Як вирішувати рівняння із параметром графічно. Графічний метод розв'язання рівнянь із параметрами

Рівняння з параметрами по праву вважаються одними з найбільш складних завданьв курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B і C на єдиному державному екзамені ЄДІ. Однак серед великої кількостірівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.

Знайти суму цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 2x – 3| = a має чотири корені.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, збудуємо на одній координатної площиниграфіки функцій

y = | x 2 - 2x - 3 | та y = a.

Графік першої функції y = | x 2 - 2x - 3 | буде отримано з графіка параболи y = x 2 – 2x – 3 шляхом симетричного відображення щодо осі абсцис тієї частини графіка, яка знаходиться нижче за осю Ox. Частина графіка, що знаходиться вище за осі абсцис, залишиться без змін.

Зробимо це поетапно. Графіком функції y = x 2 – 2x – 3 є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Щоб збудувати її графік, знайдемо координати вершини. Це можна зробити за формулою x0 = -b/2a. Таким чином, x 0 = 2/2 = 1. Щоб знайти координату вершини параболи по осі ординат, підставимо отримане значення для x 0 рівняння розглянутої функції. Отримаємо, що y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Отже, вершина параболи має координати (1; -4).

Далі потрібно знайти точки перетину гілок параболи з осями координат. У точках перетину гілок параболи з віссю абсцис значення функції дорівнює нулю. Тому вирішимо квадратне рівняння x 2 - 2x - 3 = 0. Його коріння і будуть шуканими точками. За теоремою Вієта маємо x 1 = -1, x 2 = 3.

У точках перетину гілок параболи з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Таким чином, точка y = -3 є точка перетину гілок параболи з віссю y. Отриманий графік зображено малюнку 1.

Щоб отримати графік функції y = | x 2 – 2x – 3 |, відобразимо симетрично щодо осі x частина графіка, що знаходиться нижче за осі абсцис. Отриманий графік зображено малюнку 2.

Графік функції y = a – це пряма, паралельна осі абсцис. Він зображений на рисунку 3. За допомогою малюнка і знаходимо, що графіки мають чотири загальні точки (а рівняння – чотири корені), якщо a належить до інтервалу (0; 4).

Цілі значення числа a отриманого інтервалу: 1; 2; 3. Щоб відповісти на запитання задачі, знайдемо суму цих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Знайти середнє арифметичне цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 4|x| - 1 | = a має шість коренів.

Почнемо з побудови графіка функції y = | x 2 - 4 | x | - 1 |. І тому скористаємося рівністю a 2 = |a| 2 і виділимо повний квадрату підмодульному вираженні, написаному у правій частині функції:

x 2 – 4|x| - 1 = | x | 2 - 4 | x | - 1 = ( | x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = ( | x | - 2) 2 - 5.

Тоді вихідна функція матиме вигляд y = | ( | x | - 2) 2 - 5 |.

Для побудови графіка цієї функції будуємо послідовно графіки функцій:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - парабола з вершиною в точці з координатами (2; -5); (Мал. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - частина побудованої в пункті 1 параболи, яка знаходиться праворуч від осі ординат, симетрично відображається зліва від осі Oy; (Мал. 2).

3) y = | ( | x | - 2) 2 - 5 | – частина побудованого в пункті 2 графіка, що знаходиться нижче за осю x, відображається симетрично щодо осі абсцис нагору. (Мал. 3).

Розглянемо малюнки, що вийшли:

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі абсцис.

За допомогою малюнка робимо висновок, що графіки функцій мають шість загальних точок(Рівняння має шість коренів), якщо a належить інтервалу (1; 5).

Це можна побачити на наступному малюнку:

Знайдемо середнє арифметичне цілих значень параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Відповідь: 3.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Щоб повно розкрити можливості цього, будемо розглядати основні типи завдань.

Зразки завдань під час відпрацювання знань і умінь під час вирішення завдань із параметрами графічним методом (координатна площина)

Завдання 1.

При яких значенняхaрівняння = має два корені?

Рішення.

Переходимо до рівносильній системі:

Ця система на координатній площині (;) задає криву. Зрозуміло, що всі точки цієї дуги параболи (і лише вони) мають координати, що задовольняють вихідне рівняння. Тому число розв'язків рівняння при кожному фіксованому значенні параметра, дорівнює кількості точок перетину кривої з горизонтальною прямою, що відповідає цьому значенню параметра.

Очевидно при зазначені прямі перетинають графік у двох точках, що дорівнює вихідному рівнянню мати два корені.

Відповідь:при.

Завдання 2.

Знайти всі значення а, за яких система має єдине рішення.

Рішення.

Перепишемо вихідну систему у такому вигляді:

Всі рішення цієї системи (пари виду) утворюють область, показану на малюнку штрихуванням. Вимога єдиності вирішення даної системи графічною мовою перекладається так: горизонтальні прямі повинні мати з отриманою областю тільки одну загальну точку. Легко помітити, що лише пряміі задовольняють висунутому вимозі.

Відповідь:або.

Щойно розібрані два завдання дозволяють дати більш конкретні рекомендації порівняно з наведеними раніше:

спробувати виразити параметр через змінну, тобто отримати рівності виду, потім

на площині будувати графік функції.

Завдання 3.

При яких значенняха рівняння має рівно три корені?

Рішення.

Маємо

Графік цієї сукупності – об'єднання «куточка» та параболи. Очевидно, лише пряма перетинає отримане об'єднання у трьох точках.

Відповідь: .

Зауваження: Параметр зазвичай розглядається як фіксоване, але невідоме число. Тим часом з формального погляду параметр – це змінна, причому «рівноправна» коїться з іншими, що у задачі. При такому погляді параметр форми задають функції не з однією, а з двома змінними.

Завдання 4.

Знайти усі значення параметра, у яких рівняння має одне рішення.

Рішення.

Дроб дорівнює нулю і тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Знаходимо коріння квадратного тричлена:

За допомогою отриманої системи легко побудувати графік вихідного рівняння. Саме наявність «проколів» у цьому графіку дозволяє при і = мати рівняння єдине рішення. Це визначальний фактор у рішенні.

Відповідь: в.

Завдання 5.

При яких значеннях параметраа рівняння має єдине рішення.

Рішення.

Запишемо систему, рівносильну вихідному рівнянню

Звідси отримуємо

Будуємо графік і проводитимемо прямі перпендикулярні осіа .

Перші дві нерівності системи задають безліч точок, показане штрихуванням, причому до цього безліч не входять гіперболи і.

Тоді відрізок та промінь, відрізок та промінь, що лежать відповідно на прямих і , є графіком вихідного рівняння Одне рішення буде, якщо 2< < или < или = .

Відповідь : 2 < < или < или = .

Завдання 6.

Знайти усі значення параметраа , при яких рівняння

має рівно два різних рішень

Рішення.

Розглянемо сукупність двох систем

Якщо , те.

Якщо < , те.

Звідси

або

Параболи та пряма мають дві спільні точки:А (-2; - 2), В(-1; -1), причому, В - вершина першої параболи,D - Вершина другий. Отже, графік вихідного рівняння показано малюнку.

Має бути рівно два різні рішення. Це виконується за або.

Відповідь:або.

Завдання 7.

Знайдіть множину всіх чисел, для кожного з яких рівняння

має тільки два різні корені.

Рішення.

Перепишемо це рівняння у вигляді

Коріння рівняння за умови, що.

Будуємо графік даного рівняння. В даному випадкуграфік зручно будувати, віднісши змінної вісь ординат. Тут відповідь «читаємо» вертикальними прямими, отримаємо, що дане рівняння має лише два різні корені при = -1 або або.

Пунктири говорять про те, що.

Відповідь:при = -1 або.

Завдання 8.

Для яких у багатьох розв'язках нерівності міститься проміжок.

Рішення.

Запишемо сукупність двох систем, рівносильну вихідному рівнянню:

або

Оскільки у вирішенні першої системи немаєа не може входити відрізок, необхідні дослідження проведемо для другої системи.

Маємо

Позначимо . Тоді друга нерівність системи набуває вигляду< - і координатної площині задає безліч, показане малюнку.

За допомогою малюнка встановлюємо, що при отриманій множині містяться всі точки, абсциси в яких пробігають всі значення проміжку

Тоді звідси.

Відповідь : .

Завдання 9.

Знайти усі негативні числа, за яких існує однина, що задовольняє системі

Рішення.

Маємо,

Перше рівняння на координатній площині визначає сімейство вертикальних прямих. Прямі та розбивають площини на чотири області. Деякі є рішеннями нерівності системи. Саме які - можна встановити, взявши з кожної області по пробній точці. Та область, точка якої задовольняє нерівності, є його розв'язанням (такий прийом асоціюється з методом інтервалів при вирішенні нерівностей з однією змінною). Будуємо прямі

Наприклад, беремо крапку і підставляємо в Координати точки задовольняють нерівність.

Отримуємо дві області (I) та ( II), але, враховуючи, що за умовою, ми беремо лише область (I). Будуємо прямі , k .

Отже, вихідній системі задовольняють всі точки (і тільки вони), що лежать на променях і виділені на кресленні жирними лініями, (тобто будуємо точки в заданій області).

Тепер треба знайти єдине за фіксованого. Будуємо паралельні прямі, що перетинають вісь. і знаходимо де буде одна точка перетину з прямою.

Знаходимо на малюнку, що вимога єдиності рішення досягається, якщо (при вже 2 точки),

де - ордината точки перетину прямих та,

де - ордината точки припинення прямих і.

Отже, отримуємо< .

Відповідь: < .

Завдання 10.

За яких значень параметра, а система має рішення?

Рішення.

Розкладемо на множники ліву частину нерівності системи, маємо

Будуємо прямі та. Показуємо на малюнку штрихуванням безліч точок площини, що задовольняє нерівність системи.

Будуємо гіперболу = .

Тоді абсциси виділених дуг гіпербол – рішення вихідної системи.M , P , N , Q - Вузлові точки. Знайдемо їхні абсциси.

Для точок P , Q маємо

Залишається записати відповідь: або.

Відповідь:або.

Завдання 11.

Знайти всі значення, у яких будь-яке рішення нерівності по модулю вбирається у двох ().

Рішення .

Перепишемо цю нерівність у такому вигляді. Побудуємо графіки рівнянь та =.

«Метод інтервалів» встановлюємо, що рішенням вихідної нерівності будуть заштриховані області.

Тепер будуємо область і дивимося, яка її частина потрапляє до заштрихованої області.

Тобто. тепер, якщо при якомусь фіксованому значенні пряма в перетині з отриманою областю дає лише точки, абсциси яких задовольняють умові < 2, то - одне з значень значень параметра.

Отже, бачимо, що.

Відповідь: .

Завдання 12.

При яких значеннях параметра безліч розв'язків нерівності містить трохи більше чотирьох цілих значень?

Рішення.

Перетворимо цю нерівність до виду. Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем

або

Зображаємо з допомогою цієї сукупності рішення вихідної нерівності.

Проведемо прямі де. Тоді значення, для якого пряма перетинає прямі не більше ніж у чотирьох точках із зазначеної множини, буде шуканим. Отже, ми бачимо, що або.

Відповідь:або або.

Завдання 13.

При яких значеннях параметраа має рішення система

Рішення.

Коріння квадратного тричлена в.

Тоді

Будуємо прямі та.

Методом «інтервалів» знаходимо розв'язання нерівності системи (заштрихована область).

Та частина кола з центром на початку координат і радіуса 2, яка потрапляє в заштриховану область і буде розв'язанням цієї системи. .

Значення та знаходимо із системи

Значення і – із системи.

Відповідь:

Завдання 14.

Залежно від значень параметраа розв'язати нерівність > .

Рішення.

Перепишемо цю нерівність у вигляді та розглянемо функцію, яку, розкриваючи модулі, запишемо так:

Будуємо графік. Графік розбиває координатну площину дві області. Взявши т. (0; 0) і підставивши і вихідне нерівність, отримаємо, що 0 > 1, і тому вихідне нерівність виконується в області, що лежить вище графіка.

Безпосередньо з малюнка отримуємо:

за рішень немає;

при ;

при.

Відповідь: за рішень немає;

при ;

при.

Завдання 15.

Знайдіть усі значення параметра, при якому система нерівностей

задовольняється лише за одного.

Рішення.

Перепишемо цю системуу такому вигляді:

Побудуємо область, що задається цією системою.

1), - вершина параболи.

2) - пряма, що проходить через точки і.

Вимога єдиності рішення графічною мовою перекладається так: горизонтальні прямі з отриманою областю повинні мати лише одну загальну точку. Висунутій вимогі задовольняють прямі та, де – ордината точки перетину параболи та прямий.

Знайдемо значення:

= (не підходить по сенсу завдання),

Знаходимо ординату:

Відповідь: ,

Завдання 16.

Знайти усі значення параметраа, при яких система нерівностей

задовольняє лише за одного х.

Рішення .

Побудуємо параболи та штрихуванням покажемо рішення останньої системи.

1) , .

2) , .

З малюнка видно, що умова задачі виконується за або.

Відповідь:або.

Завдання 17.

При яких значеннях рівняння має три корені.

Рішення.

Дане рівняння рівносильне сукупності

Графік сукупності - поєднання графіків параболи та куточка.

Прямі перетинають отримане об'єднання у трьох точках.

Відповідь:при.

Завдання 18.

При яких значеннях рівняння має три рішення.

Рішення.

Перетворимо ліву частину цього рівняння. Отримаємо квадратне рівняння щодо.

Отримаємо рівняння

Яке рівносильне сукупності

Об'єднання графіків парабол є рішенням сукупності.

Знаходимо ординату окуляри перетину парабол:

Зчитуємо потрібну інформацію з малюнка: дане рівняння має три рішення при або

Відповідь:при або

Завдання 19.

Залежно від параметра визначити кількість коренів рівняння

Рішення .

Розглянемо дане рівняння як квадратне щодо а.

,

.

Отримуємо сукупність

Будуємо графіки рівнянь сукупності та відповідаємо на поставлене питання задачі.

Відповідь:: немає рішень;

: одне рішення;

: два рішення;

або: три рішення;

або: чотири рішення.

Завдання 20.

Скільки рішень має система

Рішення.

Зрозуміло, що кількість коренів другого рівняння системи дорівнює кількості рішень самої системи.

Маємо, .

Розглянувши це рівняння як квадратне, отримуємо сукупність.

Тепер звернення до координатної площини робить завдання простим. Координати точок перетину знаходимо, вирішивши рівняння

Звідси

Вершини парабол і.

Відповідь: : чотири рішення;

: два рішення;

: одне рішення;

: немає рішень.

Завдання 21.

Знайти всі дійсні значення параметра, для яких рівняння має лише два різні корені. Запишіть це коріння.

Рішення .

Знайдемо коріння квадратного тричлена, що стоїть у дужках:

Зобразимо безліч розв'язків даного рівняння в координатній площині, побудувавши графіки за умови, що

Зчитуємо з малюнка потрібну інформацію. Отже, дане рівняння має два різні корені при (і) та при (і)

Відповідь: при (і) та

при (і).

Завдання 2 2 .

Вирішити систему нерівностей:

Рішення.

Будуємо у площині графіки параболи та прямий.

Усі точки зафарбованої області – вирішення системи. Розіб'ємо побудовану область на дві частини.

Якщо і, то немає рішень.

Якщо, то абсциси точок зафарбованої області будуть більшими за абсцис точок прямої, але менші за абсцис (більшого кореня рівняння) параболи.

Виразимо через з рівняння прямий:

Знайдемо коріння рівняння:

Тоді.

Якщо ж, то.

Відповідь: при та 1 немає рішень;

при;

при.

Завдання 23.

Розв'язати систему нерівностей

Рішення.

– вершина параболи.

Вершина параболи.

Знаходимо абсциси точок перетину парабол:

Зафарбована область – рішення системи. Розбиваємо її на дві частини.

У рівняннях парабол виражаємо через:

Записуємо відповідь:

якщо і, то немає рішень;

якщо то< ;

якщо то.

Завдання 24.

При яких значеннях, а рівняння немає рішень?

Рішення.

Рівняння рівносильне системі

Побудуємо безліч рішень системи.

Три шматочки параболи вирішення цього рівняння.

Знайдемо за якого і виключимо його.

Отже, якщо немає рішень;

у разі немає рішень;

(зауваження: за іншихає одне чи два рішення).

Відповідь: ; .

Завдання 25.

При яких дійсних значеннях параметра існує хоча б одне, що відповідає умовам:

Рішення.

Вирішимо графічно «методом інтервалів» нерівність і побудуємо графік. Подивимося, яка частина графіка потрапляє в побудовану область розв'язання нерівності, та знайдемо відповідні значенняа.

Будуємо графіки прямих та

Вони розбивають координатну площину на 4 області.

«Методом інтервалів» вирішимо графічно останню нерівність.

Заштрихована область є рішенням. До цієї області потрапляє частина графіка параболи. на інтервалі; (за умовою нерівність системи суворе) існують, що задовольняють умовам даної системи.

Відповідь:

Завдання 26.

Знайдіть усі значення параметра, при кожному з яких безліч розв'язків нерівності не містить жодного розв'язання нерівності.

Рішення.

Побудуємо безліч розв'язків нерівності («методом інтервалів»). Потім побудуємо смугу Шукані значення параметраq ті, за яких жодна з точок зазначених областей не належить «смузі»

Відповідь:або.

Завдання 27.

При яких значеннях параметра рівняння має єдине рішення.

Рішення.

Розкладемо на множники чисельник дробу.

Дане рівняння рівносильне системі:

Побудуємо графік сукупності у координатній площині.

або

– точка перетину прямих та. Графік сукупності – об'єднання прямих.

«Виколюємо» точки графіка з абсцисами.

Проводимо прямі та дивимося, де існує одна точка перетину з графіком.

Очевидно, що тільки якщо дане рівняння має єдине рішення.

Відповідь:або.

Завдання 28.

При яких дійсних значеннях параметра система нерівностей немає рішень.

Рішення.

Безліч точок поверхні заштрихованої області задовольняє цій системі нерівностей.

Будуємо прямі. За малюнком визначаємо, що при (- абсцис точки перетину гіперболи і прямої) прямі не перетинають заштриховану область.

Відповідь:при.

Завдання 29.

При яких значеннях параметраа система має єдине рішення.

Рішення.

Перейдемо до системи, рівної даної.

У координатній площині побудуємо графіки парабол і Вершини парабол відповідно до точки і.

Обчислимо абсциси точок перетину парабол, розв'язавши рівняння

Заштрихована область - розв'язання системи нерівностей. Прямі та

має із зафарбованою областю одну загальну точку.

Відповідь:при в.

Завдання 30.

Розв'яжіть нерівність:

Рішення.

Залежно від параметра, знайдемо значення.

Нерівність вирішуватимемо «методом інтервалів».

Побудуємо параболи

: .

Обчислимо координати точки перетину парабол:

Крапки зафарбованої області задовольняють цій нерівності. Провівши пряму, розіб'ємо цю область на три частини.

1) Якщо, то немає рішень.

2) Якщо, то в рівнянні виразимо через:

Таким чином, в областіI маємо.

Якщо, то дивимося:

а) область II .

Виразимо в рівнянні через.

Найменший корінь,

Більший корінь.

Отже, в області II маємо.

б) область III : .

Відповідь: у разі немає рішень;

при

при, .

Література:

Галицький М. Л., Гольдман А. М., Звавіч Л. І. Збірник завдань з алгебри для 8 – 9 класів: Навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибленим вивченнямматематики - 2-ге вид. - М.: Просвітництво, 1994.

П. І. Горнштейн, Ст Б. Полонський, М. С. Якір. Завдання із параметрами. 3-те видання, доповнене та перероблене. - М.: Ілекса, Харків: Гімназія, 2003.

Фаддєєв Д. К. Алгебра 6 - 8. - М.: Просвітництво, 1983 (б - ка вчителя математики).

А. Х. Шахмейстер. Рівняння та нерівності з параметрами. За редакцією Б. Г. Зіва. З – Петербург. Москва. 2004.

В. В. Амелькін, В. Л. Рабцевич. Завдання з параметрами Мінськ "Асар", 2002.

А. Х. Шахмейстер. Завдання з параметрами в ЄДІ. Видавництво Московського університету, ЧеРо на Неві МЦНМВ.

Отделкіна Ольга учениця 9 класу

Ця тема є невід'ємною частиною вивчення шкільного курсуалгебри. Мета даної роботи глибшого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко приводить до відповіді. Цей реферат допоможе зрозуміти іншим учням застосування графічного методу вирішення рівнянь з параметрами, дізнатися про походження, розвиток цього методу.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Введення2

Розділ 1. Рівняння з параметром

Історія виникнення рівнянь із параметром3

Теорема Вієта4

Основні поняття5

Глава 2. Види рівнянь із параметрами.

Лінійні рівняння6

Квадратні рівняння…………………………………………....................7

Глава 3. Методи вирішення рівнянь із параметром

Аналітичний метод….……………………………………………….......8

Графічний метод. Історія виникнення….…………………………9

Алгоритм рішення графічним методом..…………….....…………….10

Рішення рівняння з модулем……………...…………………………….11

Практична частина……………………...………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………….19

Список литературы………………………………………………………………20

Вступ.

Я вибрала цю тему, оскільки вона є невід'ємною частиною вивчення шкільного курсу алгебри. Готуючи цю роботу, я ставила за мету більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко призводить до відповіді. Мій реферат допоможе зрозуміти іншим учням застосування графічного методу вирішення рівнянь з параметрами, дізнатися про походження, розвиток цього методу.

В сучасного життявивчення багатьох фізичних процесівта геометричних закономірностей часто призводить до вирішення задач з параметрами.

Для вирішення таких рівнянь графічний метод є дуже ефективним, коли потрібно встановити скільки коренів має рівняння в залежності від параметра α.

Завдання з параметрами представляють суто математичний інтерес, сприяють інтелектуальному розвиткуучнів, є хорошим матеріалом для відпрацювання навичок. Вони мають діагностичну цінність, оскільки за допомогою них можна перевірити знання основних розділів математики, рівень математичного та логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльностіта перспективні можливості успішного оволодіння курсом математики у вищих навчальних закладах.

У моєму рефераті розглянуті типи рівнянь, що часто зустрічаються, і, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів, аджерівняння з параметрамипо праву вважаються одними із найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють до списку завдань на єдиному державний іспитЄДІ.

Історія виникнення рівнянь із параметром

Завдання на рівняння з параметром зустрічалися вже в астрономічному трактаті Аріабхаттіам, складеному в 499 р. Індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений Брахмагупта (VII ст.) виклав загальне правилорозв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

αх 2 + bx = c, α>0

У рівнянні коефіцієнти, крім параметраможуть бути і негативними.

Квадратні рівняння у ал-Хорезмі.

В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь із параметром а. Автор налічує 6 видів рівнянь, виражаючи їх так:

1) «Квадрати дорівнюють корінням», тобто αx 2 = bx.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто αx 2 = с.

3) «Коріння дорівнює числу», тобто αx = c.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто αx 2+c=bx.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто αx 2+bx=c.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bx + c = αx 2 .

Формули розв'язання квадратних рівнянь з ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаній у 1202 р. Італійським математиком Леонардо Фібоначчі.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння з параметром загальному виглядіє у Вієта, проте Вієта визнавав тільки позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у ХІІ ст. враховують, крім позитивних, та негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіброзв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

Теорема Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між параметрами, коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 р. Наступним чином: «Якщо b + d, помножене на мінус α 2 , дорівнює bc, то α дорівнює b і d».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що α, як і будь-яка голосна літера, означала в нього невідоме (наше х), голосні ж b, d - коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає:

Якщо має місце

(α + b)x - x 2 = αb,

Т. е. x 2 - (α -b)x + αb =0,

то x 1 = a, x 2 = b.

Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, Записаними за допомогою символів, Вієта встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Проте символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чиселі тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.

Основні поняття

Параметр - незалежна змінна, значення якої вважається фіксованим чи довільним числом, чи числом, що належить заданою умовою завдання проміжку.

Рівняння з параметром- математичнерівняння, зовнішній виглядта рішення якого залежить від значень одного або кількох параметрів.

Вирішити рівняння з параметром означає для кожного значеннязнайти значення х, що задовольняють цьому рівнянню, а також:

1. 1. Дослідити, при яких значеннях параметрів рівняння має коріння та скільки їх при різних значенняхпараметрів.
2. 2. Знайти всі вирази для коренів і вказати для кожного з них значення параметрів, при яких цей вислів дійсно визначає корінь рівняння.

Розглянемо рівняння α(х+k)= α+c, де α, c, k, x змінні величини.

Системою допустимих значень змінних α, c, k, xназивається будь-яка система значень змінних, коли і ліва і права частини цього рівняння приймають дійсні значення.

Нехай А - множина всіх допустимих значень α, K - множина всіх допустимих значень k, Х - множина всіх допустимих значень х, C - множина всіх допустимих значень c. Якщо кожного з множин A, K, C, X вибрати і зафіксувати відповідно по одному значенню α, k, c, і підставити їх у рівняння, то отримаємо рівняння щодо x, тобто. рівняння з одним невідомим.

Змінні α, k, c, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.

Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: α, b, c, d, …, k, l, m, n, а невідомі - літерами x, y, z.

Два рівняння, що містять одні й самі параметри, називаютьсярівносильними, якщо:

а) вони мають сенс при одних і тих же значення параметрів;

б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого та навпаки.

Види рівнянь із параметрами

Рівняння з параметрами бувають: лінійніта квадратні.

1) Лінійне рівняння. Загальний вигляд:

α х = b, де х – невідоме;α, b - параметри.

Для цього рівняння особливим або контрольним значенням параметра є те, при якому перетворюється на нуль коефіцієнт при невідомому.

При вирішенні лінійного рівнянняз параметром розглядаються випадки, коли параметр дорівнює своєму особливому значенню та відрізняється від нього.

Особливим значенням параметра є значенняα = 0.

1.Якщо, а ≠0 , то за будь-якої пари параметрівα і b воно має єдине рішеннях = .

2.Якщо, а =0, то рівняння набуває вигляду:0х = b . У цьому випадку значення b = 0 є особливим значеннямпараметра b.

2.1. При b ≠ 0 рівняння рішень не має.

2.2. При b =0 рівняння набуде вигляду:0х =0.

Рішенням цього рівняння є будь-яке дійсне число.

Квадратне рівняння із параметром.

Загальний вигляд:

α x 2 + bx + c = 0

де параметр α ≠0, b та с - довільні числа

Якщо α =1, то рівняння називається наведеним квадратним рівнянням.

Коріння квадратного рівняння знаходиться за формулами

Вираз D = b 2 - 4 α c називають дискримінантом.

1. Якщо D> 0 — рівняння має два різні корені.

2. Якщо D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Якщо D = 0 — рівняння має два рівні корені.

Методи вирішення рівнянь із параметром:

1. Аналітичний - спосіб прямого рішення, що повторює стандартні процедури знаходження відповіді рівняння без параметрів.
2. Графічний - залежно від умови завдання розглядається положення графіка відповідної квадратичної функціїу системі координат.

Аналітичний метод

Алгоритм рішення:

1. Перш ніж приступити до вирішення задачі з параметрами аналітичним методомпотрібно розібратися в ситуації для конкретного числового значенняпараметра. Наприклад, візьміть значення параметра α =1 і дайте відповідь на питання: чи є значення параметра α =1 шуканим для даної задачі.

Приклад 1. Вирішити щодоХ лінійне рівняння з параметром m:

За змістом задачі (m-1)(x+3) = 0, тобто m= 1, х = -3.

Помноживши обидві частини рівняння на (m-1)(x+3), отримаємо рівняння

Отримуємо

Звідси при m = 2,25.

Тепер необхідно перевірити, чи немає таких значень m, за яких

знайдене значення x дорівнює -3.

Вирішуючи це рівняння, отримуємо, що х дорівнює -3 при m = -0,4.

Відповідь: при m = 1, m = 2,25.

графічний метод. Історія виникнення

Дослідження загальних залежностей розпочалося у 14 столітті. Середньовічна наукабула схоластичною. При такому характері не залишалося місця вивченню кількісних залежностей, йшлося лише про якості предметів та їх зв'язки один з одним. Але серед схоластів виникла школа, яка стверджувала, що якості можуть бути більш менш інтенсивними (сукня людини, що звалилася в річку, мокріше, ніж у того, хто лише потрапив під дощ)

Французька вчений МиколаОресм став зображувати інтенсивність довжинами відрізків. Коли він мав ці відрізки перпендикулярно деякої прямої, їх кінці утворювали лінію, названу ним "лінією інтенсивностей" або "лінією верхнього краю» (графік відповідної функціональної залежності). Оресм вивчав навіть "площинні" та "тілесні" якості, тобто функції , що залежать від двох або трьох змінних.

Важливим досягненням Оресма була спроба класифікувати графіки. Він виділив три типи якостей: Рівномірні (з постійною інтенсивністю), рівномірно-нерівномірні (з постійною швидкістюзміни інтенсивності) та нерівномірно-нерівномірні (всі інші), а також характерні властивостіграфіків таких якостей.

Щоб створити математичний апаратвивчення графіків функцій, знадобилося поняття змінної величини. Це було введено у науку французьким філософом і математиком Рене Декартом (1596-1650). Саме Декарт прийшов до ідей про єдність алгебри та геометрії та про роль змінних величинДекарт ввів фіксований одиничний відрізок і став розглядати відносини інших відрізків до нього.

Таким чином, графіки функцій за весь час свого існування пройшли через низку фундаментальних перетворень, що призвели їх до того виду, якого ми звикли. Кожен етап чи ступінь розвитку графіків функцій – невід'ємна частина історії сучасної алгебри та геометрії.

Графічний спосіб визначення числа коренів рівняння залежно від параметра, що входить до нього, є більш зручним, ніж аналітичний.

Алгоритм вирішення графічним методом

Графік функції - безліч точок, у якихабсцисиє допустимими значеннямиаргументу, а ординати- Відповідними значеннямифункції.

Алгоритм графічного рішеннярівнянь із параметром:

1. Знаходимо область визначення рівняння.
2. Виражаємо α як функцію від х.
3. У системі координат будуємо графік функціїα (х) для тих значень х, які входять до області визначення даного рівняння.
4. Знаходимо точки перетину прямоїα =с, з графіком функції

α (х). Якщо пряма α =з перетинає графікα (х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо вирішити рівняння c = α (х) щодо х.

1. Записуємо відповідь

Розв'язання рівнянь із модулем

При вирішенні рівнянь з модулем, що містять параметр, графічним способом, необхідно побудувати графіки функцій різних значенняхпараметра розглянути всі можливі випадки.

Наприклад, │х│= а,

Відповідь: якщо а < 0, то нет корней, а > 0, х = а , х = - а, якщо а = 0, то х =0.

Розв'язання задач.

Завдання 1. Скільки коренів має рівняння| | x | - 2 | = a залежно від параметра a?

Рішення. У системі координат (x; y) побудуємо графіки функцій y = | | x | - 2 | та y = a . Графік функції y = | | x | - 2 | зображений малюнку.

Графіком функції y =α a = 0).

З графіка видно, що:

Якщо a = 0, то пряма y = a збігається з віссю Ox і має графік функції y = | | x | - 2 | дві загальні точки; значить, вихідне рівняння має два корені (в даному випадку коріння можна знайти: x 1,2 = + 2).
Якщо 0< a < 2, то прямая y = α має із графіком функції y = | | x | - 2 | чотири загальні точки і, отже, вихідне рівняння має чотири корені.
Якщо a = 2, то пряма y = 2 має із графіком функції три загальні точки. Тоді вихідне рівняння має три корені.
Якщо a > 2, то пряма y = a матиме з графіком вихідної функції дві точки, тобто це рівняння матиме два корені.

Відповідь: якщо a < 0, то корней нет;
якщо a = 0, a > 2, то два корені;
якщо a = 2, то три корені;
якщо 0< a < 2, то четыре корня.

Завдання 2. Скільки коренів має рівняння| x 2 - 2 | x | - 3 | = a залежно від параметра a?

Рішення. У системі координат (x; y) побудуємо графіки функцій y = | x 2 - 2 | x | - 3 | і y = a.

Графік функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 | зображений малюнку. Графіком функції y =α є пряма, паралельна Ox або з нею збігається (коли a = 0).

З графіка видно:

Якщо a = 0, то пряма y = a збігається з віссю Ox і має графік функції y = | x2 - 2 | x | - 3 | дві загальні точки, а також пряма y = a матиме з графіком функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 | дві загальні точки при a > 4. Отже, при a = 0 та a > 4 вихідне рівняння має два корені.
Якщо 0< a< 3, то прямая y = a має із графіком функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 | чотири загальні точки, а також пряма y= a матиме з графіком побудованої функції чотири загальні точки при a = 4. Отже, при 0< a < 3, a = 4 вихідне рівняння має чотири корені.
Якщо a = 3, то пряма y = a перетинає графік функції у п'яти точках; отже, рівняння має п'ять коренів.
Якщо 3< a< 4, прямая y = α перетинає графік побудованої функції у шести точках; отже, за цих значень параметра вихідне рівняння має шість коренів.
Якщо a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α не перетинає графік функції y = | x 2 - 2 | x | - 3 |

Відповідь: якщо a < 0, то корней нет;
якщо a = 0, a > 4, то два корені;
якщо 0< a < 3, a = 4, то чотири корені;

якщо a = 3, то п'ять коренів;
якщо 3< a < 4, то шесть корней.

Завдання 3. Скільки коренів має рівняння

залежно від параметра a?

Рішення. Побудуємо в системі координат (x; y) графік функції

але спочатку представимо її у вигляді:

Прямі x=1, y=1 є асимптотами графіка функції. Графік функції y = | x | + a виходить із графіка функції y = | x | зміщенням на одиниць по осі Oy.

Графіки функцій перетинаються в одній точці при a > - 1; отже, рівняння (1) за цих значень параметра має одне рішення.

За a = - 1, a = - 2 графіки перетинаються у двох точках; отже, при цих значеннях параметра рівняння (1) має два корені.
При - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Відповідь: якщо a > - 1 то одне рішення;
якщо a = - 1, a = - 2, то два рішення;
якщо - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Зауваження. При вирішенні рівняння завдання особливо слід звернути увагу на випадок, коли a = - 2, оскільки точка (- 1; - 1) не належить графіку функціїПроте належить графіку функції y = | x | + a.

Завдання 4. Скільки коренів має рівняння

x + 2 = a | x – 1 |

залежно від параметра a?

Рішення. Зауважимо, що x = 1 не є коренем даного рівняння, тому що рівність 3 = a 0 не може бути вірним ні за якого значення параметра a . Розділимо обидві частини рівняння на | x - 1 | (| x - 1 |0), тоді рівняння набуде виглядуУ системі координат xOy побудуємо графік функції

Графік цієї функції зображено малюнку. Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі Ox або з нею збігається (при a = 0).

Рівняння з параметрами по праву вважають одними з найскладніших завдань у курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B та C на єдиному державному іспиті ЄДІ. Однак серед великої кількості рівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.

Знайти суму цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 2x – 3| = a має чотири корені.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, збудуємо на одній координатній площині графіки функцій

y = | x 2 - 2x - 3 | та y = a.

Графік першої функції y = | x 2 - 2x - 3 | буде отримано з графіка параболи y = x 2 – 2x – 3 шляхом симетричного відображення щодо осі абсцис тієї частини графіка, яка знаходиться нижче за осю Ox. Частина графіка, що знаходиться вище за осі абсцис, залишиться без змін.

Зробимо це поетапно. Графіком функції y = x 2 – 2x – 3 є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Щоб збудувати її графік, знайдемо координати вершини. Це можна зробити за формулою x0 = -b/2a. Таким чином, x 0 = 2/2 = 1. Щоб знайти координату вершини параболи по осі ординат, підставимо отримане значення для x 0 рівняння розглянутої функції. Отримаємо, що y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Отже, вершина параболи має координати (1; -4).

Далі потрібно знайти точки перетину гілок параболи з осями координат. У точках перетину гілок параболи з віссю абсцис значення функції дорівнює нулю. Тому розв'яжемо квадратне рівняння x 2 - 2x - 3 = 0. Його коріння і будуть шуканими точками. За теоремою Вієта маємо x 1 = -1, x 2 = 3.

У точках перетину гілок параболи з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Таким чином, точка y = -3 є точка перетину гілок параболи з віссю y. Отриманий графік зображено малюнку 1.

Щоб отримати графік функції y = | x 2 – 2x – 3 |, відобразимо симетрично щодо осі x частина графіка, що знаходиться нижче за осі абсцис. Отриманий графік зображено малюнку 2.

Графік функції y = a – це пряма, паралельна осі абсцис. Він зображений на рисунку 3. За допомогою малюнка і знаходимо, що графіки мають чотири загальні точки (а рівняння – чотири корені), якщо a належить до інтервалу (0; 4).

Цілі значення числа a отриманого інтервалу: 1; 2; 3. Щоб відповісти на запитання задачі, знайдемо суму цих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Знайти середнє арифметичне цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 4|x| - 1 | = a має шість коренів.

Почнемо з побудови графіка функції y = | x 2 - 4 | x | - 1 |. І тому скористаємося рівністю a 2 = |a| 2 і виділимо повний квадрат у підмодульному вираженні, написаному у правій частині функції:

x 2 – 4|x| - 1 = | x | 2 - 4 | x | - 1 = ( | x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = ( | x | - 2) 2 - 5.

Тоді вихідна функція матиме вигляд y = | ( | x | - 2) 2 - 5 |.

Для побудови графіка цієї функції будуємо послідовно графіки функцій:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - парабола з вершиною в точці з координатами (2; -5); (Мал. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - частина побудованої в пункті 1 параболи, яка знаходиться праворуч від осі ординат, симетрично відображається зліва від осі Oy; (Мал. 2).

3) y = | ( | x | - 2) 2 - 5 | – частина побудованого в пункті 2 графіка, що знаходиться нижче за осю x, відображається симетрично щодо осі абсцис нагору. (Мал. 3).

Розглянемо малюнки, що вийшли:

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі абсцис.

За допомогою малюнка робимо висновок, що графіки функцій мають шість загальних точок (рівняння має шість коренів), якщо належить інтервалу (1; 5).

Це можна побачити на наступному малюнку:

Знайдемо середнє арифметичне цілих значень параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Відповідь: 3.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.