Logarithm ya asili ni nini sawa na 1. Logarithm asili

mara nyingi kuchukua nambari e = 2,718281828 . Logarithm kulingana na msingi huu huitwa asili. Wakati wa kufanya mahesabu na logarithms ya asili, ni kawaida kufanya kazi na ishara ln, lakini sivyo logi; huku nambari 2,718281828 , kufafanua msingi, haijaonyeshwa.

Kwa maneno mengine, muundo utaonekana kama hii: logarithm asili nambari X- hii ni kielelezo ambacho idadi inapaswa kuinuliwa e, Kupata x.

Kwa hiyo, ln(7,389...)= 2, tangu e 2 =7,389... . Logarithm ya asili ya nambari yenyewe e= 1 kwa sababu e 1 =e, na logarithm asili ya umoja ni sifuri, tangu e 0 = 1.

Nambari yenyewe e inafafanua kikomo cha mlolongo wa mipaka ya monotonic

hesabu hiyo e = 2,7182818284... .

Mara nyingi, ili kurekebisha nambari kwenye kumbukumbu, nambari za nambari inayohitajika zinahusishwa na zingine tarehe ambayo haijakamilika. Kasi ya kukariri nambari tisa za kwanza za nambari e baada ya hatua ya decimal itaongezeka ikiwa unaona kwamba 1828 ni mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Tolstoy!

Leo zipo za kutosha meza kamili logarithms asili.

Grafu ya logarithm ya asili(kazi y =ln x) ni matokeo ya grafu ya kielelezo picha ya kioo sawa sawa y = x na ina fomu:

Logarithm asili inaweza kupatikana kwa kila nambari halisi chanya a kama eneo chini ya curve y = 1/x kutoka 1 kabla a.

Asili ya kimsingi ya uundaji huu, ambayo inalingana na fomula zingine nyingi ambazo logarithm asili inahusika, ilikuwa sababu ya kuundwa kwa jina "asili".

Ukichambua logarithm asili, kama kazi halisi ya kigezo halisi, basi hutenda utendaji wa kinyume kwa kipengele cha kukokotoa, ambacho hupunguza vitambulisho:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e) =a

Kwa mlinganisho na logariti zote, logariti asili hubadilisha kuzidisha kuwa nyongeza, mgawanyiko kuwa kutoa:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logarithm inaweza kupatikana kwa kila msingi chanya ambao si sawa na moja, sio tu kwa e, lakini logariti kwa besi zingine hutofautiana na logariti asilia tu kwa sababu isiyobadilika, na kwa kawaida hufafanuliwa kulingana na logariti asilia.

Baada ya kuchambua grafu ya logarithm asili, tunagundua kuwa ipo kwa ajili ya maadili chanya kutofautiana x. Inaongezeka monotonically katika uwanja wake wa ufafanuzi.

Katika x → 0 kikomo cha logarithm asili ni minus infinity ( -∞ ).Katika x → +∞ kikomo cha logarithm asili ni pamoja na infinity ( + ∞ ) Kwa ujumla x Logarithm huongezeka polepole kabisa. Kazi yoyote ya nguvu xa yenye kipeo chanya a huongezeka haraka kuliko logarithm. Logarithm ya asili ni kazi inayoongezeka kwa monotonically, kwa hiyo haina extrema.

Matumizi logarithms asili busara sana wakati wa kupita hisabati ya juu. Kwa hivyo, kutumia logariti ni rahisi kupata jibu la milinganyo ambayo haijulikani huonekana kama vielezi. Matumizi ya logarithms asili katika mahesabu hufanya iwezekanavyo kurahisisha sana idadi kubwa ya fomula za hisabati. Logarithm kwa msingi e zipo wakati wa kutatua idadi kubwa matatizo ya kimwili na kuingia ndani kwa asili maelezo ya hisabati kemikali ya mtu binafsi, kibaolojia na michakato mingine. Kwa hivyo, logarithms hutumiwa kuhesabu mara kwa mara ya kuoza kwa nusu ya maisha inayojulikana, au kuhesabu muda wa kuoza katika kutatua matatizo ya radioactivity. Wanachukua nafasi kubwa katika maeneo mengi ya hisabati na sayansi ya vitendo, wao ni wameamua katika uwanja wa fedha kutatua idadi kubwa kazi, ikiwa ni pamoja na hesabu ya riba kiwanja.

Sio mbaya hata kidogo, sawa? Wakati wanahisabati wakitafuta maneno ili kukupa ufafanuzi mrefu na unaotatanisha, hebu tuangalie kwa karibu hii rahisi na iliyo wazi.

Nambari e inamaanisha ukuaji

Nambari e inamaanisha ukuaji unaoendelea. Kama tulivyoona katika mfano uliopita, e x inaturuhusu kuunganisha riba na wakati: miaka 3 kwa ukuaji wa 100% ni sawa na mwaka 1 kwa 300%, ikizingatiwa "riba ya pamoja".

Unaweza kubadilisha asilimia yoyote na maadili ya wakati (50% kwa miaka 4), lakini ni bora kuweka asilimia kama 100% kwa urahisi (inageuka 100% kwa miaka 2). Kwa kuhamia 100%, tunaweza kuzingatia tu kipengele cha wakati:

e x = asilimia e * muda = e 1.0 * muda = e wakati

Ni wazi e x inamaanisha:

mchango wangu utakua kiasi gani baada ya vitengo x vya muda (ikizingatiwa ukuaji endelevu wa 100%).
kwa mfano, baada ya vipindi 3 nitapokea e 3 = mara 20.08 zaidi "vitu".

e x ni kipengele cha kuongeza ambacho kinaonyesha ni kiwango gani tutakua kwa muda wa x.

Logarithm ya asili inamaanisha wakati

Logarithmu asili ni kinyume cha e, neno zuri la kinyume. Akizungumza juu ya quirks; kwa Kilatini inaitwa logarithmus naturali, kwa hiyo kifupi ln.

Na hii inversion au kinyume ina maana gani?

e x inaturuhusu kubadilisha wakati na kupata ukuaji.
ln(x) huturuhusu kuchukua ukuaji au mapato na kujua wakati inachukua kuizalisha.

Kwa mfano:

e 3 ni sawa na 20.08. Baada ya vipindi vitatu tutakuwa na mara 20.08 Zaidi ya hayo tulipoanzia.
ln(08/20) itakuwa takriban 3. Ikiwa ungependa ukuaji wa mara 20.08, utahitaji vipindi 3 vya muda (tena, kwa kuzingatia ukuaji wa 100%).

Bado unasoma? Logarithm asili inaonyesha muda unaohitajika kufikia kiwango kinachohitajika.

Hesabu hii isiyo ya kawaida ya logarithmic

Je, umepitia logarithms - ni viumbe vya ajabu. Waliwezaje kugeuza kuzidisha kuwa nyongeza? Vipi kuhusu mgawanyiko katika kutoa? Hebu tuangalie.

ln(1) ni sawa na nini? Intuitively, swali ni: ni kwa muda gani ningojee kupata 1x zaidi ya niliyo nayo?

Sufuri. Sufuri. Hapana kabisa. Tayari unayo mara moja. Haichukui muda mrefu kutoka ngazi ya 1 hadi ngazi ya 1.

ln(1) = 0

Sawa, vipi kuhusu thamani ya sehemu? Je, itachukua muda gani kwetu kuwa na 1/2 ya kiasi kinachopatikana kilichosalia? Tunajua kuwa kwa ukuaji endelevu wa 100%, ln(2) inamaanisha muda unaohitajika kuongezeka maradufu. Ikiwa sisi turudishe wakati(yaani, subiri muda usiofaa), basi tutapata nusu ya kile tulicho nacho.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Mantiki, sawa? Ikiwa tunarudi nyuma (muda nyuma) hadi sekunde 0.693, tutapata nusu ya kiasi kinachopatikana. Kwa ujumla, unaweza kugeuza sehemu na kuchukua maana hasi: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Hii inamaanisha kuwa ikiwa tutarudi nyuma hadi mara 1.09, tutapata theluthi moja ya nambari ya sasa.

