Що таке графічне розв'язання рівнянь. Графічне вирішення змішаних нерівностей

Графічне вирішення рівнянь

Підсумуємо наші знання про графікахфункцій. Ми з вами навчилися будувати графіки наступних функцій:

у = b (пряму, паралельну осі х);

y = kx (пряму, яка проходить через початок координат);

y – kx + m (пряму);

у = х 2 (параболу).

Знання цих графіків дозволить нам у разі потреби замінити аналітичну Модельгеометричної (графічної), наприклад, замість моделі у = х 2 (яка являє собою рівність з двома змінними х і у) розглядати параболу в координатної площини. Зокрема це іноді корисно для вирішення рівнянь. Як це робиться, обговоримо на кількох прикладах.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питаннявід учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Додатки рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

На уроці учні продемонстрували знання та вміння програми:

- Розпізнавати види функції, будувати їх графіки;
- Відпрацьовували навички побудови квадратичної функції;
– відпрацьовували графічні методирозв'язання квадратних рівнянь, використовуючи метод виділення повного квадрата.

Мені захотілося приділити особливу увагувирішення завдань з параметром, оскільки ЄДІ з математики пропонує дуже багато завдань такого типу.

Можливість застосувати на уроці такий вид роботи дали мені самі учні, оскільки вони мають достатню базу знань, які можна поглибити та розширити.

Заздалегідь підготовлені учнями шаблони дозволили заощаджувати час уроку. Під час уроку мені вдалося реалізувати поставлені завдання на початку уроку та отримати очікуваний результат.

Використання фізкультхвилинки допомогло уникнути перевтоми учнів, зберегти продуктивну мотивацію здобуття знань.

Загалом результатом уроку я задоволена, але думаю, що ще є резервні можливості: сучасні інноваційні технологічні засоби, якими ми, на жаль, не маємо можливості користуватися.

Тип уроку:закріплення вивченого матеріалу.

Цілі уроку:

Загальноосвітні та дидактичні:
- розвивати різноманітні способи мисленнєвої діяльності учнів;
- формувати можливості самостійного вирішення завдань;
- виховувати математичну культуру учнів;
- розвивати інтуїцію учнів та вміння користуватися отриманими знаннями.
Навчальні цілі:
- узагальнити раніше вивчені відомості на тему «Графічне розв'язання квадратних рівнянь»;
- повторити побудову графіків квадратичної функції;
- сформувати навички використання алгоритмів розв'язання квадратичних рівнянь графічним методом.
Виховні:
- прищеплення інтересу до навчальної діяльності, до предмета математики;
- формування толерантності (терпимості), уміння працювати у колективі.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

– Сьогодні на уроці ми узагальнимо і закріпимо графічне рішення квадратних рівнянь у різний спосіб.
Надалі ці навички нам будуть потрібні у старших класах на уроках математики під час вирішення тригонометричних і логарифмічних рівнянь, знаходження площі криволінійної трапеції, а також на уроках фізики.

ІІ. Перевірка домашньої роботи

Розберемо на дошці №23.5(г).

Вирішити це рівняння за допомогою параболи та прямої.

Рішення:

х 2 + х - 6 = 0
Перетворимо рівняння: х 2 = 6 - х
Введемо функції:

у = х 2; квадратична функція у = 6 - х лінійна,
графіком явл. парабола, графіком явл. пряма,

Будуємо в одній системі координат графіки функцій (за шаблоном)

Отримали дві точки перетину.

Рішенням квадратного рівнянняє абсциси цих точок х 1 = - 3, х 2 = 2.

Відповідь: - 3; 2.

ІІІ. Фронтальне опитування

Що є графіком квадратичні функції?
Скажіть алгоритм побудови графіка квадратичної функції?
Що називається квадратичним рівнянням?
Наведіть приклади квадратичних рівнянь?
Запишіть на дошці свій приклад квадратичного рівняння. Назвіть, чому рівні коефіцієнти?
Що означає розв'язати рівняння?
Скільки способів ви знаєте графічне розв'язання квадратних рівнянь?
У чому полягає графічні способи розв'язання квадратних рівнянь:

IV. Закріплення матеріалу

На дошці вирішують учні першим, другим, третім методами.

Клас вирішує четвертим

- х 2 + 6х - 5 = 0

Перетворю квадратне рівняння, виділяючи повний квадрат двочлена:

– х 2 + 6х – 5 = – (х 2 – 6х + 5) = – (х 2 – 6х + 32 – 9 + 5) = – ((х – 3) 2 – 4) = – (х – 3) 2+4

Отримали квадратне рівняння:

– (х – 3) 2 + 4 = 0

Введемо функцію:

у = – (х 2 – 3) 2 + 4

Квадратична функція виду у = а (х + L) 2 + m

Графіком явл. парабола, гілки спрямовані вниз, зрушення основної параболи по осі Ох у право на 3 од., по осі Оу вгору на 4 од., вершина (3; 4).

Будуємо за шаблоном.

Знайшли точки перетину параболи із віссю Ох. Абсциси цих точок явл. розв'язанням даного рівняння. х = 1, х = 5.

Давайте подивимося на інші графічні рішення біля дошки. Прокоментуйте свій спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

1 учень

Рішення:

- х 2 + 6х - 5 = 0

Введемо функцію у = - х + 6х - 5, квадратична функція, графіком є парабола, гілки спрямовані вниз, вершина

х 0 = - в/2а
х 0 = - 6 / - 2 = 3
у 0 = - 3 2 + 18 = 9; точка (3; 9)
вісь симетрії х = 3

Будуємо за шаблоном

Отримали точки перетину з віссю Ох, абсцис цих точок є рішенням квадратного рівняння. Два корені х 1 = 1, х 2 = 5

2 учень

Рішення:

- х 2 + 6х - 5 = 0

Перетворимо: - х 2 + 6х = 5

Введемо функції: у1 = - х 2 + 6х, у2 = 5, лінійна функція, квадратична функція, графіком графіком явл. пряма у || Ох явл. парабола, гілки спрямовані вниз, вершина х 0 = – в/2а
х 0 = - 6 / - 2 = 3
у 0 = - 3 2 + 18 = 9;
(3; 9).
вісь симетрії х = 3
Будуємо за шаблоном
Отримали точки перетину
параболи та прямий, їх абсциси є рішенням квадратного рівняння. Два корені х 1 = 1, х 2 = 5
Отже, одне й теж рівняння можна вирішувати різними способами, а відповідь виходити має той самий.

V. Фізкультхвилинка

VI. Розв'язання задачі з параметром

При яких значеннях ррівняння х 2 + 6х + 8 = р:
– Не має коріння?
– Чи має один корінь?
– Має два корені?
Чим відрізняється це рівняння від попереднього?
Правильно, буквою!
Цю букву надалі ми називатимемо параметром, Р.
Поки що вона вам ні про що не говорить. Але ми надалі вирішуватимемо різні завдання з параметром.
Сьогодні вирішимо квадратне рівняння з параметром графічним методом, використовуючи третій спосіб за допомогою параболи та прямої паралельної осі абсцис.
Учень допомагає вчителеві вирішувати біля дошки.
Із чого почнемо вирішувати?

Задамо функції:

у 1 = х 2 + 6х + 8 у 2 = р лінійна функція,
квадратична функція, графіком є пряма
графіком явл. парабола,
гілки спрямовані вниз, вершина

х 0 = - в/2а,
х 0 = - 6/2 = - 3
у 0 = (-3) 2 + 6 (-3) + 8 = - 1
(– 3; – 1)

Вісь симетрії х = 3, таблицю не буду будувати, а візьму шаблон у = х 2 і докладу до вершини параболи.
Парабола збудована! Тепер треба провести пряму у = р.
– Де треба накреслити пряму р, щоб отримати два корені?
– Де треба накреслити пряму рщоб отримати один корінь?
– Де треба накреслити пряму рщоб не було коріння?
– Отже, скільки наше рівняння може мати коріння?
- Сподобалося завдання? Спасибі за допомогу! Оцінка 5.

VII. Самостійна роботаза варіантами (5 хв.)

у = х 2 - 5х + 6 у = - х 2 + х - 6

Вирішити квадратне рівняння графічним способом, вибираючи вам зручний спосіб. Якщо хтось впорається із завданням раніше, перевірте своє рішення іншим способом. За це виставлятиметься додаткова оцінка.

VIII. Підсумок уроку

– Чого ви навчилися на сьогоднішньому уроці?
– Сьогодні на уроці ми з вами квадратні рівняння вирішували графічним методом, використовуючи різні способи розв'язання, та розглянули графічний спосіб розв'язання квадратного рівняння з параметром!
– Переходимо до домашнього завдання.

ІХ. Домашнє завдання

1. Домашня контрольна роботана стор. 147, із задачника Мордковича за варіантами I та II.
2. На гуртку, в середу, вирішуватимемо V-м способом, (гіпербола та пряма).

Х. Література:

1. А.Г. Мордкович. Алгебра-8. Частина 1. Підручник для учнів навчальних закладів. М.: Мнемозіна, 2008
2. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська. Алгебра – 8. Частина 2. Задачник учнів освітніх установ. М.: Мнемозіна, 2008
3. А.Г. Мордкович. Алгебра 7-9. Методичний посібник для учителя.М.: Мнемозіна, 2004
4. Л.А. Олександрова. Алгебра-8. Самостійні роботи для учнів освітніх установ. / Под ред. А.Г. Мордковіча. М.: Мнемозіна, 2009

Графічне вирішення рівнянь

Розквіт, 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати задачі, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянокі з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у Вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасними, проте невідомо, як дійшли вавилоняни до цього правила.

Формули розв'язання квадратних рівнянь у Європі були вперше викладені у «Книзі абака», написаної 1202 року італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, а й Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правилорішення квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано у Європі лише 1544 року М. Штифелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилонімогли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід , Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними та графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у = kx , у = kx + m , у = x 2 ,у = - x 2 , в 8 класі - у = √ x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у = x 3 , у = x 4 ,у = x 2 n , у = x - 2 n , у = 3 √x , ( x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків цих функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає у дослідженні графіків функцій та графічному вирішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції – це безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати – відповідним значенням функції.

Лінійна функціязадається рівнянням у = kx + b, де kі b- Деякі числа. Графік цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у = k / x, де k 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція ( x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 , де а , bі r- Деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіусу r із центром у т. а ( а , b).

Квадратична функція y = ax 2 + bx + cде а, b , з– деякі числа та а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Графіком цього рівняння буде крива, яка називається строфоїдою.

Рівняння ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . Графік цього рівняння називається лемніскатою Бернуллі.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідою.

Крива (x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2). Ця крива називається кардіоїдою.

Функції: у = x 3 – кубічна парабола, у = x 4 , у = 1/ x 2 .

2. Поняття рівняння, його графічного розв'язання

Рівняння- Вираз, що містить змінну.

Вирішити рівняння- Це означає знайти все його коріння, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- Це число, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність.

Розв'язання рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне чи наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків та розв'язанні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корінням рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у = f ( x ) , можна побудувати графіки функцій у = f ( x + m ) ,у = f ( x )+ lі у = f ( x + m )+ l. Всі ці графіки виходять із графіка функції у = f ( x ) за допомогою перетворення паралельного перенесення: на │ m │ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l │ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y .

4. Графічне розв'язання квадратного рівняння

Приклад квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла у 16 столітті.

У давньогрецьких математиків не координатного методу, ні поняття функції був. Проте властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, адже вони могли використовувати лише креслення та словесні описизалежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу та еліпс Аполоній Пергський, який жив у 3 столітті до н. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х 0; у 0): х 0 =- b /2 a ;

Y 0 = ах про 2 + вх 0 + с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х 0);

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом збудуємо параболу y = x 2 – 2 x – 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x 2 – 2 x – 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного розв'язання цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y = x 2 і y = 2 x + 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y = x 2 –3 і y =2 x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

4. Перетворимо рівняння x 2 – 2 x – 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y = ( x –1) 2 і y =4. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x 2 – 2 x – 3 = 0 на x, отримаємо x – 2 – 3/ x = 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y = x – 2, y = 3/ x . Коріння рівняння – абсциси точок перетину прямої та гіперболи.

5. Графічне вирішення рівнянь ступеня n

приклад 1.Вирішити рівняння x 5 = 3 – 2 x .

y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Відповідь: x = 1.

приклад 2.Вирішити рівняння 3 √ x = 10 – x .

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Відповідь: x = 8.

Висновок

Розглянувши графіки функцій: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = √ x , у = |x |, у = x 3 , у = x 4 ,у = 3 √x , я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y .

Приклад рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосовний і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи розв'язання рівнянь красиві та зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії розв'язання будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я ще знайомитимуся з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підпорядковуються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

на наступний рікмені хочеться також розглянути питання графічного розв'язання систем рівнянь та нерівностей.

Література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. VII-VIII класи. - М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне вирішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

Графічне вирішення рівнянь

Розквіт, 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у Вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасними, проте невідомо, як дійшли вавилоняни до цього правила.

Але загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано у Європі лише 1544 року М. Штифелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними та графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, у =kx+ m, у =x 2,у = -x 2, в 8 класі - у = √x, у =|x|, у =ax2 + bx+ c, у =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у –b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків цих функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає у дослідженні графіків функцій та графічному вирішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Лінійна функція задається рівнянням у =kx+ b, де kі b- Деякі числа. Графік цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ xде k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (x– a) 2 + (у –b) 2 = r2 , де а, bі r- Деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіусу r із центром у т. а ( а, b).

Квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з– деякі числа та а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, яка називається строфоїдою.

/>Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніскатою Бернуллі.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідою.

Крива (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїдою.

Функції: у =x 3 – кубічна парабола, у =x 4, у = 1/x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного розв'язання

Рівняння- Вираз, що містить змінну.

Вирішити рівняння- Це означає знайти все його коріння, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- Це число, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять із графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного перенесення: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне розв'язання квадратного рівняння

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла у 16 столітті.

У давньогрецьких математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, адже вони могли використовувати лише креслення та словесні описи залежностей.

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0=ахо2+вх0+с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом збудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного розв'язання цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину прямої та гіперболи.

5. Графічне вирішення рівнянь ступеняn

приклад 1.Вирішити рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Відповідь: x = 1.

приклад 2.Вирішити рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Відповідь: x = 8.

Висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, у =k/ x, у = √x, у =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

Наступного року мені також хочеться розглянути питання графічного вирішення систем рівнянь і нерівностей.

Література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. VII-VIII класи. - М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне вирішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

З квадратними рівняннями ви зустрічалися в курсі алгебри 7-го класу. Нагадаємо, що квадратним рівнянням називають рівняння виду ах 2 + bх + с = 0, де а, b, с - будь-які числа (коефіцієнти), причому а. Використовуючи наші знання про деякі функції та їх графіки, ми можемо вже тепер, не чекаючи систематичного вивчення теми «Квадратні рівняння», вирішувати деякі квадратні рівняння, причому різними способами; ми розглянемо ці методи з прикладу одного квадратного рівняння.

приклад.Розв'язати рівняння х 2 – 2х – 3 = 0.
Рішення.
I спосіб . Побудуємо графік функції у = х 2 - 2х - 3, скориставшись алгоритмом § 13:

1) Маємо: а = 1, b = -2, х 0 = = 1, у 0 = f (1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Значить, вершиною параболи є точка (1; -4), а віссю параболи — пряма х = 1.

2) Візьмемо на осі х дві точки, симетричні щодо осі параболи, наприклад, точки х = -1 і х = 3.

Маємо f(-1) = f(3) = 0. Побудуємо на координатній площині точки (-1; 0) та (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводимо параболу (рис. 68).

Корінням рівняння х 2 - 2х - 3 = 0 є абсциси точок перетину параболи з віссю х; отже, коріння рівняння таке: х 1 = - 1, х 2 - 3.

ІІ метод. Перетворимо рівняння до виду х 2 = 2х + 3. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у - х 2 і у = 2х + 3 (рис. 69). Вони перетинаються у двох точках А(- 1; 1) та В(3; 9). Корінням рівняння є абсциси точок А і В, отже, х 1 = - 1, х 2 - 3.

III спосіб . Перетворимо рівняння до виду х 2 – 3 = 2х. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = х 2 - 3 та у = 2х (рис. 70). Вони перетинаються у двох точках А(-1; - 2) та В (3; 6). Коріння рівняння є абсциси точок А і В, тому х 1 = - 1, х 2 = 3.

IV метод. Перетворимо рівняння до виду х2-2х4-1-4 = 0
і далі
х 2 - 2х + 1 = 4, тобто (х - IJ = 4).
Побудуємо в одній системі координат параболу у = (х – 1) 2 та пряму y = 4 (рис. 71). Вони перетинаються у двох точках А(-1; 4) та В(3; 4). Корінням рівняння є абсциси точок А і В, тому х 1 = -1, х 2 = 3.

V метод. Розділивши почленно обидві частини рівняння на х, отримаємо

Побудуємо в одній системі координат гіперболу та пряму у = х - 2 (рис. 72).

Вони перетинаються у двох точках А (-1; -3) та В(3; 1). Коріння рівняння є абсциси точок А і В, отже, х 1 = - 1, х 2 = 3.

Отже, квадратне рівняння х 2 – 2х – 3 = 0 ми вирішили графічно п'ятьма способами. Давайте проаналізуємо, у чому суть цих методів.

І спосіб. Будують графік функції біля його перетину з віссю х.

ІІ метод. Перетворять рівняння до виду ах 2 = -bх - с, будують параболу у = ах 2 і пряму у = -bх - с, знаходять точки їх перетину (корінням рівняння є абсциси точок перетину, якщо, зрозуміло, такі є).

ІІІ спосіб. Перетворять рівняння до виду ах 2 + с = - bх, будують параболу у - ах 2 + с і пряму у = - bх (вона проходить через початок координат); знаходять точки їх перетину.

IV метод. Застосовуючи метод виділення повного квадрата, перетворять рівняння на вигляд

Будують параболу у = а (х + I) 2 та пряму у = - m, паралельну осі х; знаходять точки перетину параболи та прямий.

V метод. Перетворять рівняння до виду

Будують гіперболу (це - гіпербола за умови, що) і пряму у = - ах - b; знаходять точки їх перетину.

Зауважимо, що перші чотири способи можна застосувати до будь-яких рівнянь виду ах 2 + bх + с = 0, а п'ятий — тільки до тих, у яких с . На практиці можна вибирати той спосіб, який вам здається найбільш пристосованим до даному рівняннюабо який вам більше подобається (або зрозуміліший).

Зауваження . Незважаючи на велику кількість способів графічного розв'язання квадратних рівнянь, впевненості в тому, що будь-яке квадратне рівняння ми
зможемо вирішити графічно, ні. Нехай, наприклад, потрібно вирішити рівняння х 2 - х - 3 = 0 (спеціально візьмемо рівняння, схоже на те, що було в
розглянутому прикладі). Спробуємо його вирішити, наприклад, другим способом: перетворимо рівняння до виду х 2 = х + 3, збудуємо параболу у = х 2
пряму у = х + 3, вони перетинаються в точках А і В (рис. 73), отже, рівняння має два корені. Але чому рівне це коріння, ми за допомогою креслення
сказати не можемо - точки А і В мають не такі "хороші" координати, як у наведеному вище прикладі. А тепер розглянемо рівняння
х 2 - 16х - 95 = 0. Спробуємо його вирішити, скажімо, третім способом. Перетворимо рівняння до виду х 2 - 95 = 16х. Тут треба побудувати параболу
у = х 2 - 95 і пряму у = 16х. Але обмежені розміри листа зошита не дозволяють цього зробити, адже параболу у = х 2 треба опустити на 95 клітин униз.

Отже, графічні способи розв'язання квадратного рівняння красиві та приємні, але не дають стовідсоткової гарантії розв'язання будь-якого квадратного рівняння. Врахуємо це у подальшому.