Sababu zinazofanana hazipunguzwi. Kuchagua sehemu nzima ya sehemu

Makala hii inaendelea mada ya mabadiliko sehemu za algebra: zingatia kitendo kama vile kupunguza sehemu za aljebra. Hebu tufafanue neno lenyewe, tutengeneze sheria ya kupunguza na tuchambue mifano ya vitendo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Maana ya kupunguza sehemu ya aljebra

Katika nyenzo kuhusu sehemu za kawaida, tuliangalia kupunguzwa kwake. Tulifafanua kupunguza sehemu kama kugawanya nambari yake na denominator kwa sababu ya kawaida.

Kupunguza sehemu ya aljebra ni operesheni sawa.

Ufafanuzi 1

Kupunguza sehemu ya aljebra ni mgawanyo wa nambari na kiashiria chake kwa sababu ya kawaida. Katika kesi hii, tofauti na kupunguzwa kwa sehemu ya kawaida (denominator ya kawaida inaweza tu kuwa nambari), jambo la kawaida la nambari na denominator ya sehemu ya algebra inaweza kuwa polynomial, hasa, monomial au namba.

Kwa mfano, sehemu ya algebraic 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 inaweza kupunguzwa kwa nambari 3, na kusababisha: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Tunaweza kupunguza sehemu sawa na mabadiliko x, na hii itatupa usemi 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Pia kwa sehemu iliyotolewa inaweza kupunguzwa na monomial 3 x au yoyote ya polynomials x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y au 3 x 2 + 6 x y.

Lengo kuu la kupunguza sehemu ya aljebra ni sehemu kubwa kuliko aina rahisi, V bora kesi scenario- sehemu isiyoweza kupunguzwa.

Je, sehemu zote za aljebra zinaweza kupunguzwa?

Tena, kutoka kwa nyenzo kwenye sehemu za kawaida, tunajua kuwa kuna sehemu zinazoweza kupunguzwa na zisizoweza kupunguzwa. Visehemu visivyoweza kupunguzwa ni visehemu ambavyo havina vipengele vya kawaida katika nambari na denomineta zaidi ya 1.

Ni sawa na sehemu za aljebra: zinaweza kuwa na sababu za kawaida katika nambari na denominator, au haziwezi kuwa. Uwepo wa mambo ya kawaida hukuruhusu kurahisisha sehemu ya asili kwa kupunguza. Wakati hakuna sababu za kawaida, haiwezekani kuboresha sehemu fulani kwa kutumia njia ya kupunguza.

KATIKA kesi za jumla Na aina iliyotolewa Ni ngumu sana kwa sehemu kuelewa ikiwa inaweza kupunguzwa. Bila shaka, katika baadhi ya matukio kuwepo kwa sababu ya kawaida kati ya nambari na denominator ni dhahiri. Kwa mfano, katika sehemu ya aljebra 3 x 2 3 y ni wazi kabisa kwamba jambo la kawaida ni nambari 3.

Katika sehemu - x · y 5 · x · y · z 3 pia tunaelewa mara moja kwamba inaweza kupunguzwa kwa x, au y, au x · y. Na bado, mara nyingi zaidi kuna mifano ya sehemu za algebra, wakati sababu ya kawaida ya nambari na dhehebu sio rahisi kuona, na hata mara nyingi zaidi, haipo.

Kwa mfano, tunaweza kupunguza sehemu x 3 - 1 x 2 - 1 kwa x - 1, wakati sababu maalum ya kawaida haipo katika kuingia. Lakini sehemu ya x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 haiwezi kupunguzwa, kwani nambari na denominator hazina sababu ya kawaida.

Kwa hivyo, swali la kuamua upunguzaji wa sehemu ya algebra sio rahisi sana, na mara nyingi ni rahisi kufanya kazi na sehemu ya fomu fulani kuliko kujaribu kujua ikiwa inaweza kupunguzwa. Katika kesi hii, mabadiliko kama haya hufanyika kwamba katika hali fulani hufanya iwezekanavyo kuamua sababu ya kawaida ya nambari na denominator au kuhitimisha juu ya kutoweza kupunguzwa kwa sehemu. Tutachunguza suala hili kwa undani katika aya inayofuata ya makala hiyo.

Sheria ya kupunguza sehemu za aljebra

Sheria ya kupunguza sehemu za aljebra inajumuisha vitendo viwili mfululizo:

kutafuta sababu za kawaida za nambari na denominator;
ikiwa yoyote hupatikana, hatua ya kupunguza sehemu inafanywa moja kwa moja.

Njia ifaayo zaidi ya kutafuta madhehebu ya kawaida ni kuangazia polimanomia zilizopo kwenye nambari na kiashiria cha sehemu fulani ya aljebra. Hii inakuwezesha kuona mara moja uwepo au kutokuwepo kwa mambo ya kawaida.

Kitendo chenyewe cha kupunguza sehemu ya aljebra inategemea sifa kuu ya sehemu ya aljebra, inayoonyeshwa na usawa ambao haujafafanuliwa, ambapo a, b, c ni baadhi ya polimanomia, na b na c sio sifuri. Hatua ya kwanza ni kupunguza sehemu kwa umbo a · c b · c, ambamo tunaona mara moja sababu ya kawaida c. Hatua ya pili ni kufanya kupunguza, i.e. mpito hadi sehemu ya umbo a b .

Mifano ya kawaida

Licha ya uwazi fulani, hebu tufafanue kuhusu kesi maalum wakati nambari na denominator ya sehemu ya aljebra ni sawa. Sehemu zinazofanana ni sawa na 1 kwenye ODZ nzima ya viambishi vya sehemu hii:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Kwa kuwa sehemu za kawaida ni kesi maalum ya sehemu za algebra, hebu tukumbuke jinsi zinavyopunguzwa. Nambari za asili zilizoandikwa katika nambari na denominator zimeunganishwa katika mambo makuu, basi mambo ya kawaida yanafutwa (ikiwa yapo).

Kwa mfano, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Bidhaa ya sababu rahisi zinazofanana zinaweza kuandikwa kama nguvu, na katika mchakato wa kupunguza sehemu, tumia mali ya kugawanya madaraka na kwa misingi hiyo hiyo. Kisha suluhisho hapo juu litakuwa:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(nambari na denominator imegawanywa na sababu ya kawaida 2 2 3) Au kwa uwazi, kwa kuzingatia mali ya kuzidisha na mgawanyiko, tunatoa suluhisho kwa fomu ifuatayo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Kwa mlinganisho, kupunguzwa kwa sehemu za algebraic hufanyika, ambapo nambari na denominator zina monomials na coefficients integer.

Mfano 1

Sehemu ya aljebra imetolewa - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Inahitaji kupunguzwa.

Suluhisho

Inawezekana kuandika nambari na dhehebu ya sehemu fulani kama bidhaa ya sababu rahisi na vijiti, na kisha upunguze:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Walakini, njia ya busara zaidi itakuwa kuandika suluhisho kama usemi wenye nguvu:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Jibu:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Wakati nambari na denominator ya sehemu ya aljebra ina migawo ya nambari ya sehemu, njia mbili zinawezekana. vitendo zaidi: au gawanya hizi tofauti tabia mbaya za sehemu, au kwanza ondoa mgawo wa sehemu kwa kuzidisha nambari na denominator kwa fulani. nambari ya asili. Mabadiliko ya mwisho yanafanywa kwa sababu ya mali ya msingi ya sehemu ya algebra (unaweza kusoma juu yake katika kifungu "Kupunguza sehemu ya algebraic kwa denominator mpya").

Mfano 2

Sehemu iliyotolewa ni 2 5 x 0, 3 x 3. Inahitaji kupunguzwa.

Suluhisho

Inawezekana kupunguza sehemu kwa njia hii:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Wacha tujaribu kusuluhisha shida kwa njia tofauti, kwa kuwa tumeondoa kwanza mgawo wa sehemu - kuzidisha nambari na dhehebu kwa idadi ndogo ya madhehebu ya coefficients hizi, i.e. kwenye LCM (5, 10) = 10. Kisha tunapata:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Jibu: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Tunapopunguza sehemu za algebra mtazamo wa jumla, ambapo nambari na denomineta zinaweza kuwa monomia au polynomia, kunaweza kuwa na tatizo wakati sababu ya kawaida haionekani mara moja kila wakati. Au zaidi ya hayo, haipo. Kisha, ili kuamua jambo la kawaida au kurekodi ukweli wa kutokuwepo kwake, nambari na denominator ya sehemu ya algebraic ni factored.

Mfano 3

Sehemu ya busara 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 imetolewa. Inahitaji kupunguzwa.

Suluhisho

Wacha tuangazie polima katika nambari na denominator. Wacha tuiweke nje ya mabano:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Tunaona kwamba usemi katika mabano unaweza kubadilishwa kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Inaonekana wazi kwamba inawezekana kupunguza sehemu kwa sababu ya kawaida b 2 (a + 7). Wacha tupunguze:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Wacha tuandike suluhisho fupi bila maelezo kama mlolongo wa usawa:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Jibu: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Inatokea kwamba mambo ya kawaida yanafichwa na coefficients ya nambari. Kisha, wakati wa kupunguza sehemu, ni bora kuweka vipengele vya nambari kwa nguvu za juu za nambari na denominator nje ya mabano.

Mfano 4

Kwa kuzingatia sehemu ya aljebra 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Inahitajika kuipunguza ikiwa inawezekana.

Suluhisho

Kwa mtazamo wa kwanza, nambari na denominator hazina alama ya kawaida. Walakini, wacha tujaribu kubadilisha sehemu iliyopewa. Wacha tuchukue sababu x kwenye nambari:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sasa unaweza kuona mfanano fulani kati ya usemi kwenye mabano na usemi kwenye dhehebu kutokana na x 2 y. . Wacha tuchukue mgawo wa nambari wa nguvu za juu za hizi polynomia:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sasa jambo la kawaida linaonekana, tunapunguza:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Jibu: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x.

Hebu tusisitize kwamba ujuzi wa contraction sehemu za mantiki inategemea uwezo wa kuainisha polynomials.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Katika makala hii tutaangalia kwa undani jinsi gani kupunguza sehemu. Kwanza, hebu tujadili kile kinachoitwa kupunguza sehemu. Baada ya hayo, hebu tuzungumze juu ya kupunguza sehemu inayoweza kupunguzwa kwa fomu isiyoweza kupunguzwa. Ifuatayo tutapata sheria ya kupunguza sehemu na, mwishowe, fikiria mifano ya matumizi ya sheria hii.

Urambazaji wa ukurasa.

Inamaanisha nini kupunguza sehemu?

Tunajua kwamba sehemu za kawaida zimegawanywa katika sehemu zinazoweza kupunguzwa na zisizoweza kupunguzwa. Unaweza kukisia kutoka kwa majina ambayo sehemu zinazoweza kupunguzwa zinaweza kupunguzwa, lakini sehemu zisizoweza kupunguzwa haziwezi.

Inamaanisha nini kupunguza sehemu? Punguza sehemu- hii ina maana ya kugawanya nambari yake na denominator kwa chanya na tofauti na umoja. Ni wazi kuwa kama matokeo ya kupunguza sehemu, sehemu mpya hupatikana na nambari ndogo na dhehebu, na, kwa sababu ya mali ya msingi ya sehemu hiyo, sehemu inayosababishwa ni sawa na ile ya asili.

Kwa mfano, hebu tupunguze sehemu ya kawaida ya 8/24 kwa kugawanya nambari yake na denominator na 2. Kwa maneno mengine, wacha tupunguze sehemu 8/24 kwa 2. Tangu 8:2=4 na 24:2=12, upunguzaji huu unasababisha sehemu 4/12, ambayo ni sawa na sehemu ya awali 8/24 (angalia sehemu sawa na zisizo sawa). Matokeo yake, tuna.

Kupunguza sehemu za kawaida kwa fomu isiyoweza kupunguzwa

Kwa kawaida, lengo kuu la kupunguza sehemu ni kupata sehemu isiyoweza kupunguzwa ambayo ni sawa na sehemu ya awali inayoweza kupunguzwa. Lengo hili linaweza kufikiwa kwa kupunguza sehemu ya awali inayoweza kupunguzwa kwa nambari na denominator yake. Kama matokeo ya kupunguzwa vile, sehemu isiyoweza kupunguzwa hupatikana kila wakati. Kwa kweli, sehemu haiwezi kupunguzwa, kwani inajulikana hivyo Na -. Hapa tutasema kwamba kubwa zaidi mgawanyiko wa kawaida Nambari na denominator ya sehemu ni idadi kubwa zaidi, ambayo sehemu hii inaweza kupunguzwa.

Kwa hiyo, kupunguza sehemu ya kawaida kwa fomu isiyoweza kupunguzwa inajumuisha kugawanya nambari na denominator ya sehemu inayoweza kupunguzwa kwa gcd yao.

Wacha tuangalie mfano, ambao tunarudi kwenye sehemu ya 8/24 na kuipunguza kwa mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari 8 na 24, ambayo ni sawa na 8. Tangu 8:8=1 na 24:8=3, tunakuja kwenye sehemu isiyoweza kupunguzwa 1/3. Kwa hiyo,.

Kumbuka kwamba kifungu cha maneno "punguza sehemu" mara nyingi humaanisha kupunguza sehemu asili kwa umbo lake lisiloweza kupunguzwa. Kwa maneno mengine, kupunguza sehemu mara nyingi sana inarejelea kugawanya nambari na denominator kwa sababu kuu ya kawaida (badala ya sababu yoyote ya kawaida).

Jinsi ya kupunguza sehemu? Sheria na mifano ya kupunguza sehemu

Kinachobaki ni kuangalia sheria ya kupunguza sehemu, ambayo inaelezea jinsi ya kupunguza sehemu fulani.

Sheria ya kupunguza sehemu lina hatua mbili:

kwanza, gcd ya nambari na denominator ya sehemu hupatikana;
pili, nambari na denominator ya sehemu imegawanywa na gcd yao, ambayo inatoa sehemu isiyoweza kupunguzwa sawa na ile ya asili.

Hebu tuyatatue mfano wa kupunguza sehemu kwa mujibu wa kanuni iliyowekwa.

Mfano.

Punguza sehemu 182/195.

Suluhisho.

Wacha tufanye hatua zote mbili zilizowekwa na sheria ya kupunguza sehemu.

Kwanza tunapata GCD(182, 195) . Ni rahisi zaidi kutumia algorithm ya Euclid (tazama): 195=182 · 1+13, 182=13 · 14, yaani, GCD(182, 195)=13.

Sasa tunagawanya nambari na denominator ya sehemu 182/195 na 13, na tunapata sehemu isiyoweza kupunguzwa 14/15, ambayo ni sawa na sehemu ya asili. Hii inakamilisha kupunguzwa kwa sehemu.

Kwa kifupi, suluhisho linaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Jibu:

Hapa ndipo tunaweza kumaliza kupunguza sehemu. Lakini ili kukamilisha picha, hebu tuangalie njia mbili zaidi za kupunguza sehemu, ambazo kawaida hutumiwa katika kesi rahisi.

Wakati mwingine nambari na denominator ya sehemu inayopunguzwa sio ngumu. Kupunguza sehemu katika kesi hii ni rahisi sana: unahitaji tu kuondoa mambo yote ya kawaida kutoka kwa nambari na denominator.

Inafaa kumbuka kuwa njia hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa sheria ya kupunguza sehemu, kwani bidhaa ya mambo yote ya kawaida ya nambari na denominator ni sawa na mgawanyiko wao mkubwa zaidi.

Wacha tuangalie suluhisho la mfano.

Mfano.

Punguza sehemu 360/2 940.

Suluhisho.

Hebu tuchanganue nambari na denominator katika vipengele rahisi: 360=2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 na 2,940 = 2 · 3 · 5 · 7 · 7. Hivyo, .

Sasa tunaondoa sababu za kawaida katika nambari na dhehebu; kwa urahisi, tunaziondoa tu: .

Hatimaye, tunazidisha mambo yaliyobaki:, na kupunguzwa kwa sehemu kukamilika.

Hapa noti fupi ufumbuzi: .

Jibu:

Hebu fikiria njia nyingine ya kupunguza sehemu, ambayo ina kupunguza mlolongo. Hapa, kwa kila hatua, sehemu hupunguzwa na kigawanyaji cha kawaida cha nambari na denominator, ambayo ni dhahiri au imedhamiriwa kwa urahisi kutumia.

Wakati mwanafunzi anahamia sekondari, hisabati imegawanywa katika masomo 2: algebra na jiometri. Kuna dhana zaidi na zaidi, kazi ni ngumu zaidi na zaidi. Watu wengine wana ugumu wa kuelewa sehemu. Umekosa somo la kwanza juu ya mada hii, na voila. sehemu? Swali ambalo litanitesa katika maisha yangu yote ya shule.

Dhana ya sehemu ya aljebra

Hebu tuanze na ufafanuzi. Chini ya sehemu ya algebra inarejelea misemo P/Q, ambapo P ni nambari na Q ni denominator. Nambari inaweza kufichwa chini ya barua, usemi wa nambari, usemi wa herufi ya nambari.

Kabla ya kujiuliza jinsi ya kutatua sehemu za algebra, kwanza unahitaji kuelewa kuwa usemi kama huo ni sehemu ya jumla.

Kama sheria, nambari kamili ni 1. Nambari katika denominator inaonyesha ni sehemu ngapi kitengo kimegawanywa. Nambari inahitajika ili kujua ni vipengele ngapi vimechukuliwa. Sehemu ya sehemu inalingana na ishara ya mgawanyiko. Kurekodi kuruhusiwa usemi wa sehemu kama operesheni ya hisabati "Mgawanyiko". Katika kesi hii, nambari ni mgawanyiko, denominator ni mgawanyiko.

Kanuni ya msingi ya sehemu za kawaida

Wanafunzi wanapopita mada hii shuleni, wanapewa mifano ya kuimarisha. Ili kuyatatua kwa usahihi na kupata njia tofauti kutoka hali ngumu, unahitaji kutumia mali ya msingi ya sehemu.

Inakwenda kama hii: Ikiwa utazidisha nambari na denominator kwa nambari sawa au usemi (mbali na sifuri), thamani ya sehemu ya kawaida haibadilika. Kesi maalum ya sheria hii ni mgawanyiko wa pande zote mbili za usemi kwa nambari sawa au polynomial. Mabadiliko kama haya huitwa usawa sawa.

Hapo chini tutaangalia jinsi ya kutatua kuongeza na kutoa sehemu za aljebra, kuzidisha, kugawanya na kupunguza sehemu.

Shughuli za hisabati na sehemu

Hebu tuangalie jinsi ya kutatua, mali kuu ya sehemu ya algebraic, na jinsi ya kuitumia katika mazoezi. Ikiwa unahitaji kuzidisha sehemu mbili, ziongeze, ugawanye moja kwa nyingine, au uondoe, lazima ufuate sheria kila wakati.

Hivyo, kwa ajili ya uendeshaji wa kuongeza na kutoa, jambo la ziada lazima lipatikane ili kuleta maneno kwa denominator ya kawaida. Ikiwa sehemu za sehemu zinatolewa kwa maneno sawa Q, basi aya hii inapaswa kuachwa. Lini dhehebu la kawaida kupatikana, jinsi ya kutatua sehemu za algebraic? Unahitaji kuongeza au kupunguza nambari. Lakini! Ni lazima ikumbukwe kwamba ikiwa kuna ishara "-" mbele ya sehemu, ishara zote kwenye nambari zinabadilishwa. Wakati mwingine hupaswi kufanya mbadala na shughuli za hisabati. Inatosha kubadilisha ishara mbele ya sehemu.

Dhana mara nyingi hutumika kama kupunguza sehemu. Hii inamaanisha yafuatayo: ikiwa nambari na denominator imegawanywa na usemi tofauti na moja (sawa kwa sehemu zote mbili), basi sehemu mpya hupatikana. Gawio na mgawanyiko ni mdogo kuliko hapo awali, lakini kwa sababu ya kanuni ya msingi ya sehemu zinabaki sawa na mfano wa asili.

Madhumuni ya operesheni hii ni kupata usemi mpya usioweza kupunguzwa. Amua kazi hii Unaweza kufanya hivyo kwa kupunguza nambari na denominator kwa sababu kuu ya kawaida. Algorithm ya operesheni ina mambo mawili:

Kupata gcd kwa pande zote mbili za sehemu.
Kugawanya nambari na denominator kwa usemi uliopatikana na kupata sehemu isiyoweza kupunguzwa sawa na ile ya awali.

Chini ni jedwali linaloonyesha fomula. Kwa urahisi, unaweza kuichapisha na kuibeba pamoja nawe kwenye daftari. Walakini, ili katika siku zijazo, wakati wa kusuluhisha mtihani au mtihani, hakutakuwa na shida katika swali la jinsi ya kutatua sehemu za algebraic, fomula zilizoonyeshwa lazima kujifunza kwa moyo.

Mifano kadhaa na ufumbuzi

NA uhakika wa kinadharia Kwa mtazamo, swali la jinsi ya kutatua sehemu za algebraic inazingatiwa. Mifano iliyotolewa katika makala itakusaidia kuelewa vizuri nyenzo.

1. Geuza sehemu na ulete kwa dhehebu la kawaida.

2. Geuza sehemu na ulete kwa dhehebu la kawaida.

Baada ya kusoma sehemu ya kinadharia na kuzingatia masuala ya vitendo haipaswi kuwa na zaidi.

Mgawanyiko na nambari na denominator ya sehemu kwenye yao mgawanyiko wa kawaida, tofauti na moja, inaitwa kupunguza sehemu.

Ili kufupisha sehemu ya kawaida, unahitaji kugawanya nambari yake na denominator kwa nambari asilia sawa.

Nambari hii ndio kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari na kiashiria cha sehemu iliyotolewa.

Yafuatayo yanawezekana fomu za kurekodi maamuzi Mifano ya kupunguza sehemu za kawaida.

Mwanafunzi ana haki ya kuchagua aina yoyote ya kurekodi.

Mifano. Rahisisha sehemu.

Punguza sehemu kwa 3 (gawanya nambari na 3;

gawanya dhehebu na 3).

Punguza sehemu kwa 7.

Tunafanya vitendo vilivyoonyeshwa katika nambari na denominator ya sehemu.

Sehemu inayosababishwa imepunguzwa na 5.

Wacha tupunguze sehemu hii 4) juu 5·7³- mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida (GCD) wa nambari na denominator, ambayo inajumuisha mambo ya kawaida ya nambari na denominator, iliyochukuliwa kwa nguvu na kielelezo kidogo zaidi.

Wacha tuchanganue nambari na dhehebu ya sehemu hii kuwa sababu kuu.

Tunapata: 756=2²·3³·7 Na 1176=2³·3·7².

Amua GCD (kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida) cha nambari na denominator ya sehemu 5) .

Hii ni bidhaa ya sababu za kawaida zilizochukuliwa na vielelezo vya chini kabisa.

gcd(756, 1176)= 2² · 3 · 7.

Tunagawanya nambari na denominator ya sehemu hii kwa gcd yao, i.e. kwa 2² · 3 · 7 tunapata sehemu isiyoweza kupunguzwa 9/14 .

Au iliwezekana kuandika mtengano wa nambari na denominator kwa namna ya bidhaa ya mambo kuu, bila kutumia dhana ya nguvu, na kisha kupunguza sehemu kwa kuvuka mambo sawa katika nambari na denominator. Wakati hakuna sababu zinazofanana zilizobaki, tunazidisha sababu zilizobaki kando katika nambari na kando katika dhehebu na kuandika sehemu inayosababisha. 9/14 .

Na hatimaye, iliwezekana kupunguza sehemu hii 5) hatua kwa hatua, kwa kutumia ishara za kugawanya nambari kwa nambari na denominator ya sehemu. Tunasababu kama hii: nambari 756 Na 1176 mwisho kwa nambari iliyo sawa, ambayo inamaanisha zote mbili zinaweza kugawanywa kwa 2 . Tunapunguza sehemu kwa 2 . Nambari na denominator ya sehemu mpya ni nambari 378 Na 588 pia kugawanywa katika 2 . Tunapunguza sehemu kwa 2 . Tunaona kwamba nambari 294 - hata, na 189 ni isiyo ya kawaida, na kupunguza kwa 2 haiwezekani tena. Wacha tuangalie mgawanyiko wa nambari 189 Na 294 juu 3 .

(1+8+9)=18 inaweza kugawanywa na 3 na (2+9+4)=15 inagawanywa na 3, kwa hivyo nambari zenyewe 189 Na 294 zimegawanywa katika 3 . Tunapunguza sehemu kwa 3 . Zaidi, 63 inagawanywa na 3 na 98 - Hapana. Wacha tuangalie sababu zingine kuu. Nambari zote mbili zinagawanywa kwa 7 . Tunapunguza sehemu kwa 7 na tunapata sehemu isiyoweza kupunguzwa 9/14 .

Katika makala hii tutaangalia shughuli za kimsingi na sehemu za aljebra:

kupunguza sehemu
kuzidisha sehemu
kugawanya sehemu

Hebu tuanze na kupunguzwa kwa sehemu za algebra.

Inaweza kuonekana kuwa, algorithm dhahiri.

Kwa kupunguza sehemu za algebra, haja

1. Fanya nambari na denominator ya sehemu.

2. Kupunguza mambo sawa.

Walakini, watoto wa shule mara nyingi hufanya makosa ya "kupunguza" sio sababu, lakini masharti. Kwa mfano, kuna amateurs ambao "hupunguza" sehemu na kupata kama matokeo, ambayo, kwa kweli, sio kweli.

Hebu tuangalie mifano:

1. Kupunguza sehemu:

1. Wacha tubadilishe nambari kwa kutumia fomula ya mraba wa jumla, na kiashiria kwa kutumia fomula ya tofauti ya miraba.

2. Gawanya nambari na denominata kwa

2. Kupunguza sehemu:

1. Wacha tuweke kihesabu nambari. Kwa kuwa nambari ina maneno manne, tunatumia kambi.

2. Hebu tufafanue dhehebu. Tunaweza pia kutumia vikundi.

3. Wacha tuandike sehemu tuliyopata na tupunguze mambo sawa:

Kuzidisha sehemu za aljebra.

Wakati wa kuzidisha sehemu za algebraic, tunazidisha nambari kwa nambari, na kuzidisha denominator na denominator.

Muhimu! Hakuna haja ya kukimbilia kuzidisha nambari na denominator ya sehemu. Baada ya kuandika bidhaa ya nambari za sehemu katika nambari, na bidhaa ya denominator kwenye denominator, tunahitaji kuzingatia kila sababu na kupunguza sehemu.

Hebu tuangalie mifano:

3. Rahisisha usemi:

1. Wacha tuandike bidhaa ya sehemu: katika nambari bidhaa ya nambari, na katika dhehebu bidhaa ya denominators:

2. Wacha tubadilishe kila mabano:

Sasa tunahitaji kupunguza mambo sawa. Kumbuka kuwa misemo na hutofautiana kwa ishara tu: na kama matokeo ya kugawanya usemi wa kwanza na wa pili tunapata -1.

Kwa hiyo,

Tunagawanya sehemu za algebra kulingana na sheria ifuatayo:

Hiyo ni Ili kugawanya kwa sehemu, unahitaji kuzidisha na "inverted".

Tunaona kwamba kugawanya sehemu kunakuja kwa kuzidisha, na kuzidisha hatimaye kunakuja kwa kupunguza sehemu.

Hebu tuangalie mfano:

4. Rahisisha usemi: