24.1. Dhana ya kazi tofauti

Acha chaguo la kukokotoa y=ƒ(x) liwe na derivative ya nonzero katika nukta x.

Kisha, kwa mujibu wa nadharia juu ya uhusiano kati ya kazi, kikomo chake na kazi isiyo na kikomo, tunaweza kuandika D у/D x=ƒ"(x)+α, ambapo α→0 kwa ∆х→0, au ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Kwa hivyo, ongezeko la chaguo la kukokotoa ∆у ni jumla ya maneno mawili ƒ"(x) ∆x na ∆x, ambayo ni infinitesimal kwa ∆x→0. Aidha, neno la kwanza ni kazi isiyo na kikomo ya mpangilio sawa na ∆x, tangu na neno la pili ni kazi isiyo na kikomo ya zaidi utaratibu wa juu, kuliko ∆х:

Kwa hivyo, neno la kwanza ƒ"(x) ∆x linaitwa sehemu kuu nyongeza vipengele ∆у.

Tofauti ya kazi y=ƒ(x) katika hatua x inaitwa sehemu kuu ongezeko lake, sawa na bidhaa inayotokana na chaguo la kukokotoa kwa nyongeza ya hoja, na inaashiria dу (au dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆x. (24.1)

Tofauti dу pia inaitwa tofauti ya agizo la kwanza. Wacha tupate utofautishaji wa kigezo huru cha x, yaani, tofauti ya chaguo la kukokotoa y=x.

Kwa kuwa y"=x"=1, basi, kulingana na fomula (24.1), tunayo dy=dx=∆x, yaani, tofauti ya kigezo huru ni sawa na ongezeko la kigezo hiki: dx=∆x.

Kwa hivyo, formula (24.1) inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

kwa maneno mengine, tofauti ya kazi sawa na bidhaa derivative ya chaguo hili la kukokotoa kwa utofautishaji wa kigezo huru.

Kutoka kwa fomula (24.2) inafuata usawa dy/dx=ƒ"(x). Sasa nukuu

derivative dy/dx inaweza kuchukuliwa kama uwiano wa tofauti dy na dx.

<< Пример 24.1

Pata tofauti ya chaguo za kukokotoa ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Suluhisho: Kwa kutumia fomula dy=ƒ"(x) dx tunapata

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Tafuta tofauti ya chaguo za kukokotoa

Kokotoa dy kwa x=0, dx=0.1.

Suluhisho:

Kubadilisha x=0 na dx=0.1, tunapata

24.2. Maana ya kijiometri ya kazi tofauti

Wacha tujue maana ya kijiometri ya tofauti.

Ili kufanya hivyo, hebu tuchore tangent MT kwa grafu ya kazi y = ƒ (x) kwenye hatua M (x; y) na fikiria uratibu wa tangent hii kwa uhakika x + ∆x (ona Mchoro 138). Katika takwimu ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Kutoka kwa pembetatu ya kulia ya MAV tunayo:

Lakini, kulingana na maana ya kijiometri ya kinyambulisho, tga=ƒ"(x). Kwa hivyo, AB=ƒ"(x) ∆x.

Tukilinganisha matokeo yaliyopatikana na fomula (24.1), tunapata dy=AB, yaani, tofauti ya chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) katika nukta x ni sawa na ongezeko la mpangilio wa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii. uhakika, wakati x inapokea nyongeza ∆x.

Hii ndio maana ya kijiometri ya tofauti.

24.3 Nadharia za kimsingi kuhusu tofauti

Nadharia za msingi kuhusu kutofautisha zinaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia uunganisho kati ya tofauti na derivative ya chaguo za kukokotoa (dy=f"(x)dx) na nadharia zinazolingana kuhusu viasili.

Kwa mfano, kwa kuwa derivative ya kazi y=c ni sawa na sifuri, basi tofauti ya thamani ya mara kwa mara ni sawa na sifuri: dy=с"dx=0 dx=0.

Nadharia 24.1. Tofauti ya jumla, bidhaa na sehemu ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa imedhamiriwa na fomula zifuatazo:

Hebu tuthibitishe, kwa mfano, fomula ya pili. Kwa ufafanuzi wa tofauti tunayo:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Nadharia 24.2. Tofauti ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kuhusiana na hoja ya kati na utofautishaji wa hoja hii ya kati.

Acha y=ƒ(u) na u=φ(x) ziwe vitendakazi viwili vinavyoweza kutofautishwa vinavyounda kazi changamano y=ƒ(φ(x)). Kutumia nadharia juu ya derivative ya kazi ngumu, tunaweza kuandika

y" x =y" u u" x.

Kwa kuzidisha pande zote mbili za usawa huu kwa dx, tunajifunza y" x dx=y" u u" x dx. Lakini y" x dx=dy na u" x dx=du. Kwa hivyo, usawa wa mwisho unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

dy=y" u du.

Tukilinganisha fomula dy=y" x dx na dy=y" u du, tunaona kwamba tofauti ya kwanza ya chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) imedhamiriwa na fomula sawa bila kujali kama hoja yake ni kigezo huru au ni a. kazi ya hoja nyingine.

Mali hii ya tofauti inaitwa kutofautiana (kutobadilika) kwa fomu ya tofauti ya kwanza.

Fomula dy=y" x dx kwa mwonekano inapatana na fomula dy=y" u du, lakini kuna tofauti ya kimsingi kati yao: katika fomula ya kwanza x ni kigezo huru, kwa hivyo dx=∆x, katika fomula ya pili. kuna kazi ya x , kwa hivyo, kwa ujumla, du≠∆u.

Kutumia ufafanuzi wa tofauti na nadharia za msingi kuhusu tofauti, ni rahisi kubadilisha meza ya derivatives katika meza ya tofauti.

Kwa mfano: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Jedwali la tofauti

24.5. Kutumia tofauti kwa makadirio ya hesabu

Kama inavyojulikana tayari, nyongeza ∆у ya chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) katika hatua x inaweza kuwakilishwa kama ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, ambapo α→0 kwa ∆х→0, au ∆у= dy+α ∆х. Tukitupilia mbali α ∆х isiyo na kikomo ya mpangilio wa juu kuliko ∆х, tunapata takriban usawa

∆у≈dy, (24.3)

Aidha, usawa huu ni sahihi zaidi, ndogo ∆х.

Usawa huu huturuhusu kuhesabu takriban ongezeko la chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa kwa usahihi mkubwa.

Tofauti kwa kawaida ni rahisi zaidi kupata kuliko nyongeza ya chaguo za kukokotoa, kwa hivyo fomula (24.3) hutumiwa sana katika mazoezi ya kompyuta.

<< Пример 24.3

Pata thamani ya takriban ya nyongeza ya chaguo za kukokotoa y=x 3 -2x+1 kwa x=2 na ∆x=0.001.

Suluhisho: Tunatumia fomula (24.3): ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Kwa hivyo, ∆у» 0.01.

Wacha tuone ni kosa gani lilifanywa kwa kuhesabu tofauti ya chaguo za kukokotoa badala ya ongezeko lake. Ili kufanya hivyo, tunapata ∆у:

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

Hitilafu kabisa ya makadirio ni

|∆у-dy|=|0.010006-0.011=0.000006.

Kubadilisha maadili ya ∆у na kufa katika usawa (24.3), tunapata

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Mfumo (24.4) hutumika kukokotoa takriban thamani za chaguo za kukokotoa.

<< Пример 24.4

Hesabu takriban arctan (1.05).

Suluhisho: Zingatia chaguo za kukokotoa ƒ(x)=arctgx. Kulingana na fomula (24.4) tunayo:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

i.e.

Kwa kuwa x+∆x=1.05, basi kwa x=1 na ∆x=0.05 tunapata:

Inaweza kuonyeshwa kuwa hitilafu kamili ya fomula (24.4) haizidi thamani M (∆x) 2, ambapo M ndiyo thamani kubwa zaidi ya |ƒ"(x)| kwenye sehemu [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Je! mwili utasafiri umbali gani wakati wa kuanguka bila malipo kwenye Mwezi katika sekunde 10.04 kutoka mwanzo wa msimu wa baridi? Mlinganyo wa kuanguka bure kwa mwili

H=g l t 2 /2, g l =1.6 m/s 2.

Suluhisho: Tunahitaji kupata H (10,04). Wacha tutumie fomula ya takriban (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Katika t=10 s na ∆t=dt=0.04 s, H"(t)=g l t, tunapata

Shida (kwa suluhisho la kujitegemea). Mwili wenye uzito m=20 kg husogea kwa kasi ν=10.02 m/s. Kuhesabu takriban nishati ya kinetic ya mwili

24.6. Tofauti za mpangilio wa juu

Acha y=ƒ(x) iwe kazi inayoweza kutofautishwa, na hoja yake x iwe tofauti ya kujitegemea. Kisha tofauti yake ya kwanza dy=ƒ"(x)dx pia ni chaguo la kukokotoa la x; tofauti ya chaguo hili la kukokotoa inaweza kupatikana.

Tofauti ya utofautishaji wa chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) inaitwa tofauti yake ya pili(au tofauti ya mpangilio wa pili) na inaashiria d 2 y au d 2 ƒ(x).

Kwa hivyo, kwa ufafanuzi d 2 y=d(dy). Wacha tupate usemi wa tofauti ya pili ya chaguo za kukokotoa y=ƒ(x).

Kwa kuwa dx=∆х haitegemei x, basi wakati wa kutofautisha tunazingatia dx mara kwa mara:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 yaani .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24.5)

Hapa dx 2 inasimamia (dx) 2.

Tofauti ya mpangilio wa tatu inafafanuliwa na kupatikana sawa

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.

Na, kwa ujumla, tofauti ya mpangilio wa nth ni tofauti na tofauti ya mpangilio wa (n-1): d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Kuanzia hapa tunapata kwamba, Hasa, kwa n=1,2,3

ipasavyo tunapata:

yaani, derivative ya chaguo za kukokotoa inaweza kuzingatiwa kama uwiano wa utofautishaji wake wa mpangilio unaofaa kwa kiwango kinacholingana cha utofautishaji wa kigezo huru.

Kumbuka kuwa fomula zote hapo juu ni halali ikiwa tu x ni kigezo huru. Ikiwa chaguo za kukokotoa y=ƒ(x), x iko wapi kazi ya kigezo kingine huru, basi tofauti za amri ya pili na ya juu hazina mali ya kutofautiana kwa fomu na huhesabiwa kwa kutumia kanuni nyingine. Wacha tuonyeshe hii kwa kutumia mfano wa tofauti ya mpangilio wa pili.

Kwa kutumia fomula ya kutofautisha ya bidhaa (d(uv)=vdu+udv), tunapata:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , i.e.

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x. (24.6)

Kulinganisha fomula (24.5) na (24.6), tuna hakika kwamba katika kesi ya kazi ngumu, fomula ya tofauti ya mpangilio wa pili inabadilika: neno la pili ƒ"(x) d 2 x inaonekana.

Ni wazi kwamba ikiwa x ni tofauti huru, basi

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

na fomula (24.6) huenda katika fomula (24.5).

<< Пример 24.6

Tafuta d 2 y ikiwa y = e 3x na x ni kigezo huru.

Suluhisho: Kwa kuwa y"=3e 3x, y"=9e 3x, basi kulingana na formula (24.5) tuna d 2 y = 9e 3x dx 2.

<< Пример 24.7

Tafuta d 2 y ikiwa y=x 2 na x=t 3 +1 na t ni kigezo huru.

Suluhisho: Tunatumia fomula (24.6): tangu

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

Hiyo d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Suluhisho lingine: y=x 2, x=t 3 +1. Kwa hivyo, y=(t 3 +1) 2. Kisha kulingana na formula (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Tofauti za maagizo ya juu.

Acha chaguo la kukokotoa y = ¦(x) lifafanuliwe katika muda fulani wa X (kwa mfano, muda) na iwe na viasili vya maagizo yote katika kila nukta ya ndani. Kisha tofauti yake dу=у 1 dх. Tutaiita tofauti ya agizo la kwanza.

Katika kila hatua maalum, tofauti ya kazi ni nambari. Kwa muda ni kazi ya x. Kwa hiyo, tunaweza kuzungumza juu ya tofauti kutoka kwa tofauti ya kwanza.

Ufafanuzi: Tofauti ya mpangilio wa kwanza wa tofauti za chaguo za kukokotoa y = ¦(x) inaitwa tofauti ya mpangilio wa pili wa chaguo hili la kukokotoa na imeandikwa kwa njia ya kiishara d(dу)=d 2 y.

Hata kidogo: tofauti ya mpangilio wa nth ya chaguo za kukokotoa y= ¦(x) ni tofauti kutoka kwa mpangilio wa (n-1) wa chaguo za kukokotoa d n y= d(d n-1 y).

Manukuu d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x) pia yanatumika.

Tofauti za utaratibu wa juu kuliko wa kwanza huitwa tofauti za maagizo ya juu.

Wakati wa kuhesabu tofauti za maagizo ya juu, ni lazima izingatiwe kuwa dx ni nambari ya kiholela, lakini huru ya x, na wakati wa kutofautisha kwa heshima na x, lazima izingatiwe kuwa jambo la mara kwa mara.

Kwa hivyo dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(y 1)= dх(y 11 dх)=у 11 (dх) 2. Ni kawaida kuandika kiwango cha kutofautisha bila mabano (dx) 2 = dx 2.

Kwa hivyo, d 2 y = y''dx 2, lakini hii haipaswi kuchanganyikiwa na d (x 2) = 2xdx

Vivyo hivyo: d 3 y= d (y 11 dx 2)= dx 2 d (y 11)= dx 2 (y 111 dx)= y 111 dx 3; d 3 y =y 111 dx 3.

Hapa tena dx 3 = dx dx dx, na si d (x 3) = 3x 2 dx

d n y=y n dх n

Hapa dх n = (dх) n kama hapo awali.

Kutoka kwa fomula ya jumla ya tofauti ya mpangilio wa nth, haswa, fomula ya derivative ya mpangilio wa nth ifuatavyo.

У (n) = d n у/dх n, i.e. Kinyume cha mpangilio wa nth ni mgawo wa tofauti ya nth ya chaguo la kukokotoa na shahada ya nth ya tofauti. kujitegemea mabadiliko.

Tumeona kwamba umbo la tofauti ya kwanza dу = у 1 dх haitegemei ikiwa x ni kigezo huru au x yenyewe ni kazi ya kigezo fulani cha t.

Aina ya tofauti ya mpangilio n=2 haijahifadhiwa tena katika kesi hii; haina utofauti.

Kwa upande wa tofauti huru x d 2 y=y 11 dx 2 ni tofauti ya utaratibu wa pili. Hebu sasa x=, dу 1 =у 1 dх. Lakini sasa dx sio tena mara kwa mara ya kiholela, dx = dt, i.e. dx- ni kazi ya t na kwa hivyo, tunapopata d 2 y, hatuwezi kuchukua dx nje ya ishara tofauti.

d 2 y= d (y 1 dx) = d (y 1)dx+ y 1 d (dx)= y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, i.e.

d 2 y = y 11 dx 2 + y 1 d 2 x - sura ya tofauti imebadilika, neno y 1 d 2 x limeongezwa. Aidha, sura d n y haijahifadhiwa. Hii inamaanisha kuwa katika kesi wakati x sio kigezo huru, jina y (n) = d p y/ dx p linapaswa kueleweka kama ishara moja, na sio kama uhusiano wa tofauti.

Baadhi ya derivatives ya kazi ya vigeu viwili.
Dhana na mifano ya ufumbuzi

Katika somo hili tutaendelea kufahamiana kwetu na kazi ya vigeu viwili na kuzingatia labda kazi ya kawaida ya mada - kutafuta. derivatives sehemu ya utaratibu wa kwanza na wa pili, pamoja na tofauti ya jumla ya kazi. Wanafunzi wa muda, kama sheria, hukutana na baadhi ya vipengele katika mwaka wa 1 katika muhula wa 2. Kwa kuongezea, kulingana na uchunguzi wangu, kazi ya kupata derivatives ya sehemu karibu kila wakati inaonekana kwenye mtihani.

Ili kujifunza kwa ufanisi nyenzo hapa chini, wewe muhimu kuwa na uwezo wa kupata zaidi au chini ya kujiamini derivativei za "kawaida" za utendaji wa kigezo kimoja. Unaweza kujifunza jinsi ya kushughulikia derivatives kwa usahihi katika masomo Jinsi ya kupata derivative? Na Inatokana na utendaji kazi changamano. Tutahitaji pia jedwali la derivatives ya kazi za kimsingi na sheria za kutofautisha; ni rahisi zaidi ikiwa iko katika fomu iliyochapishwa. Unaweza kupata nyenzo za kumbukumbu kwenye ukurasa Fomula za hisabati na meza.

Wacha turudie haraka wazo la kazi ya anuwai mbili, nitajaribu kujizuia kwa kiwango cha chini kabisa. Kazi ya vigeu viwili kawaida huandikwa kama , na viambajengo vikiitwa vigezo vya kujitegemea au hoja.

Mfano: - utendakazi wa viambajengo viwili.

Wakati mwingine nukuu hutumiwa. Pia kuna kazi ambapo barua hutumiwa badala ya barua.

Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, kazi ya vigezo viwili mara nyingi huwakilisha uso katika nafasi ya tatu-dimensional (ndege, silinda, tufe, paraboloid, hyperboloid, nk). Lakini, kwa kweli, hii ni jiometri ya uchanganuzi zaidi, na katika ajenda yetu ni uchanganuzi wa hisabati, ambao mwalimu wangu wa chuo kikuu hakuwahi kuniruhusu niuondoe na ndio "hatua yangu kali."

Wacha tuendelee kwenye swali la kupata derivatives ya sehemu ya maagizo ya kwanza na ya pili. Nina habari njema kwa wale ambao wamekunywa vikombe vichache vya kahawa na wanafuatilia nyenzo ngumu sana: derivatives sehemu ni karibu sawa na derivatives "kawaida" ya kazi ya variable moja..

Kwa derivatives ya sehemu, sheria zote za utofautishaji na jedwali la derivatives ya kazi za kimsingi ni halali. Kuna tofauti chache tu ndogo, ambazo tutajua hivi sasa:

... ndio, kwa njia, kwa mada hii niliyounda kitabu kidogo cha pdf, ambayo itawawezesha "kupata meno yako" kwa saa chache tu. Lakini kwa kutumia tovuti, hakika utapata matokeo sawa - labda polepole kidogo:

Mfano 1

Tafuta agizo la kwanza na la pili derivatives ya sehemu ya chaguo la kukokotoa

Kwanza, hebu tutafute viasili vya sehemu za mpangilio wa kwanza. Kuna wawili kati yao.

Uteuzi:
au - sehemu inayotokana na "x"
au - sehemu inayotokana na "y"

Hebu tuanze na. Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "x", kibadilishaji kinachukuliwa kuwa kisichobadilika (nambari thabiti).

Maoni juu ya vitendo vilivyofanywa:

(1) Jambo la kwanza tunalofanya tunapotafuta sehemu ya derivative ni kuhitimisha zote kazi katika mabano chini ya mkuu na usajili.

Tahadhari, muhimu! HATUPOTEZI usajili wakati wa mchakato wa utatuzi. Katika kesi hii, ikiwa unatoa "kiharusi" mahali fulani bila , basi mwalimu, kwa kiwango cha chini, anaweza kuiweka karibu na mgawo (mara moja kuumwa sehemu ya uhakika kwa kutojali).

(2) Tunatumia kanuni za utofautishaji , . Kwa mfano rahisi kama huu, sheria zote mbili zinaweza kutumika kwa urahisi katika hatua moja. Makini na muhula wa kwanza: tangu inachukuliwa kuwa ya kudumu, na mara kwa mara yoyote inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative, kisha tunaiweka nje ya mabano. Hiyo ni, katika hali hii sio bora kuliko nambari ya kawaida. Sasa hebu tuangalie muda wa tatu: hapa, kinyume chake, hakuna kitu cha kuchukua. Kwa kuwa ni ya mara kwa mara, pia ni ya mara kwa mara, na kwa maana hii sio bora kuliko neno la mwisho - "saba".

(3) Tunatumia derivatives za jedwali na .

(4) Wacha turahisishe, au, kama ninavyopenda kusema, "rekebisha" jibu.

Sasa. Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "y", basi kutofautianainachukuliwa kuwa ya kudumu (nambari thabiti).

(1) Tunatumia kanuni sawa za kutofautisha , . Katika kipindi cha kwanza tunachukua mara kwa mara nje ya ishara ya derivative, katika muda wa pili hatuwezi kuchukua chochote kwa kuwa tayari ni mara kwa mara.

(2) Tunatumia jedwali la derivatives ya kazi za msingi. Wacha tubadilishe kiakili "X" zote kwenye jedwali hadi "mimi". Hiyo ni, jedwali hili ni halali kwa (na kwa kweli kwa karibu barua yoyote). Hasa, fomula tunazotumia zinaonekana kama hii: na .

Nini maana ya sehemu derivatives?

Kwa asili, maagizo ya 1 ya sehemu yanafanana derivative "ya kawaida".:

-Hii kazi, ambayo ina sifa kiwango cha mabadiliko hufanya kazi katika mwelekeo wa na shoka, kwa mtiririko huo. Kwa hiyo, kwa mfano, kazi inaashiria mwinuko wa "kupanda" na "mteremko" nyuso katika mwelekeo wa mhimili wa abscissa, na kazi inatuambia kuhusu "misaada" ya uso sawa katika mwelekeo wa mhimili wa kuratibu.

! Kumbuka : hapa tunamaanisha maelekezo hayo sambamba kuratibu shoka.

Kwa madhumuni ya kuelewa vyema, hebu tuzingatie sehemu maalum kwenye ndege na tuhesabu thamani ya chaguo za kukokotoa ("urefu") ndani yake:
- na sasa fikiria kuwa uko hapa (JUU ya uso).

Wacha tuhesabu derivative ya sehemu kwa heshima na "x" katika hatua fulani:

Ishara mbaya ya derivative ya "X" inatuambia kuhusu kupungua hufanya kazi kwa hatua katika mwelekeo wa mhimili wa abscissa. Kwa maneno mengine, ikiwa tunafanya ndogo, ndogo (isiyo na kikomo) hatua kuelekea ncha ya mhimili (sambamba na mhimili huu), basi tutashuka chini ya mteremko wa uso.

Sasa tunapata asili ya "mandhari" katika mwelekeo wa mhimili wa kuratibu:

Derivative kwa heshima ya "y" ni chanya, kwa hiyo, katika hatua ya mwelekeo wa mhimili kazi. huongezeka. Ili kuiweka kwa urahisi, hapa tunasubiri kupanda mlima.

