Криволінійний інтеграл 1 роду програму. Обчислення криволінійних інтегралів: теорія та приклади

Лекція 5 Криволінійні інтеграли 1 і 2 роду, їх властивості.

Завдання про масу кривої. Криволінійний інтеграл 1 роду.

Завдання про масу кривої.Нехай у кожній точці шматково-гладкої матеріальної кривої L: (AB) задана її щільність. Визначити масу кривої.

Вчинимо так само, як ми чинили при визначенні маси плоскої області (подвійний інтеграл) та просторового тіла (потрійний інтеграл).

1. Організуємо розбиття області-дуги L на елементи – елементарні дуги так, щоб ці елементи не мали спільних внутрішніх точок та( умова А )

3. Побудуємо інтегральну суму , де - Довжина дуги (зазвичай вводяться одні й ті ж позначення для дуги та її довжини). Це приблизне значення маси кривої. Спрощення полягає в тому, що ми припустили щільність постійної дуги на кожному елементі і взяли кінцеве число елементів.

Переходячи до межі за умови (умова В ), отримаємо криволінійний інтеграл першого роду як межу інтегральних сум:

Теорема існування.

Нехай функція безперервна на шматково-гладкій дузі L. Тоді криволінійний інтеграл першого роду існує як межа інтегральних сум.

Зауваження.Межа ця не залежить від

Властивості криволінійного інтеграла першого роду.

1. Лінійність
а) властивість суперпозиції

б) властивість однорідності .

Доведення. Запишемо інтегральні суми для інтегралів у лівих частинах рівностей. Оскільки в інтегральній сумі кількість доданків звичайно, перейдемо до інтегральних сум для правих частин рівностей. Потім перейдемо до межі, за теоремою про граничний перехід у рівності отримаємо бажаний результат.

2. Адитивність.
Якщо , то = +

3. .Тут - довжина дуги.

4. Якщо на дузі виконано нерівність, то

Доведення. Запишемо нерівність для інтегральних сум та перейдемо до межі.

Зауважимо, що, зокрема, можливо

5. Теорема про оцінку.

Якщо існують константи, що, то

Доведення. Інтегруючи нерівність (властивість 4), отримаємо . За якістю 1 константи можна винести з-під інтегралів. Використовуючи властивість 3 отримаємо шуканий результат.

6. Теорема про середнє(Значення інтеграла).

Існує точка , що

Доведення. Так як функція безперервна на замкнутій обмеженій множині, то існує її нижня грань та верхня грань . Виконано нерівність. Ділячи обидві частини на L, отримаємо . Але число укладено між нижньою та верхньою гранню функції. Оскільки функція безперервна на замкнутому обмеженому множині L, то деякій точці функція має набувати це значення. Отже, .

Обчислення криволінійного інтеграла першого роду.

Параметризуємо дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z = z(t). Нехай t 0 відповідає точці A, а t 1 відповідає точці B. Тоді криволінійний інтеграл першого роду зводиться до певного інтегралу ( - відома з 1 семестру формула для обчислення диференціала довжини дуги):

приклад.Обчислити масу одного витка однорідної (щільність дорівнює k) гвинтової лінії: .

Криволінійний інтеграл 2 роди.

Завдання роботи сили.

Яку роботу виконує силаF(M) при переміщенні точкиMпо дузіAB?

Якби дуга AB була відрізком прямою, а сила була б постійною за величиною і напрямком при переміщенні точки M по дузі AB, то роботу можна було б обчислити за формулою , де - Кут між векторами. У випадку цю формулу можна використовуватиме побудови інтегральної суми, припускаючи силу постійної елементі дуги досить малої довжини. Замість довжини малого елемента дуги можна взяти довжину хорди, що стягує її, тому що ці величини - еквівалентні нескінченно малі величини за умови (перший семестр).

1. Організуємо розбиття області-дуги AB на елементи – елементарні дуги так, щоб ці елементи не мали спільних внутрішніх точок та( умова А )

2. Зазначимо на елементах розбиття «відзначені точки» M i та обчислимо в них значення функції

3. Побудуємо інтегральну суму , де вектор, спрямований по хорді, що стягує дугу .

