Економіко-математичні методи в економіці. Лабораторна робота: Економіко-математичні методи та моделі

При побудові економічних моделей виявляються суттєві чинники та відкидаються деталі несуттєві на вирішення поставленого завдання.

До економічних моделей можуть належати моделі:

• економічного зростання
• споживчого вибору
• рівноваги на фінансовому та товарному ринку та багато інших.

Модель— це логічний або математичний опис компонентів і функцій, що відображають суттєві властивості об'єкта або процесу, що моделюються.

Модель використовується як умовний образ, сконструйований спрощення дослідження об'єкта чи процесу.

Природа моделей може бути різною. Моделі поділяються на: речові, знакові, словесний та табличний опис та ін.

Економіко-математична модель

В управлінні господарськими процесами найбільше значення мають насамперед економіко-математичні моделі, що часто об'єднуються в системи моделей.

Економіко-математична модель(ЕММ) - це математичний опис економічного об'єкта або процесу з метою їх дослідження та управління ними. Це математичний запис вирішуваного економічного завдання.

Основні типи моделей

• Екстраполяційні моделі
• Факторні економетричні моделі
• Оптимізаційні моделі
• Балансові моделі, модель Міжгалузевого Балансу (МОБ)
• Експертні оцінки
• Теорія ігор
• Мережеві моделі
• Моделі систем масового обслуговування

Економіко-математичні моделі та методи, що застосовуються в економічному аналізі

R a = ПП/ВА + ОА,

В узагальненому вигляді змішана модель може бути представлена ​​такою формулою:

Отже, спочатку слід побудувати економіко-математичну модель, яка описує вплив окремих чинників на узагальнюючі економічні показники діяльності організації. Велике поширення в аналізі господарської діяльності набули багатофакторні мультиплікативні моделіТак як вони дозволяють вивчити вплив значної кількості факторів на узагальнюючі показники і тим самим досягти більшої глибини та точності аналізу.

Після цього потрібно вибрати спосіб вирішення цієї моделі. Традиційні методи: спосіб ланцюгових підстановок, способи абсолютних і відносних різниць, балансовий спосіб, індексний метод, а також методи кореляційно-регресійного, кластерного, дисперсійного аналізу та ін. Поряд з цими способами та методами в економічному аналізі використовуються і специфічно математичні способи та методи.

Інтегральний метод економічного аналізу

Одним із таких способів (методів) є інтегральний. Він знаходить застосування щодо впливу окремих чинників з використанням мультиплікативних, кратних, і змішаних (кратно-адитивних) моделей.

У разі застосування інтегрального методу є можливість отримання обгрунтованих результатів обчислення впливу окремих чинників, ніж із використанні методу ланцюгових підстановок та її варіантів. Метод ланцюгових підстановок та її варіанти, і навіть індексний метод мають істотні недоліки: 1) результати розрахунків впливу чинників залежить від прийнятої послідовності заміни базисних величин окремих чинників на фактичні; 2) додатковий приріст узагальнюючого показника, викликаний взаємодією факторів, як нерозкладного залишку приєднується до суми впливу останнього фактора. При використанні інтегрального методу цей приріст ділиться порівну між усіма факторами.

Інтегральний метод встановлює загальний підхід до розв'язання моделей різних видів, причому незалежно від кількості елементів, що входять до цієї моделі, а також незалежно від форми зв'язку між цими елементами.

Інтегральний метод факторного економічного аналізу має у своїй основі підсумовування прирощень функції, визначеної як приватна похідна, помножена на збільшення аргументу на нескінченно малих проміжках.

У процесі застосування інтегрального методу потрібне дотримання кількох умов. По-перше, має дотримуватися умова безперервної диференційності функції, де як аргумент береться будь-який економічний показник. По-друге, функція між початковою і кінцевою точками елементарного періоду повинна змінюватися прямою Г е. Нарешті, по-третє, повинно мати місце сталість співвідношення швидкостей зміни величин факторів

d y / d x = const

При використанні інтегрального методу обчислення певного інтеграла за заданою підінтегральною функцією та заданим інтервалом інтегрування здійснюється за наявною стандартною програмою із застосуванням сучасних засобів обчислювальної техніки.

Якщо ми здійснюємо рішення мультиплікативної моделі, то для розрахунку впливу окремих факторів на узагальнюючий економічний показник можна використовувати такі формули:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

При вирішенні кратної моделі для розрахунку впливу факторів скористаємося такими формулами:

Z=x/y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Існує два основних типи завдань, які вирішуються за допомогою інтегрального методу: статичний та динамічний. При першому типі відсутня інформація про зміну факторів, що аналізуються, протягом даного періоду. Прикладами таких завдань можуть бути аналіз виконання бізнес-планів чи аналіз зміни економічних показників проти попереднім періодом. Динамічний тип завдань має місце за наявності інформації про зміну аналізованих чинників протягом цього періоду. До цього типу завдань належать обчислення, пов'язані з вивченням часових рядів економічних показників.

Такими є найважливіші риси інтегрального методу факторного економічного аналізу.

Метод логарифмування

Крім цього, в аналізі знаходить застосування також метод (спосіб) логарифмування. Він використовується під час проведення факторного аналізу, коли вирішуються мультиплікативні моделі. Сутність аналізованого методу полягає в тому, що при його використанні має місце логарифмічно пропорційний розподіл величини спільної дії факторів між останніми, тобто ця величина розподіляється між факторами пропорційно частці впливу кожного окремого фактора на суму узагальнюючого показника. При інтегральному методі згадана величина розподіляється між факторами однаковою мірою. Тому метод логарифмування робить розрахунки впливу факторів обґрунтованішими порівняно з інтегральним методом.

У процесі логарифмування знаходять застосування не абсолютні величини приросту економічних показників, як і при інтегральному методі, а відносні, тобто індекси зміни цих показників. Наприклад, узагальнюючий економічний показник визначається у вигляді добутку трьох факторів - співмножників f = x y z.

Знайдемо вплив кожного із цих чинників на узагальнюючий економічний показник. Так, вплив першого фактора може бути визначений за такою формулою:

Δf x = Δf · lg (x 1 / x 0) / lg (f 1 / f 0)

Яким був вплив наступного фактора? Для знаходження його впливу скористаємося такою формулою:

Δf y = Δf · lg (y 1 / y 0) / lg (f 1 / f 0)

Нарешті, для того, щоб обчислити вплив третього фактора, застосуємо формулу:

Δf z = Δf · lg (z 1 / z 0) / lg (f 1 / f 0)

Таким чином, загальна сума зміни узагальнюючого показника розчленовується між окремими факторами відповідно до пропорцій відносин логарифмів окремих факторних індексів до логарифму узагальнюючого показника.

При застосуванні аналізованого методу можна використовувати будь-які види логарифмів — як натуральні, і десяткові.