Kwa kuongeza, derivative ya sehemu katika hatua ina sifa kiwango cha mabadiliko kazi katika mwelekeo sambamba. Thamani kubwa inayosababisha moduli- kadiri uso unavyozidi kuongezeka, na kinyume chake, ndivyo unavyokaribia sifuri, ndivyo uso unavyopendeza. Kwa hiyo, kwa mfano wetu, "mteremko" katika mwelekeo wa mhimili wa abscissa ni mwinuko zaidi kuliko "mlima" katika mwelekeo wa mhimili wa kuratibu.

Lakini hizo zilikuwa njia mbili za kibinafsi. Ni wazi kabisa kwamba kutokana na hatua tuliyofikia, (na kwa ujumla kutoka kwa hatua yoyote kwenye uso uliopeanwa) tunaweza kuelekea upande mwingine. Kwa hivyo, kuna shauku ya kuunda "ramani ya urambazaji" ya jumla ambayo inaweza kutujulisha juu ya "mazingira" ya uso. ikiwezekana kwa kila hatua kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa kwenye njia zote zinazopatikana. Nitazungumza juu ya hili na mambo mengine ya kupendeza katika mojawapo ya masomo yafuatayo, lakini kwa sasa hebu turudi kwenye upande wa kiufundi wa suala hilo.

Wacha tupange sheria za kimsingi zinazotumika:

1) Tunapotofautisha kwa heshima na , utofauti unachukuliwa kuwa wa kudumu.

2) Wakati upambanuzi unafanywa kulingana na, basi inachukuliwa kuwa ya kudumu.

3) Sheria na jedwali la derivatives za kazi za kimsingi ni halali na zinatumika kwa tofauti yoyote (au nyingine yoyote) ambayo utofautishaji unafanywa.

Hatua ya pili. Tunapata derivatives za mpangilio wa pili. Kuna wanne kati yao.

Uteuzi:
au - kiingilio cha pili kwa heshima ya "x"
au - kiingilio cha pili kuhusiana na "y"
au - mchanganyiko inayotokana na "x kwa igr"
au - mchanganyiko inayotokana na "Y"

Hakuna matatizo na derivative ya pili. Kwa maneno rahisi, derivative ya pili ni derivative ya kwanza.

Kwa urahisi, nitaandika upya sehemu ya maagizo ya kwanza ambayo tayari yamepatikana:

Kwanza, hebu tutafute derivatives mchanganyiko:

Kama unaweza kuona, kila kitu ni rahisi: tunachukua derivative ya sehemu na kuitofautisha tena, lakini katika kesi hii - wakati huu kulingana na "Y".

Vile vile:

Katika mifano ya vitendo, unaweza kuzingatia usawa wafuatayo:

Kwa hivyo, kupitia derivatives mchanganyiko wa mpangilio wa pili ni rahisi sana kuangalia ikiwa tumepata derivatives ya sehemu ya mpangilio wa kwanza kwa usahihi.

Tafuta derivative ya pili kwa heshima na "x".
Hakuna uvumbuzi, wacha tuichukue na uitofautishe kwa "x" tena:

Vile vile:

Ikumbukwe kwamba wakati wa kutafuta, unahitaji kuonyesha kuongezeka kwa umakini, kwa kuwa hakuna usawa wa kimiujiza wa kuyathibitisha.

Derivatives ya pili pia hupata matumizi makubwa ya vitendo, haswa, hutumiwa katika shida ya kupata extrema ya utendaji kazi wa vigezo viwili. Lakini kila kitu kina wakati wake:

Mfano 2

Kokotoa agizo la kwanza sehemu za sehemu za chaguo za kukokotoa kwenye hatua. Tafuta derivatives za mpangilio wa pili.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (majibu mwishoni mwa somo). Ikiwa una ugumu wa kutofautisha mizizi, rudi kwenye somo Jinsi ya kupata derivative? Kwa ujumla, hivi karibuni utajifunza kupata derivatives kama hizo "kwa kuruka."

Wacha tupate mifano ngumu zaidi:

Mfano 3

Angalia hiyo. Andika tofauti kamili ya agizo la kwanza.

Suluhisho: Tafuta sehemu ya agizo la kwanza:

Jihadharini na usajili: , karibu na "X" sio marufuku kuandika kwenye mabano kwamba ni mara kwa mara. Kidokezo hiki kinaweza kuwa muhimu sana kwa wanaoanza ili kurahisisha kupata suluhisho.

Maoni zaidi:

(1) Tunasogeza viunga vyote zaidi ya ishara ya derivative. Katika kesi hii, na, na, kwa hiyo, bidhaa zao zinachukuliwa kuwa idadi ya mara kwa mara.

(2) Usisahau jinsi ya kutofautisha mizizi kwa usahihi.