4. Переходячи до межі за умови (умова В ), отримаємо криволінійний інтеграл другого роду як межу інтегральних сум (і роботу сили):

. Часто позначають

Теорема існування.

Нехай вектор – функція безперервна на шматково-гладкій дузі L. Тоді криволінійний інтеграл другого роду існує як межа інтегральних сум.

Зауваження.Межа ця не залежить від

Спосіб вибору розбиття, аби виконувалася умова А

Вибір «відзначених точок» на елементах розбиття,

Способу подрібнення розбиття, аби виконувалася умова В

Властивості криволінійного інтеграла 2 роди.

1. Лінійність
а) властивість суперпозиції

б) властивість однорідності .

Доведення. Запишемо інтегральні суми для інтегралів у лівих частинах рівностей. Оскільки в інтегральній сумі кількість доданків звичайно, використовуючи якість скалярного твору, перейдемо до інтегральних сум для правих частин рівностей. Потім перейдемо до межі, за теоремою про граничний перехід у рівності отримаємо бажаний результат.

2. Адитивність.
Якщо , то = + .

Доведення. Виберемо розбиття області L так, щоб жоден з елементів розбиття (спочатку і при подрібненні розбиття) не містив одночасно елементи L 1 , так і елементи L 2 . Це можна зробити за теоремою існування (зауваження до теореми). Далі проводиться підтвердження через інтегральні суми, як у п.1.

3. Орієнтовність.

= -

Доведення. Інтеграл дугою –L, тобто. в негативному напрямку обходу дуги є межа інтегральних сум, у складових яких замість стоїть (). Виносячи «мінус» із скалярного твору та із суми кінцевого числа доданків, переходячи до межі, отримаємо необхідний результат.

1. Організуємо розбиття області-дуги Lна елементи – елементарні дуги так, щоб ці елементи не мали спільних внутрішніх точок та
(умова А )

2. Зазначимо на елементах розбиття «відзначені точки» M i та обчислимо в них значення функції

3. Побудуємо інтегральну суму
, де - Довжина дуги (зазвичай вводяться одні й самі позначення для дуги та її довжини). Це приблизне значення маси кривої. Спрощення полягає в тому, що ми припустили щільність постійної дуги на кожному елементі і взяли кінцеве число елементів.

Переходячи до межі за умови
(умова В ), отримаємо криволінійний інтеграл першого роду як межу інтегральних сум:

Теорема існування 10 .

Нехай функція
безперервна на шматково-гладкій дузі L 11 . Тоді криволінійний інтеграл першого роду існує як межа інтегральних сум.

Зауваження.Межа ця не залежить від

способу вибору розбиття, аби виконувалася умова А

вибору «зазначених точок» на елементах розбиття,

способу подрібнення розбиття, аби виконувалася умова В

Властивості криволінійного інтеграла першого роду.

1. Лінійністьа) властивість суперпозиції

б) властивість однорідності
.

2. Адитивність.Якщо
, то
=
+

Доведення. Виберемо розбиття області Lтак, щоб жоден з елементів розбиття (спочатку і при подрібненні розбиття) не містив одночасно елементи L 1 , так і елементи L 2 . Це можна зробити за теоремою існування (зауваження до теореми). Далі проводиться підтвердження через інтегральні суми, як у п.1.

3.
.Тут - Довжина дуги .

4. Якщо на дузі виконано нерівність, то

Доведення. Запишемо нерівність для інтегральних сум та перейдемо до межі.

Зауважимо, що, зокрема, можливо

5. Теорема про оцінку.

Якщо існують константи
, що, то

Доведення. Інтегруючи нерівність
(властивість 4), отримаємо
. За якістю 1 константи
можна винести з-під інтегралів. Використовуючи властивість 3 отримаємо шуканий результат.

6. Теорема про середнє(Значення інтеграла).

Існує точка
, що

Доведення. Оскільки функція
безперервна на замкнутій обмеженій множині , то існує її нижня грань
та верхня грань
. Виконано нерівність. Ділячи обидві частини на L, отримаємо
. Але число
укладено між нижньою та верхньою гранню функції. Оскільки функція
безперервна на замкнутій обмеженій множині L, то в деякій точці
функція має набувати цього значення. Отже,
.

