Садівницький математичний аналіз. Математичний аналіз - Початковий курс із прикладами та завданнями - Гурова З.І

Назва: Математичний аналіз - Початковий курсз прикладами та завданнями. 2002.

Викладено основні відомості з початкових розділівкурсу математичного аналізу для ВТУЗ - "Введення в аналіз", "Основи диференціального обчислення функції однієї змінної", "Методи інтегрування функцій однієї змінної", "Числові ряди".
Наведено коротка теорія, типові приклади та завдання для самостійного рішення. Запропоновано алгоритми методів розв'язання різних класів задач.

Посібник може бути використаний і як підручник, і як задачник студентами технічних спеціальностей, курсантами військових училищ, учнями технікумів та середніх шкіл

ЗМІСТ
Передмова редактора серії. 7
Передмова 8
Глава I. Введення у аналіз. 10
§ 1. Деякі відомості з теорії множин
1.1. Основні поняття (10). 1.2. Операції над множинами. (10)
§ 2. Числові послідовності. Межа послідовності. 16
2.1. Основні визначення (16). 2.2. Межа послідовності (18). 2.3. Властивості послідовностей, що сходяться (21). 2.4. Типові приклади (23). 2.5. Завдання для самостійного вирішення (23).
§ 3. Функції. Межа функції 24
3.1. Основні визначення. Способи завдання функцій (24). 3.2. Складна, зворотна та параметрично задана функції (25). 3.3. Елементарні функції (27). 3.4. Монотонні функції (29). 3.5. Обмежені функції(29). 3.6. Межа функції (30). 3.7. Односторонні межі функції (36). 3.8. Типові приклади (38). 3.9. Завдання для самостійного вирішення. (39)
§ 4. Теореми про межі функцій. 39
4.1. Основні теореми про межі функцій (39). 4.2. Нескінченно малі та нескінченно великі функції та їх властивості (41). 4.3. Теореми про межі функцій, пов'язані з арифметичними операціями (45). 4.4. Теореми про межі функцій, пов'язані з нерівностями (47). 4.5. Типові приклади (50). 4.6. Завдання для самостійного вирішення (54).
§ 5. Чудові межі. Порівняння нескінченно малих функцій 54
5.1. Чудові межі (54). 5.2. Порівняння нескінченно малих функцій (58). 5.3. Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій (60). 5.4. Типові приклади (63). 5.5. Завдання для самостійного вирішення (70).
§ 6. Безперервність функцій 71
6.1. Основні визначення (71). 6.2. Властивості функцій, безперервних у точці (73). 6.3. Безперервність функцій на інтервалі, напівінтервалі, відрізку (77). 6.4. Властивості функцій, безперервних на відрізку (78). 6.5. Точки розриву функцій та його класифікація (78). 6.6. Типові приклади (80). 6.7. Завдання для самостійного вирішення (85).
Розділ II. Основи диференціального обчислення функцій однієї змінної. 87
§ 7. Похідна функції, її властивості та додатки 87
7.1. Визначення похідної функції у точці (87). 7.2. Табличне диференціювання. Похідні основних елементарних функцій(89). 7.3. Властивості похідної (92). 7.4. Геометричний та механічний сенспохідної (94). 7.5. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції (96). 7.6. Типові приклади (97). 7.7. Завдання для самостійного вирішення (101).
§ 8. Диференціювання складної функції, зворотної функціїта параметрично заданої функції 102
8.1. Похідна складна функція. Логарифмічна похідна (102). 8.2. Похідна зворотна функція. Похідні зворотних тригонометричних функцій(105). 8.3. Похідна параметрично заданої функції (107). 8.4. Типові приклади (109). 8.5. Завдання для самостійного вирішення (111).
§ 9. Диференціал функції, його властивості та додатки.... 112
9.1. Диференційність функції. Диференціал (112). 9.2. Властивості диференціалу (114). 9.3. Геометричний сенсдиференціалу. Обчислення наближених значень функцій з допомогою диференціалу (115). 9.4. Інваріантність форми запису диференціала (116). 9.5. Типові приклади (117). 9.6. Завдання для самостійного вирішення (119).
§ 10. Похідні та диференціали вищих порядків 120
10.1. Похідні найвищих порядків (120). 10.2. Формула Лейбниця (122). 10.3. Диференціали вищих порядків (124). 10.4. Типові приклади (126). 10.5. Завдання для самостійного вирішення (129).
§11. Основні теореми диференціального обчислення. Розкриття невизначеностей 130
11.1. Теорема Роля (теорема про нуль похідної) (130). 11.2. Теорема Лагранжа. Формула кінцевих прирощень (131). 11.3. Теорема Коші. Узагальнена формула кінцевих прирощень (133). 11.4. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя (134). 11.5. Типові приклади (141). 11.6. Завдання для самостійного вирішення (145).
§ 12. Формула Тейлора 146
12.1. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано (146). 12.2. Формула Тейлора деяких основних елементарних функцій (150). 12.3. Різні формизалишкового члена (152). 12.4. Типові приклади (155). 12.5. Завдання для самостійного вирішення (159).
§ 13. Зростання, спадання, екстремум функції 160
13.1. Зростання та зменшення функції (160). 13.2. Екстремум функції (163). 13.3. Найбільше та найменше значенняфункції (168). 13.4. Типові приклади (172). 13.5. Завдання для самостійного вирішення (175).
§ 14. Випуклість, увігнутість, точки перегину кривої. Асимптоти кривої 176
14.1. Випуклість, увігнутість, точки перегину кривої (176). 14.2. Асимптоти кривої (180). 14.3. Типові приклади (183). 14.4. Завдання для самостійного вирішення (185).
§ 15. Дослідження функцій та побудова їх графіків 186
15.1. Схема вивчення функції (186). 15.2. Типові приклади (186). 15.3. Завдання для самостійного вирішення (195).
Розділ III. Методи інтегрування функцій однієї змінної. 196
§ 16. Первісна функції та невизначений інтеграл. 196
16.1. Визначення та властивості невизначеного інтеграла (196). 16.2. Основні методи інтегрування (198). 16.3. Типові приклади (207). 16.4. Завдання для самостійного вирішення (210).
§ 17. Інтегрування раціональних дробів. 211
17.1. Короткі відомостіз алгебри багаточленів (211). 17.2. Інтегрування елементарних дробів (214). 17.3. Інтегрування раціональних дробів (218). 17.4. Типові приклади (220). 17.5. Завдання для самостійного вирішення (227).
§ 18. Інтегрування тригонометричних функцій. 227
18.1. Універсальна тригонометрична підстановка (227). 18.2. Інтегрування функцій, непарних щодо sin ж або cos ж (230). 18.3. Інтегрування функцій, парних щодо sin ж та cos ж (232). 18.4. Інтегрування творів синусів та косінусів різних аргументів (234). 18.5. Типові приклади (235). 18.6. Завдання для самостійного вирішення (239).
§ 19. Інтегрування деяких ірраціональних функцій. 240
19.1. Інтегрування функцій, раціональних щодо аргументу та кореня з дробово-лінійної функції(240). 19.2. Інтегрування функцій, раціональних щодо аргументу та квадратного кореняз квадратного тричлена(241). 19.3. Типові приклади (248). 19.4. Завдання для самостійного вирішення (258).
Розділ IV. Числові ряди. 260
§ 20. Основні визначення та властивості числових рядів. 260
20.1. Основні визначення (260). 20.2. Основні властивостірядів (265). 20.3. Критерій Коші збіжності низки (270). 20.4. Типові приклади (271). 20.5. Завдання для самостійного вирішення (274).
§ 21. Знакопостійні ряди. 275
21.1. Критерій збіжності знакопостійних рядів (275). 21.2. Достатні ознаки збіжності та розбіжності рядів із невід'ємними членами (277). 21.3. Типові приклади (289). 21.4. Завдання для самостійного вирішення. (297).
§ 22. Знакозмінні ряди. 298
22.1. Знакочередующиеся ряди (298). 22.2. Абсолютно і умовно схожі ряди (302). 22.3. Ознаки Даламбера та Коші для знакозмінних рядів (303). 22.4. Властивості абсолютно і умовно схожих рядів (305). 22.5. Типові приклади (307). 22.6. Завдання для самостійного вирішення (312).
§ 23. Послідовності та ряди з комплексними членами 313
23.1. Короткі відомості про комплексних числах(313). 23.2. Послідовності із комплексними членами (318). 23.3. Ряди із комплексними членами (321). 23.4. Типові приклади (324). 23.5. Завдання для самостійного вирішення. (329)
Додаток. 331
§ 24. Короткі відомості про інтеграли з нескінченними межами. 331
Відповіді до завдань для самостійного розв'язання. 336
Список літератури. 343
Довідковий матеріал. 344
Предметний покажчик.

Деякі визначення:

Графічним називається спосіб завдання функції, у якому відповідність між безліччю значень аргументу і безліччю значень функції встановлюється графічно.
Наприклад, барограма, записана барографом, ставить графічно атмосферний тискяк функцію часу.

Спосіб завдання функції називається табличним, якщо задана таблиця значень аргументу та відповідних значень функції.
Наприклад, залежність температури повітря від часу може бути задана таблицею експериментальних даних.

Крім зазначених способів завдання функції, існують інші. Наприклад, під час проведення чисельних розрахунків на комп'ютерах функції задаються алгоритмічним способом, т. е. з допомогою програми обчислення їх значень при необхідних значеннях аргументу. Функцію можна задати також словесним описомвідповідності між значеннями аргументу та значеннями функції. Наприклад, «кожному раціональному числу поставимо у відповідність число 1, а кожному ірраціональному 0...». Певна в такий спосіб функція називається функцією Діріхле.

М: Вид-во МДУ. Ч.1: 2-ге вид., перероб., 1985. - 662с.; Ч.2– 1987. – 358с.

Ч. 1. – Початковий курс.

Підручник є першою частиною курсу математичного аналізу для вищих навчальних закладівСРСР, Болгарії та Угорщини, написаної відповідно до угоди про співпрацю між Московським, Софійським та Будапештським університетами. Книга включає теорію дійсних чисел, теорію меж, теорію безперервності функцій, диференціальне та інтегральне обчислення функцій однієї змінної та їх застосування, диференціальне обчислення функцій багатьох змінних та теорію неявних функцій.

Ч. 2. – Продовження курсу.

Підручник являє собою другу частину (ч. 1 - 1985) курсу математичного аналізу, написаного відповідно до єдиної програми, прийнятої в СРСР і НРБ. У книзі розглянуті теорія числових та функціональних рядів, теорія кратних, криволінійних та поверхневих інтегралів, теорія поля (включаючи диференціальні форми), теорія інтегралів, що залежать від параметра, та теорія рядів та інтегралів Фур'є. Особливість книги - три чітко відділені один від одного рівня викладу: полегшений, основний і підвищений, що дозволяє використовувати її як студентам технічних вузівз поглибленим вивченням математичного аналізу, а також студентам механіко-математичних факультетів університетів.

Ч. 1. – Початковий курс.

Формат: pdf

Розмір: 10,5 Мб

Дивитись, скачати:drive.google

Формат: djvu/zip

Розмір: 5,5 Мб

/ Download файл

Ч. 2. – Продовження курсу.

Формат: pdf

Розмір: 14,8 Мб

Дивитись, скачати:drive.google

Формат: djvu/zip

Розмір: 3,1 Мб

/ Download файл

Ч. 1. – Початковий курс.

ЗМІСТ
Передмова титульного редактора.
Передмова до другого видання 6
Передмова до першого видання 6
Глава 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 10
Глава 2. РЕЧОВИНІ ЧИСЛА 29
§ 1. Безліч чисел, представлених нескінченними десятковими дробами, та його впорядкування 29
1. Властивості раціональних чисел (29). 2. Недостатність раціональних чисел для виміру відрізків числової осі (31). 3. Упорядкування безлічі нескінченних десяткових
дробів (34)
§ 2. Обмежені зверху (або знизу) множини чисел, що представляються нескінченними десятковими дробами. 40 1. Основні поняття (40). 2. Існування точних граней (41).
§ 3. Наближення чисел, що надаються нескінченними десятковими дробами, раціональними числами 44
§ 4. Операції складання та множення. Опис множини дійсних чисел 46
1. Визначення операцій складання та множення. Опис поняття дійсних чисел (46). 2. Існування та єдиність суми та добутку речових чисел (47).
§ 5. Властивості речових чисел 50
1. Властивості речових чисел (50). 2. Деякі часто вживані співвідношення (52). 3. Деякі конкретні множини речових чисел (52).
§ 6. Додаткові питаннятеорії речових чисел. .54 1. Повнота множини дійсних чисел (54). 2. Аксіоматичне введення множини дійсних чисел (57).
§ 7. Елементи теорії множин. 59
1. Поняття множини (59). 2. Операції над множинами (60). 3. Рахункові та незліченні множини. Численність сегмента. Потужність множини (61). 4. Властивості операції над множинами. Відображення множин (65).
РОЗДІЛ 3. ТЕОРІЯ МЕЖ. 68
§ 1. Послідовність та її межа 68.
1. Поняття послідовності. Арифметичні операції над послідовностями (68). 2. Обмежені, необмежені, нескінченно малі та нескінченно великі послідовності (69). 3. Основні властивості нескінченно малих послідовностей (73). 4. Схожі послідовності та його властивості (75).
§ 2. Монотонні послідовності 83
1. Поняття монотонної послідовності (83). 2. Теорема про збіжність монотонної обмеженої послідовності (84). 3. Число е (86). 4. Приклади схожих монотонних послідовностей (88).
§ 3. Довільні послідовності 92
1. Граничні точки, верхня та нижня межі послідовності (92). 2. Розширення понять граничної точки та верхньої та нижньої меж (99). 3. Критерій Коші збіжності послідовності (102).
§ 4. Межа (або граничне значення) функції 105
1. Поняття змінної величинита функції (105). 2. Межа функції по Гейні та Коші (109). 3. Критерій Коші існування межі функції (115). 4. Арифметичні операції над функціями, що мають межу (118). 5. Нескінченно малі та нескінченно великі функції (119).
§ 5. Загальне визначеннямежі функції по базі.... 122
Глава 4. НЕПРЕРИВНІСТЬ ФУНКЦІЇ 127
§ 1. Поняття безперервності функції 127
1. Визначення безперервності функції (127). 2. Арифметичні операції над безперервними функціями (131). 3. Складна функція та її безперервність (132).
§ 2. Властивості монотонних функцій 132
1. Монотонні функції (132). 2. Поняття зворотної функції (133).
§ 3. Найпростіші елементарні функції 138
1. Показова функція(138). 2. Логарифмічна функція (145). 3. Ступенева функція (146). 4. Тригонометричні функції (147). 5. Зворотні тригонометричні функції (154). 6. Гіперболічні функції (156).
§ 4. Дві чудові межі 158
1. Перший чудова межа(158). 2. Друга чудова межа (159).
§ 5. Точки розриву функції та його класифікація. . . . 162 1. Класифікація точок розриву функції (162). 2. Про точки розриву монотонної функції (166).
§ 6. Локальні та глобальні властивості безперервних функцій. 167 1. Локальні властивості безперервних функцій (167). 2. Глобальні характеристики безперервних функцій (170). 3. Поняття рівномірної безперервності функції (176). 4. Поняття модуля безперервності функції (181).
§ 7. Поняття компактності множини 184
1. Відкриті та замкнуті множини (184). 2. Про покриття множини системою відкритих множин (184). 3. Поняття компактності множини (186).
Розділ 5. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ 189
§ 1. Поняття похідної 189
1. Збільшення функції. Різнисна форма умови безперервності (189). 2. Визначення похідної (190). 3. Геометричний сенс похідної (192).
§ 2. Поняття диференційованості функції 193
1. Визначення диференційності функції (193). 2. Диференційність та безперервність (195). 3. Поняття диференціала функції (196).
§ 3. Диференціювання складної функції та зворотної функції 197 1. Диференціювання складної функції (197). 2. Диференціювання зворотної функції (199). 3. Інваріантність форми першого диференціалу (200). 4. Застосування диференціалу для встановлення наближених формул (201).
§ 4. Диференціювання суми, різниці, твору та приватного функцій 202
§ 5. Похідні найпростіших елементарних функцій. . . 205 1. Похідні тригонометричних функцій (205). 2. Похідна логарифмічної функції(207). 3. Похідні показової та зворотної тригонометричних функцій (208). 4. Похідна степеневої функції(210). 5. Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій (210). 6. Таблиця диференціалів найпростіших елементарних функцій (212). 7. Логарифмічна похідна. Похідна статечно-показової функції (212).
§ 6. Похідні та диференціали вищих порядків. . . 215 1. Поняття похідної л-го порядку (213). 2. п-е похідні деяких функцій (214). 3. Формула Лейбниця для я-й похіднийтвори двох функцій (216). 4. Диференціали вищих систем (218).
§ 7. Диференціювання функції, заданої параметрично. 220*
§ 8. Похідна векторної функції 222
Глава 6. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ДИФЕРЕНЦІЙНІ ФУНКЦІЇ 224
§ 1. Зростання (зменшення) функції у точці. Локальний екстремум 224
§ 2. Теорема про нуль похідної 226
§ 3. Формула кінцевих прирощень (формула Лагранжа). . 227 § 4. Деякі наслідки з формули Лагранжа.... 229» 1. Постійність функції, що має на інтервалі рівну похідну нулю (229). 2. Умови монотонності функції на інтервалі (230). 3. Відсутність розривів першого роду та усунутих розривів у похідної (231). 4. Виведення деяких нерівностей (233). § 5. Узагальнена формула кінцевих прирощень (формула Коші). . 234
§ 6. Розкриття невизначеностей (правило Лопіталя). . . 235
1. Розкриття невизначеності виду (235). Розкриття невизначеності виду – (240). 3. Розкриття невизначеності інших видів (243).
!§ 7. Формула Тейлора « 245
§ 8. Різні форми залишкового члена. Формула Маклорена 248
1. Залишковий член у формі Лагранжа, Коші та Пеано (248).
2. Інший запис формули Тейлора (250). 3. Формула Маклорена (251).
§ 9. Оцінка залишкового члена. Розкладання деяких елементарних функцій. . . . . 251
1. Оцінка залишкового члена довільної: функції (251). 2. Розкладання за формулою Маклорена деяких елементарних функцій (252).
1§ 10. Приклади додатків формули Маклорена 256.
1. Обчислення числа е ЕОМ (256). 2. Доказ ірраціональності числа е (257). 3. Обчислення значень тригонометричних функцій (258). 4. Асимптотична оцінка елементарних функцій та обчислення меж (259).
РОЗДІЛ 7. ДОСЛІДЖЕННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ТА ВІДшукАННЯ ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ 262
§ 1. Відшукання стаціонарних точок 262
1. Ознаки монотонності функції (262). 2. Пошук стаціонарних точок (262). 3. Перше достатня умоваекстремуму (264). 4. Друга достатня умова екстремуму” (265). 5. Третя достатня умова екстремуму (267). 6. Екстремум функції, що не диференціюється в даній точці (268). Загальна схемавідшукання екстремумів (270).
§ 2. Випуклість графіка функції 271
§ 3. Точки перегину 273
1. Визначення точки перегину. Необхідна умоваперегину (273). 2. Перша достатня умова перегину (276). 3. Деякі узагальнення першої достатньої умови перегину (276). 4. Друга достатня умова перегину (277). 5. Третя достатня умова перегину (278).
§ 4. Асимптоти графіка функції 279
§ 5. Побудова графіка функції 281
§ 6. Глобальні максимум та мінімум функції на сегменті.
Крайовий екстремум 284
1. Відшукання максимального та мінімального значеньфункції, визначеної на сегменті (284). 2. Крайовий екстремум (286). 3. Теорема Дарбу (287). Доповнення. Алгоритм пошуку екстремальних значень функції, що використовує лише значення цієї функції. . . 288
Розділ 8. ПЕРШООБРАЗНА ФУНКЦІЯ І НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ 291
§ 1. Поняття первісної функціїта невизначеного інтеграла 291 1. Поняття первісної функції (291). 2. Невизначений інтеграл (292). 3. "Основні властивості невизначеного інтеграла (293). 4. Таблиця основних не певних інтегралів (294).
§ 2. Основні методи інтегрування 297
1, Інтегрування заміни змінною (підстановкою) (297).
2. Інтегрування частинами (300).
§ 3. Класи функцій, що інтегруються в елементарних функціях. 303 1. Короткі відомості про комплексні числа (304). 2. Короткі відомості про коріння алгебраїчних багаточленів (307). 3. Розкладання алгебраїчного багаточлена з речовими коефіцієнтами на добуток неприведених множників (311). 4. Розкладання правильної раціонального дробуу сумі найпростіших дробів (312). 5. Інтегрованість раціонального дробу в елементарних функціях (318). 6. Інтегрованість в елементарних функціях деяких тригонометричних та ірраціональних виразів (321).
§ 4. Еліптичні інтеграли, 327
Глава 9. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ РІМАНА 330
§ 1. Визначення інтегралу. Інтегрованість. . . . . 330 § 2. Верхні та нижні суми та їх властивості. . . . . 334 1. Визначення верхньої та нижньої сум (334). 2. Основні властивості верхніх та нижніх сум (335). § 3. Теореми про необхідні та достатні умови інтегрованості функцій. Класи функцій, що інтегруються. . . 339
1. Необхідні та достатні умови інтегрованості (339).
2. Класи функцій, що інтегруються (341).
§ 4. Властивості певного інтеграла. Оцінки інтегралів. Теореми про середнє значення. 347
1. Властивості інтеграла (347). 2. Оцінки інтегралів (350).
§ 5. Первісна безперервної функції. Правила інтегрування функцій 357
1. Первісна (357). 2. Основна формула інтегрального обчислення (359). 3. Важливі правила, що дозволяють обчислювати певні інтеграли (360). 4. Залишковий член формули Тейлора в інтегральній формі (362).
§ 6. Нерівність для сум та інтегралів 365
1. Нерівність Юнга (365). 2. Нерівність Гельдера на суми (366). 3. Нерівність Мінковського на суму (367). 4. Нерівність Гельдера для інтегралів (367). 5. Нерівність Мінковського для інтегралів (368).
§ 7. Додаткові відомості про певний інтеграл Рімана 369
1. Межа інтегральних сум за базисом фільтра (369).
2. Критерій інтегрованості Лебега (370).
Додаток 1. Невласні інтеграли 370
§ 1. Невласні інтеграли першого роду 371
1. Поняття невласного інтеграла першого роду (371).
2. Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду. Достатні ознаки збіжності (373). 3. Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів (375). 4. Заміна змінних під знаком невласного інтеграла та формула інтегрування частинами (378).
§ 2. Невласні інтеграли другого роду 379
§ 3. Головне значення невласного інтеграла.
Додаток 2. Інтеграл Стілтьєса 384
1. Визначення інтеграла Стілтьєса та умови його існування (384). 2. Властивості інтеграла Стілтьєса (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧНІ ДОДАТКИ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ 391
§ 1. Довжина дуги кривої 391
1. Поняття простої кривої (391). 2. Поняття кривої, що параметризується (392). 3. Довжина дуги кривої. Поняття кривої, що спрямовується (394). 4. Критерій спрямовуваності кривої. Обчислення довжини дуги кривої (397). 5. Диференціал дуги (402). 6. Приклади (403).
!§ 2. Площа плоскої фігури 405
1. Поняття межі множини та плоскої фігури (405).
2. Площа плоскої фігури (406). 3. Площа криволінійної
трапеції та криволінійного сектора (414). 4. Приклади обчислення площ (416).
§ 3. Обсяг тіла у просторі 418
1. Об'єм тіла (418). 2. Деякі класи кубованих тіл (419). 3. Приклади (421).
Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ МЕТОДИ ВИЧИСЛЕННЯ КОРНЬОГО РІВНЯННЯ І ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ... 422
§ 1. Наближені методи обчислення коренів рівнянь. . 422 1. Метод "вилки" (422). 2. Метод ітерацій (423). 3. Методи хорд і дотичних (426).
§ 2. Наближені методи обчислення певних інтегралів 431 1. Вступні зауваження (431). 2. Метод прямокутників (434).
3. Метод трапецій (436). 4. Метод парабол (438).
Глава 12. ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ.... 442
§ 1. Поняття функції змінних 442
1. Поняття m-мірного координатного та гамерного евклідова просторів (442). 2. Безліч точок m-мірного евклідового простору (445). 3. Поняття функції змінних (449).
§ 2. Межа функції га змінних 451
1. Послідовності точок простору Ет (451). 2. Властивість обмеженої послідовності точок Ет (454). 3. Межа функції змінних (455). 4. Нескінченно малі функції т змінних (458). 5. Повторні межі (459).
§ 3. Безперервність функції га змінних 460
1. Поняття безперервності функції m змінних (460).
2. Безперервність функції т змінних за однією змінною (462). 3. Основні властивості безперервних функцій кількох змінних (465).
§ 4. Похідні та диференціали функції декількох змінних 469
1. Приватні похідні функції кількох змінних (469). 2. Диференційність функції кількох змінних (470). 3. Геометричний зміст умови диференційованої функції двох змінних (473). 4. Достатні умови диференційності (474). 5. Диференціал функції кількох змінних (476). 6. Диференціювання складної функції (476). 7. Інваріантність форми першого диференціалу (480). 8. Похідна за напрямком. Градієнт (481).
§ 5. Приватні похідні та диференціали вищих порядків. 485 1. Приватні похідні вищих порядків (485). 2. Диференціали вищих систем (490). 3. Формула Тейлора з залишковим членом у формі "Лагранжа та в інтегральній формі (497). 4. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано (500).
6. Локальний екстремум функції змінних.... 504 1. Поняття екстремуму функції змінних. Необхідні умови екстремуму (504). 2. Достатні умови локального екстремумуфункції га змінних (506). 3. Випадок функції двох змінних (512).
Додаток 1. Градієнтний методпошуку екстремуму сильно опуклої функції 514
1. Випуклі множинита опуклі функції (515). 2. Існування мінімуму у сильно опуклої функції та єдиність мінімуму у строго опуклої функції (521).
3. Пошук мінімуму дуже опуклої функції (526).
2. Метричні, нормовані простори. . 535
Метричний простір. 1. Визначення метричного простору. Приклади (535). 2. Відкриті та замкнуті множини (538). 3. Прямий добуток метричних просторів (540). 4. Всюди щільні та досконалі множини(541). 5. Збіжність. Безперервні відображення (543). 6. Компактність (545). 7. Базис простору (548).
Властивості метричних просторів 550
Топологічні простори 558
1. Визначення топологічного простору. Хаусдорфів топологічний простір. Приклади (558). 2. Зауваження про топологічні простори (562).
Нормовані лінійні простори, лінійні оператори 564
1. Визначення лінійного простору. Приклади (564).
2. Нормовані простори. Банахов простору.
Приклади (566). 3. Оператори в лінійних та нормованих просторах (568). 4. Простір операторів (569).
5. Норма оператора (569). 6. Поняття гільбертового простору (572).
Додаток 3. Диференційне літочислення в лінійних нормованих просторах. 574
1. Поняття диференційоване. Сильна та слабка диференційованість у лінійних нормованих просторах (575).
2. Формула Лагранжа кінцевих прирощень (581).
3. Зв'язок між слабкою та сильною диференційністю (584). 4. Диференційність функціоналів (587). 5. Інтеграл від абстрактних функцій (587). 6. Формула Ньютона-Лейбніца для абстрактних функцій (589). 7. Похідні другого порядку (592). 8. Відображення т-мірного евклідового простору в га-мірне (595). 9. Похідні та диференціали вищих порядків (598). 10. Формула Тейлора для відображення одного нормованого простору до іншого (599).
Дослідження на екстремум функціоналів у нормованих
просторах. 602
1. Необхідна умова екстремуму (602). 2. Достатні умови екстремуму (605).
Глава 13. НЕЯВНІ ФУНКЦІЇ 609
§ 1. Існування та диференційність неявно заданої функції 610
1. Теорема про існування та диференційність неявної функції(610). 2. Обчислення приватних похідних неявно заданої функції (615). 3. Особливі точкиповерхні та плоскої кривої (617). 4. Умови, що забезпечують існування функції у=)(х) зворотної функції (618).
§ 2. Неявні функції, що визначаються системою функціональних
рівнянь 619
1. Теорема про дозвіл системи функціональних рівнянь (619). 2. Обчислення приватних похідних функцій, що неявно визначаються за допомогою системи функціональних рівнянь (624). 3. Взаємно однозначне відображення двох множин m-мірного простору (625).
§ 3. Залежність функцій 626
1. Поняття залежності функції. Достатня умова незалежності (626). 2. Функціональні матриці та їх застосування (628).
§ 4. Умовний екстремум. 632
1. Поняття умовного екстремуму (632). 2. Метод невизначених множниківЛагранжа (635). 3. Достатні. умови (636). 4. Приклад (637).
1. Відображення банахових просторів. Аналог теореми про неявну функцію 638
1. Теорема про існування та диференційованість неявної функції (638). 2. Випадок кінцевих просторів (644). 3. Особливі точки поверхні в просторі вимірювань. Зворотне відображення (647). 4. Умовний екстремум у разі відображення нормованих просторів (651).

Ч. 2. – Продовження курсу.

ЗМІСТ
Передмова 5
РОЗДІЛ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ 7
§ 1. Поняття числового ряду 7
1. Сходові та розбіжні ряди (7). 2. Критерій Коші збіжності ряду (10)
§ 2. Ряди з невід'ємними членами 12"
1. Необхідна та достатня умова збіжності ряду з невід'ємними членами (12). 2. Ознаки порівняння (13). 3. Ознаки Даламбера та Коші (16). 4. Інтегральна ознака Коші – Мак-лорена (21). 5, Ознака Раабе (24). 6. Відсутність універсального ряду порівняння (27)
§ 3. Абсолютно та умовно схожі ряди 28
1. Поняття абсолютно і умовно схожих рядів (28). 2. Про перестановку членів ряду, що умовно сходить (30). 3. Про перестановку членів ряду, що абсолютно сходиться (33)
§ 4. Ознаки збіжності довільних рядів 35
§ 5. Арифметичні операції над рядами, що сходяться 41
§ 6. Нескінченні твори 44
1. Основні поняття (44). 2. Зв'язок між збіжністю нескінченних творів та рядів (47). 3. Розкладання функції sin x у нескінченний твір (51)
§ 7. Узагальнені методи підсумовування рядів, що розходяться.
1. Метод Чезаро (метод середніх арифметичних) (56). 2. Метод підсумовування Пуассона – Абеля (57)
§ 8. Елементарна теоріяподвійних та повторних рядів 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦІОНАЛЬНІ НАСЛІДНОСТІ ТА РЯДИ 67
§ 1. Поняття збіжності в точці та рівномірної збіжності на безлічі 67
1. Поняття функціональної послідовності та функціонального ряду(67). 2. Схожість функціональної послідовності (функціонального ряду) у точці та на множині (69). 3. Рівномірна збіжність на множині (70). 4. Критерій Коші рівномірної збіжності послідовності (ряду) (72)
§ 2. Достатні ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей та рядів 74
§ 3. Почленний перехід до межі 83
§ 4. Почленное інтегрування та почленное диференціювання функціональних послідовностей та рядів 87
1. Почленное інтегрування (87). 2. Почленное диференціювання (90). 3. Збіжність у середньому (94)
§ 5. Рівномірна безперервність послідовності функцій...
§ 6. Ступінні ряди 102
1. Ступіньовий ряд та область його збіжності (102). 2. Безперервність суми статечного ряду (105). 3. Почленное інтегрування та почленное диференціювання статечного ряду (105)
§ 7. Розкладання функцій у статечні ряди 107
1. Розкладання функції у степеневий ряд(107). 2. Розкладання деяких елементарних функцій у ряд Тейлора (108). 3. Елементарні уявленняпро функції комплексної змінної (ПЗ). 4. Теорема Вейєрштрасса про рівномірне наближення безперервної функції багаточленами (112)
РОЗДІЛ 3. ПОДВІЙНІ ТА n-КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Визначення та умови існування подвійного інтеграла. . . 117
1. Визначення подвійного інтеграла прямокутника (117).
2. Умови існування подвійного інтеграла прямокутника (119). 3. Визначення та умови існування подвійного інтеграла для довільної галузі (121). 4. Загальне визначення подвійного інтеграла (123)
§ 2. Основні властивості подвійного інтеграла 127
§ 3. Зведення подвійного інтеграла до повторного одноразового. . . 129 1. Випадок прямокутника (129). 2. Випадок довільної області (130)
§ 4. Потрійні та n-кратні інтеграли 133
§ 5. Заміна змінних у n-кратному інтегралі 138
§ 6. Обчислення обсягів n-мірних тіл 152
§ 7. Теорема про почленное інтегрування функціональних послідовностей та рядів 157
$ 8. Кратні невласні інтеграли 159
1. Поняття кратних невласних інтегралів(159). 2. Дві ознаки збіжності невласних інтегралів від невід'ємних функцій (160). 3. Невласні інтеграли від знакозмінних функцій (161). 4. Головне значення кратних невласних інтегралів (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду. . . 167
§ 2. Умови існування криволінійних інтегралів 169
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНІ ІНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Поняття поверхні та її площі 175
1. Поняття поверхні (175). 2. Допоміжні леми (179).
3. Площа поверхні (181)
§ 2. Поверхневі інтеграли 185
РОЗДІЛ 6. ТЕОРІЯ ПОЛЯ. ОСНОВНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ФОРМУЛИ АНАЛІЗУ 190
§ 1. Позначення. Біортогональні базиси. Інваріанти лінійного оператора 190
1. Позначення (190). 2. Біортогональні базиси в просторі Е" (191). 3. Перетворення базисів. Коваріантні та контрваріантні координати вектора (192). 4. Інваріанти лінійного оператора. Дивергенція та ротор (195). 5. Вирази для дивергенції і ротора ліній базисі (Щ8)
§ 2. Скалярні та векторні поля. Диференціальні оператори векторного аналізу 198
!. Скалярні та векторні поля (198). 2. Дивергенція, ротор та похідна за напрямком векторного поля(203). 3. Деякі інші формули векторного аналізу (204). 4. Заключні зауваження (206)
§ 3. Основні інтегральні формули аналізу 207
1. Формула Гріна (207). 2. Формула Остроградського – Гауса (211). 3. Формула Стокса (214)
§ 4. Умови незалежності криволінійного інтеграла на площині шляху інтегрування 218
§ 5. Деякі приклади додатків теорії поля 222
1. Вираз площі плоскої області через криволінійний інтеграл(222). 2. Вираз обсягу через поверхневий інтеграл (223)
Додаток до глави 6. Диференціальні форми в евклідовому просторі 225
§ 1. Знакозмінні полілінійні форми 225
1. Лінійні форми (225). 2. Білінійні форми (226). 3. Полілінійні форми (227). 4. Знакозмінні полілінійні форми (228). 5. Зовнішнє твір знакозмінних форм (228). 6. Властивості зовнішнього твору знакозмінних форм (231). 7. Базис у просторі знакозмінних форм (233)
§ 2. Диференціальні форми 235
1. Основні позначення (235). 2. Зовнішній диференціал (236). 3. Властивості зовнішнього диференціалу (237;)
§ 3. Диференційовані відображення 2391
1. Визначення диференційованих відображень (239). 2. Властивості відображення ф* (240)
§ 4. Інтегрування диференціальних форм 243
1. Визначення (243). 2. Диференційовані ланцюги (245). 3. Формула Стокса (248). 4. Приклади (250)
ГЛАВА 7. ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРІВ 252
§ 1. Рівномірне по одній змінній прагнення функції двох змінних до межі за іншою змінною 252
1. Зв'язок рівномірного по одній змінної прагнення функції двох змінних до межі по іншій змінній з рівномірною збіжністю функціональної послідовності (252). 2. Критерій Коші рівномірного прагнення функції до граничної (254). 3. Застосування поняття рівномірного прагнення граничної функції (254)
§ 2. Власні інтеграли, що залежать від параметра 256
1. Властивості інтеграла, що залежить від параметра (256). 2. Випадок коли межі інтегрування залежать від параметра (257)
§ 3. Невласні інтеграли, що залежать від параметра 259
1. Невласні інтеграли першого роду, що залежать від параметра (260). 2. Невласні інтеграли другого роду, що залежать від параметра (266)
§ 4. Застосування теорії інтегралів, що залежать від параметра, до обчислення деяких невласних інтегралів.
§ 5. Інтеграли Ейлера 271
до Р-функція (272). 2. В-функція (275). 3. Зв'язок між ейлеровими інтегралами (277). 4. Приклади (279)
§ 6. Формула Стірлінга 280
§ 7. Кратні інтеграли, що залежать від параметрів 282
1. Власні кратні інтеграли, що залежать від параметрів (282).
2. Невласні кратні інтеграли, що залежать від параметра (283)
РОЗДІЛ 8. РЯДИ ФУР'Є 287
§ 1. Ортонормовані системи та загальні ряди Фур'є 287
1. Ортонормовані системи (287). 2. Поняття про загальний ряд Фур'є (292)
§ 2. Замкнуті та повні ортонормовані системи 295
§ 3. Замкнутість тригонометричної системита наслідки з неї. . 298 1. Рівномірне наближення безперервної функції тригонометричними багаточленами (298). 2. Доказ замкнутості тригонометричної системи (301). 3. Наслідки замкнутості тригонометричної системи (303)
§ 4. Найпростіші умови рівномірної збіжності та почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є 304
1. Вступні зауваження (304). 2. Найпростіші умови абсолютної та рівномірної збіжності тригонометричного ряду Фур'є (306).
3. Найпростіші умови почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є (308)
§ 5. Більш точні умови рівномірної збіжності та умови збіжності у даній точці 309>
1. Модуль безперервності функції. Класи Гельдера (309). 2. Вираз для часткової суми тригонометричного ряду Фур'є (311). 3. Допоміжні пропозиції (314). 4. Принцип локалізації (317). 5. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур'є для функції класу Гельдера (319). 6. Про збіжність тригонометричного ряду Фур'є шматково гельдерової функції (325). 7. Підсумовуваність тригонометричного ряду Фур'є безперервної функції методом середніх арифметичних (329). 8. Заключні зауваження (331)
§ 6. Кратні тригонометричні ряди Фур'є 332
1. Поняття кратного тригонометричного ряду Фур'є та його прямокутних та сферичних часткових сум (332). 2. Модуль безперервності та класи Гельдера для функції N змінних (334). 3. Умови абсолютної збіжності кратного тригонометричного ряду Фур'є (335)
РОЗДІЛ 9. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є 33»
§ 1. Подання функції інтегралом Фур'є 339
1. Допоміжні затвердження (340). 2. Основна теорема. Формула звернення (342). 3. Приклади (347)
§ 2. Деякі властивості перетворення Фур'є 34&
§ 3. Кратний інтеграл Фур'є 352

М: Вид-во МДУ. Ч.1: 2-ге вид., перероб., 1985. - 662с.; Ч.2 - 1987. - 358с. Ч. 1. - Початковий курс.

Підручник є першою частиною курсу математичного аналізу для вищих навчальних закладів СРСР, Болгарії та Угорщини, написаного відповідно до угоди про співпрацю між Московським, Софійським та Будапештським університетами. Книга включає теорію речових чисел, теорію меж, теорію безперервності функцій, диференціальне та інтегральне обчислення функцій однієї змінної та їх застосування, диференціальне обчислення функцій багатьох змінних і теорію неявних функцій.

Ч. 2. - Продовження курсу.

Підручник являє собою другу частину (ч. 1 - 1985) курсу математичного аналізу, написаного відповідно до єдиної програми, прийнятої в СРСР і НРБ. У книзі розглянуті теорія числових та функціональних рядів, теорія кратних, криволінійних та поверхневих інтегралів, теорія поля (включаючи диференціальні форми), теорія інтегралів, що залежать від параметра, та теорія рядів та інтегралів Фур'є. Особливість книги - три чітко відокремлювані один від одного рівні викладу: полегшений, основний і підвищений, що дозволяє використовувати її як студентам технічних вузів з поглибленим вивченнямматематичного аналізу, а також студентам механіко-математичних факультетів університетів.

ЗМІСТ
Передмова титульного редактора.
Передмова до другого видання 6
Передмова до першого видання 6
Глава 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ 10
Глава 2. РЕЧОВИНІ ЧИСЛА 29
§ 1. Безліч чисел, що надаються нескінченними десятковими дробами, та його впорядкування 29
1. Властивості раціональних чисел (29). 2. Недостатність раціональних чисел для виміру відрізків числової осі (31). 3. Упорядкування безлічі нескінченних десяткових
дробів (34)
§ 2. Обмежені зверху (або знизу) множини чисел, що представляються нескінченними десятковими дробами. 40 1. Основні поняття (40). 2. Існування точних граней (41).
§ 3. Наближення чисел, що надаються нескінченними десятковими дробами, раціональними числами 44
§ 4. Операції складання та множення. Опис множини дійсних чисел 46
1. Визначення операцій складання та множення. Опис поняття дійсних чисел (46). 2. Існування та єдиність суми та добутку речових чисел (47).
§ 5. Властивості речових чисел 50
1. Властивості речових чисел (50). 2. Деякі часто вживані співвідношення (52). 3. Деякі конкретні множини речових чисел (52).
§ 6. Додаткові питання теорії речових чисел. .54 1. Повнота множини дійсних чисел (54). 2. Аксіоматичне введення множини дійсних чисел (57).
§ 7. Елементи теорії множин. 59
1. Поняття множини (59). 2. Операції над множинами (60). 3. Рахункові та незліченні множини. Численність сегмента. Потужність множини (61). 4. Властивості операції над множинами. Відображення множин (65).
РОЗДІЛ 3. ТЕОРІЯ МЕЖ. 68
§ 1. Послідовність та її межа 68.
1. Поняття послідовності. Арифметичні операції над послідовностями (68). 2. Обмежені, необмежені, нескінченно малі та нескінченно великі послідовності (69). 3. Основні властивості нескінченно малих послідовностей (73). 4. Схожі послідовності та його властивості (75).
§ 2. Монотонні послідовності 83
1. Поняття монотонної послідовності (83). 2. Теорема про збіжність монотонної обмеженої послідовності (84). 3. Число е (86). 4. Приклади монотонних послідовностей, що сходяться (88).
§ 3. Довільні послідовності 92
1. Граничні точки, верхня та нижня межі послідовності (92). 2. Розширення понять граничної точки та верхньої та нижньої меж (99). 3. Критерій Коші збіжності послідовності (102).
§ 4. Межа (або граничне значення) функції 105
1. Поняття змінної величини та функції (105). 2. Межа функції по Гейні та Коші (109). 3. Критерій Коші існування межі функції (115). 4. Арифметичні операції над функціями, що мають межу (118). 5. Нескінченно малі та нескінченно великі функції (119).
§ 5. Загальне визначення межі функції за базою. 122
Глава 4. НЕПРЕРИВНІСТЬ ФУНКЦІЇ 127
§ 1. Поняття безперервності функції 127
1. Визначення безперервності функції (127). 2. Арифметичні операції над безперервними функціями (131). 3. Складна функція та її безперервність (132).
§ 2. Властивості монотонних функцій 132
1. Монотонні функції (132). 2. Поняття зворотної функції (133).
§ 3. Найпростіші елементарні функції 138
1. Показова функція (138). 2. Логарифмічна функція (145). 3. Ступенева функція (146). 4. Тригонометричні функції (147). 5. Зворотні тригонометричні функції (154). 6. Гіперболічні функції (156).
§ 4. Дві чудові межі 158
1. Перша чудова межа (158). 2. Друга чудова межа (159).
§ 5. Точки розриву функції та його класифікація. . . . 162 1. Класифікація точок розриву функції (162). 2. Про точки розриву монотонної функції (166).
§ 6. Локальні та глобальні властивості безперервних функцій. 167 1. Локальні властивості безперервних функцій (167). 2. Глобальні характеристики безперервних функцій (170). 3. Поняття рівномірної безперервності функції (176). 4. Поняття модуля безперервності функції (181).
§ 7. Поняття компактності множини 184
1. Відкриті та замкнуті множини (184). 2. Про покриття множини системою відкритих множин (184). 3. Поняття компактності множини (186).
Розділ 5. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ 189
§ 1. Поняття похідної 189
1. Збільшення функції. Різнисна форма умови безперервності (189). 2. Визначення похідної (190). 3. Геометричний сенс похідної (192).
§ 2. Поняття диференційованості функції 193
1. Визначення диференційності функції (193). 2. Диференційність та безперервність (195). 3. Поняття диференціала функції (196).
§ 3. Диференціювання складної функції та зворотної функції 197 1. Диференціювання складної функції (197). 2. Диференціювання зворотної функції (199). 3. Інваріантність форми першого диференціалу (200). 4. Застосування диференціалу для встановлення наближених формул (201).
§ 4. Диференціювання суми, різниці, твору та приватного функцій 202
§ 5. Похідні найпростіших елементарних функцій. . . 205 1. Похідні тригонометричних функцій (205). 2. Похідна логарифмічна функція (207). 3. Похідні показової та зворотної тригонометричних функцій (208). 4. Похідна статечної функції (210). 5. Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій (210). 6. Таблиця диференціалів найпростіших елементарних функцій (212). 7. Логарифмічна похідна. Похідна статечно-показової функції (212).
§ 6. Похідні та диференціали вищих порядків. . . 215 1. Поняття похідної л-го порядку (213). 2. п-е похідні деяких функцій (214). 3. Формула Лейбніца для я-ї похідної праці двох функцій (216). 4. Диференціали вищих систем (218).
§ 7. Диференціювання функції, заданої параметрично. 220*
§ 8. Похідна векторної функції 222
Глава 6. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ДИФЕРЕНЦІЙНІ ФУНКЦІЇ 224
§ 1. Зростання (зменшення) функції у точці. Локальний екстремум 224
§ 2. Теорема про нуль похідної 226
§ 3. Формула кінцевих прирощень (формула Лагранжа). . 227 § 4. Деякі наслідки з формули Лагранжа.... 229» 1. Постійність функції, що має на інтервалі рівну похідну нулю (229). 2. Умови монотонності функції на інтервалі (230). 3. Відсутність розривів першого роду та усунутих розривів у похідної (231). 4. Виведення деяких нерівностей (233). § 5. Узагальнена формула кінцевих прирощень (формула Коші). . 234
§ 6. Розкриття невизначеностей (правило Лопіталя). . . 235
1. Розкриття невизначеності виду (235). Розкриття невизначеності виду – (240). 3. Розкриття невизначеності інших видів (243).
!§ 7. Формула Тейлора « 245
§ 8. Різні форми залишкового члена. Формула Маклорена 248
1. Залишковий член у формі Лагранжа, Коші та Пеано (248).
2. Інший запис формули Тейлора (250). 3. Формула Маклорена (251).
§ 9. Оцінка залишкового члена. Розкладання деяких елементарних функцій. . . . . 251
1. Оцінка залишкового члена довільної: функції (251). 2. Розкладання за формулою Маклорена деяких елементарних функцій (252).
1§ 10. Приклади додатків формули Маклорена 256.
1. Обчислення числа е ЕОМ (256). 2. Доказ ірраціональності числа е (257). 3. Обчислення значень тригонометричних функцій (258). 4. Асимптотична оцінка елементарних функцій та обчислення меж (259).
РОЗДІЛ 7. ДОСЛІДЖЕННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ТА ВІДшукАННЯ ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ 262
§ 1. Відшукання стаціонарних точок 262
1. Ознаки монотонності функції (262). 2. Пошук стаціонарних точок (262). 3. Перша достатня умова екстремуму (264). 4. Друга достатня умова екстремуму” (265). 5. Третя достатня умова екстремуму (267). 6. Екстремум функції, що не диференціюється в даній точці (268).
§ 2. Випуклість графіка функції 271
§ 3. Точки перегину 273
1. Визначення точки перегину. Необхідна умова перегину (273). 2. Перша достатня умова перегину (276). 3. Деякі узагальнення першої достатньої умови перегину (276). 4. Друга достатня умова перегину (277). 5. Третя достатня умова перегину (278).
§ 4. Асимптоти графіка функції 279
§ 5. Побудова графіка функції 281
§ 6. Глобальні максимум та мінімум функції на сегменті.
Крайовий екстремум 284
1. Знаходження максимального та мінімального значень функції, визначеної на сегменті (284). 2. Крайовий екстремум (286). 3. Теорема Дарбу (287). Доповнення. Алгоритм пошуку екстремальних значень функції, що використовує лише значення цієї функції. . . 288
Розділ 8. ПЕРШООБРАЗНА ФУНКЦІЯ І НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ 291
§ 1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла 291 1. Поняття первісної функції (291). 2. Невизначений інтеграл (292). 3. "Основні властивості невизначеного інтеграла (293). 4. Таблиця основних невизначених інтегралів (294).
§ 2. Основні методи інтегрування 297
1, Інтегрування заміни змінною (підстановкою) (297).
2. Інтегрування частинами (300).
§ 3. Класи функцій, що інтегруються в елементарних функціях. 303 1. Короткі відомості про комплексні числа (304). 2. Короткі відомості про коріння алгебраїчних багаточленів (307). 3. Розкладання алгебраїчного багаточлена з речовими коефіцієнтами на добуток неприведених множників (311). 4. Розкладання правильного раціонального дробу на суму найпростіших дробів (312). 5. Інтегрованість раціонального дробу в елементарних функціях (318). 6. Інтегрованість в елементарних функціях деяких тригонометричних та ірраціональних виразів (321).
§ 4. Еліптичні інтеграли, 327
Глава 9. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ РІМАНА 330
§ 1. Визначення інтегралу. Інтегрованість. . . . . 330 § 2. Верхні та нижні суми та їх властивості. . . . . 334 1. Визначення верхньої та нижньої сум (334). 2. Основні властивості верхніх та нижніх сум (335). § 3. Теореми про необхідні та достатні умови інтегрованості функцій. Класи функцій, що інтегруються. . . 339
1. Необхідні та достатні умови інтегрованості (339).
2. Класи функцій, що інтегруються (341).
§ 4. Властивості певного інтеграла. Оцінки інтегралів. Теореми про середнє значення. 347
1. Властивості інтеграла (347). 2. Оцінки інтегралів (350).
§ 5. Первісна безперервна функція. Правила інтегрування функцій 357
1. Первісна (357). 2. Основна формула інтегрального числення (359). 3. Важливі правила, що дозволяють обчислювати певні інтеграли (360). 4. Залишковий член формули Тейлора в інтегральній формі (362).
§ 6. Нерівність для сум та інтегралів 365
1. Нерівність Юнга (365). 2. Нерівність Гельдера на суми (366). 3. Нерівність Мінковського на суму (367). 4. Нерівність Гельдера для інтегралів (367). 5. Нерівність Мінковського для інтегралів (368).
§ 7. Додаткові відомості про певний інтеграл Рімана 369
1. Межа інтегральних сум за базисом фільтра (369).
2. Критерій інтегрованості Лебега (370).
Додаток 1. Невласні інтеграли 370
§ 1. Невласні інтеграли першого роду 371
1. Поняття невласного інтеграла першого роду (371).
2. Критерій Коші збіжності невласного інтеграла першого роду. Достатні ознаки збіжності (373). 3. Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів (375). 4. Заміна змінних під знаком невласного інтеграла та формула інтегрування частинами (378).
§ 2. Невласні інтеграли другого роду 379
§ 3. Головне значення невласного інтеграла.
Додаток 2. Інтеграл Стілтьєса 384
1. Визначення інтеграла Стілтьєса та умови його існування (384). 2. Властивості інтеграла Стілтьєса (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧНІ ДОДАТКИ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ 391
§ 1. Довжина дуги кривої 391
1. Поняття простої кривої (391). 2. Поняття кривої, що параметризується (392). 3. Довжина дуги кривої. Поняття кривої, що спрямовується (394). 4. Критерій спрямовуваності кривої. Обчислення довжини дуги кривої (397). 5. Диференціал дуги (402). 6. Приклади (403).
!§ 2. Площа плоскої фігури 405
1. Поняття межі множини та плоскої фігури (405).
2. Площа плоскої фігури (406). 3. Площа криволінійної
трапеції та криволінійного сектора (414). 4. Приклади обчислення площ (416).
§ 3. Обсяг тіла у просторі 418
1. Об'єм тіла (418). 2. Деякі класи кубованих тіл (419). 3. Приклади (421).
Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ МЕТОДИ ВИЧИСЛЕННЯ КОРНЬОГО РІВНЯННЯ І ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ... 422
§ 1. Наближені методи обчислення коренів рівнянь. . 422 1. Метод "вилки" (422). 2. Метод ітерацій (423). 3. Методи хорд і дотичних (426).
§ 2. Наближені методи обчислення певних інтегралів 431 1. Вступні зауваження (431). 2. Метод прямокутників (434).
3. Метод трапецій (436). 4. Метод парабол (438).
Глава 12. ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ.... 442
§ 1. Поняття функції змінних 442
1. Поняття m-мірного координатного та гамерного евклідова просторів (442). 2. Безліч точок m-мірного евклідового простору (445). 3. Поняття функції змінних (449).
§ 2. Межа функції га змінних 451
1. Послідовності точок простору Ет (451). 2. Властивість обмеженої послідовності точок Ет (454). 3. Межа функції змінних (455). 4. Нескінченно малі функції т змінних (458). 5. Повторні межі (459).
§ 3. Безперервність функції га змінних 460
1. Поняття безперервності функції m змінних (460).
2. Безперервність функції т змінних за однією змінною (462). 3. Основні властивості безперервних функцій кількох змінних (465).
§ 4. Похідні та диференціали функції декількох змінних 469
1. Приватні похідні функції кількох змінних (469). 2. Диференційність функції кількох змінних (470). 3. Геометричний зміст умови диференційованої функції двох змінних (473). 4. Достатні умови диференційності (474). 5. Диференціал функції кількох змінних (476). 6. Диференціювання складної функції (476). 7. Інваріантність форми першого диференціалу (480). 8. Похідна за напрямком. Градієнт (481).
§ 5. Приватні похідні та диференціали вищих порядків. 485 1. Приватні похідні вищих порядків (485). 2. Диференціали вищих систем (490). 3. Формула Тейлора з залишковим членом у формі "Лагранжа та в інтегральній формі (497). 4. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано (500).
6. Локальний екстремум функції змінних.... 504 1. Поняття екстремуму функції змінних. Необхідні умови екстремуму (504). 2. Достатні умови локального екстремуму функції га змінних (506). 3. Випадок функції двох змінних (512).
Додаток 1. Градієнтний метод пошуку екстремуму сильно опуклої функції 514
1. Випуклі множини та опуклі функції (515). 2. Існування мінімуму у сильно опуклої функції та єдиність мінімуму у строго опуклої функції (521).
3. Пошук мінімуму дуже опуклої функції (526).
2. Метричні, нормовані простори. . 535
Метричний простір. 1. Визначення метричного простору. Приклади (535). 2. Відкриті та замкнуті множини (538). 3. Прямий добуток метричних просторів (540). 4. Усюди щільні та досконалі множини (541). 5. Збіжність. Безперервні відображення (543). 6. Компактність (545). 7. Базис простору (548).
Властивості метричних просторів 550
Топологічні простори 558
1. Визначення топологічного простору. Хаусдорфів топологічний простір. Приклади (558). 2. Зауваження про топологічні простори (562).
Нормовані лінійні простори, лінійні оператори 564
1. Визначення лінійного простору. Приклади (564).
2. Нормовані простори. Банахов простору.
Приклади (566). 3. Оператори в лінійних та нормованих просторах (568). 4. Простір операторів (569).
5. Норма оператора (569). 6. Поняття гільбертового простору (572).
Додаток 3. Диференційне літочислення в лінійних нормованих просторах. 574
1. Поняття диференційоване. Сильна та слабка диференційованість у лінійних нормованих просторах (575).
2. Формула Лагранжа кінцевих прирощень (581).
3. Зв'язок між слабкою та сильною диференційністю (584). 4. Диференційність функціоналів (587). 5. Інтеграл від абстрактних функцій (587). 6. Формула Ньютона-Лейбніца для абстрактних функцій (589). 7. Похідні другого порядку (592). 8. Відображення т-мірного евклідового простору в га-мірне (595). 9. Похідні та диференціали вищих порядків (598). 10. Формула Тейлора для відображення одного нормованого простору до іншого (599).
Дослідження на екстремум функціоналів у нормованих
просторах. 602
1. Необхідна умова екстремуму (602). 2. Достатні умови екстремуму (605).
Глава 13. НЕЯВНІ ФУНКЦІЇ 609
§ 1. Існування та диференційність неявно заданої функції 610
1. Теорема про існування та диференційованість неявної функції (610). 2. Обчислення приватних похідних неявно заданої функції (615). 3. Особливі точки поверхні та плоскої кривої (617). 4. Умови, що забезпечують існування функції у=)(х) зворотної функції (618).
§ 2. Неявні функції, що визначаються системою функціональних
рівнянь 619
1. Теорема про дозвіл системи функціональних рівнянь (619). 2. Обчислення приватних похідних функцій, що неявно визначаються за допомогою системи функціональних рівнянь (624). 3. Взаємно однозначне відображення двох множин m-мірного простору (625).
§ 3. Залежність функцій 626
1. Поняття залежності функції. Достатня умова незалежності (626). 2. Функціональні матриці та їх застосування (628).
§ 4. Умовний екстремум. 632
1. Поняття умовного екстремуму (632). 2. Метод невизначених множників Лагранжа (635). 3. Достатні. умови (636). 4. Приклад (637).
1. Відображення банахових просторів. Аналог теореми про неявну функцію 638
1. Теорема про існування та диференційованість неявної функції (638). 2. Випадок кінцевих просторів (644). 3. Особливі точки поверхні в просторі вимірювань. Зворотне відображення (647). 4. Умовний екстремум у разі відображення нормованих просторів (651).
Ч. 2. – Продовження курсу.
ЗМІСТ
Передмова 5
РОЗДІЛ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ 7
§ 1. Поняття числового ряду 7
1. Сходові та розбіжні ряди (7). 2. Критерій Коші збіжності ряду (10)
§ 2. Ряди з невід'ємними членами 12"
1. Необхідна та достатня умова збіжності ряду з невід'ємними членами (12). 2. Ознаки порівняння (13). 3. Ознаки Даламбера та Коші (16). 4. Інтегральна ознака Коші – Мак-лорена (21). 5, Ознака Раабе (24). 6. Відсутність універсального ряду порівняння (27)
§ 3. Абсолютно та умовно схожі ряди 28
1. Поняття абсолютно і умовно схожих рядів (28). 2. Про перестановку членів ряду, що умовно сходить (30). 3. Про перестановку членів ряду, що абсолютно сходиться (33)
§ 4. Ознаки збіжності довільних рядів 35
§ 5. Арифметичні операції над рядами, що сходяться 41
§ 6. Нескінченні твори 44
1. Основні поняття (44). 2. Зв'язок між збіжністю нескінченних творів та рядів (47). 3. Розкладання функції sin x у нескінченний твір (51)
§ 7. Узагальнені методи підсумовування рядів, що розходяться.
1. Метод Чезаро (метод середніх арифметичних) (56). 2. Метод підсумовування Пуассона – Абеля (57)
§ 8. Елементарна теорія подвійних та повторних рядів 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦІОНАЛЬНІ НАСЛІДНОСТІ ТА РЯДИ 67
§ 1. Поняття збіжності в точці та рівномірної збіжності на безлічі 67
1. Поняття функціональної послідовності та функціонального ряду (67). 2. Схожість функціональної послідовності (функціонального ряду) у точці та на множині (69). 3. Рівномірна збіжність на множині (70). 4. Критерій Коші рівномірної збіжності послідовності (ряду) (72)
§ 2. Достатні ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей та рядів 74
§ 3. Почленний перехід до межі 83
§ 4. Почленное інтегрування та почленное диференціювання функціональних послідовностей та рядів 87
1. Почленное інтегрування (87). 2. Почленное диференціювання (90). 3. Збіжність у середньому (94)
§ 5. Рівномірна безперервність послідовності функцій...
§ 6. Ступінні ряди 102
1. Ступіньовий ряд та область його збіжності (102). 2. Безперервність суми статечного ряду (105). 3. Почленное інтегрування та почленное диференціювання статечного ряду (105)
§ 7. Розкладання функцій у статечні ряди 107
1. Розкладання функції в статечний ряд (107). 2. Розкладання деяких елементарних функцій у ряд Тейлора (108). 3. Елементарні ставлення до функціях комплексної змінної (ПО). 4. Теорема Вейєрштрасса про рівномірне наближення безперервної функції багаточленами (112)
РОЗДІЛ 3. ПОДВІЙНІ ТА n-КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Визначення та умови існування подвійного інтеграла. . . 117
1. Визначення подвійного інтеграла прямокутника (117).
2. Умови існування подвійного інтеграла прямокутника (119). 3. Визначення та умови існування подвійного інтеграла для довільної галузі (121). 4. Загальне визначення подвійного інтеграла (123)
§ 2. Основні властивості подвійного інтеграла 127
§ 3. Зведення подвійного інтеграла до повторного одноразового. . . 129 1. Випадок прямокутника (129). 2. Випадок довільної області (130)
§ 4. Потрійні та n-кратні інтеграли 133
§ 5. Заміна змінних у n-кратному інтегралі 138
§ 6. Обчислення обсягів n-мірних тіл 152
§ 7. Теорема про почленное інтегрування функціональних послідовностей та рядів 157
$ 8. Кратні невласні інтеграли 159
1. Поняття кратних невласних інтегралів (159). 2. Дві ознаки збіжності невласних інтегралів від невід'ємних функцій (160). 3. Невласні інтеграли від знакозмінних функцій (161). 4. Головне значення кратних невласних інтегралів (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду. . . 167
§ 2. Умови існування криволінійних інтегралів 169
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНІ ІНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Поняття поверхні та її площі 175
1. Поняття поверхні (175). 2. Допоміжні леми (179).
3. Площа поверхні (181)
§ 2. Поверхневі інтеграли 185
РОЗДІЛ 6. ТЕОРІЯ ПОЛЯ. ОСНОВНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ФОРМУЛИ АНАЛІЗУ 190
§ 1. Позначення. Біортогональні базиси. Інваріанти лінійного оператора 190
1. Позначення (190). 2. Біортогональні базиси в просторі Е" (191). 3. Перетворення базисів. Коваріантні та контрваріантні координати вектора (192). 4. Інваріанти лінійного оператора. Дивергенція та ротор (195). 5. Вирази для дивергенції і ротора ліній базисі (Щ8)
§ 2. Скалярні та векторні поля. Диференціальні оператори векторного аналізу 198
!. Скалярні та векторні поля (198). 2. Дивергенція, ротор та похідна за напрямом векторного поля (203). 3. Деякі інші формули векторного аналізу (204). 4. Заключні зауваження (206)
§ 3. Основні інтегральні формули аналізу 207
1. Формула Гріна (207). 2. Формула Остроградського – Гауса (211). 3. Формула Стокса (214)
§ 4. Умови незалежності криволінійного інтеграла на площині від шляху інтегрування 218
§ 5. Деякі приклади додатків теорії поля 222
1. Вираз площі плоскої області через криволінійний інтеграл (222). 2. Вираз обсягу через поверхневий інтеграл (223)
Додаток до глави 6. Диференціальні форми в евклідовому просторі 225
§ 1. Знакозмінні полілінійні форми 225
1. Лінійні форми (225). 2. Білінійні форми (226). 3. Полілінійні форми (227). 4. Знакозмінні полілінійні форми (228). 5. Зовнішнє твір знакозмінних форм (228). 6. Властивості зовнішнього твору знакозмінних форм (231). 7. Базис у просторі знакозмінних форм (233)
§ 2. Диференціальні форми 235
1. Основні позначення (235). 2. Зовнішній диференціал (236). 3. Властивості зовнішнього диференціалу (237;)
§ 3. Диференційовані відображення 2391
1. Визначення диференційованих відображень (239). 2. Властивості відображення ф* (240)
§ 4. Інтегрування диференціальних форм 243
1. Визначення (243). 2. Диференційовані ланцюги (245). 3. Формула Стокса (248). 4. Приклади (250)
ГЛАВА 7. ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРІВ 252
§ 1. Рівномірне по одній змінній прагнення функції двох змінних до межі за іншою змінною 252
1. Зв'язок рівномірного по одній змінної прагнення функції двох змінних до межі по іншій змінній з рівномірною збіжністю функціональної послідовності (252). 2. Критерій Коші рівномірного прагнення функції до граничної (254). 3. Застосування поняття рівномірного прагнення граничної функції (254)
§ 2. Власні інтеграли, що залежать від параметра 256
1. Властивості інтеграла, що залежить від параметра (256). 2. Випадок коли межі інтегрування залежать від параметра (257)
§ 3. Невласні інтеграли, що залежать від параметра 259
1. Невласні інтеграли першого роду, що залежать від параметра (260). 2. Невласні інтеграли другого роду, що залежать від параметра (266)
§ 4. Застосування теорії інтегралів, що залежать від параметра, до обчислення деяких невласних інтегралів.
§ 5. Інтеграли Ейлера 271
до Р-функція (272). 2. В-функція (275). 3. Зв'язок між ейлеровими інтегралами (277). 4. Приклади (279)
§ 6. Формула Стірлінга 280
§ 7. Кратні інтеграли, що залежать від параметрів 282
1. Власні кратні інтеграли, що залежать від параметрів (282).
2. Невласні кратні інтеграли, що залежать від параметра (283)
РОЗДІЛ 8. РЯДИ ФУР'Є 287
§ 1. Ортонормовані системи та загальні ряди Фур'є 287
1. Ортонормовані системи (287). 2. Поняття про загальний ряд Фур'є (292)
§ 2. Замкнуті та повні ортонормовані системи 295
§ 3. Замкненість тригонометричної системи та наслідки з неї. . 298 1. Рівномірне наближення безперервної функції тригонометричними багаточленами (298). 2. Доказ замкнутості тригонометричної системи (301). 3. Наслідки замкнутості тригонометричної системи (303)
§ 4. Найпростіші умови рівномірної збіжності та почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є 304
1. Вступні зауваження (304). 2. Найпростіші умови абсолютної та рівномірної збіжності тригонометричного ряду Фур'є (306).
3. Найпростіші умови почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є (308)
§ 5. Більш точні умови рівномірної збіжності та умови збіжності у даній точці 309>
1. Модуль безперервності функції. Класи Гельдера (309). 2. Вираз для часткової суми тригонометричного ряду Фур'є (311). 3. Допоміжні пропозиції(314). 4. Принцип локалізації (317). 5. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур'є для функції класу Гельдера (319). 6. Про збіжність тригонометричного ряду Фур'є шматково гельдерової функції (325). 7. Підсумовуваність тригонометричного ряду Фур'є безперервної функції методом середніх арифметичних (329). 8. Заключні зауваження (331)
§ 6. Кратні тригонометричні ряди Фур'є 332
1. Поняття кратного тригонометричного ряду Фур'є та його прямокутних та сферичних часткових сум (332). 2. Модуль безперервності та класи Гельдера для функції N змінних (334). 3. Умови абсолютної збіжності кратного тригонометричного ряду Фур'є (335)
РОЗДІЛ 9. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є 33»
§ 1. Подання функції інтегралом Фур'є 339
1. Допоміжні затвердження (340). 2. Основна теорема. Формула звернення (342). 3. Приклади (347)
§ 2. Деякі властивості перетворення Фур'є 34&
§ 3. Кратний інтеграл Фур'є 352

Ч. 2. – Продовження курсу.

ЗМІСТ
Передмова 5
РОЗДІЛ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ 7
§ 1. Поняття числового ряду 7
1. Сходові та розбіжні ряди (7). 2. Критерій Коші збіжності ряду (10)
§ 2. Ряди з невід'ємними членами 12"
1. Необхідна та достатня умова збіжності ряду з невід'ємними членами (12). 2. Ознаки порівняння (13). 3. Ознаки Даламбера та Коші (16). 4. Інтегральна ознака Коші – Мак-лорена (21). 5, Ознака Раабе (24). 6. Відсутність універсального ряду порівняння (27)
§ 3. Абсолютно та умовно схожі ряди 28
1. Поняття абсолютно і умовно схожих рядів (28). 2. Про перестановку членів ряду, що умовно сходить (30). 3. Про перестановку членів ряду, що абсолютно сходиться (33)
§ 4. Ознаки збіжності довільних рядів 35
§ 5. Арифметичні операції над рядами, що сходяться 41
§ 6. Нескінченні твори 44
1. Основні поняття (44). 2. Зв'язок між збіжністю нескінченних творів та рядів (47). 3. Розкладання функції sin x у нескінченний твір (51)
§ 7. Узагальнені методи підсумовування рядів, що розходяться.
1. Метод Чезаро (метод середніх арифметичних) (56). 2. Метод підсумовування Пуассона – Абеля (57)
§ 8. Елементарна теорія подвійних та повторних рядів 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦІОНАЛЬНІ НАСЛІДНОСТІ ТА РЯДИ 67
§ 1. Поняття збіжності в точці та рівномірної збіжності на безлічі 67
1. Поняття функціональної послідовності та функціонального ряду (67). 2. Схожість функціональної послідовності (функціонального ряду) у точці та на множині (69). 3. Рівномірна збіжність на множині (70). 4. Критерій Коші рівномірної збіжності послідовності (ряду) (72)
§ 2. Достатні ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей та рядів 74
§ 3. Почленний перехід до межі 83
§ 4. Почленное інтегрування та почленное диференціювання функціональних послідовностей та рядів 87
1. Почленное інтегрування (87). 2. Почленное диференціювання (90). 3. Збіжність у середньому (94)
§ 5. Рівномірна безперервність послідовності функцій...
§ 6. Ступінні ряди 102
1. Ступіньовий ряд та область його збіжності (102). 2. Безперервність суми статечного ряду (105). 3. Почленное інтегрування та почленное диференціювання статечного ряду (105)
§ 7. Розкладання функцій у статечні ряди 107
1. Розкладання функції в статечний ряд (107). 2. Розкладання деяких елементарних функцій у ряд Тейлора (108). 3. Елементарні ставлення до функціях комплексної змінної (ПО). 4. Теорема Вейєрштрасса про рівномірне наближення безперервної функції багаточленами (112)
РОЗДІЛ 3. ПОДВІЙНІ ТА n-КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Визначення та умови існування подвійного інтеграла. . . 117
1. Визначення подвійного інтеграла прямокутника (117).
2. Умови існування подвійного інтеграла прямокутника (119). 3. Визначення та умови існування подвійного інтеграла для довільної галузі (121). 4. Загальне визначення подвійного інтеграла (123)
§ 2. Основні властивості подвійного інтеграла 127
§ 3. Зведення подвійного інтеграла до повторного одноразового. . . 129 1. Випадок прямокутника (129). 2. Випадок довільної області (130)
§ 4. Потрійні та n-кратні інтеграли 133
§ 5. Заміна змінних у n-кратному інтегралі 138
§ 6. Обчислення обсягів n-мірних тіл 152
§ 7. Теорема про почленное інтегрування функціональних послідовностей та рядів 157
$ 8. Кратні невласні інтеграли 159
1. Поняття кратних невласних інтегралів (159). 2. Дві ознаки збіжності невласних інтегралів від невід'ємних функцій (160). 3. Невласні інтеграли від знакозмінних функцій (161). 4. Головне значення кратних невласних інтегралів (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду. . . 167
§ 2. Умови існування криволінійних інтегралів 169
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНІ ІНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Поняття поверхні та її площі 175
1. Поняття поверхні (175). 2. Допоміжні леми (179).
3. Площа поверхні (181)
§ 2. Поверхневі інтеграли 185
РОЗДІЛ 6. ТЕОРІЯ ПОЛЯ. ОСНОВНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ФОРМУЛИ АНАЛІЗУ 190
§ 1. Позначення. Біортогональні базиси. Інваріанти лінійного оператора 190
1. Позначення (190). 2. Біортогональні базиси в просторі Е" (191). 3. Перетворення базисів. Коваріантні та контрваріантні координати вектора (192). 4. Інваріанти лінійного оператора. Дивергенція та ротор (195). 5. Вирази для дивергенції і ротора ліній базисі (Щ8)
§ 2. Скалярні та векторні поля. Диференціальні оператори векторного аналізу 198
!. Скалярні та векторні поля (198). 2. Дивергенція, ротор та похідна за напрямом векторного поля (203). 3. Деякі інші формули векторного аналізу (204). 4. Заключні зауваження (206)
§ 3. Основні інтегральні формули аналізу 207
1. Формула Гріна (207). 2. Формула Остроградського – Гауса (211). 3. Формула Стокса (214)
§ 4. Умови незалежності криволінійного інтеграла на площині шляху інтегрування 218
§ 5. Деякі приклади додатків теорії поля 222
1. Вираз площі плоскої області через криволінійний інтеграл (222). 2. Вираз обсягу через поверхневий інтеграл (223)
Додаток до глави 6. Диференціальні форми в евклідовому просторі 225
§ 1. Знакозмінні полілінійні форми 225
1. Лінійні форми (225). 2. Білінійні форми (226). 3. Полілінійні форми (227). 4. Знакозмінні полілінійні форми (228). 5. Зовнішнє твір знакозмінних форм (228). 6. Властивості зовнішнього твору знакозмінних форм (231). 7. Базис у просторі знакозмінних форм (233)
§ 2. Диференціальні форми 235
1. Основні позначення (235). 2. Зовнішній диференціал (236). 3. Властивості зовнішнього диференціалу (237;)
§ 3. Диференційовані відображення 2391
1. Визначення диференційованих відображень (239). 2. Властивості відображення ф* (240)
§ 4. Інтегрування диференціальних форм 243
1. Визначення (243). 2. Диференційовані ланцюги (245). 3. Формула Стокса (248). 4. Приклади (250)
ГЛАВА 7. ІНТЕГРАЛИ, ЗАЛЕЖНІ ВІД ПАРАМЕТРІВ 252
§ 1. Рівномірне по одній змінній прагнення функції двох змінних до межі за іншою змінною 252
1. Зв'язок рівномірного по одній змінної прагнення функції двох змінних до межі по іншій змінній з рівномірною збіжністю функціональної послідовності (252). 2. Критерій Коші рівномірного прагнення функції до граничної (254). 3. Застосування поняття рівномірного прагнення граничної функції (254)
§ 2. Власні інтеграли, що залежать від параметра 256
1. Властивості інтеграла, що залежить від параметра (256). 2. Випадок коли межі інтегрування залежать від параметра (257)
§ 3. Невласні інтеграли, що залежать від параметра 259
1. Невласні інтеграли першого роду, що залежать від параметра (260). 2. Невласні інтеграли другого роду, що залежать від параметра (266)
§ 4. Застосування теорії інтегралів, що залежать від параметра, до обчислення деяких невласних інтегралів.
§ 5. Інтеграли Ейлера 271
до Р-функція (272). 2. В-функція (275). 3. Зв'язок між ейлеровими інтегралами (277). 4. Приклади (279)
§ 6. Формула Стірлінга 280
§ 7. Кратні інтеграли, що залежать від параметрів 282
1. Власні кратні інтеграли, що залежать від параметрів (282).
2. Невласні кратні інтеграли, що залежать від параметра (283)
РОЗДІЛ 8. РЯДИ ФУР'Є 287
§ 1. Ортонормовані системи та загальні ряди Фур'є 287
1. Ортонормовані системи (287). 2. Поняття про загальний ряд Фур'є (292)
§ 2. Замкнуті та повні ортонормовані системи 295
§ 3. Замкненість тригонометричної системи та наслідки з неї. . 298 1. Рівномірне наближення безперервної функції тригонометричними багаточленами (298). 2. Доказ замкнутості тригонометричної системи (301). 3. Наслідки замкнутості тригонометричної системи (303)
§ 4. Найпростіші умови рівномірної збіжності та почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є 304
1. Вступні зауваження (304). 2. Найпростіші умови абсолютної та рівномірної збіжності тригонометричного ряду Фур'є (306).
3. Найпростіші умови почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є (308)
§ 5. Більш точні умови рівномірної збіжності та умови збіжності у даній точці 309>
1. Модуль безперервності функції. Класи Гельдера (309). 2. Вираз для часткової суми тригонометричного ряду Фур'є (311). 3. Допоміжні пропозиції (314). 4. Принцип локалізації (317). 5. Рівномірна збіжність тригонометричного ряду Фур'є для функції класу Гельдера (319). 6. Про збіжність тригонометричного ряду Фур'є шматково гельдерової функції (325). 7. Підсумовуваність тригонометричного ряду Фур'є безперервної функції методом середніх арифметичних (329). 8. Заключні зауваження (331)
§ 6. Кратні тригонометричні ряди Фур'є 332
1. Поняття кратного тригонометричного ряду Фур'є та його прямокутних та сферичних часткових сум (332). 2. Модуль безперервності та класи Гельдера для функції N змінних (334). 3. Умови абсолютної збіжності кратного тригонометричного ряду Фур'є (335)
РОЗДІЛ 9. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є 33»
§ 1. Подання функції інтегралом Фур'є 339
1. Допоміжні затвердження (340). 2. Основна теорема. Формула звернення (342). 3. Приклади (347)
§ 2. Деякі властивості перетворення Фур'є 34&
§ 3. Кратний інтеграл Фур'є 352