Uhesabuji wa vipengee vya kazi zisizo wazi zilizobainishwa na mfumo wa milinganyo.

Kutokana na mfumo wa milinganyo

au kwa ufupiF(x, y)=0 (1)

Ufafanuzi. Mfumo (1) unafafanua chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kwa uwaziy= f(x) kwenyeD R n

Kama x D : F(x , f(x)) = 0.

Nadharia (uwepo na upekee wa uchoraji wa ramani unaofafanuliwa kwa uwazi na mfumo wa milinganyo). Hebu

Kisha katika kitongoji fulaniU (x 0 ) kuna kazi ya kipekee (ramani) iliyofafanuliwa katika kitongoji hikiy = f(x), vile vile

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 nay 0 = f(x 0 ).

Chaguo hili la kukokotoa linaweza kutofautishwa kila mara katika eneo fulani la uhakikax 0 .

5. Uhesabuji wa derivatives ya kazi zisizo wazi zilizobainishwa na mfumo wa milinganyo

Kwa kuzingatia mfumo

(1)

Tutafikiri kwamba masharti ya nadharia ya kuwepo na upekee wa utendaji kamili uliobainishwa na mfumo huu wa milinganyo yameridhika. Hebu tuangazie kipengele hiki y= f(x) . Kisha katika kitongoji fulani cha uhakika x 0 vitambulisho ni halali

(F(x, f(x)))=0) (2)

Kutofautisha vitambulisho hivi kwa x j tunapata

=0 (3)

Usawa huu unaweza kuandikwa ndani fomu ya matrix

, (3)

au kwa namna iliyopanuliwa

Kumbuka kuwa mpito kutoka kwa usawa F(x, f(x))=0 Kwa
, inalingana na kanuni za utofautishaji wa kesi wakati x Na y ni pointi za nafasi moja-dimensional. Matrix kwa hali si kuzorota, kwa hiyo equation matrix
ina suluhu
. Kwa njia hii unaweza kupata agizo la kwanza derivatives ya sehemu ya vitendaji dhabiti . Ili kupata tofauti tunaashiria

dy = ,dx = , kutofautisha usawa (2) tunapata

=0 ,

au kwa namna ya matrix

. (4)

Imepanuliwa

Kama vile katika kesi ya derivatives sehemu, formula (4) tuna fomu sawa na kwa kesi ya nafasi za mwelekeo mmoja n=1, uk=1. Suluhisho la equation hii ya matrix itaandikwa kwa fomu
. Ili kupata derivatives ya sehemu ya utaratibu wa pili, itakuwa muhimu kutofautisha utambulisho (3) (ili kuhesabu tofauti za mpangilio wa pili, unahitaji kutofautisha vitambulisho (4) ) Kwa hivyo, tunapata

wapi kupitia A masharti ambayo hayana zile zinazohitajika yameonyeshwa
.

Matrix ya mgawo wa mfumo huu wa kubainisha derivatives
hutumika kama tumbo la Jacobian .

Fomula sawa inaweza kupatikana kwa tofauti. Katika kila kesi hii itageuka mlinganyo wa matrix na matrix ya mgawo sawa katika mfumo wa milinganyo ili kuamua derivatives au tofauti zinazohitajika. Kitu kimoja kitatokea wakati wa tofauti zifuatazo.

Mfano 1. Tafuta ,,kwa uhakika u=1, v=1.

Suluhisho. Tofautisha usawa uliotolewa

(5)

Kumbuka kwamba kwa mujibu wa uundaji wa tatizo, tunapaswa kuzingatia vigezo vya kujitegemea x, y. Kisha kazi zitakuwa z, u, v. Kwa hivyo, mfumo (5) lazima kutatuliwa kuhusu haijulikani du, dv, dz . Katika fomu ya matrix inaonekana kama hii

Wacha tusuluhishe mfumo huu kwa kutumia sheria ya Cramer. Uamuzi wa matrix ya mgawo

, Kiamuzi cha tatu "kilichobadilishwa". dz itakuwa sawa (tunaihesabu kwa kupanua safu ya mwisho)

, Kisha

dz =
, Na
,
.

Tutofautishe (5) tena ( x, y – Vigezo vya kujitegemea)

Matrix ya mgawo wa mfumo ni sawa, kiashiria cha tatu

Kutatua mfumo huu, tunapata usemi wa d 2 z ambapo unaweza kupata derivative inayotaka.

Kama inavyojulikana, kitendakazi kilichotolewa kwa uwazi cha kigezo kimoja kinafafanuliwa kama ifuatavyo: kazi y ya kigezo huru x inaitwa kamili ikiwa imetolewa na mlinganyo ambao haujatatuliwa kwa heshima na y:

Mfano 1.11.

Mlinganyo

inabainisha kazi mbili kabisa:

Na equation

haibainishi utendakazi wowote.

Nadharia 1.2 (kuwepo kwa kipengele cha kukokotoa kisicho na maana).

Acha chaguo za kukokotoa z =f(x,y) na viasili vyake vya sehemu f"x na f"y vifafanuliwe na viendelee katika kitongoji fulani cha UM0 cha nukta M0(x0y0). Kwa kuongezea, f(x0,y0)=0 na f"(x0,y0)≠0, kisha equation (1.33) inafafanua katika kitongoji cha UM0 chaguo la kukokotoa y=y(x), linaloendelea na linaloweza kutofautishwa katika muda fulani D. yenye kituo katika ncha x0, na y(x0)=y0.

Hakuna uthibitisho.

Kutoka kwa Theorem 1.2 inafuata kwamba kwa muda huu D:

yaani kuna utambulisho ndani

ambapo derivative ya "jumla" inapatikana kulingana na (1.31)

Hiyo ni, (1.35) inatoa fomula ya kupata derivative ya chaguo maalum la kukokotoa la kigezo kimoja cha x.

Utendakazi thabiti wa vigeu viwili au zaidi hufafanuliwa vile vile.

Kwa mfano, ikiwa katika eneo fulani V ya nafasi ya Oxyz equation inashikilia:

basi chini ya hali fulani kwenye kitendakazi F inafafanua kitendakazi kikamilifu

Kwa kuongezea, kwa mlinganisho na (1.35), derivatives yake ya sehemu hupatikana kama ifuatavyo:

Mfano 1.12. Kwa kudhani kwamba equation

inafafanua kitendakazi kwa ukamilifu

tafuta z"x, z"y.

kwa hivyo, kulingana na (1.37), tunapata jibu.

11.Matumizi ya derivatives ya sehemu katika jiometri.

12.Upeo wa utendaji wa vigeu viwili.

Dhana za upeo, kiwango cha chini, na upeo wa kazi ya vigezo viwili ni sawa na dhana zinazofanana za kazi ya kutofautiana moja huru (tazama sehemu ya 25.4).

Acha kitendakazi z = ƒ(x;y) kifafanuliwe katika baadhi ya kikoa D, nukta N(x0;y0) О D.

Pointi (x0;y0) inaitwa upeo wa juu zaidi wa chaguo za kukokotoa z=ƒ(x;y) ikiwa kuna d-jirani ya nukta (x0;y0) kiasi kwamba kwa kila nukta (x;y) tofauti na (xo;yo), kutoka kwa mtaa huu ukosefu wa usawa ƒ(x;y) unashikilia<ƒ(хо;уо).

A Sehemu ya chini ya chaguo za kukokotoa imebainishwa kwa njia sawa: kwa pointi zote (x; y) zaidi ya (x0; y0), kutoka kwa d-jirani ya nukta (xo; yo) usawa ufuatao unashikilia: ƒ(x ;y)>ƒ(x0;y0).

Katika Mchoro 210: N1 ndio sehemu ya juu zaidi, na N2 ni sehemu ya chini zaidi ya chaguo za kukokotoa z=ƒ(x;y).

Thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua ya upeo (kiwango cha chini) inaitwa upeo (kiwango cha chini) cha chaguo la kukokotoa. Upeo na kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa huitwa mwisho wake.

Kumbuka kuwa, kwa ufafanuzi, sehemu ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa iko ndani ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa; kiwango cha juu na cha chini huwa na herufi ya ndani (ya ndani): thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua (x0; y0) inalinganishwa na maadili yake katika pointi karibu vya kutosha na (x0; y0). Katika eneo D, chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na misimamo mingi au isiwe na yoyote.

46.2. Muhimu na masharti ya kutosha uliokithiri

Hebu tuzingatie masharti ya kuwepo kwa upeo wa kazi.

Nadharia 46.1 (masharti ya lazima kwa uliokithiri). Ikiwa katika hatua N(x0;y0) chaguo la kukokotoa linaloweza kutofautishwa z=ƒ(x;y) lina kikomo, basi viasili vyake vya sehemu katika hatua hii ni sawa na sufuri: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

Hebu kurekebisha moja ya vigezo. Hebu tuweke, kwa mfano, y=y0. Kisha tunapata chaguo za kukokotoa ƒ(x;y0)=φ(x) ya kigezo kimoja, ambacho kina upeo wa juu katika x = x0. Kwa hiyo, kwa mujibu wa hali ya lazima kwa upeo wa kazi ya kutofautiana moja (tazama sehemu ya 25.4), φ"(x0) = 0, yaani ƒ"x(x0;y0)=0.

Vile vile, inaweza kuonyeshwa kuwa ƒ"y(x0;y0) = 0.

Kijiometri, usawa ƒ"x(x0;y0)=0 na ƒ"y(x0;y0)=0 humaanisha kuwa katika sehemu ya mwisho ya chaguo za kukokotoa z=ƒ(x;y) ndege tanjiti kwenye uso inayowakilisha function ƒ(x;y) ), ni sambamba na ndege ya Oxy, kwa kuwa mlinganyo wa ndege ya tanjiti ni z=z0 (ona fomula (45.2)).

Z Kumbuka. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na upeo wa juu katika sehemu ambazo angalau mojawapo ya sehemu ya derivatives haipo. Kwa mfano, kazi ina kiwango cha juu katika hatua ya O (0;0) (tazama Mchoro 211), lakini haina sehemu ya sehemu katika hatua hii.

Hatua ambayo viambatisho vya sehemu ya mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa z ≈ ƒ(x; y) ni sawa na sufuri, yaani f"x=0, f"y=0, inaitwa sehemu tuli ya chaguo za kukokotoa z.

Pointi na vidokezo ambavyo angalau derivative moja ya sehemu haipo huitwa alama muhimu.

Katika maeneo muhimu, chaguo la kukokotoa linaweza au lisiwe na upeo. Usawa wa derivatives ya sehemu hadi sifuri ni hali ya lazima lakini haitoshi kwa kuwepo kwa uliokithiri. Fikiria, kwa mfano, kazi z = xy. Kwa ajili yake, uhakika O(0; 0) ni muhimu (hapo z"x=y na z"y - x vanish). Walakini, chaguo la kukokotoa z=xy halina kikomo ndani yake, kwani katika kitongoji kidogo cha uhakika O(0; 0) kuna alama ambazo z>0 (alama za robo ya kwanza na ya tatu) na z.< 0 (точки II и IV четвертей).

Kwa hivyo, ili kupata upeo wa kazi katika eneo fulani, ni muhimu kuzingatia kila hatua muhimu ya kazi kwa utafiti wa ziada.

Nadharia 46.2 (hali ya kutosha kwa kiwango cha juu). Ingiza hatua ya stationary(xo;y0) na baadhi ya vitongoji vyake, chaguo la kukokotoa ƒ(x;y) lina viasili vya sehemu vinavyoendelea hadi mpangilio wa pili unaojumuisha. Hebu tuhesabu kwa uhakika (x0;y0) thamani A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Hebu kuashiria

1. ikiwa Δ > 0, basi chaguo za kukokotoa ƒ(x;y) katika hatua (x0;y0) ina upeo: upeo ikiwa A< 0; минимум, если А > 0;

2. ikiwa Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Katika kesi ya Δ = 0, kunaweza au kusiwe na kali kwa uhakika (x0;y0). Utafiti zaidi unahitajika.

KAZI

Mfano. Tafuta vipindi vya utendakazi unaoongezeka na unaopungua. Suluhisho. Hatua ya kwanza ni kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Katika mfano wetu, usemi katika denominator haipaswi kwenda kwa sifuri, kwa hiyo,. Wacha tuendelee kwenye kazi ya derivative: Ili kubainisha vipindi vya ongezeko na kupungua kwa chaguo za kukokotoa kulingana na kigezo cha kutosha, tunatatua ukosefu wa usawa kwenye kikoa cha ufafanuzi. Wacha tutumie ujanibishaji wa njia ya muda. Mzizi pekee wa kweli wa nambari ni x = 2, na dhehebu huenda hadi sifuri saa x = 0. Pointi hizi hugawanya kikoa cha ufafanuzi katika vipindi ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa huhifadhi ishara yake. Wacha tuweke alama alama hizi kwenye mstari wa nambari. Kawaida tunaashiria kwa pluses na minuses vipindi ambapo derivative ni chanya au hasi. Mishale iliyo hapa chini inaonyesha kimkakati ongezeko au kupungua kwa chaguo za kukokotoa kwenye muda unaolingana. Hivyo, Na . Kwa uhakika x = 2 kazi imefafanuliwa na inaendelea, kwa hiyo inapaswa kuongezwa kwa vipindi vinavyoongezeka na vinavyopungua. Kwa uhakika x = 0 kazi haijafafanuliwa, kwa hiyo hatujumuishi hatua hii katika vipindi vinavyohitajika. Tunawasilisha grafu ya kazi ili kulinganisha matokeo yaliyopatikana nayo. Jibu: kazi huongezeka na , hupungua kwa muda (0; 2] .

Mifano.

Weka vipindi vya convexity na concavity ya curve y = 2 – x 2 .

Tutapata y"" na uamue ambapo derivative ya pili ni chanya na wapi ni hasi. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Kwa sababu y"" = e x > 0 kwa yoyote x, basi curve ni concave kila mahali.

y = x 3 . Kwa sababu y"" = 6x, Hiyo y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 saa x> 0. Kwa hiyo, lini x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 ni nyembamba.

4. Kwa kuzingatia chaguo la kukokotoa z=x^2-y^2+5x+4y, vekta l=3i-4j na nukta A(3,2). Tafuta dz/dl (kama ninavyoielewa, kitokaji cha chaguo za kukokotoa katika mwelekeo wa vekta), gradz(A), |gradz(A)|. Wacha tupate viingilio vya sehemu: z(kuhusiana na x)=2x+5 z(kuhusiana na y)=-2y+4 Wacha tupate maadili ya viingilio katika nukta A(3,2): z(na heshima kwa x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(by y)(3,2)=-2*2+4=0 Kutoka wapi, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Nyingine ya chaguo za kukokotoa z katika mwelekeo wa vekta l: dz/dl=z(katika x)*cosa+z(katika y)*cosb , a, b-pembe za vekta l na shoka za kuratibu. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Tutajifunza kupata derivatives za vitendakazi vilivyoainishwa kwa uwazi, ambayo ni, iliyobainishwa na milinganyo fulani inayounganisha viambishi. x Na y. Mifano ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kwa uwazi:

Miigo ya chaguo za kukokotoa iliyobainishwa kwa njia isiyo dhahiri, au miigo ya vitendakazi fiche, hupatikana kwa urahisi kabisa. Sasa hebu tuangalie utawala unaofanana na mfano, na kisha tujue kwa nini hii inahitajika kwa ujumla.

Ili kupata toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa lililobainishwa kwa uwazi, unahitaji kutofautisha pande zote mbili za mlinganyo kwa heshima na x. Masharti hayo ambayo X pekee iko yatageuka kuwa derivative ya kawaida ya chaguo la kukokotoa kutoka kwa X. Na masharti na mchezo yanahitaji kutofautishwa kwa kutumia kanuni ya utofautishaji kazi ngumu, kwa kuwa mimi ni kazi ya x. Ili kuiweka kwa urahisi kabisa, derivative inayotokana ya neno na x inapaswa kusababisha: derivative ya kazi kutoka kwa y iliyozidishwa na derivative kutoka y. Kwa mfano, derivative ya istilahi itaandikwa kama , derivative ya istilahi itaandikwa kama . Ifuatayo, kutoka kwa haya yote unahitaji kuelezea "kiharusi hiki cha mchezo" na derivative inayotaka ya kazi iliyoainishwa kabisa itapatikana. Hebu tuangalie hili kwa mfano.

