Pata usambazaji wa kawaida wa kigezo bila mpangilio. Usambazaji wa kawaida wa vigeu vinavyoendelea bila mpangilio

Sheria ya kawaida ya usambazaji wa uwezekano

Bila kuzidisha, inaweza kuitwa sheria ya kifalsafa. Kuchunguza vitu na michakato mbalimbali katika ulimwengu unaotuzunguka, mara nyingi tunakutana na ukweli kwamba kitu haitoshi, na kwamba kuna kawaida:

Hapa kuna maoni ya msingi kazi za wiani usambazaji wa uwezekano wa kawaida, na ninakukaribisha kwenye somo hili la kuvutia.

Unaweza kutoa mifano gani? Kuna giza tu kwao. Hii ni, kwa mfano, urefu, uzito wa watu (na sio tu), nguvu zao za kimwili, uwezo wa akili, nk. Kuna "misa kuu" (kwa sababu moja au nyingine) na kuna mikengeuko katika pande zote mbili.

Hizi ni sifa tofauti za vitu visivyo hai (ukubwa sawa, uzito). Huu ni muda wa nasibu wa michakato, kwa mfano, wakati wa mbio za mita mia au mabadiliko ya resin kuwa amber. Kutoka kwa fizikia, nilikumbuka molekuli za hewa: baadhi yao ni polepole, baadhi ni ya haraka, lakini wengi huhamia kwa kasi "ya kawaida".

Ifuatayo, tunapotoka katikati kwa kupotoka moja zaidi na kuhesabu urefu:

Kuashiria alama kwenye mchoro (rangi ya kijani) na tunaona kwamba hii inatosha kabisa.

Katika hatua ya mwisho, tunachora kwa uangalifu grafu, na hasa kwa makini tafakari convex/concave! Kweli, labda uligundua muda mrefu uliopita kuwa mhimili wa x ni asymptote ya usawa, na ni marufuku kabisa "kupanda" nyuma yake!

Wakati wa kufungua suluhisho kwa umeme, ni rahisi kuunda grafu katika Excel, na bila kutarajia kwangu, hata niliandika video fupi juu ya mada hii. Lakini kwanza, hebu tuzungumze juu ya jinsi sura ya curve ya kawaida inabadilika kulingana na maadili ya na.

Wakati wa kuongeza au kupunguza "a" (na "sigma" ya mara kwa mara) grafu huhifadhi sura yake na inasonga kulia/kushoto kwa mtiririko huo. Kwa hiyo, kwa mfano, wakati kazi inachukua fomu na grafu yetu "husonga" vitengo 3 kwenda kushoto - haswa kwa asili ya kuratibu:

Idadi inayosambazwa kwa kawaida na sifuri ya matarajio ya hisabati ilipokea jina la asili kabisa - iliyozingatia; kazi yake ya wiani – hata, na grafu ni ya ulinganifu kuhusu kuratibu.

Katika kesi ya mabadiliko ya "sigma" (na mara kwa mara "a"), grafu "hubaki sawa" lakini hubadilisha umbo. Inapopanuliwa, inakuwa chini na kuinuliwa, kama pweza anayenyoosha hema zake. Na, kinyume chake, wakati wa kupunguza grafu inakuwa nyembamba na ndefu- inageuka kuwa "pweza aliyeshangaa". Ndiyo, lini kupungua"sigma" mara mbili: grafu iliyotangulia hupungua na kunyoosha mara mbili:

Kila kitu ni kwa mujibu kamili na mabadiliko ya kijiometri ya grafu.

Usambazaji wa kawaida na thamani ya sigma ya kitengo huitwa kawaida, na ikiwa ni hivyo pia iliyozingatia(kesi yetu), basi usambazaji kama huo unaitwa kiwango. Ina kazi rahisi zaidi ya wiani, ambayo tayari imepatikana ndani Nadharia ya ndani ya Laplace: . Usambazaji wa kawaida umepata matumizi makubwa katika mazoezi, na hivi karibuni tutaelewa kusudi lake.

Kweli, sasa wacha tuangalie sinema:

Ndiyo, sawa kabisa - kwa namna fulani bila kustahili ilibaki kwenye vivuli chaguo za kukokotoa za usambazaji wa uwezekano. Hebu tumkumbuke ufafanuzi:
- uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kitachukua thamani PUNGUFU kuliko kigezo ambacho "hupitia" thamani zote halisi hadi "pamoja na" infinity.

Ndani ya muunganisho, herufi tofauti hutumiwa kawaida ili hakuna "kuingiliana" na nukuu, kwa sababu hapa kila thamani inahusishwa na. kiungo kisichofaa , ambayo ni sawa na baadhi nambari kutoka kwa muda.

Karibu maadili yote hayawezi kuhesabiwa kwa usahihi, lakini kama tumeona hivi karibuni, kwa nguvu ya kisasa ya kompyuta hii sio ngumu. Kwa hiyo, kwa kazi usambazaji wa kawaida, kazi inayolingana ya Excel kwa ujumla ina hoja moja:

=NORMSDIST(z)

Moja, mbili - na umemaliza:

Mchoro unaonyesha wazi utekelezaji wa yote sifa za utendaji wa usambazaji, na kutoka kwa nuances ya kiufundi hapa unapaswa kuzingatia asymptotes ya usawa na sehemu ya kuakisi.

Sasa hebu tukumbuke moja ya kazi muhimu za mada, ambayo ni, kujua jinsi ya kupata uwezekano kwamba tofauti ya kawaida ya nasibu. itachukua thamani kutoka kwa muda. Kijiometri, uwezekano huu ni sawa na eneo kati ya curve ya kawaida na mhimili wa x katika sehemu inayolingana:

lakini kila wakati ninapojaribu kupata thamani ya takriban haina maana, na kwa hiyo ni busara zaidi kutumia formula "mwanga".:
.

! Pia anakumbuka , Nini

Hapa unaweza kutumia Excel tena, lakini kuna "lakini" kadhaa muhimu: kwanza, haipo karibu kila wakati, na pili, maadili "tayari" yanaweza kuibua maswali kutoka kwa mwalimu. Kwa nini?

Nimezungumza juu ya hili mara nyingi hapo awali: kwa wakati mmoja (na sio zamani sana) calculator ya kawaida ilikuwa ya anasa, na njia ya "mwongozo" ya kutatua tatizo katika swali bado imehifadhiwa katika maandiko ya elimu. Asili yake ni sanifisha maadili "alpha" na "beta", ambayo ni, kupunguza suluhisho kwa usambazaji wa kawaida:

Kumbuka : kazi ni rahisi kupata kutoka kwa kesi ya jumlakwa kutumia mstari uingizwaji. Kisha pia:

na kutoka kwa uingizwaji uliofanywa formula ifuatayo: mpito kutoka kwa maadili ya usambazaji wa kiholela hadi maadili yanayolingana ya usambazaji wa kawaida.

Kwa nini hii ni muhimu? Ukweli ni kwamba maadili yalihesabiwa kwa uangalifu na mababu zetu na kukusanywa kwenye meza maalum, ambayo iko katika vitabu vingi vya terwer. Lakini hata mara nyingi zaidi kuna meza ya maadili, ambayo tayari tumeshughulika nayo Nadharia muhimu ya Laplace:

Ikiwa tunayo meza ya maadili ya kazi ya Laplace , basi tunasuluhisha kupitia hiyo:

Thamani za sehemu kawaida huzungushwa hadi sehemu 4 za desimali, kama inavyofanywa kwenye jedwali la kawaida. Na kwa udhibiti kuna Pointi 5 mpangilio.

Nakukumbusha hilo , na kuepuka kuchanganyikiwa kudhibiti daima, jedwali la kazi NINI iko mbele ya macho yako.

Jibu inahitajika kutolewa kama asilimia, kwa hivyo uwezekano uliohesabiwa lazima uzidishwe na 100 na matokeo yatolewe kwa maoni yenye maana:

- na ndege kutoka 5 hadi 70 m, takriban 15.87% ya makombora yataanguka

Tunafanya mazoezi peke yetu:

Mfano 3

Kipenyo cha fani zilizotengenezwa na kiwanda ni tofauti isiyo ya kawaida, ambayo kawaida husambazwa kwa matarajio ya hisabati ya cm 1.5 na kupotoka kwa kawaida kwa cm 0.04. Tafuta uwezekano kwamba saizi ya fani iliyochaguliwa kwa nasibu ni kati ya cm 1.4 hadi 1.6.

Katika suluhisho la sampuli na chini, nitatumia kazi ya Laplace kama chaguo la kawaida. Kwa njia, kumbuka kuwa kulingana na maneno, mwisho wa muda unaweza kujumuishwa katika kuzingatia hapa. Hata hivyo, hii si muhimu.

Na tayari katika mfano huu tulikutana na kesi maalum - wakati muda ni ulinganifu kwa heshima na matarajio ya hisabati. Katika hali kama hiyo, inaweza kuandikwa kwa fomu na, kwa kutumia hali isiyo ya kawaida ya kazi ya Laplace, kurahisisha fomula ya kufanya kazi:

Parameta ya delta inaitwa kupotoka kutoka kwa matarajio ya hisabati, na usawa mara mbili unaweza "kufungwa" kwa kutumia moduli:

- uwezekano kwamba thamani ya kigezo cha nasibu kitapotoka kutoka kwa matarajio ya hisabati kwa chini ya .

Ni vizuri kwamba suluhisho linafaa katika mstari mmoja :)
- uwezekano kwamba kipenyo cha fani iliyochukuliwa kwa nasibu hutofautiana kutoka 1.5 cm na si zaidi ya 0.1 cm.

Matokeo ya kazi hii yaligeuka kuwa karibu na umoja, lakini ningependa kuegemea zaidi - ambayo ni, kujua mipaka ambayo kipenyo iko. karibu kila mtu fani. Je, kuna kigezo chochote kwa hili? Ipo! Swali lililoulizwa linajibiwa na wanaoitwa

kanuni tatu za sigma

Asili yake ni hiyo kuaminika kwa vitendo ni ukweli kwamba kigezo cha kawaida kilichosambazwa bila mpangilio kitachukua thamani kutoka kwa muda .

Hakika, uwezekano wa kupotoka kutoka kwa thamani inayotarajiwa ni chini ya:
au 99.73%

Kwa upande wa fani, hizi ni vipande 9973 na kipenyo kutoka 1.38 hadi 1.62 cm na nakala 27 tu za "chini ya kiwango".

Katika utafiti wa vitendo, sheria tatu za sigma kawaida hutumiwa kwa mwelekeo tofauti: ikiwa kitakwimu Ilibainika kuwa karibu maadili yote kutofautiana nasibu chini ya utafiti kuanguka ndani ya muda wa mikengeuko 6 ya kawaida, basi kuna sababu za kulazimisha kuamini kuwa thamani hii inasambazwa kwa mujibu wa sheria ya kawaida. Uthibitishaji unafanywa kwa kutumia nadharia hypotheses za takwimu.

Tunaendelea kutatua shida kali za Soviet:

Mfano 4

Thamani ya nasibu ya hitilafu ya uzani inasambazwa kulingana na sheria ya kawaida na matarajio ya sifuri ya hisabati na kupotoka kwa kawaida kwa gramu 3. Tafuta uwezekano kwamba uzani unaofuata utafanywa na hitilafu isiyozidi gramu 5 kwa thamani kamili.

Suluhisho rahisi sana. Kwa hali, tunaona mara moja kuwa katika uzani unaofuata (kitu au mtu) tutapata karibu 100% matokeo kwa usahihi wa gramu 9. Lakini shida inahusisha kupotoka nyembamba na kulingana na formula :

- uwezekano kwamba uzani unaofuata utafanywa na hitilafu isiyozidi gramu 5.

Jibu:

Tatizo lililotatuliwa kimsingi ni tofauti na lile linaloonekana kuwa sawa. Mfano 3 somo kuhusu usambazaji sare. Kulikuwa na hitilafu kuzungusha matokeo ya kipimo, hapa tunazungumza juu ya makosa ya nasibu ya vipimo vyenyewe. Hitilafu hizo hutokea kutokana na sifa za kiufundi za kifaa yenyewe. (aina ya makosa yanayokubalika kawaida huonyeshwa katika pasipoti yake), na pia kupitia kosa la mjaribu - wakati sisi, kwa mfano, "kwa jicho" tunachukua usomaji kutoka kwa sindano ya mizani sawa.

Miongoni mwa wengine, pia kuna kinachojulikana ya utaratibu makosa ya kipimo. Tayari isiyo ya nasibu makosa yanayotokea kwa sababu ya usanidi usio sahihi au uendeshaji wa kifaa. Kwa mfano, mizani ya sakafu isiyodhibitiwa inaweza "kuongeza" kilo kwa kasi, na muuzaji hupima wateja kwa utaratibu. Au inaweza kuhesabiwa sio kwa utaratibu. Hata hivyo, kwa hali yoyote, hitilafu hiyo haitakuwa random, na matarajio yake ni tofauti na sifuri.

…Ninatayarisha kozi ya mafunzo ya mauzo kwa haraka =)

Wacha tusuluhishe shida yetu wenyewe:

Mfano 5

Kipenyo cha roller ni tofauti ya kawaida ya kusambazwa kwa nasibu, kupotoka kwake kwa kawaida ni sawa na mm. Pata urefu wa muda, ulinganifu kwa heshima na matarajio ya hisabati, ambayo urefu wa kipenyo cha roller inawezekana kuanguka.

Pointi 5* mpangilio wa kubuni kusaidia. Tafadhali kumbuka kuwa matarajio ya hisabati haijulikani hapa, lakini hii haituzuii kutatua tatizo.

Na kazi ya mitihani ambayo ninapendekeza sana kuimarisha nyenzo:

Mfano 6

Tofauti ya nasibu inayosambazwa kwa kawaida hubainishwa na vigezo vyake (matarajio ya hisabati) na (mkengeuko wa kawaida). Inahitajika:

a) andika wiani wa uwezekano na uonyeshe kimkakati grafu yake;
b) pata uwezekano kwamba itachukua thamani kutoka kwa muda ;
c) kupata uwezekano kwamba thamani kamili itatoka kwa si zaidi ya;
d) kwa kutumia sheria ya "sigma tatu", pata maadili ya kutofautisha bila mpangilio.

Shida kama hizo hutolewa kila mahali, na kwa miaka mingi ya mazoezi nimetatua mamia na mamia yao. Hakikisha unafanya mazoezi ya kuchora mchoro kwa mkono na kutumia meza za karatasi;)

Kweli, nitaangalia mfano wa kuongezeka kwa utata:

Mfano 7

Msongamano wa uwezekano wa usambazaji wa kigezo bila mpangilio una fomu . Tafuta, matarajio ya hisabati, tofauti, kazi ya usambazaji, jenga grafu za wiani na kazi za usambazaji, pata.

Suluhisho: Awali ya yote, hebu tukumbuke kwamba hali haisemi chochote kuhusu asili ya kutofautiana kwa nasibu. Uwepo wa kielelezo yenyewe haimaanishi chochote: inaweza kuibuka, kwa mfano, dalili au hata kiholela usambazaji unaoendelea. Na kwa hivyo "kawaida" ya usambazaji bado inahitaji kuhesabiwa haki:

Tangu utendaji kuamua saa yoyote thamani halisi, na inaweza kupunguzwa kwa fomu , kisha kutofautiana kwa nasibu kunasambazwa kulingana na sheria ya kawaida.

Twende sasa. Kwa hii; kwa hili chagua mraba kamili na kujipanga sehemu ya hadithi tatu:

Hakikisha kufanya ukaguzi, kurudisha kiashiria kwa fomu yake ya asili:

, ambayo ndiyo tulitaka kuona.

Hivyo:
- Kwa kanuni ya uendeshaji na mamlaka"punguza" Na hapa unaweza kuandika mara moja sifa dhahiri za nambari:

Sasa hebu tupate thamani ya parameter. Kwa kuwa kizidishi cha kawaida cha usambazaji kina fomu na , basi:
, kutoka ambapo tunaeleza na kubadilisha katika utendaji wetu:
, baada ya hapo tutapitia tena kurekodi kwa macho yetu na kuhakikisha kuwa kazi inayosababisha ina fomu .

Wacha tujenge grafu ya wiani:

na grafu ya kazi ya usambazaji :

Ikiwa huna Excel au hata calculator ya kawaida karibu, basi grafu ya mwisho inaweza kujengwa kwa urahisi! Katika hatua ya kukokotoa usambazaji huchukua thamani na hii hapa

Ufafanuzi. Kawaida ni usambaaji wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio kinachoendelea, ambacho kinafafanuliwa na msongamano wa uwezekano

Sheria ya kawaida ya usambazaji pia inaitwa Sheria ya Gauss.

Sheria ya kawaida ya usambazaji inachukua nafasi kuu katika nadharia ya uwezekano. Hii ni kutokana na ukweli kwamba sheria hii inajidhihirisha katika matukio yote ambapo kutofautiana kwa random ni matokeo ya hatua ya idadi kubwa ya mambo tofauti. Sheria zingine zote za usambazaji zinakaribia sheria ya kawaida.

Inaweza kuonyeshwa kwa urahisi kwamba vigezo Na , iliyojumuishwa katika msongamano wa usambazaji ni, mtawalia, matarajio ya hisabati na mkengeuko wa kawaida wa kigezo cha nasibu. X.

Wacha tupate kitendakazi cha usambazaji F(x) .

Grafu ya msongamano wa usambazaji wa kawaida inaitwa curve ya kawaida au Curve ya Gaussian.

Curve ya kawaida ina sifa zifuatazo:

1) Kazi imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari.

2) Mbele ya kila mtu X kipengele cha kukokotoa cha usambazaji huchukua tu maadili chanya.

3) Mhimili wa OX ndio asymptote ya mlalo ya grafu ya msongamano, kwa sababu na ongezeko lisilo na kikomo la thamani kamili ya hoja X, thamani ya chaguo za kukokotoa huelekea sifuri.

4) Pata mwisho wa kazi.

Kwa sababu katika y’ > 0 katika x < m Na y’ < 0 katika x > m, kisha kwa uhakika x = t kazi ina upeo sawa na
.

5) Kazi ni ya ulinganifu kwa heshima na mstari wa moja kwa moja x = a, kwa sababu tofauti

(x -a) imejumuishwa katika chaguo za kukokotoa za msongamano wa usambazaji wa mraba.

6) Ili kupata pointi za inflection za grafu, tutapata derivative ya pili ya kazi ya wiani.

Katika x = m+  na x = m-  derivative ya pili ni sawa na sifuri, na wakati wa kupitia pointi hizi hubadilisha ishara, i.e. katika nukta hizi kipengele cha kukokotoa kina nukta ya unyambulishaji.

Katika pointi hizi thamani ya chaguo la kukokotoa ni sawa na
.

Hebu tupange kazi ya wiani wa usambazaji (Mchoro 5).

Grafu zilijengwa kwa ajili ya T=0 na maadili matatu yanayowezekana ya kupotoka kwa kiwango  = 1,  = 2 na  = 7. Kama unaweza kuona, thamani ya kupotoka kwa kawaida inavyoongezeka, grafu inakuwa gorofa, na thamani ya juu inapungua.

Kama A> 0, basi grafu itasogea katika mwelekeo chanya ikiwa A < 0 – в отрицательном.

Katika A= 0 na  = 1 curve inaitwa kawaida. Mlinganyo wa kawaida wa curve:

Kazi ya laplace

Wacha tupate uwezekano wa tofauti ya nasibu iliyosambazwa kulingana na sheria ya kawaida inayoanguka katika kipindi fulani.

Hebu kuashiria

Kwa sababu muhimu
haijaonyeshwa kupitia kazi za kimsingi, basi kazi hiyo inaletwa kuzingatiwa

ambayo inaitwa Kazi ya laplace au uwezekano muhimu.

Thamani za chaguo hili za kukokotoa kwa thamani mbalimbali X kuhesabiwa na kuwasilishwa katika meza maalum.

Katika Mtini. Mchoro wa 6 unaonyesha grafu ya kazi ya Laplace.

Kazi ya Laplace ina sifa zifuatazo:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Kazi ya Laplace pia inaitwa utendakazi wa makosa na kuashiria erf x.

Bado inatumika kawaida Kitendaji cha Laplace, ambacho kinahusiana na kazi ya Laplace kwa uhusiano:

Katika Mtini. Mchoro wa 7 unaonyesha grafu ya utendaji wa kawaida wa Laplace.

P kanuni tatu za sigma

Wakati wa kuzingatia sheria ya kawaida ya usambazaji, kesi maalum muhimu inasimama, inayojulikana kama kanuni tatu za sigma.

Wacha tuandike uwezekano kwamba mkengeuko wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida kutoka kwa matarajio ya hisabati ni chini ya thamani fulani :

Ikiwa tutachukua  = 3, basi kwa kutumia majedwali ya maadili ya kazi ya Laplace tunapata:

Wale. uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kitapotoka kutoka kwa matarajio yake ya hisabati kwa kiasi kikubwa kuliko mara tatu ya mkengeuko wa kawaida ni sifuri.

Sheria hii inaitwa kanuni tatu za sigma.

Kwa mazoezi, inaaminika kuwa ikiwa sheria ya sigma tatu imeridhika kwa tofauti yoyote ya nasibu, basi utofauti huu wa nasibu una usambazaji wa kawaida.

Hitimisho la hotuba:

Katika hotuba, tulichunguza sheria za usambazaji wa kiasi kinachoendelea. Katika maandalizi ya mihadhara inayofuata na madarasa ya vitendo, lazima uongeze kwa kujitegemea maelezo yako ya mihadhara wakati wa kusoma maandiko yaliyopendekezwa kwa kina na kutatua matatizo yaliyopendekezwa.

Nadharia fupi

Kawaida ni usambazaji wa uwezekano wa kigezo kisicho na mpangilio ambacho msongamano wake una fomu:

iko wapi matarajio ya hisabati na ni kupotoka kwa kawaida.

Uwezekano kwamba itachukua thamani ya muda:

kazi ya Laplace iko wapi:

Uwezekano kwamba thamani kamili ya mkengeuko ni chini ya nambari chanya:

Hasa, wakati usawa unashikilia:

Wakati wa kutatua shida ambazo mazoezi huleta, mtu lazima ashughulikie ugawaji anuwai wa anuwai zinazoendelea za nasibu.

Kwa kuongezea usambazaji wa kawaida, sheria za kimsingi za usambazaji wa anuwai zinazoendelea za nasibu:

Mfano wa suluhisho la shida

Sehemu inafanywa kwenye mashine. Urefu wake ni tofauti ya nasibu inayosambazwa kulingana na sheria ya kawaida yenye vigezo , . Tafuta uwezekano kwamba urefu wa sehemu utakuwa kati ya cm 22 na 24.2. Ni kupotoka gani kwa urefu wa sehemu kutoka kunaweza kuhakikishiwa na uwezekano wa 0.92; 0.98? Ndani ya mipaka gani, ulinganifu kwa heshima na, je, karibu vipimo vyote vya sehemu zitakuwa uongo?

jiunge na kikundi cha VK.

Suluhisho:

Uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kitasambazwa kulingana na sheria ya kawaida kitakuwa katika muda:

Tunapata:

Uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kinachosambazwa kulingana na sheria ya kawaida kitatoka kwa wastani kwa si zaidi ya:

Kwa hali

Ikiwa hauitaji msaada sasa, lakini unaweza kuhitaji katika siku zijazo, basi ili usipoteze mawasiliano,

Pia kutakuwa na matatizo kwako kutatua peke yako, ambayo unaweza kuona majibu.

Usambazaji wa kawaida: misingi ya kinadharia

Mifano ya vigezo vya nasibu vinavyosambazwa kwa mujibu wa sheria ya kawaida ni urefu wa mtu na wingi wa samaki wa aina hiyo hiyo iliyovuliwa. Usambazaji wa kawaida unamaanisha yafuatayo : kuna maadili ya urefu wa mwanadamu, wingi wa samaki wa spishi zile zile, ambazo hugunduliwa kwa urahisi kama "kawaida" (na kwa kweli, wastani), na katika sampuli kubwa ya kutosha hupatikana mara nyingi zaidi kuliko wale ambao kutofautiana juu au chini.

Usambazaji wa uwezekano wa kawaida wa utofauti unaoendelea wa nasibu (wakati mwingine usambazaji wa Gaussian) unaweza kuitwa umbo la kengele kutokana na ukweli kwamba utendaji kazi wa msongamano wa usambazaji huu, ulinganifu kuhusu wastani, unafanana sana na kata ya kengele (curve nyekundu. katika takwimu hapo juu).

Uwezekano wa kukutana na maadili fulani katika sampuli ni sawa na eneo la takwimu chini ya curve, na katika kesi ya usambazaji wa kawaida tunaona kwamba chini ya juu ya "kengele", ambayo inalingana na maadili. ikizingatia wastani, eneo, na kwa hivyo uwezekano, ni mkubwa kuliko chini ya kingo. Kwa hivyo, tunapata jambo lile lile ambalo tayari limesemwa: uwezekano wa kukutana na mtu wa urefu wa "kawaida" na kukamata samaki wa uzani wa "kawaida" ni kubwa kuliko kwa maadili ambayo yanatofautiana juu au chini. Katika matukio mengi ya vitendo, makosa ya kipimo husambazwa kulingana na sheria karibu na kawaida.

Hebu tuangalie tena takwimu mwanzoni mwa somo, ambayo inaonyesha kazi ya msongamano wa usambazaji wa kawaida. Grafu ya chaguo hili la kukokotoa ilipatikana kwa kuhesabu sampuli fulani ya data kwenye kifurushi cha programu TAKWIMU. Juu yake, safu wima za histogram zinawakilisha vipindi vya thamani za sampuli, usambazaji ambao uko karibu na (au, kama inavyosemwa kawaida katika takwimu, hautofautiani sana na) grafu halisi ya kazi ya kawaida ya msongamano wa usambazaji, ambayo ni curve nyekundu. . Grafu inaonyesha kwamba curve hii ina umbo la kengele.

Usambazaji wa kawaida ni wa thamani kwa njia nyingi kwa sababu ukijua tu thamani inayotarajiwa ya tofauti inayoendelea bila mpangilio na mkengeuko wake wa kawaida, unaweza kuhesabu uwezekano wowote unaohusishwa na utaftaji huo.

Usambazaji wa kawaida pia una faida ya kuwa moja ya rahisi kutumia. vipimo vya takwimu vinavyotumika kupima dhahania za takwimu - Mtihani wa t wa Mwanafunzi- inaweza kutumika tu ikiwa data ya sampuli inatii sheria ya kawaida ya usambazaji.

Chaguo za kukokotoa za msongamano wa mgawanyo wa kawaida wa kigezo endelevu cha nasibu inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Wapi x- thamani ya kiasi kinachobadilika, - thamani ya wastani, - kupotoka kwa kawaida, e=2.71828... - msingi wa logarithm ya asili, =3.1416...

Sifa za chaguo za kukokotoa za msongamano wa kawaida wa usambazaji

Mabadiliko katika wastani husogeza mseto wa kawaida wa kitendakazi kuelekea mhimili Ng'ombe. Ikiwa inaongezeka, curve inakwenda kulia, ikiwa inapungua, kisha kushoto.

Mkengeuko wa kawaida ukibadilika, urefu wa sehemu ya juu ya curve hubadilika. Wakati kupotoka kwa kawaida kunapoongezeka, juu ya curve ni ya juu, na inapopungua, iko chini.

Uwezekano wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida kuanguka ndani ya muda fulani

Tayari katika aya hii tutaanza kutatua shida za vitendo, maana yake ambayo imeonyeshwa kwenye kichwa. Wacha tuangalie ni nadharia gani ya uwezekano hutoa kutatua shida. Dhana ya kuanzia ya kukokotoa uwezekano wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida kuangukia katika kipindi fulani ni chaguo la kukokotoa la mgawanyo wa kawaida.

Jukumu la kukokotoa la usambazaji wa kawaida:

Hata hivyo, ni tatizo kupata majedwali kwa kila mchanganyiko unaowezekana wa wastani na kupotoka kwa kawaida. Kwa hivyo, mojawapo ya njia rahisi za kukokotoa uwezekano wa kigezo cha nasibu kinachosambazwa kwa kawaida kuanguka katika muda fulani ni kutumia jedwali la uwezekano kwa usambazaji wa kawaida uliowekwa.

Usambazaji wa kawaida unaitwa sanifu au kawaida., maana yake ni , na mkengeuko wa kawaida ni .

Kazi Sanifu ya Msongamano wa Kawaida wa Usambazaji:

Jukumu la kukokotoa la usambazaji wa kawaida sanifu:

Kielelezo hapa chini kinaonyesha kazi muhimu ya usambazaji wa kawaida wa kawaida, grafu ambayo ilipatikana kwa kuhesabu sampuli fulani ya data kwenye kifurushi cha programu. TAKWIMU. Grafu yenyewe ni curve nyekundu, na maadili ya sampuli yanakaribia.

Ili kupanua picha, unaweza kubofya juu yake na kifungo cha kushoto cha mouse.

Kuweka kigezo bila mpangilio kunamaanisha kuhama kutoka vitengo asilia vilivyotumika katika kazi hadi vitengo vilivyosanifiwa. Usanifu unafanywa kulingana na fomula

Kwa mazoezi, maadili yote yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu mara nyingi haijulikani, kwa hivyo maadili ya wastani na kupotoka kwa kawaida hayawezi kuamuliwa kwa usahihi. Wao hubadilishwa na maana ya hesabu ya uchunguzi na kupotoka kwa kawaida s. Ukubwa z huonyesha mikengeuko ya thamani za kutofautisha nasibu kutoka kwa maana ya hesabu wakati wa kupima mikengeuko ya kawaida.

Fungua muda

Jedwali la uwezekano wa usambazaji wa kawaida uliosanifiwa, ambao unaweza kupatikana katika karibu kitabu chochote cha takwimu, una uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kina mgawanyo wa kawaida wa kawaida. Z itachukua thamani chini ya nambari fulani z. Hiyo ni, itaanguka katika muda wazi kutoka kwa minus infinity hadi z. Kwa mfano, uwezekano kwamba wingi Z chini ya 1.5, sawa na 0.93319.

Mfano 1. Kampuni hutoa sehemu ambazo maisha yake ya huduma kwa kawaida husambazwa kwa wastani wa saa 1000 na mkengeuko wa kawaida wa saa 200.

Kwa sehemu iliyochaguliwa kwa nasibu, hesabu uwezekano kwamba maisha yake ya huduma yatakuwa angalau masaa 900.

Suluhisho. Wacha tuanzishe nukuu ya kwanza:

Uwezekano unaotaka.

Thamani za kutofautisha bila mpangilio ziko katika muda wazi. Lakini tunajua jinsi ya kuhesabu uwezekano kwamba kutofautisha bila mpangilio kutachukua thamani chini ya ile iliyotolewa, na kulingana na hali ya shida, tunahitaji kupata moja sawa na au kubwa kuliko ile iliyotolewa. Hii ni sehemu nyingine ya nafasi chini ya curve ya kawaida ya msongamano (kengele). Kwa hivyo, ili kupata uwezekano unaotaka, unahitaji kuondoa kutoka kwa umoja uwezekano uliotajwa kwamba utofauti wa nasibu utachukua thamani chini ya 900 maalum:

Sasa utofauti wa nasibu unahitaji kusawazishwa.

Tunaendelea kutambulisha nukuu:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - thamani maalum ya kutofautiana kwa random;

μ = 1000 - thamani ya wastani;

σ = 200 - kupotoka kwa kawaida.

Kwa kutumia data hizi, tunapata masharti ya tatizo:

Kulingana na jedwali la kutofautisha kwa nasibu (mpaka wa muda) z= -0.5 inalingana na uwezekano wa 0.30854. Iondoe kutoka kwa umoja na upate kile kinachohitajika katika taarifa ya shida:

Kwa hivyo, uwezekano kwamba sehemu hiyo itakuwa na maisha ya huduma ya angalau masaa 900 ni 69%.

Uwezekano huu unaweza kupatikana kwa kutumia kitendakazi cha MS Excel NORM.DIST (thamani muhimu - 1):

P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST (900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

Kuhusu mahesabu katika MS Excel - katika moja ya aya zinazofuata za somo hili.

Mfano 2. Katika jiji fulani, wastani wa mapato ya kila mwaka ya familia ni kigezo cha kawaida kinachosambazwa bila mpangilio chenye wastani wa 300,000 na mchepuko wa kawaida wa 50,000. Inajulikana kuwa mapato ya 40% ya familia ni chini ya. A. Tafuta thamani A.

Suluhisho. Katika shida hii, 40% sio chochote zaidi ya uwezekano kwamba utofauti wa nasibu utachukua dhamana kutoka kwa muda wazi ambao ni chini ya dhamana fulani, iliyoonyeshwa na herufi. A.

Ili kupata thamani A, kwanza tunatunga kazi muhimu:

Kulingana na hali ya shida

μ = 300000 - thamani ya wastani;

σ = 50000 - kupotoka kwa kawaida;

x = A- kiasi cha kupatikana.

Kuunda usawa

Kutoka kwa jedwali la takwimu tunapata kuwa uwezekano wa 0.40 unalingana na thamani ya mpaka wa muda. z = −0,25 .

Kwa hivyo, tunaunda usawa

na kupata suluhisho lake:

A = 287300 .

Jibu: 40% ya familia zina mapato chini ya 287,300.

Muda uliofungwa

Katika shida nyingi inahitajika kupata uwezekano kwamba utofauti wa kawaida unaosambazwa utachukua thamani katika muda kutoka. z 1 kwa z 2. Hiyo ni, itaanguka katika muda uliofungwa. Ili kutatua matatizo hayo, ni muhimu kupata katika meza uwezekano unaofanana na mipaka ya muda, na kisha kupata tofauti kati ya uwezekano huu. Hii inahitaji kutoa thamani ndogo kutoka kwa kubwa. Mifano ya ufumbuzi wa matatizo haya ya kawaida ni yafuatayo, na unaulizwa kuyatatua mwenyewe, na kisha unaweza kuona ufumbuzi na majibu sahihi.

Mfano 3. Faida ya biashara kwa kipindi fulani ni mabadiliko ya nasibu chini ya sheria ya kawaida ya usambazaji yenye thamani ya wastani ya milioni 0.5. na mkengeuko wa kawaida 0.354. Amua, ndani ya sehemu mbili za desimali, uwezekano kwamba faida ya biashara itakuwa kutoka 0.4 hadi 0.6 c.u.

Mfano 4. Urefu wa sehemu iliyotengenezwa ni kutofautiana kwa random kusambazwa kulingana na sheria ya kawaida na vigezo μ =10 na σ =0.071. Pata uwezekano wa kasoro, sahihi kwa maeneo mawili ya decimal, ikiwa vipimo vinavyoruhusiwa vya sehemu lazima iwe 10±0.05.

Kidokezo: katika tatizo hili, pamoja na kupata uwezekano wa kutofautiana kwa nasibu kuanguka katika muda uliofungwa (uwezekano wa kupokea sehemu isiyo na kasoro), unahitaji kufanya hatua moja zaidi.

hukuruhusu kubainisha uwezekano kuwa thamani sanifu Z si kidogo -z na hakuna zaidi +z, Wapi z- thamani iliyochaguliwa kiholela ya kigezo cha nasibu sanifu.

Njia ya kukadiria ya kuangalia hali ya kawaida ya usambazaji

Njia ya takriban ya kuangalia hali ya kawaida ya usambazaji wa maadili ya sampuli inategemea yafuatayo mali ya usambazaji wa kawaida: mgawo wa ukengeushi β 1 na mgawo wa kurtosis β 2 ni sawa na sifuri.

Mgawo wa asymmetry β 1 kiidadi hubainisha ulinganifu wa mgawanyo wa kimajaribio unaohusiana na wastani. Ikiwa mgawo wa mshikamano ni sifuri, basi wastani wa hesabu, wastani na modi ni sawa: na curve ya msongamano wa usambazaji ni ulinganifu kuhusu wastani. Ikiwa mgawo wa asymmetry ni chini ya sifuri (β 1 < 0 ), basi maana ya hesabu ni chini ya wastani, na wastani, kwa upande wake, ni chini ya modi () na Curve inabadilishwa kwenda kulia (ikilinganishwa na usambazaji wa kawaida). Ikiwa mgawo wa asymmetry ni mkubwa kuliko sifuri (β 1 > 0 ), basi maana ya hesabu ni kubwa zaidi kuliko wastani, na wastani, kwa upande wake, ni kubwa kuliko modi () na Curve imehamishiwa kushoto (ikilinganishwa na usambazaji wa kawaida).

Mgawo wa Kurtosis β 2 inaangazia mkusanyiko wa mgawanyo wa kimajaribio karibu na wastani wa hesabu katika mwelekeo wa mhimili Oy na kiwango cha kilele cha curve ya msongamano wa usambazaji. Ikiwa mgawo wa kurtosis ni mkubwa kuliko sifuri, basi curve imeinuliwa zaidi (ikilinganishwa na usambazaji wa kawaida) kando ya mhimili Oy(grafu ina kilele zaidi). Ikiwa mgawo wa kurtosisi ni chini ya sifuri, basi curve ni bapa zaidi (ikilinganishwa na usambazaji wa kawaida) kando ya mhimili Oy(grafu ni butu zaidi).

Mgawo wa asymmetry unaweza kuhesabiwa kwa kutumia kazi ya MS Excel SKOS. Ikiwa unachunguza safu moja ya data, basi unahitaji kuingiza safu ya data katika sanduku moja la "Nambari".

Mgawo wa kurtosis unaweza kuhesabiwa kwa kutumia kitendakazi cha MS Excel KURTESS. Wakati wa kuangalia safu moja ya data, inatosha pia kuingiza safu ya data kwenye kisanduku kimoja cha "Nambari".

Kwa hivyo, kama tunavyojua tayari, kwa usambazaji wa kawaida coefficients ya skewness na kurtosis ni sawa na sifuri. Lakini vipi ikiwa tutapata migawo ya ukengeufu ya -0.14, 0.22, 0.43 na mgawo wa kurtosis wa 0.17, -0.31, 0.55? Swali ni sawa kabisa, kwani katika mazoezi tunashughulika tu na takriban, maadili ya sampuli ya asymmetry na kurtosis, ambayo iko chini ya kutawanyika kuepukika, bila kudhibitiwa. Kwa hivyo, mtu hawezi kudai kwamba coefficients hizi ziwe sawa kabisa na sifuri; lazima ziwe karibu vya kutosha na sifuri. Lakini nini maana ya kutosha?

Inahitajika kulinganisha maadili ya majaribio yaliyopatikana na maadili yanayokubalika. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuangalia usawa zifuatazo (linganisha maadili ya mgawo wa moduli na maadili muhimu - mipaka ya eneo la kupima hypothesis).

Kwa mgawo wa asymmetry β 1 .