Sawa, vipi kuhusu logariti ya nambari hasi? Inachukua muda gani "kukua" koloni ya bakteria kutoka 1 hadi -3?

Hili haliwezekani! Huwezi kupata hesabu hasi ya bakteria, sivyo? Unaweza kupata kiwango cha juu (er...kiwango cha chini) cha sifuri, lakini hakuna njia unaweza kupata nambari hasi kutoka kwa vidadisi hivi vidogo. KATIKA nambari hasi bakteria haina maana.

ln(nambari hasi) = haijafafanuliwa

"Haijafafanuliwa" inamaanisha kuwa hakuna muda ambao ungelazimika kusubiri kupata thamani hasi.

Kuzidisha kwa logarithmic ni jambo la kufurahisha

Itachukua muda gani kukua mara nne? Bila shaka, unaweza tu kuchukua ln(4). Lakini hii ni rahisi sana, tutaenda kwa njia nyingine.

Unaweza kufikiria ukuaji wa mara nne kama kuongezeka maradufu (kuhitaji ln(2) vitengo vya wakati) na kisha kuzidisha mara mbili tena (inahitaji vitengo vingine vya ln(2) vya wakati):

Muda wa kukua mara 4 = ln(4) = Muda wa kukua maradufu kisha mara mbili tena = ln(2) + ln(2)

Inavutia. Kiwango chochote cha ukuaji, tuseme 20, kinaweza kuzingatiwa kuwa maradufu baada ya ongezeko la mara 10. Au ukuaji kwa mara 4, na kisha kwa mara 5. Au mara tatu na kisha kuongezeka kwa mara 6.666. Unaona muundo?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logariti ya A nyakati B ni logi(A) + logi(B). Uhusiano huu mara moja huwa na maana unapotazamwa katika suala la ukuaji.

Ikiwa una nia ya ukuaji wa 30x, unaweza kusubiri ln(30) kwa muda mmoja, au kusubiri ln(3) kwa mara tatu, na kisha ln(10) nyingine kwa 10x. Matokeo ya mwisho ni sawa, kwa hiyo bila shaka wakati lazima ubaki mara kwa mara (na hufanya hivyo).

Vipi kuhusu mgawanyiko? Hasa, ln(5/3) inamaanisha: itachukua muda gani kukua mara 5 na kupata 1/3 ya hiyo?

Kubwa, ukuaji kwa mara 5 ni ln(5). Ongezeko la mara 1/3 litachukua -ln(3) vitengo vya wakati. Kwa hiyo,

ln(5/3) = ln(5) - ln(3)

Hii ina maana: basi iweze kukua mara 5, na kisha "kurudi nyuma kwa wakati" hadi pale ambapo theluthi moja tu ya kiasi hicho inabakia, ili kupata ukuaji wa 5/3. Kwa ujumla inageuka

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Natumai kwamba hesabu ya ajabu ya logarithmu inaanza kuwa na maana kwako: kuzidisha viwango vya ukuaji inakuwa ni kuongeza vitengo vya wakati wa ukuaji, na kugawanya kunakuwa kupunguza vitengo vya wakati. Hakuna haja ya kukariri sheria, jaribu kuzielewa.

Kutumia logarithm asili kwa ukuaji wa kiholela

Kweli, bila shaka,” unasema, “haya yote ni mazuri ikiwa ukuaji ni 100%, lakini vipi kuhusu 5% ninayopokea?”

Hakuna shida. "Wakati" tunaohesabu na ln() kwa hakika ni mchanganyiko wa kiwango cha riba na wakati, X sawa kutoka kwa mlinganyo wa e x. Tuliamua tu kuweka asilimia hadi 100% kwa urahisi, lakini tuko huru kutumia nambari zozote.

