การนำเสนอในหัวข้อ Combinatorics การนำเสนอในหัวข้อ: องค์ประกอบของ Combinatorics!!! การประยุกต์ทฤษฎีกราฟ

1 สไลด์

เราไม่จำเป็นต้องถือดาบ เราไม่แสวงหาเกียรติยศอันดัง เขาชนะผู้ที่คุ้นเคยกับศิลปะแห่งการคิดที่ละเอียดอ่อน กวีชาวอังกฤษ เวิร์ดสเวิร์ธ

2 สไลด์

บทนำ วัตถุประสงค์ของงาน วัตถุประสงค์ของงาน “Combinatorics” คืออะไร? ประวัติความเป็นมา กฎสำหรับการแก้ปัญหาเชิงรวม กฎผลรวม กฎผลิตภัณฑ์ ชุดค่าผสม มีการทำซ้ำ ไม่มีการซ้ำซ้อน อรรถาภิธาน รายการวรรณกรรมที่ใช้และแหล่งข้อมูลบนเว็บ บทสรุป หน้าผู้เขียน

3 สไลด์

สร้างคู่มืออ้างอิงสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10-11 กำลังศึกษาในระดับพื้นฐานในสถาบันการศึกษา เตรียมส่วนแรกของโครงการขนาดใหญ่ “ทฤษฎีความน่าจะเป็นปรากฏการณ์ที่พบบ่อยที่สุดในชีวิตของเรา”

4 สไลด์

1.1 เลือกวรรณกรรมและแหล่งข้อมูลบนเว็บในหัวข้อ “Combinatorics” 1.2 สำรวจวิธีการที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการแก้ปัญหาเชิงผสมผสานโดยอิงจากชีวิตจริง 1.3 ติดตามประวัติความเป็นมาของการระบุสาขาวิชาคณิตศาสตร์อิสระ - เชิงผสม 2.1 ให้เหตุผลว่าการศึกษาหลักสูตรวิชาผสมผสานในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายมีความจำเป็นอย่างแท้จริง ในการดำเนินการตามหลักสูตรบนหลักการความต่อเนื่องของการศึกษา “โรงเรียน - มหาวิทยาลัย” 2.2 สรุปทางเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการแนะนำหลักสูตรเชิงผสมผสานในพื้นที่การศึกษาของโรงเรียน 2.3 เลือกวัสดุสำหรับสร้างหนังสืออ้างอิง

5 สไลด์

บุคคลมักจะต้องจัดการกับปัญหาที่เขาต้องนับจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการวางวัตถุบางอย่างหรือจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการดำเนินการบางอย่าง เส้นทางหรือตัวเลือกต่างๆ ที่บุคคลต้องเลือกนั้นรวมกันได้หลากหลาย ปัญหาดังกล่าวจะต้องได้รับการพิจารณาเมื่อพิจารณาถึงการสื่อสารที่ได้เปรียบที่สุดภายในเมือง เมื่อจัดระบบควบคุมอัตโนมัติ และในทฤษฎีความน่าจะเป็นและในสถิติทางคณิตศาสตร์ที่มีการประยุกต์มากมายทั้งหมด และสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์กำลังยุ่งอยู่กับการค้นหาคำตอบสำหรับคำถาม: ในกรณีที่กำหนดมีชุดค่าผสมกี่ชุด?

6 สไลด์

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งมีการศึกษาและแก้ไขปัญหาในการเลือกองค์ประกอบจากเซตเริ่มต้นและการจัดเรียงให้เป็นชุดค่าผสมตามกฎที่กำหนด

7 สไลด์

Combinatorics เป็นวิทยาศาสตร์เริ่มพัฒนาในศตวรรษที่ 13 ขนานไปกับการเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็น การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ครั้งแรกในหัวข้อนี้เป็นของนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลี G. Cardano, N. Chartalier (1499-1557), G. Galileo (1564-1642) และนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส B. Piscamo (1623-1662) และ P. Fermat นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน G. Leibniz เป็นคนแรกที่ถือว่า Combinatorics เป็นสาขาคณิตศาสตร์อิสระในงานของเขาเรื่อง "On the Art of Combinatorics" ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1666 เขายังเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "Combinatorics" เป็นครั้งแรกอีกด้วย

8 สไลด์

สไลด์ 9

ภารกิจ: บนโต๊ะมีดินสอสีดำ 3 แท่งและสีแดง 5 แท่ง คุณสามารถเลือกดินสอสีใดก็ได้ได้กี่วิธี? วิธีแก้ไข: คุณสามารถเลือกดินสอสีใดก็ได้โดยวิธี 5+3=8 วิธี กฎผลรวมในเชิงการจัด: หากองค์ประกอบ a สามารถเลือกได้ในรูปแบบ m และองค์ประกอบ b ในรูปแบบ n และการเลือกองค์ประกอบ a แตกต่างจากการเลือกองค์ประกอบใดๆ ใน b ดังนั้นตัวเลือก "a หรือ b" สามารถทำได้ใน วิธี m + n ปัญหาตัวอย่าง

10 สไลด์

ภารกิจ: ในชั้นเรียน นักเรียน 10 คนเล่นกีฬา นักเรียนที่เหลือ 6 คนเข้าชมรมเต้นรำ 1) สามารถเลือกนักเรียนได้กี่คู่ โดยให้คนหนึ่งเป็นนักกีฬา อีกคนหนึ่งเป็นนักเต้น 2) นักเรียนคนหนึ่งมีทางเลือกกี่ตัวเลือก? วิธีแก้ไข: 1) ความเป็นไปได้ในการเลือกนักกีฬา 10 คน และสำหรับนักกีฬา 10 คนจะมีนักเต้น 6 คน ซึ่งหมายความว่าความเป็นไปได้ในการเลือกคู่นักเต้นและนักกีฬาคือ 10·6=60 2) ความเป็นไปได้ในการเลือกนักเรียนหนึ่งคน 10+6=16

11 สไลด์

ปัญหา: มีถนน 3 สายที่ทอดจากเมือง A ไปยังเมือง B และจากเมือง B ไปยังเมือง C มีถนน 4 สาย มีกี่เส้นทางที่ผ่าน B นำจาก A ถึง C? วิธีแก้ไข: คุณสามารถให้เหตุผลดังนี้: สำหรับแต่ละเส้นทางจาก A ถึง B มีสี่วิธีในการเลือกถนนจาก B ถึง C จำนวนเส้นทางทั้งหมดจาก A ถึง C เท่ากับผลคูณ 3·4 , เช่น. 12. กฎผลิตภัณฑ์: ให้คุณเลือกองค์ประกอบ k รายการ หากองค์ประกอบแรกสามารถเลือกได้ n1 วิธี องค์ประกอบที่สองด้วยวิธี n2 เป็นต้น จำนวนวิธีที่องค์ประกอบ k เท่ากับผลคูณ n1 · n2 ·... nк ปัญหาตัวอย่าง

12 สไลด์

ปัญหา: ในโรงอาหารของโรงเรียนมีหลักสูตรแรก 5 วินาที และ 4 หลักสูตรที่สาม นักเรียนสามารถเลือกอาหารกลางวันที่ประกอบด้วยหลักสูตรที่หนึ่ง สอง และสามได้กี่วิธี? วิธีแก้ไข: อาหารจานแรกสามารถเลือกได้ 2 วิธี แต่ละตัวเลือกของหลักสูตรแรกจะมี 5 หลักสูตรที่สอง สองจานแรกสามารถเลือกได้ 2·5=10 วิธี และสุดท้าย สำหรับทุก ๆ 10 ตัวเลือกเหล่านี้ มีความเป็นไปได้สี่ทางในการเลือกอาหารจานที่สาม กล่าวคือ มีวิธีทำอาหารสามคอร์สได้ 2·5·4 วิธี ดังนั้นอาหารกลางวันสามารถจัดเตรียมได้ 40 วิธี

สไลด์ 13

สไลด์ 14

15 สไลด์

การจัดเรียงองค์ประกอบ n โดย k (k≤n) คือเซตใดๆ ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ k ใดๆ ที่ได้รับในลำดับที่แน่นอนจากองค์ประกอบ n ที่กำหนด จำนวนตำแหน่งทั้งหมดขององค์ประกอบ n ตัวด้วย m แสดงด้วย: ตัวอย่างของปัญหา n! – แฟกทอเรียลของจำนวน n