На випадок коли областю інтегрування є відрізок деякої кривої, що лежить в площині. Загальний запис криволінійного інтеграла:

де f(x, y) - функція двох змінних, а L- крива, по відрізку ABякою відбувається інтегрування. Якщо підінтегральна функція дорівнює одиниці, то криволінійний інтеграл дорівнює довжині дуги AB .

Як завжди в інтегральному численні, криволінійний інтеграл розуміється як межа інтегральних сум якихось дуже маленьких частин чогось дуже великого. Що ж підсумовується у разі криволінійних інтегралів?

Нехай на площині розташований відрізок ABдеякою кривою L, а функція двох змінних f(x, y) визначена у точках кривої L. Нехай ми виконуємо із цим відрізком кривий наступний алгоритм.

Розділити криву ABна частини крапками (малюнки нижче).
У кожній частині вільно вибрати точку M.
Знайти значення функції у вибраних точках.
Значення функції помножити на
- довжини частин у разі криволінійного інтеграла першого роду ;
- проекції частин на вісь координат у разі криволінійного інтеграла другого роду .
Знайти суму всіх творів.
Знайти межу знайденої інтегральної суми за умови, що довжина найдовшої частини кривої прагне нуля.

Якщо згадана межа існує, то ця межа інтегральної суми і називається криволінійним інтегралом від функції f(x, y) по кривій AB .

першого роду

Випадок криволінійного інтеграла
другого роду

Введемо такі позначення.

Mi ( ζ i; η i)- Вибрана на кожній ділянці точка з координатами.

fi ( ζ i; η i)- Значення функції f(x, y) у вибраній точці.

Δ si- Довжина частини відрізка кривої (у разі криволінійного інтеграла першого роду).

Δ xi- проекція частини відрізка кривої на вісь Ox(у разі криволінійного інтеграла другого роду).

d= maxΔ s i- Довжина найдовшої частини відрізка кривої.

Криволінійні інтеграли першого роду

Виходячи з вищевикладеного про межі інтегральних сум, криволінійний інтеграл першого роду записується так:

Криволінійний інтеграл першого роду має всі властивості, які має визначений інтеграл. Однак є одна важлива відмінність. У певного інтеграла під час зміни місцями меж інтегрування знак змінюється на протилежний:

У разі криволінійного інтеграла першого роду не має значення, яку з точок кривої AB (Aабо B) вважати початком відрізка, а яку кінцем, тобто

Криволінійні інтеграли другого роду

З викладеного межі інтегральних сум, криволінійний інтеграл другого роду записується так:

У разі криволінійного інтеграла другого роду при зміні місцями початку та кінця відрізка кривий знак інтеграла змінюється:

При складанні інтегральної суми криволінійного інтеграла другого роду значення функції fi ( ζ i; η i)можна також множити на проекції частин відрізка кривої на вісь Ой. Тоді отримаємо інтеграл

Насправді зазвичай використовується об'єднання криволінійних інтегралів другого роду, тобто дві функції f = P(x, y) і f = Q(x, y) та інтеграли

а сума цих інтегралів

називається загальним криволінійним інтегралом другого роду .

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду зводиться до обчислення певних інтегралів. Розглянемо два випадки.

Нехай на площині задана крива y = y(x) та відрізку кривої ABвідповідає зміна змінної xвід aдо b. Тоді в точках кривої підінтегральна функція f(x, y) = f(x, y(x)) ("Ігрек" повинен бути виражений через "ікс"), а диференціал дуги та криволінійний інтеграл можна обчислити за формулою

Якщо інтеграл простіше інтегрувати по y, то з рівняння кривої слід висловити x = x(y) ("ікс" через "гравець"), де і інтеграл обчислюємо за формулою

приклад 1.

де AB- відрізок прямий між точками A(1; −1) та B(2; 1) .

Рішення. Складемо рівняння прямої AB, використовуючи формулу (Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки A(x1 ; y 1 ) і B(x2 ; y 2 ) ):

З рівняння прямий висловимо yчерез x :

Тоді і тепер можемо обчислювати інтеграл, тому що в нас залишилися одні "ікси":

Нехай у просторі задана крива

Тоді в точках кривої функції потрібно виразити через параметр t() а диференціал дуги тому криволінійний інтеграл можна обчислити за формулою

Аналогічно, якщо на площині задана крива

то криволінійний інтеграл обчислюється за формулою

приклад 2.Обчислити криволінійний інтеграл

де L- частина лінії кола

що знаходиться в першому октанті.