Wacha tuseme tunataka kufikia ukuaji mara 30: chukua ln(30) na upate 3.4 Hii inamaanisha:

e x = urefu
e 3.4 = 30

Ni wazi, mlinganyo huu unamaanisha "kurudi 100% zaidi ya miaka 3.4 inatoa ukuaji wa 30x." Tunaweza kuandika equation hii kama ifuatavyo:

e x = e kiwango* wakati
e 100% * miaka 3.4 = 30

Tunaweza kubadilisha maadili ya "dau" na "wakati", mradi tu dau * muda unabaki 3.4. Kwa mfano, ikiwa tuna nia ya ukuaji wa 30x, tutasubiri kwa muda gani kwa kiwango cha riba cha 5%?

ln(30) = 3.4
kiwango * muda = 3.4
0.05 * wakati = 3.4
muda = 3.4 / 0.05 = miaka 68

Ninasababu hivi: "ln(30) = 3.4, kwa hivyo kwa ukuaji wa 100% itachukua miaka 3.4. Nikiongeza kasi ya ukuaji mara mbili, muda unaohitajika utapunguzwa kwa nusu."

100% kwa miaka 3.4 = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% katika miaka 1.7 = 2.0 * 1.7 = 3.4
50% kwa miaka 6.8 = 0.5 * 6.8 = 3.4
5% zaidi ya miaka 68 = .05 * 68 = 3.4.

Kubwa, sawa? Logarithm asili inaweza kutumika kwa kiwango chochote cha riba na wakati kwa sababu bidhaa zao hubaki bila kubadilika. Unaweza kuhamisha maadili tofauti kadri unavyopenda.

Mfano mzuri: Sheria ya sabini na mbili

Sheria ya Sabini na Mbili ni mbinu ya hisabati ambayo hukuruhusu kukadiria itachukua muda gani kwa pesa zako kuongezeka mara mbili. Sasa tutaamua (ndiyo!), Na zaidi ya hayo, tutajaribu kuelewa kiini chake.

Je, itachukua muda gani kuongeza pesa zako mara mbili kwa riba ya 100% iliyojumuishwa kila mwaka?

Lo! Tulitumia logarithm asili kwa kesi na ukuaji endelevu, na sasa unazungumzia accrual ya kila mwaka? Je! fomula hii haingekuwa isiyofaa kwa kesi kama hii? Ndiyo, itakuwa, lakini kwa viwango vya riba halisi kama 5%, 6% au hata 15%, tofauti kati ya kuchanganya kila mwaka na ukuaji wa kuendelea itakuwa ndogo. Kwa hivyo makadirio mabaya hufanya kazi, um, takriban, kwa hivyo tutajifanya kuwa tuna limbikizo la kuendelea kabisa.

Sasa swali ni rahisi: Je, unaweza haraka mara mbili na ukuaji wa 100%? ln(2) = 0.693. Inachukua vitengo 0.693 vya muda (miaka kwa upande wetu) kuongeza kiasi chetu mara mbili na ongezeko la kuendelea la 100%.

Kwa hivyo, vipi ikiwa kiwango cha riba sio 100%, lakini sema 5% au 10%?

Kwa urahisi! Kwa kuwa dau * wakati = 0.693, tutaongeza kiasi mara mbili:

kiwango * muda = 0.693
wakati = 0.693 / dau

Inatokea kwamba ikiwa ukuaji ni 10%, itachukua 0.693 / 0.10 = miaka 6.93 mara mbili.

Ili kurahisisha mahesabu, hebu tuzidishe pande zote mbili kwa 100, kisha tunaweza kusema "10" badala ya "0.10":

muda wa kuongeza mara mbili = 69.3 / dau, ambapo dau linaonyeshwa kama asilimia.

Sasa ni wakati wa mara mbili kwa kiwango cha 5%, 69.3 / 5 = miaka 13.86. Walakini, 69.3 sio mgao unaofaa zaidi. Wacha tuchague nambari ya karibu, 72, ambayo ni rahisi kugawanya na 2, 3, 4, 6, 8 na nambari zingine.

wakati wa kuongeza mara mbili = 72 / dau

ambayo ni kanuni ya sabini na mbili. Kila kitu kinafunikwa.