16 สไลด์

ปัญหา: เด็กผู้ชาย 4 คนสามารถเชิญเด็กผู้หญิง 4 ใน 6 คนมาเต้นรำได้กี่วิธี? วิธีแก้ไข: เด็กชายสองคนไม่สามารถเชิญผู้หญิงคนเดียวกันในเวลาเดียวกันได้ และตัวเลือกที่ผู้หญิงคนเดียวกันเต้นรำกับเด็กผู้ชายต่างกันก็ถือว่าแตกต่างกัน ดังนั้น: มีตัวเลือก 360 แบบ

สไลด์ 17

การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n คือการจัดเรียงองค์ประกอบเหล่านี้ตามลำดับที่แน่นอน จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดขององค์ประกอบ n เขียนแทนด้วย Pn Pn=n! ปัญหาตัวอย่าง

18 สไลด์

Quartet Naughty Monkey Donkey, Goat, Yes, clubfooted Bear พวกเขาเริ่มเล่นสี่... หยุดก่อนพี่น้องหยุด! - ลิงตะโกน - เดี๋ยวก่อน! เพลงควรจะเป็นยังไงบ้าง? ท้ายที่สุดแล้ว คุณไม่ได้นั่งแบบนั้น... และคุณเปลี่ยนที่นั่งด้วยวิธีนี้และนั่น – อีกครั้งที่ดนตรีไม่ค่อยดีนัก ตอนนี้พวกเขามีการถกเถียงและโต้เถียงกันมากขึ้นกว่าเดิมว่าใครควรนั่งและอย่างไร... การตัดสินใจ

20 สไลด์

การรวมกันที่ไม่มีการทำซ้ำคือการจัดเรียงที่ลำดับขององค์ประกอบไม่สำคัญ ดังนั้นจำนวนตัวเลือกเมื่อรวมกันจะน้อยกว่าจำนวนตำแหน่ง จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n โดย m แสดงโดย: ตัวอย่างของปัญหา

21 สไลด์

ปัญหา: มีปุ่มสามปุ่มรวมกันกี่ปุ่มบนรหัสล็อคแบบรหัส (กดปุ่มทั้งสามปุ่มพร้อมกัน) หากมีตัวเลขเพียง 10 หลัก วิธีแก้ไข: เนื่องจากการกดปุ่มพร้อมกัน การเลือกสามปุ่มนี้จึงเป็นการรวมกัน จากที่นี่เป็นไปได้:

22 สไลด์

บ่อยครั้งในปัญหาเชิงรวมจะมีชุดที่องค์ประกอบบางอย่างถูกทำซ้ำ ตัวอย่างเช่น ในโจทย์จำนวน - ตัวเลข สำหรับปัญหาดังกล่าว จะใช้สูตรต่อไปนี้ โดยที่ n คือจำนวนองค์ประกอบทั้งหมด n1,n2,…,nr คือจำนวนองค์ประกอบที่เหมือนกัน ตัวอย่างงาน ตัวอย่างงาน ตัวอย่างงาน

สไลด์ 23

ปัญหา: สามารถสร้างตัวเลขสามหลักจากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่จำนวน? วิธีแก้ปัญหา: เนื่องจากลำดับของตัวเลขในตัวเลขมีความสำคัญ ตัวเลขจึงสามารถทำซ้ำได้ จากนั้นสิ่งเหล่านี้จะเป็นตำแหน่งที่มีการทำซ้ำขององค์ประกอบห้าในสาม และจำนวนของพวกมันจะเท่ากับ:

24 สไลด์

ภารกิจ: ร้านขายขนมขายเค้ก 4 ประเภท: เอแคลร์ ขนมชนิดร่วน นโปเลียน และขนมพัฟ คุณสามารถซื้อเค้ก 7 ชิ้นได้กี่วิธี? วิธีแก้ไข: การซื้อไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับการวางเค้กที่ซื้อมาในกล่อง การซื้อจะแตกต่างกันหากจำนวนเค้กที่ซื้ออย่างน้อยหนึ่งประเภทแตกต่างกัน ดังนั้นจำนวนการซื้อที่แตกต่างกันจึงเท่ากับจำนวนการรวมเค้กสี่ประเภทอย่างละเจ็ดชิ้น -

สไลด์ 27

เราเชื่อว่างานบรรลุเป้าหมาย เราได้รวบรวมหนังสือเรียนอ้างอิงที่มีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้คณิตศาสตร์ในโรงเรียนมีชีวิตชีวาด้วยการแนะนำปัญหาที่น่าสนใจที่จะทำให้เกิดคำถามเชิงทฤษฎีสำหรับนักเรียน งานนี้มีไว้สำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ที่กำลังศึกษาในระดับพื้นฐานสถาบันการศึกษาเพื่อเพิ่มพูนความรู้ทางคณิตศาสตร์ ลักษณะเด่นของคู่มือเล่มนี้คือ: ส่วนทางทฤษฎีที่เป็นไปได้สำหรับนักเรียนในระดับที่สาม; การคัดเลือกและรวบรวมงานตามวัตถุแห่งชีวิตและโครงเรื่องในเทพนิยาย เราหวังว่างานของเราจะดึงดูดความสนใจของนักเรียน ช่วยพัฒนาขอบเขตและการคิดของพวกเขา และมีส่วนช่วยในการเตรียมตัวที่ดีขึ้นสำหรับการผ่านการสอบ Unified State

28 สไลด์

นักเรียน: Dmitry Zakharov ชั้นเรียน: 10 หัวหน้า: Toropova Nina Anatolyevna สถาบันการศึกษาเทศบาล “ โรงเรียนมัธยมศึกษาที่มีการศึกษาเชิงลึกของแต่ละวิชาหมายเลข 5”, ครัสโนยาสค์

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนค่าผสมต่างๆ ที่สามารถสร้างจากวัตถุที่กำหนดได้ตามเงื่อนไขบางประการ
คำว่า "combinatorics" มาจากคำภาษาละติน "combinare" ซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซียแปลว่า "รวม", "เชื่อมต่อ"
คำว่า "combinatorics" ได้รับการแนะนำโดย Gottfried Wilhelm Leibniz นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันผู้โด่งดังระดับโลก

Combinatorics เป็นสาขาสำคัญของคณิตศาสตร์
ความรู้ที่จำเป็นสำหรับตัวแทนจากหลากหลายสาขา นักฟิสิกส์ นักเคมี นักชีววิทยา นักภาษาศาสตร์ ผู้เชี่ยวชาญด้านรหัส ฯลฯ ต้องรับมือกับปัญหาเชิงผสมผสาน
วิธีการเชิงผสมผสานรองรับการแก้ปัญหาทางทฤษฎีหลายประการ
ความน่าจะเป็นและ
การใช้งานของมัน

ในสมัยกรีกโบราณ

นับจำนวนพยางค์สั้นและยาวรวมกันเป็นเมตรกวี ศึกษาทฤษฎีตัวเลขคิด ศึกษาตัวเลขที่สามารถสร้างจากส่วนต่าง ๆ เป็นต้น

เมื่อเวลาผ่านไป มีเกมต่างๆ ปรากฏขึ้น
(แบ็คแกมมอน ไพ่ หมากฮอส หมากรุก ฯลฯ)

ในแต่ละเกมเหล่านี้ จะต้องพิจารณาการผสมตัวเลขที่แตกต่างกัน และผู้ชนะคือผู้ที่ศึกษาพวกมันให้ดีขึ้น รู้จักการผสมตัวเลขที่ชนะ และรู้วิธีหลีกเลี่ยงการสูญเสีย

ก็อตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ (07/1/1646 - 11/14/1716)

นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน G. Leibniz เป็นคนแรกที่ถือว่า Combinatorics เป็นสาขาคณิตศาสตร์อิสระในงานของเขาเรื่อง "On the Art of Combinatorics" ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1666 เขายังเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "Combinatorics" เป็นครั้งแรกอีกด้วย

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์(1707-1783)

