Pata nambari za mara kwa mara katika monomial ya fomu ya kawaida. I

Kuna maneno mengi tofauti ya hisabati katika hisabati, na baadhi yao yana majina yao wenyewe. Tunakaribia kufahamiana na moja ya dhana hizi - hii ni monomial.

Monomial ni usemi wa hisabati unaojumuisha bidhaa ya nambari, vigezo, ambayo kila moja inaweza kuonekana katika bidhaa kwa kiasi fulani. Ili kuelewa vizuri dhana mpya, unahitaji kujitambulisha na mifano kadhaa.

Mifano ya monomials

Vielezi 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 ni monomials. Kama unavyoona, nambari moja tu au kutofautisha (iliyo na au bila nguvu) pia ni monomial. Lakini, kwa mfano, misemo 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 tayari sio monomials, kwa kuwa haziendani na ufafanuzi. Neno la kwanza linatumia "jumla," ambalo halikubaliki, la pili linatumia "mgawanyiko," na la tatu linatumia tofauti.

Hebu tuzingatie mifano michache zaidi.

Kwa mfano, usemi 2*a^3*b/3 pia ni neno moja, ingawa kuna mgawanyiko unaohusika. Lakini katika kwa kesi hii mgawanyiko hutokea kwa nambari, na kwa hivyo usemi unaolingana unaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo: 2/3*a^3*b. Mfano mmoja zaidi: Je, ni kipi kati ya maneno 2/x na x/2 ambacho ni monomia na kipi sicho? Jibu sahihi ni kwamba usemi wa kwanza sio monomial, lakini wa pili ni monomial.

Aina ya kawaida ya monomial

Angalia semi mbili zifuatazo za monomia: ¾*a^2*b^3 na 3*a*1/4*b^3*a. Kwa kweli, hizi ni monomia mbili zinazofanana. Je, si kweli kwamba usemi wa kwanza unaonekana kuwa rahisi zaidi kuliko wa pili?

Sababu ya hii ni kwamba usemi wa kwanza umeandikwa kwa fomu ya kawaida. Aina ya kawaida ya polynomial ni bidhaa inayoundwa na sababu ya nambari na nguvu za vigezo mbalimbali. Sababu ya nambari inaitwa mgawo wa monomial.

Ili kupunguza monomial kwa yake mtazamo wa kawaida, inatosha kuzidisha sababu zote za nambari zilizopo kwenye monomial na kuweka nambari inayosababisha mahali pa kwanza. Kisha zidisha nguvu zote ambazo zina msingi wa herufi sawa.

Kupunguza monomial kwa fomu yake ya kawaida

Ikiwa katika mfano wetu katika usemi wa pili tunazidisha vipengele vyote vya nambari 3*1/4 na kisha kuzidisha a*a, tunapata monomial ya kwanza. Hatua hii inaitwa kupunguza monomia kwa fomu yake ya kawaida.

Ikiwa monomia mbili hutofautiana tu na mgawo wa nambari au ni sawa kwa kila mmoja, basi monomia hizo huitwa sawa katika hisabati.

Dhana ya monomial

Ufafanuzi wa monomial: monomial ni usemi wa algebra, ambayo hutumia tu kuzidisha.

Aina ya kawaida ya monomial

Ni aina gani ya kawaida ya monomial? Monomial imeandikwa kwa fomu ya kawaida, ikiwa ina sababu ya nambari katika nafasi ya kwanza na sababu hii inaitwa mgawo wa monomial, kuna moja tu katika monomial, barua za monomial zimepangwa kwa utaratibu wa alfabeti na kila barua. inaonekana mara moja tu.

Mfano wa monomial katika fomu ya kawaida:

hapa mahali pa kwanza ni nambari, mgawo wa monomial, na nambari hii ni moja tu katika monomial yetu, kila barua inaonekana mara moja tu na barua zimepangwa kwa utaratibu wa alfabeti, katika kesi hii ni alfabeti ya Kilatini.

Mfano mwingine wa monomial katika fomu ya kawaida:

kila barua hutokea mara moja tu, hupangwa kwa utaratibu wa Kilatini wa alfabeti, lakini ni wapi mgawo wa monomial, i.e. sababu ya nambari ambayo inapaswa kuja kwanza? Yuko hapa sawa na moja:1 adm.

Je, mgawo wa monomia unaweza kuwa hasi? Ndiyo, labda, mfano: -5a.

Je, mgawo wa monomia unaweza kuwa wa sehemu? Ndiyo, labda, mfano: 5.2a.

Ikiwa monomial inajumuisha nambari tu, i.e. haina barua, nawezaje kuifikisha katika hali ya kawaida? Monomia yoyote ambayo ni nambari tayari iko katika hali ya kawaida, kwa mfano: nambari 5 ni monomial katika fomu ya kawaida.

Kupunguza monomia kwa fomu ya kawaida

Jinsi ya kuleta monomial kwa fomu ya kawaida? Hebu tuangalie mifano.

Acha 2a4b ya monomial itolewe; tunahitaji kuileta katika hali ya kawaida. Tunazidisha sababu zake mbili za nambari na kupata 8ab. Sasa monomial imeandikwa kwa fomu ya kawaida, i.e. ina kipengele kimoja tu cha nambari, kilichoandikwa mahali pa kwanza, kila barua katika monomial hutokea mara moja tu na barua hizi zimepangwa kwa utaratibu wa alfabeti. Kwa hivyo 2a4b = 8ab.

Imetolewa: monomial 2a4a, kuleta monomial kwa fomu ya kawaida. Tunazidisha nambari 2 na 4, tukibadilisha bidhaa aa na nguvu ya pili ya 2. Tunapata: 8a 2. Hii ndiyo aina ya kawaida ya monomial hii. Kwa hiyo 2a4a = 8a 2 .

Monomia zinazofanana

Monomia zinazofanana ni nini? Ikiwa monomials hutofautiana tu katika coefficients au ni sawa, basi huitwa sawa.

Mfano wa monomia sawa: 5a na 2a. Hizi monomia hutofautiana tu katika coefficients, ambayo ina maana kuwa ni sawa.

Je, monomials 5abc na 10cba zinafanana? Wacha tulete monomial ya pili kwa fomu ya kawaida na tupate 10abc. Sasa tunaweza kuona kwamba monomials 5abc na 10abc hutofautiana tu katika coefficients yao, ambayo ina maana kwamba wao ni sawa.

Ongezeko la monomials

Je, jumla ya monomials ni nini? Tunaweza tu kujumlisha monomia sawa. Hebu tuangalie mfano wa kuongeza monomials. Je, jumla ya monomia 5a na 2a ni nini? Jumla ya hizi monomials itakuwa monomial sawa na wao, ambao mgawo sawa na jumla mgawo wa masharti. Kwa hivyo, jumla ya monomials ni 5a + 2a = 7a.

Mifano zaidi ya kuongeza monomials:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Tena. Unaweza tu kuongeza monomia sawa; nyongeza inakuja chini ili kuongeza coefficients zao.

Kuondoa monomials

Ni tofauti gani kati ya monomials? Tunaweza tu kutoa monomia sawa. Hebu tuangalie mfano wa kutoa monomials. Kuna tofauti gani kati ya monomials 5a na 2a? Tofauti ya monomia hizi itakuwa monomial sawa na wao, mgawo ambao ni sawa na tofauti ya coefficients ya monomials hizi. Kwa hivyo, tofauti ya monomials ni 5a - 2a = 3a.

Mifano zaidi ya kutoa monomials:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Kuzidisha monomials

Ni bidhaa gani ya monomials? Hebu tuangalie mfano:

hizo. bidhaa ya monomia ni sawa na monomia ambayo mambo yake yanaundwa na sababu za monomia asili.

Mfano mwingine:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Je, matokeo haya yalikujaje? Kila sababu ina "a" kwa nguvu: ya kwanza - "a" kwa nguvu ya 2, na ya pili - "a" kwa nguvu ya 5. Hii ina maana kwamba bidhaa itakuwa na "a" kwa nguvu. ya 7, kwa sababu wakati wa kuzidisha herufi zinazofanana, vielelezo vya nguvu zao hujikunja:

A 2 * a 5 = a 7 .

Vile vile hutumika kwa kipengele "b".

Mgawo wa sababu ya kwanza ni mbili, na ya pili ni moja, kwa hivyo matokeo ni 2 * 1 = 2.

Hivi ndivyo matokeo yalivyohesabiwa: 2a 7 b 12.

Kutoka kwa mifano hii ni wazi kwamba coefficients ya monomials huongezeka, na barua zinazofanana zinabadilishwa na jumla ya nguvu zao katika bidhaa.

Monomials ni bidhaa za nambari, vigezo na nguvu zao. Nambari, vigezo na nguvu zao pia huchukuliwa kuwa monomials. Kwa mfano: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. 5aa2b2b ya monomia inaweza kupunguzwa hadi fomu 20a^2b^2. Fomu hii inaitwa umbo sanifu wa monomia.Yaani, umbo la kawaida la monomia ni zao la mgawo (ambalo huja kwanza) na nguvu za vigezo. Coefficients 1 na -1 hazijaandikwa, lakini minus imehifadhiwa kutoka -1. Monomial na fomu yake ya kawaida

Maneno 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x ni bidhaa za nambari, vigezo na nguvu zao. Maneno kama haya huitwa monomials. Nambari, vigezo na nguvu zao pia huchukuliwa kuwa monomials.

Kwa mfano, maneno 8, 35, y na y2 ni monomia.

Fomu ya kawaida ya monomial ni monomial kwa namna ya bidhaa ya sababu ya nambari katika nafasi ya kwanza na nguvu za vigezo mbalimbali. Monomia yoyote inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kawaida kwa kuzidisha vigezo vyote na nambari zilizojumuishwa ndani yake. Hapa kuna mfano wa kupunguza monomial hadi fomu ya kawaida:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Sababu ya nambari ya monomial iliyoandikwa kwa fomu ya kawaida inaitwa mgawo wa monomial. Kwa mfano, mgawo wa monomial -7x2y2 ni sawa na -7. Coefficients ya monomia x3 na -xy inachukuliwa kuwa sawa na 1 na -1, kwani x3 = 1x3 na -xy = -1xy

Kiwango cha monomia ni jumla ya vielelezo vya vigezo vyote vilivyojumuishwa ndani yake. Ikiwa monomial haina vigezo, yaani, ni nambari, basi shahada yake inachukuliwa kuwa sawa na sifuri.

Kwa mfano, kiwango cha monomial 8x3yz2 ni 6, monomial 6x ni 1, na kiwango cha -10 ni 0.

Kuzidisha monomia. Kuinua monomia kwa mamlaka

Wakati wa kuzidisha monomia na kuinua monomia kwa mamlaka, sheria ya kuzidisha nguvu hutumiwa na msingi huo huo na kanuni ya kupandisha daraja hadi shahada. Hii hutoa monomial, ambayo kawaida huwakilishwa katika fomu ya kawaida.

Kwa mfano

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

Nguvu ya monomial

Kwa monomial kuna dhana ya shahada yake. Hebu tujue ni nini.

Ufafanuzi.

Nguvu ya monomial fomu ya kawaida ni jumla ya vielelezo vya vigezo vyote vilivyojumuishwa katika rekodi yake; ikiwa hakuna vigezo katika notation ya monomial na ni tofauti na sifuri, basi shahada yake inachukuliwa kuwa sawa na sifuri; nambari ya sifuri inachukuliwa kuwa ya monomia ambayo digrii yake haijafafanuliwa.

Kuamua kiwango cha monomial hukuruhusu kutoa mifano. Kiwango cha monomia a ni sawa na moja, kwani a ni 1. Nguvu ya monomial 5 ni sifuri, kwa kuwa sio sifuri na notation yake haina vigezo. Na bidhaa 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ni monomial ya shahada ya nane, kwa kuwa jumla ya vielelezo vya vigezo vyote a, x na y ni sawa na 2+1+3+2=8.

Kwa njia, kiwango cha monomial ambacho hakijaandikwa kwa fomu ya kawaida ni sawa na kiwango cha monomial inayofanana ya fomu ya kawaida. Ili kufafanua hili, hebu tuhesabu kiwango cha monomial 3 x 2 y 3 x (-2) x 5 y. Monomia hii katika umbo sanifu ina umbo −6 · x 8 ·y 4, shahada yake ni 8+4=12. Kwa hivyo, kiwango cha monomial asili ni 12.

Mgawo wa monomia

Monomial katika fomu ya kawaida, ambayo ina angalau kutofautiana katika nukuu yake, ni bidhaa yenye kipengele kimoja cha nambari - mgawo wa nambari. Mgawo huu unaitwa mgawo wa monomia. Wacha tuunda hoja zilizo hapo juu kwa namna ya ufafanuzi.

Ufafanuzi.

Mgawo wa monomia ni kipengele cha nambari cha monomia kilichoandikwa katika hali ya kawaida.

Sasa tunaweza kutoa mifano ya coefficients ya monomials mbalimbali. Nambari 5 ni mgawo wa monomia 5·a 3 kwa ufafanuzi, vile vile monomia (-2,3)·x·y·z ina mgawo wa -2,3.

Coefficients ya monomia, sawa na 1 na -1, inastahili tahadhari maalum. Jambo hapa ni kwamba kwa kawaida hazipo wazi katika rekodi. Inaaminika kuwa mgawo wa monomia za fomu za kawaida ambazo hazina sababu ya nambari katika nukuu zao ni sawa na moja. Kwa mfano, monomia a, x·z 3, a·t·x, nk. kuwa na mgawo wa 1, kwani a inaweza kuzingatiwa kama 1·a, x·z 3 - kama 1·x·z 3, nk.

Vile vile, mgawo wa monomials, maingizo ambayo katika fomu ya kawaida hayana sababu ya nambari na huanza na ishara ya minus, inachukuliwa kuwa minus moja. Kwa mfano, monomia −x, −x 3 y z 3, nk. kuwa na mgawo -1, kwani −x=(-1) x, −x 3 y z 3 =(-1) x 3 y z 3 Nakadhalika.

Kwa njia, dhana ya mgawo wa monomial mara nyingi hujulikana kama monomials ya fomu ya kawaida, ambayo ni namba bila sababu za barua. Coefficients ya monomials-nambari hizo huchukuliwa kuwa nambari hizi. Kwa hivyo, kwa mfano, mgawo wa monomial 7 inachukuliwa kuwa sawa na 7.

Bibliografia.

• Aljebra: kitabu cha kiada kwa darasa la 7 elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 17. - M.: Elimu, 2008. - 240 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 7. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich. - Toleo la 17, ongeza. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.

Monomia ni moja wapo ya aina kuu za misemo iliyosomwa ndani kozi ya shule algebra. Katika nyenzo hii, tutakuambia maneno haya ni nini, tutafafanua fomu yao ya kawaida na kuonyesha mifano, na pia kuelewa dhana zinazohusiana, kama vile kiwango cha monomial na mgawo wake.

monomial ni nini

Vitabu vya shule kawaida hutoa ufafanuzi ufuatao wa dhana hii:

Ufafanuzi 1

Monomia ni pamoja na nambari, vigezo, pamoja na nguvu zao na kiashiria cha asili Na aina tofauti kazi zilizokusanywa kutoka kwao.

Kulingana na ufafanuzi huu, tunaweza kutoa mifano ya misemo kama hiyo. Kwa hivyo, nambari zote 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 zitakuwa monomials. Vigezo vyote, kwa mfano, x, a, b, p, q, t, y, z, pia vitakuwa monomials kwa ufafanuzi. Hii pia inajumuisha nguvu za vigezo na nambari, kwa mfano, 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 na t 15, pamoja na maneno ya fomu 65 · x, 9 · (- 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, nk. Tafadhali kumbuka kuwa monomia inaweza kuwa na nambari moja au tofauti, au kadhaa, na zinaweza kutajwa mara kadhaa katika polynomia moja.

Aina kama hizo za nambari kama nambari kamili, nambari za busara, na nambari asilia pia ni za monomia. Unaweza pia kujumuisha halali na nambari ngumu. Kwa hivyo, maneno ya fomu 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 pia itakuwa monomials.

Ni aina gani ya kawaida ya monomial na jinsi ya kubadilisha usemi kuwa hiyo

Kwa urahisi wa matumizi, monomials zote hupunguzwa kwanza kwa fomu maalum inayoitwa kiwango. Wacha tupange haswa maana ya hii.

Ufafanuzi 2

Aina ya kawaida ya monomial inaitwa fomu yake ambayo ni bidhaa ya sababu ya nambari na digrii za asili tofauti tofauti. Sababu ya nambari, pia inaitwa mgawo wa monomial, kawaida huandikwa kwanza upande wa kushoto.

Kwa uwazi, hebu tuchague monomials kadhaa za fomu ya kawaida: 6 (hii ni monomial bila vigezo), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Hii pia inajumuisha usemi x y(hapa mgawo utakuwa sawa na 1), − x 3(hapa mgawo ni - 1).

Sasa tunatoa mifano ya monomials ambayo inahitaji kuletwa kwa fomu ya kawaida: 4 a2 a3(hapa unahitaji kuchanganya vijiti sawa), 5 x (− 1) 3 y 2(hapa unahitaji kuchanganya mambo ya nambari upande wa kushoto).

Kwa kawaida, wakati monomial ina vigezo kadhaa vilivyoandikwa kwa barua, sababu za barua zimeandikwa kwa utaratibu wa alfabeti. Kwa mfano, ni vyema kuandika 6 a b 4 c z 2, vipi b 4 6 a z 2 c. Walakini, agizo linaweza kuwa tofauti ikiwa madhumuni ya hesabu yanahitaji.

Monomial yoyote inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kawaida. Ili kufanya hivyo, unahitaji kufanya mabadiliko yote muhimu ya utambulisho.

Dhana ya shahada ya monomial

Ni muhimu sana dhana inayohusiana digrii za monomial. Hebu tuandike ufafanuzi wa dhana hii.

Ufafanuzi 3

Kwa nguvu ya monomial, iliyoandikwa kwa umbo sanifu, ni jumla ya vielelezo vya vigeu vyote ambavyo vimejumuishwa katika ubainishaji wake. Ikiwa hakuna vigezo ndani yake, na monomial yenyewe ni tofauti na 0, basi shahada yake itakuwa sifuri.

Wacha tutoe mifano ya nguvu za monomial.

Mfano 1

Kwa hivyo, monomia a ina digrii sawa na 1, kwani a = a 1. Ikiwa tunayo monomial 7, basi itakuwa na digrii sifuri, kwani haina vigeuzo na ni tofauti na 0. Na hapa kuna rekodi 7 a 2 x y 3 a2 itakuwa monomial ya shahada ya 8, kwa sababu jumla ya vielelezo vya digrii zote za vigezo vilivyojumuishwa ndani yake itakuwa sawa na 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomia iliyopunguzwa hadi fomu ya kawaida na polynomial asili itakuwa na digrii sawa.

Mfano 2

Tutakuonyesha jinsi ya kuhesabu kiwango cha monomial 3 x 2 y 3 x (-2) x 5 y. Katika fomu ya kawaida inaweza kuandikwa kama − 6 x 8 y 4. Tunahesabu digrii: 8 + 4 = 12 . Hii ina maana kwamba kiwango cha polynomial asili pia ni sawa na 12.

Dhana ya mgawo wa monomial

Ikiwa tuna monomia iliyopunguzwa hadi fomu ya kawaida ambayo inajumuisha angalau kigezo kimoja, basi tunazungumza juu yake kama bidhaa iliyo na sababu moja ya nambari. Sababu hii inaitwa mgawo wa nambari, au mgawo wa monomial. Hebu tuandike ufafanuzi.

Ufafanuzi 4

Mgawo wa monomia ni sababu ya nambari ya monomia iliyopunguzwa kwa fomu ya kawaida.

Wacha tuchukue kama mfano mgawo wa monomials anuwai.

Mfano 3

Kwa hivyo, katika usemi 8 ya 3 mgawo utakuwa nambari 8, na ndani (− 2 , 3) ​​x y z watafanya hivyo − 2 , 3 .

Uangalifu hasa unapaswa kulipwa kwa coefficients sawa na moja na kuondoa moja. Kama sheria, hazijaonyeshwa wazi. Inaaminika kuwa katika monomial ya fomu ya kawaida, ambayo hakuna sababu ya nambari, mgawo ni sawa na 1, kwa mfano, katika maneno a, x · z 3, a · t · x, kwani wanaweza kuwa. inazingatiwa kama 1 · a, x · z 3 – Jinsi gani 1 x z 3 na kadhalika.

Vile vile, katika monomia ambazo hazina sababu ya nambari na zinazoanza na ishara ya kuondoa, tunaweza kuzingatia - 1 kuwa mgawo.

Mfano 4

Kwa mfano, semi − x, − x 3 · y · z 3 zitakuwa na mgawo kama huo, kwa kuwa zinaweza kuwakilishwa kama − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (- 1) ) · x 3 y z 3 nk.

Ikiwa monomial haina sababu moja ya barua wakati wote, basi tunaweza kuzungumza juu ya mgawo katika kesi hii. Coefficients ya monomials-nambari hizo zitakuwa nambari hizi zenyewe. Kwa hivyo, kwa mfano, mgawo wa monomial 9 itakuwa sawa na 9.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter