− Вчитель Думбадзе В. А.
зі школи 162 Кіровського району Петербурга.

Наша група ВКонтакті
Мобільні додатки:

(де x t- час у секундах, виміряний з початку руху). Знайдіть її швидкість (м/с) в момент часу t= 9 с.

При t= 9 c маємо:

Чому ми не враховуємо число 17 із початкового рівняння?

Знайдіть похідну вихідної функції.

у похідній немає числа 17

Навіщо шукати похідну?

Швидкість – це похідна координати за часом.

У завданні просять знайти швидкість

x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху). Знайдіть її швидкість (м/с) в момент часу t= 6 с.

Знайдемо закон зміни швидкості:

(6) = 3/2 * 36-6 * 6 +2 = 54-38 = 16, а не 20

згадайте про порядок дій

А відколи додавання краще віднімання?

Множення пріоритетних додавання та віднімання. Згадайте дитячий шкільний приклад: 2 + 2 · 2. Нагадаю, що тут виходить не 8, як вважають деякі, а 6.

Ви не зрозуміли відповіді гостя.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Так що все правильно, порахуйте самі.

2) множення/поділ (залежить від порядку у рівнянні, що перше стоїть – те й вирішується насамперед);

3) складання/віднімання (аналогічно залежить від порядку в прикладі).

Множення = поділу, додавання = віднімання =>

Чи не 54 - (36 +2), а 54-36 +2 = 54 +2-36 = 20

По-перше, для вас Сергій Батькович. По-друге, ви самі зрозуміли, що й кому сказати хотіли? Я вас не зрозумів.

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом (де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху). Знайдіть її швидкість (м/с) в момент часу с.

Знайдемо закон зміни швидкості: м/с. При маємо:

Урок на тему: «Правила диференціювання», 11-й клас

Розділи:Математика

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань

Цілі уроку:

• освітні:
  • узагальнити, систематизувати матеріал теми знаходження похідної;
  • закріпити правила диференціювання;
  • розкрити для учнів політехнічне, прикладне значеннятеми;
• розвиваючі:
  • здійснити контроль засвоєння знань та умінь;
  • розвинути та вдосконалювати вміння застосовувати знання у зміненій ситуації;
  • розвинути культуру мови та вміння робити висновки та узагальнювати;
• виховні:
  • розвинути пізнавальний процес;
  • виховати в учнів акуратність при оформленні, цілеспрямованість.

Обладнання:

• кодоскоп, екран;
• картки;
• комп'ютери;
• таблиця;
• диференційовані завдання у вигляді мультимедіа презентації.

I. Перевірка домашнього завдання.

1. Заслухати повідомлення учнів за прикладами застосування похідних.

2. Розглянути приклади застосування похідної у фізиці, хімії, техніці та інших галузях, запропоновані учнями.

ІІ. Актуалізація знань.

Вчитель:

1. Дати визначення похідної функції.
2. Яка операція називається диференціюванням?
3. Які правила диференціювання застосовуються при обчисленні похідної? (До дошки запрошуються бажаючі учні).
   • похідна сума;
   • похідна робота;
   • похідна, що містить постійний множник;
   • похідна приватного;
   • похідна складної функції;
4. Наведіть приклади прикладних завдань, що призводять до поняття похідної

Ряд приватних завдань із різних галузей наук.

Завдання №1.Тіло рухається прямою згідно із законом х(t). Запишіть формулу для знаходження швидкості та прискорення тіла у момент часу t.

Завдання №2.Радіус кола R змінюється згідно із законом R = 4 + 2t 2 . Визначте, з якою швидкістю зміниться його площа вмомент t = 2 с. Радіус кола вимірюється у сантиметрах. Відповідь: 603 см 2 /с.

Завдання №3.Матеріальна точка масою 5 кг рухається прямолінійно згідно із законом

S(t) = 2t+ , де S- Шлях у метрах, t- Час у секундах. Знайдіть силу, що діє на точку в момент t = 4 с.

Відповідь:н.

Завдання №4.Маховик, який затримується гальмом, повертається за t зна кут 3t - 0,1 t 2 (рад). Знайдіть:

а) кутову швидкість обертання маховика у момент t = 7 с;
б) коли момент маховик зупиниться.

Відповідь:а) 2,86; б) 150 с.

Прикладами застосування похідної також можуть бути завдання на знаходження: питомої теплоємностіречовини даного тіла, лінійної щільності та кінетичної енергії тіла тощо.

ІІІ. Виконання диференційованих завдань.

Бажаючі виконувати завдання рівня “А”, сідають за комп'ютер та виконують тест із програмованою відповіддю. ( додаток. )

1. Знайдіть значення похідної функції у точці х 0 = 3.

2. Знайдіть значення похідної функції у = хе х у точці х 0 = 1.

1) 2е;
2) е;
3) 1+е;
4) 2+е.

3. Розв'яжіть рівняння f / (x) = 0 якщо f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Обчисліть f / (1), якщо f (x) = (x 2 + 1) (x 3 - x).

5. Знайдіть значення похідної функції f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) у точці t0 = 1.

6. Крапка рухається прямолінійно згідно із законом: S(t) = t 3 – 3t 2 . Вибери формулу, яка визначає швидкість руху цієї точки в момент часу t.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 - 3t;
3) 3t 2 - 6t;
4) t3+6t.

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Застосування похідної у фізиці, техніці, біології, житті

Презентація до уроку

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку:інтегрований.

Мета уроку:вивчити деякі аспекти застосування похідної в різних областяхфізики, хімії, біології.

Завдання:розширення кругозору та пізнавальної діяльностіучнів, розвиток логічного мисленнята вміння застосовувати свої знання.

Технічне забезпечення: Інтерактивна дошка; комп'ютер та диск.

I. Організаційний момент

ІІ. Постановка мети уроку

- Урок хотілося б провести під девізом Крилова Олексія Миколайовича радянського математикаі кораблебудівника: «Теорія без практики мертва чи марна, практика без теорії неможлива чи згубна».

– Повторимо основні поняття та відповімо на запитання:

– Скажіть основне визначення похідної?
- Що ви знаєте про похідну (властивості, теореми)?
– Чи знаєте ви якісь приклади завдань із застосуванням похідної у фізиці, математиці та біології?

Розгляд основного визначення похідної та її обґрунтування (відповідь перше запитання):

Похідна - Одне з фундаментальних понять математики. Вміння вирішувати завдання із застосуванням похідної вимагає гарного знання теоретичного матеріалу, вміння проводити дослідження різних ситуацій

Тому сьогодні на уроці ми закріпимо та систематизуємо отримані знання, розглянемо та оцінимо роботу кожної групи та на прикладі деяких завдань покажемо, як за допомогою похідної вирішувати інші завдання та нестандартні завданняіз застосуванням похідної.

ІІІ. Пояснення нового матеріалу

1. Миттєва потужність є похідна роботи за часом:

W = lim ΔA/Δt ΔA –зміна роботи.

2. Якщо тіло обертається навколо осі, то кут повороту є функцією часу t
Тоді кутова швидкістьдорівнює:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Сила струму є похідною Ι = lim Δg/Δt = g′,де g– позитивний електричний заряд, що переноситься через переріз провідника за час Δt.

4. Нехай ΔQ– кількість теплоти, необхідне для зміни температури за Δtчасу, тоді lim ΔQ/Δt = Q′ = C –питома теплоємність.

5. Завдання про швидкість перебігу хімічної реакції

m(t) – m(t0) –кількість речовини, що входить у реакцію від часу t0до t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Нехай m – маса радіоактивної речовини. Швидкість радіоактивного розпаду: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

У диференційованій формі закон радіоактивного розпаду має вигляд: dN/dt = – λN,де N- Число ядер не розпалися час t.

Інтегруючи цей вираз, отримуємо: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = constпри t = 0кількість радіоактивних ядер N = N0, звідси маємо: ln N0 = const,отже

n N = - λt + ln N0.

Потенціюючи цей вираз отримуємо:

– закон радіоактивного розпаду, де N0- Число ядер в момент часу t0 = 0, N- Число ядер, що не розпалися за час t.

7. Відповідно до рівняння теплообміну Ньютона швидкість потоку теплоти dQ/dtпрямо пропорційна площі вікна S і різниці температур ΔT між внутрішнім і зовнішнім склом і обернено пропорційна його товщині d:

dQ/dt = AS/d ΔT

8. Явищем Дифузії називається процес встановлення рівноважного розподілу

Усередині фаз концентрації. Дифузія йде убік, вирівнюючи концентрації.

m = D Δc/Δx c –концентрація
m = D cxx x -координата, D –коефіцієнт дифузії

9. Було відомо, що електричне поле збуджує або електричні заряди, або магнітне поле, яке має єдине джерело - електричний струм. Джеймс Кларк Максвел ввів одну поправку у відкриті до нього закони електромагнетизму: магнітне поле виникає також і при зміні електричного поля. Маленька на перший погляд поправка мала грандіозні наслідки: з'явилася нехай і на кінчику пера, зовсім новий фізичний об'єкт – електромагнітна хвиля. Максвелл віртуозно володів, на відміну Фарадея, якому здавалося можливим її існування, вивів рівняння для електричного поля:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Зміна електричного поля викликає появу магнітного поляу будь-якій точці простору, іншими словами, швидкість зміни електричного поля визначає величину магнітного поля. Під великим електричним струмом- Більше магнітне поле.

IV. Закріплення вивченого

– Ми з вами вивчали похідну та її властивості. Хотілося б прочитати філософське висловлювання Гільберта: «Кожна людина має певний кругозір. Коли цей світогляд звужується до нескінченного малого, він звертається до точки. Тоді людина і каже що це і є його думка.»
Спробуємо виміряти точку зору на застосуванні похідної!

Сюжет «Листик»(Застосування похідної в біології, фізиці, житті)

Розглянемо падіння як нерівномірний рухзалежить від часу.

Отже: S = S (t) V = S (t) = x (t), a = V (t) = S (t)

(Теоретичне опитування: механічний сенспохідної).

1. Розв'язання задач

Розв'яжіть самостійно завдання.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Запишемо II закон Портона, і з огляду на механічний сенс похідної перепишемо його у вигляді: F = mV′ F = mS″

Сюжет «Вовки, Суслики»

Повернемося до рівнянь: Розглянемо диференціальні рівняння показового зростання та зменшення: F = ma F = mV' F = mS»
Вирішення багатьох завдань фізики, технічної біології та соціальних наукзводяться до завдання знаходження функцій f"(x) = kf(x),що задовольняють диференційному рівнянню, де k = const .

Формула Людини

Людина в стільки разів більша за атом, у скільки разів вона менша за зірку:

Звідси слідує що
Це і є формула, що визначає місце людини у Всесвіті. Відповідно до неї розміри людини представляють середнє пропорційне зірки та атома.

Закінчити урок хотілося б словами Лобачевського: «Немає жодної галузі математики, якою б абстрактною вона не була, яка коли-небудь не виявиться застосовною до явищ дійсного світу».

V. Рішення номерів зі збірки:

Самостійне розв'язання задач на дошці, колективний розбір розв'язків задач:

№ 1 Знайти швидкість руху матеріальної точкив кінці 3 секунди, якщо рух точки заданий рівнянням s = t^2 -11t + 30.

№ 2 Крапка рухається прямолінійно згідно із законом s = 6t – t^2. У який момент її швидкість буде рівною нулю?

№ 3 Два тіла рухаються прямолінійно: одне за законом s = t^3 – t^2 – 27t, інше - за законом s = t^2 + 1. Визначити момент, коли швидкості цих тіл виявляться рівними.

№ 4 Для машини, що рухається зі швидкістю 30 м/с, гальмівний шлях визначається формулою s(t) =30t-16t^2, де s(t) – шлях у метрах, t – час гальмування за секунди. Протягом якого часу здійснюється гальмування до повної зупинкимашини? Яке відстань пройдемашина від початку гальмування до повної її зупинки?

№5 Тіло масою 8 кг рухається прямолінійно згідно із законом s = 2t^2+ 3t – 1. Знайти кінетичну енергіютіла (mv^2/2) через 3 секунди після початку руху.

Рішення: Знайдемо швидкість руху тіла у будь-який момент часу:
V = ds / dt = 4t + 3
Обчислимо швидкість тіла в момент часу t = 3:
V t = 3 = 4 * 3 + 3 = 15 (м/с).
Визначимо кінетичну енергію тіла у момент часу t = 3:
mv2/2 = 8 - 15 ^ 2 / 2 = 900 (Дж).

№6 Знайти кінетичну енергію тіла через 4 с після початку руху, якщо його маса дорівнює 25 кг, а закон руху має вигляд s = Зt^2-1.

№7 Тіло, маса якого 30 кг, рухається прямолінійно згідно із законом s = 4t^2 + t. Довести, що рух тіла відбувається під впливом постійної сили.
Рішення: Маємо s’ = 8t + 1, s» = 8. Отже, a(t) = 8 (м/с^2), тобто при даному законі руху тіло рухається з постійним прискоренням 8 м/с^2. Далі, оскільки маса тіла стала (30 кг), то за другим законом Ньютона діюча на нього сила F = ma = 30 * 8 = 240 (H) - також стала величина.

№8 Тіло масою 3 кг рухається прямолінійно згідно із законом s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Знайти силу, що діє на тіло в момент часу t = 4с.

№9 Матеріальна точка рухається згідно із законом s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Знайти її прискорення в кінці 3 секунди.

VI. Застосування похідної математики:

Похідна в математиці показує числовий виразступеня змін величини, що знаходиться в одній і точці, під впливом різних умов.

Формула похідної зустрічається нам ще 15 столітті. Великий італійський математик Тартальі, розглядаючи та розвиваючи питання – наскільки залежить дальність польоту снаряда від нахилу зброї – застосовує їх у своїх працях.

Формула похідної часто зустрічається на роботах відомих математиків 17 століття. Її застосовують Ньютон та Лейбніц.

Присвячує цілий трактат про роль похідної математики відомий вчений Галілео Галілей. Потім похідна та різні виклади з її застосуванням стали зустрічатися у роботах Декарта, французького математикаРоберваля та англійця Грегорі. Великий внесок з вивчення похідної зробили такі уми, як Лопіталь, Бернуллі, Лангранж та ін.

1. Побудувати графік та дослідити функцію:

Розв'язання цієї задачі:

Хвилина релаксації

VII. Застосування похідної у фізиці:

При вивченні тих чи інших процесів та явищ часто виникає завдання визначення швидкості цих процесів. Її рішення призводить до поняття похідної, що є основним поняттям диференціального обчислення.

Метод диференціального обчислення було створено XVII і XVIII ст. Із виникненням цього пов'язані імена двох великих математиків – І. Ньютона і Г.В. Лейбниця.

Ньютон прийшов до відкриття диференціального обчислення при вирішенні завдань про швидкість руху матеріальної точки даний моментчасу (миттєвої швидкості).

У фізиці похідна застосовується в основному для обчислення найбільших чи найменших значеньбудь-яких величин.

№1 Потенціальна енергія Uполя частки, в якому знаходиться інша, така сама частка має вигляд: U = a/r 2 – b/r, де aі b- Позитивні постійні, r- Відстань між частинками. Знайти: а) значення r0відповідне рівноважному положенню частки; б) з'ясувати, чи стійке це положення; в) Fmaxзначення сили тяжіння; г) зобразити зразкові графіки залежності U(r)і F(r).

Розв'язання цієї задачі: Для визначення r0відповідного рівноважного стану частинки досліджуємо f = U(r)на екстремум.

Використовуючи зв'язок між потенційною енергієюполя

Uі Fтоді F = – dU/dr, отримаємо F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; при цьому r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Стійку або нестійку рівновагу визначимо за знаком другої похідної:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Розглянемо випадок, коли пісок висипається із наповненої платформи.
Зміна імпульсу за короткий проміжок часу:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Доданок Δ µtuє імпульс кількості піску, що висипався з платформи за час Δ t.Тоді:
Δ p = MΔ u – µtΔ u – Δ µtΔ u = FΔ t
Розділимо на Δ tі перейдемо до межі Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Або a1= du/dt= F/(M – µt)

Відповідь: a = FM / (M + µt) 2 , a1 = F/(M – µt)

VIII. Самостійна робота:

Знайти похідні функції:

Пряма у = 2х є дотичною до функції: у = х 3 + 5х 2 + 9х + 3. Знайдіть абсцис точки дотику.

IX. Підбиття підсумків уроку:

– Яким питанням було присвячено урок?
– Чого навчилися на уроці?
– Які теоретичні факти узагальнювались на уроці?
– Які розглянуті завдання виявились найскладнішими? Чому?

Список літератури:

1. Амелькін В.В., Садовський О.П. Математичні моделіта диференціальні рівняння. - Мінськ: вища школа, 1982. - 272с.
2. Амелькін В.В.Диференціальні рівняння у додатках. М: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1987. - 160с.
3. Єругін Н.П.Книга для читання з загальному курсу диференціальних рівнянь. - Мінськ: Наука та техніка, 1979. - 744с
4. . Журнал «Потенціал» Листопад 2007 №11
5. «Алгебра та початку аналізу» 11 клас С.М. Микільський, М.К. Потапов та ін.
6. «Алгебра та математичний аналіз» Н.Я. Віленкін та ін.
7. "Математика" В.Т. Лісічкін, І.Л. Соловійчик, 1991 рік

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Фізичний сенс похідної. Завдання!

Фізичний сенспохідної. До складу ЄДІ з математики входить група завдань для вирішення яких необхідне знання та розуміння фізичного сенсу похідної. Зокрема, є завдання, де дано закон руху певної точки(об'єкта), виражений рівняннямі потрібно знайти його швидкість у певний момент часу руху, або час, через який об'єкт придбає певну задану швидкість. Завдання дуже прості, вирішуються вони на одну дію. Отже:

Нехай заданий закон руху матеріальної точки x(t) вздовж координатної осі, де x координата точки, що рухається, t - час.

Швидкість у певний час – це похідна координати за часом. У цьому полягає механічний сенс похідної.

Аналогічно, прискорення – це похідна швидкість за часом:

Таким чином, фізичний сенс похідної це швидкість. Це може бути швидкість руху, швидкість зміни будь-якого процесу (наприклад зростання бактерій), швидкість виконання роботи (і так далі, прикладних задач безліч).

Крім того, необхідно знати таблицю похідних (знати її потрібно також як таблицю множення) і правила диференціювання. Якщо конкретно, то для вирішення обумовлених завдань потрібне знання перших шести похідних (див. таблицю):

x (t) = t 2 - 7t - 20

де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (у метрах за секунду) у момент часу t = 5 c.

Фізичний сенс похідної це швидкість (швидкість руху, швидкість зміни процесу, швидкість роботи і т.д.)

Знайдемо закон зміни швидкості: v(t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 6t 2 – 48t + 17, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 9 c.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t = 6 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = -t 4 + 6t 3 + 5t + 23

де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t = 3 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 6 м/с?

Знайдемо закон зміни швидкості:

Для того, щоб знайти, в який момент часу tшвидкість дорівнювала 3 м/с, необхідно вирішити рівняння:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = t 2 – 13t + 23, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 3 м/с?

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Зазначу, що орієнтуватись тільки на такий тип завдань на ЄДІ не варто. Можуть абсолютно несподівано ввести зворотні завдання представленим. Коли дано закон зміни швидкості та стоятиме питання про знаходження закону руху.

Підказка: у разі необхідно знайти інтеграл від функції швидкості (це як і завдання одне дію). Якщо потрібно знайти пройдену відстань за певний момент часу, необхідно підставити час в отримане рівняння і обчислити відстань. Втім, ми такі завдання теж розбиратимемо, не пропустіть! Успіхів вам!

matematikalegko.ru

Алгебра та початки математичного аналізу, 11 клас (С. М. Нікольський, М. К. Потапов, Н. Н. Решетніков, А. В. Шевкін) 2009

Сторінка №094.

Підручник:

OCR-версія сторінки з підручника (текст сторінки, що знаходиться вище):

Як випливає з розглянутих на початку даного пунктузадач, справедливі такі твердження:

1. Якщо при прямолінійному русішлях s, пройдений точкою, є функція від часу t, тобто s = f(t), то швидкість точки є похідна від шляху за часом, тобто v(t) =

Цей факт висловлює механічний сенс похідної.

2. Якщо в точці х 0 до графіка функції у = f (jc) проведена дотична, то число f"(xо) є тангенсом кута а між цією дотичною та позитивним напрямком осі Ох, тобто /"(х 0) =

Tga. Цей кут називають кутом нахилу дотичної.

Цей факт висловлює геометричний сенспохідної.

ПРИКЛАД 3. Знайдемо тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції у = 0,5jc 2 - 2х + 4 у точці з абсцисою х = 0.

Знайдемо похідну функції f(x) = 0,5jc 2 - 2х + 4 у будь-якій точці х, використовуючи рівність (2):

0,5 2 х – 2 = jc – 2.

Обчислимо значення цієї похідної у точці х = 0:

Отже, tga=-2. Графік х функції у = /(jc) та дотична до її графіка у точці з абсцисою jc = 0 зображені малюнку 95.

4.1 Нехай точка рухається прямолінійно згідно із законом s = t 2 . Знайдіть:

а) приріст часу Д на проміжку часу від t x = 1 до £ 2 - 2;

б) збільшення шляху As на проміжку часу від t x = 1 до t 2 = 2;

в) середню швидкістьна проміжку часу від t x = 1 до t 2 = 2.

4.2 У завданні 4.1 знайдіть:

б) середню швидкість проміжку часу від t до t + At;

в) миттєву швидкістьу момент часу t;

г) миттєву швидкість у час t = 1.

4.3 Нехай точка рухається прямолінійно згідно із законом:

1) s = 3t + 5; 2) s = t2 - бt.

а) збільшення шляху As на проміжку часу від t до t + At;

Підручник:Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[С. М. Нікольський, М. К. Потапов, Н. Н. Решетніков, А. В. Шевкін]. - 8-е вид. - М: Просвітництво, 2009. - 464 с.: іл.

Фізичний сенс похідної. До складу ЄДІ з математики входить група завдань для вирішення яких необхідне знання та розуміння фізичного сенсу похідної. Зокрема, є завдання, де дано закон руху певної точки (об'єкта), виражений рівнянням і потрібно знайти його швидкість у певний момент часу руху, або час, через який об'єкт придбає певну задану швидкість.Завдання дуже прості, вирішуються вони на одну дію. Отже:

Нехай заданий закон руху матеріальної точки x (t) вздовж координатної осі, де x координата точки, що рухається, t - час.

Швидкість у певний час – це похідна координати за часом. У цьому полягає механічний сенс похідної.

Аналогічно, прискорення – це похідна швидкість за часом:

Таким чином, фізичний сенс похідної це швидкість. Це може бути швидкість руху, швидкість зміни будь-якого процесу (наприклад зростання бактерій), швидкість виконання роботи (і так далі, прикладних задач безліч).

Крім того, необхідно знати таблицю похідних (знати її потрібно також як таблицю множення) і правила диференціювання. Якщо конкретно, то для вирішення обумовлених завдань потрібне знання перших шести похідних (див. таблицю):

Розглянемо завдання:

x (t) = t 2 - 7t - 20

де x t – час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (у метрах за секунду) у момент часу t = 5 c.

Фізичний сенс похідної це швидкість (швидкість руху, швидкість зміни процесу, швидкість роботи і т.д.)

Знайдемо закон зміни швидкості: v(t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 маємо:

Відповідь: 3

Вирішити самостійно:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 6t 2 – 48t + 17, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у момент часу t = 9 c.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, де xt- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t = 6 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = -t 4 + 6t 3 + 5t + 23

де x- Відстань від точки відліку в метрах,t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t = 3 с.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

де x – відстань від точки відліку в метрах, t – час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 6 м/с?

Знайдемо закон зміни швидкості:

Для того, щоб знайти, в який момент часуtшвидкість дорівнювала 3 м/с, необхідно вирішити рівняння:

Відповідь: 3

Вирішіть самостійно:

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = t 2 – 13t + 23, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 3 м/с?

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом

x (t) = (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Зазначу, що орієнтуватись тільки на такий тип завдань на ЄДІ не варто. Можуть абсолютно несподівано ввести зворотні завдання представленим. Коли дано закон зміни швидкості та стоятиме питання про знаходження закону руху.

Підказка: у разі необхідно знайти інтеграл від функції швидкості (це як і завдання одне дію). Якщо потрібно знайти пройдену відстань за певний момент часу, необхідно підставити час в отримане рівняння і обчислити відстань. Втім, ми такі завдання теж розбиратимемо, не пропустіть!Успіхів вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Крапка рухається прямолінійно за законом S = t 4 +2t (S -у метрах, t -у секундах). Знайти її середнє прискорення у проміжку між моментами t 1 = 5 с, t 2 = 7 с, а також її справжнє прискорення у момент t 3=6 с.

Рішення.

1. Знаходимо швидкість руху точки як похідну від шляху S за часом t,тобто.

2. Підставляючи замість t його значення t 1 = 5 с та t 2 = 7 с, знаходимо швидкості:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 м/с; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 м/с.

3. Визначаємо збільшення швидкості ΔV за час Δt = 7 - 5 =2 з:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 – 502 = 872 м/с.

4. Таким чином, середнє прискорення точки буде рівним

5. Для визначення справжнього значенняприскорення точки беремо похідну швидкості за часом:

6. Підставляючи замість tзначення t 3 = 6 з отримаємо прискорення в цей момент часу

a порівн =12-6 3 =432 м/с 2 .

Криволінійний рух.При криволінійному русішвидкість точки змінюється за величиною та напрямком.

Уявімо точку М,яка за час Δt, рухаючись якоюсь криволінійної траєкторії, перемістилася в становище М 1(Рис. 6).

Вектор збільшення (зміни) швидкості ΔV буде

Для знаходження вектора ΔV перенесемо вектор V 1 в точку Мі збудуємо трикутник швидкостей. Визначимо вектор середнього прискорення:

Вектор а српаралельний вектору ΔV , так як від поділу вектора на скалярну величинунапрямок вектора не змінюється. Вектор істинного прискорення є межа, якого прагне ставлення вектора швидкості до відповідного проміжку часу Δt, що прагне нуля, тобто.

Таку межу називають векторною похідною.

Таким чином, справжнє прискорення точки при криволінійному русі одно векторної похідної швидкості.

З рис. 6 видно, що вектор прискорення при криволінійному русі завжди спрямований у бік увігнутості траєкторії.

Для зручності розрахунків прискорення розкладають на дві складові до траєкторії руху: по дотичній, яка називається дотичним (тангенціальним) прискоренням а, і з нормалі, зване нормальним прискоренням а n (рис. 7).

У цьому випадку повне прискорення дорівнюватиме

Дотичне прискорення збігається у напрямку зі швидкістю точки або протилежно до неї. Воно характеризує зміну величини швидкості та відповідно визначається за формулою

Нормальне прискорення перпендикулярно напрямку швидкості точки, а чисельне значення його визначається за формулою

де r - радіус кривизни траєкторії в точці, що розглядається.

Так як дотичне та нормальні прискорення взаємно перпендикулярні, тому величина повного прискорення визначається за формулою

а напрям його

Якщо то вектори дотичного прискорення і швидкості спрямовані в один бік і рух буде прискореним.

Якщо то вектор дотичного прискорення спрямований у бік, протилежну вектору швидкості, і рух буде уповільненим.

Вектор нормального прискореннязавжди спрямований до центру кривизни, тому воно називається доцентровим.