Ikiwa unahitaji kupata wakati wa kuzidisha mara tatu, unaweza kutumia ln(3) ~ 109.8 na upate

wakati hadi mara tatu = 110 / dau

Nini kingine kanuni muhimu. "Kanuni ya 72" inatumika kwa ukuaji wa viwango vya riba, ukuaji wa idadi ya watu, tamaduni za bakteria na chochote kinachokua kwa kasi.

Nini kinafuata?

Tunatumahi kuwa logarithm asili sasa inaeleweka kwako - inaonyesha wakati inachukua kwa nambari yoyote kukua kwa kasi. Nadhani inaitwa asili kwa sababu e ni kipimo cha jumla cha ukuaji, kwa hivyo inaweza kuzingatiwa kwa njia ya ulimwengu wote kuamua inachukua muda gani kukua.

Kila wakati unapoona ln(x), kumbuka "wakati inachukua kukua mara X". Katika makala ijayo nitaelezea e na ln kwa kushirikiana ili harufu safi ya hisabati ijaze hewa.

Nyongeza: Logariti asilia ya e

Jaribio la haraka: ln(e) ni nini?

roboti ya hesabu itasema: kwa kuwa zinafafanuliwa kama kinyume cha kila mmoja, ni dhahiri kwamba ln(e) = 1.
mtu anayeelewa: ln(e) ni idadi ya nyakati inachukua kukua mara "e" (takriban 2.718). Walakini, nambari e yenyewe ni kipimo cha ukuaji kwa sababu ya 1, kwa hivyo ln(e) = 1.

Fikiri kwa uwazi.

Septemba 9, 2013

Logarithm ya asili

Grafu ya kitendakazi cha logarithm asilia. Chaguo za kukokotoa polepole hukaribia ukomo chanya kadiri inavyoongezeka x na haraka inakaribia infinity hasi wakati x huelekea 0 ("polepole" na "haraka" ikilinganishwa na utendaji wowote wa nguvu wa x).

Logarithm ya asili ni logariti kwa msingi , Wapi e- mara kwa mara isiyo na mantiki sawa na takriban 2.718281 828. Logarithm asili kawaida huandikwa kama ln( x), logi e (x) au wakati mwingine ingia tu( x), ikiwa msingi e inadokezwa.

Logarithm asili ya nambari x(imeandikwa kama ln(x)) ni kipeo ambacho nambari lazima ipandishwe e, Kupata x. Kwa mfano, ln(7,389...) ni sawa na 2 kwa sababu e 2 =7,389... . Logarithm ya asili ya nambari yenyewe e (ln(e)) ni sawa na 1 kwa sababu e 1 = e, na logariti asilia ni 1 ( ln(1)) ni sawa na 0 kwa sababu e 0 = 1.

Logarithm asili inaweza kufafanuliwa kwa nambari yoyote chanya a kama eneo chini ya curve y = 1/x kutoka 1 hadi a. Urahisi wa ufafanuzi huu, ambao unaendana na fomula zingine nyingi zinazotumia logarithm asilia, ulisababisha jina "asili". Ufafanuzi huu unaweza kupanuliwa kwa nambari changamano, kama ilivyojadiliwa hapa chini.