ปัญหาเกี่ยวกับการแบ่งหมายเลข การจับคู่ การจัดเรียงแบบวน การสร้างเวทมนตร์และสี่เหลี่ยมลาติน ถือเป็นการวางรากฐานสำหรับการวิจัยสาขาใหม่โดยสิ้นเชิง ซึ่งต่อมาได้เติบโตขึ้นเป็นศาสตร์แห่งโทโพโลยีที่มีขนาดใหญ่และสำคัญ ซึ่งศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของอวกาศและตัวเลข

ถ้าวัตถุ A บางตัวสามารถเลือกได้เป็น m และวัตถุ B อีกอันสามารถเลือกได้ n วิธี ดังนั้นตัวเลือก "A หรือ B" ก็สามารถทำได้ด้วยวิธี (m+n)

ถ้าวัตถุ A บางตัวสามารถเลือกได้เป็น m และวัตถุ B อีกอันสามารถเลือกได้ n วิธี ดังนั้นตัวเลือก "A หรือ B" ก็สามารถทำได้ด้วยวิธี (m+n)
เมื่อใช้กฎผลรวม คุณต้องแน่ใจว่าไม่มีวิธีการใดในการเลือกวัตถุ A เกิดขึ้นพร้อมกับวิธีการใดๆ ในการเลือกวัตถุ B
หากมีรายการที่ตรงกัน กฎผลรวมจะใช้ไม่ได้อีกต่อไป และเราได้รับเฉพาะวิธีการเลือก (m + n - k) โดยที่ k คือจำนวนรายการที่ตรงกัน

ในกล่องมีลูกบอล 10 ลูก ได้แก่ สีขาว 3 ลูก สีดำ 2 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และสีแดง 4 ลูก คุณสามารถนำลูกบอลสีออกจากกล่องได้กี่วิธี?

ในกล่องมีลูกบอล 10 ลูก ได้แก่ สีขาว 3 ลูก สีดำ 2 ลูก สีน้ำเงิน 1 ลูก และสีแดง 4 ลูก คุณสามารถนำลูกบอลสีออกจากกล่องได้กี่วิธี?
สารละลาย:
ลูกบอลสีอาจเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง ดังนั้นเราจึงใช้กฎผลรวม:

หากสามารถเลือกวัตถุ A ได้ใน m วิธี และหากหลังจากแต่ละตัวเลือกดังกล่าวสามารถเลือกวัตถุ B ได้ n วิธี การเลือกคู่ (A, B) ในลำดับที่ระบุสามารถทำได้ใน mn วิธี

หากสามารถเลือกวัตถุ A ได้ใน m วิธี และหากหลังจากแต่ละตัวเลือกดังกล่าวสามารถเลือกวัตถุ B ได้ n วิธี การเลือกคู่ (A, B) ในลำดับที่ระบุสามารถทำได้ใน mn วิธี
ในกรณีนี้ จำนวนวิธีในการเลือกองค์ประกอบที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการเลือกองค์ประกอบแรกอย่างแน่นอน

สามารถมีเหรียญที่แตกต่างกันได้กี่แบบ?

สามารถมีเหรียญที่แตกต่างกันได้กี่แบบ?
ข้างเมื่อโยนลูกเต๋าสองลูก?
สารละลาย:
ลูกเต๋าลูกแรกสามารถมีได้ 1,2,3,4,5 และ 6 แต้ม เช่น 6 ตัวเลือก
อันที่ 2 มี 6 ทางเลือก
ทั้งหมด: 6*6=36 ตัวเลือก

กฎผลรวมและผลคูณเป็นจริงสำหรับออบเจ็กต์จำนวนเท่าใดก็ได้

ลำดับที่ 1. มีถนน 6 สายที่ทอดจากเมือง A ไปยังเมือง B และถนน 3 สายจากเมือง B ไปยังเมือง C คุณสามารถเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ได้กี่วิธี?

ลำดับที่ 1. มีถนน 6 สายที่ทอดจากเมือง A ไปยังเมือง B และถนน 3 สายจากเมือง B ไปยังเมือง C คุณสามารถเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ได้กี่วิธี?
ลำดับที่ 2. บนชั้นหนังสือมีหนังสือเกี่ยวกับพีชคณิต 3 เล่ม เรขาคณิต 7 เล่ม และวรรณกรรม 2 เล่ม คุณสามารถหยิบหนังสือคณิตศาสตร์หนึ่งเล่มจากชั้นวางได้กี่วิธี?
ลำดับที่ 3. เมนูประกอบด้วย 4 คอร์สแรก 3 คอร์สหลัก และ 2 ของหวาน คุณสามารถทำอาหารกลางวันได้กี่แบบ?

"เอนแฟกทอเรียล" -n!.

คำนิยาม.
ผลคูณของลำดับแรก n
จำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย n! และโทร
“en factorial”: n!=1 2 3 … (n-1) n

1 2 3=

1 2 3 4=

1 2 3 4 5=

1 2 3 4 5 6=

1 2 3 4 5 6 7=

น!=(n-1)! n

สูตรสะดวก!!!

การรวมกันขององค์ประกอบ n ที่แตกต่างกันตามลำดับที่องค์ประกอบปรากฏเท่านั้นเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน

การรวมกันขององค์ประกอบ n ที่แตกต่างกันตามลำดับที่องค์ประกอบปรากฏเท่านั้นเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน
กำหนดโดย ภณ

การจัดเรียงใหม่

สร้างตัวเลขสามหลักจากตัวเลข 1, 5, 9
ตัวเลขโดยไม่ต้องมีตัวเลขซ้ำ

2 ชุดค่าผสม

2 ชุดค่าผสม

2 ชุดค่าผสม

รวม 2 3=6 ชุดค่าผสม

การรวมกันขององค์ประกอบ n ใน k ซึ่งมีองค์ประกอบและลำดับต่างกัน เรียกว่าตำแหน่ง

การรวมกันขององค์ประกอบ n ใน k ซึ่งมีองค์ประกอบและลำดับต่างกัน เรียกว่าตำแหน่ง

ตำแหน่ง

การรวมกันขององค์ประกอบ n โดย ถึง ถึง.

การรวมกันขององค์ประกอบ n โดย ถึงต่างกันเพียงองค์ประกอบขององค์ประกอบเท่านั้น เรียกว่าการรวมกันขององค์ประกอบ n ตาม ถึง.

การรวมกัน

จากนักเรียน 20 คน คุณต้องเลือกเจ้าหน้าที่ปฏิบัติหน้าที่สองคน

จากนักเรียน 20 คน คุณต้องเลือกเจ้าหน้าที่ปฏิบัติหน้าที่สองคน
สามารถทำได้กี่วิธี?

สารละลาย:

คุณต้องเลือกสองคนจาก 20 คน
เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีอะไรขึ้นอยู่กับลำดับการเลือกนั่นคือ
Ivanov - Petrov หรือ Petrov - Ivanov เป็นหนึ่งเดียว
และผู้รับใช้คู่เดียวกัน ดังนั้น สิ่งเหล่านี้จะเป็นค่าผสมของ 20 คูณ 2

1. จากตัวอักษรของคำว่าแฟรกเมนต์สามารถสร้างคำได้กี่คำหากคำนั้นต้องประกอบด้วย: 8 ตัวอักษร; จำนวน 7 ตัวอักษร; จาก 3 ตัวอักษร?

1. จากตัวอักษรของคำว่าแฟรกเมนต์สามารถสร้างคำได้กี่คำหากคำนั้นต้องประกอบด้วย: 8 ตัวอักษร; จำนวน 7 ตัวอักษร; จาก 3 ตัวอักษร?
2. นักเรียนจะต้องผ่านการสอบ 4 ครั้งภายในสิบวัน คุณสามารถกำหนดเวลาการสอบของเขาได้กี่วิธี?
3. สามารถเลือกคณะกรรมการที่ประกอบด้วยสมาชิกห้าคนจากคนแปดคนได้กี่วิธี?
4. ป้ายทะเบียนที่มีเลข 5 หลักมีกี่แบบถ้าอันแรกไม่ใช่ศูนย์? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลขประกอบด้วยตัวอักษรหนึ่งตัวตามด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สี่หลัก?
5. ผู้รับเหมาต้องการช่างไม้ 4 คน และ 10 คนได้ติดต่อเขาพร้อมเสนอบริการแล้ว เขาสามารถเลือกช่างไม้ 4 คนได้กี่วิธี?
6. สามารถจัดหนังสือเจ็ดเล่มบนชั้นวางได้กี่วิธี?
7. คุณสามารถสร้างคำที่มีตัวอักษร 5 ตัวโดยใช้ตัวอักษรที่แตกต่างกัน 10 ตัวได้กี่คำ
8. คุณสามารถเลือกผลไม้หลายชนิดจากแอปเปิ้ลเจ็ดลูก มะนาวสี่ลูก และส้มเก้าลูกได้กี่วิธี (ผลไม้ชนิดเดียวกันถือว่าแยกไม่ออก)

Petrov Vladimir นักเรียนกลุ่มที่ 12 ของสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐ SO NPO "โรงเรียนอาชีวศึกษาหมายเลข 22", Saratov

งานนำเสนอกล่าวถึงตัวอย่างการแก้ปัญหาการค้นหาการเรียงสับเปลี่ยน ตำแหน่ง และการรวมกัน

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

องค์ประกอบของการจัดตำแหน่ง: การเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน และตำแหน่ง การนำเสนอจัดทำโดย Vladimir Petrov นักเรียนกลุ่ม 12 ของสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐ SO NPO

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ยุ่งอยู่กับการค้นหาคำตอบของคำถาม เช่น กรณีที่กำหนดมีชุดค่าผสมทั้งหมดกี่ชุด วิธีเลือกชุดที่ดีที่สุดจากชุดค่าผสมเหล่านี้ทั้งหมด คำว่า "combinatorics" มาจากคำภาษาละติน "combinare" ซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซียแปลว่า "รวม", "เชื่อมต่อ" คำว่า "combinatorics" ได้รับการแนะนำโดย Gottfried Wilhelm Leibniz นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันผู้โด่งดังระดับโลก

ปัญหาเชิงผสมแบ่งออกเป็นหลายกลุ่ม: ปัญหาการเรียงสับเปลี่ยน ปัญหาการจัดตำแหน่ง ปัญหาการรวมกัน

ปัญหาในการจัดเรียงหนังสือ 3 เล่มที่แตกต่างกันสามารถจัดวางบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี? นี่คือปัญหาการเรียงสับเปลี่ยน

เขียนว่า! อ่านได้ดังนี้: “en factorial” Factorial คือผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง n เช่น 4! = 1*2*3*4 = 24 น! = 1 · 2 · 3 · ... ·น.

ไม่มี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ไม่! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 แฟกทอเรียลเติบโตอย่างรวดเร็วอย่างน่าประหลาดใจ:

งาน. ผู้เข้าร่วม 8 คนในการแข่งขันรอบสุดท้ายสามารถจัดบนลู่วิ่งไฟฟ้า 8 เครื่องได้กี่วิธี? P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n คือการจัดเรียงองค์ประกอบเหล่านี้ตามลำดับที่แน่นอน Pn = 1 · 2 · 3 · ... ·n พน=น!

งาน. Quartet Naughty Monkey Donkey, Goat, Yes, clubfooted Bear พวกเขาเริ่มเล่นสี่... หยุดก่อนพี่น้องหยุด! - ลิงตะโกน - เดี๋ยวก่อน! เพลงควรจะเป็นยังไงบ้าง? ท้ายที่สุดแล้ว คุณไม่ได้นั่งแบบนั้น... และคุณเปลี่ยนที่นั่งด้วยวิธีนี้และนั่น – อีกครั้งที่ดนตรีไม่ค่อยดีนัก ตอนนี้พวกเขามีการถกเถียงและโต้เถียงกันมากขึ้นกว่าเดิมว่าใครควรนั่ง และอย่างไร... นักดนตรีสี่คนสามารถนั่งได้กี่วิธี? พ = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

งานตำแหน่ง

ปัญหา: เรามีหนังสือ 5 เล่ม โดยที่เรามีชั้นวางเพียงชั้นเดียวและสามารถเก็บหนังสือได้เพียง 3 เล่มเท่านั้น หนังสือ 3 เล่มสามารถจัดวางบนชั้นวางได้กี่วิธี? เราเลือกหนังสือ 1 เล่มจาก 5 เล่มและวางไว้อันดับแรกบนชั้นวาง เราสามารถทำได้ 5 วิธี ตอนนี้เหลือสองที่บนชั้นวางและเราเหลือหนังสืออีก 4 เล่ม เราสามารถเลือกหนังสือเล่มที่สองได้ 4 วิธีและวางไว้ถัดจากหนังสือเล่มใดเล่มหนึ่งจาก 5 เล่มแรกที่เป็นไปได้ สามารถมีได้ 5·4 คู่ดังกล่าว มี 3 เล่ม เหลือ 1 ที่ครับ สามารถเลือกหนังสือเล่มหนึ่งจาก 3 เล่มได้ 3 วิธีและวางถัดจากคู่ 5·4 ที่เป็นไปได้ คุณจะได้แฝดสามที่แตกต่างกัน 5·4·3 ซึ่งหมายความว่าจำนวนวิธีทั้งหมดเพื่อวางหนังสือ 3 เล่มจาก 5 เล่มคือ 5·4·3 = 60 นี่เป็นปัญหาการจัดวาง

การจัดเรียงองค์ประกอบ n ตัวด้วย k (k≤n) คือเซตใดๆ ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ k ตามลำดับที่แน่นอนจากองค์ประกอบ n ที่กำหนด

งาน. นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 เรียน 9 วิชา คุณสามารถสร้างตารางเวลาสำหรับหนึ่งวันเพื่อให้มี 4 วิชาที่แตกต่างกันได้กี่วิธี ก 4 9 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

ตัดสินใจด้วยตัวเอง: มีนักเรียน 27 คนในชั้นเรียน คุณต้องส่งนักเรียนคนหนึ่งไปเอาชอล์ก คนที่สองไปปฏิบัติหน้าที่ในโรงอาหาร และคนที่สามไปเรียกกระดานดำ สามารถทำได้กี่วิธี?

ปัญหาการรวมกัน: ปัญหา คุณสามารถจัดเรียงหนังสือ 3 เล่มบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี หากคุณเลือกหนังสือจากหนังสือ 5 เล่มที่แยกไม่ออกภายนอกที่มีอยู่ หนังสือภายนอกแยกไม่ออก แต่มันแตกต่างและสำคัญมาก! หนังสือเหล่านี้มีเนื้อหาแตกต่างกัน สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อองค์ประกอบขององค์ประกอบตัวอย่างมีความสำคัญ แต่ลำดับการจัดเรียงไม่สำคัญ 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 คำตอบ: 10 นี่เป็นปัญหาการรวมกัน

การรวมกันขององค์ประกอบ n โดย k คือเซตใดๆ ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ k ที่เลือกจากองค์ประกอบ n ที่กำหนด

งาน. ในชั้นเรียนมีคน 7 คนที่ประสบความสำเร็จในการทำคณิตศาสตร์ คุณสามารถเลือกสองคนที่จะเข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกได้กี่วิธี? ค 7 2 = = 21

ตัดสินใจด้วยตัวเอง: ในชั้นเรียน 7 นักเรียนทำได้ดีในวิชาคณิตศาสตร์ สามารถเลือกสองคนที่จะส่งเข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกได้กี่วิธี?

ลักษณะพิเศษของปัญหาเชิงผสมผสานคือคำถามที่สามารถกำหนดได้โดยขึ้นต้นด้วยคำว่า “มีกี่วิธี...” หรือ “มีกี่ตัวเลือก...”

การเรียงสับเปลี่ยน ตำแหน่ง การรวมกันของ n องค์ประกอบ n เซลล์ n องค์ประกอบ k เซลล์ n องค์ประกอบ k เซลล์ เรื่องการสั่งซื้อ เรื่องการสั่งซื้อ การสั่งซื้อไม่สำคัญ มาสร้างตารางกันดีกว่า:

แก้ไขปัญหาด้วยตัวเอง: 1. ในกล่องมีลูกบอลสีขาว 10 ลูกและสีดำ 6 ลูก ลูกบอลสีใดก็ได้ 1 ลูกสามารถดึงออกจากกล่องได้กี่วิธี? 2. Olga จำได้ว่าหมายเลขโทรศัพท์ของเพื่อนของเธอลงท้ายด้วยตัวเลขสามตัว 5, 7, 8 แต่เธอลืมว่าหมายเลขเหล่านี้อยู่ในลำดับใด ระบุตัวเลือกจำนวนมากที่สุดที่เธอจะต้องผ่านเพื่อให้เพื่อนของเธอผ่าน 3. ร้านค้า Philately จำหน่ายแสตมป์ที่แตกต่างกัน 8 ชุดสำหรับธีมกีฬาโดยเฉพาะ คุณสามารถเลือก 3 ชุดจากพวกเขาได้กี่วิธี?

องค์ประกอบของเชิงผสม เกรด 9 -11ครูโรงเรียนมัธยม MBOU Kochnevskaya กรีซโนวา เอ.เค.คำถามหลัก:

Combinatorics คืออะไร?

ปัญหาอะไรบ้างที่ถือว่าเป็นการรวมกัน?

การจัดเรียงใหม่
ตำแหน่ง
การรวมกัน

อย่าเถียงกัน - มาคำนวณกัน จี. ไลบ์นิทซ์

เชิงผสม– สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการนับจำนวนชุดค่าผสมที่ทำตามกฎบางอย่าง

ครั้งที่สอง ปัญหาอะไรบ้างที่ถือว่าเป็นการรวมกัน?ปัญหาเชิงผสม ปัญหาในการนับจำนวนชุดค่าผสมจากองค์ประกอบจำนวนจำกัด

เชิงผสม– มาจากคำภาษาละติน รวมกัน,ซึ่งหมายถึง “เชื่อมต่อ รวมกัน”
วิธีการเชิงผสมผสานมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ และความรู้สาขาอื่นๆ
เชิงผสมถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีเซต - ปัญหาเชิงร่วมใดๆ สามารถลดลงเป็นปัญหาเกี่ยวกับเซตจำกัดและการแมปของเซตนั้นได้

I. ระดับของการแก้ปัญหาเชิงผสมผสาน 1. ระดับแรก. งานในการค้นหาวิธีแก้ไขอย่างน้อยหนึ่งวิธี การจัดเรียงวัตถุที่มีคุณสมบัติที่กำหนดอย่างน้อยหนึ่งรายการคือการค้นหาการจัดเรียงสิบจุดในห้าส่วน โดยมีสี่จุดในแต่ละส่วน - การจัดเรียงราชินีแปดองค์บนกระดานหมากรุกโดยที่พวกมันไม่ตีกัน บางครั้งอาจพิสูจน์ได้ว่าปัญหานี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เช่น ไม่สามารถจัดเรียงลูกบอล 10 ลูกใน 9 โกศ เพื่อให้แต่ละโกศมีลูกบอลไม่เกิน 1 ลูก - อย่างน้อย 1 โกศก็จะมีลูกบอลอย่างน้อย 2 ลูก) 2. ระดับที่สอง. 2. ระดับที่สอง. หากปัญหาเชิงรวมมีวิธีแก้ไขหลายข้อ คำถามจะเกิดขึ้นจากการนับจำนวนวิธีแก้ไขดังกล่าวและอธิบายวิธีแก้ไขปัญหาทั้งหมด

3. ระดับที่สาม.

เหมาะสมที่สุด

ตัวอย่างเช่น:

นักเดินทางต้องการออกจากเมือง A ไปเยี่ยมชมเมือง B, C และ D จากนั้นกลับสู่เมือง A

ในรูป แสดงแผนภาพเส้นทางเชื่อมต่อเมืองเหล่านี้ ตัวเลือกการเดินทางที่แตกต่างกันจะแตกต่างกันไปตามลำดับการเยี่ยมชมเมือง B, C และ D มีทางเลือกการเดินทางหกทาง ตารางแสดงตัวเลือกและความยาวของแต่ละเส้นทาง:

ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบผสมผสานต้องได้รับการแก้ไขโดยหัวหน้าคนงานที่มุ่งมั่นในการทำงานให้เสร็จเร็วที่สุด นักปฐพีวิทยาที่มุ่งมั่นเพื่อให้ได้ผลผลิตสูงสุดในสาขาที่กำหนด เป็นต้น

เราจะพิจารณาเฉพาะปัญหาในการนับจำนวนวิธีแก้ไขปัญหาแบบผสมผสานเท่านั้น

เราจะพิจารณาเฉพาะปัญหาในการนับจำนวนวิธีแก้ไขปัญหาแบบผสมผสานเท่านั้น

ทฤษฎีการแจงนับ

กฎผลรวมและผลคูณ

1. คุณสามารถทำค็อกเทลที่แตกต่างกันได้กี่แก้วจากเครื่องดื่ม 4 แก้ว โดยผสมในปริมาณที่เท่ากันของเครื่องดื่ม 2 แก้ว?
AB, AC, AD, BC, BD, CD – รวมค็อกเทล 6 แก้ว

2. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3 สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด

2. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3 สามารถสร้างตัวเลขสองหลักที่แตกต่างกันได้จำนวนเท่าใด
หลักแรก หลักสอง

กฎผลิตภัณฑ์:

ถ้าองค์ประกอบ A สามารถเลือกได้จากชุดขององค์ประกอบ n วิธี และสำหรับแต่ละองค์ประกอบตัวเลือก B สามารถเลือกได้ t วิธี ดังนั้น 2 องค์ประกอบ (คู่) A และ B สามารถเลือกได้ n วิธี

“ตัวอย่างการแก้ปัญหาเชิงผสม: การแจงนับตัวเลือก กฎผลรวม กฎการคูณ”

ผู้เข้าร่วม 4 คนในการแข่งขันรอบสุดท้ายสามารถวางบนลู่วิ่งไฟฟ้า 4 เครื่องได้กี่วิธี?

ร น= 4 3 2 1= 24 วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของ 4 องค์ประกอบ)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 แทร็ก

ครั้งที่สอง การเรียงสับเปลี่ยน (1) เค วี อาร์ ที เอ ทลิงจอมซน ลา แพะ และหมีตีนกระบอง พวกเขาเริ่มเล่นควอเต็ต ……………………………………………. พวกเขาตีธนู พวกเขาต่อสู้ แต่ก็ไม่มีประโยชน์ “หยุดนะพี่น้อง หยุด! - ลิงตะโกน - รอ! เพลงควรจะเป็นยังไงบ้าง? ท้ายที่สุดคุณไม่ได้นั่งแบบนั้น”

4·3·2·1 = 4! วิธี

ครั้งที่สอง การเรียงสับเปลี่ยน (2)

การเรียงสับเปลี่ยนจาก ป- องค์ประกอบคือการรวมกันที่แตกต่างกันตามลำดับองค์ประกอบเท่านั้น
Pn - จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน (P คืออักษรตัวแรกของการเรียงสับเปลี่ยนคำภาษาฝรั่งเศส - การเรียงสับเปลี่ยน)

รป= น

ไม่มี

มะ!

รูเปียห์

มะ!

ที่พัก (1)

เพื่อนร่วมเดินทางสี่คนตัดสินใจแลกนามบัตร ใช้บัตรทั้งหมดกี่ใบ?

ชุดค่าผสมที่ทำจาก เคองค์ประกอบที่นำมาจาก nองค์ประกอบต่างๆ ที่เรียกว่าองค์ประกอบที่แตกต่างกันไม่ว่าจะองค์ประกอบหรือตามลำดับการจัดเรียงองค์ประกอบ ตำแหน่งจาก nองค์ประกอบโดย เค(0< k ≤n ).

ที่พักจาก nองค์ประกอบโดย เคองค์ประกอบ และอักษรตัวแรก

คำภาษาฝรั่งเศส การจัดเตรียม: "ตำแหน่ง",

"จัดของให้เรียบร้อย"

ที่พัก (2)

มีลูกบอลว่าง 4 ลูกและเซลล์ว่าง 3 ช่อง มากำหนดลูกบอลด้วยตัวอักษรกันเถอะ เอบีซีดี.สามารถวางลูกบอลสามลูกจากชุดนี้ลงในเซลล์ว่างได้หลายวิธี
โดยการเลือกลูกที่ 1, 2 และ 3 ต่างกัน เราก็จะได้แตกต่างกัน สั่งสามลูก
แต่ละ สั่งทริปเปิลที่สามารถประกอบด้วยสี่องค์ประกอบเรียกว่า ตำแหน่ง มีธาตุสี่อย่างละสามธาตุ

ที่พัก (3)

สามารถสร้างตำแหน่งได้กี่ตำแหน่งจาก 4 องค์ประกอบ ( เอบีซีดี) สาม?
abc abd acb acd adb adc
แบคแย่ bca bcd bda bdc
แท็กซี่ cad cba cbd cda cdb
ตบเบาๆ dac dba dbc dca dcb

มีการตัดสินใจทบทวนทางเลือกต่างๆ

ที่พัก (4)

คุณสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องเขียนตำแหน่งด้วยตนเอง:
อันดับแรก สามารถเลือกองค์ประกอบได้สี่วิธี ดังนั้นจึงสามารถเป็นองค์ประกอบใดก็ได้จากสี่วิธี
สำหรับทุก ๆ ครั้งแรก ที่สอง สามารถเลือกได้สามวิธี
สำหรับแต่ละสองคนแรกมีสองวิธีในการเลือก ที่สาม องค์ประกอบจากสองส่วนที่เหลือ

เราได้รับ

แก้โดยใช้กฎการคูณ

การรวมกัน

การรวมกันของ ปองค์ประกอบโดย เคคือชุดใดๆ ที่ประกอบขึ้นจาก เคองค์ประกอบที่เลือกมาจาก ปองค์ประกอบ

ต่างจากตำแหน่งในการรวมกัน ลำดับขององค์ประกอบไม่สำคัญ. ชุดค่าผสมสองชุดแตกต่างกันในองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ

แก้ไขปัญหา: 1. มีเครื่องหมาย 5 จุดบนเครื่องบิน จะมีกี่ส่วนถ้าคุณเชื่อมต่อจุดเป็นคู่?

2. ทำเครื่องหมายบนวงกลม ปคะแนน มีสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดเหล่านี้กี่รูป?

แหล่งข้อมูล

V.F. Butuzov, Yu.M. Kolyagin, G.L. Lukankin, E.G. Poznyak และคนอื่น ๆ หนังสือเรียน "คณิตศาสตร์" สำหรับสถาบันการศึกษาชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 / แนะนำโดยกระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย / M. , Prosveshchenie, 1996
อีเอ บูนิโมวิช, วี.เอ. Bulychev: "ความน่าจะเป็นและสถิติ" คู่มือสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปเกรด 5 - 9 / อนุมัติโดยกระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย // Bustard Moscow 2002
ยู.เอ็น. Makarychev, N.G. Mindyuk “พีชคณิต: องค์ประกอบของสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น, เกรด 7 – 9” แก้ไขโดย S.A. Telyakovsky M: Prosveshchenie, 2006
สามเหลี่ยม http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

ภาพวาดที่เหลือสร้างโดย A.K. Gryaznova

องค์ประกอบ
เชิงผสม
คู่มือการศึกษาอิเล็กทรอนิกส์
สำหรับนักเรียนเกรด 9-11
ผู้แต่ง-ผู้เรียบเรียง:
คาโตโรวา โอ.จี.
ครูคณิตศาสตร์
MBOU "โรงยิมหมายเลข 2"
ซารอฟ

เชิงผสม

Combinatorics เป็นส่วนหนึ่ง
คณิตศาสตร์ซึ่งศึกษาอยู่
คำถามในการเลือกหรือสถานที่
องค์ประกอบของชุดให้สอดคล้องกัน
ด้วยกฎเกณฑ์ที่กำหนด
"Combinatorics" มาจากภาษาละติน
คำว่า "combina" ซึ่งแปลเป็นภาษารัสเซีย
แปลว่า "รวม", "เชื่อมต่อ"

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์
คำว่า "combinatorics" คือ
นำมาสู่การใช้ทางคณิตศาสตร์
ทั่วโลก
มีชื่อเสียง
เยอรมัน
นักวิทยาศาสตร์ G.V. Leibniz ซึ่งอยู่ใน
1666 ตีพิมพ์วาทกรรม
เกี่ยวกับศิลปะผสมผสาน”
G.W. ไลบ์นิซ
ในศตวรรษที่ 18 ผู้คนหันมาใช้การแก้ปัญหาแบบผสมผสาน
และนักคณิตศาสตร์ดีเด่นคนอื่นๆ ใช่แล้ว เลออนฮาร์ด ออยเลอร์
พิจารณาปัญหาเรื่องการแบ่งหมายเลข การจับคู่
การจัดวงจรเกี่ยวกับการสร้างเวทย์มนตร์และ
สี่เหลี่ยมละติน

ข้อเสนอแบบผสมผสาน
สารประกอบประเภทต่างๆ
(การจัดเรียงใหม่ ตำแหน่ง
การรวมกัน) ที่สามารถเป็นได้
แบบฟอร์มจากองค์ประกอบ
เซตจำกัดบางเซต

การเชื่อมต่อแบบผสมผสาน

การจัดเรียงใหม่
1.
2.
การเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ต้องทำซ้ำ
การเรียงสับเปลี่ยนด้วยการทำซ้ำ
ตำแหน่ง
1.
2.
ตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ
ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ
การรวมกัน
1.
2.
การรวมกันที่ไม่มีการซ้ำซ้อน
การรวมกันกับการทำซ้ำ

การเรียงสับเปลี่ยน - การเชื่อมต่อ
ซึ่งสามารถประกอบด้วย n
องค์ประกอบที่เปลี่ยนแปลงทั้งหมด
ช่องทางการสั่งซื้อที่เป็นไปได้
สูตร:

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1713 ได้มีการตีพิมพ์
เรียงความโดย J. Bernoulli "ศิลปะ
สมมติฐาน" ซึ่ง
นำเสนอได้ละเอียดพอสมควร
รู้จักกันในขณะนั้น
ข้อเท็จจริงเชิงผสมผสาน
"ศิลปะ
สมมติฐาน" ยังไม่เสร็จสิ้น
โดยผู้เขียนและปรากฏภายหลังมรณกรรมของเขา
เรียงความประกอบด้วย 4 ส่วน
ทุ่มเทให้กับการผสมผสาน
ส่วนที่สองซึ่งประกอบด้วย
สูตรสำหรับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนจาก n
องค์ประกอบ

ตัวอย่าง

8 คนสามารถยืนได้กี่วิธี
ต่อคิวที่บ็อกซ์ออฟฟิศเหรอ?
การแก้ปัญหา:
มี 8 ที่นั่ง ต้องนั่งได้ 8 คน
8 คนใดก็ได้ที่สามารถเข้าชิงอันดับหนึ่งได้ เช่น วิธี
เกิดขึ้นที่หนึ่ง - 8
หลังจากหนึ่งคนเป็นที่หนึ่ง เหลืออีก 7 คน
ที่นั่งและคน 7 คนที่สามารถรองรับได้เช่น
วิธีที่จะได้อันดับสอง - 7. ในทำนองเดียวกันอันดับสาม
ที่สี่ ฯลฯ สถานที่.
เราจะได้ผลลัพธ์โดยใช้หลักการคูณ นี้
สินค้าถูกกำหนดให้เป็น 8! (อ่าน 8 แฟคทอเรียล) และ
เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน P8
คำตอบ: P8 = 8!