Метод диференціального обчислення

При проведенні факторного аналізу знаходить застосування метод диференціального обчислення. Останній припускає, що загальна зміна функції, тобто узагальнюючого показника, підрозділяється на окремі доданки, значення кожного з яких обчислюється як добуток певної приватної похідної на збільшення змінної, за якою визначена ця похідна. Визначимо вплив окремих чинників на узагальнюючий показник, використовуючи як приклад функцію двох змінних.

Задано функцію Z = f(x, y). Якщо ця функція є диференційованою, то її зміна може бути виражена такою формулою:

Пояснимо окремі елементи цієї формули:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- Величина зміни функції;

Δx = (x 1 - x 0)- Величина зміни одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0)-величина зміни іншого фактора;

- нескінченно мала величина вищого порядку, ніж

У цьому прикладі вплив окремих факторів xі yна зміну функції Z(узагальнюючого показника) обчислюється таким чином:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сума впливу обох цих факторів - це головна, лінійна щодо збільшення даного фактора частина збільшення диференційованої функції, тобто узагальнюючого показника.

Спосіб пайової участі

В умовах вирішення адитивних, а також кратно-адитивних моделей для обчислення впливу окремих факторів на зміну узагальнюючого показника використовується також спосіб пайової участі. Його сутність у тому, що спочатку визначається частка кожного чинника у сумі їх змін. Потім ця частка множиться на загальну величину зміни узагальнюючого показника.

Припустимо, що ми визначаємо вплив трьох факторів. а,bі зна узагальнюючий показник y. Тоді для фактора, а визначення його частки та множення її на загальну величину зміни узагальнюючого показника можна здійснити за такою формулою:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в аналізована формула матиме такий вигляд:

Δy b = Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Нарешті, для фактора маємо:

Δy c = Δc/Δa + Δb +Δc*Δy

Така сутність способу пайової участі, що використовується для цілей факторного аналізу.

Метод лінійного програмування

далі:

Теорія масового обслуговування

далі:

Теорія ігор

Знаходить застосування також теорія ігор. Так само, як і теорія масового обслуговування, теорія ігор є одним із розділів прикладної математики. Теорія ігор вивчає оптимальні варіанти рішень, можливі ситуаціях ігрового характеру. Сюди відносяться такі ситуації, пов'язані з вибором оптимальних управлінських рішень, із вибором найбільш доцільних варіантів взаємовідносин коїться з іншими організаціями, тощо.

Для вирішення подібних завдань у теорії ігор використовуються методи алгебри, які базуються на системі лінійних рівнянь і нерівностей, ітераційні методи, а також методи зведення даного завдання до певної системи диференціальних рівнянь.

p align="justify"> Одним з економіко-математичних методів, що застосовуються в аналізі господарської діяльності організацій, є так званий аналіз чутливості. Цей метод найчастіше застосовується у процесі аналізу інвестиційних проектів, і навіть у цілях прогнозування суми прибутку, що залишається у розпорядженні цієї організації.

З метою оптимального планування та прогнозування діяльності організації необхідно заздалегідь передбачати зміни, які у майбутньому можуть статися з аналізованими економічними показниками.

Наприклад, слід заздалегідь прогнозувати зміна величин тих чинників, які впливають розмір прибутку: рівень покупних ціни покупні матеріальні ресурси, рівень продажних ціни продукцію цієї організації, зміна попиту покупців цієї продукції.

Аналіз чутливості полягає у визначенні майбутнього значення узагальнюючого економічного показника за умови, що величина одного або кількох факторів, що впливають на цей показник, зміниться.

Так, наприклад, встановлюють, на яку величину зміниться прибуток у перспективі за умови зміни кількості продукції, що продається на одиницю. Цим самим ми аналізуємо чутливість чистого прибутку до зміни одного з факторів, що впливають на неї, тобто в цьому випадку фактор обсягу продажу. Інші чинники, що впливають величину прибутку, є у своїй незмінними. Можна визначити величину прибутку і при одночасному зміні у майбутньому впливу кількох чинників. Таким чином, аналіз чутливості дає можливість встановити силу реагування узагальнюючого економічного показника на зміну окремих факторів, що впливають на цей показник.

Матричний метод

Поряд із вищевикладеними економіко-математичними методами в аналізі господарської діяльності знаходять застосування також. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі.

Метод мережного планування

далі:

Екстраполяційний аналіз

Крім розглянутих методів, використовується також екстраполяційний аналіз. Він включає розгляд змін стану аналізованої системи та екстраполяцію, тобто продовження наявних характеристик цієї системи на майбутні періоди. У процесі здійснення цього виду аналізу можна виділити такі основні етапи: первинна обробка та перетворення вихідного ряду наявних даних; вибір типу емпіричних функцій; визначення основних властивостей цих функцій; екстраполяція; встановлення рівня достовірності проведеного аналізу.

У економічному аналізі використовується також спосіб основних компонент. Вони застосовується з метою порівняльного аналізу окремих складових елементів, тобто властивостей проведеного аналізу діяльності організації. Головні компоненти є найважливіші характеристики лінійних комбінацій складових частин, тобто параметрів проведеного аналізу, які мають найзначніші величини дисперсії, а саме, найбільші абсолютні відхилення від середніх величин.

Сучасна економічна теорія включає як необхідний інструмент математичні моделі та методи. Використання математики економіки дозволяє вирішити комплекс взаємозалежних проблем.

По-перше, виділити і формально описати найважливіші, суттєві зв'язки економічних змінних та об'єктів. Це становище має важливий характер, оскільки вивчення будь-якого явища чи процесу з огляду на певної міри складності передбачає високий рівень абстракції.

По-друге, зі сформульованих вихідних даних і співвідношень методами дедукції можна отримувати висновки, адекватні об'єкту, що вивчається, в тій же мірі, що і зроблені передумови.

По-третє, методи математики та статистики дозволяють шляхом індукції отримувати нові знання про об'єкт, наприклад, оцінювати форму та параметри залежностей його змінних, що найбільше відповідають наявним спостереженням.

По-четверте, використання математичної термінології дозволяє точно та компактно викладати положення економічної теорії, формулювати її поняття та висновки.

Розвиток макроекономічного планування за сучасних умов пов'язані з зростанням рівня його формалізації. Основу для цього процесу заклав прогрес у галузі прикладної математики, а саме: теорії ігор, математичного програмування, математичної статистики та інших наукових дисциплін. Великий внесок у математичне моделювання економіки колишнього СРСР зробили відомі радянські вчені В.С. Нємчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович, Н.П. Федоренко. С. С. Шаталін та ін. Розвиток економіко-математичного спрямування був пов'язаний в основному зі спробами формально описати так звану «систему оптимального функціонування соціалістичної економіки» (СОФЕ), відповідно до якої будувалися багаторівневі системи моделей народногосподарського планування, оптимізаційні моделі галузей та підприємств .

Економіко-математичні методи мають такі напрямки:

Економіко-статистичні методи, включають методи економічної та математичної статистики Економічна статистика займається статистичним вивченням народного господарства загалом та окремих його галузей на основі періодичної звітності. Інструментарієм математичної статистики, що використовується для економічних досліджень, є дисперсійний та факторний аналіз кореляції та регресії.

Моделювання економічних процесівполягає в побудові економіко-математичних моделей і алгоритмів, проведенні розрахунків за ними з метою отримання нової інформації про об'єкт, що моделюється. За допомогою економіко-математичного моделювання можуть вирішуватись завдання аналізу економічних об'єктів та процесів, прогнозування можливих шляхів їх розвитку (програвання різних сценаріїв), підготовки інформації для прийняття рішень фахівцями.

При моделюванні економічних процесів широкого поширення набули: виробничі функції, моделі економічного зростання, міжгалузевий баланс, методи імітаційного моделювання та ін.

Дослідження операцій- Науковий напрямок, пов'язаний з розробкою методів аналізу цілеспрямованих дій та кількісного обґрунтування рішень. Типові завдання дослідження операцій включають: завдання масового обслуговування, управління запасами, ремонту та заміни обладнання, календарного планування, розподільні задачі та ін. Для їх вирішення використовуються методи математичного програмування (лінійного, дискретного, динамічного та стохастичного), методи теорії масового обслуговування, теорії ігор , теорії управління запасами, теорії розкладів та ін., а також програмно-цільові методи та методи мережевого планування та управління.

Економічна кібернетика- Науковий напрямок, що займається дослідженням та вдосконаленням економічних систем на основі загальної теорії кібернетики. Основні її напрями: теорія економічних систем, теорія економічної інформації, теорія систем управління економіки. Розглядаючи управління народним господарством як інформаційний процес, економічна кібернетика є науковою основою розробки автоматизованих систем управління.

В основі економіко-математичних методів лежить опис економічних процесів, що спостерігаються, і явищ за допомогою моделей.

Математична модельекономічного об'єкта - його гомоморфне відображення у вигляді сукупності рівнянь, нерівностей, логічних відносин, графіків, що об'єднує групи відносин елементів об'єкта, що вивчається, в аналогічні відносини елементів моделі. Модель – це умовний образ економічного об'єкта, побудована спрощення дослідження останнього. Передбачається, що вивчення моделі має подвійний сенс: з одного боку, воно дає нові знання про об'єкт, з іншого - дозволяє визначити найкраще рішення стосовно різних ситуацій.

Математичні моделі, що використовуються в економіці, можна поділити на класи по ряду ознак, що відносяться до особливостей об'єкта, що моделюється, мети моделювання і використовуваного інструментарію. Це моделі макро- та мікроекономічні, теоретичні та прикладні, рівноважні та оптимізаційні, описові, матричні, статичні та динамічні, детерміновані та стохастичні, імітаційні та ін.

Економіко-математичні методи (ЕММ)- узагальнюючу назву комплексу економічних та математичних наукових дисциплін, об'єднаних для вивчення економіки. Введено академіком В.С.Немчиновим на початку 60-х років. Зустрічаються висловлювання у тому, що це назва дуже умовно і відповідає сучасному рівню розвитку економічної науки, оскільки «вони (ЕММ. - авт.) немає власного предмета дослідження, відмінного від предмета дослідження специфічних економічних дисциплін» .

Проте, хоча тенденція помічена правильно, вона, очевидно, реалізується ще скоро. ЕММ насправді мають загальний об'єкт дослідження коїться з іншими економічними дисциплінами - економіку (чи ширше: соціально-економічну систему), але різний предмет науки: тобто. вони вивчають різні сторони цього об'єкта, підходять до нього із різних позицій. І головне, у своїй використовуються особливі методи дослідження, розвинені настільки, що вони стають окремими науковими дисциплінами особливого методологічного характеру. На відміну від дисциплін, у яких переважають онтологічні аспекти, а методи дослідження виступають лише більшою чи меншою мірою як допоміжні засоби, у «методологічних» дисциплінах, що становлять значну частину комплексу ЕММ, методи самі виявляються об'єктом дослідження. Крім того, дійсний синтез економіки та математики ще попереду, знадобиться чимало часу, доки він здійсниться повною мірою.

Загальноприйнята класифікація економіко-математичних дисциплін, що стали металом економіки, математики та кібернетики, поки не вироблена. З відомою часткою умовності її можна як наступної схеми .

0. Принципи економіко-математичних методів:

теорія економіко-математичного моделювання, включаючи економіко-статистичне моделювання;

теорія оптимізація економічних процесів.

1. Математична статистика (її економічні програми):

вибірковий метод;

дисперсійний аналіз;

кореляційний аналіз;

регресійний аналіз;

багатовимірний статистичний аналіз;

факторний аналіз;

теорія індексів та ін.

2. Математична економія та економетрія:

теорія економічного зростання (моделі макроекономічної динаміки);

теорія виробничих функцій;

міжгалузеві баланси (статичні та динамічні);

національні рахунки, інтегровані матеріально-фінансові баланси;

аналіз попиту та споживання;

регіональний та просторовий аналіз;

глобальне моделювання та ін.

3. Методи прийняття оптимальних рішень, включаючи дослідження операцій:

оптимальне (математичне) програмування;

лінійне програмування;

нелінійне програмування;

динамічне програмування;

дискретне (цілочисленне) програмування;

блочне програмування;

дробово-лінійне програмування;

параметричне програмування;

сепарабельне програмування;

стохастичне програмування;

геометричне програмування;

методи гілок та кордонів;

мережеві методи планування та управління;

програмно-цільові методи планування та управління;

теорія та методи управління запасами;

теорія масового обслуговування;

теорія ігор;

теорія рішень;

теорія розкладів.

4. ЕММ та дисципліни, специфічні для централізовано планованої економіки:

теорія раціонального функціонування соціалістичної економіки (СОФЕ);

оптимальне планування:

народногосподарське;

перспективне та поточне;

галузеве та регіональне;

теорія оптимального ціноутворення;

5. ЕММ, специфічні для конкурентної економіки:

моделі ринку та вільної конкуренції;

моделі ділового циклу;

моделі монополії, дуополії, олігополії;

моделі індикативного планування;

моделі міжнародних економічних відносин;

моделі теорії фірми

6. Економічна кібернетика:

системний аналіз економіки;

теорія економічної інформації,включаючи економічну семіотику;

теорія керуючих систем,включаючи теорію автоматизованих систем керування.

7. Методи експериментального вивчення економічних явищ ( експериментальна економіка):

математичні методи планування та аналізу економічних експериментів;

методи машинної імітаціїі стендового експериментування;

"ділові ігри".

В ЕММ застосовуються різні розділи математики, математичної статистикиі математичної логіки; велику роль у машинному рішенні економіко-математичних завданьграють обчислювальна математика, теорія алгоритмівта інші суміжні дисципліни.

Практичне застосування ЕММ у деяких країнах набуло масового, у певному сенсі рутинного характеру. У тисячах компанійвирішуються завдання планування виробництва, розподілу ресурсівза допомогою відпрацьованого та часто стандартизованого програмного забезпеченняна комп'ютерах. Ведеться вивчення цієї практики на місцях-опитування, обстеження. У навіть видається спеціальний журнал “Interfaces”, регулярно публікує інформацію про практичному використанні ЕММ у різних галузях економіки. Наприклад, наведемо резюме однієї зі статей цього журналу: «У 2005 і 2006 роках, компанія Coca-Cola Enterprises (CCE), найбільший виробник і дистриб'ютор напою Кока-Кола, запровадила програмне забезпечення ORTEC для маршрутизації транспорту. В даний час понад триста диспетчерів використовують цей софтвер, щоденно плануючи маршрути приблизно 10 000 фур. На додаток до подолання деяких нестандартних обмежень використання цієї технології примітно прогресивним (безперебійним) переходом від колишньої господарської практики. РЄ зуміла скоротити річні витрати на 45 млн доларів і покращити обслуговування клієнтів. Цей досвід виявився настільки вдалим, що (головна транснаціональна компанія) Кока Кола розширила його за межі РСЕ, інші компанії з виробництва та розповсюдження цього напою, а також пива».

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Список використаних джерел

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Одним із напрямів удосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів та сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, що досліджуються, обґрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення та мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.

Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обґрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. Залежно від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях – логарифмування, пайова участь, диференціювання; у стохастичних моделях – кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів та ін.

Стохастичний аналіз – це метод розв'язання широкого класу задач статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, що не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності та взаємообумовленості. Стохастичний зв'язок існує між випадковими величинами і в тому, що з зміні однієї з них змінюється закон розподілу інший.

В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:

Вивчення наявності та тісноти зв'язку між функцією та факторами, а також між факторами;

Ранжування та класифікація факторів економічних явищ;

Виявлення аналітичної форми зв'язку між явищами, що вивчаються;

Згладжування динаміки зміни рівня показників;

Виявлення параметрів закономірних періодичних коливань рівня показників;

вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;

Кількісна зміна інформативних показників;

Кількісна зміна впливу факторів на зміну показників, що аналізуються (економічна інтерпретація отриманих рівнянь).

Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу. Кореляція у тому, що середня величина однієї з ознак змінюється залежно від значення іншого. Ознака, від якої залежить інша ознака, прийнято називати факторною. Залежний показник називають результативним. У кожному конкретному випадку для встановлення факторної та результативної ознак у неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознак в одній сукупності заробітна плата робітників у зв'язку з їх виробничим стажем постає як результативна ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами – як факторна. Часто залежності розглядають немає від однієї факторного ознаки, як від кількох. Для цього застосовується сукупність методів та прийомів виявлення та кількісної оцінки взаємозв'язків та взаємозалежностей між ознаками.

При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якому на величину результативної ознаки впливає, крім факторної, безліч інших ознак, що діють у різних напрямках одночасно чи послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповним статистичним або частковим на відміну від функціонального, що виражається в тому, що при певному значенні змінної (незалежна змінна – аргумент) інша (залежна змінна – функція) набуває строгого значення.

Кореляційний зв'язок можна виявити лише як загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторного ознаки відповідатиме одне значення результативного ознаки, які сукупність. У цьому випадку для розтину зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного факторного значення.

Якщо залежність прямолінійна:

.

Значення коефіцієнтів а і b є із системи рівнянь, отриманих за способом найменших квадратів за формулою:

, n – число спостережень.

У разі прямолінійної форми зв'язку між показниками, що вивчаються, коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

.

Якщо коефіцієнт кореляції звести квадрат, то отримаємо коефіцієнт детермінації.

Дисконтування - це процес перерахунку майбутньої вартості капіталу, грошових потоків чи чистого доходу у реальну. Ставка, якою проводиться дисконтування, називається ставкою дисконтування (ставкою дисконту). Основна посилка, що лежить в основі поняття дисконтованого потоку реальних грошей, полягає в тому, що гроші мають тимчасову ціну, тобто сума грошей, наявна в даний час, має більшу цінність, ніж така ж сума в майбутньому. Ця різниця може бути виражена як процентна ставка, що характеризує відносні зміни за певний період (зазвичай рівний року).

Багато завдань, із якими доводиться стикатися економісту у повсякденній практиці під час аналізу господарську діяльність підприємств, многовариантны. Так як не всі варіанти однаково хороші, серед безлічі можливих доводиться шукати оптимальний. Значна частина подібних завдань протягом тривалого часу вирішувалася виходячи зі здорового глузду та досвіду. При цьому не було жодної впевненості, що знайдений варіант є найкращим.

У сучасних умовах навіть незначні помилки можуть призвести до величезних втрат. У зв'язку з цим виникла необхідність залучення до аналізу та синтезу економічних систем оптимізаційних економіко-математичних методів та ЕОМ, що створює основу для прийняття науково обґрунтованих рішень. Такі методи поєднуються в одну групу під загальною назвою "оптимізаційні методи прийняття рішень в економіці". Щоб вирішити економічне завдання математичними методами, насамперед, необхідно побудувати адекватну їй математичну модель, тобто формалізувати мету та умови завдання у вигляді математичних функцій, рівнянь та (або) нерівностей.

У загальному випадку математична модель оптимізаційного завдання має вигляд:

max (min): Z = Z (x),

при обмеженнях

f i (x) Rb i , i =

,

де R - відношення рівності, менше чи більше.

Якщо цільова функція та функції, що входять до системи обмежень, лінійні щодо невідомих, що входять до завдання, таке завдання називається завданням лінійного програмування. Якщо цільова функція або система обмежень не лінійна, таке завдання називається завданням нелінійного програмування.

Здебільшого, практично, завдання нелінійного програмування шляхом лінеаризації зводяться до завдання лінійного програмування. Особливий практичний інтерес серед завдань нелінійного програмування представляють завдання динамічного програмування, які через багатоетапність не можна лінеаризувати. Тому ми розглянемо лише ці два види оптимізаційних моделей, для яких зараз є гарне математичне та програмне забезпечення.

Метод динамічного програмування є особливий математичний прийом оптимізації нелінійних завдань математичного програмування, який спеціально пристосований до багатокрокових процесів. Багатокроковим зазвичай вважають процес, що розвивається в часі і розпадається на ряд "кроків", або "етапів". Однак метод динамічного програмування використовується і для вирішення задач, у яких час не фігурує. Деякі процеси розпадаються кроки природним чином (наприклад, процес планування господарську діяльність підприємства у період, що з кількох років). Багато процесів можна розчленувати на етапи штучно.

Суть методу динамічного програмування полягає в тому, що замість пошуку оптимального рішення відразу для всієї складної задачі воліють знаходити оптимальні рішення для кількох простіших завдань аналогічного змісту, на які розчленовується вихідне завдання.

p align="justify"> Метод динамічного програмування також характеризується тим, що вибір оптимального рішення на кожному кроці повинен проводитися з урахуванням наслідків у майбутньому. Це означає, що, оптимізуючи процес на кожному окремому кроці, в жодному разі не можна забувати про всі наступні кроки. Отже, динамічне програмування - це далекоглядне планування з урахуванням перспективи.

Принцип вибору рішення в динамічному програмуванні є визначальним і зветься принципом оптимальності Беллмана. Сформулюємо його наступним чином: оптимальна стратегія має ту властивість, що, якими б не були початковий стан і рішення, прийняте в початковий момент, наступні рішення повинні вести до поліпшення ситуації щодо стану, що є результатом початкового рішення.

Таким чином, при вирішенні оптимізаційної задачі методом динамічного програмування необхідно на кожному кроці враховувати наслідки, до яких призведе в майбутньому рішення, яке приймається в даний момент. Винятком є ​​останній крок, яким закінчується процес. Тут можна ухвалювати таке рішення, щоб забезпечити максимальний ефект. Спланувавши оптимальним чином останній крок, можна "прилаштовувати" передостанній так, щоб результат цих двох кроків був оптимальним, і т.д. Саме таким чином – від кінця на початок – можна розгорнути процедуру прийняття рішень. Оптимальне рішення, знайдене за умови, що попередній крок закінчився певним чином, називають умовно-оптимальним рішенням.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ

Державний освітній заклад вищої професійної освіти

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГІВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСЬКА ФІЛІЯ

(ТФ ГОУ ВПО РДТЕУ)

Реферат з математики на тему:

«Економіко-математичні моделі»

Виконали:

Студентки 2 курсу

"Фінанси і кредит"

денне відділення

Максимова Христина

Витка Наталія

Перевірив:

Доктор технічних наук,

професор С.В. Юдін _____________

Вступ

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

1.2 Економіко-математичні методи

Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Висновок

Список літератури

Вступ

Актуальність.Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові галузі наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної науки принесли методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або уявний об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригіналі.

Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Економіко-математичне моделювання є невід'ємною частиною будь-якого дослідження у галузі економіки. Бурхливий розвиток математичного аналізу, дослідження операцій, теорії ймовірностей та математичної статистики сприяло формуванню різноманітних моделей економіки.

Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найефективнішого вирішення завдань, що виникають у сфері економіки, з використанням, як правило, сучасної обчислювальної техніки.

Чому можна говорити про ефективність застосування методів моделювання у цій галузі? По-перше, економічні об'єкти різного рівня (починаючи з рівня простого підприємства і закінчуючи макрорівнем - економікою країни чи навіть світовою економікою) можна розглядати з позицій системного підходу. По-друге, такі характеристики поведінки економічних систем як:

-мінливість (динамічність);

-суперечливість поведінки;

-тенденція до погіршення показників;

-схильність до впливу навколишнього середовища

визначають вибір методу їх дослідження.

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна одержати іншими способами дослідження.

Мета цієї роботи- розкрити поняття економіко-математичних моделей та вивчити їх класифікацію та методи, на яких вони базуються, а також розглянути їх застосування в економіці.

Завдання даної роботи:систематизація, накопичення та закріплення знань про економіко-математичні моделі.

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільним або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним до цього в тих аспектах, які важливі в даному дослідженні. У загальному вигляді Модельможна визначити як умовний образ реального об'єкта (процесів), що створюється для глибшого вивчення дійсності. Метод дослідження, що базується на розробці та використанні моделей, називається моделюванням. Необхідність моделювання обумовлена ​​складністю, а часом і неможливістю прямого вивчення реального об'єкта (процесів). Значно доступніше створювати та вивчати прообрази реальних об'єктів (процесів), тобто. моделі. Можна сказати, що теоретичне знання про що-небудь, як правило, є сукупністю різних моделей. Ці моделі відображають суттєві властивості реального об'єкта (процесів), хоча насправді дійсність значно змістовніша і багатша.

Модель- це уявна чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замінювати його так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт.

На сьогоднішній день загальновизнаної єдиної класифікації моделей не існує. Однак з багатьох моделей можна виділити словесні, графічні, фізичні, економіко-математичні та деякі інші типи моделей.

Економіко-математичні моделі- це моделі економічних об'єктів чи процесів, під час опису яких використовуються математичні засоби. Цілі їх створення різноманітні: вони будуються для аналізу тих чи інших передумов та положень економічної теорії, логічного обґрунтування економічних закономірностей, обробки та приведення до системи емпіричних даних. У практичному плані економіко-математичні моделі використовуються як інструмент прогнозу, планування, управління та вдосконалення різних сторін економічної діяльності суспільства.

Економіко-математичні моделі відображають найістотніші властивості реального об'єкта або процесу за допомогою системи рівнянь. Єдиної класифікації економіко-математичних моделей немає, хоча можна назвати найбільш значні їх групи залежно від ознаки класифікації.

За цільовим призначенняммоделі діляться на:

· Теоретико-аналітичні (використовуються у дослідженні загальних властивостей та закономірностей економічних процесів);

· Прикладні (застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань, таких як завдання економічного аналізу, прогнозування, управління).

З огляду на фактор часумоделі поділяються на:

· Динамічні (описують економічну систему у розвитку);

· Статистичні (економічна система описана в статистиці, стосовно одного певного моменту часу; це ніби знімок, зріз, фрагмент динамічної системи в якийсь момент часу).

За тривалістю аналізованого періоду часурозрізняють моделі:

· Короткострокового прогнозування чи планування (до року);

· Середньострокового прогнозування чи планування (до 5 років);

· Довгострокового прогнозування чи планування (більше 5 років).

За метою створення та застосуваннярозрізняють моделі:

· Балансові;

· Економетричні;

· Оптимізаційні;

· Мережеві;

· систем масового обслуговування;

· Імітаційні (експертні).

В балансовихмоделях відображається вимога відповідності наявності ресурсів та їх використання.

Оптимізаційнімоделі дозволяють знайти з безлічі можливих (альтернативних) варіантів найкращий варіант виробництва, розподілу чи споживання. Обмежені ресурси при цьому будуть використані якнайкраще для досягнення поставленої мети.

Мережевімоделі найбільше широко використовуються в управлінні проектами. Мережева модель відображає комплекс робіт (операцій) та подій, та їх взаємозв'язок у часі. Зазвичай мережева модель призначена для виконання робіт у такій послідовності, щоб терміни виконання проекту були мінімальними. І тут ставиться завдання перебування критичного шляху. Однак існують і такі мережеві моделі, які орієнтовані не на критерій часу, а, наприклад, мінімізацію вартості робіт.

Моделі систем масового обслуговуваннястворюються для мінімізації витрат часу на очікування у черзі та часу простоїв каналів обслуговування.

Імітаційнамодель, поруч із машинними рішеннями, містить блоки, де рішення приймаються людиною (експертом). Замість безпосередньої участі людини у прийнятті рішень може бути база знань. І тут персональний комп'ютер, спеціалізоване програмне забезпечення, база даних, і база знань утворюють експертну систему. Експертнасистема призначена на вирішення однієї чи низки завдань шляхом імітації дій людини, експерта у цій галузі.

З огляду на фактор невизначеностімоделі поділяються на:

· детерміновані (з однозначно визначеними результатами);

· Стохастичні (імовірнісні; з різними, імовірнісними результатами).

За типом математичного апаратурозрізняють моделі:

· Лінійне програмування (оптимальний план досягається в крайній точці області зміни змінних величин системи обмежень);

· Нелінійне програмування (оптимальних значень цільової функції може бути кілька);

· Кореляційно-регресійні;

· Матричні;

· Мережеві;

· Теорії ігор;

· Теорії масового обслуговування тощо.

З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей, що застосовуються, ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у більш складні модельні конструкції.

моделювання математичний стохастичний

1.2 Економіко-математичні методи

Як і будь-яке моделювання, економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів, по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників, по-третє, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях управління.

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей, які слід розуміти як продукт процесу економіко-математичного моделювання, а економіко-математичні методи – як інструмент.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці методи є комплексом економіко-математичних дисциплін, що є сплавом економіки, математики та кібернетики. Тому класифікація економіко-математичних методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до їхнього складу.

З відомою часткою умовності класифікацію цих методів можна наступним чином.

· Економічна кібернетика: системний аналіз економіки, теорія економічної інформації та теорія керуючих систем.

· Математична статистика: економічні програми даної дисципліни - вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, теорія індексів та ін.

· Математична економія та вивчає ті ж питання з кількісної сторони економетрію: теорія економічного зростання, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та споживання, регіональний та просторовий аналіз, глобальне моделювання.

· Методи прийняття оптимальних рішень, зокрема дослідження операцій на економіці. Це найбільш об'ємний розділ, що включає наступні дисципліни та методи: оптимальне (математичне) програмування, мережеві методи планування та управління, теорію та методи управління запасами, теорію масового обслуговування, теорію ігор, теорію та методи прийняття рішень.

У оптимальне програмування у свою чергу входять лінійне та нелінійне програмування, динамічне програмування, дискретне (цілочисленне) програмування, стохастичне програмування та ін.

· Методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано планованої економіки, так і для ринкової (конкурентної) економіки. До перших можна віднести теорію оптимального ціноутворення функціонування економіки, оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі матеріально-технічного постачання та ін До інших - методи, що дозволяють розробити моделі вільної конкуренції, моделі капіталістичного циклу, моделі монополії, моделі теорії фірми тощо . Багато з методів, розроблених для централізовано планованої економіки, можуть бути корисними і за економіко-математичного моделювання в умовах ринкової економіки.

· Методи експериментального вивчення економічних явищ. До них відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне моделювання), ділові ігри. Сюди можна віднести також методи експертних оцінок, розроблені з метою оцінки явищ, які піддаються безпосередньому виміру.

В економіко-математичних методах застосовуються різноманітні розділи математики, математичної статистики, математичної логіки. Велику роль вирішенні економіко-математичних завдань грають обчислювальна математика, теорія алгоритмів та інші дисципліни. Використання математичного апарату принесло відчутні результати при вирішенні завдань аналізу процесів розширеного виробництва, визначення оптимальних темпів зростання капіталовкладень, оптимального розміщення, спеціалізації та концентрації виробництва, задач вибору оптимальних способів виробництва, визначення оптимальної послідовності запуску у виробництво, завдання підготовки виробництва методами мережевого планування та багато інших .

Для вирішення стандартних проблем характерні чіткість мети, можливість заздалегідь виробити процедури та правила ведення розрахунків.

Існують такі передумови використання методів економіко-математичного моделювання, найважливішими з яких є високий рівень знання економічної теорії, економічних процесів та явищ, методології їх якісного аналізу, а також високий рівень математичної підготовки, володіння економіко-математичними методами.

Перш ніж приступити до розробки моделей, необхідно ретельно проаналізувати ситуацію, виявити цілі та взаємозв'язки, проблеми, що вимагають вирішення, та вихідні дані для їх вирішення, вести систему позначень і лише тоді описати ситуацію у вигляді математичних співвідношень.

2. Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

Процес економіко-математичного моделювання - це опис економічних та соціальних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваними апаратом та засобами моделювання. Тому доцільно більш детально проаналізувати послідовність та зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів:

.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

2.Побудова математичної моделі;

.Математичний аналіз моделі;

.Підготовка вихідної інформації;

.Чисельне рішення;

.

Розглянемо кожен із етапів докладніше.

1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, прийняті припущення та питання, куди потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2.Побудова математичної моделі. Це - етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей та відносин (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще «працює» і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо.

Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не лише реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом.

Одна з найважливіших особливостей математичних моделей - потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому навіть стикаючись з новим економічним завданням, не потрібно прагнути «винаходити» модель; Спершу необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

.Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найважливіший момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі. Якщо вдається довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у подальшій роботі за первісним варіантом моделі відпадає і слід скоригувати або постановку економічного завдання, або способи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (незвісні) можуть входити до вирішення, якими будуть співвідношення між ними, у яких межах і в залежності від вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і т.д. д. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

4.Підготовка вихідної інформації.Моделювання пред'являє жорсткі вимоги до системи інформації. У той самий час реальні можливості отримання обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. У цьому береться до уваги як принципова можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів.

Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5.Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного вирішення завдання, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені, передусім, великий розмірністю економічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Дослідження, проведене чисельними методами, може суттєво доповнити результати аналітичного дослідження, а багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас задач, доступних аналітичному дослідженню.

6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичної застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявити некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Основу ефективності банківського менеджменту становить планомірний контроль за оптимальністю, збалансованістю та стійкістю функціонування у розрізі всіх елементів, що формують ресурсний потенціал та визначають перспективи динамічного розвитку кредитної установи. Його методи та інструменти вимагають модернізації з урахуванням економічних умов, що змінюються. У той самий час необхідність удосконалення механізму реалізації нових банківських технологій зумовлює доцільність наукового пошуку.

Інтегральні коефіцієнти фінансової стійкості (КФУ) комерційних банків, що використовуються в існуючих методиках, часто характеризують збалансованість їх стану, але не дозволяють дати повну характеристику тенденції розвитку. Слід враховувати, що результат (КФУ) залежить від багатьох випадкових причин (ендогенного та екзогенного характеру), які не можуть бути заздалегідь повністю враховані.

У зв'язку з цим виправдано розглядати можливі результати дослідження сталого стану банків як випадкові величини, що мають однаковий розподіл ймовірностей, оскільки дослідження проводяться за тією самою методикою з використанням однакового підходу. З іншого боку, вони взаємно незалежні, тобто. Результат кожного окремого коефіцієнта залежить від значень інших.

Взявши до уваги, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і лише одне можливе значення, укладаємо, що події x1 , x2 , …, xnутворюють повну групу, отже, сума їх ймовірностей дорівнюватиме 1: p1 +p2 +…+pn=1 .

Дискретна випадкова величина X- Коефіцієнт фінансової стійкості банку «А», Y- Банку «В», Z- Банку «С» за заданий період. З метою отримання результату, що дає підстави зробити висновок про стійкість розвитку банків, оцінка була здійснена на базі 12-річного ретроспективного періоду (табл.1).

Таблиця 1

Порядковий номер року Банк «А» Банк «В» Банк «С»11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,1111 2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,4

Для кожної вибірки за певним банком значення розбиті на Nінтервалів, визначено мінімальне та максимальне значення. Процедура визначення оптимальної кількості груп полягає в застосуванні формули Стерджесса:

N= 1 +3,322 * ln N;

N=1+3,322 * ln12=9,525≈10,

Де n- Число груп;

N- Число сукупності.

h=(КФУ)max- КФУmin) / 10.

Таблиця 2

Межі інтервалів значень дискретних випадкових величин X, Y, Z (коефіцієнтів фінансової стійкості) та частоти появи даних значень у зазначених межах

Номер інтервалуМежі інтервалівЧастота появи (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Виходячи зі знайденого кроку інтервалу, розраховані межі інтервалів шляхом додавання до мінімального значення знайденого кроку. Отримане значення – це межа першого інтервалу (ліва межа – LG). Для знаходження другого значення (правої межі PG) до знайденої першої межі знову додає я крок і т.д. Кордон останнього інтервалу збігається з максимальним значенням:

LG1 =КФУmin;

PG1 =КФУmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 =КФУmax.

Дані за частотою влучення коефіцієнтів фінансової стійкості (дискретних випадкових величин X, Y, Z) згруповані в інтервали, і визначено ймовірність влучення їх значень у задані межі. У цьому ліве значення кордону входить у інтервал, а праве - немає (табл.3).

Таблиця 3

Розподіл дискретних випадкових величин X, Y, Z

ПоказникЗначення показникаБанк «А»X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

За частотою появи значень nзнайдено їх ймовірності (частота появи ділиться на 12, виходячи з числа одиниць сукупності), а також як значення дискретних випадкових величин були використані середини інтервалів. Закони їх розподілу:

Pi= ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

На підставі розподілу можна судити про можливість нестійкого розвитку кожного банку:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так із ймовірністю 0,083 банк «А» може досягти значення коефіцієнта фінансової стійкості, що дорівнює 0,853. Інакше кажучи, ймовірність те, що його витрати перевищать доходи, становить 8,3 %. По банку «В» ймовірність падіння коефіцієнта нижче одиниці також склала 0,083, проте з урахуванням динамічного розвитку організації це зниження все ж таки виявиться незначним - до 0,926. Нарешті, висока ймовірність (16,7%), що діяльність банку «С» за інших рівних умов характеризується значенням фінансової стійкості, рівним 0,835.

У той самий час у таблицях розподілів можна побачити ймовірність сталого розвитку банків, тобто. суму ймовірностей, де варіанти коефіцієнтів мають значення, більше 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можна спостерігати, що найменш сталий розвиток очікується у банку «С».

У цілому нині закон розподілу ставить випадкову величину, проте частіше доцільніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно. Їх називають числовими характеристиками випадкової величини, до них належить математичне очікування. Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини і воно тим більше наближається до середнього значення, чим більше було проведено випробувань.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх можливих величин на її ймовірність:

M(X) = x1 p1 +x2 p2 +…+xnpn

Результати розрахунків значень математичних очікувань випадкових величин представлені у табл.4.

Таблиця 4

Числові характеристики дискретних випадкових величин X, Y, Z

БанкМатематичне очікуванняДисперсіяСереднє квадратичне відхилення"А" M (X) = 1,187 D (X) = 0,027 σ (x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 σ (y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012 σ (z) = 0,112

Отримані математичні очікування дозволяють оцінити середні значення очікуваних можливих значень коефіцієнта фінансової стабільності у майбутньому.

Так, за розрахунками можна вважати, що математичне очікування сталого розвитку банку «А» становить 1,187. Математичне очікування банків «В» та «С» становить 1,124 та 1,037 відповідно, що відображає передбачувану дохідність їхньої роботи.

Проте, знаючи лише математичне очікування, що показує «центр» можливих значень випадкової величини - КФУ, ще не можна судити ні про його можливі рівні, ні про ступінь їх розсіяності навколо отриманого математичного очікування.

Іншими словами, математичне очікування через свою природу повністю стійкості розвитку банку не характеризує. З цієї причини виникає необхідність обчислення інших числових характеристик: дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Які дозволяють оцінити рівень розсіяності можливих значень коефіцієнта фінансової стійкості. Математичні очікування та середні квадратичні відхилення дозволяють оцінити інтервал, в якому будуть знаходитись можливі значення коефіцієнтів фінансової стійкості кредитних організацій.

При порівняно високому характерному значенні математичного очікування стійкості по банку «А» середнє квадратичне відхилення становило 0,164, що свідчить, що стійкість банку може або підвищитися цю величину, або знизитися. При негативній зміні стійкості (що все ж таки малоймовірно, враховуючи отриману ймовірність збиткової діяльності, рівну 0,083) коефіцієнт фінансової стійкості банку залишиться позитивним - 1,023 (див. табл. 3)

Діяльність банку «В» при математичному очікуванні 1,124, характеризується меншим розмахом значень коефіцієнта. Так, навіть за несприятливого збігу обставин банк залишиться стійким, оскільки середнє квадратичне відхилення від прогнозованого значення становило 0, 101, що дозволить йому залишитися в позитивній зоні доходності. Отже, можна дійти невтішного висновку про стійкість розвитку цього банку.

Банк «С», навпаки, при невисокому математичному очікуванні своєї надійності (1, 037) зіткнеться за інших рівних умов з неприпустимим йому відхиленням, рівним 0,112. За несприятливої ​​ситуації, а також з огляду на високий відсоток ймовірності збиткової діяльності (16,7%), дана кредитна організація, швидше за все, знизить свою фінансову стійкість до 0,925.

Важливо зауважити, що, зробивши висновки про стійкість розвитку банків, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень набуде коефіцієнту фінансової стійкості в результаті випробування; це залежить від багатьох причин, врахувати які неможливо. З цієї позиції про кожну випадкову величину ми маємо дуже скромні відомості. У зв'язку з чим навряд чи можна встановити закономірності поведінки та суми досить великої кількості випадкових величин.

Однак виявляється, що за деяких порівняно широких умовах сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Оцінюючи стійкість розвитку банків, залишається оцінити можливість, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування вбирається у абсолютної величині позитивного числа ε. Дати цікаву для нас оцінку дозволяє нерівність П.Л. Чебишова. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування за абсолютною величиною менше позитивного числа ε не менш ніж :

або у випадку зворотної ймовірності:

Враховуючи ризик, пов'язаний із втратою стійкості, проведемо оцінку ймовірності відхилення дискретної випадкової величини від математичного очікування в меншу сторону і, вважаючи рівноймовірними відхилення від центрального значення як у меншу, так і більшу сторону, перепишемо нерівність ще раз:

Далі, виходячи з поставленого завдання, необхідно оцінити ймовірність того, що майбутнє значення коефіцієнта фінансової стійкості не виявиться нижче 1 від пропонованого математичного очікування (для банку «А» значення ε приймемо рівне 0,187, для банку «В» - 0,124, для «С» - 0.037) і здійснимо розрахунок цієї ймовірності:

банк "А":

банк "С":

Відповідно до нерівності П.Л. Чебишева, найстійкішим у розвитку є банк «В», оскільки ймовірність відхилення очікуваних значень випадкової величини від її математичного очікування невисока (0,325), у своїй вона порівняно менше, ніж у інших банкам. На другому місці за порівняльною стійкістю розвитку розташовується банк «А», де коефіцієнт цього відхилення дещо вищий, ніж у першому випадку (0,386). У третьому банку ймовірність того, що значення коефіцієнта фінансової стійкості відхилитися в ліву сторону від математичного очікування більше ніж на 0,037 є практично достовірною подією. Тим більше, якщо врахувати, що ймовірність не може бути більшою за 1, що перевищують значення, згідно з доказом Л.П. Чебишева, необхідно приймати за 1. Іншими словами, факт того, що розвиток банку може перейти в нестійку зону, що характеризується коефіцієнтом фінансової стійкості менше 1, є достовірною подією.

Таким чином, характеризуючи фінансовий розвиток комерційних банків, можна зробити такі висновки: математичне очікування дискретної випадкової величини (середнє очікуване значення коефіцієнта фінансової стійкості) банку "А" дорівнює 1,187. Середнє квадратичне відхилення цієї дискретної величини становить 0,164, що характеризує невеликий розкид значень коефіцієнта від середнього числа. Однак ступінь нестійкості цього ряду підтверджується досить високою ймовірністю негативного відхилення коефіцієнта фінансової стійкості від 1, що дорівнює 0,386.

Аналіз діяльності другого банку показав, що математичне очікування КФУ дорівнює 1,124 за середнього квадратичного відхилення 0,101. Отже, діяльність кредитної організації характеризується невеликим розкидом значень коефіцієнта фінансової стійкості, тобто. є більш концентрованою та стабільною, що підтверджується порівняно низькою ймовірністю (0,325) переходу банку до зони збитковості.

Стійкість банку «С» характеризується низьким значенням математичного очікування (1,037) і навіть невеликим розкидом значень (середньоквадратичне відхилення одно 0,112). Нерівність Л.П. Чебишева доводить те що, що можливість отримання негативного значення коефіцієнта фінансової стійкості дорівнює 1, тобто. очікування позитивної динаміки його розвитку за інших рівних умов буде дуже необгрунтованим. Таким чином, запропонована модель, що базується на визначенні існуючого розподілу дискретних випадкових величин (значень коефіцієнтів фінансової стійкості комерційних банків) та підтверджена оцінкою їх рівноймовірнісного позитивного або негативного відхилення від отриманого математичного очікування дозволяє визначити її поточний і перспективний рівень.

Висновок

Застосування математики в економічній науці дало поштовх у розвитку як самої економічної науці, так і прикладної математики, в частині методів економіко-математичної моделі. Прислів'я каже: «Сім разів відміряй – Один раз відріж». Використання моделей має час, сили, матеріальні засоби. Крім того, розрахунки за моделями протистоять вольовим рішенням, оскільки дозволяють заздалегідь оцінити наслідки кожного рішення, відкинути неприпустимі варіанти та рекомендувати найбільш вдалі. Економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичним завданням економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів; по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників; по-третє, вироблення управлінських рішень усім рівнях управління.

У роботі було з'ясовано, що економіко-математичні моделі можна поділити за ознаками:

· цільового призначення;

· урахування фактора часу;

· тривалості аналізованого періоду;

· мети створення та застосування;

· урахування фактора невизначеності;

· типу математичного апарату;

Опис економічних процесів та явищ як економіко-математичних моделей базується на використанні одного з економіко-математичних методів, що застосовуються на всіх рівнях управління.

· постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

· побудова математичної моделі;

· математичний аналіз моделі;

· підготовка вихідної інформації;

· чисельне рішення;

· аналіз чисельних результатів та його застосування.

У роботі було представлено статтю кандидата економічних наук, доцента кафедри фінансів та кредиту С.В. Бойко, в якій зазначається, що перед вітчизняними кредитними організаціями, що піддаються впливу зовнішнього середовища, стоїть завдання пошуку управлінських інструментів, що передбачають реалізацію раціональних антикризових заходів, спрямованих на стабілізацію темпів зростання базових показників їхньої діяльності. У зв'язку з цим підвищується важливість адекватного визначення фінансової стійкості за допомогою різних методик і моделей, одним із різновидів яких є стохастичні (імовірнісні) моделі, що дозволяють не тільки виявити передбачувані фактори зростання або зниження стійкості, але й сформувати комплекс превентивних заходів щодо її збереження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди будуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

Список літератури

1)Красс М.С. Математика для економічних спеціальностей: Підручник. -4-е вид., Випр. - М: Справа, 2003.

)Іванілов Ю.П., Лотов А.В. Математичні моделі економіки. - М: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введення у математичну економіку. - М: Наука, 1984.

)Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.М. та ін Математичне моделювання економічних процесів. - М: Агропромиздат, 1990.

)За ред. Федосєєва В.В. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для ВНЗ. - М: ЮНІТІ, 2001.

)Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник. - 10-те вид., Випр. - М: Нове знання, 2004.

)Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2002

)Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія: навч. посібник для вузів/Є.С. Вентцель. - 4-те вид., стереотип. - М.: Дроф, 2006. - 206, с. : іл.

)Математика економіки: навчальний посібник/ С.В.Юдин. - М: Изд-во РГТЕУ, 2009.-228 з.

)Кочетигів А.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. Посібник/Тул. Держ. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, ймовірні моделі в оцінці фінансової стійкості кредитних організацій / С.В. Бойко// Фінанси та кредит. – 2011. N 39. –