Ikiwa tutazingatia logarithm asilia kama kazi halisi ya kigeugeu halisi, basi ni kazi kinyume cha chaguo la kukokotoa, ambalo husababisha vitambulisho:

Kama logariti zote, logarithm asilia huonyesha kuzidisha hadi kuongeza:

Kwa hivyo, kazi ya logarithmic ni isomorphism ya kikundi cha chanya nambari za kweli kuhusu kuzidisha kwa kikundi nambari za kweli kwa kuongeza, ambayo inaweza kuwakilishwa kama kazi:

Logarithm inaweza kufafanuliwa kwa msingi wowote chanya isipokuwa 1, sio tu e, lakini logariti kwa besi zingine hutofautiana na logariti asilia tu kwa sababu isiyobadilika, na kwa kawaida hufafanuliwa kulingana na logariti asilia. Logarithmu ni muhimu kwa kutatua milinganyo ambayo inahusisha zisizojulikana kama vipeo. Kwa mfano, logarithms hutumiwa kupata uozo mara kwa mara kwa nusu ya maisha inayojulikana, au kupata muda wa kuoza katika kutatua matatizo ya mionzi. Wanacheza jukumu muhimu katika maeneo mengi ya hisabati na sayansi zilizotumika, hutumiwa katika fedha kutatua matatizo mengi, ikiwa ni pamoja na kutafuta riba ya mchanganyiko.

Hadithi

Kutajwa kwa kwanza kwa logarithm ya asili ilitolewa na Nicholas Mercator katika kazi yake Logarithmotechnia, iliyochapishwa mwaka wa 1668, ingawa mwalimu wa hisabati John Spidell alikusanya jedwali la logarithms asili huko nyuma mnamo 1619. Hapo awali iliitwa hyperbolic logarithm kwa sababu inalingana na eneo chini ya hyperbola. Wakati mwingine huitwa logarithm ya Napier, ingawa maana ya asili ya neno hili ilikuwa tofauti kwa kiasi fulani.

Mikataba ya uteuzi

Logarithm asili kawaida huonyeshwa na "ln( x)", logariti hadi msingi 10 - kupitia "lg( x)", na sababu zingine kawaida huonyeshwa wazi na ishara "logi".

Katika kazi nyingi za hisabati, cybernetics, na sayansi ya kompyuta, waandishi hutumia nukuu "logi( x)" kwa logariti kwa msingi wa 2, lakini mkataba huu haukubaliwi kwa ujumla na unahitaji ufafanuzi ama katika orodha ya nukuu zilizotumiwa au (bila ya orodha kama hiyo) kwa tanbihi au maoni yalipotumiwa mara ya kwanza.

Mabano karibu na hoja ya logariti (ikiwa hii haileti usomaji usio sahihi wa fomula) kawaida huachwa, na wakati wa kuinua logariti kwa nguvu, kielelezo hupewa moja kwa moja kwa ishara ya logarithm: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Mfumo wa Anglo-American

Wanahisabati, wanatakwimu na baadhi ya wahandisi kwa kawaida hutumia kuashiria logarithm asilia au “logi( x)" au "ln( x)", na kuashiria msingi wa logarithm 10 - "logi 10 ( x)».

Baadhi ya wahandisi, wanabiolojia na wataalamu wengine kila mara huandika “ln( x)" (au mara kwa mara "logi e ( x)") wanapomaanisha logarithm asili, na nukuu "logi( x)" wanamaanisha logi 10 ( x).

logi e ni logariti "asili" kwa sababu hutokea kiotomatiki na inaonekana mara nyingi sana katika hisabati. Kwa mfano, fikiria tatizo la derivative kazi ya logarithmic:

Ikiwa msingi b sawa e, basi derivative ni 1/ x, na lini x= 1 derivative hii ni sawa na 1. Sababu nyingine kwa nini msingi e Jambo la asili zaidi juu ya logarithm ni kwamba inaweza kufafanuliwa kwa urahisi kabisa kwa suala la safu muhimu au ya Taylor, ambayo haiwezi kusemwa juu ya logarithm zingine.

Sababu zaidi za uasilia hazihusiani na nukuu. Kwa hiyo, kwa mfano, kuna kadhaa safu rahisi na logarithms asili. Pietro Mengoli na Nicholas Mercator waliwaita logarithmus naturalis miongo kadhaa hadi Newton na Leibniz waliunda calculus tofauti na muhimu.

Ufafanuzi

ln rasmi ( a) inaweza kufafanuliwa kama eneo chini ya curve ya grafu 1/ x kutoka 1 hadi a, yaani kama kiungo:

Kwa kweli ni logariti kwa sababu inakidhi sifa ya kimsingi ya logariti:

Hii inaweza kuonyeshwa kwa kudhani kama ifuatavyo:

Thamani ya nambari

Ili kukokotoa thamani ya nambari ya logariti asilia ya nambari, unaweza kutumia upanuzi wake wa mfululizo wa Taylor katika fomu:

Ili kupata kiwango bora cha muunganisho, unaweza kutumia utambulisho ufuatao:

ili mradi y = (x−1)/(x+1) na x > 0.

Kwa ln ( x), Wapi x> 1, ndivyo thamani inavyokaribia x kwa 1, basi kasi ya kasi muunganiko. Vitambulisho vinavyohusishwa na logarithm vinaweza kutumika kufikia lengo:

Njia hizi zilitumika hata kabla ya ujio wa calculators, ambayo walitumia meza za nambari na ghiliba sawa na zile zilizoelezwa hapo juu zilifanyika.

Usahihi wa juu

Ili kukokotoa logariti asilia na kiasi kikubwa nambari za usahihi, safu ya Taylor haifai kwa sababu muunganisho wake ni wa polepole. Njia mbadala ni kutumia njia ya Newton kugeuza kuwa kazi ya kielelezo ambayo mfululizo wake hubadilika haraka zaidi.

Mbadala kwa sana usahihi wa juu hesabu ni formula:

Wapi M inaashiria wastani wa hesabu-kijiometri wa 1 na 4 / s, na

m waliochaguliwa hivyo uk alama za usahihi hupatikana. (Mara nyingi, thamani ya 8 kwa m inatosha.) Kwa kweli, ikiwa njia hii itatumiwa, kinyume cha Newton cha logarithm asili inaweza kutumika ili kukokotoa kwa ufanisi chaguo za kukokotoa za kielelezo. (Viunga ln 2 na pi vinaweza kukokotolewa awali kwa usahihi unaohitajika kwa kutumia mfululizo wowote unaojulikana unaounganika kwa haraka.)

Utata wa hesabu

Utata wa kimahesabu wa logariti asilia (kwa kutumia maana ya hesabu-kijiometri) ni O( M(n)ln n) Hapa n ni idadi ya tarakimu za usahihi ambazo logarithm asili lazima itathminiwe, na M(n) ni uchangamano wa kimahesabu wa kuzidisha mbili n- nambari za tarakimu.

Inaendelea sehemu

Ingawa hakuna sehemu rahisi zinazoendelea kuwakilisha logariti, sehemu kadhaa zinazoendelea za jumla zinaweza kutumika, ikijumuisha:

Logarithmu ngumu

Kitendaji cha kipeo kinaweza kupanuliwa hadi kitendakazi kinachotoa nambari changamano ya fomu e x kwa nambari yoyote changamano isiyo halali x, katika kesi hii mfululizo usio na ngumu x. Hii utendaji wa kielelezo inaweza kugeuzwa kuunda logariti changamano, ambayo itakuwa na kwa sehemu kubwa mali ya logarithms ya kawaida. Walakini, kuna shida mbili: hakuna x, kwa ajili yake e x= 0, na inageuka kuwa e 2πi = 1 = e 0 . Kwa kuwa mali ya kuzidisha ni halali kwa kazi changamano ya kielelezo, basi e z = e z+2npi kwa magumu yote z na nzima n.

Logarithm haiwezi kufafanuliwa juu ya ndege nzima changamano, na hata hivyo inathaminiwa vingi - logarithm yoyote changamano inaweza kubadilishwa na logarithm "sawa" kwa kuongeza nambari kamili ya 2. πi. Logarithm changamano inaweza tu kuthaminiwa moja kwenye kipande cha ndege changamano. Kwa mfano, ln i = 1/2 πi au 5/2 πi au -3/2 πi, nk, na ingawa i 4 = logi 1.4 i inaweza kufafanuliwa kama 2 πi, au 10 πi au -6 πi, Nakadhalika.