(1) Tunaondoa viambishi vyote nje ya ishara ya derivative; katika hali hii, thabiti ni .

(2) Chini ya mkuu tuna bidhaa ya kazi mbili zilizoachwa, kwa hivyo, tunahitaji kutumia kanuni ya kutofautisha bidhaa. .

(3) Usisahau kwamba hii ni kazi ngumu (ingawa ni rahisi zaidi kati ya ngumu). Tunatumia kanuni inayolingana: .

Sasa tunapata derivatives mchanganyiko wa mpangilio wa pili:

Hii ina maana kwamba mahesabu yote yalifanywa kwa usahihi.

Hebu tuandike tofauti kamili. Katika muktadha wa kazi inayozingatiwa, haina maana kusema tofauti kamili ya kazi ya vigeu viwili ni nini. Ni muhimu kwamba tofauti hii mara nyingi sana inahitaji kuandikwa katika matatizo ya vitendo.

Agizo la kwanza tofauti kabisa kazi ya vigezo viwili ina fomu:

Kwa kesi hii:

Hiyo ni, unahitaji tu kubadilisha kijinga viingilio vya mpangilio wa kwanza kwenye fomula. Katika hali hii na sawa, ni bora kuandika ishara tofauti katika nambari:

Na kulingana na maombi ya mara kwa mara kutoka kwa wasomaji, agizo la pili tofauti kamili.

Inaonekana kama hii:

Hebu tutafute kwa MAKINI viasili vya "herufi moja" vya mpangilio wa 2:

na uandike "monster", kwa uangalifu "ambatanisha" mraba, bidhaa na bila kusahau kuongeza mchanganyiko wa mchanganyiko:

Ni sawa ikiwa jambo linaonekana kuwa gumu; unaweza kurudi kwa viingilio baadaye, baada ya kufahamu mbinu ya kutofautisha:

Mfano 4

Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa . Angalia hiyo. Andika tofauti kamili ya agizo la kwanza.

Wacha tuangalie safu ya mifano iliyo na kazi ngumu:

Mfano 5

Pata agizo la kwanza sehemu za sehemu za chaguo za kukokotoa.

Suluhisho:

Mfano 6

Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa .
Andika tofauti kamili.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo). Sitakupa suluhisho kamili kwa sababu ni rahisi sana.

Mara nyingi, sheria zote hapo juu zinatumika kwa pamoja.

Mfano 7

Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa .

(1) Tunatumia kanuni kutofautisha jumla

(2) Neno la kwanza katika kesi hii linachukuliwa kuwa la mara kwa mara, kwani hakuna kitu katika usemi ambacho kinategemea "x" - tu "y". Unajua, daima ni nzuri wakati sehemu inaweza kubadilishwa kuwa sifuri). Kwa muhula wa pili tunatumia kanuni ya kutofautisha bidhaa. Kwa njia, kwa maana hii, hakuna kitu kingebadilika ikiwa kazi ingetolewa badala yake - jambo muhimu ni kwamba hapa bidhaa ya kazi mbili, KILA ambayo inategemea "X", na kwa hiyo, unahitaji kutumia sheria ya kutofautisha bidhaa. Kwa muhula wa tatu, tunatumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu.

(1) Neno la kwanza katika nambari na denominator lina "Y", kwa hivyo, unahitaji kutumia sheria kutofautisha nukuu: . Neno la pili linategemea TU "x", ambayo ina maana inachukuliwa kuwa ya mara kwa mara na inageuka kuwa sifuri. Kwa muhula wa tatu tunatumia sheria kutofautisha kazi ngumu.

Kwa wale wasomaji ambao kwa ujasiri walifanya hivyo hadi mwisho wa somo, nitakuambia utani wa zamani wa Mekhmatov kwa unafuu:

Siku moja, derivative mbaya ilionekana kwenye nafasi ya kazi na kuanza kutofautisha kila mtu. Kazi zote zimetawanyika pande zote, hakuna mtu anataka kubadilisha! Na kazi moja tu haina kukimbia. Derivative inamkaribia na kumuuliza:

- Kwa nini usinikimbie?

-Ha. Lakini sijali, kwa sababu mimi ni "e kwa nguvu ya X", na hautanifanya chochote!

Ambayo derivative mbaya yenye tabasamu la siri hujibu:

- Hapa ndipo unapokosea, nitakutofautisha na "Y", kwa hivyo unapaswa kuwa sifuri.

Yeyote aliyeelewa utani huo amepata derivatives, angalau kwa kiwango cha "C").

Mfano 8

Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la kwanza la chaguo za kukokotoa .

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na mfano wa tatizo ni mwisho wa somo.