ตรวจสอบตัวเอง

1) วางได้กี่วิธี
มีสี่อันที่แตกต่างกันบนชั้นวางที่อยู่ติดกัน
หนังสือ?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

2) ใส่ได้กี่วิธี
มีไพ่ 10 ใบที่แตกต่างกันใน 10 ใบ
ซองจดหมาย (หนึ่งโปสการ์ดต่อซอง)?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

3) ปลูกได้กี่วิธี
เด็กแปดคนบนเก้าอี้แปดตัวในห้องอาหาร
โรงเรียนอนุบาล?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

4) คุณสามารถแต่งคำศัพท์ได้กี่คำ?
การจัดเรียงตัวอักษรใหม่ในคำ
“สามเหลี่ยม” (รวมถึงคำนั้นด้วย)?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

5) คุณสามารถติดตั้งได้กี่วิธี
หน้าที่ของคนหนึ่งคนต่อวันในเจ็ดคน
นักเรียนกลุ่มละ 7 วัน (รายละ
ต้องเข้าเวรสักครั้ง)?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

พีชคณิตด้วย
การทำซ้ำ
ตำแหน่งใดๆ ที่มีการซ้ำซ้อน ใน
โดยที่องค์ประกอบ a1 ซ้ำกัน k1 ครั้ง องค์ประกอบ
a2 ซ้ำ k2 ครั้ง เป็นต้น องค์ประกอบ
kn ซ้ำครั้ง โดยที่ k1, k2, ..., kn คือข้อมูล
จำนวนเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนด้วย
การทำซ้ำของคำสั่ง
m = k1 + k2 + … + kn ซึ่งในข้อมูล
องค์ประกอบ a1, a2, …, an ซ้ำกัน
k1, k2, .., kn เท่าตามลำดับ

ตรวจสอบตัวเอง

พีชคณิตด้วย
การทำซ้ำ
ทฤษฎีบท. จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันด้วย
การซ้ำซ้อนขององค์ประกอบ (a1, ..., an) ใน
ซึ่งมีองค์ประกอบ a1, …, an ซ้ำกัน
ตามลำดับ k1, ..., kn คูณ เท่ากับ
(k1+k2+…+kn)!
ม!
ป
k1! k2! ...นะ!
k1! k2! ...นะ!

ตรวจสอบตัวเอง

ตัวอย่าง
คำและวลีที่มีตัวอักษรจัดเรียงใหม่
เรียกว่าแอนนาแกรม คุณสามารถมีแอนนาแกรมได้กี่อัน
มาจากคำว่า "ลิงกัง" เหรอ?
สารละลาย.
คำว่า “MACACA” มีทั้งหมด 6 ตัวอักษร (m=6)
มาดูกันว่าแต่ละตัวอักษรถูกใช้กี่ครั้งในหนึ่งคำ:
"M" - 1 ครั้ง (k1=1)
“A” - 3 ครั้ง (k2=3)
“K” - 2 ครั้ง (k3=2)
ม!
พ=
k1! k2! …นะ!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

ตรวจสอบตัวเอง

1) คุณจะได้คำที่แตกต่างกันกี่คำ
จัดเรียงตัวอักษรของคำว่า "คณิตศาสตร์" ใหม่เหรอ?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

2) คุณสามารถจัดเตรียมได้กี่วิธี
ชุดกระดานหมากรุกแนวนอนชุดแรก
ชิ้นสีขาว (ราชา, ราชินี, เรือสองลำ, สอง
ช้างและอัศวินสองคน)?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง
3) แม่มีแอปเปิ้ล 2 ลูก ลูกแพร์ 3 ลูก และส้ม 4 ผล
ทุกวันเป็นเวลาเก้าวันติดต่อกันเธอ
ให้ผลไม้ที่เหลืออยู่แก่ลูกชายของเขา
สามารถทำได้กี่วิธี?
สารละลาย

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์
แรงจูงใจแบบผสมผสานสามารถเป็นได้
สังเกตได้ในสัญลักษณ์ของ "หนังสือ" ของจีนด้วย
การเปลี่ยนแปลง" (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช)
ในศตวรรษที่ 12 ภาสการา นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย
งานหลักของเขา “ลิลาวดี” อย่างละเอียด
ศึกษาปัญหาเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนและ
การรวมกันรวมถึงการเรียงสับเปลี่ยนด้วย
การทำซ้ำ

ตัวอย่าง

ตำแหน่ง
โดยการวางองค์ประกอบ n ตามลำดับ k
(k n) คือเซตใดๆ
ประกอบด้วยองค์ประกอบ k ใดๆ ที่นำเข้ามา
ลำดับที่แน่นอนขององค์ประกอบ n ตัว
พิจารณาการจัดเรียงขององค์ประกอบ n สองรายการ
แตกต่างหากพวกเขาแตกต่างในตัวเอง
องค์ประกอบหรือลำดับการจัดเรียง
ก(n 1)(n 2) ... (n (k 1))
เค
n

ตรวจสอบตัวเอง

ตัวอย่าง
มีกี่วิธีจากนักเรียน 40 คนในชั้นเรียน
สามารถระบุสินทรัพย์ได้ดังนี้:
ผู้ใหญ่บ้าน นักฟิสิกส์ และบรรณาธิการหนังสือพิมพ์วอลล์?
สารละลาย:
จำเป็นต้องเลือกสามองค์ประกอบที่สั่ง
สับเซตของเซตที่มี 40
องค์ประกอบเช่น หาจำนวนตำแหน่งที่ไม่มี
การซ้ำซ้อนของ 40 องค์ประกอบของ 3
40!
ก=
=38*39*40=59280
37!
3
40

ตรวจสอบตัวเอง

1. เลือกจากหนังสือเจ็ดเล่มที่แตกต่างกัน
สี่ เป็นไปได้กี่วิธี?
ทำ?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

2. พวกเขาเข้าร่วมในการแข่งขันชิงแชมป์ฟุตบอล
สิบทีม มีกี่ตัว
โอกาสต่าง ๆ ที่จะคว้า
ทีมสามอันดับแรก?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

3. มีวิชาเรียน 7 วิชาในชั้นเรียน วันพุธที่ 4
บทเรียนและแต่ละคนก็แตกต่างกัน เท่าไหร่
วิธีที่คุณสามารถสร้างตารางเวลาได้
วันพุธ?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

ตำแหน่งด้วย
การทำซ้ำ
ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ –
สารประกอบที่มีองค์ประกอบ n
เลือกจากองค์ประกอบที่แตกต่างกัน
ชนิด (n m) และชนิดที่แตกต่างจาก
อย่างอื่นตามองค์ประกอบหรือตามลำดับ
องค์ประกอบ
ถือว่าหมายเลขของพวกเขา
ไม่จำกัดจำนวนองค์ประกอบ
แต่ละประเภทมีค่าเท่ากัน

ตรวจสอบตัวเอง

ตัวอย่างการใช้งาน
ไปยังห้องสมุดซึ่งมีอยู่มากมาย
หนังสือเรียนที่เหมือนกันสิบเล่ม
วิชาเด็กนักเรียนมา 5 คน
แต่ละคนต้องการเรียนหนังสือเรียน
บรรณารักษ์เขียนลงในสมุดบันทึก
ลำดับชื่อ (ไม่มีหมายเลข)
หนังสือเรียนที่ไม่มีชื่อของนักเรียนที่มอบให้
ได้ดำเนินการแล้ว ในนิตยสารมีรายชื่อที่แตกต่างกันกี่รายการ?
มันสามารถปรากฏได้ไหม?