Рішення. Дана крива - чверть лінії кола, розташована у площині z= 3 . Вона відповідає значенням параметра. Так як

то диференціал дуги

Підінтегральну функцію висловимо через параметр t :

Тепер, коли ми все виражено через параметр t, можемо звести обчислення даного криволінійного інтеграла до певного інтегралу:

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду

Так само, як і у разі криволінійних інтегралів першого роду, обчислення інтегралів другого роду зводиться до обчислення певних інтегралів.

Крива дана в декартових прямокутних координатах.

Нехай дана крива на площині рівнянням функції "гравець", вираженої через "ікс": y = y(x) та дузі кривої ABвідповідає зміна xвід aдо b. Тоді в підінтегральну функцію підставимо вираз "ігрека" через "ікс" і визначимо диференціал цього виразу "ігрека" по "ікс": . Тепер, коли все виражено через "ікс", криволінійний інтеграл другого роду обчислюється як певний інтеграл:

Аналогічно обчислюється криволінійний інтеграл другого роду, коли крива дана рівнянням функції "ікс", вираженої через "гравець": x = x(y) , . І тут формула для обчислення інтеграла така:

Приклад 3.Обчислити криволінійний інтеграл

, якщо

а) L- відрізок прямий OA, де Про(0; 0) , A(1; −1) ;

б) L- дуга параболи y = x² від Про(0; 0) до A(1; −1) .

а) Обчислимо криволінійний інтеграл за відрізком прямої (на малюнку - синя). Напишемо рівняння прямої і висловимо "гравець" через "ікс":

Отримуємо dy = dx. Вирішуємо цей криволінійний інтеграл:

б) якщо L- дуга параболи y = x² , отримаємо dy = 2xdx. Обчислюємо інтеграл:

У щойно наведеному прикладі отримали у двох випадках один і той же результат. І це збіг, а результат закономірності, оскільки цей інтеграл задовольняє умовам наступної теореми.

Теорема. Якщо функції P(x,y) , Q(x,y) та їх приватні похідні , - безперервні в області Dфункції та в точках цієї області приватні похідні рівні, то криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування по лінії L, що знаходиться в області D .

Крива дана у параметричній формі

Нехай у просторі дана крива

а в підінтегральні функції підставимо

вираження цих функцій через параметр t. Отримуємо формулу для обчислення криволінійного інтеграла:

Приклад 4.Обчислити криволінійний інтеграл

якщо L- частина еліпса

що відповідає умові y ≥ 0 .

Рішення. Ця крива - частина еліпса, що знаходиться в площині z= 2 . Вона відповідає значенню параметра.

можемо уявити криволінійний інтеграл у вигляді певного інтеграла та обчислити його:

Якщо дано криволінійний інтеграл і L- замкнута лінія, то такий інтеграл називається інтегралом по замкнутому контуру та його простіше обчислити за формулі Гріна .

Більше прикладів обчислення криволінійних інтегралів

Приклад 5.Обчислити криволінійний інтеграл

де L- Відрізок прямий між точками її перетину з осями координат.

Рішення. Визначимо точки перетину прямої з осями координат. Підставивши в рівняння прямої y= 0, отримаємо,. Підставивши x= 0, отримаємо,. Таким чином, точка перетину з віссю Ox - A(2; 0) , з віссю Ой - B(0; −3) .

З рівняння прямий висловимо y :

, .

Тепер можемо уявити криволінійний інтеграл у вигляді певного інтеграла та почати обчислювати його:

У підінтегральному вираженні виділяємо множник, виносимо його за знак інтеграла. У отриманому після цього підінтегральному вираженні застосовуємо підведення під знак диференціалута остаточно отримуємо.

Теоретичний мінімум
Криволінійні та поверхневі інтеграли часто зустрічаються у фізиці. Вони бувають двох видів, перший із яких розглядається тут. Цей
тип інтегралів будується згідно з загальною схемою, за якою вводяться певні, подвійні та потрійні інтеграли. Коротко нагадаємо цю схему.
Є певний об'єкт, яким проводиться інтегрування (одномірний, двовимірний чи тривимірний). Цей об'єкт розбивається на малі частини,
у кожній із частин вибирається точка. У кожній з цих точок обчислюється значення підінтегральної функції та множиться на міру тієї частини, якою
належить дана точка (довжину відрізка, площу чи обсяг часткової області). Потім усі такі твори підсумовуються, і виконується граничний
перехід до розбиття об'єкта на нескінченно малі частини. Виходить межа і називається інтегралом.
1. Визначення криволінійного інтеграла першого роду
Розглянемо функцію, визначену на кривій. Крива передбачається спрямовується. Нагадаємо, що це означає, грубо кажучи,
що в криву можна вписати ламану зі скільки завгодно малими ланками, причому в межі нескінченно великої кількості ланок довжина ламаної повинна залишатися
кінцевою. Крива розбивається на часткові дуги завдовжки і кожної з дуг вибирається точка . Складається твір,
проводиться підсумовування по всіх часткових дугах . Потім здійснюється граничний перехід із устремлінням довжини найбільшої
із часткових дуг до нуля. Межа є криволінійним інтегралом першого роду
.
Важливою особливістю цього інтеграла, прямо наступної його визначення, є незалежність від напрями інтегрування, тобто.
.
2. Визначення поверхневого інтеграла першого роду
Розглянемо функцію, визначену на гладкій або шматково-гладкій поверхні. Поверхня розбивається на часткові області
з площами, у кожній такій області вибирається точка. Складається твір , проводиться підсумовування
по всіх часткових областях . Потім здійснюється граничний перехід із устремлінням діаметра найбільшою з усіх часткових
областей нанівець. Межа є поверхневим інтегралом першого роду
.
3. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду
Методика обчислення криволінійного інтеграла першого роду проглядається вже з формального його запису, а фактично випливає безпосередньо з
визначення. Інтеграл зводиться до певного, потрібно записати диференціал дуги кривої, вздовж якої проводиться інтегрування.
Почнемо з простого випадку інтегрування вздовж кривої плоскої, заданої явним рівнянням . У цьому випадку диференціал дуги
.
Потім підінтегральної функції виконується заміна змінної , і інтеграл набуває вигляду
,
де відрізок відповідає зміні змінної вздовж тієї частини кривої, якою проводиться інтегрування.
Найчастіше крива задається параметрично, тобто. рівняннями виду. Тоді диференціал дуги
.
Ця формула дуже просто обґрунтовується. Власне, це теорема Піфагора. Диференціал дуги - практично довжина дуже малої частини кривої.
Якщо крива гладка, її нескінченно малу частина вважатимуться прямолінійної. Для прямої має місце співвідношення
.
Щоб воно виконувалося для малої дуги кривої, слід від кінцевих приростів перейти до диференціалів:
.
Якщо крива задана параметрично, то диференціали просто обчислюються:
і т.д.
Відповідно, після заміни змінних у підінтегральній функції криволінійний інтеграл обчислюється таким чином:
,
де частини кривої, за якою проводиться інтегрування, відповідає відрізок зміни параметра .
Дещо складніше справа у випадку, коли крива задається в криволінійних координатах. Це питання зазвичай обговорюється в рамках диференціальної
геометрії. Наведемо формулу для обчислення інтеграла вздовж кривої, заданої в полярних координатах рівнянням:
.
Наведемо обґрунтування для диференціала дуги в полярних координатах. Детальне обговорення побудови координатної сітки полярної системи координат
див. Виділимо малу дугу кривої, розташовану стосовно координатним лініям так, як показано на рис. 1. В силу малості всіх фігуруючих
дуг знову можна застосувати теорему Піфагора та записати:
.
Звідси і слід шуканий вираз для диференціала дуги.
З чисто теоретичної точки зору досить просто зрозуміти, що криволінійний інтеграл першого роду повинен зводитися до свого окремого випадку.
певному інтегралу. Справді, виконуючи заміну, яка диктується параметризацією кривої, вздовж якої обчислюється інтеграл, ми встановлюємо
взаємно-однозначне відображення між частиною даної кривої та відрізком зміни параметра . А це і є зведення до інтегралу
вздовж прямої, що збігається з координатною віссю - певному інтегралу.
4. Обчислення поверхневого інтеграла першого роду
Після попереднього пункту має бути ясно, що одна з основних частин обчислення поверхневого інтеграла першого роду - запис елемента поверхні ,
за якою виконується інтегрування. Знову ж таки почнемо з простого випадку поверхні, заданої явним рівнянням. Тоді
.
Виконується заміна підінтегральної функції, і поверхневий інтеграл зводиться до подвійного:
,
де - область площини , яку проектується частина поверхні, якою проводиться інтегрування.
Проте часто задати поверхню явним рівнянням неможливо, і вона задається параметрично, тобто. рівняннями виду
.
Елемент поверхні у разі записується вже складніше:
.
Відповідним чином записується і поверхневий інтеграл:
,
де - область зміни параметрів, що відповідає частині поверхні , за якою проводиться інтегрування.
5. Фізичний сенс криволінійного та поверхневого інтегралів першого роду
Обговорювані інтеграли мають дуже простий і наочний фізичний сенс. Нехай є деяка крива, лінійна щільність якої не є
константою, а є функцією точки . Знайдемо масу цієї кривої. Розіб'ємо криву на безліч малих елементів,
у яких її щільність можна приблизно вважати константою. Якщо довжина маленького шматочка кривої дорівнює, то його маса
де - будь-яка точка обраного шматочка кривої (будь-яка, так як щільність в межах
цього шматочка приблизно передбачається постійною). Відповідно, маса всієї кривої вийде підсумовуванням мас окремих її елементів:
.
Щоб рівність стала точною, слід перейти до межі розбиття кривої на нескінченно малі частини, але це і є криволінійний інтеграл першого роду.

Аналогічно вирішується питання про повний заряд кривої, якщо відома лінійна щільність заряду .
Ці міркування легко переносяться на випадок нерівномірно зарядженої поверхні з поверхневою щільністю заряду . Тоді
заряд поверхні є поверхневий інтеграл першого роду
.
Зауваження. Громіздка формула елемента поверхні, заданої параметрично, незручна для запам'ятовування. Інше вираження виходить у диференціальній геометрії,
воно використовує т.зв. першу квадратичну форму поверхні.
Приклади обчислення криволінійних інтегралів першого роду
приклад 1. Інтеграл вздовж прямої.
Обчислити інтеграл

вздовж відрізка прямої, що проходить через точки та .
Спочатку запишемо рівняння прямої, вздовж якої проводиться інтегрування: . Знайдемо вираз для:
.
Обчислюємо інтеграл:
приклад 2. Інтеграл вздовж кривої на площині.
Обчислити інтеграл

по дузі параболи від точки до точки.
Задані точки і дозволяють виразити змінну з рівняння параболи: .

Обчислюємо інтеграл:
.
Однак можна було проводити обчислення і інакше, користуючись тим, що крива задана рівнянням, дозволеним щодо змінної.
Якщо прийняти змінну за параметр, це призведе до невеликої зміни виразу для диференціала дуги:
.
Відповідно, інтеграл дещо зміниться:
.
Цей інтеграл легко визначається підведенням змінної під диференціал. Вийде такий самий інтеграл, як і першому способі обчислення.
Приклад 3. Інтеграл вздовж кривої на площині (використання параметризації).
Обчислити інтеграл

вздовж верхньої половини кола .
Можна, звичайно, висловити з рівняння кола одну зі змінних, а потім провести решту обчислень стандартно. Але можна використовувати і
параметричне завдання кривої. Як відомо, коло можна задати рівняннями. Верхнього півкола
відповідає зміна параметра в межах. Обчислимо диференціал дуги:
.
Таким чином,
Приклад 4. Інтеграл уздовж кривої на площині, заданій у полярних координатах.
Обчислити інтеграл

вздовж правого пелюстки лемніскати .

На кресленні вище зображено лемніскату. Уздовж її правої пелюстки необхідно проводити інтегрування. Знайдемо диференціал дуги для кривої :
.
Наступний крок – визначення меж інтегрування по полярному куту. Ясно, що має виконуватися нерівність, а тому
.
Обчислюємо інтеграл:
Приклад 5. Інтеграл вздовж кривої у просторі.
Обчислити інтеграл

вздовж витка гвинтової лінії , що відповідає межам зміни параметра

Крива АВ, задана параметричними рівняннями, називається гладкою, якщо функції і мають на відрізку безперервні похідні і причому Якщо в кінцевому числі точок відрізка ці похідні не існують або одночасно звертаються в нуль, то крива називаєте я шматково-гладкою. Нехай АВ - плоска крива, гладка або шматково-гладка. Нехай f(M) - функція, задана на кривій АВ або деякій області D, що містить цю криву. Розглянемо розбиття кривої АВ на частини крапками (рис. 1). Виберемо на кожній з дуг A^At+i довільну точку Mk і складемо суму де Alt - довжина дуги та назвемо її інтегральною сумою для функції f(M) по довжині дуги кривої. Нехай Д/ - найбільша здовжина часткових дуг, тобто. Якщо при інтегральна сума (I) має кінцеву межу, яка не залежить ні від способу розбиття кривої АВ на частини, ні від вибору точок на кожній з дуг розбиття, то ця межа називається криволінійним інтегралом \ -го роду від функції f(M) по кривій АВ (інтеграл по довжині дуги кривої) і позначається символом У цьому випадку функція /(М) називається інтегрованої вздовж кривої АВУ крива АВ називається контуром інтегрування, А - початкової, В - кінцевої точками інтегрування. Таким чином, за визначенням, Приклад 1. Нехай уздовж деякої гладкої кривої L розподілена маса змінної лінійної щільністю J(M). Знайти масу т кривої L. (2) Розіб'ємо криву L на п довільних частин) і обчислимо наближено масу кожної частини, припускаючи, що на кожній з частин щільність постійна і дорівнює щільності в якійсь з її точок, наприклад, у крайній лівій точці / (Af *). Тоді сума кшо де Д/д - довжина Дг-ої частини, буде наближеним значенням маси т. Зрозуміло, що похибка буде тим меншою, чим дрібніше розбиття кривої L. У межі при Ы -* 0 отримаємо точне значення маси всієї кривої L, тобто. Але межа праворуч є криволінійний інтеграл 1-го роду. Отже, 1.1. Існування криволінійного інтеграла 1-го роду Приймемо на кривій АВ за параметр довжину дуги I, що відраховується від початкової точки А (рис.2). Тоді криву АВ можна описати рівняннями (3), де L - довжина кривої АВ. Рівняння (3) називаються натуральними рівняннями кривої АВ. При переході до натуральних рівнянь функція f(x) у), задана на кривій АВ, зведеться до функції змінної I: /(х(1)) у(1)). Позначивши через значення параметра I, що відповідає точці Мку перепишемо інтегральну суму (I) у вигляді Це - інтегральна сума, що відповідає певному інтегралу Оскільки інтегральні суми (1) і (4) рівні міжсобою, то і відповідні їм інтеграли. Таким чином, (5) Теорема 1. Якщо функція /(М) безперервна вздовж гладкої кривої АВ, то існує криволінійний інтеграл (оскільки за цих умов існує певний інтеграл, що стоїть у рівності (5) праворуч). 1.2. Характеристики криволінійних інтегралів 1-го роду 1. З виду інтегральної суми (1) випливає, що. величина криволінійного інтеграла 1-го роду не залежить від напряму інтегрування. 2. Лінійність. Якщо кожної з функцій /() існує криволінійний інтеграл по кривою ABt то функції а/, де а і /3 - будь-які постійні, також існує криволінійний інтеграл по кривою АВ> причому 3. Адитивність. Якщо крива АВ складається з двох шматків і для функції /(М) існує криволінійний інтеграл по АВУ, то існують інтеграли, причому 4. Якщо 0 на кривій АВ, то 5. Якщо функція інтегрована на кривій АВ, то функція || також інтегрована на АВ, і при цьому б. Формули середнього значення. Якщо функція/безперервна вздовж кривої АВ, то на цій кривій знайдеться точка Мс така, що де L – довжина кривої АВ. 1.3. Обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду Нехай крива АВ задана параметричними рівняннями причому точці А відповідає значення t = to, а точці - значення. Будемо припускати, що функції) безперервні на разом зі своїми похідними і виконано нерівність. Тоді диференціал дуги кривої обчислюється за формулою. - значення х = 6, то, приймаючи х за параметр, отримуємо 1.4. Визначення криволінійного інтеграла 1-го роду, сформульоване вище для плоскої кривої, дослівно переноситься на випадок, коли функція f(M) задана вздовж деякої просторової кривої АВ. Нехай крива АВ задана параметричними рівняннями. інтеграл, де L - контур трикутника з вершинами в точка * (рис.3). За якістю адитивності маємо Обчислимо кожен із інтегралів окремо. Оскільки на відрізку OA маємо: , то На відрізку АН маємо, звідки причому тоді Мал. Нарешті, отже, зауваження. При обчисленні інтегралів ми скористалися властивістю 1 згідно з яким. Криволінійні інтеграли 2-го роду Нехай АВ - гладка або шматково-гладка орієнтована крива на площині хоу і нехай - вектор-функція, визначена в деякій ділянці D, що містить криву АВ. Розіб'ємо криву АВ на частини точками координати яких позначимо відповідно через (рис. 4). На кожній з елементарних дуг АкАк + візьмемо довільно точку і складемо суму Нехай Д / - Довжина найбільшої з дуг Визначення. Якщо сума (1) має кінцеву межу, що не залежить ні від способу розбиття кривої АВ, ні від вибору точок rjk) на елементарних дугах, то ця межа називається криволінійним інтегралом 2-го міста від вектор-функції по кривій АВ і позначається символом Так що Теорема 2. Якщо в деякій області D, що містить криву АВ, функції безперервні, то криволінійний інтеграл 2-го міста існує. Нехай – радіус-вектор точки М(х, у). Тоді і подинтегральное вираз у формулі (2) можна як скалярного добутку векторів F(M) і dr. Отже, інтеграл 2-го роду від вектор-функції кривої АВ можна записати коротко так: 2.1. Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду Нехай крива АВ задана параметричними рівняннями, де функції безперервні разом з похідними на відрізку, причому зміні параметра t від t0 до t відповідає рух точки по кривій АВ відточки А до точки В. Якщо в деякій області D, містить криву АВ, функції безперервні, то криволінійний інтеграл 2-го роду зводиться до наступного певного інтегралу: Таким чином, обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду також може бути зведено до обчислення певного інтеграла. О) Приклад 1. Обчислити інтеграл уздовж прямолінійного відрізка, що з'єднує точки 2) уздовж параболи, що з'єднує ті ж тонкі) Рівняння лінії параметр, звідки Так що 2) Рівняння лінії AB: Звідси тому Розглянутий приклад помазує, що величина криволінійного інтеграла 2-го роду , Загалом кажучи, залежить від форми шляху інтегрування. 2.2. Властивості криволінійного інтегралу 2-го роду 1. Лінійність. Якщо існують властивості криволінійних інтегралів 1-го роду для просторових кривих криволінійні інтеграли 2-го роду Обчислення криволінійного інтеграла Властивості Зв'язок між то при будь-яких дійсних а і /5 існує і інтеграл причому 2. Аддітеностъ. Якщо крива АВ розбита на частини АС і СБ і криволінійний інтеграл існує, то існують і інтеграли. змінює знак на протилежний. 2.3. Зв'язок між криволінійними інтегралами 1-го і 2-го роду Розглянемо криволінійний інтеграл 2-го роду де орієнтована крива АВ (А - початкова точка, В - кінцева точка) задана векгорним рівнянням (тут I - довжина кривої, що відраховується в тому напрямку, якому орієнтована крива АВ) (рис. 6). Тоді dr або де г = т(1) - одиничний вектор, що стосується кривої АВ у точці М(1). Тоді зауважимо, що останній інтеграл у цій формулі - криволінійний інтеграл 1-го роду. При зміні орієнтації кривої АВ одиничний вектор дотичної г замінюється на протилежний вектор (-г), що тягне за собою зміну знака його підінтегрального виразу і, значить, знака самого інтеграла.