Mfano 1.

Suluhisho. Tunatofautisha pande zote mbili za equation kwa heshima na x, kwa kudhani kuwa i ni kazi ya x:

Kuanzia hapa tunapata derivative ambayo inahitajika katika kazi:

Sasa kitu kuhusu mali isiyoeleweka ya kazi iliyoainishwa kabisa, na kwa nini sheria maalum za utofautishaji wao zinahitajika. Katika baadhi ya matukio, unaweza kuthibitisha kuwa uingizwaji katika kupewa mlinganyo(tazama mifano hapo juu) badala ya y, usemi wake kupitia x husababisha ukweli kwamba mlinganyo huu unakuwa kitambulisho. Hivyo. Mlinganyo ulio hapo juu unafafanua kikamilifu kazi zifuatazo:

Baada ya kubadilisha usemi wa mchezo wa mraba kupitia x hadi mlingano asilia, tunapata utambulisho:

Semi ambazo tulibadilisha zilipatikana kwa kutatua mlingano wa mchezo.

Ikiwa tungetofautisha kipengele cha kukokotoa sambamba

basi tungepata jibu kama katika mfano 1 - kutoka kwa kazi iliyoainishwa kabisa:

Lakini sio kila chaguo la kukokotoa lililobainishwa kwa ukamilifu linaweza kuwakilishwa katika fomu y = f(x) . Kwa hivyo, kwa mfano, kazi zilizoainishwa kabisa

hazijaonyeshwa kupitia kazi za msingi, yaani, milinganyo hii haiwezi kutatuliwa kwa heshima na mchezaji. Kwa hivyo, kuna sheria ya kutofautisha kazi iliyoainishwa kwa uwazi, ambayo tayari tumesoma na itatumika mara kwa mara katika mifano mingine.

Mfano 2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa ulizopewa bila kuficha:

Tunaelezea msingi na - kwa matokeo - derivative ya kazi iliyoainishwa kabisa:

Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa ulizopewa bila kuficha:

Suluhisho. Tunatofautisha pande zote mbili za equation kwa heshima na x:

Mfano 4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa ulizopewa bila kuficha:

Suluhisho. Tunatofautisha pande zote mbili za equation kwa heshima na x:

Tunaelezea na kupata derivative:

Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa ulizopewa bila kuficha:

Suluhisho. Tunasonga masharti upande wa kulia wa equation kwa upande wa kushoto na kuacha sifuri upande wa kulia. Tunatofautisha pande zote mbili za mlingano kwa heshima na x.

Utendakazi dhabiti unaofafanuliwa na mfumo wa milinganyo

Kutokana na mfumo wa milinganyo

au kwa ufupi F(x,y)= 0. (6.7)

Ufafanuzi. Mfumo(6.7)inafafanua kwa ukamilifu kazi iliyopewa y=f(x)kwenye DÌR n

ikiwa "xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Nadharia (uwepo na upekee wa uchoraji wa ramani unaofafanuliwa kwa uwazi na mfumo wa milinganyo).Hebu

1) F i(x,y)kutoka (6.4) zimefafanuliwa na zina viasili vya sehemu vinavyoendelea vya mpangilio wa kwanza, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) katika maeneo ya U(M 0)pointi M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = ,y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Kisha katika kitongoji fulani cha U(x 0)kuna kazi ya kipekee (ramani) iliyofafanuliwa katika kitongoji hiki y = f(x), vile vile

"xU(x 0) :F(x, f(x))=0na y 0 =f(x 0).

Chaguo hili la kukokotoa linaweza kutofautishwa kila mara katika eneo fulani la nukta x 0 .

