Знаходження площі фігури є обмеженою. Як обчислити площу плоскої фігури за допомогою подвійного інтеграла? Завершення рішення може виглядати так

Фігура, обмежена графіком безперервної неотрицательной на відрізку $$ функції $f(x)$ і прямими $y=0, \x=a$ і $x=b$, називається криволінійною трапецією.

Площа відповідної криволінійної трапеціїобчислюється за такою формулою:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Завдання на перебування площі криволінійної трапеції ми умовно ділитимемо на $4$ типу. Розглянемо кожен тип докладніше.

І тип: криволінійна трапеція задана явно.Тоді одразу застосовуємо формулу (*).

Наприклад, знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції $y=4-(x-2)^(2)$, і прямими $y=0, \x=1$ і $x=3$.

Намалюємо цю криволінійну трапецію.

Застосовуючи формулу (*), знайдемо площу цієї криволінійної трапеції.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

ІІ тип: криволінійна трапеція задана неявно.У цьому випадку зазвичай не задаються або задаються частково прямі $x=a, \x=b$. У цьому випадку потрібно знайти точки перетину функцій $y=f(x)$ та $y=0$. Ці точки будуть точками $a$ і $b$.

Наприклад, знайти площу фігури, обмежену графіками функцій $y=1-x^(2)$ і $y=0$.

Знайдемо точки перетину. Для цього прирівняємо праві частини функцій.

Таким чином $a=-1$, а $b=1$. Намалюємо цю криволінійну трапецію.

Знайдемо площу цієї криволінійної трапеції.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1) ^ (1) = $

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 - \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

III тип: площа фігури, обмеженою перетином двох безперервних невід'ємних функцій.Ця фігура не буде криволінійною трапецією, а значить за допомогою формули (*) її площу не обчислиш. Як же бути?Виявляється, площу цієї фігури можна знайти як різницю площ криволінійних трапецій, обмежених верхньою функцією $y=0$ ($S_(uf)$), і нижньою функцією $y=0$ ($S_(lf)$), де у ролі $x=a, \ x=b$ виступають координати по $x$ точок перетину даних функцій, тобто.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Найголовніше при обчисленні таких площ - не "промахнутися" з вибором верхньої та нижньої функції.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженою функціями $y=x^(2)$ та $y=x+6$.

Знайдемо точки перетину цих графіків:

За теоремою Вієта,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Тобто, $a=-2, \b=3$. Зобразимо фігуру:

Отже, верхня функція – $y=x+6$, а нижня – $y=x^(2)$. Далі, знайдемо $S_(uf)$ і $S_(lf)$ за формулою (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 , 5 $ (од. $ ^ (2) $).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (од.$^(2)$).

Підставимо знайдене в (**) та отримаємо:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (од.$^(2)$).

IV тип: площа фігури, обмеженою функцією(-ями), що не задовольняє (-ими) умові неотрицательности.Для того, щоб знайти площу такої фігури, потрібно симетрично щодо осі $Ox$ ( іншими словами,поставити “мінуси” перед функціями) відобразити область та за допомогою способів, викладених у типах I – III, знайти площу відображеної області. Ця площа і буде шуканою площею. Попередньо, можливо, доведеться знайти точки перетину графіків функцій.

Наприклад, знайти площу фігури, обмеженою графіками функцій $y=x^(2)-1$ та $y=0$.

Знайдемо точки перетину графіків функцій:

тобто. $a=-1$, а $b=1$. Накреслимо область.

Симетрично відобразимо область:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Вийде криволінійна трапеція, обмежена графіком функції $y=1-x^(2)$ та $y=0$. Це завдання знаходження криволінійної трапеції другого типу. Ми її вирішували. Відповідь була така: $S= 1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$). Отже, площа шуканої криволінійної трапеції дорівнює:

$S=1\frac(1)(3)$ (од.$^(2)$).

Починаємо розглядати процес обчислення подвійного інтеграла і знайомитися з його геометричним змістом.

Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі плоскої фігури(Області інтегрування). Це найпростіший видподвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці: .

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді. Зараз ви чимало здивуєтеся, наскільки все справді просто! Обчислимо площу плоскої фігури , обмеженою лініями. Для певності вважаємо, що у відрізку . Площа цієї фігури чисельно дорівнює:

Зобразимо область на кресленні:

Виберемо перший спосіб обходу області:

Таким чином:

І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім зовнішній інтеграл. Цей спосібрекомендую початківцям у темі чайникам.

1) Обчислимо внутрішній інтеграл, у своїй інтегрування проводиться у разі змінної «игрек»:

Невизначений інтеграл тут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією різницею, що межами інтегрування не числа, а функції. Спочатку підставили в «ігрок» ( первісну функцію) верхня межа, потім – нижня межа

2) Результат, отриманий у першому пункті, необхідно підставити у зовнішній інтеграл:

Більш компактний запис всього рішення виглядає так:

Отримана формула – це точно робоча формула для обчислення площі плоскої фігури за допомогою «звичайного» певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою певного інтегралу, Там вона на кожному кроці!

Тобто, завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтегралу мало чим відрізняєтьсявід задачі знаходження площі за допомогою певного інтегралу!Фактично це одне й теж!

Відповідно, жодних труднощів виникнути не повинно! Я розгляну небагато прикладів, оскільки ви, власне, неодноразово стикалися з цим завданням.

Приклад 9

Рішення:Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Тут і далі я не зупинятимусь на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.

Таким чином:

Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу дотримуватимуся і я:

1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:

2) Результат, отриманий першому кроці, підставляємо у зовнішній інтеграл:

Пункт 2 – фактично перебування площі плоскої постаті з допомогою певного інтеграла.

Відповідь:

Ось така дурна і наївна задача.

Цікавий приклад для самостійного рішення:

Приклад 10

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями , ,

Зразок чистового оформлення рішення наприкінці уроку.

У Прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу та обчислити площі другим способом. Якщо не припуститеся помилки, то, природно, вийдуть ті ж самі значення площ.

Але часом найефективніший другий спосіб обходу області, й на закінчення курсу молодого ботана розглянемо ще кілька прикладів з цієї теми:

Приклад 11

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями ,

Рішення:На нас з нетерпінням чекають дві параболи з бзиком, які лежать на боці. Посміхатися не треба, схожі речі в кратних інтегралах трапляються часто.

Як найпростіше зробити креслення?

Представимо параболу у вигляді двох функцій:
– верхня гілка та – нижня гілка.

Аналогічно, представимо параболу у вигляді верхньої та нижньої гілок.

Далі керує поточкове побудова графіків, в результаті чого виходить ось така химерна фігура:

Площа фігури обчислимо за допомогою подвійного інтеграла за такою формулою:

Що буде, якщо ми оберемо перший спосіб обходу області? По-перше, цю область доведеться розділити на дві частини. А по-друге, ми спостерігатимемо цю сумну картину: . Інтеграли, звичайно, не надскладного рівня, але ... існує стара математична приказка: хто з корінням дружний, тому залік не потрібен.

Тому з непорозуміння, яке дано за умови, висловимо зворотні функції:

Зворотні функціїв даному прикладімають ту перевагу, що задають відразу всю параболу цілком без будь-яких там листя, жолудів гілок і коріння.

Згідно з другим способом, обхід області буде наступним:

Таким чином:

Як кажуть, відчуйте різницю.

1) Розправляємось із внутрішнім інтегралом:

Результат підставляємо у зовнішній інтеграл:

Інтегрування по змінній «гравець» не повинно бентежити, була б буква «зю» - чудово проінтегрувалося і по ній. Хоча хтось прочитав другий параграф уроку Як обчислити об'єм тіла обертання, Той вже не відчуває жодної незручності з інтегруванням по «гравець».

Також зверніть увагу на перший крок: підінтегральна функція є парною, а відрізок інтегрування симетричний щодо нуля. Тому відрізок можна споловинити, а результат – подвоїти. Цей прийом докладно закоментований на уроці Ефективні методиобчислення певного інтегралу.

Що додати…. Усе!

Відповідь:

Для перевірки своєї техніки інтегрування можете спробувати обчислити . Відповідь повинна вийти такою ж.

Приклад 12

За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури, обмеженою лініями

Це приклад самостійного рішення. Цікаво відзначити, що якщо ви спробуєте використовувати перший спосіб обходу області, то фігуру доведеться розділити не на дві, а на три частини! І, відповідно, вийде три пари повторних інтегралів. Буває й таке.

Майстер клас підійшов до завершення, і настав час переходити на гросмейстерський рівень. Як визначити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Постараюсь у другій статті так не маньячить =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення: Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Таким чином:
Перейдемо до зворотних функцій:

Таким чином:
Відповідь:

Приклад 4:Рішення: Перейдемо до прямих функцій:

Виконаємо креслення:

Змінимо порядок обходу області:

Відповідь:

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, А, як мінімум, вміти будувати пряму, та гіперболу.

Криволинійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний сенс.

З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент вирішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконано, завжди корисно подивитись на креслення та прикинути, чи реальна вийшла відповідь. В даному випадку«на око» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшла, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, десь припущена помилка - у розглянуту постать 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищецієї осі), то її площа можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення в завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякою безперервної функції, то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Шукана фігура обмежена параболою зверху та прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Приклад1 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: х + 2у - 4 = 0, у = 0, х = -3, і х = 2

Виконаємо побудову фігури (див. рис.) Будуємо пряму х + 2у - 4 = 0 по двох точках А (4; 0) і В (0; 2). Виразивши у через х, отримаємо у = -0,5х + 2. За формулою (1), де f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2 знаходимо

S = = [-0,25 = 11,25 кв. од

приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 та у = 0.

Рішення. Виконаємо побудову фігури.

Побудуємо пряму х - 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А (-4; 0); х = 0, у = 2, В (0; 2).

Побудуємо пряму х + у - 5 = 0: у = 0, х = 5, С (5; 0), х = 0, у = 5, D (0; 5).

Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь:

х = 2, у = 3; М(2; 3).

Для обчислення шуканої площі розіб'ємо трикутник АМС на два трикутники АМN і NМС, тому що при зміні х від А до N площа обмежена прямою, а при зміні х від N до С - прямий

Для трикутника АМN маємо: ; у = 0,5 х + 2, тобто f(x) = 0,5 х + 2, a = - 4, b = 2.

Для трикутника NМС маємо: y = – x + 5, тобто f(x) = – x + 5, a = 2, b = 5.

Обчисливши площу кожного з трикутників та склавши результати, знаходимо:

кв. од.

9+4,5 = 13,5 кв. од. Перевірка: = 0,5 АС = 0,5 кв. од.

Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмежену лініями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3

В даному випадку потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою параболою y = x 2 , Прямими x = 2 і x = 3і віссю Ох(див. рис.) За формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції

= = 6кв. од.

Приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = - x 2 + 4 та у = 0

Виконаємо побудову фігури. Шукана площа укладена між параболою у = - x 2 + 4 та віссю Ох.

Знайдемо точки перетину параболи із віссю Ох. Вважаючи у = 0, знайдемо х = Оскільки дана фігура симетрична щодо осі Оу, то обчислимо площу фігури, розташованої праворуч від осі Оу, та отриманий результат вдвох: = +4x] кв. од. 2 = 2 кв. од.

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тут потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою верхньою гілкою параболиy 2 = x, віссю Ох і прямими x = 1іx = 4 (див. рис.)

За формулою (1), де f(x) = a = 1 та b = 4 маємо = (= кв. од.

Приклад 6 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

Шукана площа обмежена напівхвильової синусоїди та віссю Ох (див. рис.).

Маємо – cosx = – cos = 1 + 1 = 2 кв. од.

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y = - 6х, у = 0 та х = 4.

Фігура розташована під віссю Ох (див. мал.).

Отже, її площу знаходимо за формулою (3)

= =

Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмежену лініями: y = і х = 2. Криву y = побудуємо за точками (див. рис.). Таким чином, площу фігури знаходимо за формулою (4)

Приклад 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Тут потрібно обчислити площу, обмежену колом х 2 + у 2 = r 2 , тобто площа кола радіусу r з центром на початку координат. Знайдемо четверту частину цієї площі, взявши межі інтегрування від 0

доr; маємо: 1 = = [

Отже, 1 =

Приклад 10 Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = х 2 і у = 2х

Дана фігура обмежена параболою у = х 2 і прямий у = 2х (див. рис.) Для визначення точок перетину заданих лінійрозв'яжемо систему рівнянь:х 2 - 2х = 0 х = 0 і х = 2

Використовуючи для знаходження площі формулу (5), отримаємо

= графік функції y = x 2+2 розташований над віссюOXтому:

Відповідь: .

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца

зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень. Після того, як завдання виконано, завжди корисно подивитись на креслення та прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями xy = 4, x = 2, x= 4 та віссю OX.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссюOX?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = e - x, x= 1 та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю OX , то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями y = 2x – x 2 , y = -x.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. При побудові креслення у завданнях площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи y = 2x – x 2 та прямий y = -x. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування a= 0, верхня межа інтегрування b= 3. Часто вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторимося, що з поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматоматично».

А тепер робоча формула:

Якщо на відрізку [ a; b] деяка безперервна функція f(x) більше або дорівнюєдеякої безперервної функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать – над віссю чи під віссю, а важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з 2 x – x 2 необхідно відняти - x.

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Шукана фігура обмежена параболою y = 2x – x 2 зверху та прямий y = -xзнизу.

На відрізку 2 x – x 2 ≥ -x. За відповідною формулою:

Відповідь: .

Насправді, шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній півплощині (див. приклад №3) – окремий випадокформули

Оскільки вісь OXзадається рівнянням y= 0, а графік функції g(x) розташований нижче осі OX, то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями

У результаті вирішення завдань на обчислення площі з допомогою певного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але, по неуважності,… знайдено площу не тієї фігури.

Приклад 7

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці, за неуважністю, нерідко вирішують, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:

1) На відрізку [-1; 1] над віссю OXрозташований графік прямий y = x+1;

2) На відрізку над віссю OXрозташований графік гіперболи y = (2/x).

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді

і виконаємо поточковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороша»: b = 1.

Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке?

Може бути, a=(-1/3)? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися, що a=(-1/4). А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину графіків

Для цього розв'язуємо рівняння:

Отже, a=(-1/3).

Подальше рішення тривіальне. Головне, не заплутатися у підстановках та знаках. Обчислення тут не найпростіші. На відрізку

, ,

за відповідною формулою:

Відповідь:

На закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточкового побудови креслення необхідно знати зовнішній виглядсинусоїди. Взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій, а також деякі значення синуса. Їх можна знайти у таблиці значень тригонометричних функцій . У ряді випадків (наприклад, у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають прямо з умови:

- Ікс змінюється від нуля до пі. Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції y= sin 3 xрозташований над віссю OXтому:

(1) Як інтегруються синуси та косинуси у непарних ступенях, можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричне тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної t= cos x, тоді: розташований над віссю , тому:

Примітка:зверніть увагу, як береться інтеграл від тангенсу в кубі, тут використано наслідок основного тригонометричного тотожності