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

การแก้ปัญหา
เนื่องจากตำราเรียนแต่ละเล่ม
วิชาเดียวกันและบรรณารักษ์
บันทึกเฉพาะชื่อเท่านั้น (ไม่มี
ตัวเลข) จากนั้นรายการจะถูกจัดวางด้วย
การทำซ้ำจำนวนองค์ประกอบ
ชุดเดิมคือ 10 และ
จำนวนตำแหน่ง – 5
จากนั้นจำนวนรายการที่แตกต่างกันจะเท่ากับ
= 100000.
คำตอบ: 100000

ตำแหน่ง

ตรวจสอบตัวเอง!
1. หมายเลขโทรศัพท์ประกอบด้วยตัวเลข 7 หลัก
โทรมากที่สุดคือเท่าไร
ผู้แพ้-Petya สามารถกระทำได้
ก่อนจะทายเลขถูก
สารละลาย
สารละลาย

ตัวอย่าง

ตรวจสอบตัวเอง!
2. คุณสามารถทำได้กี่วิธี
เขียนคำที่ประกอบด้วย
ตัวอักษรภาษาอังกฤษสี่ตัว?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

ตรวจสอบตัวเอง!
3.ในร้านค้าที่มีลูกบอลอยู่ 4 แบบ
เราตัดสินใจวางลูกบอล 8 ลูกติดต่อกัน เท่าไหร่
วิธีที่คุณสามารถทำได้หากพวกเขา
สถานที่ตั้งมีความสำคัญหรือไม่?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

ตรวจสอบตัวเอง!
4. สามารถเย็บได้กี่วิธี
เครื่องแต่งกายตัวตลกมีปุ่มหกปุ่ม
หนึ่งในสี่สีที่จะได้รับ
ลวดลาย?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง

การรวมกัน
การรวมกัน – สารประกอบที่มีแต่ละอย่าง
รายการ m จาก n ต่างกัน
เพื่อนอย่างน้อยหนึ่งรายการ
ผลรวมเป็นเซตจำกัด ใน
ลำดับที่ไม่สำคัญ

ตรวจสอบตัวเอง

การรวมกัน
สูตรการหาปริมาณ
การรวมกันโดยไม่ซ้ำกัน:

ตรวจสอบตัวเอง

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์
ในปี ค.ศ. 1666 ไลบนิซตีพิมพ์วาทกรรม
เกี่ยวกับศิลปะผสมผสาน" ในเรียงความของเขา
ไลบนิซ แนะนำสัญลักษณ์พิเศษ เงื่อนไขสำหรับ
เซตย่อยและการดำเนินการกับพวกมัน ค้นหา k การรวมกันขององค์ประกอบ n ทั้งหมด แสดงคุณสมบัติ
การรวมกัน:
,
,

ตรวจสอบตัวเอง

ตัวอย่างการใช้งาน:
คุณสามารถเลือกสองวิธีได้กี่วิธี
เจ้าหน้าที่ประจำชั้นเรียนที่มีนักเรียน 25 คน?
สารละลาย:
m = 2 (จำนวนบุคลากรตามที่กำหนด)
n = 25 (จำนวนนักเรียนทั้งหมดในชั้นเรียน)

ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ

ตรวจสอบตัวเอง!
1) คุณสามารถทำได้กี่วิธี
มอบหมายให้นักเรียนสามคน
การประชุมระหว่างมหาวิทยาลัยของสมาชิก 9 คน
สังคมวิทยาศาสตร์?
สารละลาย

ตัวอย่างการใช้งาน

ตรวจสอบตัวเอง!
2) ผู้เข้าร่วมการประชุมจำนวน 10 คน
จับมือจับมือ
ถึงแต่ละคน มีการจับมือกันกี่ครั้ง?
ทำ?
สารละลาย

การแก้ปัญหา

ตรวจสอบตัวเอง!
3) มีเด็กหญิง 6 คนและเด็กชาย 4 คนในคณะนักร้องประสานเสียงของโรงเรียน
คุณสามารถเลือกได้กี่วิธี
องค์ประกอบคณะนักร้องประสานเสียงของโรงเรียน: เด็กหญิง 2 คนและเด็กชาย 1 คน
ร่วมแสดงคณะนักร้องประสานเสียงอำเภอ?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง!

4) สามารถเลือกได้กี่วิธี 3
นักกีฬาจากกลุ่ม 20 คนสำหรับ
การเข้าร่วมการแข่งขัน?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง!

5) มี 10 วิชาทางวิชาการและ 5 วิชาที่แตกต่างกันในชั้นเรียน
บทเรียนต่อวัน ทำได้กี่วิธี
บทเรียนจะแจกวันเดียวกันหรือเปล่า?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง!

การรวมกันกับการทำซ้ำ
คำนิยาม
ผลรวมที่มีการซ้ำตั้งแต่ m ถึง
n เป็นสารประกอบที่ประกอบด้วย n
องค์ประกอบที่เลือกจากองค์ประกอบ m
ประเภทที่แตกต่างกันและแตกต่างกันออกไป
อีกอันหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ
จำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ m ถึง n
แสดงถึง

ตรวจสอบตัวเอง!

การรวมกันกับการทำซ้ำ
หากเลือกจากชุดที่มีองค์ประกอบ n รายการ
สลับองค์ประกอบ m โดยมีองค์ประกอบที่เลือก
กลับมาทุกครั้งแล้วมีหลายวิธี
ทำตัวอย่างแบบไม่เรียงลำดับ - จำนวนชุดค่าผสมด้วย
การทำซ้ำ - ประกอบขึ้น

ตรวจสอบตัวเอง!

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์
นักคณิตศาสตร์ชั้นนำชาวอินเดีย
ภสกร อาคาริ (1114–1185) เช่นกัน
ศึกษาการรวมกันประเภทต่างๆ
การเชื่อมต่อ เขาเป็นเจ้าของตำรา
“สิธานตะ-ชิโรมณี” (“มงกุฏแห่งการสอน”)
เขียนใหม่ในศตวรรษที่ 13 บนลายทาง
ใบปาล์ม ในนั้นผู้เขียนให้
กฎวาจาสำหรับการค้นหา
และ
โดยระบุใบสมัครและตำแหน่งของตน
ตัวอย่างมากมาย

ตรวจสอบตัวเอง!

ตัวอย่างการใช้งาน
ภารกิจที่ 1
เค้ก7ชิ้นกี่ชุดคะ
สามารถรวบรวมได้ถ้ามี
เค้กมี 4 ประเภท?
สารละลาย:

ตรวจสอบตัวเอง!

ตัวอย่างการใช้งาน
ภารกิจที่ 2
ปกติมีกระดูกกี่ชิ้น
เกมโดมิโน?
วิธีแก้ปัญหา: โดมิโนสามารถถูกมองว่าเป็น
การรวมกันที่มีการซ้ำของสองในเจ็ดหลัก
ชุด (0,1,2,3,4,5,6)
จำนวนทั้งหมดดังกล่าว
การรวมกันจะเท่ากัน

ตรวจสอบตัวเอง!

ตรวจสอบตัวเอง
ภารกิจที่ 1
โรงอาหารยิมเนเซียมจำหน่าย 5 พันธุ์
พาย: กับแอปเปิ้ลกับกะหล่ำปลี
มันฝรั่ง เนื้อสัตว์ และเห็ด เท่าไหร่
หลายวิธีที่คุณสามารถซื้อสินค้าได้
10 พาย?
สารละลาย

การรวมกัน

ตรวจสอบตัวเอง
ภารกิจที่ 2
ในกล่องประกอบด้วยลูกบอลสามสี -
แดง น้ำเงิน และเขียว เท่าไหร่
วิธีที่คุณสามารถสร้างชุดสองรายการได้
ลูกบอล?
สารละลาย

การรวมกัน

ตรวจสอบตัวเอง
ภารกิจที่ 3
4. สามารถเลือกได้กี่วิธี
เหรียญจากเหรียญห้าโกเปคสี่เหรียญและจาก
เหรียญสองโกเปคสี่เหรียญเหรอ?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง
ภารกิจที่ 4
จะมีโดมิโนกี่ตัว?
ถ้าอยู่ในพวกเขา
การศึกษาใช้ตัวเลขทั้งหมด?
สารละลาย

ตรวจสอบตัวเอง
ภารกิจที่ 5
จานสีของอิมเพรสชั่นนิสต์รุ่นเยาว์ประกอบด้วย 8
สีต่างๆ ศิลปินใช้แปรง
สุ่มสีใดก็ได้แล้วใส่สี
รอยเปื้อนบนกระดาษ whatman แล้วเอาอันต่อไป
แปรงจุ่มลงในสีใดก็ได้แล้วทำ
จุดที่สองข้างๆ เท่าไหร่
มีชุดค่าผสมที่แตกต่างกันสำหรับ
หกจุดเหรอ?
สารละลาย

หนังสือมือสอง
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์
การวิเคราะห์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 / Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva,
N.E. Fedorova, M.I. Shabunin –
อ.: การศึกษา, 2554.
วิเลนคิน เอ็น.ยา. เชิงผสม – ม., 1969
วิเลนคิน เอ็น.ยา. เชิงผสม – เอ็มซีเอ็มโน
2010
ru.wikipedia.org>wiki/ประวัติความเป็นมาของการรวมกัน