kuhesabiwa tena. Seti ya R ya nambari zote halisi pia sio mlolongo. Mambo haya yanathibitishwa wakati wa uchambuzi wa hisabati.

Maendeleo ya hesabu: ufafanuzi wa kimsingi

Sasa tuko tayari kufafanua maendeleo ya hesabu.

Ufafanuzi. Kuendelea kwa hesabu ni mfuatano ambao kila neno (kuanzia la pili) ni sawa na jumla ya muhula uliopita na nambari fulani maalum (inayoitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu).

Kwa mfano, mlolongo wa 2; 5; 8; kumi na moja; : : : ni mwendelezo wa hesabu na muhula wa 2 wa kwanza na tofauti 3. Mfuatano wa 7; 2; 3; 8; : : : ni mwendelezo wa hesabu na muhula wa 7 wa kwanza na tofauti 5. Mfuatano wa 3; 3; 3; : : : ni maendeleo ya hesabu yenye tofauti sawa na sifuri.

Ufafanuzi sawa: mfuatano an unaitwa kuendelea kwa hesabu ikiwa tofauti an+1 an ni thamani isiyobadilika (huru ya n).

Ukuaji wa hesabu unaitwa kuongezeka ikiwa tofauti yake ni chanya, na kupungua ikiwa tofauti yake ni hasi.

1 Lakini hapa kuna ufafanuzi mafupi zaidi: mlolongo ni kazi iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari asilia. Kwa mfano, mlolongo wa nambari halisi ni kazi f: N ! R.

Kwa chaguo-msingi, mlolongo unachukuliwa kuwa usio na mwisho, yaani, una idadi isiyo na kikomo ya nambari. Lakini hakuna anayetusumbua kuzingatia mifuatano yenye ukomo; kwa kweli, seti yoyote ya mwisho ya nambari inaweza kuitwa mlolongo wa mwisho. Kwa mfano, mlolongo wa mwisho ni 1; 2; 3; 4; 5 lina nambari tano.

Mfumo wa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu

Ni rahisi kuelewa kwamba maendeleo ya hesabu imedhamiriwa kabisa na nambari mbili: muda wa kwanza na tofauti. Kwa hiyo, swali linatokea: jinsi gani, kujua muda wa kwanza na tofauti, kupata muda wa kiholela wa maendeleo ya hesabu?

Si vigumu kupata fomula inayohitajika kwa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu. Hebu a

Tatizo 1. Katika maendeleo ya hesabu 2; 5; 8; kumi na moja; : : : tafuta fomula ya muhula wa nth na ukokote muhula wa mia.

Suluhisho. Kulingana na fomula (1) tunayo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Mali na ishara ya maendeleo ya hesabu

Mali ya maendeleo ya hesabu. Katika maendeleo ya hesabu kwa yoyote

Kwa maneno mengine, kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu (kuanzia ya pili) ni maana ya hesabu ya wanachama wake wa jirani.

ambayo ndiyo ilitakiwa.

Kwa ujumla zaidi, maendeleo ya hesabu a yanakidhi usawa

a n = a n k+ a n+k

kwa yoyote n > 2 na k yoyote asilia< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Inatokea kwamba formula (2) sio lazima tu, bali pia hali ya kutosha kwamba mfuatano huo ni mwendelezo wa hesabu.

Ishara ya maendeleo ya hesabu. Ikiwa usawa (2) unashikilia kwa zote n > 2, basi mfuatano an ni mwendelezo wa hesabu.

Ushahidi. Wacha tuandike tena fomula (2) kama ifuatavyo:

a na n 1= a n+1a n:

Kutokana na hili tunaweza kuona kwamba tofauti an+1 an haitegemei n, na hii ina maana hasa kwamba mlolongo an ni maendeleo ya hesabu.

Mali na ishara ya maendeleo ya hesabu inaweza kutengenezwa kwa namna ya taarifa moja; Kwa urahisi, tutafanya hivyo kwa namba tatu (hii ndiyo hali ambayo mara nyingi hutokea katika matatizo).

Tabia ya maendeleo ya hesabu. Nambari tatu a, b, c fomu maendeleo ya hesabu ikiwa na tu ikiwa 2b = a + c.

Tatizo la 2. (MSU, Kitivo cha Uchumi, 2007) Nambari tatu 8x, 3 x2 na 4 katika mpangilio ulioonyeshwa huunda maendeleo ya hesabu yanayopungua. Tafuta x na uonyeshe tofauti ya mwendelezo huu.

Suluhisho. Kwa mali ya maendeleo ya hesabu tunayo:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ikiwa x = 1, basi tunapata maendeleo ya kupungua kwa 8, 2, 4 na tofauti ya 6. Ikiwa x = 5, basi tunapata maendeleo ya kuongezeka kwa 40, 22, 4; kesi hii haifai.

Jibu: x = 1, tofauti ni 6.

Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu

Hadithi zinasema kwamba siku moja mwalimu aliwaambia watoto watafute jumla ya nambari kutoka 1 hadi 100 na wakaketi kimya kusoma gazeti. Hata hivyo, ndani ya dakika chache, mvulana mmoja alisema kwamba alikuwa ametatua tatizo hilo. Alikuwa Karl Friedrich Gauss mwenye umri wa miaka 9, baadaye mmoja wa wanahisabati wakubwa katika historia.

Wazo la Gauss mdogo lilikuwa kama ifuatavyo. Hebu

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Hebu tuandike kiasi hiki kwa mpangilio wa nyuma:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

na ongeza fomula hizi mbili:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Kila neno katika mabano ni sawa na 101, na kuna maneno kama hayo kwa jumla 100. Kwa hiyo

2S = 101 100 = 10100;

Tunatumia wazo hili kupata fomula ya jumla

S = a1 + a2 + : :: + an + a n n: (3)

Marekebisho muhimu ya fomula (3) hupatikana ikiwa tutabadilisha fomula ya neno la nth = a1 + (n 1)d ndani yake:

Tatizo la 3. Tafuta jumla ya nambari zote chanya za tarakimu tatu zinazogawanywa kwa 13.

Suluhisho. Nambari za tarakimu tatu, vizidishio vya 13, huunda mwendelezo wa hesabu na muhula wa kwanza 104 na tofauti 13; Muhula wa 1 wa maendeleo haya una fomu:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Wacha tujue ni maneno ngapi ambayo maendeleo yetu yana. Ili kufanya hivyo, tunatatua ukosefu wa usawa:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Kwa hivyo, kuna wanachama 69 katika maendeleo yetu. Kwa kutumia formula (4) tunapata kiasi kinachohitajika:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2