Kwa kuzingatia mfumo

Tutafikiri kwamba masharti ya nadharia ya kuwepo na upekee wa utendaji kamili uliobainishwa na mfumo huu wa milinganyo yameridhika. Hebu tuangazie kipengele hiki y=f(x) . Kisha katika kitongoji fulani cha uhakika x 0 vitambulisho ni halali

Kutofautisha vitambulisho hivi kwa x j tunapata

= 0.(6.9)

Usawa huu unaweza kuandikwa kwa namna ya matrix

au kwa namna iliyopanuliwa

Kumbuka kuwa mpito kutoka kwa usawa F(x, f(x))=0k , inalingana na kanuni za utofautishaji wa kesi wakati x Na y ni pointi za nafasi moja-dimensional. Kwa hali, matrix sio umoja, kwa hivyo equation ya matrix ina suluhisho. Kwa njia hii, inawezekana kupata derivatives ya sehemu ya utaratibu wa kwanza wa kazi zisizo wazi. Ili kupata tofauti tunaashiria

dy = , dx =, kutofautisha usawa (6.8), tunapata

au kwa namna ya matrix

Imepanuliwa

Kama ilivyo kwa viingilio vya sehemu, fomula (6.10) ina umbo sawa na kwa kesi ya nafasi zenye mwelekeo mmoja. n= 1, p= 1. Suluhisho la equation hii ya matrix itaandikwa kwa fomu. Ili kupata derivatives ya sehemu ya mpangilio wa pili, utahitaji kutofautisha vitambulisho (6.9) (ili kuhesabu tofauti za mpangilio wa pili, unahitaji kutofautisha vitambulisho (6.10)). Kwa hivyo, tunapata

wapi kupitia A masharti ambayo hayana zile zinazohitajika yameonyeshwa.

Matrix ya mgawo wa mfumo huu wa kubainisha derivatives ni matrix ya Jacobian.

Fomula sawa inaweza kupatikana kwa tofauti. Katika kila moja ya matukio haya, mlinganyo wa matrix utapatikana kwa mkusanyiko sawa wa mgawo katika mfumo wa milinganyo ili kubainisha derivatives au tofauti zinazohitajika. Kitu kimoja kitatokea wakati wa tofauti zifuatazo.

Mfano 1. Tafuta, kwa uhakika u= 1,v= 1.

Suluhisho. Tofautisha usawa uliotolewa

Kumbuka kwamba kutokana na hali ya tatizo inafuata kwamba tunapaswa kuzingatia vigezo vya kujitegemea x, y. Kisha kazi zitakuwa z, wewe, v. Kwa hivyo, mfumo (6.11) unapaswa kutatuliwa kwa heshima na haijulikani du, dv, dz. Katika fomu ya matrix inaonekana kama hii

Wacha tusuluhishe mfumo huu kwa kutumia sheria ya Cramer. Uamuzi wa matrix ya mgawo

Kiamuzi cha tatu "kilichobadilishwa". dz itakuwa sawa (tunaihesabu kwa kupanua safu ya mwisho)

dz = , Na,.

Wacha tutofautishe (6.11) kwa mara nyingine tena ( x, y - Vigezo vya kujitegemea)

Matrix ya mgawo wa mfumo ni sawa, kiashiria cha tatu

Kutatua mfumo huu, tunapata usemi wa d 2 z ambapo unaweza kupata derivative inayotaka.

6.3. Uchoraji wa ramani tofauti

Mipangilio inayotokana. Maonyesho ya kawaida. Hali muhimu na za kutosha kwa utegemezi wa kazi.

Wacha kitendakazi kibainishwe kwa ukamilifu kwa kutumia mlinganyo
(1) .
Na basi equation hii, kwa thamani fulani, iwe na suluhisho la kipekee. Wacha kitendakazi kiwe kitendakazi kinachoweza kutofautishwa kwa uhakika, na
.
Halafu, kwa thamani hii, kuna derivative, ambayo imedhamiriwa na formula:
(2) .

Ushahidi

Ili kuithibitisha, zingatia kazi kama kazi ngumu ya kutofautisha:
.
Wacha tutumie sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu na tutafute derivative kwa heshima ya kutofautisha kutoka kushoto na. sehemu za kulia milinganyo
(3) :
.
Kwa kuwa derivative ya mara kwa mara ni sifuri na, basi
(4) ;
.

Fomula imethibitishwa.

Vito vya mpangilio wa juu

Wacha tuandike tena equation (4) kwa kutumia nukuu tofauti:
(4) .
Wakati huo huo, na ni kazi ngumu za kutofautisha:
;
.
Utegemezi unaamuliwa na equation (1):
(1) .

Tunapata derivative kwa heshima ya kutofautiana kutoka pande za kushoto na kulia za equation (4).
Kulingana na fomula ya derivative ya kazi ngumu, tunayo:
;
.
Kulingana na fomula ya derivative ya bidhaa:

.
Kwa kutumia fomula ya jumla ya derivative:

.

Kwa kuwa derivative ya upande wa kulia wa equation (4) ni sawa na sifuri, basi
(5) .
Tukibadilisha derivative hapa, tunapata thamani ya derivative ya mpangilio wa pili katika umbo kamili.

Kutofautisha mlinganyo (5) kwa njia sawa, tunapata mlinganyo ulio na derivative ya mpangilio wa tatu:
.
Kubadilisha hapa maadili yaliyopatikana ya derivatives ya agizo la kwanza na la pili, tunapata thamani ya derivative ya agizo la tatu.

Kuendelea kutofautisha, mtu anaweza kupata derivative ya utaratibu wowote.

Mifano

Mfano 1

Tafuta derivative ya mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa ulizopewa bila ukamilifu na mlinganyo:
(P1) .

Suluhisho kwa formula 2

Tunapata derivative kwa kutumia formula (2):
(2) .

Wacha tuhamishe anuwai zote upande wa kushoto ili equation ichukue fomu .
.
Kutoka hapa.

Tunapata derivative kwa heshima na , kwa kuzingatia mara kwa mara.
;
;
;
.

Tunapata derivative kwa heshima ya kutofautiana, kwa kuzingatia kutofautiana mara kwa mara.
;
;
;
.

Kwa kutumia formula (2) tunapata:
.

Tunaweza kurahisisha matokeo ikiwa tunatambua kwamba kulingana na equation ya awali (A.1), . Hebu tubadilishe:
.
Zidisha nambari na denominata kwa:
.

Suluhisho la njia ya pili

Hebu tutatue mfano huu kwa njia ya pili. Ili kufanya hivyo, tutapata derivative kwa heshima ya kutofautiana kwa pande za kushoto na za kulia za equation ya awali (A1).

Tunatuma maombi:
.
Tunatumia fomula ya sehemu ya derivative:
;
.
Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano:
.
Wacha tutofautishe mlinganyo wa asili (A1).
(P1) ;
;
.
Tunazidisha na kuweka masharti.
;
.

Wacha tubadilishe (kutoka kwa mlinganyo (A1)):
.
Zidisha kwa:
.

Jibu

Mfano 2

Pata derivative ya mpangilio wa pili wa chaguo za kukokotoa ulizopewa kwa ukamilifu kwa kutumia equation:
(A2.1) .

Suluhisho

Tunatofautisha equation ya asili kwa heshima na kutofautisha, kwa kuzingatia kuwa ni kazi ya:
;
.
Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano.
.

Wacha tutofautishe mlinganyo wa asili (A2.1):
;
.
Kutoka kwa equation ya asili (A2.1) inafuata kwamba . Hebu tubadilishe:
.
Fungua mabano na upange washiriki:
;
(A2.2) .
Tunapata derivative ya agizo la kwanza:
(A2.3) .

Ili kupata derivative ya mpangilio wa pili, tunatofautisha equation (A2.2).
;
;
;
.
Hebu tubadilishe usemi huo kwa derivative ya mpangilio wa kwanza (A2.3):
.
Zidisha kwa:

;
.
Kuanzia hapa tunapata derivative ya mpangilio wa pili.

Jibu

Mfano 3

Pata derivative ya mpangilio wa tatu wa chaguo za kukokotoa ulizopewa kwa ukamilifu kwa kutumia mlinganyo:
(A3.1) .

Suluhisho

Tunatofautisha mlinganyo wa asili kwa heshima na utofauti, tukichukulia kuwa ni kazi ya .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Wacha tutofautishe equation (A3.2) kwa heshima ya kutofautisha.
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Hebu tutofautishe equation (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Kutoka kwa milinganyo (A3.2), (A3.3) na (A3.4) tunapata maadili ya derivatives katika .
;
;
.