Angalia pia

John Napier - mvumbuzi wa logarithms

Vidokezo

Hisabati kwa kemia ya kimwili. - ya 3. - Vyombo vya Habari vya Kielimu, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Dondoo la ukurasa wa 9
J J O"Connor na E F Robertson Nambari e. Jalada la Historia ya MacTutor ya Hisabati (Septemba 2001). Imehifadhiwa
Cajori Florian Historia ya Hisabati, toleo la 5. - Duka la Vitabu la AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Kukadiria Viunga kwa kutumia Polynomials. Imehifadhiwa kutoka ya asili mnamo Februari 12, 2012.

Sifa za kimsingi za logariti asilia, grafu, kikoa cha ufafanuzi, seti ya maadili, fomula za kimsingi, derivative, muhimu, upanuzi katika mfululizo wa nguvu na uwakilishi wa chaguo za kukokotoa ln x kwa kutumia nambari changamano.

Ufafanuzi

Logarithm ya asili ni kazi y = ln x, kinyume cha kielezio, x = e y, na ni logariti kwenye msingi wa nambari e: ln x = logi e x.

Logarithm asilia hutumiwa sana katika hisabati kwa sababu derivative yake ina umbo rahisi zaidi: (ln x)′ = 1/ x.

Kulingana ufafanuzi, msingi wa logarithm asili ni nambari e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafu ya kazi y = ln x.

Grafu ya logarithm asili (kazi y = ln x) hupatikana kutoka kwa grafu ya kielelezo kwa kutafakari kioo kuhusiana na mstari wa moja kwa moja y = x.

Logariti asilia inafafanuliwa kwa thamani chanya za mabadiliko x. Inaongezeka monotonically katika uwanja wake wa ufafanuzi.

Katika x → 0 kikomo cha logariti asilia ni minus infinity (-∞).

Kama x → + ∞, kikomo cha logariti asilia ni pamoja na infinity (+ ∞). Kwa x kubwa, logarithm huongezeka polepole kabisa. Yoyote kazi ya nguvu x a yenye kipeo chanya a hukua haraka kuliko logariti.

Tabia za logarithm ya asili

Domain ya ufafanuzi, seti ya maadili, extrema, ongezeko, kupungua

Logarithm ya asili ni kazi inayoongezeka kwa monotonically, kwa hiyo haina extrema. Mali ya msingi logarithm ya asili imewasilishwa kwenye meza.

thamani ya ln

ln 1 = 0

Njia za kimsingi za logarithm asili

Mifumo ifuatayo kutoka kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume:

Mali kuu ya logarithms na matokeo yake

Msingi wa formula badala

Logarithm yoyote inaweza kuonyeshwa kulingana na logarithmu asili kwa kutumia fomula mbadala ya msingi:

Uthibitisho wa fomula hizi hutolewa katika sehemu ya "Logarithm".

Kitendaji kinyume

Kinyume cha logarithm asilia ni kipeo.

Ikiwa, basi

Ikiwa, basi.

Dawa inayotokana na ln x

Inayotokana na logarithm asilia:
.
Inatokana na logariti asilia ya modulus x:
.
Inatokana na agizo la nth:
.
Kuunda fomula >>>

Muhimu

Kiunga kinahesabiwa kwa kuunganishwa na sehemu:
.
Kwa hiyo,

Vielezi kwa kutumia nambari changamano

Fikiria kazi ya tofauti changamano z:
.
Hebu tueleze tofauti tata z kupitia moduli r na hoja φ :
.
Kutumia mali ya logarithm, tunayo:
.
Au
.
Hoja φ haijafafanuliwa kipekee. Ukiweka
, ambapo n ni nambari kamili,
itakuwa nambari sawa kwa tofauti n.

Kwa hivyo, logariti asilia, kama kitendakazi cha kigezo changamano, si kazi yenye thamani moja.

Upanuzi wa mfululizo wa nguvu

Wakati upanuzi unafanyika:

Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.