Naam, hiyo ni karibu yote. Hatimaye, siwezi kusaidia lakini tafadhali wapenzi wa hisabati na mfano mmoja zaidi. Sio hata kuhusu amateurs, kila mtu ana kiwango tofauti cha maandalizi ya hisabati - kuna watu (na sio nadra sana) ambao wanapenda kushindana na kazi ngumu zaidi. Ingawa, mfano wa mwisho katika somo hili sio ngumu sana kwani ni mgumu kutoka kwa maoni ya hesabu.

Acha y = f (x) iwe kazi inayoweza kutofautishwa, na hoja zake ziwe tofauti huru. Kisha differentialdy yake ya kwanza = f ′ (x)dx pia ni kazi otx; unaweza kupata tofauti ya chaguo hili la kukokotoa.

Tofauti ya tofauti ya kazi y = f (x) inaitwa yake tofauti ya pili(au tofauti ya mpangilio wa pili) na inaashiria d 2 y au d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Hapa dx 2 inaashiria (dx )2.

Tofauti ya utaratibu wa tatu inafafanuliwa na kupatikana sawa: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Kwa ujumla, tofauti ya mpangilio wa nth ni tofauti na tofauti ya (n- 1) utaratibu: d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx) n.

Kuanzia hapa tunapata kwamba f (n) (x) = d n y. Hasa, kwa n = 1, 2, 3, kwa mtiririko huo, tunapata: dx n

f ′ (x) =			f ′′ (x) =	d 2 y		f ′′′(x) =	d 3 y	Wale. derivative ya kazi inaweza kuchukuliwa kama

uwiano wa tofauti yake ya utaratibu sambamba na shahada sambamba ya tofauti ya kutofautiana huru.

Kumbuka kuwa fomula zote hapo juu ni halali ikiwa tu x ni kigezo huru.

Mfano. Tafuta d 2 y ikiwa y = e 3 x yao ni tofauti inayojitegemea. Suluhisho: kwa kuwa y ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x, basi tuna d 2 y = 9e 3 x dx 2.

Sheria za L'Hopital

Sheria za L'Hopital hutumiwa kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu 0 0 na ∞ ∞, ambazo huitwa msingi.

Nadharia 3. (Kanuni ya L'Hopital ya kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu 0 0).

Acha vipengele f (x) na g (x) viendelee na kutofautishwa karibu na pointi 0 na

kutoweka katika hatua hii: f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0. Acha g ′ (x )≠ 0 katika eneo la uhakika x 0 . Kama

kuna kikomo

f′(x)

L, basi

f(x)

f′(x)

g(x)

g’(x)

x→x0

x→x0

x→x0

Mfano. Tafuta lim1 − cos6 x .

x→ 0

2x2

Suluhisho: lim

1− cos 6x

PL.

6 dhambi 6x

PL.

36 kwa 6x

x→ 0

x→ 0

x→ 0

Nadharia 4. (Kanuni ya L'Hopital ya kufichua kutokuwa na uhakika wa fomu ∞ ∞).

Wacha vitendakazi f (x) na g (x) viendelee na kutofautishwa karibu na pointi 0 (isipokuwa
labda pointi x 0), katika mtaa huu limf (x) = limg (x) = ∞,g ′ (x)≠ 0. Ikiwa kuna
	f′(x)			f(x)			f′(x)	x→x0	x→x0
kikomo lim
	g’(x)			g(x)
x→x0			x→x0			x→x0	g’(x)

tg 3 x

Mfano. Tafuta lim tg 5 x

x→π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim 3cos

PL.

PL.

x→

tg 5 x

x→

x→

cos2 5x

lim - 10 cos 5 x dhambi 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x dhambi 3x

x→

dhambi 6x

x→

6 kos6x

Kutokuwa na uhakika wa fomu, [∞ - ∞],, [∞ 0], hupunguzwa kwa njia mbili kuu kwa mabadiliko yanayofanana.

Acha f (x)→ 0, na g (x)→ 0 katika → x 0. Kisha mabadiliko yafuatayo ni dhahiri:

lim(f (x) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x→ x

x→ x

x→ x

g(x)

g(x)

Tafuta lim tg

π x

(2 − x).

x→2

2 − x

0 = lim

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

PL.

x→2

x→2

π x

ctg 4

x→2

2 π x

Acha f (x)→ ∞, na g (x)→ ∞ kuja → x 0. Basi unaweza kufanya hivi:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x→x0

x→x0

x→x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Acha f (x)→ 1, na g (x)→ ∞, au f (x)→ ∞, na g (x)→ 0, au f (x)→ 0, na g (x)→ 0 saa → x 0.

Ili kupata kikomo cha fomu lim f (x) g (x), kumbuka sifa ya logariti

x→x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Mfano. Tafuta lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .